Приносът на Дедекинд към основите на математиката

Съдържание:

Приносът на Дедекинд към основите на математиката
Приносът на Дедекинд към основите на математиката
Anonim

Това е файл в архивите на Философията на Станфордската енциклопедия.

Снимка на Ричард Дедекинд
Снимка на Ричард Дедекинд

Приносът на Дедекинд към основите на математиката

Публикувана за първи път на 22 април 2008 г.

Широко признато е, че Ричард Дедекинд (1831–1916) е един от най-големите математици на XIX век, както и един от най-важните участници в теорията на числата и алгебрата на всички времена. Всяка обширна история на математиката ще го споменава, наред с други: неговото изобретяване на теорията на идеалите и неговото изследване на понятията за алгебрично число, поле, модул, решетка и др. (Виж например Dieudonné 1985, Boyer & Merzbach 1991, Stillwell 2000, Kolmogorov & Yushkevich 2001). По-основополагащата работа на Дедекинд в математиката също е широко известна, поне на части. Често признати в тази връзка са: неговият анализ на понятието за приемственост, въвеждането на реалните числа с помощта на разрези на Дедекинд, формулирането на аксиомите Дедекинд-Пеано за естествените числа,неговото доказателство за категоричността на тези аксиоми и приносът му за ранното развитие на теорията на множествата (Grattan-Guinness 1980, Ferreirós 1999, Jahnke 2003).

Въпреки че много от приносите на Дедекинд в математиката и нейните основи са общоизвестни, те рядко се обсъждат заедно. По-специално, неговите математически съчинения често се третират отделно от неговите основополагащи. Този запис предоставя широко проучване на неговите приноси. Основният акцент ще бъде върху неговите основополагащи съчинения, но те ще бъдат свързани с другите му математически работи. Всъщност ще се твърди, че основополагащите проблеми са в играта на Дедекинд, така че всеки опит да се разграничи рязко между неговите "математически" и "основополагащи" писания е изкуствен и подвеждащ. Друга цел на записа е да се установи постоянното значение на неговите приноси към философията на математиката. Всъщност пълното им значение едва започва да се признава, както трябва да стане очевидно по пътя. Това е особено така по отношение на методологичните и епистемологичните аспекти на работата на Дедекинд, които формират и обосноват логическите и метафизични възгледи, които се очертават в неговите трудове.

  • 1. Биографска информация
  • 2. Изключително основополагаща работа

    • 2.1 Основите на анализа
    • 2.2 Основите на аритметиката
    • 2.3 Възходът на съвременната теория на множествата
  • 3. Логицизъм и структурализъм
  • 4. Друга математическа работа

    • 4.1 Теория на алгебраичните числа
    • 4.2 Функции, групи, решетки
  • 5. Методология и гносеология
  • 6. Заключителни бележки
  • библиография

    • Основна литература (немски издания и английски преводи)
    • Вторична литература (на английски, френски и немски език)
  • Други интернет ресурси
  • Свързани записи

Избор на вторична литература е изброен в края на всеки номериран раздел, както да насочи читателя към допълнителни ресурси, така и да подчертае големия ми дълг към тази литература.

1. Биографска информация

Ричард Дедекинд е роден в Брунсуик (Брауншвайг), град в Северна Германия, през 1831 г. Голяма част от образованието му се провежда и в Брунсвик, където първо посещава училище, а след това в продължение на две години - местния технически университет. През 1850 г. той се прехвърля в университета в Гьотинген - център за научни изследвания в Европа по онова време. Карл Фридрих Гаус, един от най-великите математици на всички времена, преподава в Гьотинген, а Дедекинд става последният му докторант. Той пише дисертация по математика при Гаус, завършена през 1852 г. Както е обичайно, той пише и втора дисертация (Habilitation), завършена през 1854 г., малко след тази на колегата и приятеля му Бернхард Риман. Дедекинд остана в Гьотинген още четири години като лектор, който не е платен (Privatdozent). През това време той е силно повлиян от П. Г. Lejeune-Dirichlet, друг известен математик в Гьотинген, и от Риман, след това изгряваща звезда. (По-късно Дедекинд върши важна редакторска работа за Гаус, Дирихлет и Риман.) През 1858 г. той се премества в Политехниката в Цюрих (ETH Цюрих), Швейцария, за да заеме първата си позиция на заплата. Връща се в Брунсуик през 1862 г., където става професор в местния университет и преподава до пенсионирането си през 1896 г. В този по-късен период той публикува повечето си основни трудове. Той също имал допълнителни взаимодействия с важни математици; по този начин той е в кореспонденция с Георг Кантор, сътрудничил е на Хайнрих Вебер и развива интелектуално съперничество с Леополд Кронекер. Той остава в родния си град до края на живота си, през 1916 година. Дедекинд прави важна редакторска работа за Гаус, Дирихлет и Риман.) През 1858 г. той се премества в Политехниката в Цюрих (ETH Цюрих), Швейцария, за да заеме първата си длъжност на заплата. Връща се в Брунсуик през 1862 г., където става професор в местния университет и преподава до пенсионирането си през 1896 г. В този по-късен период той публикува повечето си основни трудове. Той също имал допълнителни взаимодействия с важни математици; по този начин той е в кореспонденция с Георг Кантор, сътрудничил е на Хайнрих Вебер и развива интелектуално съперничество с Леополд Кронекер. Той остава в родния си град до края на живота си, през 1916 година. Дедекинд прави важна редакторска работа за Гаус, Дирихлет и Риман.) През 1858 г. той се премества в Политехниката в Цюрих (ETH Цюрих), Швейцария, за да заеме първата си длъжност на заплата. Връща се в Брунсуик през 1862 г., където става професор в местния университет и преподава до пенсионирането си през 1896 г. В този по-късен период той публикува повечето си основни трудове. Той също имал допълнителни взаимодействия с важни математици; по този начин той е в кореспонденция с Георг Кантор, сътрудничил е на Хайнрих Вебер и развива интелектуално съперничество с Леополд Кронекер. Той остава в родния си град до края на живота си, през 1916 година. Връща се в Брунсуик през 1862 г., където става професор в местния университет и преподава до пенсионирането си през 1896 г. В този по-късен период той публикува повечето си основни трудове. Той също имал допълнителни взаимодействия с важни математици; по този начин той е в кореспонденция с Георг Кантор, сътрудничил е на Хайнрих Вебер и развива интелектуално съперничество с Леополд Кронекер. Той остава в родния си град до края на живота си, през 1916 година. Връща се в Брунсуик през 1862 г., където става професор в местния университет и преподава до пенсионирането си през 1896 г. В този по-късен период той публикува повечето си основни трудове. Той също имал допълнителни взаимодействия с важни математици; по този начин той е в кореспонденция с Георг Кантор, сътрудничил е на Хайнрих Вебер и развива интелектуално съперничество с Леополд Кронекер. Той остава в родния си град до края на живота си, през 1916 година. Той остава в родния си град до края на живота си, през 1916 година. Той остава в родния си град до края на живота си, през 1916 година.

Основните основни съчинения на Дедекинд са: Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872) и Was sind und was sollen die Zahlen? (1888a). Също толкова важно според историците на математиката е работата му в теорията на алгебраичните числа. Тази творба за първи път беше представена по необичаен начин: като добавки към Vorlesungen über Zahlentheorie на Dirichlet. Последният е редактиран от Dedekind под формата на бележки за лекции, първоначално под наблюдението на Дирихлет и публикуван в няколко издания. Именно в допълненията си към второто издание от 1871 г. се въвежда известната теория за идеалите на Дедекинд; след това той го модифицира и разширява няколко пъти, до четвъртото издание от 1893 г. (Lejeune-Dirichlet 1893, Dedekind 1964). Междинна версия на теорията на Дедекинд също беше публикувана отделно, във френски превод (Dedekind 1877). Други произведения на Дедекинд включват: дълга статия за теорията на алгебраичните функции, написана съвместно с Хайнрих Вебер (Dedekind 1882); и разнообразие от по-къси парчета в алгебрата, теорията на числата, сложния анализ, теорията на вероятностите и др. Всички те бяха преиздадени, със селекции от неговия Nachlass, в Дедекинд (1930–32). И накрая, бележките от лекциите от някои от неговите собствени класове бяха публикувани по-късно (Dedekind 1981, 1985), както и допълнителни селекции от неговия Nachlass (Dedekind 1982, вж. Също Dugac 1976, Sinaceur 1990 и Schlimm 2000).със селекции от неговия Nachlass, в Дедекинд (1930–32). И накрая, бележките от лекциите от някои от неговите собствени класове бяха публикувани по-късно (Dedekind 1981, 1985), както и допълнителни селекции от неговия Nachlass (Dedekind 1982, вж. Също Dugac 1976, Sinaceur 1990 и Schlimm 2000).със селекции от неговия Nachlass, в Дедекинд (1930–32). И накрая, бележките от лекциите от някои от неговите собствени класове бяха публикувани по-късно (Dedekind 1981, 1985), както и допълнителни селекции от неговия Nachlass (Dedekind 1982, вж. Също Dugac 1976, Sinaceur 1990 и Schlimm 2000).

Както показва тази кратка хронология на живота и публикациите на Дедекинд, той е широкообхватен и много креативен математик, въпреки че е склонен да публикува бавно и внимателно. Освен това показва, че той е бил част от известна традиция в математиката, простираща се от Гаус и Дирихлет през Риман, самия Дедекинд, Кантор и Вебер през XIX век, до Дейвид Хилбърт, Еми Нотер, БЛ ван дер Ваерден, Никола Бурбаки, и други през ХХ век. С частичните изключения на Риман, Кантор и Хилберт, тези математици не публикуваха изрично философски трактати. От друга страна, всички те бяха много чувствителни към основополагащите въпроси, разбрани в широк смисъл, включително избора на основни понятия, видовете разсъждения, които да бъдат използвани и предположенията, вградени в тях. Като последствие,човек може да намери философски бременни забележки, напръскани чрез техните математически произведения, както е дадено от Дедекинд (1872) и (1888а).

Не се знае много за други интелектуални влияния върху Дедекинд. Той не се изравняваше изрично с определен философ или философска школа, в допълнение към споменатата математическа традиция. Всъщност малко се знае кои философски текстове Дедекинд чете или кои съответни класове може да е посещавал като студент. Рядка информация, която имаме в тази връзка, е, че той е осъзнал най-философското произведение на Готлоб Фреге, Die Grundlagen der Arithmetik (публикувано през 1884 г.), едва след като се е примирил със собствените си основни идеи (Dedekind 1888a, предговор към второто издание). В кратката си биография на Риман (Дедекинд 1876а) той извежда и посткантийския философ и педагог Дж. Ф. Хербарт, професор в Гьотинген от 1833 до 1841 г., като влияние върху Риман; и в кореспонденцията си,Дедекинд споменава немския идеалист Дж. Г. Фихте, макар и само в миналото (Шарлау 1981). След това отново германският интелектуален живот по онова време беше наситен с кантиански възгледи, включително твърдения за съществената роля на интуицията за математиката и има доказателства, че Дедекинд е бил запознат с поне някои съответни дискусии.

Литература: Досега няма биография на Дедекинд. За по-кратки сметки вижте Jourdain (1916), Landau (1917), Biermann (1971), Dugac (1976), Scharlau (1981), Mehrtens (1982), Ewald (1996b), Stein (1998), Ferreirós (1999), и Хокинг (2005b).

2. Изключително основополагаща работа

2.1 Основите на анализа

Въпросите, разгледани в Stetigkeit und irrationale Zahlen (Непрекъснатост и Ирационални числа) на Дедекинд, се разрастват от „ригоризирането“и „аритметизацията“на анализа (математическата теория) през първата половина на XIX век. Корените на тези проблеми обаче отиват по-дълбоко - до края или назад, до откриването на несравними величини в древногръцката геометрия (Jahnke 2003, ch. 1, Cooke 2005). Отговорът на гърците на това поразително откритие завърши с теорията за съотношенията и пропорционалността на Евдоксос, представена в глава VII на Евклидовите елементи. Тази теория донесе със себе си рязко разграничение между дискретни количества (числа) и непрекъснати величини (величини), като по този начин доведе до традиционния възглед на математиката като наука за числото, от една страна, и величината, от друга. Първата основополагаща работа на Дедекинд засяга най-отдолу връзката между двете страни на тази дихотомия.

Важна част от дихотомията, както традиционно се разбира, беше, че величините и съотношенията им не се разглеждат систематично като числови единици (с аритметични операции, определени върху тях), а по по-конкретен геометричен начин (като дължини, площи, обеми и др. ъгли и др. и като отношения между тях). По-конкретно, докато теорията на Eudoxos предоставя контекстуален критерий за равенство на съотношенията, тя не предвижда определяне на самите съотношения, така че те да не се схващат като независими образувания (Stein 1990, Cooke 2005). Такива характеристики не причиняват малка вреда по отношение на емпиричните приложения на теорията. Те водят до вътрешно-математически напрежения, когато се разглеждат решения на някои видове алгебраични уравнения (някои от които могат да бъдат представени в числово число, а други само геометрично). Това напрежение все повече излезе на преден план в математиката от ранния модерен период, особено след интеграцията на Декарт на алгебра и геометрия. В отговор се изискваше унифицирано третиране на дискретни и непрекъснати количества.

По-пряко есето на Дедекинд беше обвързано с аритметизирането на анализа през XIX век, преследвано от Коши, Болцано, Вайерщрас и други, което от своя страна беше реакция на напрежението в рамките на диференциалното и интегрално смятане, въведено по-рано от Нютон, Лайбниц, и техните последователи (Jahnke 2003, chs. 3–6). Както е известно, изобретателите на смятането се позовават на апели към „безкрайни“количества, обикновено подкрепени от геометрични или дори механични съображения. Това се разглежда като проблемно. Ранните „аритметизатори“намериха начин да избегнат инфинитимамалите (по отношение на характеристиката на епсилон-делта на граничните процеси, познати от настоящите въведения в смятането). Но това отново, или дори повече,доведе до необходимостта от строго и всеобхватно характеризиране на различни величини, замислени като числови единици, включително от единно третиране на рационални и ирационални числа.

Дедекинд се сблъсква директно с тази нужда, също и от педагогическа гледна точка, когато през 1858 г. започва да преподава часове по смятане в Цюрих (Дедекинд 1872, предговор). Нещо повече, целта за него от самото начало не беше просто да предостави явна, приемлива и унифицирана сметка за рационални и ирационални числа - той също искаше да го направи по начин, който да установи независимостта на анализа от механиката и геометрията, т.е. наистина от интуитивни съображения по-общо. Това разкрива допълнителна философска мотивация за работата на Дедекинд върху основите на анализа, макар и да не е свързана с участващата математика; и не е трудно да забележим имплицитна антикантийска тяга в неговия подход. И накрая, начинът за постигане на всички тези цели е да се свържат аритметиката и анализа в тясно отношение помежду си,наистина да се сведе последното до първото.

Докато основната идея за свързване на анализа в тясно отношение с аритметиката, за разлика от геометрията, по онова време не беше нова - Дедекинд го сподели и го възприе от неговите учители Гаус и Дирихлет (Ferreirós 1999, ch. 4) - по специфичния начин в което той продължи доста оригинално. Решаващият въпрос, или връзката за него, беше понятието за приемственост. За да стане по-ясен за това понятие, Дедекинд сравнява системата от рационални числа със системата от точки на геометрична линия. След като точка за начало, дължина на единица и посока са избрани за последните, двете системи са пряко свързани: всяко рационално число може да бъде свързано по уникален и запазващ ред начин с точка на линията. След това възниква допълнителен въпрос: отговаря ли всяка точка на линията на рационално число? От голямо значение е,този въпрос може да бъде преформулиран по отношение на идеята на Дедекинд за „съкращения“, дефинирани директно върху рационалните числа, така че всяка геометрична интуиция относно приемствеността да бъде оставена настрана. А именно, ако разделим цялата система от рационални числа на две несъвместими части, запазвайки реда им, всяко такова деление определя ли се от рационално число? Отговорът е не, тъй като някои съответстват на ирационални числа (напр. Отрязването, състоящо се от {x: xхх2 <2} и {x: x 2 > 2} съответства на √2). В този смисъл системата от рационални числа не е непрекъсната, т.е. не е пълна по ред.

За нашите цели са важни няколко аспекта на процедурата на Дедекинд, първоначално и в следващите няколко стъпки (сравнете Ferreirós 1999, ch. 4, и Cooke 2005). Както бе посочено, Дедекинд започва с разглеждане на системата от рационални числа, разглеждана като цяло. Тук трябва да се отбележи два аспекта: Той не само приема тази система като „действителна безкрайност“, в смисъл на пълен безкраен набор, който сам по себе си се третира като математически обект; той също го разглежда „структурно“, като пример за линейно подреден набор, затворен при събиране и умножение (подредено поле). В следващата си стъпка и продължавайки по-нататък по множествено-теоретични и структуралистични линии, Дедекинд въвежда множеството от произволни съкращения на първоначалната си система, като по този начин работи, по същество,с по-голямата и по-сложна безкрайност на всички подмножества на рационалните числа (набора от пълна мощност). Възможно е да се покаже, че наборът от тези съкращения може от своя страна да бъде дарен с линейно подреждане и с операции на събиране и умножение, като по този начин представлява напълно нова „система от числа“.

Не са съкращенията, с които Дедекинд иска да работи преди всичко. Вместо това, за всяко отрязване - тези, които съответстват на рационалните числа, но и тези, съответстващи на ирационални величини - той „създава“нов обект, „реално число“, определен от среза. Именно тези обекти, заедно с ред на поръчката и с аритметични операции, дефинирани върху тях (по отношение на съответните съкращения), формират решаващата нова система за него. След това се установяват две свойства на тази система: Рационалните числа могат да бъдат вградени в нея по начин, който да спазва реда и аритметичните операции, дефинирани върху тези числа (съществува съответен полев хомоморфизъм); и новата система е непрекъсната или пълна с линии по отношение на нейния ред. Получаваме като цяло отдавна липсващия унифициран критерий за идентичност за рационални и ирационални числа,и двата момента вече могат да се разглеждат като елементи в обхващаща числова система (изоморфна на, но различна от системата на съкращения). И накрая, Дедекинд посочва как в този смисъл могат да се дадат ясни и категорични доказателства за различни факти за реалните числа, включително такива, които бяха приети без задоволителни доказателства досега. Те включват: основни правила за работа с квадратни корени; теоремата, че всяка увеличаваща се ограничена последователност от реални числа има гранична стойност (резултат, еквивалентен на по-известната теорема за междинна стойност, наред с други.)включително тези, които бяха приети без задоволителни доказателства досега. Те включват: основни правила за работа с квадратни корени; теоремата, че всяка увеличаваща се ограничена последователност от реални числа има гранична стойност (резултат, еквивалентен на по-известната теорема за междинна стойност, наред с други.)включително тези, които бяха приети без задоволителни доказателства досега. Те включват: основни правила за работа с квадратни корени; теоремата, че всяка увеличаваща се ограничена последователност от реални числа има гранична стойност (резултат, еквивалентен на по-известната теорема за междинна стойност, наред с други.)

Дедекинд публикува тази обработка на реалните числа едва през 1872 г., четиринадесет години след разработването на основните идеи, на които разчита. Това не беше единственото предложено лечение по онова време. Различни математици се занимават с този въпрос, включително: Weierstrass, Thomae, Méray, Heine, Hankel, Cantor и малко по-късно, Frege (Dieudonné 1985, ch. 6, Boyer & Merzbach 1991, ch. 25, и Jahnke 2003, ch. 10), Най-познатата сред тези алтернативни акаунти вероятно е тази на Cantor, публикувана също през 1872 г. Вместо да използва „Dedekind cut“, Cantor работи с (еквивалентни класове) Коши последователности от рационални числа. Системата от такива (класове от) последователности също може да бъде показана, че има желаните свойства, включително приемственост. Кантор, подобно на Дедекинд, започва с безкрайния набор от рационални числа; и Cantor 's конструкцията отново разчита по същество на пълния набор от мощност на рационалните числа, тук под формата на произволни последователности на Коши. В такова теоретично отношение на множеството двете обработки са следователно равностойни. Това, което отделя третирането на Дедекинд на реалните числа, от това на Кантор и всички останали, е яснотата, която той постига по отношение на централната представа за приемственост. Лечението му също е по-зряло и елегантно структуралистично, в известен смисъл да бъде разказано по-долу. Лечението му също е по-зряло и елегантно структуралистично, в известен смисъл да бъде разказано по-долу. Лечението му също е по-зряло и елегантно структуралистично, в известен смисъл да бъде разказано по-долу.

Литература: За още обобщение на Дедекинд (1872 г.) вижте Кук (2005). Сравнете Dugac (1976), Dieudonné (1985), Grattan-Guinness (1980), Gardies (1984), Stein (1990), Boyer & Merzbach (1991), Ferreirós (1999), Jahnke (2003) и Reck (2003a),

2.2 Основите на аритметиката

Предоставянето на изрично, строго и ползотворно определяне на реалните числа представлява основна стъпка към завършване на аритметизацията на анализа. По-нататъшното размишление върху процедурата на Дедекинд (и подобни) води до нов въпрос, обаче: какво точно е включено в нея, ако се мисли изцяло - на какво разчита в крайна сметка неговата сметка за реалните числа? Както бе отбелязано, Дедекинд започва със системата от рационални числа; и той използва теоретично зададена процедура, за да конструира в централна стъпка новата система на изрязване от тях. Това предполага два под-въпроса: Първо, как точно да мислим за рационалните числа в тази връзка? Второ, може ли да се каже нещо по-нататък за подобни теоретични процедури и предположенията зад тях?

В публикуваните си трудове Дедекинд не дава пряк и пълен отговор на първия ни под-въпрос. Това, което се предполага от съвременна гледна точка, е, че той разчита на идеята, че рационалните числа могат да бъдат разгледани по отношение на естествените числа, заедно с някои теоретично зададени теории. И в действителност, в Nachlass на Дедекинд могат да се намерят ясни скици на две вече познати конструкции: тази на положителните и отрицателните цели числа (класове на еквивалентност на) двойки естествени числа; и тази на рационалните числа като (еквивалентни класове на) двойки цели числа (Sieg & Schlimm 2005, по-рано Dugac 1976). Изглежда, че тези конструкции бяха достатъчно познати по онова време, под една или друга форма, за да не Дедекинд да не изпитва нужда да публикува своите скици.(Съществува и пряка успоредка на изграждането на сложните числа като двойки реални числа, известни на Дедекинд от работата на Уилям Роуан Хамилтън, и на използването на класове от остатъци при разработване на модулна аритметика, включително в Dedekind 1857; за първата, вж. Ferreirós 1999, ch. 7, за последния също Dugac 1976 г.)

Това води до следния резултат: Целият материал, необходим за анализ, включително всички рационални и ирационални числа, може да бъде изграден от естествените числа чрез теоретично зададени методи. Но сега възниква въпросът: Трябва ли да приемаме самите естествени числа като просто дадени; или може ли да се каже нещо по-нататък за тези числа, може би чрез намаляване на тях до нещо още по-фундаментално? Много математици през XIX век са били готови да приемат първия; добре известен пример е Леополд Кронекер, за когото естествените числа са „дадени от Бог“, докато останалата част от аритметика и анализ е „направена от човечеството“(Ferreirós 1999, ch. 4). За разлика от тях Дедекинд и независимо Фреге преследват последния вариант - те се опитват да сведат естествените числа и аритметика до „логика“. Това е основната цел на Was sind und was sollen die Zahlen? (Природата и значението на числата или по-добре. Кои са числата и за какво са те?). Друга цел е да се отговори на втория под-въпрос, оставен отворен по-горе: дали може да се каже повече за използваните теоретични процедури. За Дедекинд, отново като за Фреге, тези процедури се основават и на „логиката”. Но тогава, кои са основните понятия на логиката?

Отговорът на Дедекинд на последния въпрос е: основни за логиката са понятията за обект („Динг“), набор (или система, „Система“) и функция (картографиране, „Аббилдунг“). Тези понятия наистина са основни за човешката мисъл - те са приложими във всички области, незаменими в точните разсъждения и не могат да бъдат редуцирани допълнително (Ferreirós 1999, ch. 4, Reck 2003a). Въпреки че не могат да се определят от гледна точка на нещо по-основно, основните логически понятия все пак могат да бъдат изяснени, като по този начин да бъдат разбрани по-добре. Част от тяхното изясняване се състои в това да наблюдават какво може да се направи с тях, включително как може да се развие аритметиката по отношение на тях (повече за други части по-долу). За Дедекинд това развитие започва с разглеждането на безкрайните множества, както в случая с реалните числа, но сега по обобщен и по-систематичен начин.

Дедекинд не просто приема или просто постулира съществуването на безкрайни множества - той се опитва да го докаже. Той смята за „съвкупността от всички неща, които могат да бъдат обекти на моята мисъл“и твърди, че този „набор“е безкраен (Дедекинд 1888а, раздел v). Той също така не просто предполага концепцията за безкрайността - той я дефинира (по отношение на трите му основни понятия за логика, както и определящите понятия за подмножество, съюз, пресичане и т.н.). Дефиницията е следната: Набор от обекти е безкраен - сега често е „Дедекинд-безкраен“- ако може да бъде картографиран едно към едно върху правилния подмножество от себе си. (След това един набор може да бъде определен като краен, ако не е безкраен.) Придвижвайки стъпка по-близо до аритметиката, ние се насочваме към понятието „проста безкрайност“(или „индуктивен набор“). Строгото въвеждане на това понятие включва първоначалната идея на Дедекинд за „верига“. Както бихте казали в съвременната терминология, верига е минималното затваряне на множество A в множество B, съдържащо A под функция f на B (където е „минимално“се разбира от общото понятие за пресичане).

Това, което означава да бъдеш просто безкраен, сега може да бъде уловено в четири условия: Помислете за набор S и подмножество N от S (възможно равно на S); тогава N се нарича просто безкраен, ако съществува функция f на S и елемент 1 от N, такъв че: (i) f преобразува N в себе си; (ii) N е веригата на {1} в S под f; (iii) 1 не е в образа на N под f; и (iv) f е едно към едно. Макар че в началото може би са непознати, не е трудно да се покаже, че тези дедекиндийски условия са нотационен вариант на аксиомите на Пеано. По-специално условие (ii) е версия на аксиомата на математическата индукция. По този начин тези аксиоми се наричат правилно аксиомите Дедекинд-Пеано. (Пеано, който публикува съответната си работа през 1889 г., призна приоритета на Дедекинд; вж. Ferreirós 1999, ch. 7, и Ferreirós 2005.) Както също е ясно,всяка проста безкрайност ще се състои от първи елемент 1, втори елемент f (1), трети f (f (1)), след това f (f (f (1))) и така нататък, както всеки модел на аксиомите Дедекинд-Пеано.

Като се имат предвид тези препарати, въвеждането на естествените числа може да продължи по следния начин: Първо, Дедекинд доказва, че всеки безкраен набор съдържа просто безкрайно подмножество. Тогава той показва, в съвременната терминология, че всяка две просто безкрайни системи или всякакви два модела на аксиомите Дедекинд-Пеано са изоморфни (така че аксиомната система е категорична). Трето, той отбелязва, че поради този факт важат абсолютно същите аритметични истини за всички прости безкрайности; или по-близо до действителния начин на Дедекинд да изложи тази точка, всяка такава истина за един от тях може да бъде преведена чрез изоморфизма в съответстваща истина за другата. В този смисъл всяка просто безкрайност е толкова добра, колкото и всяка друга. (Както може да се каже, всички модели на аксиомите Дедекинд-Пеано са „логически еквивалентни“,което означава, че системата на аксиомата е „семантично завършена“; сравнете Awodey & Reck 2002 и Reck 2003a).

Като допълнителна стъпка, Дедекинд отново апелира към понятието „творение“. Като започнем с някаква проста конструирана безкрайност, няма значение с коя от тях започваме, предвид техния изоморфизъм - той „създава“нови обекти, съответстващи на всичките му елементи, като по този начин въвежда специална проста безкрайност, „естествените числа“. Както вече видяхме, този последен ход има точен паралел в случая с реалните числа. Но в настоящия случай Дедекинд е по-ясен и по-ясен за някои решаващи аспекти. По-специално, идентичността на новосъздадените обекти се разбира изцяло от аритметичните истини, т.е. от онези истини, които могат да бъдат прехвърлени или инвариантни, в смисъла, обяснен по-горе. Естествените числа, въведени от Дедекинд,по този начин се характеризират само със своите „релационни“или „структурни“свойства - за разлика от елементите в други просто безкрайни системи, те нямат неаритметични или „чужди“свойства (Reck 2003a, 2003b).

Това, което Дедекинд е въвел по този ред, са естествените числа, замислени като крайни „порядъчни“числа (или преброяване на числата: първото, второто и т.н.). По-късно той добавя обяснение как обичайното използване на естествените числа като крайни „кардинални“числа (отговаря на въпроса: колко?) Може да бъде възстановено. Това става, като се използват първоначални сегменти от числовите серии като тали: за всеки набор можем да попитаме кой такъв сегмент, ако има такъв, може да бъде картографиран едно към едно, като по този начин се измери неговата „кардиналност“. (Наборът се оказва ограничен, в смисъла, дефиниран по-горе, ако и само ако съществува такъв начален сегмент от серията естествени числа.) Дедекинд закръгля есето си, като установява как няколко основни и преди това недоказани аритметични факти могат да да се докаже по такъв начин. Особено важно е чисто „логичното“му обосноваване на методите за доказване чрез математическа индукция и дефиниция чрез рекурсия (базирана на неговата теория за вериги).

Литература: Във Ferreirós (2005) Дедекинд (1888а) се сравнява с творчеството на Пеано. Вижте също Sinaceur (1974), Dugac (1976), Gillies (1982), Belna (1996), Tait (1997), Ferreirós (1999), Potter (2000), Awodey & Reck (2002), Reck (2003a, 2003b) и Sieg & Schlimm (2005).

2.3 Възходът на съвременната теория на множествата

Както бе посочено по-горе, теоретично настроените предположения и процедури вече информират Stetigkeit und neracionalne Zahlen на Dedekind. По-специално се приема, че системата от рационални числа е съставена от безкрайно множество; събирането на произволни съкращения на рационални числа също се третира като безкраен набор; и когато е снабдена с отношение на поръчка и аритметични операции върху нейните елементи, последната създава нова система с числа. Паралелни движения могат да бъдат намерени в скиците, от Nachlass на Дедекинд, за това как да се въведат целите числа и рационалните числа. Тук отново започваме с безкрайна система, тази на всички естествени числа; и теоретично се изграждат нови системи от числа (въпреки че в тези случаи пълният набор от мощност не е необходим). На последно място,Дедекинд използва същите видове техники и в другия си математически труд (при лечението си на модулна аритметика, също и при изграждането на идеали като безкрайни множества, както е разгледано по-долу и т.н.). Трябва да се подчертае, че прилагането на такива техники беше доста ново и смело по онова време. Докато няколко други математици, като Cantor, използваха подобни, много други, като Kronecker, ги отхвърлиха. В действителност, работейки сериозно с действителните безкрайности, Дедекинд зае позиция, несъвместима с тази на своя учител Гаус, който допускаше безкрайността само като „начин на говорене“(Ferreirós 1999, ch. 7, по-рано Edwards 1983). Трябва да се подчертае, че прилагането на такива техники беше доста ново и смело по онова време. Докато няколко други математици, като Cantor, използваха подобни, много други, като Kronecker, ги отхвърлиха. В действителност, работейки сериозно с действителните безкрайности, Дедекинд зае позиция, несъвместима с тази на своя учител Гаус, който допускаше безкрайността само като „начин на говорене“(Ferreirós 1999, ch. 7, по-рано Edwards 1983). Трябва да се подчертае, че прилагането на такива техники беше доста ново и смело по онова време. Докато няколко други математици, като Cantor, използваха подобни, много други, като Kronecker, ги отхвърлиха. В действителност, работейки сериозно с действителните безкрайности, Дедекинд зае позиция, несъвместима с тази на своя учител Гаус, който допускаше безкрайността само като „начин на говорене“(Ferreirós 1999, ch. 7, по-рано Edwards 1983).

Какво се случва в Was sind und was sollen die Zahlen? във връзка с логистичното третиране на естествените числа на Дедекинд е, че приемането на теоретично зададени методи е издигнато до ново ниво на яснота и яснота. Дедекинд представя не само теоретично зададени теоретични определения на по-нататъшни математически понятия - той добавя и систематично размисъл върху използваните по този начин средства (и той разширява тази употреба в определени отношения). Следователно това есе представлява важна стъпка в възхода на съвременната теория на множествата. Вече видяхме, че Дедекинд представя понятието набор, заедно с тези на обект и функция, като основополагащо за човешката мисъл. Тук един обект е всичко, за което се определя как да се разсъждава, включително да има определени критерии за идентичност (Tait 1997, Reck 2003a). Наборите са определен вид обекти,такива, за които разсъждаваме, като вземаме предвид техните елементи; и това е всичко, което има значение за комплектите. С други думи, множествата трябва да бъдат идентифицирани разширено, тъй като Дедекинд е един от първите, които подчертават. (Дори толкова важен принос за теорията на задачите, тъй като Бертран Ръсел се бори с тази точка и през ХХ век; вж. Рек 2003б.) Дедекинд също е сред първите, които разглеждат не само масиви от числа, но и множество други обекти.но и други обекти.но и други обекти.

Функциите трябва да се възприемат и разширено като начини за съпоставяне на елементите на множествата. Но за разлика от съвременната теория на множествата, Дедекинд не свежда функциите до множества. (Не без основание той използва способността да картографира едно нещо върху друго или да се представя едно от друго, за да бъде основен за човешката мисъл; вж. Дедекинд 1888а, предговор). Друг важен аспект на възгледите на Дедекинд относно функциите е, че по отношение на предвидения диапазон от функции той позволява произволни инжекционни корелации между множествата от числа, наистина между множествата обекти като цяло. (За постепенното развитие на неговите възгледи в тази връзка вижте Sieg & Schlimm 2005.) По този начин той отхвърля ограниченията на понятието функция до случаи, представени от познати формули, представими по интуиция (чрез техните графики) или разрешаващи се чрез официална процедура,С други думи, той работи с общо понятие за функция. В това отношение той възприема и разширява позицията на друг свой учител: Дирихлет (Stein 1988, Ferreirós 1999, ch. 7). Понятието на Дедекинд за множеството е общо в същия смисъл.

Такива общи понятия за набор и функция, съчетани с приемането на действителната безкрайност, която им дава хапка, скоро бяха атакувани от финитистично и конструктивно ориентирани математици като Kronecker. Дедекинд защити тази особеност на своя подход, като посочи неговата плодотворност (Дедекинд 1888а, първа бележка под линия, сравни Edwards 1983, Ferreirós 1999, ch. 7). Въпреки това той видя, че в крайна сметка друга особеност е проблемна: неговото имплицитно приемане на неограничен принцип на разбиране (друг смисъл, в който представата му за набор е неограничена). Вече засегнахме конкретен начин, по който това се появява в работата на Дедекинд. А именно: Sind und was sollen die Zahlen? разчита на въвеждането на „съвкупността от всички неща, които могат да бъдат обекти на моята мисъл“(неговия „универсален набор“); впоследствие,се вземат предвид произволни подмножества от тази съвкупност (използва се общ „Aussonderungsaxiom“); но тогава всяка колекция от обекти се счита за набор.

Както бе отбелязано, Дедекинд надхвърли разглеждането само на множества числа в своето есе за естествените числа. Това е значително разширяване на понятието набор или неговото приложение, но само по себе си не е проблем. По-притеснителен аспект е начинът, по който се въвежда всеобхватната цялост на Дедекинд, а именно чрез позоваване на „човешката мисъл“. Това води до въпроса дали са замесени неприемливи психологически характеристики (повече по тази тема по-късно). Най-проблемният аспект - и този, който Дедекинд прие доста сериозно - е трети: неговата теория на множествата е подчинена на теоретично настроените антиномии, включително антиномията на Ръсел. (Ако някоя колекция от обекти се счита за съвкупност, тогава и колекцията на Ръсел на всички множества, които не съдържат себе си; но това води бързо до противоречие.) Дедекинд изглежда е разбрал за общия проблем през 1890-те години от Кантор (който го информира, че събирането на всички порядъчни числа е „непоследователна съвкупност“, както и събирането на всички „мисловни предмети“). Откритието шокира Дедекинд. Той не само забави републикирането на Was sind und was sollen die Zahlen? заради него; в очакване на резолюция той дори изрази съмнения относно „дали човешкото мислене е напълно рационално“(Дедекинд 1930–32, том 3, стр. 449, Дедекинд 1996а, стр. 836).той дори изрази съмнения относно „дали човешкото мислене е напълно рационално“(Дедекинд 1930–32, том 3, стр. 449, Дедекинд 1996а, с. 836).той дори изрази съмнения относно „дали човешкото мислене е напълно рационално“(Дедекинд 1930–32, том 3, стр. 449, Дедекинд 1996а, с. 836).

Антиномията на Ръсел и свързаните с тях установяват, че първоначалната концепция на Дедекинд за набори е несъстоятелна. Това обаче не обезсилва другите му приноси към теорията на множествата. Анализът на Дедекинд за приемственост, използването на дедекиндските съкращения в характеристиката на реалните числа, определението за безкрайност на Дедекинд, формулирането на аксиомите Дедекинд-Пеано, доказателството за тяхната категоричност, анализът на естествените числа като краен порядъчен числа, съответната обосновка на математическата индукция и рекурсия и по-общо - настояването за разширение, общите понятия за набор и функция и приемането на действителната безкрайност - всички тези приноси могат да бъдат изолирани от теоретично настроените антиномии. Като такива, всички те са изградени централно в съвременната теория на аксиоматичните множества, теорията на моделите,рекурсионна теория и свързани части от логиката.

И имаше допълнителни приноси към теорията на множествата от Дедекинд. Те не фигурират в публикуваните му съчинения, а в кореспонденцията му. Особено важен тук е размяната му на писма с Cantor (Noether & Cavaillès 1937, Meschkowski & Nilson 1991) от 1872 г. нататък. Тези писма съдържат дискусия за съответните лечения на Кантор и Дедекинд на реалните числа; но повече от това те представляват съвместно изследване на понятията за множеството и безкрайността. Сред приносите, които Дедекинд прави в този контекст, са следните (вж. Ferreirós 1993 и 1999, гл. 7): Той впечатли Кантор с доказателство, че не само наборът от рационални числа, но и множеството от всички алгебрични числа е счетлив. Това доведе, поне отчасти, до по-нататъшното проучване на Кантор за безкрайните кардиналности и до неговото откриване, скоро след това,че множеството от всички реални числа не е счетливо. Дедекинд също така представи доказателство за теоремата на Кантор-Бернщайн (че между всеки два множества, които могат да бъдат вградени един в друг, съществува биекция, така че да имат еднаква кардиналност), друг основен резултат в съвременната теория на трансфинитни кардинали.

И накрая, при по-нататъшното развитие на теорията на множествата през ХХ век стана ясно, че няколко от първоначалните резултати и процедури на Дедекинд могат да бъдат обобщени по важни начини. Може би най-значително, Цермело успя да разшири анализа на Дедекинд за математическата индукция и рекурсия до висшата безкрайност, като по този начин разшири и установи по-твърдо теорията на Кантор за безкрайни ординали и кардинали. Поглеждайки назад към всички тези приноси, не е чудно, че Зермело, който познава съответната история, добре е преценил съвременната теория на множествата като „създадена от Cantor and Dedekind“(цитирана в Ferreirós 2007).

Литература: За богато проучване на възхода на съвременната теория на множествата вижте Ferreirós (1999), по-кратко, Ferreirós (2007). Сравнете Dugac (1976), Grattan-Guinness (1980), Edwards (1983), Ferreirós (1993), Ewald (1996b), Tait (1997) и Reck (2003a, 2003b).

3. Логицизъм и структурализъм

Досега приносът на Дедекинд в неговите открито основополагащи съчинения беше на фокус. Прегледахме неговите теоретично зададени теоретични сведения за естествените и реалните числа; скицирахме и неговата роля в възхода на съвременната теория на множествата. По пътя се появяват философски въпроси. Изглежда, че се изисква по-задълбочено размисъл върху тях, особено размисъл върху „логизма“и „структурализма“на Дедекинд.

Подобно на Фреге, другия важен логист през XIX век, „логиката“е по-обхващаща за Дедекинд, отколкото често се приема днес (като съдържа само логика от първи ред). И двамата мислители приемат представите за обект, набор и функция за основни за човешката мисъл и като такива да попадат в обхвата на логиката. Всеки от тях разработва версия на теорията на множествата (теория за „системи“, „разширения“или „класове“) като част от логиката. Също и за двете логиката, дори в този обхващащ смисъл, е независима от интуитивните съображения и по-специално от геометрията (разбира се като основана на интуицията). Това, което редуцира анализа и аритметиката на логиката, има за цел да установи, че и тези полета са независими от интуицията (Reck 2003a, Demopoulos & Clark 2005).

Мнението, че анализът и аритметиката не зависят от геометрията, тъй като попадат в сферата на чисто логическата мисъл, не беше съвсем ново по онова време - Гаус и Дирихлет вече поддържаха подобна гледна точка, както беше споменато по-горе. Първоначалните приноси на Дедекинд и Фреге се състоеха по-специално в подробни редукции на, от една страна, анализ до аритметика и, от друга страна, аритметика към логиката; освен това, те допълват тези редукции чрез или ги основават на систематични разработки на логиката. И тъй като творчеството на Дедекинд беше по-известно от това по времето на Фреге, може би поради по-голямата му репутация на математик, той беше разглеждан като основен представител на „логизма” от заинтересовани съвременници, като Чарлз Сандерс Пърс и Ернст Шрьодер (Ferreirós 1999, гл. 7).

Освен тези общи неща между версиите на логиката на Дедекинд и Фреге, двамата мислители се споразумяха и за един по-общ методологически принцип, заложен в следната забележка на Дедекинд: В науката и особено в математиката „нищо способно за доказване не трябва да се приема без доказателство”(Дедекинд 1888а, предговор). Този принцип трябва да се спазва не толкова, защото увеличава сигурността; по-скоро често става само чрез предоставяне на изрично, подробно доказателство за резултат, че предположенията, от които зависи, стават очевидни и по този начин се установява обхватът му на приложимост. И двамата бяха научили този урок от историята на математиката, особено от развитието на геометрията, алгебрата и смятането през XIX век (виж Ferreirós 1999, също Wilson 1992 и Tappenden 1995, 2006).

Отвъд мястото, където те са съгласни, е поучително да се разгледат и някои от разликите между Дедекинд и Фреге. Първо и, казано в съвременната терминология, основна разлика е, че докато основният принос на Фреге към логиката се отнася до синтактични, доказателствено-теоретични аспекти, Дедекинд е склонен да се съсредоточи върху семантичните, моделно-теоретичните аспекти. По този начин в Дедекинд не може да се намери нищо подобно на революционния анализ на дедуктивния извод на Фреге чрез неговия „Begriffsschrift“. От своя страна Дедекинд е много по-ясен и ясен от Фреге по въпроси като категоричност, пълнота, независимост и т.н., което го поставя в близост с „формалния аксиоматичен“подход, който се подкрепя по-късно от Хилберт и Бернайс (Reck 2003a, Sieg & Schlimm 2005).

В сравнение с Frege, Дедекинд също има много повече да каже за безкрайността (не само чрез формулиране на изричното му определение на тази представа, но и чрез проучване на възможността за различни безкрайни кардиналности с Кантор). И той показва по-голяма осведоменост за предизвикателството, поставено от кронекерианските изчислителни и конструктивистки стриктности към логизма. В допълнение, забележителните са разликите между съответното третиране на Фреге и Дедекинд от естествените и реалните числа. Както видяхме, Дедекинд възприема естествените числа предимно като порядъчни числа; той също ги идентифицира чисто „структурно“. Фреге прави приложението им като кардинални числа централно; и той настоява да се вгради това приложение в самата природа на естествените числа, като по този начин ги дарява с нерелационни, „присъщи” свойства (Reck 2003b). Случаят с реалните числа е подобен.

Освен Фреге, е поучително да се сравнява и подходът на Дедекинд с по-късните теоретично зададени теории. В последния раздел отбелязахме, че много от неговите иновации са вградени точно в съвременната теория на аксиоматичните множества. И все пак тук също се появяват няколко значителни разлики, ако се вгледаме по-отблизо. Като начало Дедекинд не започва с аксиома на безкрайността като основен принцип; вместо това той се опитва да докаже съществуването на безкрайни множества. Това може да се разглежда като друго приложение на методологичното правило за доказване на всичко, „способно да докаже“. (Аргументът на Дедекинд в тази връзка също е подобен на по-ранен аргумент в публикуваната труда на Бернард Болцано; виж Ferreirós 1999, ch. 7.) Но малцина зададени днес теоретици ще искат да възприемат този аспект на подхода на Дедекинд.

Втората подчертана разлика между теорията на Дедекинд и по-късната теория на множествата също вече се появи, но заслужава допълнителен коментар. Това е неговият апел към „сътворението“, а заедно с това и към „абстракцията“, в последната стъпка от неговото въвеждане както на естествените, така и на реалните числа („Дедекинд-абстракция“, както се нарича последното; вж. Tait 1997), За реалните числа стандартната процедура в настоящата теория на множествата е да се следва Dedekind до тази последна стъпка, но след това да се работи с Dedekind самите съкращения като „истинските числа“. Макар да е запознат с тази опция (Dedekind 1876b, 1888b), Dedekind ни казва да се „абстрахираме“от разрезите, доколкото те се състоят от сложни множества и да „създаваме“допълнителни математически обекти, определени от, но не идентични с тях. По същия начин,в случая на естествените числа е стандартно днес да се изгради определена проста безкрайност, обикновено набора от крайни ординари на фон Нойман и да се идентифицират естествените числа с тях (по този начин: 0 = ∅, 1 = {0}, 2 = {0, 1} и т.н.). Отново се избягва стъпката, включваща „абстракция“и „създаване“, отличаваща се от процедурата на Дедекинд.

В съвременните лечения понякога се добавя, че всяка друга теоретично построена система, която е изоморфна на системата от разрези на Дедекинд или съответно на системата от крайни фонд Нойман, също би била използваема за всички математически цели като „истинските числа“или „естествените числа“. Това означава, че съвременната теория на множествата, често имплицитно и без допълнително разработване, се допълва от “теоретично зададен структуралист” възглед за същността на математическите обекти (Reck & Price 2000). Макар и да не е свързан, получената философска позиция е различна от версията на структурализма на Дедекинд. (Нито позицията на Дедекинд съвпада с няколко други форми на структурализъм, изтъкнати в съвременната философия на математиката, като тези, защитавани от Джефри Хелман, Майкъл Резник,и Стюарт Шапиро; виж Reck 2003a.)

Защо повечето математици и философи не следват Дедекинд по-отблизо в това отношение? Тук изглежда, че следната трудност играе роля (сравнете Boolos 1990, между другото): Как точно трябва да се разбират представите му за „абстракция“и „творение“, ако изобщо могат да бъдат осмислени? Също така, защо той настоя на тяхната употреба на първо място, тъй като ние изглежда можем да се справим без тях? Частичен отговор на последния въпрос е следният: За Дедекинд реалните числа не трябва да се идентифицират със съответните съкращения, тъй като тези съкращения имат „грешни свойства“; а именно, като набори те съдържат елементи, нещо, което изглежда “чуждо” на самите реални числа. По същия начин естествените числа не трябва да се приписват теоретично зададени от множеството теоретични или други „чужди“свойства; те също трябва да се схващат за „чисто аритметично“(Dedekind 1876b, 1888b,сравнете Tait 1997 и Reck 2003a). Може ли да се каже нещо допълнително в тази връзка?

Според своите критици процедурата на Дедекинд често се тълкува така: Тъй като езикът му за „абстракция“и „творение“подсказва, той трябва да е привлекателен за психологическите процеси; и по този начин, получените образувания - „истинското число“и „естествените числа“, трябва да са психологически образувания (съществуващи в съзнанието на хората). Ако това е правилно, тогава позицията му представлява форма на психологизъм относно математиката, която е дълбоко проблематична, както са ни научили Фреге, Хусерл и други (сравнете Reck 2003a). Отчасти, за да се избегне подобно ужасяващо заключение, отчасти да се придаде повече философска дълбочина на Дедекинд, понякога в литературата може да се намери следният отговор: Докато Дедекинд не казва това изрично, неговият психологически звучащ език показва ангажираност към кантианските предположения, по-специално до Кантs трансцендентална психология (Kitcher 1986, McCarty 1995). След това отново не е ясно, че това се грижи за обвинението в психологизма (често насочен и срещу Кант); и оставя загадъчна точната форма на „абстракцията“и „творението“на Дедекинд.

Наскоро беше предложено друго предложение как да се изясни естеството на „абстракцията на Дедекинд“и в същото време да се избегне психологизмът. Вместо възприемането на такава абстракция да бъде по същество психологически процес, тя трябва да се разбира като логична процедура (Tait 1997, Reck 2003a). Обмислете отново случая на естествените числа, където Дедекинд е най-ясен по въпроса. Това, което ни предоставя от него, е следното: първо, езикът и логиката, които ще се използват, са определени, като по този начин се твърдят видовете твърдения и аргументи, които могат да бъдат направени относно естествените числа; второ, се изгражда определена проста безкрайност; трето, тази проста безкрайност се използва за определяне на стойностите на истината на всички аритметични изречения (като ги приравняваме със стойностите на истината на съответните изречения за дадената проста безкрайност); четвърто,това определяне е оправдано, като се покаже, че всички прости безкрайности са изоморфни (така че, ако изречението е за една от тях, то се отнася за всички).

Ядрото на току-що описаната процедура е следното: Нещо е вярно за естествените числа точно когато съответното твърдение е валидно за всички прости безкрайности (т.е. е семантично следствие от аксиомите Дедекинд-Пеано). Какви са тогава естествените числа? Те са онези математически обекти, чиито свойства се определят изцяло от всички аритметични истини (и само от тези - ние „абстрахираме“от всичко останало). Основната идея е тази: Всичко, което има значение за математическия обект, всъщност всичко, което е вградено в самата му идентичност и същност, е това, което определят съответните математически истини. Следователно, чрез уточняване на онези истини ние „създаваме“или по-добре идентифицираме математическите обекти. Получената позиция изглежда очевидно не е психологична; и може да се нарече „логически структурализъм“(Reck 2003a).

Тълкуван по този начин, подходът на Дедекинд е свързан с този на „американските теоретици на постулатите“: Е. Хънтингтън, О. Веблен и др.; отново има тясна връзка и ясно влияние върху официалната аксиоматика, разработена от Хилберт и Бернайс по-късно (Awodey & Reck 2002, Sieg & Schlimm 2005). За всички тези мислители важното и достатъчно за математиката е, че се установяват пълнотата и последователността на определени основни понятия или на съответните системи от аксиоми. В случая на Дедекинд пълнотата трябва да се разбира в семантичен смисъл като основана на категоричност; подобно, последователността трябва да се разбира семантично, като удовлетворяемост от система от обекти (Dedekind 1890, сравнете отново Reck 2003a, Sieg & Schlimm 2005).

Синтактичното изследване на тези понятия, особено на понятието последователност, станало основна част на хилбертианската „теория на доказването“, не присъства в работата на Дедекинд. Както вече беше отбелязано, доказателствената теоретична страна на логиката не се преследва много в работата му. Нито „финитизмът“е характерен за по-късната работа на Хилберт и Бернайс в Дедекинд (аспект, разработен в отговор както на теоретично настроените антиномии, така и на интуиционистките предизвикателства), особено ако е разбран в метафизичен смисъл. Такъв финитизъм може би е бил приемлив за Дедекинд като методологична позиция; но в други отношения позицията му е силно инфинитарна. В действителност, крайното се обяснява по отношение на безкрайността в неговата работа (понятието за окончателност чрез това за безкрайността, естествените числа от гледна точка на безкрайните множества).

Начините, по които позицията на Дедекинд е анализирана в този раздел, подчертава логическите въпроси (неговите основни логически понятия и процедури, сравнени както с Фреге, така и със съвременната теория на множествата) и метафизичните въпроси (дедекиндовска абстракция и създаване, структурен характер на математическите обекти). Съществува обаче друга страна на неговата позиция - друг смисъл, в който Дедекинд е логик и структуралист - който все още не е изведен на бял свят. Тази страна включва преди всичко методологически и гносеологични въпроси. Някои от тях вече са изиграли роля в нашите дискусии за открито основополагащите писания на Дедекинд; но за да хвърлим допълнителна светлина върху тях, трябва да се обърнем към другия му математически труд, като започнем с приноса му към теорията на алгебраичните числа.

Литература: Kitcher (1986), Boolos (1990), Wilson (1992), McCarty (1995), Tait (1997), Ferreirós (1999), Reck & Price (2000), Awodey & Reck (2002), Reck (2003a), Demopoulos & Clark (2005), Sieg & Schlimm (2005) и Tappenden (2005a, 2006).

4. Друга математическа работа

4.1 Теория на алгебраичните числа

Докато историците на математиката отдавна подчертават влиянието на приноса на Дедекинд в теорията на алгебраичните числа върху развитието на математиката на ХХ век, философското значение на тези приноси е започнало да се изследва наскоро (с някои ранни изключения: Dugac 1976, Sinaceur 1979, Едуардс 1980, 1983 и Щайн 1988). Тук трябва да започнем с преглед на два свързани аспекта: корените на теоретичните изследвания на Дедекинд в творбите на Гаус, Дирихлет и Ернст Едуард Кумер; и контраста между подхода на Дедекинд в тази област и този на Леополд Кронекер.

Отправната точка за всички споменати теоретици на числото е решението на различни алгебраични уравнения, особено тяхното решение по отношение на цели числа. Известен пример е последната теорема на Ферма, която се отнася до (не) разтворимостта на уравнението x n + y n = z nпо цели числа, за различни показатели n. Подходът към проблема, разработен от Гаус, изяснен и усъвършенстван от Дирихлет и изтласкан от Кумер, включва разглеждане на разширения на (полето) рационални числа, както и на (пръстен от) „цели числа“, съдържащи се в такива разширения. По този начин Гаус проучва „Гаусските цели числа“(a + bi, където a и b са правилни цели числа и i = √ − 1), в рамките на сложните числа; Кумер разглежда по-сложни „циклотомни цели числа“, в съответните полета за циклотомни числа (Edwards 1977, Stillwell 2000).

Това, което стана ясно по този начин, е, че в някои съответни разширения Фундаменталната теория за аритметиката - отстояване на уникалната факторизация на всички числа в силите на прайсове-провали. Ако беше налице такава факторизация, решенията на важни проблеми щяха да бъдат в обсега, включително последната теорема на Фермат. Тогава стана въпросът дали може да се намери подходяща алтернатива на фундаменталната теорема. Отговорът на Кумер, получен при внимателно проучване на конкретни случаи, беше да се въведат „идеални числа“, по отношение на които може да бъде възстановена уникална факторизация. Въпреки че този ход доведе до поразителен напредък, точният характер на тези нови математически обекти беше оставен неясен от него, както и точната основа за въвеждането им и обхвата на приложимост на техниката.

Дедекинд и Кронекер добре знаеха съответните произведения, особено тези на Кумер; и двамата се опитаха да усъвършенстват и разширят последното. Стратегията на Кронекер беше да проучи конкретно и използвайки изчислителни аспекти някои видове разширения на рационалните числа или на целите числа, съдържащи се в тях. Най-важното за него беше да продължи финистично и конструктивно, като по този начин самосъзнателно ограничава. Това доведе до неговата „теория на разделителите“, разширение на „теорията на формите“на Гаус и Кумер (Edwards 1980, 1990). За разлика от тях Дедекинд подходи към въпроса по по-обхващащ, абстрактен и неконструктивен начин. Той разглежда алгебраичните числови полета като цяло, като по този начин въвежда математическото понятие за "поле" за първи път (Edwards 1983, Haubrich 1992, Stillwell 1996, 2000).

Дедекинд също замени "идеалните числа" на Кумер с неговите "идеали" - чрез теоретично конструирани обекти, предназначени да играят същата роля по отношение на уникалната факторизация. Дедекиндианските идеали са безкрайни подмножества от въпросните числови полета или от пръстена от цели числа, съдържащи се в тях, като по този начин придава на подхода си отново инфинитарен характер. (Идеалният Аз в пръстен R е подмножество, така че сумата и разликата на всеки два елемента от I и произведението на всеки елемент от I с който и да е елемент на R са отново в I.) Това го доведе до въвеждането на други ползотворни представи като например „модул“. Специален проблем, с който Дедекинд се бори от доста време, по отношение на намирането на общо и напълно задоволително решение, беше да намери подходяща версия не само на понятието „цяло число“, но и на „просто число“(Ferreirós 1999, ч. 3,Авигад 2006).

Както теорията на делителя на Кронекер, така и теорията на идеалите на Дедекинд дадоха незабавни резултати в свои ръце. Всеки от тях също имаше силно влияние върху по-късните разработки - тези на Дедекинд, като оформят подходите към съвременната алгебра (теория на полето, теория на пръстените, теория на групите и др.) На Хилберт, Еми Нотер, БЛ ван дер Ваерден, Николас Бурбаки и други (Alten et al. 2003, Corry 2004, McLarty 2006); Кронекер, като отчасти влияе и върху работата на Хилберт и като се възроди по-късно, наред с други, в работата на Александър Гротендик (теория на класовите полета, алгебраична геометрия и др.) (Edwards 1990, Reed 1995, Corfield 2003). Освен това, контрастът между техните подходи дава ясен пример - исторически първият важен пример - противопоставянето между „класическата“и „конструктивистката“концепции на математиката, т.е.както дойдоха да бъдат наричани.

Не рядко това противопоставяне се обсъжда по отношение на това кой подход е „правилният“, с последицата, че само един, но не и другият е легитимен. (До известна степен това започна със самите Дедекинд и Кронекер. Вече отбелязахме, че Дедекинд изрично отхвърли конструктивистките стриктности в работата си, въпреки че не изключи съответните проекти като нелегитимни сами по себе си. Кронекер със силното си противопоставяне на използването на set- теоретични и инфинитарни техники, отидоха по-нататък в другата посока.) Но друг въпрос е по-основен и първо трябва да се зададе: Може ли контрастът между двата подхода към теорията на алгебраичните числа или към математиката като цяло да бъде уловен по-рязко; и по-специално какво е нейното гносеологично значение?

Първоначален и груб отговор на този последен въпрос се съдържа в нашата дискусия досега: подходът на Дедекинд е теоретично зададен и инфинитарен, докато Кронекер е конструктивистки и финалистичен. Това обаче ни оставя още един по-дълбок проблем: какво точно представлява теоретично зададената и инфинитарна методология, която позволява на човек да постигне това, което Кронекер няма; и обратно ? Специфичната сила на кронекерианския подход често се обобщава по следния начин: той ни предоставя изчислителна, алгоритмична информация (Edwards 1980, 1990). Но каква е характерната добродетел на дедекиндианския подход? Тук отговорът е по-труден, особено този, който наистина е удовлетворяващ.

Това, което има тенденция да се препречи в тази връзка, е, че теоретико-множествената теория и инфинитарна методология, която подкрепяше Дедекинд, беше толкова успешна и оформи математиката на ХХ век толкова много, че е трудно да се достигне необходимото аналитично разстояние. Тогава често всички можем да открием плохости: че е „обща“и „абстрактна“; или човек е заседнал с отрицателни характеристики: че не може да бъде финистично и конструктивно приемлив. Отвъд това има предположението, че подходът на Дедекинд е „структуралистичен“. Но тъй като този термин сега се използва за характеризиране на методология, а не на метафизична позиция, човек се чуди какво точно предполага. Преди да се опитаме да разработим, нека накратко да разгледаме някои от другите математически произведения на Дедекинд, тъй като това ще направи някои решаващи характеристики да се открояват повече.

Литература: Едуардс (1977, 1980, 1983, 1990), Dieudonné (1985), Sinaceur (1979), Stein (1988), Haubrich (1992), Reed (1995), Stillwell (1996, 2000), Ferreirós (1999), Alten et al. (2003), Corfield (2003), Corry (2004), Avigad (2006) и McLarty (2006).

4.2 Функции, групи, решетки

Три допълнителни области, в които Дедекинд е приложил своя теоретично зададен теоретичен, инфинитарен и структуралистичен подход, предполагат в този контекст: теорията на алгебраичните функции, теорията на групите и решетъчната теория.

Дедекинд разбра рано, че няколко от понятията и техниките, които беше въвел в теорията на алгебраичните числа, могат да бъдат прехвърлени и ползотворно приложени в изучаването на алгебраични функции (полета на алгебраични функции, в по-късна терминология). Тази реализация се реализира в „Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen“, дълга, съществена статия, написана съвместно с Хайнрих Вебер и публикувана през 1882 г. Подходът, приет в нея, доведе до по-добро разбиране на римановите повърхности и особено до чисто алгебрично доказателство за знаменитата теорема на Риман-Рош (Geyer 1981, Kolmogorov & Yushkevich 2001, ch. 2). Тъй като това бяха въпроси от широк интерес сред математиците, успехът на подхода на Дедекинд му даде значителна легитимност и публичност (виж Edwards 1983, Dieudonné 1985).

Второ, подходът на Дедекинд към теорията на алгебраичните числа също би могъл да бъде свързан по естествен начин с революционния групово-теоретичен подход на Еваристе Галуа към алгебрата. Всъщност ранното и систематично проучване на Дедекинд на теорията на Галуа - той беше първият, който изнася лекции по него в германски университет, още по времето, когато е бил Privatdozent в Гьотинген, води до трансформация на самата тази теория. В неговите ръце той се превърна от изучаването на замествания във формули и на функции, инвариантни при такива замествания, в изследването на разширенията на полето и съответните автоматизми (Stein 1988, по-рано Mehrtens 1979b). Нещо повече, Дедекинд въвежда допълнителни приложения на теорията на Галуа, например, при изучаването на модулни уравнения и функции (Gray 2000, ch. 4, Alten et al. 2003, ch. 8).

Като трето завъртане, теоретичните проучвания на Дедекинд доведоха до въвеждането на понятието „решетка“(под името „Dualgruppe“), първоначално неявно, а после изрично. Dedekind изучава това понятие по-нататък, като тема сама по себе си, в две сравнително късни статии: „Über Zerlegungen von Zahlen durch ihre größten gemeinsamen Teiler“(1897) и „Über die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe“(1900). И макар тези статии да нямат същото непосредствено и силно въздействие, което имаше няколко от другите му произведения, впоследствие те бяха признати за оригинални, систематични приноси към теорията на решетките, особено към изследването на модулните решетки (Mehrtens 1979a, ch. 2, Alten съч., 2003, гл. 10).

Нито едно от тези математически произведения на Дедекинд не може да бъде разгледано с подробности тук (и много други трябва да бъдат игнорирани напълно); но едно общо наблюдение за тях е особено уместно. Макар че отново илюстрират теоретично зададена теория и инфинитарна перспектива, те показват и следните свързани характеристики: фокусирането върху цели системи от обекти и върху общите закони по такъв начин, че резултатите могат да се прехвърлят от един случай в друг; отдалечаване от определени формули или от определени символични представи и към по-общи характеристики на основните системи на обекти, по-специално по отношение на релационни и функционални свойства; по-конкретно, разглеждането на хомоморфизмите, автоморфизмите, изоморфизмите и характеристиките, инвариантни при такива карти; и по-съществено, разследването на роман,абстрактни понятия, въведени във връзка с конкретни случаи, но след това изучени в себе си.

Всъщност тези характеристики са характерни за творбите на Дедекинд като цяло, включително за неговите изследвания в теорията на алгебраичните числа, от една страна, и неговите основополагащи изследвания, от друга. Именно като ги вземе предвид, че призоваването на неговата методология, не само „обща“и „абстрактна“, но „структуралистична“започва да придобива допълнително съдържание. Освен това става ясно по какъв начин подходът на Дедекинд изигра решаваща роля за появата на „съвременната“математика. Поглеждайки назад към съответната история на алгебрата, БЛ ван дер Уерден, който е основен принос в тази област, стигна до заключението: „Еваристе Галуа и Ричард Дедекинд са дали на структурата на съвременната алгебра; оттам идва и скелетът му за тежест”(Dedekind 1964, предговор, цитиран също в Mehrtens 1979b).

Литература: Mehrtens (1979a, 1979b), Sinaceur (1979, 1990), Geyer (1981), Scharlau (1981b), Edwards (1983), Dieudonné (1985), Stein (1988), Haubrich (1992), Grey (2000), Kolmogorov & Yushkevich (2001), Alten et al. (2003) и Кори (2004).

5. Методология и гносеология

В по-ранните раздели разглеждахме откровено основополагащите писания на Дедекинд. Това доведе до обсъждане на логистичните и метафизичните структуралистки позиции, които се очертават в тях. В последните няколко раздела фокусът се насочи към другите му математически съчинения и по-специално към методологическия структурализъм, който въплъщават. Най-накрая сме в състояние да предоставим по-систематично разработване на последното (въпреки че ще остане много да се каже). Освен самото извикване на подхода на Дедекинд, теоретичен, инфинитарен и неконструктивен, структуралистическата методология, която го информира, вече може да бъде анализирана като съставена от три основни части.

Първата част е тясно обвързана с използването на Dedekind на теоретично зададени инструменти и техники. Той често ги използва при конструирането на нови математически обекти (естествените и реални числа, идеали и т.н.) или цели класове такива обекти (различни полета с алгебрични числа, модули, пръстени, решетки и др.). Но по-характерен за неговия подход, както в основополагащия, така и в други контексти, е свързан аспект. Не само безкрайните множества, използвани от Дедекинд; освен това са надарени с общи, структурни характеристики (отношения на ред, аритметични и други операции и др.); и получените системи след това се изучават по отношение на свойства на по-високо ниво (приемственост за системата с реални числа, уникална факторизация в алгебраични полета с числа и т.н.).

Още веднъж философски значимо е не само това, че тази процедура е инфинитарна (приемане на действителни безкрайности) и неконструктивна (добавените функции не трябва да се основават на алгоритми). В допълнение, цяло разнообразие от релационни системи, включително много нови, могат да бъдат изследвани по тези линии като структурирани цели; и това носи със себе си значително разширение на предмета на математиката. Следователно Дедекинд ни отвежда далеч от онова, което е дадено емпирично или интуитивно (конкретни числа от неща, геометрични величини и др.) - математиката се превръща в изучаването на релационните системи много по-общо (на базата на нова „логика на отношенията“, както ще бъде Рассел по-късно го сложете).

Втората основна част от методологията на Дедекинд се състои в постоянен (и от ранно вж. Виж Дедекинд 1854 г.) опит за идентифициране и изясняване на основни понятия (приемственост, безкрайност, естествено число, реално число, обобщени понятия за цяло число, първо число, новите концепции на идеал, модул, решетка и др.). Тук за него е важно да намери „правилните определения“; и това включва не само основна адекватност, но и дезидерата като плодотворност, обща, простота и „чистота“, т.е. премахване на аспекти, „чужди“на конкретния случай. (Определението за просто число трябва да бъде на точното ниво на общ характер, геометричните понятия са чужди на естествените и реалните числа и др.; сравнете Reck 2003a, Avigad 2006.)

Третата основна част от подхода на Дедекинд свързва и допълва първите две. Той не само изучава системи от обекти или цели класове от такива системи; и не само той се опитва да идентифицира основни понятия; Дедекинд също е склонен да прави и двете, често съвместно, като разглежда карти на изследваните системи, по-специално запазващи структурата карти (хомоморфизми и т.н.) и какво е инвариантно под тях. Това означава, наред с другото, че онова, което е решаващо за математическия феномен, може да не лежи на повърхността (конкретни характеристики на примери, конкретни символи и т.н.), а да отиде по-дълбоко. И докато по-дълбоките характеристики често са заснети теоретично от множеството (съкращения на Дедекинд, коефициенти и т.н.), това в крайна сметка отвъд теорията на множествата насочва към теорията на категориите (Corry 2004, McLarty 2006).

Тези три части или подходът на Дедекинд като цяло може да не изглежда изключителен за съвременния математик; но това е само свидетелство за това доколко съвременната математика е била оформена от нея. Подходът със сигурност беше разглеждан като роман, дори революционен по онова време. Вече бяха споменати някои негативни реакции от страна на финитистки и конструктивистки мислители. Степента, в която подходът на Дедекинд се отклонява от общоприетото тогава, става по-ясно, ако си спомним две традиционни предположения: математиката е науката за числото и величината; и че по същество има общо с изчисляването и алгоритмичните разсъждения. В сравнение с подобни предположения подходът на Дедекинд към математиката включва радикална трансформация и освобождение (Stein 1988, Tait 1997).

Друг начин да разкриете радикалния характер на дедекиндското дело е като се върнете към лечението на безкрайността. Това лечение започва с приемането на това, което отдавна се разглежда като парадоксално свойство (да бъде равносилно с подходящ подмножество) като определяща характеристика (на безкрайните множества). След това Дедекинд добавя анализ на крайното от гледна точка на безкрайността, отново доста смела идея. За да бъдат приети концептуални иновации като тези, те не само трябваше да отворят нови области на математиката, но и да доведат до напредък в традиционните сфери (както направиха: изясняване на приемствеността, на математическата индукция, в резултат на теорията на алгебраичните числа, в теорията на алгебраичните функции и др.).

Докато Дедекинд беше голям новатор, той, разбира се, не беше сам в придвижването на големи части от математиката в теоретично зададена, инфинитарна и структуралистическа посока. Имаше цяла група математици, които популяризираха по-концептуален подход към него по това време, включително няколко негови учители в Гьотинген. В рамките на тази група Дирихлет понякога се разглежда като лидер или „поет на поета“, включително като оказва голямо влияние върху Дедекинд (Stein 1988). Тъй като по-късно Херман Минковски, друга основна фигура в тази традиция, каза (в размисъл за значението на Дирихлет по случай 100-ия му рожден ден), той впечатли другите математици „да завладеят проблемите с минимално количество сляпо изчисление, максимум на ясно виждаща мисъл”(цитирано в Stein 1988).

Риман беше друга централна фигура в тази връзка. Той също оказа силно влияние върху Дедекинд, особено по два начина: първо, като подчерта, при развитието си на теория на сложните функции, важността на използването на прости, характерни и "вътрешни" понятия, за разлика от "външните" свойства, свързани с да речем, конкретни символи (Mehrtens 1979b, Laugwitz 1999, Tappenden 2005a); и второ, чрез изследване на нови „концептуални възможности“, включително систематичното проучване на римановите геометрии (Stein 1988). Друг пример за такова концептуално проучване, познат също на Дедекинд, е изследването на трансфинитните порядъчни и кардинални числа от неговия кореспондент Кантор (Ferreirós 1999, chs. 2 и 6).

Може ли значението на методологията на Дедекинд да се анализира допълнително или да се изрази по друг начин? Един от начините за това е чрез изтъкване на методологичните ценности, въплътени в него: систематичност, обща, чистота и т.н. (Avigad 2006). Друго е съсредоточаването върху вида на разсъжденията: „концептуални“или „структурни“разсъждения (Stein 1988, Ferreirós 1999) или в терминологията, често свързана с Хилберт, „аксиоматично“разсъждение (Sieg & Schlimm 2005). Човек може дори да иска да говори за роман „стил на разсъждение“в тази връзка, където „стилът“трябва да се приема предимно в гносеологичен смисъл, а не в психологически или социологически смисъл; и този нов стил може да се каже, че носи със себе си не просто нови теореми и доказателства, а отличителен вид „разбиране“на математическите факти (Reck предстоящи, сравнете Tappenden 2005b).

Подобни опити да се хвърли светлина върху пълната значимост на подхода на Дедекинд са първоначални набези и очевидно се нуждаят от допълнително разработване. Едно наблюдение обаче може да се добави веднага. Методологическият и гносеологическият структурализъм, който оформя много от математическите произведения на Дедекинд, не е независим от логическите и метафизичните възгледи, възникнали в неговите основополагащи съчинения. Ако човек възприеме своята методологическа позиция, по-специално, едва ли е възможно да се задържи на тясно формалистични, емпирични и интуиционистки възгледи за математиката. Структуристката епистемология, по линия на Дедекиндиан, призовава за структуралистка метафизика; наистина това са две страни на една и съща монета (Reck 2003, предстоящи). Изглежда Дедекинд ясно е осъзнал този факт, дори и никога да не е казал това изрично.

Литература: Mehrtens (1979b), Grey (1986), Stein (1988), Laugwitz (1999), Ferreirós (1999), Stillwell (1996, 2000), Sieg & Schlimm (2005), Tappenden (2005a, 2005b), Avigad (2006), McLarty (2006) и Reck (2003a, предстоящи).

6. Заключителни бележки

Започнахме, като разгледахме приноса на Дедекинд за основите на математиката в неговите пределно основополагащи съчинения, особено Stetigkeit und neracionalne Zahlen и Was sind und was sollen die Zahlen? След това добавихме скица и предварителен анализ на методологическите иновации в неговите по-масови математически съчинения, от работата в теорията на алгебраичните числа до други области. Отбелязахме също, че логическата и метафизична позиция, която човек може да намери в основополагащата си работа, е тясно свързана с неговата методологическа и епистемологична перспектива. В този и други сетива всеки опит да се разграничи рязко между неговите „основополагащи“и „математически“писания е погрешно направен - Дедекинд прави основополагащи приноси през цялата си работа. Неговият случай предвижда, следователно,добър аргумент и илюстрация за по-общ урок, а именно: Всяко строго разграничение между „основополагащи“или „философски“въпроси за математиката, от една страна, и „вътрешно-математическите“въпроси, от друга, е проблематично в край, особено ако човек не иска да обеднее и на двете страни.

Ако погледнем приноса на Дедекинд от такава перспектива, общият сбор наистина изглежда впечатляващ. Той беше не само един от най-великите математици на XIX век, но и един от най-фините и проницателни философи на математиката. Със своите структуралистични възгледи за същността на математическите същества и за начина, по който да ги изследва, той (заедно с Дирихлет, Риман и Кантор) беше далеч по-напред от времето си. Може би той дори изпреварваше много съвременна математическа философия, особено по отношение на чувствителността му към двете страни. Това не означава, че позицията му е без проблеми. Самият Дедекинд беше силно разтревожен от теоретично настроените антиноми; и ХХ век създадоха допълнителни изненади, като теоремите за непълнота на Гьодел,които са по-трудни за настаняване по-общо. В допълнение, методологията на математиката се развива по-нататък от неговото време, включително опити за съгласуване и интегриране на "концептуално" и "изчислително" мислене. След това отново, налице ли е философска позиция днес, която адресира всички важни проблеми и отговаря на всички съответни въпроси? Ако не, актуализирането на дедекиндианска позиция може да бъде полезен проект.

библиография

Основна литература (немски издания и английски преводи)

Изброените в този раздел произведения са на Ричард Дедекинд, освен ако не е посочено друго.

1854 „Über die Einführung neuer Funktionen in der Mathematik; Habilitationsvortrag "; в Дедекинд (1930–32), кн. 3, с. 428–438.
1857 „Abriß einer Theorie der höheren Kongruenzen in bezug auf einen reellen Primzahl-Modulus“; преиздаден в Дедекинд (1930–32), кн. 1, с. 40–67.
1872 Stetigkeit und neracionalis Zahlen, Vieweg: Braunschweig (първоначално публикуван като отделна книжка); преиздаден в Дедекинд (1930–32), кн. 3, с. 315–334 и в Дедекинд (1965), с. 1–22; Английски превод, Дедекинд (1901b).
1876a „Бернхард Риманс Лебенслауф“, в Риман (1876), стр. 539–558.
1876b „Briefe an Lipschitz (1–2)“, в Дедекинд (1930–32), кн. 3, с. 468–479.
1876 Riemann, Bernard, Gesammelte Mathematische Werke und Wissenschaftlicher Nachlass, H. Weber, изд., Със съдействието на R. Dedekind; второ издание (преработено) 1892 г., с добавка добавена през 1902 г.; препечатано от Dover: New York, 1953.
1877 Sur la Théorie des Nombres Entiers Algébrique, Gauthier-Villars: Париж; преиздаден в Дедекинд (1930–32), кн. 3, с. 262–296; Английски транс. Дедекинд (1996b).
1882 „Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen“, с Х. Вебер; преиздаден в Дедекинд (1930–32), кн. 1, с. 238–350.
1888a Дали sind und waslenlen die Zahlen?, Vieweg: Braunschweig (първоначално публикуван като отделна книжка); преиздаден в Дедекинд (1930–32), кн. 3, с. 335–91 и в Дедекинд (1965), стр. III – XI и 1–47; Английски превод, (Дедекинд 1901в) и (преработен) Дедекинд (1995).
1888b „Brief a Weber“, в Дедекинд (1930–32), кн. 3, с. 488–490.
1890 „Писмо до Кеферщайн“, в Van Heijenoort (1967), стр. 98–103.
1893 Lejeune-Dirichlet, PG, Vorlesungen über Zahlentheorie, четвърто издание, редактирано и с добавки от R. Dedekind; Vieweg: Брауншвайг; препечатано от Челси: Ню Йорк, 1968.
1897 „Über Zerlegungen von Zahlen durch ihre größten gemeinsamen Teiler“; преиздаден в Дедекинд (1930–32), кн. 2, с. 103–147.
1900 „Über die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe“; преиздаден в Дедекинд (1930–32), кн. II, с. 236–271.
1901a Есета по теорията на числата, WW Beman, изд. и превод., издателска компания "Отворен съд": Чикаго, 1901 г.; препечатано от Dover: New York, 1963; Английска версия на Дедекинд (1965); есета, включени също в Ewald (1996a), стр. 756–779 и 787–833, и в Хокинг (2005a), стр. 901–964.
1901b „Непрекъснатост и ирационални числа“, в (Дедекинд 1901а), стр. 1–27; Английски транс. на Дедекинд (1872).
1901c „Природата и значението на числата“, в (Дедекинд 1901а), стр. 29–115; Английски транс. на Дедекинд (1888а).
1930-32 Gesammelte Mathematische Werke, Vols. 1–3, R. Fricke, E. Noether & Ö. Руда, изд., Vieweg: Брауншвайг; препечатано (с изключение на отделно публикувания Dedekind 1964) от издателската компания Chelsea: New York, 1969.
1937 Noether, E. & Cavaillès, J., eds., Briefwechsel Cantor-Dedekind, Hermann, Париж.
1964 Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen. Nachdruck des elften Добавки (от Lejeune-Dirichlet 1893), с предговор от BL van der Waerden, Vieweg: Braunschweig.
1965 Беше ли sind und waslenlen die Zahlen? / Stetigkeit und iracionalle Zahlen. Studienausgabe, G. Asser, ed., Vieweg: Braunschweig; по-късна немска версия на Дедекинд (1901а).
1981 „Алгебра Eine Vorlesung über”, в Шарлау (1981a), стр. 59–100.
1982 „Unveröffentlichte algebraische Arbeiten Richard Dedekinds aus seiner Göttinger Zeit, 1855–1858 г.“, Архив за история на точните науки 27: 4, 335–367.
1985 Vorlesungen über Diffential- und Integralrechnung 1861/62 въз основа на бележки на H. Bechtold, M.-A. Knus & W. Scharlau, eds., Vieweg: Braunschweig.
1986 Липшиц, Рудолф, Briefwechsel mit Cantor, Dedekind, Helmholtz, Kronecker, Weierstrass und anderen, W. Scharlau, ed., Vieweg: Braunschweig.
1991 Meschkowski, H. & Nilson, W., eds., Georg Cantor. Briefe, Springer: Берлин; особено „Die Periode des Briefwechsels mit Dedekind - die Entstehung der Mengenlehre“, стр. 29–66.
1995 Какви са числата и какви трябва да бъдат? H. Pogorzelski, W. Ryan & W. Snyder, eds. и транс., Научноизследователски институт по математика: Orono, ME; преработен английски транс. на Дедекинд (1888).
1996a „Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831–1916)“, в Ewald (1996a), Vol. 2, с. 753–837; Английски транс. на различни текстове от Дедекинд.
1996b Теория на алгебраичните интегри, Дж. Стилъл, изд. и транс., Cambridge University Press; Английски транс. на Дедекинд (1877).
1999 Dirichlet, PGL, Лекции по теория на числата, с добавки от Richard Dedekind, J. Stillwell, изд. и транс., Американско математическо дружество: Провиденс; Английски транс. на Lejeune-Dirichlet (1893).

Вторична литература (на английски, френски и немски език)

  • Alten, H.-W., et al., Eds. (2003): 4000 Алхебра Jahre: Geschichte, Kulturen, Menschen, Springer: Berlin; особено глава 9, „Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert“, от K.-H. Schlote et al., Стр. 475–550.
  • Avigad, Jeremy (2006): „Методология и метафизика в развитието на теорията на идеалите на Дедекинд“, в „Архитектура на съвременната математика“, J. Ferreirós & J. Grey, ред., Oxford University Press, стр. 159–186.
  • Awodey, S. & Reck, E. (2002): „Категоричност и пълнота, част I: Аксиоматика от деветнадесети век към металогията на ХХ век“, История и философия на логиката 23, 1–30.
  • Bell, ET (1937): мъже на математиката; препечатано от Simon & Schuster: New York, 1965; особено глава 27, „Аритметика втора: Кумер (1810–1893), Дедекинд (1831–1916)“, стр. 510–525.
  • Belna, Jean-Pierre (1996): La Notion de nombre chez Дедекинд, Кантор, Фреге: Теории, концепции и др. Философия, Врин: Париж.
  • Biermann, Kurt R. (1971): „Дедекинд“, в Речник на научната биография, кн. 4, CC Gillespie, ed., Стр. 1–5.
  • Boolos, George (1990): „Стандартът за равенство на числата“, в смисъла и метода: есета в чест на Хилари Путнам, G. Boolos, изд., Стр. 261–277; препечатано в „Логика, логика и логика“, Харвардския университет прес, 1998, с. 202–219.
  • Boyer, C. & Merzbach, U. (1991): История на математиката, второ издание (преработено), Wiley & Sons: New York; особено глава 25, „Анализ“, стр. 553–574, и глава 26, „Алгебра“, стр. 575–598.
  • Кук, Роджър (2005): „Ричард Дедекинд, Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872)“, глава 43 от забележителни писания в западната математика, 1640–1940, I. Grattan-Guinness, ed., Elsevier, стр. 553–563.
  • Corfield, David (2003): Към философия на реалната математика, Cambridge University Press; особено глава 8, „Отвъд методологията на програмите за математически изследвания“, стр. 175–203.
  • Corry, Leo (2004): Модерна алгебра и възходът на математическите структури, второ издание (преработено), Birkhäuser: Boston; особено глава 2: „Ричард Дедекинд: Числа и идеали“, стр. 66–136.
  • Demopoulos, W. & Clark, P. (2005): „Логиката на Фреге, Дедекинд и Ръсел“, в Оксфордския наръчник по философия на математиката и логиката, С. Шапиро, изд., Oxford University Press, стр. 166 -202.
  • Dieudonné, Jean, изд. (1985): Geschichte der Mathematik 1700–1900, Deutscher Verlag der Wissenschaften: Берлин, 1985; особено глава 5, „Zahlentheorie“, от W. & F. Ellison, стр. 171–358, и глава 6, „Анализ на Grundlagen der“, от P. Dugac, стр. 359–421; първоначално публикуван на френски, 1978г.
  • Dugac, Pierre (1976): Ричард Дедекинд и лесните любими на математиката, Врин: Париж; със селекции от Nachlass на Дедекинд.
  • Едуардс, Харолд М. (1977): Последната теорема на Фермат. Генетично въведение в теорията на алгебраичните числа, Спрингер: Ню Йорк.
  • ––– (1980): „Генезисът на идеалната теория“, Архив за история на точните науки 23, 321–378.
  • ––– (1983): „Изобретението на идеалите на Дедекинд“, Бюлетин на Лондонското математическо общество 15, 8–17.
  • ––– (1990): Теория на делителя, Birkhäuser: Бостън.
  • Евалд, Уилям Б., изд. (1996а): От Кант до Хилберт. Източник в основите на математиката, Vols. 1–2, Oxford University Press.
  • ––– (1996b): Въведение на редактора към „Дедекинд“(1996а), стр. 753–754.
  • Ferreirós, José (1993): „За връзката между Георг Кантор и Ричард Дедекинд“, Historia Mathematica 20, 343–363.
  • ––– (1999): „Лабиринт на мисълта: история на теорията на множествата и нейната роля в съвременната математика“, Биркхаузер: Бостън; по-специално: Глава 3, „Дедекинд и теоретично настроен подход към алгебра“, стр. 81–116; Глава 4, „Системата за реални числа“, стр. 117–144; и глава 7, „Набори и карти като основа за математика“, стр. 215–255; второ издание (с добавен постскрипт), 2007 г.
  • ––– (2005): „Ричард Дедекинд (1888) и Джузепе Пеано (1889), Брошури за основите на аритметиката“, глава 47 от Забележителните писания в западната математика, 1640–1940, I. Grattan-Guinness, ed., Елзевиер, стр. 613–626.
  • ––– (2007): „Ранното развитие на теорията на множествата“, Енциклопедия на философията на Станфорд (Лято 2007, издание), Едуард Н. Залта (съст.), URL =.
  • Gardies, Jean-Louis (1984): “Eudoxe et Dedekind”, Revue d'histoire des Sciences 37, 111–125.
  • Geyer, Wulf-Dieter (1981): „Die Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen nach Dedekind und Weber“, в Шарлау (1981a), стр. 109–133.
  • Gillies, DA (1982): Frege, Dedekind и Peano на основите на аритметиката, Van Gorcum: Assen.
  • Grattan-Guinness, Ivo, изд. (1980): От изчислението до теорията на заданията 1630–1910. Уводна история, Princeton University Press; особено глава 6, „Развитие в основите на математиката, 1870-1920 г.“, от R. Bunn, стр. 220–255.
  • Грей, Джеръми (1986): „Революцията през деветнадесети век в математическата онтология“, в „Революции в математиката“, D. Gillies, ed., Oxford University Press; второ издание, 1992, с. 226–248.
  • ––– (2000): Линейни диференциални уравнения и теория на групата, от Риман до Поанкаре, второ издание, Birkhäuser: Boston; особено глава IV, „Модулни уравнения“, стр. 101–140.
  • Haubrich, Ralf (1992): Zur Entstehung der algebraischen Zahlentheorie Richard Dedekinds, Ph. D. дисертация, Университет в Гьотинген.
  • Хокинг, Стивън, изд. (2005a): Бог създаде целите числа. Математическите пробиви, които промениха историята, Running Press: London.
  • ––– (2005b): Въведение на редактора към „Ричард Юлий Вилхелм Дедекинд (1831–1916). Неговият живот и работа”, в Хокинг (2005a), стр. 901–905.
  • Jahnke, Hans Niels, изд. (2003): История на анализа, Американско математическо общество; по-специално: Глава 1, „Античност“, от R. Thiele, стр. 1–40, и глава 10, „Краят на науката за количеството: основи на анализа, 1860–1910 г.“, от J. Lützen, стр. 291 -324; първоначално публикуван на немски, 1999г.
  • Jourdain, PEB (1916): „Ричард Дедекинд (1833-1916)“, The Monist 26, 415–427; препечатано в Modern Logic 3, 1993, 207–214.
  • Китчър, Филип (1986): „Frege, Dedekind and the Philosophy of Mathematics“, в Frege Synthesized, L. Haaparanta & J. Hintikka, eds., Reidel: Dordrecht, стр. 299–343.
  • Колмогоров, АН и Юшкевич, АП (2001): Математика на 19 век. Vol. I: Математическа логика, Алгебра, Теория на числата, Теория на вероятностите, второ издание (преработено), Birkhäuser: Бостън; особено глава 2, раздел 3, „Теория на алгебраичните числа и началото на комутативната алгебра“, от И. Г. Башмакова и Н. Н. Рудаков, стр. 86–135; първоначално публикуван на руски, 1978г.
  • Landau, Edmund (1917): „Richard Dedekind“, Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Geschäftliche Mitteilungen, 50–70.
  • Laugwitz, Detlef (1999): Bernhard Riemann 1826–1866. Точки за обръщане в концепцията на математиката, Birkhäuser: Бостън; първоначално публикуван на немски, 1996г.
  • Маккарти, Дейвид (1995): „Мистериите на Ричард Дедекинд“, в „От Дедекинд до Гьодел: Есета за развитието на основите на математиката“, J. Hintikka, ed., Springer: New York, стр. 53–96.
  • McLarty, Colin (2006): „Топология на зададената теория на Еми Нотер: От дедекинд до възход на функционери“, в „Архитектура на съвременната математика“, J. Ferreirós & J. Grey, eds., Oxford University Press, стр. 187 -208.
  • Mehrtens, Herbert (1979a): Entstehung der Verbandstheorie, Герстенберг: Hildesheim; особено глава 2, „Die„ Dualgruppe “von Richard Dedekind“, стр. 66–126.
  • ––– (1979b): „Das Skelett der modernen Algebra. Zur Bildung mathematischer Begriffe bei Richard Dedekind”, в Disciplinae Novae, CJ Sciba, ed., Vanderhoeck & Ruprecht: Göttingen, стр. 25–43.
  • ––– (1982): „Ричард Дедекинд - Der Mensch und die Zahlen“, Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft 33, 19–33.
  • Потър, Майкъл (2000): Най-близкият род на разума: Философии на аритметиката от Кант до Карнап, University Oxford Press; особено глава 3, „Дедекинд“, стр. 81–104.
  • Рек, Ерих (2003a): „Структуризмът на Дедекинд: интерпретация и частична отбрана“, Синтеза 137, 369–419.
  • ––– (2003b): „Фреге, естествени числа и аритметична пъпна връв“, Манускрито 26: 2, 427–470.
  • ––– (предстоящи): „Дедекинг, структурно разсъждение и математическо разбиране“, в перспективите на математическите практики, кн. 2, J.-P. van Bendegem & B. van Kerkhove, eds.
  • Рек, Е. и Прайс, М. (2000): „Структури и структурализъм в съвременната философия на математиката“, Синтеза 125, 341–383.
  • Рийд, Дейвид (1995): Фигури на мисълта, Routledge: Лондон; особено глава 4, „Теория на числата през деветнадесети век“, стр. 76–116.
  • Scharlau, Winfried, изд. (1981a): Richard Dedekind, 1831/1981: Eine Würdigung zu seinen 150. Geburtstag, Vieweg: Braunschweig.
  • ––– (1981b): „Erläuterungen zu Dedekinds Manuskript über Algebra“, в Шарлау (1981a), стр. 101–108.
  • Schlimm, Dirk (2000): Ричард Дедекинд: Аксиоматични основи на математиката, магистърска дисертация, Университета Карнеги Мелън, Питсбърг; със селекции от Nachlass на Дедекинд.
  • Sieg, W. & Schlimm, D. (2005): „Анализ на числото на Дедекинд: Система и аксиоми“, Synthese 147, 121–170.
  • Sinaceur, MA (1974): „L'infini et les nombres - Коментари на R. Dedekind à„ Zahlen “- La korespondence avec Keferstein“, Revue d'histoire des Sciences 27, 251–278.
  • ––– (1979): „La méthode mathématique de Dedekind“, Ревю на науките 32, 107–142.
  • ––– (1990): „Dedekind et le programme de Riemann“, Revue d'histoire des Sciences 43, 107–142.
  • Stein, Howard (1988): „Логотипи, логика и логистика: някои философски бележки относно трансформациите на математиката през деветнадесети век“, по история и философия на съвременната математика, W. Aspray & P. Kitcher, eds., University of Minnesota Press, стр. 238–259.
  • ––– (1990): „Евдоксо и дедекинд: относно древногръцката теория на съотношенията и нейното отношение към съвременната математика“, Синтеза 84, 163–211.
  • ––– (1998): „Дедекинд, Джулиус Вилхелм Ричард“, в Енциклопедия на философията на Routledge, Vol. 2, Routledge: Лондон / Ню Йорк, стр. 840–842.
  • Stillwell, John (1996): Въведение на редактора към Dedekind (1996a), стр. 1–50.
  • ––– (2000 г.): Математиката и нейната история, Спрингер: Ню Йорк, второ издание (преработено); особено глава 21, „Теория на алгебраичните числа“, стр. 404–430.
  • Tait, WW (1996): „Фреж срещу Кантор и Дедекинд: върху концепцията за числото“, във Фреге: Значение и наследство, М. Ширн, изд., De Gruyter: Берлин, с. 70–113.
  • Таппенден, Джейми (1995): „Геометрия и общност във философията на аритметиката на Фреге“, Синтеза 102, 319–361.
  • ––– (2005a): „Проблемът на Цезар в историческия му контекст: математически основи“, Диалектика 59, 1–28.
  • ––– (2005b): „Доказване на стил и разбиране в математиката I: визуализация, обединение и избор на аксиома“, във визуализация, обяснение и обосновка на стиловете в математиката, P. Mancosu et al., Eds., Springer: New York, стр. 147–214.
  • ––– (2006): „Риманският фон на философията на Фреж“, в „Архитектурата на съвременната математика“, J. Ferreirós & J. Grey, eds., Oxford University Press, стр. 97–132.
  • Van Heijenoort, Жан, изд. (1967): От Фреге до Гьодел. Книга с източници по математическа логика, 1879–1931, Harvard University Press.
  • Wilson, Mark (1992): „Frege: Кралският път от геометрията“, Noûs 26, 149–180.
  • Wussing, Hans (1984): Генезисът на абстрактната групова концепция, MIT Press; особено част III, глава 4, „Оформянето и аксиоматизацията на абстрактната групова концепция“, стр. 230–254; препечатано от Dover: New York, 2007; първоначално публикуван на немски, 1969г.

Други интернет ресурси

Текстове на Дедекинд:

  • Дигитализирана версия на есета по теорията на числата (= Дедекинд 1901а).
  • Дигитализирана версия на Gesammelte Mathematische Werke, в 3 тома (= Дедекинд 1930-32).

Главна информация:

Препоръчано: