Парадокс на Ръсел

2023 Автор: Noah Black | [email protected]. Последно модифициран: 2023-08-25 04:38

Навигация за влизане

• Съдържание за участие
• библиография
• Академични инструменти
• Friends PDF Preview
• Информация за автора и цитирането
• Върнете се в началото

Парадокс на Ръсел

Публикувана за първи път пет декември 8, 1995; съществена ревизия нд окт 9, 2016

Парадоксът на Ръсел е най-известният от логическите или множествено-теоретичните парадокси. Известен още като парадокс на Ръсел-Цермело, парадоксът възниква в рамките на наивната теория на множествата, като се има предвид множеството от всички множества, които не са членове на себе си. Подобен набор изглежда член на себе си, ако и само ако не е член на себе си. Оттук и парадоксът.

Някои комплекти, като набор от всички чаени чаши, не са членове на себе си. Други набори, като набора от всички не-чаени чаши, са членове на себе си. Наречете набора от всички набори, които не са членове на себе си, „R“. Ако R е член сам по себе си, тогава по дефиниция той не трябва да е член на себе си. По същия начин, ако R не е член на себе си, тогава по дефиниция той трябва да бъде член на себе си.

Макар и забелязан от Ернст Цермело, противоречието не се смята за важно, докато не бъде открито независимо от Бертран Ръсел през пролетта на 1901 г. Оттогава парадоксът предизвика голяма работа в логиката, теорията на множествата и философията и основи на математиката.

• 1. Парадоксът
• 2. История на парадокса
• 3. Ранни отговори на парадокса
• 4. Парадоксът на Ръсел в съвременната логика
• библиография
• Академични инструменти
• Други интернет ресурси
• Свързани записи

1. Парадоксът

Централно значение за всяка теория на множествата е изложението на условията, при които се формират множествата. В допълнение към простото изброяване на членовете на даден набор, първоначално се предполагаше, че всяко добре дефинирано състояние (или точно определено свойство) може да се използва за определяне на набор. Например, ако T е свойството да бъде чаена чаша, тогава множеството S на всички чаши може да бъде определено като S = {x: T (x)}, множеството на всички индивиди, x, така че x има свойство да е Т. Дори противоречиво свойство може да се използва за определяне на набор. Например, свойството да бъде и T, и не-T би определило празния набор, като множеството няма членове.

По-точно, наивната теория на множествата поема така наречената наивна или неограничена аксиома за разбиране, аксиомата, че за всяка формула φ (x), съдържаща x като свободна променлива, ще съществува множеството {x: φ (x)}, чиито членове са точно онези обекти, които отговарят на φ (x). Следователно, ако формулата φ (x) означава „x е простичко“, тогава {x: φ (x)} ще бъде множеството от прости числа. Ако φ (x) означава "~ (x = x)", тогава {x: φ (x)} ще бъде празният набор.

Но от предположението за тази аксиома следва противоречието на Ръсел. Например, ако оставим φ (x) да стои за x ∈ x и нека R = {x: ~ φ (x)}, тогава R е множеството, чиито членове са точно тези обекти, които не са членове на себе си.

R член ли е себе си? Ако е така, то трябва да отговаря на условието да не бъде член на себе си и така не е така. Ако не е, тогава тя не трябва да отговаря на условието да не бъде член на себе си и затова трябва да бъде член на себе си. Тъй като по класическа логика един или другият случай трябва да има - или R е член на себе си, или не е - следва, че теорията предполага противоречие.

Както ни казва Ръсел, след като той приложи същия вид разсъждения, открити в диагоналния аргумент на Кантор, към „предполагаем клас на всички въобразими обекти“, той беше доведен до противоречието:

Обширният клас, който разглеждаме, който трябва да обхване всичко, трябва да се прегърне като един от своите членове. С други думи, ако има такова нещо като „всичко“, тогава „всичко“е нещо и е член на класа „всичко“. Но обикновено класът не е член сам по себе си. Човечеството, например, не е човек. Сега оформете събранието на всички класове, които не са членове на себе си. Това е клас: член на себе си ли е или не? Ако е, това е един от онези класове, които не са членове на себе си, т.е. не е член на себе си. Ако не е, той не е от онези класове, които не са членове на себе си, т.е. той е член на себе си. Така от двете хипотези - че е и че не е, член на себе си - всяка предполага своята противоречива. Това е противоречие. (1919, 136)

Стандартните отговори на парадокса се опитват да ограничат по някакъв начин условията, при които се формират множествата. Целта обикновено е едновременно да се премахнат R (и подобни противоречиви множества) и в същото време да се запазят всички останали множества, необходими за математиката. Това често се прави чрез замяна на неограничената Аксиома за разбиране с по-рестриктивната аксиома за разделяне, а именно аксиомата, която дава всеки (последователен) набор S и всяка формула φ (x) с x свободен, ще има набор {x ∈ S: φ (x)} чиито членове са точно онези членове на S, които отговарят на φ (x). Ако сега оставим φ (x) да стои за формулата x ∉ x, се оказва, че съответният набор {x ∈ S: x ∉ x} няма да бъде противоречив, тъй като се състои само от онези членове, намерени в S, които не са членове на себе си. Следователно комплектът не се включва.

Разнообразие от свързани парадокси са разгледани във втората глава на Въведение към Уайтхед и Ръсел (1910, 2-ро изд. 60-65), както и във вписването за парадокси и съвременна логика в тази енциклопедия.

2. История на парадокса

Изглежда, че Ръсел е открил своя парадокс в края на пролетта на 1901 г., докато работи върху неговите принципи на математиката (1903 г.). Кога точно е станало откриването не е ясно. Първоначално Ръсел заявява, че е попаднал на парадокса „през юни 1901 г.“(1944 г., 13 г.). По-късно той съобщава, че откритието е станало „през пролетта на 1901 г.“(1959, 75). Още по-късно той съобщава, че попаднал на парадокса, не през юни, а през май същата година (1969, 221). Чезаре Бурали-Форти, асистент на Джузепе Пеано, беше открил подобна антиномия през 1897 г., когато забеляза, че тъй като набор от ординарии е добре подреден, той също трябва да има заповед. Този порядък обаче трябва да бъде едновременно елемент от набора от всички наредби и същевременно по-голям от всеки такъв елемент.

За разлика от парадокса на Бурали-Форти, парадоксът на Ръсел не включва нито наредби, нито кардинали, а разчита само на примитивните представи за включване на набор и набор. Цермело забелязва подобно противоречие между 1897 и 1902 г., вероятно предчувствайки Ръсел до някои години (Ebbinghaus and Peckhaus 2007, 43–48; Tappenden 2013, 336), въпреки че Канамори заключава, че откритието лесно би могло да стане още през 1902 г. (Kanamori 2009, 411). Във всеки случай се смяташе, че парадоксът е от маловажно значение, докато не се осъзнае колко вредно е за основите на математиката на Готлоб Фреге.

Ръсел пише на Фреге с новина за парадокса си на 16 юни 1902 г. (За съответната кореспонденция вижте Ръсел (1902) и Фреж (1902) във Ван Хееноорт (1967).) Парадоксът е бил от значение за логическата работа на Фреге, тъй като на практика това показа, че аксиомите, които Фреге използва, за да формализира логиката си, са непоследователни. По-специално, Axiom V на Frege изисква израз като например φ (x) да се счита както за функция на аргумента x, така и за функция на аргумента φ. (По-точно, законът на Фреж гласи, че стойността на понятието f е идентична на стойността на понятието g, ако и само ако f и g са съгласни със стойността на всеки аргумент, т.е. ако и само ако за всеки обект x, f (x) = g (x). Вижте раздел 2.4.1 от записа на Gottlob Frege в тази енциклопедия за повече дискусия.) В действителност,именно тази неяснота позволи на Ръсел да изгради R по такъв начин, че да може и да бъде, и да не бъде член на себе си.

Писмото на Ръсел пристигна точно когато вторият том на Frege's Grundgesetze der Arithmetik (Основните закони на аритметиката, 1893, 1903 г.) бе в пресата. Веднага оценявайки трудността на парадокса, Фреге добави към Grundgesetze набързо съставено приложение, обсъждащо откритието на Ръсел. В приложението Фреге отбелязва, че последиците от парадокса на Ръсел не са ясни веднага. Например: „Винаги ли е позволено да се говори за разширяване на понятие, за клас? И ако не, как да разпознаем изключителните случаи? Винаги можем ли да заключим, че разширението на едно понятие съвпада с това на второто, че всеки предмет, който попада под първата концепция, също попада под втория? Това са въпросите, отбелязва Фреге, „повдигнати от съобщението на г-н Ръсел“(1903, 127). Поради тези притеснения,В крайна сметка Фреге се почувства принуден да изостави много от възгледите си за логиката и математиката.

Въпреки това, както Ръсел посочва, Фреж посрещна новината за парадокса със забележителна сила:

Докато мисля за актове на почтеност и благодат, осъзнавам, че няма нищо в моите знания, което да се сравнява с отдадеността на Фреге към истината. Цялото му жизнено дело беше на прага на завършване, голяма част от работата му беше пренебрегната в полза на мъжете безкрайно по-малко способни, вторият му том щеше да бъде публикуван и след като установи, че основното му предположение е в грешка, той отговори с интелектуалното удоволствие ясно потапя всякакви чувства на лично разочарование. Това беше почти свръхчовешко и показателно за това на какво са способни мъжете, ако тяхната отдаденост е на творческа работа и знания, вместо на по-груби усилия да доминират и да бъдат известни. (Цитирано в ван Хееноорт (1967), 127)

Разбира се, Ръсел също беше загрижен за последствията от противоречието. След като научил, че Фреж се съгласява с него за значението на резултата, той веднага започва да пише приложение за собствените си скоро пуснати на свобода принципи на математиката. Озаглавено „Приложение Б: Доктрината за типовете“, приложението представлява първия опит на Ръсел да предостави принципен метод за избягване на това, което скоро трябва да стане известно като „парадокс на Ръсел“.

3. Ранни отговори на парадокса

Значението на парадокса на Ръсел се вижда, след като се осъзнае, че използвайки класическата логика, всички изречения произтичат от противоречие. Например, ако приемем и P, и P, всяко произволно предложение, Q, може да бъде доказано по следния начин: от P получаваме P ∨ Q по правилото на допълнение; тогава от P ∨ Q и ~ P получаваме Q по правилото на дизъюнктивния силогизъм. Тъй като теорията на множествата е в основата на всички клонове на математиката, много хора започнаха да се притесняват, че несъответствието на теорията на множествата ще означава, че нито едно математическо доказателство не може да бъде напълно надеждно. Само чрез премахване на парадокса на Ръсел математиката като цяло може да си възвърне последователността.

Парадоксът на Ръсел в крайна сметка произтича от идеята, че всяко състояние или свойство може да се използва за определяне на набор. Например, свойството да бъде равномерно делимо само от себе си и номер едно отличава множеството от прости числа от множеството цели числа. Свойството да имат млечни жлези отличава множеството бозайници от влечуги, птици и други живи организми. Свойството да бъде едновременно квадратно, а не квадратно (или каквото и да е друго съединение на противоречиви свойства) определя празното множество и т.н.

Един ранен скептик, свързан с неограничената аксиома за Разбиране (или абстракция), е инициаторът на съвременната теория на множествата Георг Кантор. Дори преди откриването на Ръсел Кантор беше отхвърлил неограниченото Разбиране в полза на това, което всъщност беше разграничение между множествата и класовете, признавайки, че някои свойства (като например свойството да бъде обикновена) произвеждат колекции, които са просто твърде големи, за да бъдат множества и че всяко предположение за противното би довело до несъответствие. (Подробности могат да бъдат намерени в Moore (1982), Hallett (1984) и Menzel (1984).)

Собственият отговор на Ръсел на парадокса дойде с неговата умело наречена теория на типовете. Вярвайки, че самоприлагането лежи в основата на парадокса, основната идея на Ръсел беше, че можем да избегнем ангажираност към R (набора от всички множества, които не са членове на себе си), като подредим всички изречения (или по-точно всички предложения на функции, функции, които дават предложения като техните стойности) в йерархия. След това е възможно да се посочат всички обекти, за които дадено условие (или предикат) е валидно само ако всички те са на едно и също ниво или са от един и същ „тип“.

Това решение на парадокса на Ръсел е мотивирано до голяма степен чрез приемането на така наречения принцип на порочен кръг. Действащият принцип гласи, че никоя функция на предложение не може да бъде дефинирана преди да се уточни обхватът на приложението на функцията. С други думи, преди да може да бъде определена функция, първо трябва да посочите точно тези обекти, към които ще се прилага функцията (домейнът на функцията). Например, преди да се дефинира предикатът „е просто число“, първо трябва да се определи колекцията от обекти, които евентуално биха могли да удовлетворят този предикат, а именно множеството, N, на естествените числа.

Както обясняват Уайтхед и Ръсел,

Анализ на парадоксите, които трябва да се избягват, показва, че всички те са резултат от един порочен кръг. Въпросните порочни кръгове възникват от предположението, че колекция от обекти може да съдържа членове, които могат да бъдат определени само с помощта на колекцията като цяло. Така например колекцията от предложения трябва да съдържа предложение, в което се казва, че „всички предложения са верни или неверни“. Изглежда обаче, че подобно изявление не може да бъде легитимно, освен ако „всички предложения“се позовават на някаква вече определена колекция, която не може да направи, ако нови предложения се създадат от изявления за „всички предложения“. Следователно ще трябва да кажем, че твърденията за „всички предложения“са безсмислени. … Принципът, който ни позволява да избягваме нелегитимните съвкупности, може да бъде посочен, както следва:„Каквото и да включва цялата колекция, не трябва да бъде от колекцията“; или, обратно: „Ако, при условие, че определен сборник има общ брой, членовете му могат да се определят само по отношение на тази обща сума, тогава споменатата колекция няма общ“. Ще наречем това „принцип на порочния кръг“, защото той ни позволява да избягваме порочните кръгове, участващи в предположението за нелегитимни съвкупности. (1910 г., второ издание 37)

Ако Уайтхед и Ръсел са прави, следва, че обхватът на никоя функция няма да може да включва всеки обект, предполаган от самата функция. В резултат на това предложенията (както и техните съответни предложения) ще бъдат подредени в йерархия, каквато предлага Ръсел.

Въпреки че Ръсел за пръв път въведе теорията си за типовете в своите принципи от математиката от 1903 г., той веднага разбра, че е необходимо да се свърши още работа, тъй като първоначалната му сметка изглежда разрешава някои, но не всички парадокси. Сред алтернативите, които той смяташе, беше така наречената теория за заместване (Galaugher 2013). Това от своя страна доведе до по-зрял израз на теорията на типа пет години по-късно в статията на Ръсел от 1908 г. „Математическата логика като основана на теорията на типовете“и в монументалната работа той е съавтор с Алфред Норт Уайтхед, Principia Mathematica (1910, 1912 г.), 1913). По този начин теорията на Ръсел се появява в две версии: „простата теория“от 1903 г. и „разклонената теория“от 1908 г. И двете версии са критикувани, че са твърде ad hoc, за да елиминират успешно парадокса.

В отговор на парадокса на Ръсел Дейвид Хилберт също разшири програмата си за изграждане на последователна, аксиоматична основа за математиката, така че да включва аксиоматична основа за логиката и теорията на множествата (Peckhaus 2004). В основата на този формалистичен подход се криеше идеята да се позволи използването само на ограничени, добре дефинирани и конструируеми обекти, заедно с правила за извод, които се считат за абсолютно сигурни.

И накрая, Луицен Брауер разви интуиционизма, чиято основна идея беше, че не може да се твърди съществуването на математически обект, освен ако не може да се определи процедура за неговото конструиране.

Заедно всички тези отговори помогнаха да се съсредоточи вниманието върху връзките между логиката, езика и математиката. Те също така помогнаха на логиците да развият изрично съзнание за естеството на формалните системи и за видовете металогични и метаматематически резултати, които се оказаха централни за изследванията в основите на логиката и математиката през последните сто години.

4. Парадоксът на Ръсел в съвременната логика

Парадоксът на Ръсел понякога се възприема като негативно развитие - като свалянето на Грундгесезе на Фреге и като един от първоначалните концептуални грехове, водещи до изгонването ни от рая на Кантор. WV Quine описва парадокса като „антиномия“, която „събира изненада, която може да бъде приютена с нищо по-малко от отхвърляне на нашето концептуално наследство“(1966, 11). Куин има предвид споменатия по-рано принцип за наивно разбиране. При символите принципът гласи, че

(NC) ∃ A ∀ x (x ∈ A ≡ φ),

където A не е свободен във формулата φ. Това казва: „Съществува множество A такова, че за всеки обект x, x е елемент на A, ако и само ако условието, изразено с φ, важи.“Парадоксът на Ръсел възниква, приемайки φ за формулата: x ∉ x.

Въпреки коментара на Куин, е възможно да видите парадокса на Ръсел в по-положителна светлина. От една страна, въпреки че въпросът остава спорен, по-късни изследвания разкриха, че парадоксът не е непременно късо съединение на извеждането на аритметика от Фреге само от логиката. Версията на NC на Фреге (неговата Axiom V) може просто да бъде изоставена. (За подробности вижте записа в теоремата на Фреге.) За друга Църква дава елегантна формулировка на простата теория за типовете, която се е оказала ползотворна дори в области, извадени от основите на математиката. (За подробности вижте записа в теорията на типа.) Накрая,развитието на аксиоматични (за разлика от наивните) зададе теории, които показват различни гениални и математически и философски значими начини за справяне с парадокса на Ръсел, проправи пътя за изумителни резултати в метаматематиката на теорията на множествата. Тези резултати включват теоремите на Гьодел и Коен за независимостта на аксиомата на избор и хипотезата за континуума на Кантор. Така че нека видим приблизително как някои от тези методи - по-конкретно, така наречените „нетипизирани“методи - се справят с парадокса на Ръсел.

Zermelo заменя NC със следната аксиома схема на разделяне (или Aussonderungsaxiom):

(ZA) ∀ A ∃ B ∀ x (x ∈ B ≡ (x ∈ A ∧ φ)).

Отново, за да се избегне циркулярността, B не може да бъде свободен в φ. Това изисква, за да влезе в B, x трябва да е член на съществуващ набор A. Както може да си представим, това изисква множество допълнителни аксиоми за множествено съществуване, нито една от които не би била необходима, ако NC се задържаше.

Как ZA избягва парадокса на Ръсел? Човек в началото може да си помисли, че не е така. В крайна сметка, ако оставим A да бъде V - цялата вселена от множества - и φ бъде x ∉ x, отново се появява противоречие. Но в случая всичко противоречие показва, че V не е множество. Всичко противоречие показва, че „V“е празно име (т.е. че няма референция, че V не съществува), тъй като онтологията на системата на Zermelo се състои единствено от множества.

Същата точка може да бъде направена и по друг начин, включващ релативизирана форма на аргумента на Ръсел. Нека B е всеки набор. Чрез ZA, множеството R _B = {x ∈ B: x ∉ x} съществува, но не може да бъде елемент от B. Защото, ако е елемент от B, тогава можем да попитаме дали е елемент от R _B или не; и е, ако и само ако не е. По този начин нещо, а именно R _B, „липсва“от всеки набор B. И така, V не е набор, тъй като нищо не може да липсва на V. Но забележете следната тънкост: за разлика от предишния аргумент, включващ прякото приложение на Aussonderungs към V, настоящият аргумент загатва за идеята, че докато V не е set, "V" не е празно име. Следващата стратегия за справяне с парадокса на Ръсел се възползва от този намек.

Нетипичният метод на Джон фон Нойман (1925) за справяне с парадокси, и по-специално с парадокса на Ръсел, е прост и гениален. Фон Нойман въвежда разграничение между членство и нечленуване и на тази основа прави разграничение между групи и класове. Обектът е член (симплитер), ако е член от някакъв клас; и не е член, ако не е член на който и да е клас. (Всъщност фон Нойман разработва теория на функциите, приети като примитивни, а не класове, където съответствието на разграничаването член / нечлен има разграничение между обект, който може да бъде аргумент на някаква функция и този, който не може. модерната му форма, поради Бернайс и Гьодел, е еднопосочна теория на класовете.)

След това наборите се дефинират като членове, а нечлените са обозначени като „правилни класове“. Така например, класът Russell, R, не може да бъде член на който и да е клас и следователно трябва да е подходящ клас. Ако R се приеме като елемент от клас A, то от една от аксиомите на фон Нойман следва, че R не е еквивалентен на V. Но R е еквивалентен на V и следователно не е елемент на A. По този начин методът на фон Нойман е тясно свързан с резултата, посочен по-горе за множеството R _B, за произволен В. Методът на Фон Нойман, макар да се възхищава от харесванията на Гьодел и Бернайс, през последните години е подценен.

Quine (1937) и (1967) по подобен начин предоставят друг нетипичен метод (в буква, ако не по дух) за блокиране на парадокса на Ръсел и този, който е пълен с интересни аномалии. Основната идея на Куйн е да въведе аксиома на стратифицирано разбиране. В действителност, аксиома блокира кръговете чрез въвеждане на йерархия (или стратификация), която е подобна на теорията на типовете в някои отношения и различна в други. (Подробности можете да намерите в записа на Quine's New Foundations.)

За разлика от стратегиите на Зермело, фон Нойман и Куин, които в известен смисъл са чисто теоретично зададени, също е имало опити да се избегне парадокса на Ръсел чрез промяна на основната логика. Имаше много такива опити и няма да ги преглеждаме всички, но в момента се откроява като радикален и донякъде популярен (макар и не със зададени теоретици), това е параконсистентният подход, който ограничава общата ефект на изолирано противоречие върху цяла теория. Класическата логика постановява, че всяко противоречие тривиализира теорията, като прави всяко изречение от теорията доказуемо. Това е така, защото в класическата логика теоремата е следната:

(Ex Falso Quadlibet) A ⊃ (~ A ⊃ B).

Сега, на практика единственият начин да избегнете EFQ е да се откажете от дизюнктивния силогизъм, тоест предвид обичайните дефиниции на съединителите, modus ponens! Така че промяната на основната сентенционна логика по този начин наистина е радикална - но възможна. За съжаление дори отказването от EFQ не е достатъчно, за да запази прилика на NC. Човек също трябва да се откаже от следната допълнителна теорема за основна сентенционна логика:

(Свиване) (A ⊃ (A ⊃ B)) ⊃ (A ⊃ B).

Тогава може да се твърди, че NC води директно, не просто до изолирано противоречие, а до тривиалност. (За аргумента, че това е така, вижте записа в парадокса на Къри, раздел 2.2. Обърнете внимание също, че не е достатъчно само да запази името „modus ponens“; самото правило се променя в нетрадиционната логика.) По този начин изглежда, че неволите на NC не са ограничени до парадокса на Ръсел, но включват и парадокс без отрицание поради Curry.

Друго предложение би могло да бъде заключението, че парадоксът зависи от пример на принципа на Изключеното Средно, че или R е член на R, или не е. Това е принцип, който се отхвърля от някои некласически подходи към логиката, включително интуиционизма. Възможно е обаче парадоксът да бъде формулиран, без да се харесва на Изключен Близък, като се разчита вместо на закона за несъвместимост. Правим по следния начин: Като се има предвид дефиницията на R, следва, че R ∈ R ≡ ~ (R ∈ R). Значи R ∈ R ⊃ ~ (R ∈ R). Но също така знаем, че R ∈ R ⊃ R ∈ R. Значи R ∈ R ⊃ (R ∈ R ∧ ~ (R ∈ R)). Но по Закона за несъвместимостта знаем, че ~ (R ∈ R ∧ ~ (R ∈ R)). Така че от modus tollens заключаваме, че ~ (R ∈ R). В същото време знаем също, че тъй като R ∈ R ≡ ~ (R ∈ R), следва, че ~ (R ∈ R) ⊃ R ∈ R, и следователно, че R ∈ R. Така че можем да изведем както R ∈ R, така и неговото отрицание, използвайки само интуиционистично приемливи методи.

Следователно изглежда, че привържениците на некласическата логика не могат да твърдят, че са запазили NC в някакъв съществен смисъл, освен да запазят чисто синтактичната форма на принципа, и нито интуиционизмът, нито параконсистенцията плюс изоставянето на свиването ще предложат предимство нетипични решения на Цермело, фон Нойман или Куин. (По-нататъшно обсъждане може да бъде намерено в Meyer, Routley and Dunn (1979), Irvine (1992), Priest (2006, ch. 18), Weber (2010), Weber (2012), както и в записите за парадокса на Curry (sec. 2.2) и параконсистентна логика (раздел 2.3).)

Също така си струва да се отбележи, че парадоксът на Ръсел не беше единственият парадокс, който смути Ръсел, и следователно не е единствената мотивация за типовите ограничения, които се срещат в Principia Mathematica. В своята по-ранна работа „Принципите на математиката“Ръсел посвещава глава на „Противоречието“(парадоксът на Ръсел), представяйки го под няколко форми и отхвърляйки няколко отговора, които не са включени в старта. След това той сигнализира, че „накратко“ще обсъди учението за типовете. Това не се случва за няколкостотин страници, докато стигнем до самия край на книгата, в Приложение Б! Там Ръсел представя начална, проста теория на типовете, а не теорията на типовете, която намираме в Principia Mathematica. Защо беше нужна по-късната теория? Причината е, че в Приложение Б Ръсел представя и друг парадокс, който според него не може да бъде разрешен с помощта на простата теория за типовете. Този нов парадокс се отнася до предложенията, а не до класовете и той, заедно със семантичните парадокси, накара Ръсел да формулира разядената си версия на теорията на типовете.

Новата, предложена версия на парадокса не е заложила съществено в последващото развитие на логиката и теорията на множествата, но тя озадачи Ръсел. От една страна изглежда противоречи на теоремата на Кантор. Ръсел пише: „Не можем да признаем, че има повече диапазони [класове предложения], отколкото предложения“(1903, 527). Причината е, че изглежда има лесна връзка между класовете предложения и предложения. Например класът m предложения може да бъде съпоставен с твърдението, че всяко предложение в m е вярно. Това, заедно с фино зърнест принцип на индивидуализация на предложенията (твърдяйки, от една страна, че ако класовете m и n на предложенията се различават, то всяко предложение за m ще се различава от всяко предложение за n) води до противоречие.

Имаше сравнително малко обсъждане на този парадокс, въпреки че той играе ключова роля в развитието на логиката на смисъла и денотация на Църквата. Въпреки че имаме няколко теории за избор, от които да избираме, ние не разполагаме с нещо като добре развита теория за руселските предложения, въпреки че подобни предложения са централни за възгледите на милианците и теоретиците за директна справка. Човек би си помислил, че такава теория ще е необходима за основите на семантиката, ако не и за основите на математиката. Следователно, докато един от парадоксите на Ръсел доведе до плодотворно развитие на основите на математиката, неговият „друг“парадокс все още не е довел до нещо подобно в основите на семантиката. За по-сигурно,Чърч (1974а) и Андерсън (1989) се опитват да разработят руселианска интензивна логика, основана на разгалената теория на типовете, но може да се направи аргумент, че разгалената теория е твърде ограничаваща, за да послужи като основа за семантиката на естествения език. Има и някои неотдавнашни опити да се получат наченките на руселианска интензивна логика, базирана на нетипизирани теории на множествата (Cantini 2004; Deutsch 2014). Доста иронично е, че въпреки че финозърнестите руселски предложения се предпочитат във философията на езика, официалното развитие на интензивната логика е доминирано от граматиката на Монтег, с нейната теория на предложенията. Има и някои неотдавнашни опити да се получат наченките на руселианска интензивна логика, базирана на нетипизирани теории на множествата (Cantini 2004; Deutsch 2014). Доста иронично е, че въпреки че финозърнестите руселски предложения се предпочитат във философията на езика, официалното развитие на интензивната логика е доминирано от граматиката на Монтег, с нейната теория на предложенията. Има и някои неотдавнашни опити да се получат наченките на руселианска интензивна логика, базирана на нетипизирани теории на множествата (Cantini 2004; Deutsch 2014). Доста иронично е, че въпреки че финозърнестите руселски предложения се предпочитат във философията на езика, официалното развитие на интензивната логика е доминирано от граматиката на Монтег, с нейната теория на предложенията.

Също така си струва да се отбележи, че редица на пръв поглед чисто зададени теоретични принципи са всъщност (приложени) случаи на теореми с чиста логика (т.е. на теория за количествено определяне от първи ред с идентичност)! Има (частичен) списък от тях в Калиш, Монтегю и Мар (2000). Парадоксът на Ръсел е екземпляр от T269 в този списък:

(T269) ~ ∃ y ∀ x (Fxy ≡ ~ Fxx).

Четейки диадичната предикативна буква "F" като "е член на", това казва, че не е така, че има такова, че за всеки x, x е член на y, ако и само ако x не е член на х. Това означава ли, че парадоксът на Ръсел се свежда до T269?

Със сигурност доказателството за T269 дестилира същността на аргумента на Ръсел, неговия модел на разсъждения. Но този модел подписва и безкраен списък от на пръв поглед несериозни „парадокси“като известния парадокс на бръснаря, който бръсне всички и само онези, които не се бръснат, или подобно на парадокса на доброжелателния, но ефикасен Бог, който помага на всички и само тези, които не си помагат.

Как тези „псевдопарадокси“, както понякога ги наричат, се различават, ако въобще, от парадокса на Ръсел? Моделът на разсъжденията е същият и изводът - че няма такъв Бръснар, няма такъв ефикасен Бог, няма такъв набор от нечленни набори - е един и същ: такива неща просто не съществуват. (Обаче, както показа фон Нойман, не е необходимо да се стига толкова далеч. Методът на Фон Нойман ни инструктира не, че такива неща като R не съществуват, а просто, че не можем да кажем много за тях, доколкото R и други подобни не могат попадат в разширението на всеки предикат, който се квалифицира като клас.)

Стандартният отговор на този въпрос е, че разликата е в предмета. Куине пита: „защо [парадоксът на Ръсел] се счита за антиномия, а парадоксът на бръснарите не?“; и той отговаря: „Причината е, че в нашите навици на мисълта е преобладаваща презумпция да съществува такъв клас, но няма презумпция да има такъв бръснар“(1966, 14). Въпреки това психологическото говорене за „мисловни навици“не е особено осветяващо. По-съществено, парадоксът на Ръсел разумно поражда въпроса какви групи има; но е глупост да се чудите на такива основания като T269 какви бръснари или богове има!

Тази присъда обаче не е съвсем справедлива към феновете на Barber или на T269 като цяло. Те ще настояват, че въпросът, повдигнат от T269, не е какви бръснари или богове има, а по-скоро какви непарадоксални обекти има. Този въпрос е практически същият като този, повдигнат от самия парадокс на Ръсел. По този начин, от тази гледна точка, връзката между парадокса на Барбър и Ръсел е много по-близка, отколкото мнозина (следващи Куин) са били готови да позволят (Salmon 2013).

Отбелязваме, че има логическа формула от първи ред, която има същото отношение към принципа за R _B, който T269 носи към парадокса на Ръсел. Това е следното:

(T273) ∀ z ∀ y (∀ x [Fxy ≡ (Fxz ∧ ~ Fxx)] ⊃ ~ Fyz).

(Поехме свободата да разширим номерацията, използвана в Калиш, Монтегю и Мар (2000) до T273.) Но не всички парадокси на теоретичния набор са сходни с логическите теореми от първи ред. Парадоксът Бурали-Форти е пример, тъй като понятието за добро подреждане не е елементарно; това означава, че не може да се определи от първи ред.

Парадоксът на Ръсел никога не е бил пасе, но наскоро се появи взрив на интерес от него учени, занимаващи се с изследвания в математическата логика и във философски и исторически изследвания на съвременната логика. Един поглед върху съдържанието на тома от 2004 г. Сто години Парадокс на Ръсел показва изявени математически и философски логици и историци на логиката, които се изливат от парадокса, предлагайки нови пътища обратно в рая на Кантор или други начини за решаване на въпроса. Техните разследвания включват коренно нови изходи от дилемата, породена от парадокса, нови проучвания на теориите от типове (прости и разширени и разширения от тях), нови интерпретации на парадокса на Ръсел и конструктивните теории, на парадокса на предложенията на Ръсел и на неговите собствени опит за нетипизирана теория (теория за заместване) и т.н.

Всичко това ни напомня, че плодотворната работа може да възникне от най-малко вероятните наблюдения. Както Дана Скот каза: „Трябва да се разбере от самото начало, че парадоксът на Ръсел не трябва да се разглежда като катастрофа. То и свързаните с него парадокси показват, че наивната представа за колекциите, включващи всичко, е несъстоятелна. Това е интересен резултат, без съмнение в това”(1974, 207).

библиография

• Андерсън, К. Антъни, 1989. „Russellian Intensional Logic“, в Джоузеф Алмог, Джон Пери и Хауърд Уетщайн (редактори), Теми от Каплан, Оксфорд: Оксфордски университет прес, 67–103.
• Barwise, Jon, 1975. Допустими комплекти и структури, Берлин: Springer-Verlag.
• ––– и Джон Етчеменди, 1987. Лъжеца: Есе за истината и циркулярността, Оксфорд: Оксфордски университетски печат.
• ––– и Лорънс Мос, 1996. Vicious Circles, Stanford: CSLI Publications.
• Bealer, Джордж, 1982. Качество и концепция, Ню Йорк: Oxford University Press.
• Бийни, Майкъл, 2003. „Ръсел и Фреге“, в Никълъс Грифин (съст.), „Кеймбриджският спътник на Бертран Ръсел, Кеймбридж: Cambridge University Press, 128–170.
• Кантини, Андреа, 2004. „На руселски парадокс за предложенията и истината“, в Godehard Link (ed.) (2004) Сто години от Парадокса на Ръсел, Берлин и Ню Йорк: Walter de Gruyter, 259–284.
• –––, 2009. „Парадокси, самопозоваване и истина през 20-ти век“, в Дов М. Габай и Джон Уудс (редакции) (2009) Наръчник на историята на логиката: Том 5 - Логика от Ръсел до Църква, Амстердам: Elsevier / Северна Холандия, 875–1013.
• Църква, Alonzo, 1974a. „Руселианска проста теория на типовете“, Събития и адреси на Американската философска асоциация, 47: 21–33.
• –––, 1974b. „Теория на комплектите с универсален набор”, Събития от симпозиума на Тарски, 297–308; Repr. в International Logic Review, 15: 11–23.
• –––, 1978. „Сравнение на резолюцията на Ръсел за семантичните антиноми с тази на Тарски“, сп. „Символична логика“, 41: 747–760; Repr. в AD Irvine, Bertrand Russell: Critical Assessments, vol. 2, Ню Йорк и Лондон: Routledge, 1999, 96-112.
• Кофа, Алберто, 1979. „Смирените произход на парадокса на Ръсел“, Ръсел, 33–34: 31–7.
• Копи, Ървинг, 1971. Теорията на логическите типове, Лондон: Routledge и Кеган Пол.
• Демопулос, Уилям и Питър Кларк, 2005. „Логиката на Фреге, Дедекинд и Ръсел“, в Стюарт Шапиро (съст.), Наръчникът по философия на математиката и логиката в Оксфорд, Оксфорд: Оксфордски университет прес, 129–165.
• Deutsch, Хари, 2014. „Разрешаване на някои парадокси на предложенията“, Анализ, 74: 26-34.
• Ебингхаус, Хайнц-Дитер и Волкер Пекхаус, 2007. Ернст Цермело: Подход към живота и работата му, Берлин: Спрингер-Верлаг.
• Forster, TE, 1995. Теория на зададените с универсален набор, 2-ро издание, Оксфорд: Clarendon Press.
• Frege, Gottlob, 1902. „Писмо до Ръсел“, в Жан ван Хееноорт (съст.), От Frege до Gödel, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1967, 126–128.
• –––, 1903. „Парадоксът на Ръсел“, в Gottlob Frege, Основни закони на аритметиката, Бъркли: University of California Press, 1964, 127–143; съкратен и препр. в AD Irvine, Bertrand Russell: Critical Assessments, vol. 2, Ню Йорк и Лондон: Routledge, 1999, 1–3.
• Габай, Дов М. и Джон Уудс (ред.), 2009. Наръчник на историята на логиката: Том 5 - Логика от Ръсел до Църква, Амстердам: Елзевиер / Северна Холандия.
• Galaugher, JB, 2013. „Замяна на неразрешена„ Insolubilia “, Russell, 33: 5–30.
• Гарчиадиего, А., 1992. Бертран Ръсел и произхода на множествено-теоретичните „Парадокси“, Бостън: Биркяузер.
• Grattan-Guinness, I., 1978. „Как Бертран Ръсел открил своя парадокс“, Historia Mathematica, 5: 127–37.
• –––, 2000. Търсенето на математически корени: 1870–1940, Принстън и Оксфорд: Принстънски университетски печат.
• Грифин, Никълъс (съст.), 2003. The Cambridge Companion to Bertrand Russell, Cambridge: Cambridge University Press.
• –––, 2004. „Праисторията на парадокса на Ръсел“, в Godehard Link (съст.), Сто години парадокс на Ръсел, Берлин и Ню Йорк: Walter de Gruyter, 349–371.
• ––– Бернар Лински и Кенет Блакуел (ред.), 2011. Principia Mathematica на 100, Хамилтън, Обединеното кралство: Изследователски център на Бертран Ръсел; също публикуван като специален брой, том 31, номер 1 на Ръсел.
• Hallett, Michael, 1984. Cantorian Set Theory and Limit of Size, Oxford: Clarendon.
• Halmos, Paul R., 1960. Naive Set Theory, Princeton: D. van Nostrand.
• Ървайн, AD, 1992. „Пропуски, глуци и парадокс“, Канадско списание за философия (допълнителен том), 18: 273-299.
• ––– (съст.), 2009. Философия на математиката, Амстердам: Елзевиер / Северна Холандия.
• Канамори, Акихиро, 2004. „Цермело и теория на множествата“, Бюлетин на символичната логика, 10: 487–553.
• –––, 2009. „Теория на заданието от Кантор до Коен“, в AD Irvine (съст.), Философия на математиката, Амстердам: Elsevier / North Holland, 395–459.
• Калиш, Доналд, Ричард Монтег и Гари Мар, 2000 г. Логика: Техники на формалното разсъждение, 2-ро издание, Ню Йорк: Оксфордски университет прес.
• Клемент, Кевин, 2005. „Произходът на версията на предложенията за функции на Парадокса на Ръсел“, Ръсел, 24: 101–132.
• –––, 2014, „Теорията на парадоксите и Ръсел за непълни символи“, Философски изследвания, 169: 183–207.
• Ландини, Грегъри, 2006. „Вътрешностите и изходите на изхода на Фреге“, Философия Математика, 14: 1–25.
• –––, 2013. „Зермело“и „Парадоксът на Ръсел: Има ли универсален комплект?“Философия Математика, 21: 180–199.
• Леви, А., 1979. Основна теория на множествата, Берлин: Спрингер-Верлаг; Ню Йорк: Хайделберг.
• Link, Годехард (съст.), 2004. Сто години парадокс на Ръсел, Берлин и Ню Йорк: Уолтър де Гройтер.
• Лински, Бернар, 1990. „Аксиомата на редуцируемостта беше принцип на логиката?“Ръсел, 10: 125–140; Repr. в AD Irvine (изд.) (1999) Bertrand Russell: Критически оценки, 4 тома, Лондон: Routledge, vol. 2, 150–264.
• –––, 2002. „Резолюцията на Парадокса на Ръсел в Principia Mathematica“, Философски перспективи, 16: 395–417.
• Mares, Edwin, 2007. „Фактическата семантика за теорията на разрушения тип и аксиомата на редуцируемостта“, сп. Notre Dame of Formal Logic, 48: 237–251.
• Менцел, Кристофър, 1984 г. „Кантор и парадоксът Бурали-Форти“, Монист, 67: 92–107.
• Майер, Робърт К., Ричард Рутли и Майкъл Дън, 1979. „Парадоксът на Къри“, Анализ, 39: 124–128.
• Мур, Грегъри Х., 1982. Аксиома на избора на Цермело, Ню Йорк: Спрингер.
• –––, 1988. „Корените на парадокса на Ръсел“, Ръсел, 8: 46–56.
• Murawski, Roman, 2011. „Във философията на математиката на Chwistek“, в Никълъс Грифин, Бернар Лински и Кенет Блакуел (редакции) (2011) Principia Mathematica на 100, в Ръсел (специален брой), 31 (1): 121–130.
• Peckhaus, Volker, 2004. „Парадокси в Гьотинген“, в Godehard Link (съст.), Сто години Парадокс на Ръсел, Берлин и Ню Йорк: Walter de Gruyter, 501–515.
• Прийст, Греъм, 2006 г. В спора, 2-ро издание, Ню Йорк: Oxford University Press.
• Куин, WVO, 1937 г. „Нови основи на математическата логика“, Американски математически месечен месец, 44: 70–80; Repr. в WVO Quine, От логична гледна точка, Лондон: Harper & Row, 1953.
• –––, 1966. Пътищата на парадокса и други есета, Ню Йорк: Случайна къща.
• –––, 1967. Задайте теорията и нейната логика, Харвард: Belknap Press.
• Ръсел, Бертран, 1902 г. „Писмо до Фреге“, в Жан ван Хееноорт (съст.), От Frege до Gödel, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1967, 124–125.
• –––, 1903. „Приложение Б: Доктрината за типовете“, в Бертран Ръсел, Принципите на математиката, Кеймбридж: Cambridge University Press, 1903, 523–528.
• –––, 1908. „Математическа логика като основана на теорията на видовете“, American Journal of Mathematics, 30: 222–262; Repr. в Bertrand Russell, Logic and Knowledge, Лондон: Allen and Unwin, 1956, 59–102; и препр. в Jean van Heijenoort (съст.), от Frege to Gödel, Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1967, 152–182.
• –––, 1919 г. Въведение в математическата философия, Лондон: Джордж Алън и Унвин ООД и Ню Йорк: The Macmillan Co.
• –––, 1944. „Моето умствено развитие“в Пол Артър Шилп (съст.), „Философия на Бертран Ръсел, 3-то издание, Ню Йорк: Тюдор, 1951, 3–20.
• –––, 1959 г. Моето философско развитие, Лондон: Джордж Алън и Унвин и Ню Йорк: Саймън и Шустър.
• –––, 1967, 1968, 1969. Автобиографията на Бертран Ръсел, 3 тома, Лондон: Джордж Алън и Унвин; Бостън: Литъл Браун и компания (Томове 1 и 2), Ню Йорк: Саймън и Шустър (том 3).
• Сьомга, Н., 2013. „Бележка за Парадокса на Крипке за времето и мисълта“, сп. „Философия“, 110: 213-220.
• Скот, Дана, 1974. „Теория на аксиоматизирането на множеството“, в TJ Jech (ed.), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (том 13, част 2), Американско математическо общество, 207-214.
• Shapiro, Stewart (ed.), 2005. The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press.
• Симънс, Кийт, 2000. „Набори, класове и разширения: подход за сингулярност към парадокса на Ръсел“, Философски изследвания, 100: 109–149.
• –––, 2005. „Бери и ръсел без самонасочване“, Философски изследвания, 126: 253–261.
• Соренсен, Рой А., 2002. „Философски последици от логическите парадокси“, в Дейл Жакет (изд.), Спътник на философската логика, Ню Йорк: Оксфордски университет, Прес, 131–142.
• –––, 2003. „Russell's Set“, в кратка история на парадокса, Ню Йорк: Oxford University Press, 316–332.
• Стивънс, Греъм, 2004. „От парадокса на Ръсел до теорията на съда: Витгенщайн и Ръсел за единството на предложението“, Теория, 70: 28–61.
• –––, 2005. The Russellian Origins of Analytical Philosophy, London and New York: Routlege.
• Tappenden, Jamie, 2013. „Математическият и логическият фон на аналитичната философия“, в Майкъл Бийни (съст.) Наръчникът на Оксфорд от историята на аналитичната философия, Оксфорд: Оксфордски университет прес, 318–354.
• Urquhart, Alasdair, 1988. „Пътят на Зиг-Заг на Ръсел към разрушената теория на типовете“, Ръсел, 8: 82–91.
• –––, 2003. „Теорията на типовете“, в Никълъс Грифин (съст.), The Cambridge Companion to Bertrand Russell, Cambridge: Cambridge University Press, 286–309.
• van Heijenoort, Жан (съст.), 1967. От Frege to Gödel: Книга-източник в математическата логика, 1879-1931, Cambridge and London: Harvard University Press.
• фон Нойман, Джон, 1925 г. „Аксиоматизация на теорията на множествата“, в Жан ван Хееноорт (съст.), от Frege до Gödel, Cambridge and London: Harvard University Press, 1967, 393–413.
• Wahl, Russell, 2011. „Аксиомата на редуцируемостта“, в Никълъс Грифин, Бернар Лински и Кенет Блакуел (редакции) (2011) Principia Mathematica на 100, в Ръсел (специален брой), 31 (1): 45–62.
• Weber, Z., 2010. „Трансгранични числа в теорията на параконсистентните множества“, Преглед на символичната логика, 3: 71–92.
• –––, 2012. „Трансгранични кардинали в теорията на параконсистентните множества“, Преглед на символичната логика, 5: 269–293.
• Уайтхед, Алфред Норт и Бертран Ръсел, 1910, 1912, 1913. Principia Mathematica, 3 тома, Cambridge: Cambridge University Press; второ издание, 1925 (том 1), 1927 (Vols 2, 3); съкратен като Principia Mathematica до * 56, Cambridge: Cambridge University Press, 1962.

Академични инструменти

	Как да цитирам този запис.
	Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
	Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
	Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси

• Бертран Ръсел Архив
• Bertrand Russell Research Center
• Bertrand Russell Society
• Principia Mathematica: Том 1 (Историческа математическа колекция на Университета на Мичиган)
• Principia Mathematica: том 2 (Историческа математическа колекция на Университета на Мичиган)
• Principia Mathematica: том 3 (Историческа математическа колекция на Университета на Мичиган)
• Ръсел: Списанието на Bertrand Russell Studies
• Антиномията на Ръсел (Wolfram MathWorld)