Парадокси на Зенон

Съдържание:

Парадокси на Зенон
Парадокси на Зенон

Видео: Парадокси на Зенон

Видео: Парадокси на Зенон
Видео: Ангел Бэби Новые серии - Игра окончена (29 серия) Поучительные мультики для детей 2023, Септември
Anonim

Навигация за влизане

  • Съдържание за участие
  • библиография
  • Академични инструменти
  • Friends PDF Preview
  • Информация за автора и цитирането
  • Върнете се в началото

Парадокси на Зенон

За първи път публикуван вторник, 30 април 2002 г.; съществена ревизия пн юни 11, 2018

Почти всичко, което знаем за Зенон от Елеа, може да се намери в началните страници на Парменидите на Платон. Там научаваме, че Зенон е бил близо 40 години, когато Сократ е бил млад човек, да речем на 20. Тъй като Сократ е роден през 469 г. пр. Н. Е., Можем да изчислим дата на раждане на Зенон около 490 г. пр. Н. Е. Отвъд това, наистина всичко, което знаем е, че той е бил близък с Парменид (Платон съобщава клюките, че те са били любовници, когато Зенон е бил млад) и че е написал книга за парадокси, защитаващи философията на Парменид. За съжаление тази книга не е оцеляла и това, което знаем за неговите аргументи, е втора ръка, главно чрез Аристотел и неговите коментатори (тук обръщаме специално внимание на Симплиций, който, въпреки че пише хиляда години след Зенон, очевидно притежава поне част от своите Книга). Очевидно имаше 40 „парадокса на множествеността“,опит да се покаже, че онтологичният плурализъм - вяра в съществуването на много неща, а не само едно, води до абсурдни заключения; от тези парадокси само два определено оцеляват, въпреки че трети аргумент вероятно може да бъде приписан на Зенон. Аристотел говори за още четири аргумента срещу движението (и като цяло с промяна на разширението), като всички той дава и се опитва да опровергае. Освен това Аристотел приписва на Зенон два други парадокса. За съжаление отново почти никой от тези парадокси не е цитиран в оригиналните думи на Зенон от различните им коментатори, но в парафраза. Аристотел говори за още четири аргумента срещу движението (и като цяло с промяна на разширението), като всички той дава и се опитва да опровергае. Освен това Аристотел приписва на Зенон два други парадокса. За съжаление отново почти никой от тези парадокси не е цитиран в оригиналните думи на Зенон от различните им коментатори, но в парафраза. Аристотел говори за още четири аргумента срещу движението (и като цяло с промяна на разширението), като всички той дава и се опитва да опровергае. Освен това Аристотел приписва на Зенон два други парадокса. За съжаление отново почти никой от тези парадокси не е цитиран в оригиналните думи на Зенон от различните им коментатори, но в парафраза.

  • 1. Предистория

  • 2. Парадоксите на множествеността

    • 2.1 Аргументът от плътността
    • 2.2 Аргументът от краен размер
    • 2.3 Аргументът от пълна делимост

  • 3. Парадоксите на движението

    • 3.1 Дихотомията
    • 3.2 Ахил и костенурка
    • 3.3 Стрелката
    • 3.4 Стадионът

  • 4. Още два парадокса

    • 4.1 Парадоксът на мястото
    • 4.2 Зърното на просото
  • 5. Влияние на Зенон върху философията
  • Допълнителни четения
  • библиография
  • Академични инструменти
  • Други интернет ресурси
  • Свързани записи

1. Предистория

Преди да разгледаме самите парадокси, ще бъде полезно да очертаем част от тяхното историческо и логическо значение. Първо, Зенон се опита да защити Парменид, като атакува критиците му. Парменид отхвърли плурализма и реалността на всякакъв вид промяна: за него всички бяха една неделима, непроменима реалност и всякакви изяви напротив бяха илюзии, които трябва да бъдат разсеяни от разума и откровението. Не е изненадващо, че тази философия намери много критици, които се подиграха на предложението; в края на краищата тя лети пред някои от най-основните ни вярвания за света. (Интересното е, че общата относителност - особено квантовата обща относителност - може би дава новост - ако е възможна новост - аргумент за отричането на промяната на Парменид: Белот и Ърман, 2001 г.) В отговор на тази критика Зенон направи нещо, което може да звучи очевидно,но което оказа дълбоко влияние върху гръцката философия, която се усеща и до днес: той се опита да покаже, че равни абсурди логично следваха от отричането на възгледите на Парменид. Мислите, че има много неща? Тогава трябва да заключите, че всичко е едновременно безкрайно малко и безкрайно голямо! Мислите ли, че движението е безкрайно делимо? Тогава следва, че нищо не се движи! (Това е „парадокс“: демонстрация, че противоречие или абсурдна последица следва от очевидно разумни предположения.)Мислите ли, че движението е безкрайно делимо? Тогава следва, че нищо не се движи! (Това е „парадокс“: демонстрация, че противоречие или абсурдна последица следва от очевидно разумни предположения.)Мислите ли, че движението е безкрайно делимо? Тогава следва, че нищо не се движи! (Това е „парадокс“: демонстрация, че противоречие или абсурдна последица следва от очевидно разумни предположения.)

Докато четем аргументите, важно е да се има предвид този метод. Те винаги са насочени към по-малко или по-малко конкретна цел: възгледите на някой човек или училище. Трябва да имаме предвид, че аргументите са „ad hominem“в буквалния латински смисъл, че са насочени „към (възгледите на) лица“, но не и „ad hominem“в традиционния технически смисъл да атакува (характера на) хора, които излагат възгледите, а не атакуват самите възгледи. Те работят, като временно предполагат „заради аргументи“, че тези твърдения са верни, и след това твърдят, че ако след това последват абсурдни последици - че нищо не се движи например: те са „аргументи“reductio ad absurdum “(или„ диалектика “в смисъл от периода). След това, ако аргументът е логично валиден и заключението наистина неприемливо,твърденията трябва да са неверни. По този начин, когато разглеждаме аргументите на Зенон, трябва да зададем два свързани въпроса: кого или каква позиция атакува Зенон и каква точно се приема заради аргумента? Ако открием, че Зенон прави скрити предположения извън това, което атакува атаката, тогава абсурдното заключение може да бъде избегнато, като се отрече едно от скритите предположения, като се запази позицията. Наистина коментатори поне откакто Аристотел е отговорил на Зенон по този начин.като същевременно поддържате позицията. Наистина коментатори поне откакто Аристотел е отговорил на Зенон по този начин.като същевременно поддържате позицията. Наистина коментатори поне откакто Аристотел е отговорил на Зенон по този начин.

Та чии възгледи атакуват аргументите на Зенон? Има огромна литература, обсъждаща точната историческа цел на Зенон. Както ще разгледаме накратко по-долу, някои казват, че целта е била техническа доктрина на питагорейците, но повечето днес виждат Зенон като противопоставящи се на здравия разум представи за множественост и движение. Ще подходим към парадоксите в този дух и ще насочим читателя към литературата, свързана с интерпретационния дебат.

Въпреки това, мнението на мнозинството е също, че - при определени квалификации парадоксите на Зенон разкриват някои проблеми, които не могат да бъдат решени без пълните ресурси на математиката, както са разработени през деветнадесети век (а може би и след това). Това не е (задължително) да кажем, че съвременната математика е необходима, за да отговори на всеки от проблемите, които Зенон изрично искаше да повдигне; може би Аристотел и други древни са отговорили, че би трябвало или би трябвало да удовлетворят Зенон. (Нито трябва да правим конкретни твърдения относно влиянието на Зенон върху историята на математиката.) Въпреки това, докато математиката се развиваше и се обсъждаше повече парадоксите, от тях възникнаха нови трудности; тези трудности изискват съвременна математика за тяхното разрешаване. Тези нови трудности възникват отчасти в отговор на еволюцията в нашето разбиране за това, което изисква математическата строгост: решения, които биха удовлетворили стандартите за строгост на Зенон, не биха задоволили нашите. По този начин ще изтласкаме няколко от парадоксите от техните формулировки за здрав разум до тяхното разрешаване в съвременната математика. (Друга квалификация: ще предложим резолюции по отношение на „стандартната“математика, но други съвременни формулировки също са способни да се справят със Зенон и може би по начини, които по-добре представят неговите математически концепции.)но други съвременни формулировки също са способни да се справят със Зенон и може би по начини, които по-добре представят неговите математически понятия.)но други съвременни формулировки също са способни да се справят със Зенон и може би по начини, които по-добре представят неговите математически понятия.)

2. Парадоксите на множествеността

2.1 Аргументът от плътността

Ако има много, те трябва да са толкова, колкото са и нито повече, нито по-малко от това. Но ако са толкова, колкото са, те биха били ограничени. Ако има много, нещата са неограничени. Защото винаги има други между нещата, които са, и отново други между тях и затова нещата са неограничени. (Симплиций (а) относно физиката на Аристотел, 140.29)

Този първи аргумент, даден в думите на Зенон според Симплиций, се опитва да покаже, че не може да има повече от едно нещо, поради болка на противоречието: ако има много неща, то те са едновременно „ограничени“и „неограничени“, противоречие, От една страна, той казва, че всяка колекция трябва да съдържа определен брой неща или в думите му „нито повече, нито по-малко“. Но ако имате определен брой неща, заключава той, вие трябва да имате ограничен-ограничен брой от тях; Като прави това заключение, той приема, че да имаш безкрайно много неща, означава да имаш неопределен брой от тях. От друга страна, представете си каквато и да е колекция от „много“неща, подредени в пространството - картината им е подредена в едно измерение за определеност. Между всеки двама от тях, твърди той, е трета; и между тези три елемента още два;и още четири между тези пет; и така нататък без край. Следователно колекцията също е „неограничена“. Така че първоначалното ни предположение за множествено число води до противоречие и следователно е невярно: в края на краищата няма много неща. Поне така разсъжденията на Зенон текат.

Нека разгледаме двата подаргумента в обратен ред. Първо има ли "винаги други между нещата, които са"? (В съвременната терминология защо предметите винаги трябва да бъдат подредени "плътно"?) Да предположим, че сме си представяли колекция от десет ябълки, подредени; тогава наистина има още една ябълка между шестата и осмата, но няма такава между седмата и осмата! При положение, че Зенон не е просто объркан, какво има предвид? Текстовете не казват, но тук има две възможности: първо, може да се приеме, че за всеки чифт физически обекти (две ябълки казват) да бъдат два отделни обекта, а не само един („двойна ябълка“) трябва да има трето между тях, физически ги разделя, дори и да е само въздух. И човек може да си помисли, че за да бъдат разграничени тези три, трябва да има още два обекта, които ги разделят,и така нататък (това мнение предполага, че тяхното създаване от различни вещества не е достатъчно, за да ги отличи). Затова може би Зенон спори срещу множествеността, като се има предвид определена представа за физическото различие. Второ, може също така да се приеме, че всяко тяло има части, които могат да бъдат подредени плътно. Разбира се 1/2, 1 / 4s, 1 / 8s и т. Н. Ябълките не са плътни - такива части могат да бъдат съседни, но може да има достатъчно малки части - наречете ги „точкови части“- това са. В действителност, ако между две точки на точки има ограничено разстояние и ако точките могат да бъдат произволно близки, те са плътни; една трета лежи в точката на средата на всеки две. По-специално, познатите геометрични точки са подобни и следователно са плътни. Затова може би Зенон предлага спор относно разделението на телата. И по двата начина,Предполагането на Зенон за плътност изисква допълнително предположение за въпросното множество и съответно фокусира целта на парадокса му.

Но да предположим, че човек счита, че някаква колекция (точките в една линия, да речем) е гъста, следователно „неограничена“или безкрайна. Първият звук на атаката на Зенон показва, че тъй като съдържа определен брой елементи, той също е „ограничен“или ограничен. Може ли да се избегне това противоречие? Предположението, че всяко определено число е ограничено, изглежда интуитивно, но сега знаем, благодарение на работата на Кантор през деветнадесети век, как да разберем безкрайните числа по начин, който ги прави също толкова категорични, колкото и крайните числа. Централният елемент на тази теория за „безкрайните числа“е точното определение кога две безкрайни колекции са с еднакъв размер и кога едната е по-голяма от другата. С такова определение в ръка е възможно след това да поръчате безкрайните числа точно както са подредени крайните числа: например има различни, т.е.определен безкраен брой дроби и геометрични точки в една линия, въпреки че и двете са плътни. (Вижте по-нататъшното четене по-долу за препратки към въведения към тези математически идеи и тяхната история.) Така противно на предположението на Зенон, има смисъл да се сравняват безкрайните колекции по отношение на броя на техните елементи, за да се каже дали двама имат повече от, или по-малко или по-малко един от друг: има, например, повече десетични числа от цели числа, но толкова четни числа, колкото цели числа. Така че математически, разсъжденията на Зенон са неозвучени, когато той казва, че тъй като една колекция има точно определен брой, тя трябва да е ограничена, а първият подаргумент е грешен. (Макар разбира се, че само това показва, че безкрайните колекции са математически последователни, а не че съществуват физически.)))въпреки че и двете са плътни. (Вижте по-нататъшното четене по-долу за препратки към въведения към тези математически идеи и тяхната история.) Така противно на предположението на Зенон, има смисъл да се сравняват безкрайните колекции по отношение на броя на техните елементи, за да се каже дали двама имат повече от, или по-малко или по-малко един от друг: има, например, повече десетични числа от цели числа, но толкова четни числа, колкото цели числа. Така че математически, разсъжденията на Зенон са неозвучени, когато той казва, че тъй като една колекция има точно определен брой, тя трябва да е ограничена, а първият подаргумент е грешен. (Макар разбира се, че само това показва, че безкрайните колекции са математически последователни, а не че съществуват физически.)въпреки че и двете са плътни. (Вижте по-нататъшното четене по-долу за препратки към въведения към тези математически идеи и тяхната история.) Така противно на предположението на Зенон, има смисъл да се сравняват безкрайните колекции по отношение на броя на техните елементи, да се каже дали двама имат повече от, или по-малко или по-малко един от друг: има, например, повече десетични числа от цели числа, но толкова четни числа, колкото цели числа. Така че математически, разсъжденията на Зенон са неозвучени, когато той казва, че тъй като една колекция има точно определен брой, тя трябва да е ограничена, а първият подаргумент е грешен. (Макар разбира се, че само това показва, че безкрайните колекции са математически последователни, а не че съществуват физически.)и тяхната история.) Така че противно на предположението на Зенон, има смисъл да се сравняват безкрайните колекции по отношение на броя на техните елементи, да се каже дали двама имат повече от, или по-малко, или "толкова, колкото" един от друг: има например повече десетични числа от цели числа, но толкова четни числа, колкото цели числа. Така че математически, разсъжденията на Зенон са неозвучени, когато той казва, че тъй като една колекция има точно определен брой, тя трябва да е ограничена, а първият подаргумент е грешен. (Макар разбира се, че само това показва, че безкрайните колекции са математически последователни, а не че съществуват физически.)и тяхната история.) Така че противно на предположението на Зенон, има смисъл да се сравняват безкрайните колекции по отношение на броя на техните елементи, да се каже дали двама имат повече от, или по-малко, или "толкова, колкото" един от друг: има например повече десетични числа от цели числа, но толкова четни числа, колкото цели числа. Така че математически, разсъжденията на Зенон са неозвучени, когато той казва, че тъй като една колекция има точно определен брой, тя трябва да е ограничена, а първият подаргумент е грешен. (Макар разбира се, че само това показва, че безкрайните колекции са математически последователни, а не че съществуват физически.)например повече десетични числа от цели числа, но толкова четни числа, колкото цели числа. Така че математически, разсъжденията на Зенон са неозвучени, когато той казва, че тъй като една колекция има точно определен брой, тя трябва да е ограничена, а първият подаргумент е грешен. (Макар разбира се, че само това показва, че безкрайните колекции са математически последователни, а не че съществуват физически.)например повече десетични числа от цели числа, но толкова четни числа, колкото цели числа. Така че математически, разсъжденията на Зенон са неозвучени, когато той казва, че тъй като една колекция има точно определен брой, тя трябва да е ограничена, а първият подаргумент е грешен. (Макар разбира се, че само това показва, че безкрайните колекции са математически последователни, а не че съществуват физически.)

2.2 Аргументът от краен размер

… Ако трябва да се добави към нещо друго, което съществува, няма да го направи по-голям. Защото ако не беше с размер и беше добавен, не може да се увеличи по размер. И така веднага следва, че добавеното не е нищо. Но ако, когато се извади, другото нещо не е по-малко, нито се увеличава, когато се добави, явно нещото се добавя или изважда е нищо. (Симплиций (а) относно физиката на Аристотел, 139.9)

Но ако съществува, всяко нещо трябва да има някакъв размер и дебелина, а част от него трябва да е отделно от останалите. И същото разсъждение се отнася за частта, която е отпред. За това също ще има размер и част от него ще бъде отпред. Сега е същото да кажеш това веднъж и да продължиш да го казваш завинаги. Защото никоя такава част няма да е последна, нито ще има една част, която не е свързана с друга. Следователно, ако има много неща, те трябва да са както малки, така и големи; толкова малък, че да няма размер, но толкова голям, че да е неограничен. (Simplicius (a) Относно физиката на Аристотел, 141.2)

За пореден път имаме собствени думи на Зенон. Според неговото заключение има три части към този аргумент, но само две оцеляват. Първият липсващ аргумент има за цел да покаже, че ако съществуват много неща, те изобщо не трябва да имат размер. Второ, от това Зенон твърди, че следва, че те изобщо не съществуват; тъй като резултатът от присъединяването (или премахването) на обект без големи размери към нищо не е никаква промяна, той заключава, че добавеното (или премахнато) нещо е буквално нищо. Аргументът до този момент е самостоятелно опровержение на плурализма, но Зенон продължава да генерира още един проблем за някой, който продължава да настоява за съществуването на множествено число. Тази трета част от аргумента е доста зле поставена, но изглежда изпълнява нещо подобно: да предположим, че има множество, така че съществува някакъв пространствено разширен обект (в края на краищата,той просто твърди, че неопитни неща не съществуват). Тъй като е удължен, той има две пространствено обособени части (едната „отпред“от другата). И частите съществуват, така че те имат разширение и затова всяка от тях има две пространствено обособени части; и така нататък без край. И следователно изглежда, че финалният аргумент изглежда завършва, обектът, ако изобщо е разширен, е безкраен по степен.

Но какво може да оправдае тази последна стъпка? Не изглежда, че тъй като обектът има две части, той трябва да е безкрайно голям! И това не следва от никое друго разделение, което Зенон описва тук; четири, осем, шестнадесет или каквито и да е крайни части, правят крайно цяло. Отново със сигурност Зенон е наясно с тези факти и затова трябва да има нещо друго предвид, вероятно следващото: той приема, че ако безкрайната поредица от разделения, които описва, се повтарят безкрайно много пъти, тогава би се получила определена колекция от части. И забележете, че не е необходимо да приема, че някой всъщност може да извърши разделенията - няма достатъчно време и ножовете не са достатъчно остри - просто, че един предмет може да бъде геометрично разложен на такива части (нито той приема, че тези части са това, което естествено бихме категоризирали като отделни физически обекти като ябълки, клетки, молекули, електрони и т.н., но само че те са геометрични части от тези обекти). Сега - ако плуралистът би могъл да приеме - такива части съществуват, от втората част на неговия аргумент следва, че те са разширени и, както изглежда предполага, безкрайната сума от крайни части е безкрайна.от втората част на неговия аргумент следва, че те са разширени и, както изглежда предполага, безкрайна сума от крайни части е безкрайна.от втората част на неговия аргумент следва, че те са разширени и, както изглежда предполага, безкрайна сума от крайни части е безкрайна.

Тук трябва да отбележим, че има два начина, по които той може да предвиди резултата от безкрайното разделение.

Първо, човек би могъл да го прочете като първо разделя обекта на 1 / 2s, след това един от 1/2 / кажи втория-на две 1/4s, след това един от 1/4s - кажи втория отново - на две 1 / 8s и т.н. В този случай резултатът от безкрайното разделение води до безкрайна последователност от парчета с размер 1/2 общата дължина, 1/4 дължината, 1/8 дължината…. И тогава общата дължина е (1/2 + 1/4 + 1/8 + … от дължината, която Зенон заключава, че е безкрайно разстояние, така че плуралистът се ангажира с абсурда, че крайните тела са толкова големи, колкото да бъде неограничен “.

Това, което често се посочва в отговор е, че Зенон не ни дава основание да мислим, че сумата е безкрайна, а не крайна. Може би е имал интуицията, че всяка безкрайна сума от ограничени количества, тъй като тя нараства безкрайно с всеки нов термин, трябва да е безкрайна, но човек може също да вземе този пример, като показва, че някои безкрайни суми са в крайна сметка ограничени. Така, противно на това, което той смяташе, Зенон не е доказал, че следва абсурдното заключение. Това, което не винаги се оценява обаче, е, че плуралистът не се отклонява толкова лесно, тъй като не е достатъчно само да се каже, че сумата може да е ограничена, тя също трябва да покаже, че е ограничена - в противен случай ние оставаме несигурни относно възможността от нейното положение. Като илюстрация на затруднената ситуация тук разгледайте следното:много коментатори говорят така, сякаш е просто очевидно, че безкрайният сбор от дробите е 1, че няма какво безкрайно сумиране. Но какво да кажем за следната сума: (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - / ldots). Очевидно изглежда, че сумата може да бъде пренаписана ((1 - 1) + (1 - 1) + / ldots = 0 + 0 + / ldots = 0). Със сигурност този отговор изглежда толкова интуитивен, колкото сумата от дроби. Но тази сума също може да бъде пренаписана (1 - (1 - 1 + 1 - 1 + / ldots) = 1 - 0) - тъй като току-що показахме, че терминът в скобите изчезва - (= 1). Разчитането на интуицията за това как да се извършват безкрайни суми води до извода, че (1 = 0). Докато човек не може да даде теория за безкрайните суми, която може да даде задоволителен отговор на всеки проблем, не може да се каже, че безкрайната сума на Зенон очевидно е крайна. Подобна теория не е разработена изцяло до деветнадесети век от Коши.(В системата на Коши (1/2 + 1/4 + / ldots = 1), но (1 - 1 + 1 - / ldots) е неопределен.)

Второ, може да се окаже, че Зено означава, че обектът е разделен наполовина, след това двете 1/2 са разделени наполовина, тогава 1/4 са разделени наполовина и така нататък. В този случай парчетата на всеки конкретен етап са с еднакъв краен размер и така би могло да се заключи, че резултатът от продължаване на процедурата безкрайно ще бъдат парчета със същия размер, които ако съществуват - според Зенон - са по-големи от нула; но безкрайността от равни удължени части наистина е безкрайно голяма.

Но на този ред на мисли може да се устои. Първо, да предположим, че току-що описаната процедура напълно разделя обекта на части, които не се припокриват. (Има проблем с това предположение, което ще видим малко по-долу.) То включва удвояване на броя на парчетата след всяко разделяне и така след разделения (N) има (2 ^ N) парчета. Но се оказва, че за всяко естествено или безкрайно число, (N), (2 ^ N / gt N) и така броят на (предполагаемите) части, получени от описаната безкрайност на деленията, е още по-голяма безкрайност, Този резултат не представлява непосредствени затруднения, тъй като, както споменахме по-горе, безкрайностите се предлагат в различни размери. Броят пъти, когато всичко е разделено на две, се казва „счетливо безкраен“: има една безчетна безкрайност на нещата в колекция, ако те могат да бъдат маркирани с числата 1, 2, 3,… Без остатък от двете страни. Но броят на парчетата, които произвежда безкрайното разделение, е „безчетно безкраен“, което означава, че няма начин да бъдат етикетирани 1, 2, 3,… без да пропускат някои от тях - всъщност безкрайно много от тях. Определението на Коши за безкрайна сума важи само за безкрайно безкрайни серии от числа и така не се отнася за парчетата, които разглеждаме. Въпреки това можем да помислим за много много от тях, чиито дължини според Зенон - тъй като той твърди, че всички те са равни и не нулеви - ще се равняват на безкрайна дължина; дължината на всички парчета не може да бъде по-малка от тази. Определението на Коши за безкрайна сума важи само за безкрайно безкрайни серии от числа и така не се отнася за парчетата, които разглеждаме. Въпреки това можем да помислим за много много от тях, чиито дължини според Зенон - тъй като той твърди, че всички те са равни и не нулеви - ще се равняват на безкрайна дължина; дължината на всички парчета не може да бъде по-малка от тази. Определението на Коши за безкрайна сума важи само за безкрайно безкрайни серии от числа и така не се отнася за парчетата, които разглеждаме. Въпреки това можем да помислим за много много от тях, чиито дължини според Зенон - тъй като той твърди, че всички те са равни и не нулеви - ще се равняват на безкрайна дължина; дължината на всички парчета не може да бъде по-малка от тази.

В този момент плуралистът, който вярва, че разделението на Зенон напълно разделя обекти на части, които не се припокриват (вж. Следващия параграф), може да отговори, че частите всъщност нямат разширение, въпреки че съществуват. Това би блокирало заключението, че крайните обекти са безкрайни, но изглежда я тласкат обратно към другия рог на аргумента на Зенон, защото как всички тези парчета с нулева дължина могат да съставят едно цяло с не нула? (Обърнете внимание, че според Коши (0 + 0 + 0 + / ldots = 0), но този резултат тук не показва нищо, тъй като, както видяхме, има безброй много парчета, които могат да се добавят повече, отколкото са добавени в тази сума.) отлага този въпрос за обсъждане на следващия парадокс, когато той изрично се появява.

Вторият проблем с тълкуването на безкрайното разделение като многократно разделение на всички части е, че то не разделя обект на отделни части, ако обектите са съставени по естествен начин. За да видим това, нека да зададем въпроса какви части са получени от това разделяне на 1 / 2s, 1 / 4s, 1 / 8s,…. Тъй като разделението се повтаря без край, няма последно парче, което можем да дадем като отговор и затова трябва да мислим по въпроса по различен начин. Ако предположим, че даден обект може да бъде представен от линеен сегмент с дължина на единица, тогава разделението произвежда колекции от сегменти, където първият е първата или втората половина на целия сегмент, вторият е първата или втората четвърт, или трето или четвърто тримесечие и като цяло сегментът, произведен от подразделения (N), е или първата или втората половина на предишния сегмент. Например, записване на сегмента с крайни точки (a) и (b) като ([a, b]), някои от тези колекции (технически известни като "вериги", тъй като елементите на колекцията са подредени от размер) ще започне ({[0,1], [0,1 / 2], [1 / 4,1 / 2], [1 / 4,3 / 8], / ldots }). (Когато спорехме преди това, че поделението на Зенон произведе безброй много парчета от обекта, това, което трябваше да кажем по-внимателно, е, че произвежда безброй много вериги като тази.)това, което би трябвало да кажем по-внимателно, е че произвежда безброй много вериги като тази.)това, което би трябвало да кажем по-внимателно, е че произвежда безброй много вериги като тази.)

Въпросът кои части извлича дивизията е въпросът коя част избира всяка дадена верига; естествено е да се каже, че верига извлича частта от линията, която се съдържа във всеки един от нейните елементи. Помислете например за веригата ({[0,1 / 2], [1 / 4,1 / 2], [3 / 8,1 / 2], / ldots }), с други думи веригата, която започва с лявата половина на реда и за който всеки друг елемент е дясната половина на предишния. Точката на половината път е във всеки един от сегментите в тази верига; това е дясната крайна точка на всеки от тях. Но никой друг момент не е във всичките му елементи: очевидно няма точка отвъд полувремето; и изберете всяка точка (p) преди половината път, ако вземете десни половини от [0,1 / 2] достатъчно пъти, лявата част на сегмента ще бъде отдясно на (p). По този начин единствената част от линията, която е във всички елементи на тази верига, е полупосочната точка и така е частта от линията, избрана от веригата. (Всъщност от постулата на теорията на числата следва, че има точно една точка, която имат всички членове на всяка такава верига.) Проблемът е, че чрез паралелно разсъждение, полупосочната точка също се избира от отличителната верига ({[1 / 2,1], [1 / 2,3 / 4], [1 / 2,5 / 8], / ldots }), където всеки сегмент след първия е лявата половина на предходната. И така двете вериги избират едно и също парче от линията: точката на половината път. И така нататък за много други двойки вериги. Така аргументът на Зенон, интерпретиран като повторно разделяне на всички части на половина, не разделя линията на отделни части. Следователно, ако мислим, че обектите са съставени по същия начин като линията,следва, че въпреки изявите, тази версия на аргумента не реже обекти на части, чийто общ размер можем правилно да обсъдим.

(Може да си помислите, че този проблем може да бъде отстранен, като елементите на веригите бъдат сегменти без крайна точка вдясно. Тогава първата от двете вериги, които считахме, че няма точка на половината път в нито един от нейните сегменти, и така не извежда тази точка. Проблемът сега е, че не успява да избере никоя част от линията: предишното разсъждение показа, че не избира точка, по-голяма или по-малка от точката на половината път, и сега тя също не избира тази точка!)

2.3 Аргументът от пълна делимост

… всеки път, когато едно тяло по природа е делимо през и през, независимо дали чрез бисекция или като цяло по какъвто и да е метод, нищо невъзможно няма да доведе до действително разделяне … макар че всъщност никой всъщност не би могъл да го раздели.

Какво тогава ще остане? А величина? Не: това е невъзможно, тъй като тогава ще има нещо, което не е разделено, докато бивши хипотези тялото е било делимо през и през. Но ако се признае, че няма да остане нито тяло, нито величина … тялото или ще се състои от точки (и съставните му части ще бъдат без величина), или няма абсолютно нищо. Ако последното, то може и двете да излязат от нищото и да съществуват като състав от нищо; и по този начин вероятно цялото тяло няма да е нищо друго освен външен вид. Но ако се състои от точки, няма да има никаква величина. (Аристотел относно поколението и корупцията, 316a19)

Тези думи Аристотел не са на Зенон и всъщност аргументът дори не се приписва на Зенон от Аристотел. Имаме обаче мнението на Симплиций (а) относно физиката на Аристотел, 139.24), че произхожда от Зенон, поради което е включен тук. Аристотел започва с хипотезата, че някакво тяло е напълно делимо, „през и през”; на втората стъпка от аргумента става ясно, че той означава, че по този начин той се дели на части, които сами по себе си нямат размер - частите с каквато и да е величина остават непълно разделени. (Отново важното е, че тялото наистина е съставено от такива части, а не че някой има време и инструменти, за да направи разделянето; и като си спомня от предишния раздел, че човек не получава такива части, като многократно разделя всички части наполовина.) Така че да предположим, че тялото е разделено на безразмерни части. Тези части могат да бъдат или изобщо нищо, както твърди Зенон по-горе или „точки-части“. Ако частите са нищо, тогава е и тялото: това е просто илюзия. И аргументът заключава, дори и да са точки, тъй като те са неразширени, самото тяло ще бъде разширено: със сигурност всяка сума - дори и безкрайна единица от нули е нула.

Може ли това окончателно предположение да бъде поставено под въпрос? Това е (както бе отбелязано по-горе) следствие от дефиницията на Коши за безкрайна сума; обаче Grünbaum (1967) посочи, че това определение се отнася само за счетните суми и Cantor даде красиво, поразително и изключително влиятелно „диагонално“доказателство, че броят на точките в сегмента е безчетно безкраен. Няма начин да се маркират всички точки в линията с безкрайността на числата 1, 2, 3, …, и така има повече точки в линеен сегмент, отколкото суми в сума на Коши. Накратко, анализът, използван за безкрайно безкрайно разделение, не се прилага тук.

Така че предположим, че току-що ви е даден броят точки в ред и че всичките им дължини са нула; как бихте определили дължината? Имаме ли нужда от нова дефиниция, която разширява Коши до безбройни безкрайни суми? Оказва се, че това не би помогнало, защото Коши освен това показа, че всеки сегмент, с каквато и да е дължина (и наистина цяла безкрайна линия) има точно същия брой точки като нашия единен сегмент. Така че познаването на броя на точките няма да определи дължината на линията и затова не е възможно подобно познато допълнение - в което цялото се определя от частите. Вместо това трябва да мислим за свойствата на разстоянието на една линия като логически задна спрямо нейната точкова композиция: първо имаме набор от точки (подредени по определен начин, така че да има някакъв факт, например,за това кое от трите е между другите), тогава определяме функция от двойки точки, която определя колко далеч са (удовлетворяващи такива условия, че разстоянието между (A) и (B) плюс разстоянието между (B) и (C) е равно на разстоянието между (A) и (C) - ако (B) е между (A) и (C)). Така отговаряме на Зено по следния начин: аргументът предполага, че размерът на тялото е сбор от размерите на точковите части, но това не е така; според съвременната математика сегмент от геометрични линии е неизчислима безкрайност на точки плюс функция на разстояние. (Обърнете внимание, че Грюнбаум използва факта, че точковият състав не успява да определи дължина, за да подкрепи неговия „конвенционалистичен“възглед, че линията изобщо няма определена дължина, независимо от стандарта за измерване.)))))Така отговаряме на Зено по следния начин: аргументът предполага, че размерът на тялото е сбор от размерите на точковите части, но това не е така; според съвременната математика сегмент от геометрични линии е неизчислима безкрайност на точки плюс функция на разстояние. (Обърнете внимание, че Грюнбаум използва факта, че точковият състав не успява да определи дължина, за да подкрепи неговия „конвенционалистичен“възглед, че линията изобщо няма определена дължина, независимо от стандарта за измерване.)Така отговаряме на Зено по следния начин: аргументът предполага, че размерът на тялото е сбор от размерите на точковите части, но това не е така; според съвременната математика сегмент от геометрични линии е неизчислима безкрайност на точки плюс функция на разстояние. (Обърнете внимание, че Грюнбаум използва факта, че точковият състав не успява да определи дължина, за да подкрепи неговия „конвенционалистичен“възглед, че линията изобщо няма определена дължина, независимо от стандарта за измерване.)(Обърнете внимание, че Грюнбаум използва факта, че точковият състав не успява да определи дължина, за да подкрепи неговия „конвенционалистичен“възглед, че линията изобщо няма определена дължина, независимо от стандарта за измерване.)(Обърнете внимание, че Грюнбаум използва факта, че точковият състав не успява да определи дължина, за да подкрепи неговия „конвенционалистичен“възглед, че линията изобщо няма определена дължина, независимо от стандарта за измерване.)

Както Ерлих (2014 г.) подчертава, дори бихме могли да определим, че „неизчислима сума“от нули е нула, тъй като дължината на една линия не е равна на сбора от дължините на точките, които съдържа (обръщайки се към Шери, 1988 г., се отнасят до това, че отказът да се разшири определението би бил ad hoc). Следователно, ако човек предвиди, че дължината на една линия е сборът на всяка пълна колекция от правилни части, тогава следва, че точките не са правилно говорещи части от линия (за разлика от половинките, четвъртинките и т.н. на линия). В строг смисъл в съвременната теория на мерките (която обобщава рамката на Грюнбаум) точките в една линия са несъизмерими с нея, а самата настройка, дадена от Аристотел, в която се анализира дължината на цялото по отношение на неговите точки, е нелегитимна,

3. Парадоксите на движението

3.1 Дихотомията

Първият твърди несъществуването на движение на основата, че това, което е в движение, трябва да стигне на полупътния етап, преди да стигне до целта. (Физика на Аристотел, 239b11)

Този парадокс е известен като „дихотомия“, защото включва многократно разделяне на две (като вторият парадокс на множеството). Подобно на другите парадокси на движението, ние го имаме от Аристотел, който се опита да го опровергае.

Да предположим, че много бърз бегач - като митичната Аталанта - трябва да се движи за автобуса. Ясно преди да стигне до автобусната спирка, тя трябва да се движи на половината път, както казва Аристотел. Няма проблем там; ако предположим, че постоянно движение ще й отнеме 1/2 час, за да измине наполовина там и 1/2 време, за да измине останалата част от пътя. Сега тя също трябва да измине наполовина до точката на половината път - т.е. 1/4 от общото разстояние - преди да достигне точката на половината път, но отново й се оставя да има краен брой крайни дължини, за да бяга, и достатъчно време за това. И преди да достигне 1/4 от пътя, тя трябва да достигне (1/2) от (1/4 = 1/8) от пътя; а преди това 1/16; и така нататък. Няма проблем във всеки краен момент от тази серия, но какво ще стане, ако наполовина се извърши безкрайно много пъти? Получената серия не съдържа първо разстояние,за всяко възможно първо разстояние би могло да се раздели наполовина и следователно няма да е първо. Въпреки това съдържа крайно разстояние, а именно 1/2 от пътя; и предпоследно разстояние, 1/4 от пътя; и трето до последно разстояние, 1/8 от пътя; и така нататък. Следователно серията от разстояния, които Аталанта трябва да измине, е:…, след това 1/16 от пътя, след това 1/8 от пътя, след това 1/4 от пътя и накрая 1/2 от пътя (засега ние не предполагаме, че тя спира в края на всеки сегмент и след това започва да тече в началото на следващия - мислим за нейното непрекъснато изпълнение да бъде съставено от такива части). И сега има проблем, тъй като за това описание на бягането й е изминал безкраен брой крайни разстояния, които, ще заключим Зенон, трябва да отнемат безкрайно време, което ще рече, че никога не е завършено. И тъй като аргументът не зависи от разстоянието или кой или какъв е двигателят, следва, че никога не може да се измине никакво ограничено разстояние, което означава, че всяко движение е невъзможно. (Обърнете внимание, че парадоксът би могъл лесно да се генерира в другата посока, така че Аталанта трябва първо да измине наполовина, след това половината от останалия начин, след това половината от това и така нататък, така че тя да изпълни следната безкрайна последователност от дроби разстояние: 1/2, след това 1/4, след това 1/8, след това ….)така че тя трябва да изпълни следната безкрайна последователност от дроби от общото разстояние: 1/2, след това 1/4, след това 1/8, след това ….)така че тя трябва да изпълни следната безкрайна последователност от дроби от общото разстояние: 1/2, след това 1/4, след това 1/8, след това ….)

Няколко често срещани отговора не са адекватни. Човек може би - както Симплиций (а) по физиката на Аристотел, 1012.22) ни казва, че Диоген Циникът е направил, като мълчаливо стои и ходи, посочвайки, че е въпрос на най-често срещаното преживяване, което нещата всъщност се движат и че ние знаем много добре, че Аталанта няма да има проблеми с автобусната си спирка. Но това не би впечатлило Зенон, който като платен парменидеец смяташе, че много неща не са както изглежда: може да изглежда, че Диоген ходи или че Аталанта бяга, но изявите могат да бъдат измамни и със сигурност имаме логично доказателство че всъщност те изобщо не се движат. Алтернативно, ако някой не приеме, че Зенон е дал доказателство, че движението е илюзорно - както се надяваме, че не - тогава той дължи извод за това, което не е наред с неговия аргумент: той е дал причини, поради които движението е невъзможно,и следователно адекватният отговор трябва да покаже защо тези причини не са достатъчни. И няма да е просто да се отбележи, че има някои начини за разделяне на Аталанта само на две половини, например, в които няма проблем. Защото ако приемете всички стъпки в аргумента на Зенон, тогава трябва да приемете неговото заключение (ако приемем, че той е аргументирал по логически дедуктивен начин): не е достатъчно да се покаже безпроблемно разделение, вие също трябва да покажете защо даденото разделение е непроблематично.не е достатъчно да покажете непроблематично разделение, трябва да покажете и защо даденото разделение е непроблематично.не е достатъчно да покажете непроблематично разделение, трябва да покажете и защо даденото разделение е непроблематично.

Друг отговор, даден от самия Аристотел, е да се отбележи, че докато разделяме изминатите разстояния, ние също трябва да разделим общото време, изминато: има 1/2 време за финал 1/2, 1/4 от времето за предходната 1/4, 1/8 от времето за 1/8 от пробега и така нататък. По този начин всяко дробно разстояние има точно правилната част от крайното общо време, за да го завърши Аталанта, и по този начин разстоянието може да бъде завършено за ограничено време. Аристотел смята, че този отговор трябва да удовлетвори Зенон, но той също осъзнава (Physics, 263a15), че това не може да бъде краят на въпроса. Засега казваме, че времето, което Аталанта отнема да стигне до автобусната спирка, се състои от безкраен брой фини парчета - …, 1/8, 1/4 и 1/2 от общото време - и не е ли това безкрайно време?

Разбира се, отново може да се твърди, че някои безкрайни суми имат крайна сума, и по-специално, че сумата от тези парчета е (1 / пъти) общото време, което разбира се е ограничено (и отново цялостното решение би изисквало строг отчет за безкрайното сумиране, като този на Коши). Аристотел обаче не направи такъв ход. Вместо това той направи рязко разграничение между това, което нарече "непрекъсната" линия, и линия, разделена на части. Помислете за просто разделение на права на две: от една страна има неразделена линия, а от друга - линията със средна точка, избрана като граница на двете половини. Аристотел твърди, че това са две различни неща: и че последното е „потенциално“производно от първото. На следващо място, Аристотел възприема здравия разум, че времето е като геометрична линия,и отчита времето, необходимо за завършване на пробега. Отново можем да различим двата случая: има непрекъснат интервал от начало до край и там е интервалът, разделен на безкрайността на Зенон от полупробези. Първият е „потенциално безкраен“в смисъл, че може да бъде разделен на втория „действителна безкрайност“. Ето основната стъпка: Аристотел смята, че тъй като тези интервали са геометрично различни, те трябва да бъдат физически различни. Но как е възможно това? Той твърди, че бегачът трябва да направи нещо в края на всеки полугон, за да го различи от следващия: тя трябва да спре, което прави самото бягане прекъснато. (Не е ясно защо някои други действия не биха били достатъчни за разделяне на интервала.) Тогава пълният отговор на Аристотел на парадокса е, че въпросът дали безкрайната серия от писти е възможна или не, е двусмислен:потенциално безкрайната серия от половинки в непрекъснат цикъл е възможна, докато действителна безкрайност на прекъснати половин писти не е. Зенон идентифицира невъзможност, но не описва обичайния начин за пропускане на писти!

Трудно е - от нашата съвременна гледна точка може би - да разберем как този отговор може да бъде напълно задоволителен. На първо място се предполага, че може да се направи ясно разграничение между потенциални и реални безкрайности, нещо, което никога не е било постигнато напълно. Второ, да предположим, че проблемът на Зенон се превръща в твърдението, че безкрайните суми от крайни количества са неизменно безкрайни. Тогава разграничението на Аристотел ще помогне само ако той може да обясни защо потенциално безкрайните суми всъщност са крайни (не бихме ли могли да добавим (1 + 1 + 1 + / ldots), което няма краен общ размер); или ако той може да даде причина, поради която потенциално безкрайни суми просто не съществуват. Или може би Аристотел не е виждал безкрайните суми като проблем, а по-скоро дали завършването на безкрайност от крайни действия е метафизично и концептуално и физически възможно. Накратко ще обсъдим този въпрос на „Суперзадачи“по-долу, но обърнете внимание, че има добре дефиниран цикъл, при който етапите на бягането на Аталанта се прекъсват от крайни почивки, като може би показваме възможността за изпълнение на безкрайна серия от крайни задачи в крайно време (Huggett 2010, 21–2). И накрая, разграничението между потенциални и действителни безкрайности не играе никаква роля в математиката, тъй като Кантор опитомяваше безкрайните числа - със сигурност потенциалната безкрайност не е играла роля в обсъжданите тук съвременни математически решения.разграничението между потенциални и действителни безкрайности не играе никаква роля в математиката, тъй като Кантор опитомява трансфинитните числа - със сигурност потенциалният безкраен не е играл роля в обсъжданите тук съвременни математически решения.разграничението между потенциални и действителни безкрайности не играе никаква роля в математиката, тъй като Кантор опитомява трансфинитните числа - със сигурност потенциалният безкраен не е играл роля в обсъжданите тук съвременни математически решения.

3.2 Ахил и костенурка

[Вторият] аргумент беше наречен съответно "Ахил", от факта, че Ахил е взет [като герой] в него и аргументът казва, че е невъзможно той да изпревари костенурката, когато го преследва. Защото всъщност е необходимо онова, което е да изпревари [нещо], преди да го изпревариш [първо], първо да достигнеш границата, от която избяга онова, което бяга. През [времето, през което достига това, което преследва, това, което бяга, ще преодолее определен интервал, дори ако е по-малък от този, който преследва напредналото…. И във времето, в което онова, което се преследва, ще пресече този [интервал], който онова, което бяга, е напреднало, в това време отново това, което бяга, ще пресече някаква сума…. И така във всеки един момент, в който това, което се преследва, ще премине [интервала], който онова, което бяга, като е по-бавно, вече е напреднал,това, което бяга, също ще авансира някаква сума. (Симплиций (б) относно физиката на Аристотел, 1014.10)

Този парадокс предизвиква почти същите съображения като последния. Представете си Ахил да гони костенурка и да предположим, че Ахил работи с скорост 1 м / сек, че костенурката пълзи с 0,1 м / сек и че костенурката започва да излиза на 0,9 м пред Ахил. На лицето му Ахил трябва да хване костенурката след 1s, на разстояние 1 м от мястото, където започва (и така на 0,1 м от мястото, където тръгва Костенурката). Можем да прекъснем движението на Ахил, както направихме това на Аталанта, на половинки, или можем да го направим по следния начин: преди Ахил да успее да хване костенурката, той трябва да стигне до мястото, където костенурката е започнала. Но във времето, необходимо за това, костенурката пълзи малко по-напред. Затова следващият Ахил трябва да стигне до тази нова точка. Но във времето, което е необходимо на Ахил, за да постигне това, костенурката пълзи напред малко. И така до безкрайност:всеки път, когато Ахил стигне до мястото, където е била костенурката, костенурката е имала достатъчно време, за да стигне още малко и затова Ахил трябва да направи още един ход и затова Ахил има безкраен брой крайни догонвания, които да направи преди той може да хване костенурката и така, заключава Зенон, той никога не хваща костенурката.

Един от аспектите на парадокса е, че Ахил трябва да измине следните безкрайни серии разстояния, преди да хване костенурката: първо 0,9 м, след това допълнителни 0,09 м, а след това 0,009 м,…. Това са поредицата от разстояния напред, които костенурката достига в началото на всеки от догонванията на Ахил. Погледнато по този начин пъзелът е идентичен с Дихотомията, защото е просто да се каже, че „онова, което е в локомоция, трябва да пристигне [девет десети от пътя], преди да стигне до целта“. И така всичко, което казахме по-горе, важи и тук.

Но това, което парадоксът в тази форма разкрива най-ярко, е проблемът с завършването на поредица от действия, които нямат окончателен член - в случая безкрайната серия от догонвания преди Ахил да достигне до костенурката. Но само какъв е проблемът? Може би следното: Бягането на Ахил до точката, в която той трябва да стигне до костенурката, изглежда може да бъде напълно разложено в поредицата от догонвания, нито един от които не го отвежда до костенурката. Следователно никъде в бягането си той не стига до костенурката в края на краищата. Но ако това е имал предвид Зенон, това няма да направи. Разбира се, Ахил не достига костенурката до никоя точка от последователността, тъй като всеки цикъл в последователността се случва, преди да очакваме Ахил да го достигне! Мислейки по отношение на точките, които Ахил трябва да достигне при бягането си, 1m не се появява в последователността 0.9m, 0.99m, 0.999m,…,така че, разбира се, той никога не хваща костенурката по време на тази последователност от писти! (И същата ситуация възниква и в Дихотомията: няма първо разстояние в серията, така че не съдържа старта на Аталанта!) По този начин серията наваксвания в крайна сметка не разгражда напълно пистата: крайната точка, в която Ахил прави улови костенурката - трябва да се добави към нея. Така че има ли пъзел? Спорно да.

Пробегът на Ахил преминава през последователността от точки 0,9 м, 0,99 м, 0,999 м,…, 1 м. Но има ли такава странна последователност, състояща се от безкрайност от членове, последвана от още един математически смисъл? Ако не, тогава нашето математическо описание на изпълнението не може да бъде правилно, но тогава какво е? За щастие теорията за трансфинитите, въведена от Cantor, ни уверява, че подобна серия е напълно уважавана. Беше осъзнато, че редните свойства на безкрайните серии са много по-сложни от тези на крайните серии. Всеки начин за подреждане на числата 1, 2 и 3 дава например поредица в същия модел, но има много различни начини за подреждане на естествените числа: 1, 2, 3, … например. Или…, 3, 2, 1. Или…, 4, 2, 1, 3, 5,…. Или 2, 3, 4,…, 1, което е точно същия вид серия, през който трябва да преминават позициите на Ахил. По този начин теорията за трансфинитите третира не само "кардинални" числа - които зависят само от това колко неща има, но и "порядъчни" числа, които зависят допълнително от това как са подредени нещата. Тъй като обикновените числа се приемат като математически законни числа и тъй като серията от точки, които Ахил трябва да премине, има порядъчен номер, ще приемем, че серията е математически легитимна. (Отново вижте "Суперзадачи" по-долу за друг вид проблем, който може да възникне за Ахил ".)ще приемем, че сериалът е математически легитимен. (Отново вижте "Суперзадачи" по-долу за друг вид проблем, който може да възникне за Ахил ".)ще приемем, че сериалът е математически легитимен. (Отново вижте "Суперзадачи" по-долу за друг вид проблем, който може да възникне за Ахил ".)

3.3 Стрелката

Третото е… летящата стрела е в покой, което произтича от предположението, че времето е съставено от моменти…. той казва, че ако всичко, когато заема равно пространство, е в покой и ако това, което е в движение, винаги е в сега, летящата стрела е следователно неподвижна. (Аристотел Физика, 239b30)

Зенон премахва движението, казвайки: „Това, което е в движение, не се движи нито на мястото, което е, нито на такова, в което не е“. (Диоген Лаерций Животът на известни философи, ix.72)

Този аргумент срещу движението изрично обръща конкретен вид предположение за множественост: това време е съставено от моменти (или „ноуз“) и нищо друго. Помислете стрела, очевидно в движение, във всеки момент. Първо, Зенон приема, че през този момент не изминава разстояние - „заема равно пространство“за целия миг. Но целият период на неговото движение съдържа само моменти, всички от които съдържат стрелка в покой и така, заключава Зенон, стрелката не може да се движи.

Непосредствено безпокойство е защо Зенон е оправдан да приеме, че стрелката е в покой във всеки миг. Следва веднага, ако някой приеме, че един миг продължава 0 секунди: каквато и скорост да има стрелката, тя няма да стигне до никъде, ако изобщо няма време. Но какво, ако някой прие, че най-малките части на времето са ограничени - ако са малки - така че движещата се стрелка всъщност може да се движи на известно разстояние за един миг? Един от начините за поддържане на предположението, който изисква да се чете доста в текста, започва, като се приеме, че моментите са неделими. Тогава предположим, че стрелка всъщност се е движила за миг. Би било на различни места в началото и в края на момента, което означава, че мигът има „начало“и „край“, което от своя страна означава, че има поне две части и така е делимо, противно на нашето предположение.(Обърнете внимание, че този аргумент установява само, че нищо не може да се движи в един миг, не че моментите не могат да бъдат крайни.)

Така че, нищо не се движи през всеки момент, но времето е изцяло съставено от моменти, така че никога нищо не се движи. Първият отговор е да се посочи, че определянето на скоростта на стрелката означава разделяне на изминатото за известно време разстояние на дължината на това време. Но ако отсега нататък инстантите имат нулева продължителност - тази формула няма смисъл в случай на миг: стрелката преминава 0m в 0s момента, в който момента продължава, но 0/0 m / s изобщо не е никакво число. Следователно е погрешно да се заключи от факта, че стрелката не изминава разстояние за миг, че е в покой; дали е в движение в даден момент или не, зависи от това дали изминава някакво разстояние в ограничен интервал, който включва въпросния момент.

Отговорът е верен, но носи контраинтуитивното значение, че движението не е нещо, което се случва във всеки момент, а по-скоро само за ограничени периоди от време. Мислете за това по този начин: времето, както казахме, се състои само от моменти. Не се изминава разстояние за нито един момент. И така, кога всъщност стрелката се движи? Как се стига от едно място на друго в по-късен момент? Има само един отговор: стрелката преминава от точка (X) във време 1 до точка (Y) по време 2, просто по силата на това, че е в последователни междинни точки в последователни междинни времена - стрелката никога не променя позицията си по време на мигновено, но само през интервали, съставени от моменти, от заемането на различни позиции в различно време. В запомнящите се думи на Бергсън - които според него изразиха абсурд - „движението е съставено от неподвижност“(1911, 308):стигането от (X) до (Y) е въпрос на заемане на точно едно място между всеки момент (в правилния ред, разбира се). За по-нататъшно обсъждане на това „at-at“схващане на времето вижте Arntzenius (2000) и Salmon (2001, 23-4).

3.4 Стадионът

Четвъртият аргумент е, че за равни тела, които се движат заедно с равни тела на стадиона от противоположни посоки - тези от края на стадиона, другите от средата - с равни скорости, в които той смята, че следва, че половината от времето е равен на двойното му…. (Аристотел Физика, 239b33)

Аристотел продължава да разработва и опровергава аргумент за окончателния парадокс на движението на Зенон. Текстът е доста загадъчен, но обикновено се интерпретира по следните редове: изобразявайте три набора от допиращи кубчета - всички точно еднакви - при относително движение. Единият набор - (A) s-са в покой, а другите - (B) s и (C) s - се движат съответно надясно и наляво с постоянна равна скорост. И да предположим, че в даден момент най-десният (B) и най-левият (C) са подравнени със средата (A), както е показано (три от всяка от тях са изобразени за простота).

(А) (А) (А)
(B) (B) (B)
(° С) (° С) (° С)

Тъй като (B) s и (C) s се движат с еднакви скорости, те ще бъдат подравнени едновременно с (A) s.

(А) (А) (А)
(B) (B) (B)
(° С) (° С) (° С)

В този момент най-десният (B) е изминал всичките (C) s, но само половината от (A) s; тъй като те са с еднакъв размер, той е изминал както известно разстояние, така и половината. Предполагащото противоречие обаче не е очертано тук, вероятно, защото е ясно, че тези противоположни разстояния са относително съответно на (C) s и (A) s; като цяло няма противоречие в това да стоиш в различни отношения с различни неща. Вместо това, разстоянията се преобразуват в пъти, като се разделят разстоянията на скоростта на (B) s; половината разстояние с дадена скорост отнема половината от времето. Тогава заплашва противоречие, защото времето между държавите е недвусмислено, а не относително - процесът отнема известно (не нулево) време и половината от това време.

Общата присъда е, че Зенон безнадеждно объркан относно относителните скорости в този парадокс. Ако (B) s се движат със скорост S m / s надясно по отношение на (A) s и ако (C) s се движат със скорост S m / s наляво по отношение на (A) s, тогава (C) s се движат със скорост (S + S = 2) S m / s наляво по отношение на (B) s. И така, разбира се, докато (B) пътуват два пъти по-далеч от (C) s като (A) s, те правят това с двойно по-голяма скорост и затова времената са едно и също. Но можеше ли Зенон да е бил толкова объркан? (Sattler, 2015, спори срещу това и други общи четения на стадиона.)

Може би (Дейви, 2007) вместо това е имал предвид следното (докато Зенон е по-умен според това четене, това съвсем не пасва на думите на Аристотел): да предположим, че (A) s, (B) s и (C) s са с най-малка пространствена степен, "размер на точка", където "точките" са с нулев размер, ако пространството е непрекъснато, или ограничени, ако пространството е "атомно". Да предположим освен това, че няма интервали между (A) s или между (B) s или между (C) s. По време на движението над водещото (B) преминава всички (C) s и половината от (A) s, така че половината толкова (A) s, колкото (C) s, Сега, когато една точка се движи непрекъснато по права линия без пропуски, има съотношение 1: 1 между моментите на времето и точките на линията - на всеки момент и на всяка точка. Следователно,броят на "(A) - инстанции" време, което водещото (B) отнема, за да премине (A) s е половината от числото на (C) - инстанции ", за да премине (C) s-въпреки че тези процеси отнемат същото време. Ако тогава най-важното е да приемем, че половината моменти означава половината от времето, заключаваме, че половината време е равно на цялото време, противоречие.

Видяхме по-горе, в нашата дискусия за пълна делимост, проблемът с такова разсъждение, приложено към непрекъснати линии: всеки сегмент от линия има еднакъв брой точки, така че нищо не може да се направи от броя точки по този начин - със сигурност не, че половината от точки (тук, моменти) означава половината от дължината (или времето). Парадоксът се проваля както е посочено. Но не е ли твърдението, че интервалите съдържат един и същ брой екземпляри в противоречие с стъпката на аргумента, който заключава, че има половина повече (A) - инстанции, колкото (C) - екземпляри? Този въпрос е фин за безкрайните множества: да се даде различен пример, 1, 2, 3, … е в 1: 1 кореспонденция с 2, 4, 6, …, и така има еднакъв брой от всеки. В този смисъл на 1:1 кореспонденция - точният смисъл на „същото число“, използван в математиката - че всяка крайна линия има същия брой точки като всяка друга. Въпреки това, по неофициален начин, има и „наполовина повече“четни числа като цели числа: двойките (1, 2), (3, 4), (5, 6),… също могат да бъдат поставени в 1: 1 кореспонденция с 2, 4, 6,…. По подобен начин има неофициално говорени - наполовина колкото (A) - екземпляри, колкото (C) - моменти: (A) - екземплярите са в 1: 1 кореспонденция с двойки (C) - инстанции, Така че няма противоречие в броя на точките: неофициалната половина се равнява на строгото цяло (за атомната теория е необходимо различно решение, по линиите, представени в последния параграф на този раздел).1 кореспонденция с 2, 4, 6,…. По подобен начин има неофициално говорени - наполовина колкото (A) - екземпляри, колкото (C) - моменти: (A) - екземплярите са в 1: 1 кореспонденция с двойки (C) - инстанции, Така че няма противоречие в броя на точките: неофициалната половина се равнява на строгото цяло (за атомната теория е необходимо различно решение, по линиите, представени в последния параграф на този раздел).1 кореспонденция с 2, 4, 6,…. По подобен начин има неофициално говорени - наполовина колкото (A) - екземпляри, колкото (C) - моменти: (A) - екземплярите са в 1: 1 кореспонденция с двойки (C) - инстанции, Така че няма противоречие в броя на точките: неофициалната половина се равнява на строгото цяло (за атомната теория е необходимо различно решение, по линиите, представени в последния параграф на този раздел).

(Нека спомена подобен парадокс на движение - „мелницата“, приписвана на Маймонидес. Представете си две колела, едното двойно по-голямо от радиуса и обиколката на другото, фиксирано на една ос за поддържане на оста хоризонтална, за едно завъртане на двете колела [те се въртят с една и съща скорост поради оста]: всяка точка на всяко колело осъществява контакт с точно една точка на своята релса, а всяка точка на всяка релса с точно една точка на колелото си. Монтажът изминава ли разстояние, равно на обиколката на голямото колело? От малкото? И двете? Нещо друго? Как? Този проблем също изисква разбиране на континуума, но той не е парадокс на този на Зенон, така че ние ще оставете го на изобретателността на читателя.)

Окончателната възможна реконструкция на стадиона на Зенон го приема като аргумент срещу атомната теория за пространството и времето, което е интересно, защото съвременната физика изследва подобна гледна точка, когато се опитва да „квантира“пространственото време. Да предположим, че тогава страните на всеки куб са равни на 'квантовата' дължина и че двата разглеждани момента са разделени от един единствен квант от време. Тогава трябва да се случи нещо странно, тъй като най-десният (B) и средата (C) преминават взаимно по време на движението и въпреки това няма момент, на който са на ниво: тъй като двата момента са разделени от най-малкия възможно време, между тях не може да има миг - би било време, по-малко от най-малкото време от двата момента, които разгледахме. И обратно, ако някой настояваше, че ако преминат, трябва да има момент, когато са на ниво,след това показва, че не може да бъде най-кратък краен интервал - каквото и да е, просто стартирайте този аргумент срещу него. Защо обаче човек трябва да настоява за това предположение? Проблемът е, че човек естествено си представя квантованото пространство като шахматна дъска, върху която шахматните фигури се замразяват през всеки квант от време. Тогава човек се чуди кога червената кралица, да речем, стига от един квадрат до друг или как минава покрай бялата кралица, без да е на ниво с нея. Но аналогията е подвеждаща. По-добре е да мислите за квантованото пространство като за гигантска матрица от светлини, която държи някакъв модел от осветени светлини за всеки квант от време. В тази аналогия запалена крушка представлява присъствието на обект: например поредица от крушки в линия, светеща последователно, представляват тяло, което се движи по права линия. В този случай няма изкушение да попитаме кога светлината „стига“от една крушка към следващата - или по аналогия как тялото се движи от едно място на друго. (Тук се докосваме до въпросите на времевите части и дали обектите „издържат“или „пердурират“.)

4. Още два парадокса

Още два парадокса са приписани на Зенон от Аристотел, но те са дадени в контекста на други точки, които той прави, така че намерението на Зенон не може да бъде определено с някаква сигурност: дори дали те са предназначени да спорят срещу множествеността и движението. Ще ги обсъдим накратко за пълнота.

4.1 Парадоксът на мястото

Трудността на Зенон изисква обяснение; защото ако всичко, което съществува, има място, то също ще има място и т.н. ad infinitum. (Аристотел физика, 209а23)

Когато той излага своята теория за мястото - решаващата пространствена представа в своята теория за движение-Аристотел изброява различни теории и проблеми, които неговите предшественици, включително Зенон, са формулирали по темата. Аргументът отново повдига въпроси за безкрайността, тъй като втората стъпка на аргумента се аргументира за безкраен регрес на местата. Обаче Аристотел го представя като аргумент срещу самата идея за място, а не за множественост (като по този начин вероятно го изважда от контекста). Трудно е да се почувства силата на заключението, защото защо не трябва да има безкрайна поредица от места на места от места на …? Вероятно притеснението би било по-голямо за някой, който (подобно на Аристотел) вярваше, че не може да има действителна безкрайност на нещата, тъй като аргументът показва, че има. Но както вече обсъдихме по-горе, днес няма нужда да имаме такива прелести;изглежда нищо проблематично с действителна безкрайност на местата.

Единственият друг начин, по който регресът може да бъде обезпокоителен, е, ако се приеме, че телата имат „абсолютни“места, в смисъл, че винаги има уникален привилегирован отговор на въпроса „къде е“? Проблемът тогава не е, че има безкрайно много места, а просто, че има много. И Аристотел може да е имал това притеснение, тъй като в теорията си за движението естественото движение на дадено тяло се определя от отношението на неговото място към центъра на Вселената: сметка, която изисква място, за да бъде определено, защото естественото движение е. (Вижте Sorabji 1988 и Morrison 2002 за общо, конкуриращи се сведения за възгледите на Аристотел за мястото; глава 3 от последното, особено за обсъждане на лечението на парадокса от Аристотел.) Но ако предположим, че човек заема това място е абсолютно по някаква причина, тогава за например,къде съм, докато пиша? Ако парадоксът е прав, тогава аз съм на моето място, и аз също съм на мястото си, и на моето място, и на моето … Тъй като съм на всички тези места, всеки може да изглежда подходящ отговор на въпроса. Възможни са различни отговори: отричайте абсолютни места (особено след като физиката ни не ги изисква), дефинирайте понятие за място, което е уникално във всички случаи (може би решението на Аристотел) или може би твърдите, че местата са свои собствени места, като по този начин отрежете регреса !дефинирайте понятие за място, което е уникално във всички случаи (може би решението на Аристотел) или може би твърдете, че местата са свои собствени места, като по този начин отрежете регреса!дефинирайте понятие за място, което е уникално във всички случаи (може би решението на Аристотел) или може би твърдете, че местата са свои собствени места, като по този начин отрежете регреса!

4.2 Зърното на просото

… Разсъжденията на Зенон са неверни, когато той твърди, че няма част от просото, която да не издава звук; защото няма причина, поради която и да е част не трябва да се провали въздуха, който целият втулка се движи при падане. (Физика на Аристотел, 250a19)

В контекста Аристотел обяснява, че част от сила много не произвежда една и съща част от движение. Например, докато 100 стевидори могат да теглят баржа, човек може изобщо да не го накара да се движи, камо ли 1/100-та от скоростта; така че давате толкова време, колкото ви харесва, той може да не го премести до 100-те. (Ние описваме този факт като ефект от триенето.) По същия начин, само защото падащ втулка от просо издава страхотен звук, докато пада, той прави не следвайте, че всяко отделно зърно би, или го прави: дайте толкова време, колкото ви харесва, то няма да движи същото количество въздух, както бушелът. Въпреки това, докато опровергава тази предпоставка, Аристотел не обяснява каква роля е играл за Зенон и можем само да спекулираме. Дори не е ясно дали е част от парадокс или някакъв друг спор:Зенон също е твърдял, че показва, че едно зърно просо не издава звук? Една спекулация е, че сетивата ни разкриват, че не е така, тъй като не можем да чуем как едно зърно пада. Тогава отговорът на Аристотел е удачен; и такъв е подобният отговор, че самият слух изисква движение във въздуха над определен праг.

5. Влияние на Зенон върху философията

В този последен раздел трябва да разгледаме накратко влиянието, което Зенон е оказал върху различни философи; търсене на литературата ще разкрие, че тези дебати продължават.

  • Питагорейците: За първата половина на ХХ век мнозинството, следващо четене на кожар (1885 г.) на Зенон, смята, че аргументите му са насочени срещу техническо учение на питагорейците. Според това четене те приеха, че всички неща са съставени от елементи, които имат свойствата на единица номер, геометрична точка и физически атом: този вид позиция би отговарял на тяхното учение, че реалността е в основата на математическа. Въпреки това, в средата на века поредица от коментатори (Властос, 1967 г. обобщава аргумента и съдържа препратки) насила твърди, че целта на Зенон е вместо това разбиране на здравия разум за множествеността и движението - едно, основано на познати геометрични представи - и наистина това учението не беше основна част от питагорейската мисъл. Ние мълчаливо предположихме, че тези аргументи са правилни в нашите четения на парадоксите. Въпреки това интерпретацията на Tannery все още има своите защитници (виж например, Matson 2001).
  • Атомистите: Аристотел (относно поколението и корупцията 316b34) твърди, че третият ни аргумент - този, който се отнася до пълна делимост - е бил убеден атомистите, че трябва да има най-малки, неделими части на материята. Вижте Авраам (1972) за допълнителна дискусия относно връзката на Зенон с атомистите.
  • Временното ставане: В началото на ХХ век няколко влиятелни философи се опитват да поставят аргументите на Зенон, за да работят в услуга на метафизиката на „временното ставане“, (предполагаемия) процес, чрез който настоящето се появява. Такива мислители като Бергсън (1911), Джеймс (1911, Ch 10-11) и Уайтхед (1929) твърдят, че парадоксите на Зенон показват, че пространството и времето не са структурирани като математически континуум: те твърдят, че начинът да се запази реалността на движението беше да се отрече, че пространството и времето са съставени от точки и моменти. Обаче ясно видяхме, че инструментите на стандартната съвременна математика са решени за разрешаването на парадоксите, така че подобно заключение не изглежда оправдано: ако настоящето наистина „стане“, няма причина да мислим, че процесът не е уловен от континуума.

  • Прилагане на математическия континуум към физическото пространство и време: След ръководство, дадено от Ръсел (1929, 182–198), редица философи - най-вече Грюнбаум (1967) - поеха задачата да покажат как съвременната математика може да реши всички зенонови парадокси; тяхната работа повлия дълбоко на нашето обсъждане на аргументите. Това, което разбраха, беше, че чисто математическото решение не е достатъчно: парадоксите поставят под въпрос не само абстрактната математика, но и естеството на физическата действителност. Така че те търсеха беше аргумент не само, че Зенон не представлява заплаха за математиката на безкрайността, но и че тази математика правилно описва обекти, време и пространство. Няма да отговори на парадоксите на Зенон, ако математическата рамка, на която се позовахме, не беше добро описание на действителното пространство, време и движение!Идеята, че математически закон - да кажем законът на Нютон за универсална гравитация - може или не може да опише правилно нещата, е позната, но някои аспекти на математиката на безкрайността - естеството на континуума, дефиницията на безкрайните суми и т. Н. Изглежда толкова основна че може да е трудно да се види в началото, че те също се прилагат условно. Но със сигурност го правят: нищо не гарантира априори, че пространството има структурата на континуума или дори, че части от пространството се допълват според определението на Коши. (Сьомгата предлага един хубав пример, за да ви помогне: тъй като алкохолът се разтваря във вода, ако смесите двата, в крайна сметка получавате по-малко от сумата от обемите им, показвайки, че дори обикновеното добавяне не е приложимо за всеки вид система.) Нашето убеждение, че математическата теория за безкрайността описва пространството и времето е оправдано дотолкова, доколкото законите на физиката приемат, че това е така, и дотолкова, доколкото самите тези закони са потвърдени от опит. Въпреки че е вярно, че почти всички физически теории приемат, че пространството и времето наистина имат структурата на континуума, също така е случаят, че квантовите теории на гравитацията вероятно предполагат, че не го правят. Въпреки че никой наистина не знае докъде ще доведе това изследване в крайна сметка, напълно възможно е пространството и времето да се окажат на най-фундаменталното ниво да са съвсем различни от математическия континуум, който ние предположихме тук. Въпреки че е вярно, че почти всички физически теории приемат, че пространството и времето наистина имат структурата на континуума, също така е случаят, че квантовите теории на гравитацията вероятно предполагат, че не го правят. Въпреки че никой наистина не знае докъде ще доведе това изследване в крайна сметка, напълно възможно е пространството и времето да се окажат на най-фундаменталното ниво да са съвсем различни от математическия континуум, който ние предположихме тук. Въпреки че е вярно, че почти всички физически теории приемат, че пространството и времето наистина имат структурата на континуума, също така е случаят, че квантовите теории на гравитацията вероятно предполагат, че не го правят. Въпреки че никой наистина не знае докъде ще доведе това изследване в крайна сметка, напълно възможно е пространството и времето да се окажат на най-фундаменталното ниво да са съвсем различни от математическия континуум, който сме приели тук.

    Трябва също така да се отбележи, че Грюнбаум се зае да покаже, че съвременната математика описва пространството и времето, за да включва нещо по-различно от аргументацията, че това е потвърдено от опит. Доминиращото мнение по онова време (макар и не в момента) беше, че научните термини имат значение, доколкото се отнасят директно до обекти на опит - като „1м владетел“- или, ако се отнасят до „теоретични“, а не до „наблюдателни“образувания - като "точка на пространството" или "1/2 от 1/2 от … 1/2 състезателна писта", тогава те придобиват смисъл чрез своите логически отношения - чрез определения и теоретични закони - към такива термини за наблюдение. По този начин Грюнбаум предприе внушителна програма, за да даде смисъл на всички термини, участващи в съвременната теория за безкрайността, интерпретирани като сметка за пространството и времето.

  • Суперзадачи: Друго направление на мисъл се отнася до онова, което Блек (1950–51) нарече „машини за безкрайност“. Блек и неговите последователи пожелаха да покажат, че въпреки че парадоксите на Зенон не предлагат никакъв проблем на математиката, те показаха, че в края на краищата математиката не е приложима за пространството, времето и движението. Най-забележително, нашата резолюция към Дихотомията и Ахил предположи, че пълният цикъл може да бъде разбит на безкрайна серия от половин писти, които могат да бъдат обобщени. Но наистина ли е възможно да завършите някаква безкрайна поредица от действия: да завършите това, което е известно като „суперзадачи“? Ако не, и ако приемем, че Аталанта и Ахил могат да изпълнят задачите си, техните пълни изпълнения не могат да бъдат описани правилно като безкрайна серия от полупрагове, въпреки че съвременната математика би ги описала така. Това, което машините за безкрайност трябва да установят, е, че безкрайната поредица от задачи не може да бъде изпълнена - така че всяка завършена задача не може да бъде разградена на безкрайност от по-малки задачи, каквото и математиката предполага.
  • Безкрайност: Накрая видяхме как да се справим с парадоксите, използвайки ресурсите на математиката, разработени през деветнадесети век. Дълго време се смяташе за една от големите добродетели на тази система, която най-накрая показа, че безкрайните малки количества, по-малки от всяко крайно число, но по-големи от нула, не са необходими. (Изчислението на Нютон например ефективно използва такива числа, третирайки ги понякога като нула, а понякога като ограничени; проблемът с такъв подход е, че как да се отнасяме към числата е въпрос на интуиция, а не строгост.) Въпреки това, през ХХ век Робинсън показа как да въведе безкрайно малки числа в математиката: това е системата на „нестандартни анализи“(познатата система от реални числа, дадена на строга основа от Дедекинд, е за разлика просто „анализ“). Аналогично,Бел (1988) обяснява как безкрайно малките сегментни линии могат да бъдат въведени в геометрията и коментира връзката им със Зенон. Нещо повече, McLaughlin (1992, 1994) показва как парадоксите на Зенон могат да бъдат разрешени при нестандартен анализ; те не са повече аргумент срещу нестандартния анализ, отколкото срещу стандартната математика, която приехме тук. Трябва да се подчертае обаче, че противно на предложенията на Маклафлин - не е необходим нестандартен анализ за разрешаване на парадоксите: всяка от двете системи е еднакво успешна. (Reeder, 2015, твърди, че нестандартният анализ е незадоволителен по отношение на стрелката и предлага алтернативен акаунт, използвайки различна концепция за безкрайни. пространство и време:изглежда правдоподобно, че всички физически теории могат да бъдат формулирани по двата термина и доколкото опитът ни се разширява изглежда еднакво потвърден. Но и двете не могат да бъдат верни на пространството и времето: или пространството има безкрайно малки части, или не.

Допълнителни четения

След съответните записи в тази енциклопедия, мястото за започване на всяко по-нататъшно разследване е Сьомга (2001), която съдържа някои от най-важните статии за Зенон до 1970 г. и впечатляващо изчерпателна библиография на произведения на английски език през ХХ век.

Човек би могъл също да разгледа Хюгет (1999, гл. 3) и Хъгет (2010, гл. 2–3) за допълнителни източници и дискусии. За запознаване с математическите идеи, стоящи зад съвременните резолюции, Приложението към сьомгата (2001) или Стюарт (2017) е добро начало; Russell (1919) и Courant et al. (1996, Chs. 2 и 9) също са прекрасни източници. И накрая, три сборника с оригинални източници за парадоксите на Зенон: Lee (1936 [2015]) съдържа всичко известно, Kirk et al (1983, Ch. 9) съдържа много материал (на английски и гръцки език) с полезни коментари и Cohen и др. (1995) има и основните пасажи.

библиография

  • Abraham, WE, 1972, „Природата на аргумента на Зенон срещу множествеността в DK 29 B I“, Phronesis, 17: 40–52.
  • Аристотел, „За поколението и корупцията“, А. А. Йоаким (прев.), В „Пълните произведения на Аристотел“, Дж. Барнс (съст.), Принстън: Принстънски университет Прес, 1984.
  • Аристотел, „Физика“, У. Д. Рос (прев.), В „Пълните трудове на Аристотел“, Дж. Барнс (съст.), Принстън: Принстънски университетски прес, 1984 г.
  • Арнцений, Ф., 2000, „Има ли наистина моментални скорости?“, Монист, 83: 187–208.
  • Bell, JL, 1988, „Безкрайни дрехи“, Synthese, 75 (3): 285–315.
  • Белот, Дж. И Ърман, Дж., 2001, "Предсократична квантова гравитация", в областта на физиката отговаря на философията в скалата на Планк: Съвременни теории в квантовата гравитация, К. Календър и Н. Хюзет (редактори), Кеймбридж: Университетът в Кеймбридж Натиснете.
  • Bergson, H., 1911, Creative Evolution, A. Mitchell (прев.), Ню Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстън.
  • Черен, М., 1950, „Ахил и костенурка“, Анализ, 11: 91–101.
  • Cohen, SM, Curd, P. and Reeve, CDC (eds), 1995, Readings in the Greek Greek Philosophy From Thales to Aristotel, Indianapolis / Cambridge: Hackett Publishing Co. Inc.
  • Courant, R., Robbins, H. и Stewart, I., 1996, Какво е математика? Елементарен подход към идеите и методите, 2-ро издание, Ню Йорк, Оксфорд: University of Oxford.
  • Дейви, К., 2007, „Аристотел, Зенон и парадоксът на стадиона“, Квартална история на философията, 24: 127–146.
  • Диоген Лаерций, 1983 г., „Животът на известни философи“, стр.273 на досократските философи: критическа история с подбор от текстове, 2-ро издание, GS Kirk, JE Raven и M. Schofield (eds), Cambridge: Cambridge University Press,
  • Ehrlich, P., 2014, „Есе в чест на деветдесетия рожден ден на Адолф Грюнбаум: Преразглеждане на парадокса на разширението на Зенон“, Философия на науката, 81 (4): 654–675.
  • Grünbaum, A., 1967, Модерна наука и парадокси на Зенон, Middletown: Connecticut Wesleyan University Press.
  • Huggett, N. (ed.), 1999, Пространство от Зенон до Айнщайн: Класически четения със съвременен коментар, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Huggett, N., 2010, Everywhere and Everywhen: Adventures in Physics and Philosophy, Oxford: Oxford University Press.
  • James, W., 1911, Някои проблеми на философията, Ню Йорк: Longmans, Green & Co.
  • Kirk, GS, Raven JE и Schofield M. (eds), 1983 г., Досократските философи: Критична история с подбор от текстове, 2-ро издание, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Lee, HDP (ed.), 1936 [2015], Зенон от Elea: Текст, с превод и бележки, Cambridge: Cambridge University Press, препечатано 2015 г.
  • Матсън, WI, 2001, „Зенон се движи!“, В „Есета на древногръцката философия“VI: Преди Платон, А. Преус (съст.), Олбани: Държавен университет на Ню Йорк Прес.
  • McLaughlin, WI, 1994, „Разрешаване на парадоксите на Зенон“, Scientific American, 271 (5): 84–89.
  • McLaughlin, WI и Miller, SL, 1992, „Епистемологично използване на нестандартния анализ за отговор на възраженията на Зенон срещу движение“, Synthese, 92: 371–384.
  • Морисън, Б, 2002, на място: Концепцията на мястото на Аристотел, Оксфорд: University of Oxford.
  • Нютон, И., Принципията: Математически принципи на естествената философия, И. Б. Коен и А. М. Уитман (прев.), Беркли: University of California Press, 1999.
  • Платон, 1997, „Парменидес“, М. Л. Джил и П. Райън (прев.), В Платон: Пълен труд, Дж. М. Купър (съст.), Индианаполис: Hackett Publishing Co. Inc.
  • Рийдър, П., 2015, „Стрелата на Зенон и безкрайното смятане“, Синтеза, 192: 1315–1335.
  • Ръсел, Б., 1919, Въведение в математическата философия, Лондон: Джордж Алън и Унвин ООД
  • Ръсел, Б., 1929, Нашите познания за външния свят, Ню Йорк: WW Norton & Co. Inc.
  • Сьомга, WC, 2001 г., Парадокси на Зенон, 2-ро издание, Индианаполис: Hackett Publishing Co. Inc.
  • Sattler, B., 2015, „Времето е двойно по-трудно: движещите се редове на Зенон“, Древна философия, 35: 1–22.
  • Шери, DM, 1988, „Метричният парадокс на Зенон преразгледан“, Философия на науката, 55: 58–73.
  • Simplicius (a), „За физиката на Аристотел“, в „Четене на древногръцката философия от Талес до Аристотел“, SM Cohen, P. Curd и CDC Reeve (ред.), Индианаполис: Hackett Publishing Co. Inc., стр. 58–59, 1995 година.
  • Simplicius (b), по физика на Аристотел 6, D. Konstan (прев.), Лондон: Gerald Duckworth & Co. Ltd, 1989.
  • Sorabji, R., 1988, Теория на материята, космоса и движенията в древността и тяхното продължение, Ithaca: Cornell University Press.
  • Stewart, I., 2017, Infinity - много кратко въведение, Oxford: Oxford University Press.
  • Tannery, P., 1885, „Le Concept Scientifique du continu: Zenon d'Elee et Georg Cantor“, Revue Philosophique de la France et de l’Etranger, 20: 385–410.
  • Vlastos, G., 1967, „Зенон на Елея“, в „Енциклопедия на философията“, P. Edwards (ed.), Ню Йорк: The Macmillan Co. и The Free Press.
  • Whitehead, AN, 1929, Процес и реалност, Ню Йорк: Macmillan Co.

Академични инструменти

сеп човек икона
сеп човек икона
 Как да цитирам този запис.
сеп човек икона
сеп човек икона
 Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
inpho икона
inpho икона
 Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
Фил хартия икона
Фил хартия икона
 Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси

Препоръчано:

Епистемични парадокси

Епистемични парадокси

Навигация за влизане Съдържание за участие библиография Академични инструменти Friends PDF Preview Информация за автора и цитирането Върнете се в началото Епистемични парадокси Публикувана за първи път сря 21 юни 2006 г.

Зенон от Елея

Зенон от Елея

Навигация за влизане Съдържание за участие библиография Академични инструменти Friends PDF Preview Информация за автора и цитирането Върнете се в началото Зенон от Елея Първо публикувано сря 9 януари 2008 г.; съществена ревизия Чт 5 януари 2017 г.

Популярни за деня

Джон Скотус Ериугена

Джон Скотус Ериугена

Бизнес етика

Бизнес етика

Древна етична теория

Древна етична теория

Етиката на клиничните изследвания

Етиката на клиничните изследвания

Доброволна евтаназия

Доброволна евтаназия

Културна еволюция

Културна еволюция