Ревизионната теория на истината

2023 Автор: Noah Black | [email protected]. Последно модифициран: 2023-11-26 16:06

Това е файл в архивите на Философията на Станфордската енциклопедия.

Ревизионната теория на истината

Публикувана за първи път пет декември 15, 1995; съществена ревизия пет юли 28, 2006

Помислете следното изречение:

(1) не е вярно.

(1)

Отдавна е известно, че изречението (1) поражда парадокс, така нареченият парадокс на лъжеца: изглежда невъзможно последователно да се поддържа, че (1) е вярно, и невъзможно последователно да се поддържа, че (1) не е вярно. (За подробности вижте раздел 1 по-долу.) Като се има предвид такъв парадокс, човек може да бъде скептичен към понятието истина или поне към перспективите да се даде респектираща научна информация за истината. Голямото постижение на Алфред Тарски беше да покаже как да даде - срещу този скептицизъм - формално определение на истината за широк клас формализирани езици. Тарски обаче не показа как да даде определение за истинност за езици (като английски), които съдържат свои собствени предикати за истинност. Смяташе, че това не може да се направи именно заради парадокса на лъжците. Той смяташе, че всеки език със собствен предикат за истинност би бил непоследователен, стига да се подчинява на правилата на стандартната класическа логика и да има възможност да се позовава на собствените си изречения.

Като се има предвид тясната връзка между смисъл и истина, широко се смята, че всяка семантика за език L, т.е. всяка теория на значението за L, ще бъде тясно свързана с теорията за истината за L: наистина, обикновено се смята, че нещо подобно на Тарска теория за истината за L ще бъде централна част от семантиката за L. По този начин невъзможността да се даде Тарски теория за истинността на езиците със собствени предикати истини заплашва проекта за даване на семантика за езици със собствени предикати на истината.

Трябваше да изчакаме, докато работата на Kripke 1975 и на Martin & Woodruff 1975 за систематично официално предложение за семантика за езици със собствени предикати на истината. Основната мисъл е проста: приемете обидните изречения, като (1), да не са нито верни, нито лъжливи. Крипке, по-специално, показва как да приложим тази мисъл за голямо разнообразие от езици, като в действителност използва семантика с три стойности, вярно, невярно и нито едно. ^[1] Безопасно е да се каже, че крипкейските подходи замениха песимизма на Тарски, тъй като новото православие относно езиците със собствената си истина предсказва.

Един от основните съперници на тризначната семантика е Ревизионната теория на истината, или RTT, независимо замислена от Ханс Херцбергер и Анил Гупта и представена за първи път в публикации в Herzberger 1982a и 1982b, Gupta 1982 и Belnap 1982 - първите монографии по темата са Yaqūb 1993 и locus classicus, Gupta & Belnap 1993. RTT е създаден да моделира вида на разсъжденията, до които води присъдата на лъжца, в двузначен контекст. Централната идея е идеята за процес на преразглеждане: процес, чрез който преразглеждаме хипотези за истинността на едно или повече изречения. Целта на настоящата статия е да очертае Ревизионната теория на истината. Продължаваме както следва:

• 1. Полуформално въвеждане

• 2. Оформяне на проблема

  • 2.1 Истински езици
  • 2.2 Наземни модели
  • 2.3 Парадоксът на лъжеца (отново)

• 3. Основни понятия на RTT

  • 3.1 Правила за преразглеждане
  • 3.2 Ревизионни последователности

• 4. Тълкуване на формализма

  • 4.1 Значението на Т
  • 4.2 „iff“в T-бикондиционалите
  • 4.3 Парадоксалните разсъждения
  • 4.4 Тезата за значимостта
  • 4.5 Удобството на семантиката
  • 4.6 Тълкуване на формализма на Yaqūb

• 5. Други въпроси

  • 5.1 Тризначна семантика
  • 5.2 Изменения на RTT
  • 5.3 Теория на ревизиите за кръгово дефинирани понятия
  • 5.5 Приложения
  • 5.5 Отворен въпрос
• библиография
• Други интернет ресурси
• Свързани записи

1. Полуформално въвеждане

Нека разгледаме по-подробно изречението (1), дадено по-горе:

(1) не е вярно.

(1)

Ще бъде полезно парадоксалните разсъждения да бъдат изрични. Първо, да предположим, че

(1) не е вярно.

(2)

Изглежда интуитивен принцип, касаещ истината, че за всяко изречение р имаме т. Нар. Т-бикондиционален

'p' е вярно iff p.

(3)

(Тук използваме 'iff' като съкращение за 'ако и само ако'.) По-специално, трябва да имаме

'(1) не е вярно' е вярно iff (1) не е вярно.

(4)

Така от (2) и (4) получаваме

'(1) не е вярно' е вярно.

(5)

Тогава можем да приложим самоличността,

(1) = '(1) не е вярно."

(6)

да заключим, че (1) е вярно. Всичко това показва, че ако (1) не е вярно, тогава (1) е вярно. По подобен начин можем да твърдим, че ако (1) е вярно, тогава (1) не е вярно. Така че (1) изглежда и вярно, и не е вярно: оттук и парадоксът. Както беше посочено по-горе, тризначният подход към парадокса приема, че присъдата на лъж (1) не е нито вярна, нито невярна. Точно как или дори дали този ход блокира горните разсъждения е въпрос на дебат. RTT не е проектиран да блокира разсъжденията от горепосочения вид, а да го моделира - или повечето от него. ^[2] Както бе посочено по-горе, централната идея е идеята за процес на преразглеждане: процес, чрез който преразглеждаме хипотези за истинността на едно или повече изречения.

Помислете за разсъжденията относно лъжливата присъда (1) по-горе. Да предположим, че хипотезираме, че (1) не е вярно. След това, с приложение на съответния Т-бикондиционален, можем да преразгледаме нашата хипотеза, както следва:

Хипотеза:	(1) не е вярно.
Т-biconditional:	'(1) не е вярно' е вярно iff (1) не е вярно.
Следователно:	'(1) не е вярно' е вярно.
Известна идентичност:	(1) = '(1) не е вярно'.
Заключение:	(1) е вярно.
Нова преработена хипотеза:	(1) е вярно.

Можем да продължим процеса на преразглеждане, като преразгледаме отново своята хипотеза, както следва:

Нова хипотеза:	(1) е вярно.
Т-biconditional:	'(1) не е вярно' е вярно iff (1) не е вярно.
Следователно:	'(1) не е вярно' не е вярно.
Известна идентичност:	(1) = '(1) не е вярно'.
Заключение:	(1) не е вярно.
Нова преработена хипотеза:	(1) не е вярно.

Докато процесът на преразглеждане продължава, ние се обръщаме напред-назад между приемането на присъдата за лъж за вярна, а не истина.

Пример 1.1

Струва си да видим как работи този вид разсъждения за преразглеждане в случай с няколко изречения. Нека приложим идеята за преразглеждане към следните три изречения:

(8) е вярно или (9) е вярно.	(7)
(7) е вярно.	(8)
(7) не е вярно.	(9)

Неофициално можем да разсъждаваме по следния начин. Или (7) е вярно, или (7) не е вярно. Така или (8) е вярно, или (9) е вярно. Така (7) е вярно. Така (8) е вярно и (9) не е вярно, а (7) все още е вярно. Повторно повтаряйки процеса, отново получаваме (8) е вярно, (9) не е вярно и (7) е вярно. По-официално, помислете за всяка начална хипотеза, h ₀, за стойностите на истинността на (7), (8) и (9). Или h ₀ казва, че (7) е вярно, или h ₀ казва, че (7) не е вярно. И в двата случая можем да използваме Т-бикондиционалното, за да генерираме преработената си хипотеза h ₁: ако h ₀ казва, че (7) е вярно, то h ₁ казва, че „(7) е вярно“е вярно, т.е. че (8) истина е; и ако h ₀казва, че (7) е вярно, тогава h ₁ казва, че '(7) не е вярно' е вярно, т.е. че (9) е вярно. Така че h ₁ казва, че или (8) е вярно, или (9) е вярно. Така че h ₂ казва, че '(8) е вярно или (9) е вярно' е вярно. С други думи, h ₂ казва, че (7) е вярно. Така че независимо от хипотезата h _{0, с} която започваме, две повторения на процеса на ревизия водят до хипотеза, че (7) е вярна. По същия начин три или повече повторения на процеса на ревизия водят до хипотезата, че (7) е вярно, (8) е вярно и (9) е невярно - независимо от първоначалната ни хипотеза. В раздел 3 ще разгледаме този пример в по-официален контекст.

Едно нещо, което трябва да се отбележи, е, че в Пример 1.1, процесът на преразглеждане дава стабилни стойности на истината и за трите изречения. Представата за изречение, стабилно вярна във всички ревизионни последователности, ще бъде централно понятие за RTT. Ревизионно-теоретичното лечение в този случай контрастира с тризначния подход: при повечето начини за реализиране на тризначната идея и трите изречения (7), (8) и (9) се оказват нито едно, нито друго вярно, нито невярно. ^[3] В този случай RTT вероятно по-добре отчита правилното неформално разсъждение, отколкото триизмерният подход: RTT приписва на изреченията (7), (8) и (9) стойностите на истината, които са им присвоени. чрез неформалните разсъждения, дадени в началото на примера.

2. Оформяне на проблема

2.1 Истински езици

Целта на RTT е да даде отчет за нашите често нестабилни и често парадоксални разсъждения за истината - двуценен акаунт, който приписва на изречения стабилни класически стойности на истината, когато интуитивното разсъждение би присвоило стабилни класически стойности на истинността. Ще представим формална семантика за формален език: искаме този език да има както предикат за истинност, така и ресурси, за да се позовава на собствените си изречения.

Нека разгледаме език от първи ред L, със съединителни &, ∨ и ¬, количествени характеристики ∀ и ∃, знака равен =, променливи и някои запаси от имена, функционални символи и символи на отношение. Ще кажем, че L е език на истината, ако има отличителен предикат T и кавички „и“, които ще бъдат използвани за формиране на имена на цитати: ако A е изречение от L, тогава „A“е име. Нека изпратено _L = {A: A е изречение на L}.

2.2 Наземни модели

Освен предикатът за истината, ще приемем, че езикът ни се тълкува напълно класически. Така че ние ще представим T- свободния фрагмент на език на истината L по основен модел, т.е. класическа интерпретация на T- свободния фрагмент на L. До T -безплатен фрагмент от L, имаме предвид от първи ред език L ^- който има същите имена, функционални символи и връзката символи като L, с изключение на едноместно предикат T. Тъй като L ^- има същите имена като L, включително същите имена на цитати, L ^- ще има име за оферта „A“за всяко изречение A от L. Следователно ∀ x T x не е изречение на L ^-, а „∀ x T x 'е име на L ^- и ∀ x (x =' ∀ x T x ') е изречение на L ^-. Като се има предвид основание модел, ние ще разгледа перспективите за осигуряване на задоволяване интерпретация на T. Най-очевидният дезидерат е, че основният модел, разширен, за да включва интерпретация на Т, удовлетворява Т-бикондиционалите на Тарски, т.е. двустранните условия на формата

T  'A' iff A

за всяко А ∈ Изпрати _L. За да направим нещата точни, нека основният модел за L е класически модел M = <D, I> за T- свободния фрагмент на L, отговарящ на следното:

1. D е непразен домейн на дискурса;

2. I е възлагане на функция

   1. на всяко име на L член на D;
   2. към всеки символ на n-функция на L функция от D ⁿ до D; и
   3. към всеки символ на n-отношение, различен от T, на L функция от D ⁿ до една от двете стойности на истината в множеството { t, f }; ^[4]
3. Изпратен _L ∈ D; и
4. I ("А") = А за всеки A ∈ Изпрати _L.

Клаузите (1) и (2) просто уточняват какво е M да бъде класически модел на T- свободния фрагмент на L. Клаузите (3) и (4) гарантират, че L, когато се тълкува, може да говори за собствените си изречения. Като имаме основен модел M за L и име, функционален символ или символ на отношение X, можем да мислим за I (X) като тълкуване или, за да вземем назаем термин от Гупта и Белнап, значението на X. Гупта и Белнап характеризират значимостта на израза или концепцията в свят w като „абстрактно нещо, което носи цялата информация за всички експанзионни отношения на израза [или концепцията].“Ако искаме да интерпретираме T x като „x е вярно“, тогава, като имаме основен модел M, бихме искали да намерим подходящо значение или подходящ диапазон от значения за T.

2.3 Парадоксът на лъжеца (отново)

Можем да се опитаме да се възложи на T класическо значение, чрез разширяване на M за класическа модел М '= <D', аз '> за всички L, включително T. Спомнете си, че искаме M 'да удовлетвори Т-бикондиционалите: най-очевидната мисъл тук е да разберем' iff 'като стандартна двустранна условна истина. За съжаление, не всеки основен модел M = <D, I> може да бъде разширен до такъв M '. Помислете за език на истината L с име λ и основен модел M = <D, I> такъв, че I (λ) = ¬ T λ. И да предположим, че M 'е класическа експанзия на M към всички от L. Тъй като M 'е разширяване на M, аз и аз съм съгласен за всички имена на L. Така

I '(λ) = I (λ) = ¬ T λ = I (' ¬ T λ ') = I' ('¬ T λ').

Значи изреченията T λ и T  '¬ T λ' имат еднаква стойност на истината в M '. Така че Т-бикондиционният

T  '¬ T λ' ≡ ¬ T λ

е невярно в M '. Това е формализация на парадокса на лъжеца, като присъдата ¬ T λ е присъдата на лъжеца.

В семантика за езици, способни да изразят собствените си концепции за истина, Т като цяло няма да има класическо значение; и 'iff' в Т-бикондиционалите няма да се чете като класическото двустранно. Ние разглеждаме тези предложения в раздел 4 по-долу.

3. Основни понятия на RTT

3.1 Правила за преразглеждане

В раздел 1 ние неофициално скицирахме централната мисъл на RTT, а именно, че можем да използваме Т-бикондиционалите, за да генерираме правило за ревизия - правило за ревизия на хипотеза за разширяването на предиката за истината. Тук ще формализираме това понятие и ще работим чрез пример от раздел 1.

Като цяло, нека L е език на истината и M е основен модел за L. Хипотезата е функция h: D → { t, f }. Хипотеза на практика ще бъде хипотезирана класическа интерпретация за T. Нека да работим с пример, който улавя както парадокса на лъжеца, така и Пример 1.1 от Раздел 1. Ще посочим примера официално, но ще разсъждаваме по полуформален начин, за да преминем от едно хипотезирано разширение на Т към друго.

Пример 3.1

Да предположим, че L съдържа четири не-кола имена, α, β, γ и λ и не предикати различни от T. Да предположим също, че M = <D, I> е както следва:

д	=	Изпратено L
I (α)	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	T α
I (γ)	=	¬ T α
I (λ)	=	¬ T λ

Ще бъде удобно да се пусне

А	бъде изречението	T β ∨ T γ
B	бъде изречението	T α
° С	бъде изречението	¬ T α
х	бъде изречението	¬ T λ

По този начин:

д	=	Изпратено L
I (α)	=	А
I (β)	=	B
I (γ)	=	° С
I (λ)	=	х

Да предположим, че хипотезата h ₀ предполага, че A е невярна, B е вярна, C е невярна и X е вярна. По този начин

h 0 (A)	=	е
h 0 (B)	=	T
h 0 (C)	=	е
h 0 (X)	=	е

Сега ще се включим в някои полуформални разсъждения на базата на хипотеза h ₀. Сред четири изречения, А, В, С и Х, з ₀ поставя само B в разширението на Т. Така, разсъждавайки от h ₀, заключаваме, че

¬ T α	тъй като референтът на α не е в продължението на T
T β	тъй като референтът на β е в разширението на Т
¬ T γ	тъй като референтът на γ не е в продължението на T
¬ T λ	тъй като референт на λ не е в разширяването на T.

Т-бикондиционните условия за четирите изречения A, B, C и X са както следва:

(T A)	A е вярно iff T β ∨ T γ
(T B)	B е вярно iff T α
(T C)	C е вярно iff ¬ T α
(T X)	X е вярно iff ¬ T λ

Така, разсъждавайки от h ₀, заключаваме, че

А е вярно

Б не е вярно

C е вярно

X е вярно

Това създава нашата нова хипотеза h ₁:

h 1 (A)	=	T
h 1 (B)	=	е
h 1 (C)	=	T
h 1 (X)	=	T

Нека да преразгледаме още веднъж нашата хипотеза. Затова сега ще се заемем с някои полуформални разсъждения на базата на хипотеза h ₁. Хипотеза ч ₁ поставя А, С и X, но не Б, в разширението на Т. Така, разсъждавайки от h ₁, заключаваме, че

T α	тъй като референтът на a е в разширението на T
¬ T β	тъй като референтът на β е в разширението на Т
T γ	тъй като референтът на γ не е в продължението на T
T λ	тъй като референтът на λ не е в разширението на Т

Спомнете си Т-двусмисленото за четирите изречения A, B, C и X, дадени по-горе. Разсъждавайки от h ₁ и тези Т-бикондициони, заключаваме, че

А е вярно

Б е вярно

C не е вярно

X не е вярно

Това създава новата ни нова хипотеза h ₂:

h 2 (A)	=	T
h 2 (B)	=	T
h 2 (C)	=	е
h 2 (X)	=	е

□

Нека да формализираме полуформалното разсъждение, проведено в пример 3.1. Първо хипотеза, че някои изречения са, или не са били, в разширяването на T. Помислете за обикновената теория на класическия модел. Да предположим, че нашият език има предикат G и име a, и че имаме модел M = <D, I>, който поставя референта на вътрешното разширение на G:

I (G) (I (α)) = t

Тогава класически заключаваме, че изречението Ga е вярно в M. Ще бъде полезно да имаме някаква нотация за класическата стойност на истината на изречение S в класически модел M. Ще напишем Val _M (S). В този случай Val _M (Ga) = t. В пример 3.1 не започнахме с класически модел на целия език L, а само с класически модел на T- безплатен фрагмент на L. Но след това добавихме хипотеза, за да получим класически модел на цялото L. Нека използваме обозначението M + h за класическия модел на всички от L, които получавате, когато разширите M, като зададете T разширение чрез хипотезата h. След като зададете разширение на предикат T, можете да изчислите стойностите на истинността на различните изречения на L. Тоест за всяко изречение S от L можем да изчислим

Val _{M + h} (S)

В пример 3.1 започнахме с хипотеза h _0, както следва:

h 0 (A)	=	е
h 0 (B)	=	T
h 0 (C)	=	е
h 0 (X)	=	е

Тогава изчислихме, както следва:

Val M + h 0 (T α)	=	е
Val M + h 0 (T β)	=	T
Val M + h 0 (T γ)	=	е
Val M + h 0 (T λ)	=	е

И тогава заключихме, както следва:

Val M + h 0 (A)	=	Val M + h 0 (T β ∨ T γ) = t
Val M + h 0 (B)	=	Val M + h 0 (¬ T α) = f
Val M + h 0 (C)	=	Val M + h 0 (T α) = t
Val M + h 0 (X)	=	Val M + h 0 (¬ T λ) = t

Тези изводи генерираха нашата нова хипотеза, h ₁:

h 1 (A)	=	T
h 1 (B)	=	е
h 1 (C)	=	T
h 1 (X)	=	T

Обърнете внимание, че като цяло,

h ₁ (S) = Val _{M + h 0 (S).}

Вече сме готови да определим правилото за ревизия, дадено от наземния модел M = <D, I>. Като цяло, като се има предвид хипотеза h, нека M + h = <D, I '> е моделът на L, който е съгласен с M върху T- свободния фрагмент на L, и който е такъв, че I' (T) = h. Така че M + h е просто класически модел за всички L. За всеки модел M + h от цялото L и всяко изречение A, ако L, нека Val _{M + h} (A) е обикновената класическа стойност на истинността на A в M + h.

Определение 3.2

Да предположим, че L е език на истината и че M = <D, I> е основен модел за L. Правилото за ревизия, τ _M, е функцията за картографиране на хипотези на хипотези, както следва:

τ M (h) (d)

=

{

t, ако d ∈ D е изречение от L и Val M + h (d) = t f, в противен случай

Клаузата „в противен случай“ни казва, че ако d не е изречение на L, тогава след едно прилагане на ревизия, ние се придържаме към хипотезата, че d не е вярно. ^[5] Обърнете внимание, че в пример 3.1, h ₁ = τ _M (h ₀) и h ₂ = τ _M (h ₁). Често ще изпуснем абонираното „M“, когато контекстът изясни кой основен модел става въпрос.

3.2 Ревизионни последователности

Нека вземем пример 3.1 и да видим какво се случва, когато повторим прилагането на правилото за преразглеждане.

Пример 3.3 (Пример 3.2 продължава)

Припомнете си, че L съдържа четири не-кола имена, α, β, γ и λ и не предикати различни от T. Също така припомнете, че M = <D, I> е както следва:

д	=	Изпратено L
I (α)	=	А	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	B	=	T α
I (γ)	=	° С	=	¬ T α
I (λ)	=	х	=	¬ T λ

Следващата таблица показва какво се случва с многократни приложения на правилото за ревизия τ _M към хипотезата h ₀ от Пример 3.1. В тази таблица ще напишем τ вместо τ _M:

С	h 0 (S)	τ (h 0) (S)	τ 2 (h 0) (S)	τ 3 (h 0) (S)	τ 4 (h 0) (S)	…
А	е	T	T	T	T	…
B	T	е	T	T	T	…
° С	е	T	е	е	е	…
х	е	T	е	T	е	…

Така h ₀ генерира ревизионна последователност (виж Определение 3.7, по-долу). И A и B са стабилно верни в тази ревизионна последователност (виж Определение 3.6, по-долу), докато C е стабилно невярна. Изречението за лъжец X не е изненадващо, нито стабилно вярно, нито стабилно невярно: присъдата за лъжец е нестабилна. Подобно изчисление би показало, че А е стабилно вярно, независимо от първоначалната хипотеза: следователно А е категорично вярна (виж Определение 3.8).

Преди да дадем точно определение на ревизионната последователност, даваме пример, когато бихме искали да пренесем процеса на ревизия отвъд крайните етапи, h, τ ¹ (h), τ ² (h), τ ³ (h) и т.н. На.

Пример 3.4

Да предположим, че L съдържа nonquote имена а ₀, α ₁, α ₂, α ₃, …, и унарна предикати G и Т. Сега ще уточним основен модел M = <D, I>, където името α _{0 се} отнася до някаква тавтология и къде

името α _{1 се} отнася до изречението T α ₀

името α _{2 се} отнася до изречението T α _1,

името a _{3 се} отнася до изречението T a ₂

По-официално, нека A ₀ е изречението T α ₀ ∨ ¬ T α ₀, а за всяко n ≥ 0, A _{n +1} е изречението T α _n. Така _един е изречение Т а ₀ и А ₂ е изречение T алфа ₁ и А ₃ е изречение Т α ₂, и така нататък. Нашият основен модел M = <D, I> е както следва:

д	=	Изпратено L
I (α n)	=	A n
I (G) (A) = t	МФФ	A = A n за някакво n

Така разширението на G е следният набор от изречения: {A ₀, A ₁, A ₂, A ₃,…} = {(T α ₀ ∨ ¬ T α ₀), T α ₀, T a ₁, T a ₂, T a ₃,…}. Накрая нека B е изречението ∀ x (Gx ⊃ T x). Нека h е всяка хипотеза, за която имаме, за всяко естествено число n,

h (A _n) = h (B) = f.

Следващата таблица показва какво се случва с многократни приложения на правилото за ревизия τ _M към хипотезата h. В тази таблица ще напишем τ вместо τ _M:

С	h (S)	t (h) (S)	τ 2 (h) (S)	τ 3 (h) (S)	τ 4 (h) (S)	…
А 0	е	T	T	T	T	…
А 1	е	е	T	T	T	…
А 2	е	е	е	T	T	…
А 3	е	е	е	е	T	…
А 4	е	е	е	е	е	…
B	е	е	е	е	е	…

На 0 ^-ия етап, всеки _п е извън хипотетичният разширението на Т. Но от н ^-ия етап нататък, А _п е хипотетичният разширението на Т. Така че за всяко n изречението A _n в крайна сметка е стабилно хипотезирано като вярно. Въпреки това, няма ограничен етап, на който всички A _n 's са хипотезирани за верни: в резултат на това изречението B = ∀ x (Gx ⊃ T x) остава невярно на всеки краен етап. Това предполага разширяване на процеса по следния начин:

С	h (S)	τ (h) (S)	τ 2 (h) (S)	τ 3 (h) (S)	…	ω	ω + 1	ω + 2	…
А 0	е	T	T	T	…	T	T	T	…
А 1	е	е	T	T	…	T	T	T	…
А 2	е	е	е	T	…	T	T	T	…
А 3	е	е	е	е	…	T	T	T	…
А 4	е	е	е	е	…	T	T	T	…
B	е	е	е	е	…	е	T	T	…

По този начин, ако позволим процесът на ревизия да продължи извън крайните етапи, тогава изречението B = ∀ x Gx ⊃ T x) е стабилно вярно от ω + 1- ^ви етап нататък. □

В пример 3.4, интуитивната присъда е, че не само всеки A _{n трябва да} получи стабилна стойност на истинността на t, но и изречението B = ∀ x (Gx ⊃ T x). Единственият начин да се гарантира това е пренасянето на процеса на преразглеждане отвъд крайните етапи. Така че ние ще разгледа редакция последователности, които са много дълго: не само ще преразглеждане последователност има ^ия етап за всеки краен брой п, а η ^ия етап за всеки поредния номер η. (Следващият параграф е да помогнете на читателя да се запознае с порядъчните номера.)

Един от начините за мислене на порядковите числа е следният. Започнете с крайните естествени числа:

0, 1, 2, 3,…

Добавете число, ω, по-голямо от всички тях, но не и непосредственият наследник на който и да е от тях:

0, 1, 2, 3,…, ω

И след това вземете наследника на ω, неговия наследник и т.н.:

0, 1, 2, 3,…, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3…

След това добавете число ω + ω или ω × 2, по-голямо от всички тези (и отново, не непосредственият наследник на никой), и започнете отначало, повтаряйки този процес отново и отново:

0, 1, 2, 3,…, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3,…, ω × 2, (ω × 2) +1, (ω × 2) +2, (ω × 2) +3,…, ω × 3, (ω × 3) +1, (ω × 3) +2, (ω × 3) +3,…

В края на това добавяме порядъчно число ω × ω или ω ²:

0, 1, 2,…, ω, ω + 1, ω + 2,…, ω × 2, (ω × 2) +1,…, ω × 3,…, ω × 4,…, ω × 5, …, Ω ², ω ² +1,…

Поредните числа имат следната структура: всяко порядъчно число има непосредствен наследник, известен като последовател на последовател; и за всяка безкрайно възходяща последователност от порядъчни числа има пределна порядъчна стойност, която е по-голяма от всички членове на последователността и която не е непосредственият наследник на който и да е член на последователността. Следователно следните последователности са: 5, 178, ω + 12, (ω × 5) +56, ω ² +8; и следните са пределни порядки: ω, ω × 2, ω ², (ω ² + ω) и др. Като се има предвид граничната порядъчна η, последователност S от обекти е η-дълга последователност, ако има обект S _δ за всеки порядъчен δ <η. Ще обозначим класа на наредбите като Вкл. Всяка последователност S на обектите е продължителна последователност, ако има обект S _δ за всеки порядъчен δ.

Когато оценява дали изречението получава стабилна стойност на истината, RTT разглежда последователности от хипотези с дължина On. Така че, предположим, че S е продължителна последователност от хипотези, и нека ζ и η да се движат над ординалите. Ясно е, че за да може да представлява S процеса на преработка, ние се нуждаем от ζ + 1 ^-ви хипотезата да бъдат генерирани от ζ ^та хипотеза от правилото за преработка. Така че ние настояваме, че S _{ζ + 1} = τ _M (S _ζ). Но какво да правим на ограничен етап? Тоест, как трябва да зададем S _η (δ), когато η е граничен порядък? Ясно всеки обект, който е стабилно вярно [невярно] до този етап, трябва да бъде вярно [невярно] на този етап. Следователно помислете за пример 3.2. Изречението А ₂, Например, се отнася до со ^-ти етап; така че ние зададете ₂ за да е истина в со ^-ти етап. За обекти, които не се стабилизират до този етап, Gupta и Belnap 1993 приемат либерална политика: когато конструират ревизионна последователност S, ако стойността на обекта d ∈ D не се е стабилизирала до момента, когато стигнете до граничния етап η, тогава можете да зададете S _η (δ) в зависимост от това, кое е от t или f. Преди да дадем точното определение на ревизионната последователност, продължаваме с пример 3.3, за да видим приложение на тази идея.

Пример 3.5 (Пример 3.3 продължава)

Припомнете си, че L съдържа четири не-кола имена, α, β, γ и λ и не предикати различни от T. Също така припомнете, че M = <D, I> е както следва:

д	=	Изпратено L
I (α)	=	А	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	B	=	T α
I (γ)	=	° С	=	¬ T α
I (λ)	=	х	=	¬ T λ

Следващата таблица показва какво се случва с многократни приложения на правилото за ревизия τ _M към хипотезата h ₀ от Пример 3.1. За всеки порядъчен η ще обозначим η ^-та хипотеза чрез S _η (потискане на индекса M на τ). По този начин S ₀ = h ₀, S ₁ = τ (h ₀), S ₂ = τ ² (h ₀), S ₃ = τ ³ (h ₀), а S _ω, ω ^th хипотезата, се определя по някакъв начин от водещите до него хипотези. И така, започвайки с h ₀ от пример 3.3, нашата ревизионна последователност започва както следва:

С	S 0 (S)	S 1 (S)	S 2 (S)	S 3 (S)	S 4 (S)	…
А	е	T	T	T	T	…
B	T	е	T	T	T	…
° С	е	T	е	е	е	…
х	е	T	е	T	е	…

Какво се случва в со ^ия етап? А и В са стабилно вярно до со ^-ия етап, и С е стабилно фалшива до со ^-ти етап. Така че най-со ^-ти етап, трябва да разполагате със следното:

С	S 0 (S)	S 1 (S)	S 2 (S)	S 3 (S)	S 4 (S)	…	S ω (S)
А	е	T	T	T	T	…	T
B	T	е	T	T	T	…	T
° С	е	T	е	е	е	…	е
х	е	T	е	T	е	…	?

Но записът за S _ω (X) може да бъде или t, или f. С други думи, първоначалната хипотеза h ₀ генерира поне две ревизионни последователности. Всяка ревизионна последователност S, която има h ₀ като начална хипотеза, трябва да има S _ω (A) = t, S _ω (B) = t и S _ω (C) = f. Но има някаква ревизионна последователност S, като h ₀ е първоначална хипотеза и със S _ω (X) = t; и има някаква ревизионна последователност S ', с h ₀ като първоначална хипотеза, и със S _ω'(X) = f. □

Вече сме готови да определим понятието ревизионна последователност:

Определение 3.6

Да предположим, че L е език на истината и че M = <D, I> е основен модел. Да предположим, че S е продължителна последователност от хипотези. Тогава казваме, че d ∈ D е стабилно t [ f] в S iff за някои порядъчни θ, които имаме

S _ζ (d) = t [ f], за всеки порядък ζ ≥ θ.

Да предположим, че S е η-дълга поредица от хипотези за някакво ограничено порядъчно η. Тогава казваме, че d ∈ D е стабилно t [ f] в S iff за някои порядъчни θ <η, които имаме

S _ζ (d) = t [ f], за всеки порядък ζ такъв, че ζ ≥ θ и ζ <η.

Ако S е продължителна последователност от хипотези и η е гранична порядъчна стойност, тогава S | _η е първоначалният сегмент на S до, но не включва η. Обърнете внимание, че S | _η е η-дълга поредица от хипотези.

Определение 3.7

Да предположим, че L е език на истината и че M = <D, I> е основен модел. Да предположим, че S е продължителна последователност от хипотези. S е ревизионна последователност за M iff

• S _{ζ + 1} = τ _M (S _ζ), за всеки ζ ∈ On и
• за всеки порядъчен предел η и всеки d ∈ D, ако d е стабилно t [ f] в S | _η, тогава S _η (d) = t [ f].

Определение 3.8

Да предположим, че L е език на истината и че M = <D, I> е основен модел. Казваме, че изречението A е категорично вярно [false] в M iff A е стабилно t [ f] във всяка ревизионна последователност за M. Ние казваме, че A е категоричен в M iff A е или категорично вярно, или категорично невярно в M.

Сега илюстрираме тези понятия с пример. Примерът ще илюстрира нова концепция, която ще бъде дефинирана след това.

Пример 3.9

Да предположим, че L е език истина съдържащ nonquote имена Р, α ₀, α ₁, α ₂, α ₃, …, и унарна предикати G и Т. Нека B е изречението

T β ∨ ∀ x ∀ y (Gx & ¬ T x & Gy & ¬ T y ⊃ x = y).

Нека A ₀ е изречението ∃ x (Gx & ¬ T x). И за всяко n ≥ 0 нека A _{n +1} да бъде изречението T α _n. Помислете за следния основен модел M = <D, I>

д	=	Изпратено L
I (β)	=	B
I (α n)	=	A n
I (G) (A) = t	МФФ	A = A n за някакво n

Така разширението на G е следният набор от изречения: {A ₀, A ₁, A ₂, A ₃,…} = { T α ₀, T α ₁, T α ₂, T α ₃,…}. Нека h е всяка хипотеза, за която имаме, h (B) = f и за всяко естествено число n,

h (A _n) = f.

И нека S е ревизионна последователност, чиято първоначална хипотеза е h, т.е. S ₀ = h. Следващата таблица показва някои от стойностите на S _γ (C), за изреченията C ∈ {B, A ₀, A ₁, A ₂, A ₃,…}. В горния ред посочваме само порядковия номер, представляващ етапа в процеса на ревизия.

0

1

2

3

…

ω

ω + 1

ω + 2

ω + 3

…

ω х 2

(Ω х 2) 1

(Ω х 2) 2

…

B

е

е

е

е

…

е

T

T

T

…

T

T

T

…

А 0

е

T

T

T

…

T

е

T

T

…

T

е

T

…

А 1

е

е

T

T

…

T

T

е

T

…

T

T

е

…

А 2

е

е

е

T

…

T

T

T

е

…

T

T

T

…

А 3

е

е

е

е

…

T

T

T

T

…

T

T

T

…

А 4

е

е

е

е

…

T

T

T

T

…

T

T

T

…

Струва си да се контрастира поведението на изречение Б и изречение А ₀. От ω + 1- ^ви етап нататък B се стабилизира като истина. В действителност, B е стабилно вярно във всяка редакция за M. Така B е категорично вярно в M. Изречението A ₀ обаче никога не се стабилизира напълно: обикновено е вярно, но в рамките на няколко крайни етапа на ограничителния порядък, изречението A ₀ може да бъде невярно. При тези обстоятелства ние казваме, че A ₀ е почти стабилно вярно (виж Определение 3.10, по-долу.) В действителност, A ₀ е почти стабилно вярна във всяка редакция на реда за M. □

Пример 3.9 илюстрира не само понятието стабилност в ревизионна последователност, но и близката стабилност, която ние дефинираме сега:

Определение 3.10.

Да предположим, че L е език на истината и че M = <D, I> е основен модел. Да предположим, че S е продължителна последователност от хипотези. Тогава казваме, че d ∈ D е почти стабилно t [ f] в S iff за някои порядъчни θ, които имаме

за всеки ζ ≥ θ, има естествено число n такова, че за всеки m ≥ n, S _{ζ + m} (d) = t [ f].

Gupta и Belnap 1993 характеризират разликата между стабилност и близка стабилност, както следва: „Симплитерът за стабилност изисква елемент (в нашия случай изречение], за да се утаи до стойност x [в нашия случай стойност на истината], след като някои първоначални колебания казват до [порядъчен η] … За разлика от това, близостта до стабилност позволява колебания и след η, но тези колебания трябва да бъдат ограничени до крайните региони, непосредствено след пределните порядки”(стр. 169). Gupta и Belnap 1993 въвеждат две теории за истината, T ^* и T ^#, базирани на стабилност и близка стабилност. По-долу теоремите 3.12 и 3.13 илюстрират предимство на системата T ^#, т.е. системата, базирана на близка стабилност.

Определение 3.11

Да предположим, че L е език на истината и че M = <D, I> е основен модел. Казваме, че изречение A е валидно в M от T ^* iff A е стабилно вярно във всяка ревизионна последователност. И ние казваме, че изречение A е валидно в M от T ^# iff A е почти стабилно във всяка ревизионна последователност.

Теорема 3.12

Да предположим, че L е език на истината и че M = <D, I> е основен модел. Тогава за всяко изречение А от L е валидно следното в M от T ^#:

T '¬ A' ≡ ¬ T 'A'.

Теорема 3.13

Има език на истината L и основен модел M = <D, I> и изречение A от L, така че следното не е валидно в M от T ^*:

T  '¬ A' ≡ ¬ T  'A'.

Gupta и Belnap 1993, раздел 6C, отбелязват подобни предимства на T ^# над T ^*. Например, T ^# прави, но T ^* не, валидира следните семантични принципи:

T  'A & B' ≡ T  'A' & T  'B'

T  'A ∨ B' ≡ T  'A' ∨ T  'B'

Гупта и Белнап остават неподредени за това кой от T ^# и T ^* (и друга алтернатива, която те определят, T ^c) е за предпочитане.

4. Тълкуване на формализма

Основните формални понятия на RTT са понятието правило за ревизия (определение 3.2), т.е. правило за преразглеждане на хипотези; и ревизионна последователност (Определение 3.7), последователност от хипотези, генерирани в съответствие с подходящото правило за ревизия. Използвайки тези понятия, можем да дадем основен модел да определим кога изречението е стабилно или почти стабилно, вярно или невярно в определена ревизионна последователност. По този начин бихме могли да определим две теории за истината, T ^* и T ^#, базирани на стабилност и близка стабилност. Крайната идея е, че всяка от тези теории издава присъда, по която изреченията на езика категорично се потвърждават, като се има предвид основен модел.

Обърнете внимание, че бихме могли да използваме ревизионно-теоретични понятия, за да направим доста фино разграничаване между изреченията: Някои изречения са нестабилни във всяка ревизионна последователност; други са стабилни във всяка ревизионна последователност, макар и стабилно верни при някои и стабилно невярни в други; и така нататък. По този начин можем да използваме ревизионно-теоретични идеи, за да дадем фин анализ на състоянието на различните изречения и на връзките на различни изречения помежду си.

Спомнете си предложението, направено в края на раздел 2:

В семантика за езици, способни да изразят собствените си концепции за истина, Т като цяло няма да има класическо значение; и 'iff' в Т-бикондиционалите няма да се чете като класическото двустранно.

Гупта и Белнап попълват тези предложения по следния начин.

4.1 Значението на Т

Първо, те предполагат, че значимостта, на T, като се има основание модел M, е правилото за преразглеждане τ _M себе си. Както е отбелязано в предходния параграф, можем да дадем дребнозърнест анализ на състояния и взаимоотношения изречения ", въз основа на понятия, получени директно и естествено от правилото за преразглеждане τ _M. По този начин τ _M е добър кандидат за означаването на T, тъй като изглежда „абстрактно нещо, което носи цялата информация за всички [на T- те] разширителни отношения“в M. (Вижте характеристиката на Гупта и Белнап на значението на израза, дадена в раздел 2 по-горе.)

4.2 „iff“в T-бикондиционалите

Свързаното предложение на Гупта и Белнап относно „iff“в Т-бикондиционалите е, че вместо да бъде класически двустранно, този „iff“е отличителният бикондиционален, използван за определяне на по-рано неопределено понятие. През 1993 г. Гупта и Белнап представят ревизионната теория на истината като специален случай на ревизионна теория на кръгово дефинираните понятия. Да предположим, че L е език с унарен предикат F и двоичен предикат R. Помислете за ново понятие, изразено с предикат G, въведено чрез определение като това:

Gx = _df ∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃ y (Ryx & Gx).

Да предположим, че започваме с домейн на дискурс, D и интерпретация на предиката F и символа на връзката R. Теоретичното третиране на Гупта и Белнап на така въведените кръгово понятия позволява да се дадат категорични решения, за определени d ∈ D за това дали d удовлетворява или не. Други обекти ще бъдат нестабилни по отношение на G: ще можем категорично да твърдим, че d не удовлетворява G, нито че d не удовлетворява G. В случая на истината Гупта и Белнап приемат множеството от Т-бикондициони на формата

T  'A' = df A

(10)

заедно да дадем определението на понятието истина. Това е тяхното лечение на '= _DF "(на" IFF "на дефинициите въвеждане концепция), заедно с Т-biconditionals на формата (10), които определят правило редакция τ _М.

4.3 Парадоксалните разсъждения

Спомнете си изречението за лъж (1) от началото на тази статия:

(1) не е вярно

(1)

В раздел 1 твърдим, че RTT е предназначен да моделира, а не да блокира вида на парадоксалните разсъждения по отношение на (1). Но в бележка под линия 2 отбелязахме, че RTT избягва противоречията в тези ситуации. Има два начина да видите това. Първо, докато RTT потвърждава двустранното

(1) е вярно iff (1) не е вярно,

съответният „iff“не е материалният двустранен, както е обяснено по-горе. Следователно, от това не следва, че и двете (1) са верни и (1) не са верни. Второ, обърнете внимание, че по никоя хипотеза не можем да заключим, че и двете (1) са верни и (1) не са верни. Ако държим твърдо на ум, че ревизионно-теоретичните разсъждения са хипотетични, а не категорични, тогава няма да изведем противоречия от съществуването на изречение като (1) по-горе.

4.4 Тезата за значимостта

Предложенията на Гупта и Белнап, относно значението на Т и тълкуването на 'iff' в Т-бикондиционалите, са красиво с две тясно свързани интуиции, артикулирани в Gupta & Belnap 1993. Първата интуиция, слабо изразена, е „че Т -бикондициите са аналитични и фиксират значението на "вярно" "(стр. 6). По-строго изразено става „Тезата за значението” (стр. 31): „T-бикондиционалите фиксират значението на истината във всеки свят [където един свят е представен от наземна модель].” ^[6] Предвид редакция-теоретичен лечение на "IFF" дефиниция, и дава основание модел М, Т-biconditionals (10) са, както е отбелязано, фиксират препоръчва значимостта, на T, т.е. правилото за редакция τ _М.

4.5 Удобството на семантиката

Втората интуиция е превъзходството на значението на истината. Това е потомък на предложеното от М. Кремер от 1988 г. превъзходство на семантиката. Идеята е проста: кои изречения попадат под понятието истина, трябва да бъдат фиксирани чрез (1) тълкуване на неемантичния речник и (2) емпиричните факти. В некръговите случаи тази интуиция е особено силна: стандартната интерпретация на „сняг“и „бял“и емпиричният факт, че снегът е бял, са достатъчни, за да се определи, че изречението „снегът е бял“попада под понятието истина. Превъзходството на значението на истината е тезата, че означаването на истината, каквото и да е, е фиксирано от основния модел M. Ясно е, че RTT удовлетворява този принцип.

Струва си да видим как една теория за истината може да наруши този принцип. Помислете за изказването на истината, т.е. изречението, което само по себе си казва, че е истина:

(11) е вярно

(11)

Както бе отбелязано по-горе, тризначната семантика на Крипке позволява три стойности на истината, true (t), false (f) и нито едно (n). Като се има предвид основния модел M = <D, I> за език на истината L, кандидатските интерпретации на Т са тризначни интерпретации, т.е. функции h: D → {  t, f, n  }. Като имаме тризначна интерпретация на T и схема за оценка на стойността на истинността на съставни изречения по отношение на техните части, можем да определим стойност на истината Val _{M + h} (A) = t, f или n, за всяко изречение А от L. Централната теорема на тризначната семантика е, че при всеки основен модел M има тризначна интерпретация h на T, така че за всяко изречение А имаме Val _{M + h} (T  'A') = Val _{M + h} (A). ^[7] Ще наречем такава интерпретация на Т приемлива интерпретация. Нашият смисъл тук е следният: ако има разказвач на истината, както в (11), тогава няма само една приемлива интерпретация на Т; има три: едно, според което (11) е вярно, едно, според което (11) е невярно, и едно, според което (11) не е нито едно. По този начин, няма единна "правилна" интерпретация на Т даден на основен модел М. По този начин изглежда, че тризначната семантика нарушава превъзходството на семантиката. ^[8]

RTT не присвоява стойност на истината на предавача на истината, (11). По-скоро той дава анализ на вида на разсъжденията, в които човек може да се ангажира по отношение на преводача на истината: Ако започнем с хипотеза h, според която (11) е вярно, след преразглеждане (11) остава вярно. И ако започнем с хипотеза h, според която (11) не е вярно, след преразглеждане (11) остава не вярно. И това е всичко, с което концепцията за истината ни оставя. Като се има предвид това поведение на (11), RTT ни казва, че (11) не е нито категорично вярна, нито категорично невярна, но това е съвсем различно от присъда, която (11) не е нито вярна, нито невярна.

4.6 Тълкуване на формализма на Yaqūb

Отбелязваме алтернативно тълкуване на ревизионно-теоретичния формализъм. Yaqūb 1993 е съгласен с Гупта и Белнап, че Т-бикондиционалите са по-скоро определение, а не материални двустранни условия и следователно понятието за истина е кръгово. Но Yaqūb тълкува тази циркулярност по отличителен начин. Той твърди, че

тъй като условията за истинност на някои изречения включват позоваване на истината по съществен, неприводим начин, тези условия могат да получат или да се провалят само в свят, който вече включва разширение на предиката за истината. Следователно, за да може процесът на ревизия да определи разширение на предиката за истинност, трябва да се постави първоначално разширение на предиката. Това много следва от циркулярността и двустранността. (1993, 40)

Подобно на Гупта и Belnap, Якуб постулира не привилегировано разширение за T. И подобно на Гупта и Белнап, той вижда ревизионните последователности на разширения на Т, всяка последователност, генерирана от първоначално хипотезирано разширение, като „способен да приспособи (и диагностицира) различните видове проблемни и безпроблемни изречения на разглежданите езици“(1993 г.), 41). Но за разлика от Гупта и Белнап, от тези съображения той заключава, че „истината на двувалентния език не е свръхестествена“(1993, 39). Той обяснява в бележка под линия: за да бъде истината по-удобна, състоянието на истината на всяко изречение трябва да бъде „напълно определено от несемантични факти“. Yaqūb не използва изрично понятието за означаване на понятието. Но Yaqūb изглежда ангажиран с твърдението, че значението на Т - т.е. това, което определя състоянието на истинността на всяко изречение - се дава от определена ревизионна последователност. И нито една ревизионна последователност не се определя от несемантичните факти, т.е. само от основния модел: ревизионната последователност се определя в най-добрия случай от основен модел и първоначална хипотеза. ^[9]

5. Други въпроси

5.1 Тризначна семантика

В дискусията ни за превъзходството на значението на истината по-горе сме дали само най-бедното изложение на тризначната семантика. Като имаме предвид истинския език L и основен модел M, ние дефинирахме приемлива тризначна интерпретация на T като интерпретация h: D → {  t, f, n  }, така че Val _{M + h} (T 'A') = Val _{M + h} (A) за всяко изречение A от L. Като цяло, даден модел на земята М, има много приемливи интерпретации на Т. Да предположим, че всяко от тях наистина е наистина приемлива интерпретация. Тогава тризначната семантика нарушава превъзходството на значението на Т, Да предположим, че, от друга страна, че за всеки модел на земята М, може да се изолира привилегировано приемлива тълкуване правилното тълкуване на Т. Гупта и Белнап представят редица съображения срещу тризначната семантика, така замислена. (Вж. Gupta & Belnap 1993, глава 3.) Един основен аргумент е, че централната теорема, т.е. че за всеки основен модел има приемлива интерпретация, има само когато основният език е изрично обеднял по определени начини: например тризначният подход се проваля, ако езикът има съединител ~ със следната таблица за истинност:

А	~ A
T	е
е	T
н	T

Единственият оператор за отрицание, с който може да се справи тризначният подход, има следната таблица за истинност:

А	¬ A
T	е
е	T
н	T

Но помислете за лъжеца, който казва за себе си, че „не е“вярно, в последния смисъл на „не“. Гупта и Белнап настояват за твърдението, че това изречение „престава да бъде интуитивно парадоксално“(1993, 100). Претендираното предимство на RTT е способността му да описва поведението на истински парадоксални изречения: истинският лъжец е нестабилен при семантична оценка: „Независимо каква хипотеза представяме неговата стойност, семантичната оценка опровергава нашата хипотеза.“Тризначната семантика може да се справи само със „слабия лъжец“, т.е. изречение, което само слабо отрича себе си, но това не е гарантирано парадоксално: „Тук има изяви на лъжеца, но те заблуждават.“

5.2 Изменения на RTT

Отбелязваме три начина за изменение на RTT. Първо, можем да поставим ограничения относно това, какви хипотези са приемливи. Например, Gupta и Belnap 1993 въвеждат теория, T ^c, за истината, основана на последователни хипотези: хипотеза h е последователна, ако множеството {A: h (A) = t } е пълен последователен набор от изречения. Относителните достойнства на T ^*, T ^# и T ^c са обсъдени в Gupta & Belnap 1993, глава 6.

Второ, може да приемем по-рестриктивна ограничителна политика, отколкото Гупта и Белнап. Спомнете си въпроса, зададен в раздел 3: Как трябва да зададем S _η (d), когато η е граничен порядък? Ние дадохме частичен отговор: всеки обект, който е стабилно вярно [невярно] до този етап, трябва да бъде вярно [невярно] на този етап. Отбелязахме също, че за обект d ∈ D, който не се стабилизира до етап η, Гупта и Белнап 1993 ни позволяват да зададем S _η (d) като t или f. В подобен контекст Herzberger 1982a и 1982b присвоява стойността f на нестабилните обекти. И Гупта първоначално през Gupta 1982 г. предполага, че нестабилните елементи получават каквато и да е стойност, получена при първоначалната хипотеза S ₀.

Тези първи два начина за изменение на RTT и в действителност ограничават понятието за ревизионна последователност, като поставят ограничения за това коя от нашите ревизионни последователности наистина се счита за приемлива ревизионна последователност. Ограниченията в известен смисъл са локални: първото ограничение се постига чрез поставяне на ограничения, върху които могат да се използват хипотези, а второто ограничение се постига чрез поставяне на ограничения за това, което се случва на ограничителни наредби. Трети вариант би бил да се поставят повече глобални ограничения, при които предполагаемите ревизионни последователности се считат за приемливи. Yaqūb 1993 предлага в действителност ограничително правило, според което приемливите присъди за нестабилни изречения на някакъв пределен етап η зависят от присъдите, постановени на други гранични етапи. Yaqūb твърди, че тези ограничения ни позволяват да избягваме определени „артефакти“. Да предположим, че модел на земята M = <D, I>има две независими лъжци, като има две имена α и β, където I (α) = ¬ T α и I (β) = ¬ T β. Yaqūb твърди, че това е просто „артефакт“на ревизионната семантика, наивно представена, че има ревизионни последователности, в които изречението ¬ T α ≡ ¬ T β е стабилно вярно, тъй като двамата лъжци са независими. Глобалните му ограничения са разработени, за да се изключат подобни последователности. (Вижте Chapuis 1996 за допълнителна дискусия.)

5.3 Теория на ревизиите за кръгово дефинирани понятия

Както бе посочено в нашата дискусия, в раздел 4 на „iff“в Т-бикондиционалите, Gupta и Belnap представят RTT като специален случай на ревизионна теория на кръгово дефинираните понятия. За да преразгледаме примера от раздел 4. Да предположим, че L е език с унарен предикат F и двоичен предикат R. Помислете за ново понятие, изразено от предикат G, въведено чрез дефиниция D, като това:

Gx = _df A (x, G)

където A (x, G) е формулата

∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃ y (Ryx & Gx).

В този контекст наземният модел е класически модел M = <D, I> на езика L: започваме с домейн на дискурс, D и интерпретация на предиката F и символа на връзката R. Бихме искали да разширим М към тълкуване на езика L + G. Така че в този контекст една хипотеза ще бъде разгледана като хипотезирано разширение за нововъведената концепция G. Формално хипотезата е просто функция h: D → { t, f }. Като се има предвид хипотеза h, приемаме, че M + h е класическият модел M + h = <D, I '>, където аз "интерпретира F и R по същия начин, както аз и където I" (G) = h. Като се има предвид хипотезирана интерпретация h на G, генерираме нова интерпретация на G по следния начин: и обект d ∈ D е в новото разширение на G, само в случай, че дефиниращата формула A (x, G) е вярна на d в модела M + ч. Формално използваме наземния модел M и дефиницията D, за да определим правило за ревизия, δ _{D, M}, преобразуване на хипотези в хипотези, т.е. хипотетични интерпретации на G към хипотетични интерпретации на G. По-специално, за всяка формула B с една свободна променлива x и d ∈ D, можем да определим стойността на истината Val _{M + h, d} (B) по стандартния начин. Тогава,

δ _{D, M} (h) (d) = Val _{M + h, d} (A)

Предвид правило редакция δ _{D, М}, може да се обобщи понятието последователност редакция, която сега е последователност на хипотетични разширения на G вместо Т. Можем да обобщим понятието, че изречение Б е стабилно вярно, почти стабилно вярно и т.н., спрямо ревизионната последователност. Гупта и Белнап въвеждат системите S ^* и S ^#, аналогични на T ^* и T ^#, както следва: ^[10]

Определение 5.1.

• Изречение Б е валидно за дефиницията D в основния модел M в системата S ^* (нотация М ⊨ _{*, D} B) МКФ В е вярно стабилно един спрямо редакция последователност на правилото за редакция δ _{D, М}.
• Изречение Б е валидно за дефиницията D в основния модел M в системата S ^# (нотация М ⊨ _{#, D} B) МКФ В е почти стабилно вярно по отношение на всеки редакция последователност на правилото за редакция δ _{D, М}.
• Изречение Б е валидно за определението D в системата S ^* (нотация ⊨ _{*, D} B) iff за всички класически наземни модели M, имаме M ⊨ _{*, D} B.
• Изречение B е валидно за дефиницията D в системата S ^# (нотация ⊨ _{#, D} B) iff за всички класически наземни модели M, имаме M ⊨ _{#, D} B.

Един от отворените въпроси на принципа на Гупта и Белнап е дали има пълно смятане за тези системи: тоест дали за всяко определение D някое от следните две групи изречения е рекурсивно аксиоматизируемо: {B: ⊨ _{*, D} B} и {B: ⊨ _{#, D} B}. Кремер 1993 доказва, че отговорът е не: той показва, че има определение D такова, че всяко от тези групи изречения е сложно най-малко Π ¹ ₂, като по този начин поставя по-ниска граница на сложността на S ^* и S ^#. (Antonelli 1994b и 2002 показва, че това също е горна граница.)

Доказателството на Кремер използва интимна връзка между кръговите дефиниции, разбрани ревизионно - теоретично и кръговите дефиниции, разбрани като индуктивни дефиниции: теорията на индуктивните определения е доста добре разбрана от известно време. По-специално, Кремер доказва, че всяка индуктивно дефинирана концепция може да бъде дефинирана теоретично. Изразителната сила и други аспекти на ревизионно-теоретичното третиране на кръговите дефиниции е тема на много интересна работа: вж. Welch 2001, Löwe 2001, Löwe и Welch 2001, и Kühnberger et al. 2005 година.

5.5 Приложения

Като се има предвид общото ревизионно-теоретично третиране на кръговите дефиниции на Гупта и Белнап - от които тяхното третиране на истината е специален случай - човек би очаквал ревизионно-теоретичните идеи да бъдат приложени към други концепции. Antonelli 1994a прилага тези идеи към необосновани множества: необосновано множество X може да се смята за кръгово, тъй като за някои X ₀,…, X _n имаме X ∈ X ₀ ∈… ∈ X _n ∈ X. И Chapuis 2003 прилага ревизионно-теоретични идеи за рационално вземане на решения.

5.5 Отворен въпрос

Затваряме с отворен въпрос за T ^* и T ^#. Спомнете си определение 3.11 по-горе, което определя кога изречение А от език на истината L е валидно в основния модел M от T ^* или от T ^#. Ще кажем, че A е валиден от T ^* [алтернативно, от T ^#] iff A е валиден в наземния модел M от T ^* [алтернативно, от T ^#] за всеки основен модел M. Откритият ни въпрос е следният: Каква е сложността на множеството изречения, валидни от T ^* [ T ^#]?

библиография

• Antonelli, GA, 1994, "Сложността на ревизията", Notre Dame Journal of Formal Logic, 35: 204–218.
• Antonelli, GA, 1994, „Необосновани множества чрез ревизионни правила“, Journal of Philosophical Logic, 23: 633–679.
• Antonelli, GA, 2002, „Сложността на ревизията, преработена“, сп. Notre Dame of Formal Logic, 43: 75–78.
• Belnap, N., 1982, „Правилото на Гупта за ревизия на теорията на истината“, Journal of Philosophical Logic, 11: 103–116.
• Chapuis, A., 1996, "Алтернативни ревизионни теории на истината", Journal of Philosophical Logic, 25: 399–423.
• Chapuis, A., 2003, „Приложение на кръгови определения: рационално решение“, в Löwe, Malzkorn и Räsch (ред.), Основи на формалните науки II: Приложения на математическата логика във философията и лингвистиката, Dordrecht: Kluwer, 47-54.
• Гупта, А., 1982, „Истина и парадокс“, сп. „Философска логика“, 11: 1–60.
• Gupta, A. и Belnap, N., 1993, The Revision Theory of Truth, Cambridge, MA: MIT Press.
• Хамер, Е., 2003, „Теорията на ревизията на истината“, Енциклопедия на философията на Станфорд (издание на пролет 2003), Едуард Н. Залта (съст.), URL = ,
• Herzberger, HG, 1982, „Бележки за наивната семантика“, сп. „Философска логика“, 11: 61–102.
• Herzberger, HG, 1982, „Наивна семантика и парадокс на лъжците“, Journal of Philosophy, 79: 479–497.
• Кремер, М., 1988, „Крипке и логиката на истината“, сп. „Философска логика“, 17: 225–78.
• Kremer, P., 1993, „Системите Gupta-Belnap S ^# и S ^* не са аксиоматизируеми“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 34: 583–596.
• Крипке, С., 1975, „Очертание на теорията за истината“, сп. „Философия“, 72: 690–716.
• Kühnberger, K., Löwe, B., Möllerfeld, M., and Welch, P., 2005, “Сравняване на индуктивни и кръгови дефиниции: параметри, сложност и игри”, Studia Logica, 81: 79–98.
• Löwe, B., 2001 „Ревизионни последователности и компютри с безкрайно много време“, Journal of Logic and Computation, 11: 25–40.
• Löwe, B., и Welch, P., 2001, „Абсолютно теоретична абсолютност и теория на ревизията на истината“, Studia Logica, 68/1: 21–41.
• Martin, R. и Woodruff, P., 1975, „За представянето на„ True-in-L “в L“, Philosophia, 5: 217-2221.
• Welch, P., 2001, „За теорията на ревизията на Гупта-Белнап за истината, фиксираните точки на Крипкейн и следващия стабилен набор“, Бюлетин за символична логика, 7: 345–360.
• Yaqūb, A., 1993, Лъжецът говори истината: Защита на теорията на ревизията на истината, Оксфорд: University Oxford Press.

Други интернет ресурси