Теория на моделите от първи ред

2023 Автор: Noah Black | [email protected]. Последно модифициран: 2023-08-25 04:38

Навигация за влизане

• Съдържание за участие
• библиография
• Академични инструменти
• Friends PDF Preview
• Информация за автора и цитирането
• Върнете се в началото

Теория на моделите от първи ред

Публикувана за първи път на 10 ноември 2001 г.; съществена ревизия пн 10 декември 2018 г.

Теорията на моделите от първи ред, известна още като теория на класическия модел, е клон на математиката, който се занимава с връзките между описанията на езици от първи ред и структурите, които удовлетворяват тези описания. От една гледна точка, това е жизнена област на математическото изследване, която носи логически методи (в частност теорията на дефиницията) да се справят с дълбоките проблеми на класическата математика. От друга гледна точка теорията на моделите от първи ред е парадигмата за останалата теория на модела; това е областта, в която за първи път са разработени много от по-широките идеи на теорията на модела.

• 1. Езици и структури от първи ред
• 2. Елементарни карти
• 3. Пет големи теореми
• 4. Три полезни конструкции
• 5. Три успешни програми
• библиография
• Академични инструменти
• Други интернет ресурси
• Свързани записи

1. Езици и структури от първи ред

Теорията на математическия модел носи голямо натоварване от нотация и HTML не е най-добрият контейнер за него. По-нататък синтактичните обекти (езици, теории, изречения) обикновено се пишат с римски или гръцки букви (например L, T, φ), а множествено-теоретичните обекти като структури и техните елементи се пишат с курсив (A, a). Две изключения са, че променливите са курсив (x, y) и че последователностите на елементите са написани с малки букви (a, b).

Припомняме и прецизираме някои дефиниции от записите по класическата теория на логиката и модела. Подпис е набор от индивидуални константи, предикатични символи и функционални символи; всеки от предикатните символи и функционални символи има arity (например той е двоичен, ако arity е 2). Всеки подпис K поражда език от първи ред, като изгражда формули от символите в подписа заедно с логически символи (включително =) и препинателни знаци.

Ако K е подпис, тогава структура на подпис K, да речем A, се състои от следните елементи:

1. Множество, наречено домейн на A и написано dom (A); обикновено се приема, че е непусто;
2. за всяка отделна константа c в K, елемент c ^A от dom (A);
3. за всеки предикативен символ P на числото n, n -ary отношение P ^A на dom (A);
4. за всеки функционален символ F от arity n, n -ary функция F ^A от dom (A) до dom (A).

Елементите на A са елементите на dom (A). По същия начин кардиналността или силата на A е кардиналността на неговата област. Тъй като можем да възстановим подписа K от езика от първи ред L, който той генерира, можем и ще препращаме структурите на подпис K като L-структури. Ние мислим за c като наименование на елемента c ^A в структурата A, както и на другите символи.

Например полето на реални числа образува структура R, чиито елементи са реалните числа, с подпис, състоящ се от индивидуалната константа 0 за назоваване на числото нула, символ на 1-ary функция - за минус и два 2-ary функционални символа + и. за плюс и пъти. На пръв поглед не можем да добавим символ, за да изразим 1 / x, тъй като всички именани функции трябва да бъдат дефинирани в цялата област на структурата и няма такова реално число като 1/0. Но на второ място, това не е сериозен проблем; всеки компетентен математик поставя условието „x не е нула“, преди да се раздели на x, и така никога няма значение каква е стойността на 1/0 и можем безвредно да приемем, че е 42. Но повечето теоретици на модела са неудобни с всякакъв вид на разделение по нула, така че те се придържат с плюс, пъти и минус.

Ако L е езикът от първи ред на подпис K, тогава моделно-теоретичната дефиниция на истинността на Тарски ни казва кога изречение от L е вярно в A и кога приписването на елементи от A на променливи удовлетворява формула на L в A. Вместо да говорят за задания, отговарящи на формула, теоретиците на модела често говорят за множеството от n-двойки от елементи на A, което е дефинирано с формула φ (v ₁, …, v _n); връзката е, че п -tuple (с ₁, …, а _п) е в определения комплект тогава и само тогава заданието като всеки V _и до А _I отговаря на формулата.

Ако φ е изречение, пишем

A ⊨ φ

да означава, че φ е вярно в A, или с други думи, A е модел на φ. Ако φ (v ₁,…, v _n) е формула със свободни променливи, както е показано, пишем

A ⊨ φ [a]

да означава, че n -tuple a е в множеството, дефинирано от φ. (Записът на класическата логика използва обозначението 'A, s ⊨ φ', където s е всяко присвояване на всички променливи на L, което приписва на всяка променлива v _i, свободна в φ, i-тия елемент в n -tuple a.)

За две L-структури, които са модели на абсолютно еднакви изречения на L, се казва, че са елементарно еквивалентни. Елементарната еквивалентност е отношение на еквивалентност върху класа на всички L-структури. Множеството от всички изречения на L, които са верни в L-структурата A, се нарича пълната теория на A, в символи Th (A). Теория, която е Th (A) за някаква структура А, се казва, че е пълна. (По теоремата за пълнота на логиката от първи ред, за която вижте записа в класическата логика, теорията е пълна, ако и само ако е максимално синтактично съвместима.) Двете структури A и B са елементарно еквивалентни, ако и само ако Th (A) = Th (B).

За да продължите примера на поле R на реални числа: Често изобщо не е очевидно дали две дадени структури са елементарно или не са елементарно еквивалентни. Едно от най-големите постижения на предисторията на теорията на моделите е описанието на Тарски през 1930 г. на Th (R) (което той публикува изцяло едва след войната; вижте книгата му в Библиографията по-долу). Това описание предполагаше, наред с други неща, че структурите, елементарно еквивалентни на R, са точно реално затворените полета, клас от полета, който вече беше познат на алгебраистите.

Когато математиците въвеждат клас структури, те обичат да определят какво считат за основни карти между тези структури. Основните карти между структури с еднакъв подпис К се наричат хомоморфизми, дефинирани по следния начин. Хомоморфизмът от структура A до структура B е функция f от dom (A) до dom (B) със свойството, че за всяка атомна формула φ (v ₁, …, v _n) и всеки n -tuple a = (a ₁,…, _N) елементи на A,

A ⊨ φ [a] ⇒ B ⊨ φ

където b е (f (a ₁),…, f (a _n)). Ако в цитираното условие имаме „⇔“вместо „⇒“, казваме, че f е вграждане на A в B. Тъй като езикът включва =, вграждането на A в B винаги е едно към едно, въпреки че не е необходимо да бъде в областта на B. Ако е върху, тогава обратната карта от dom (B) до dom (A) също е хомоморфизъм, а както вграждането, така и обратната му страна се казва, че са изоморфизми. Ние казваме, че две структури са изоморфни, ако има изоморфизъм от една към друга. Изоморфизмът е отношение на еквивалентност върху класа на всички структури на фиксиран подпис K. Ако две структури са изоморфни, тогава те споделят всички модели на теоретични свойства; по-специално те са елементарно еквивалентни.

Ако A и B са структури на подпис K с dom (A) подмножество на dom (B), а интерпретациите в A на символите в K са само ограниченията на техните интерпретации в B, тогава казваме, че A е подструктура на B и обратно B е разширение на A. Ако освен това B има някои елементи, които не са в A, ние казваме, че A е правилна подструктура на B, а B е правилното разширение на A. Ако B е структура и X е непусто подмножество на dom (B), тогава има уникална най-малка подструктура на B, чийто домейн съдържа цялото от X. Известна е като подструктурата на B, генерирана от X, и ние я намираме, като първо добавим към X всички елементи c ^B, където c са индивидуални константи на K, а след това се затварят под функциите F ^B, където F са функционални символи на K, Например подструктурата на полето R, генерирано от числото 1, се състои от 1, 0 (тъй като е наречено с константата 0), 1 + 1, 1 + 1 + 1 и т.н., −1, −2 и т.н., в други думи пръстенът на цели числа. (Не е необходимо да се затваря и при умножение, тъй като наборът от цели числа вече е затворен при умножение.) Ако бяхме включили и символ за 1 / x, подструктурата, генерирана от 1, би била полето на рационалните числа. Така че понятието подструктура е чувствително към избора на подпис.

2. Елементарни карти

Нека L е език от първи ред, а A и B са L-структури. Да предположим, че e е функция, която отвежда някои елементи от A към елементи от B. Казваме, че e е елементарна карта, ако винаги, когато последователност от елементи a ₁,…, a _n в областта на e удовлетворят формула φ (x ₁,…, x _n) на L в A, техните изображения под e удовлетворяват същата формула в В; в символи

A ⊨ φ (a ₁,…, a _n) ⇒ B ⊨ φ (e (a ₁),…, e (a _n)).

Казваме, че e е елементарно вграждане на A в B, ако e е елементарна карта и домейнът му е целият домейн на A. Както подсказва името, елементарното вграждане винаги е вграждане.

Ако има елементарно вграждане от A до B, тогава A и B са елементарно еквивалентни. От друга страна, вграждането между елементарно еквивалентни структури или дори между изоморфни структури не трябва да е елементарно. (Например, писането на Z за абелевата група от цели числа с подпис, състоящ се от 0 и +, вграждането от Z до Z, което приема всяко цяло n до 2 n, е вграждане и, разбира се, Z е изоморфно за себе си; но това вграждането не е елементарно, тъй като 1 удовлетворява формулата ¬∃ y (y + y = v ₁), но 2 не.)

Казваме, че A е елементарна подструктура на B, а B е елементарно разширение на A, ако A е подструктура на B и картата на включване е елементарно вграждане. От определенията е непосредствено, че елементарно разширение на елементарно разширение на А отново е елементарно разширение на А.

Елементарните вграждания са естествени карти, които трябва да се разгледат в рамките на теорията на модела от първи ред. Около 1950 г. Ейбрахам Робинсън прави впечатление, че картите между алгебраичните структури като цяло едва ли са елементарни, докато някои важни карти (като вграждане между две алгебраично затворени полета или между две реално затворени полета) се оказват елементарни. Той също беше изненадан, когато откри, че този факт за алгебраично затворените полета е друг начин за заявяване на известна теорема, наречена Hilbert Nullstellensatz. Тези наблюдения на Робинсън са имали огромен ефект върху развитието на теорията на модела. В терминологията на Робинсън теорията от първи ред е завършена по модел, ако всяко вграждане между моделите на теорията е елементарно. Това понятие намери много приложения и често се появява в приложения на теорията на модела в алгебрата.

Понятие, което е тясно свързано с пълнотата на модела, но не бива да се бърка с него, е елиминиране на квантовете. Да предположим, че L е език от първи ред, T е теория в L и Φ е набор от формули на L. Казваме, че T има елиминиране на квантовете до Φ, ако за всяка формула φ (x ₁,…, x _n) на L има формула ψ (x ₁,…, x _n) в Φ, така че във всеки модел на T, φ и ψ са удовлетворени от абсолютно същите n -плинове на елементи (a ₁,…, a _n). („Методът за елиминиране на квантовете“, обсъден в раздел 2.2 на дефинициите за истинността на Тарски) беше синтактичен и предмоделно-теоретичен метод за доказване на елиминирането на квантовете до определен набор от формули. ако има елиминиране на квантификатори до формули, без свободни квантори.

Връзката между пълнотата на модела и елиминирането на количествените характеристики е следната. Робинсън показа, че една теория е пълна по модел, ако и само ако има елиминиране на квантовете до екзистенциални формули (т.е. формули, които или не са количествено определящи, или се състоят от един или повече екзистенциални квантори, последвани от формула без квантификатори). Така че теориите, които имат елиминиране на количествените показатели, са пълни по модела, но обратното не е необходимо. Все пак, да се покаже, че теорията е завършена по модела, понякога е полезна първа стъпка към показване, че тя елиминира количествените показатели.

За да се върнете към елементарните вграждения: Те имат редица свойства, които ги правят полезни. Имаме място за четирима.

Нисходящата теорема на Левенхайм-Сколем:

Да предположим, че L е език от първи ред, който има κ формули, A е L-структура и λ е кардинал, който е поне κ, но по-малък от кардиналността на A. Да предположим също, че X е набор от най-много λ елементи на A. Тогава А има елементарна подструктура, която има кардиналност точно λ и съдържа всички елементи в X.

Доказателство за това има в записа на класическата логика, използвайки Skolem корпуси. Обърнете внимание, че λ трябва да е безкраен, тъй като всеки език от първи ред има безкрайно много формули.

Теоремата за елементарната верига:

Да предположим, че L е език от първи ред и A ₀, A ₁, … е последователност (с всякаква дължина) на L-структури, така че всяка структура в последователността е елементарна подструктура на всички по-късни структури в последователността. Тогава има уникална най-малка L-структура B, която съдържа всички структури в последователността като подструктури; тази структура В е елементарно разширение на всички структури в последователността.

Елементарната теорема за обединяване:

Да предположим, че L е език от първи ред, A е L-структура и B, C са две елементарни разширения на A. Тогава има елементарно разширение D на B и елементарно вграждане e на C в D, така че (i) за всеки елемент a от A, e (a) = a и (ii) ако c е елемент на C, но не от A, тогава e (c) не е в B.

Елементарната теорема за обединяване е следствие от теоремата за компактност в следващия раздел.

Възходящата теорема на Левенхайм-Сколем:

Да предположим, че L е език от първи ред, който има κ формули, A е L-структура, чиято кардиналност е безкраен кардинал μ, а λ е кардинал, който е поне толкова голям, колкото и κ и μ, Тогава А има елементарно разширение, чиято кардиналност е λ.

Това следва и от теоремата за компактността, както е показано в записа за класическата логика. Името на теоремата е малко жалко, тъй като теоремата е доказана за първи път от Тарски, а Сколем дори не е повярвал (защото не е вярвал в неизброими кардинали).

Има още едно доказателство, използващо теоремата за елементарна амалгамация и теоремата за елементарната верига. Може да се покаже, че структурата A има правилно елементарно разширение A '. (Има доказателство за това, използвайки теоремата за компактност и лема на диаграмата - вж. 3.1 и 3.2 по-долу; друго доказателство е от свръхсили - виж 4.1 по-долу.) Сега използвайте A 'и отново A' за структурите B и C в елементарните теорема за обединяване. Тогава D, както в теоремата, е елементарно разширение на A, и от (ii) в теоремата, тя трябва да съдържа елементи, които не са в A ', така че да е правилно елементарно разширение. Повторете, за да получите правилно елементарно удължаване на D и така нататък, докато не разполагате с безкрайна елементарна верига. Използвайте теоремата за елементарната верига, за да намерите елементарно разширение на A, което седи отгоре на тази верига. Продължавайте да повтаряте тези ходове, докато не получите елементарно разширение на A, което има кардиналност поне λ. Тогава, ако е необходимо, използвайте низходящата теорема на Левенхайм-Сколем, за да изтеглите кардиналността до точно λ. Този вид аргумент е много често срещан в теорията на моделите от първи ред. Чрез внимателен избор на амалгамите по стъпките в конструкцията, често можем да гарантираме, че горната структура има допълнителни свойства, които бихме могли да искаме (като насищане, виж 4.2 по-долу).често можем да гарантираме, че горната структура има допълнителни свойства, които бихме могли да искаме (като насищане, вижте 4.2 по-долу).често можем да гарантираме, че горната структура има допълнителни свойства, които бихме могли да искаме (като насищане, вижте 4.2 по-долу).

3. Пет големи теореми

Петте теореми, докладвани в този раздел, са в известен смисъл стълбовете на теорията на класическия модел. Всички те са теореми за теорията на моделите от първи ред. Голяма част от работата, извършена през третата четвърт на ХХ век, беше посветена на разработването на последиците от тези теореми в рамките на теорията на модела от първи ред и степента, в която подобни теореми се отнасят за езици, които не са от първи ред.

3.1 Теоремата за компактност

Ако T е теория от първи ред и всеки краен подмножество на T има модел, тогава T има модел.

Доказателство за тази теорема има в записа на класическата логика. Теоремата има няколко полезни парафрази. Например той е еквивалентен на следното изявление:

Да предположим, че Т е теория от първи ред и φ е изречение от първи ред. Ако T ⊨ φ, тогава има краен подмножество U от T, такъв че U ⊨ φ.

(Вижте записа в теорията на модела за понятието ⊨ на моделно-теоретичното следствие. За да извлечете второто твърдение от първото, обърнете внимание, че 'T ⊨ φ' е вярно, ако и само ако няма модел на теорията T ∪ {¬ φ}.)

Анатолий Малцев пръв даде теоремата за компактност през 1938 г. (за логика от първи ред на всякакъв подпис) и я използва през 1940/1 г., за да докаже няколко теореми за групи; изглежда, това е първото приложение на теорията на модела в рамките на класическата математика. Леон Хенкин и Ейбрахам Робинсън независимо преоткриха теоремата няколко години по-късно и дадоха някои допълнителни приложения. Теоремата се проваля зле за почти всички инфинитарни езици.

3.2 Лема на диаграмата

Ако A е L-структура, тогава формираме диаграмата на A по следния начин. Първо добавете към L доставка на нови индивидуални константи, които да служат като имена на всички елементи на A. (Това илюстрира как в теорията на модела от първи ред лесно се оказваме с помощта на неизчислими подписи. Символите в тези подписи са абстрактни теоретично зададени теоретични обекти, а не маркировки на страница.) След това използвайки L и тези нови константи, диаграмата на A е съвкупността от всички атомни изречения и отрицания на атомните изречения, които са верни в A.

Ако B 'е модел на диаграмата на A, а B е B' с новите константи, отстранени от подписа, тогава има вграждане на A в B.

А именно, ако елемент на A е назован от нова константа c, тогава се преобразува този елемент в елемента на B 'с. Вариант на тази лема се използва при доказването на елементарната теорема за обединяване.

3.3 Теоремата за интерполация на Линдън

Тази теорема може да има най-дългото родословие на всяка теорема на теорията на моделите, тъй като тя обобщава Законите за разпространение за силогизмите, които се връщат поне до ранния Ренесанс. Теоремата е най-лесна за заявяване, ако приемем, че нашите езици от първи ред имат символи ∧, ∨ и ¬, но не → или ⇔. Тогава възникването на предикативен символ R във формула φ се казва положително (съответно отрицателно), ако се намира в обхвата на четен (съответно нечетен) брой на събитията от ¬.

Да предположим, че L и M са езици от първи ред, L ∪ M е най-малкият език от първи ред, съдържащ и L и M, и L ∩ M е езикът, състоящ се от всички формули, които са както в L, така и в M. Предполагам, че T е a теория в L, U е теория в M и никаква (L ∪ M) -структура е едновременно модел на T и модел на U. Тогава има изречение φ от L ∩ M, което е вярно във всички модели на T и false във всички модели на U. (Това изречение φ се нарича интерполант.) Освен това всеки предикативен символ с положително събитие в φ има положително събитие в някакво изречение на T и отрицателно събитие в някакво изречение на U, и обратно предикатен символ с отрицателно събитие в φ има отрицателно събитие в някакво изречение на Т и положително събитие в някакво изречение на U.

Има няколко доказателства за тази теорема и не всички са моделно-теоретични. Без последното изречение теоремата е известна като интерполационна теорема на Крейг, тъй като Уилям Крейг доказа тази версия няколко години преди Роджър Линдън да открие пълното твърдение през 1959 г. Както Крейг отбеляза по това време, неговата теория за интерполация дава точно доказателство за това на Евърт Бет теорема за дефинируемост, която работи по следния начин.

Да предположим, че L е език от първи ред и M е езикът от първи ред, получен чрез добавяне към L нов предикативен символ R. Предположим също, че T е теория в M. Казваме, че T имплицитно дефинира R, ако е невярно, че има две М-структури, които са модели на Т, имат едни и същи елементи и интерпретират всички символи на L по един и същи начин, но интерпретират символа R по различен начин. Казваме, че T дефинира R изрично, ако има формула φ (x ₁,…, x _n) от L такава, че във всеки модел на T, формулите φ и R (x ₁,…, x _n) са удовлетворени от точно същите n-двойки (a ₁,…, a _n) от елементи. Лесно е да се види, че ако T дефинира R изрично, то дефинира R имплицитно. (Този факт е известен като метод на Padoa; Padoa използва провала на имплицитната дефинируемост като начин да докаже провала на категоричната дефинируемост.) Теоремата на Бет е обратната:

Да предположим, че L, M, R и T са както по-горе. Ако T дефинира R имплицитно, тогава T дефинира R изрично.

3.4 Теорема на пропускащите типове

Тази теорема се нуждае от някои предварителни дефиниции. Да предположим, че L е език от първи ред, T е пълна теория в L, а Φ е набор от формули на L, които всички имат свободната променлива x (и няма друга свободна променлива). Казваме, че L-структура A осъзнава Φ ако има елемент от A, който удовлетворява всички формули в Φ; ако A няма такъв елемент, казваме, че A пропуска Φ. Формула ψ (x) на L, само с свободната променлива x, се нарича опора на Φ в T, ако последствията от T включват изречението ∃ x ψ (x) и изречението ∀ x (ψ (x) → φ (x)) винаги, когато φ (x) е формула в Φ. Не е трудно да се види, че ако има подкрепа на Φ в T, тогава всеки модел на T реализира Φ. Обратното не винаги е вярно, но теоремата за пропускащите типове ни казва, че е вярно, ако се ограничим до преброени езици от първи ред:

Да предположим, че L е език от първи ред, който има много много формули. Да предположим, че Т е пълна теория в L, а Φ е набор от формули на L, които всички имат свободната променлива x. Най-накрая да предположим, че всеки модел на Т с точно счетните елементи реализира Φ. Тогава има подкрепа на Φ в T. (С други думи, има ограничена причина, поради която „типът“не може да бъде пропуснат в нито един модел на Т.)

Теоремата за пропускащите типове се отнася към средата на 50-те години. Много определено зависи от езика, който е от първи ред и може да се преброи. Той има няколко полезни обобщения, например моделно-теоретично форсиране, което е аналог на форсиращата конструкция в теорията на множествата. Всъщност игрите, използвани за моделно-теоретично форсиране (вижте записа за логиката и игрите), могат да бъдат адаптирани, за да докажат и теоремата за пропускащите типове. Съществуват подобни, но по-сложни теореми за неизчислими езици от първи ред; някои от тях могат да бъдат перифразирани като пропускащи типове теореми за инфинитарните езици.

3.5 Начална теорема за модел

Формулата без квантификатор се казва, че е формула на Хорн (след Алфред Хорн), ако има една от трите форми

• ψ,
• φ ₁ ∧… ∧ φ _n → ψ,
• ¬ (φ ₁ ∧… ∧ φ _n),

където формулите φ ₁,…, φ _n, ψ са всички атомни. Универсално изречение за Хорн (известно също на компютърните учени като клауза за Хорн) е изречение, което се състои от универсални квантори, последвани от формула на Хорн, без количествени средства; казва се, че е строг, ако в него не се появи знак за отрицание (т.е. ако не идва от формула на рога, свободен от количеството, от третия вид).

Нека Т е теория, състояща се от строги универсални изречения на Хорн. Тогава T има модел A със свойството, че за всеки модел B на T има уникален хомоморфизъм от А до В. (Такъв модел А се нарича първоначален модел на Т. Той е уникален до изоморфизма.)

Тази теорема представлява обобщение, поради Малцев, на групово-теоретична конструкция, наречена конструкция от генератори и отношения. Това е основната идея зад алгебраичната спецификация, която е един подход към спецификацията на системите в компютърните науки. Необходимото поведение на системата се записва като набор от строги универсални изречения на Хорн и след това първоначалният модел на тези изречения е абстрактна версия на необходимата система.

4. Три полезни конструкции

Конструкцията е процедура за изграждане на конструкция. Вече видяхме няколко конструкции в теоремите по-горе: например конструкцията на пропускащите типове и първоначалната конструкция на модела. Ето още три.

4.1 Продукти и намалени продукти

Ако A и B са L-структури, ние образуваме техния продукт C = A × B, както следва. Елементите на C са подредените двойки (a, b), където a е елемент от A и b е елемент на B. Символите на предикатите се интерпретират „по посока“, т.е. така, че например

(а, б) е в P ^C, ако и само ако е в Р ^А и В е в P ^B.

Структурите A и B се наричат факторите на A × B. По същия начин можем да формираме продукти от произволен брой структури. Ако всички фактори на даден продукт са една и съща структура А, продуктът се нарича мощност на А. Теорема, наречена теорема на Феферман-Вейч, ни казва как да изработим пълната теория на продукта от пълните теории за неговите фактори.

Тази конструкция има някои варианти. Можем да определим отношение на еквивалентност в областта на продукт C и след това да вземем структура D, чиито елементи са класовете на еквивалентност; предикатните символи се интерпретират в D така, че да направят естествената карта от dom (C) до dom (D) хомоморфизъм. В този случай структурата D се нарича намален продукт от факторите на C. Това е намалена мощност на A, ако всички фактори са равни на A; в този случай диагоналната карта от A до D е тази, получена чрез отвеждането на всеки елемент a към класа на еквивалентност на елемента (a, a, …).

Да предположим, че използваме набор I, за да индексираме факторите в продукт C. Ултрафилтър над I е набор U от подмножества на I със свойствата

• ако множествата X и Y са в U, то и тяхното пресичане X ∩ Y;
• ако X е в U и X ⊆ Y ⊆ I тогава Y е в U;
• за всеки подмножество X от I, точно един от X и неговото допълнение I / X е в U.

Ако имаме ултрафилтър U над I, тогава можем да конструираме намален продукт от C, като направим два елемента от C еквивалент, ако и само ако множеството индекси, при които са равни, е набор в ултрафилтър U. Това наистина е съотношение на еквивалентност в областта на С и полученият намален продукт се нарича ултрапродукт на факторите на С. Ако C е мощност на A, тогава този ултрапродукт се нарича ултрасила на A и понякога се изписва U -prod A. Теорема, наречена теорема на Йос, описва кои изречения са верни в един ултрапродукт. Най-полезното му следствие е следното:

Ако U е ултрафилтър, тогава диагоналната карта от A до U -prod A е елементарно вграждане.

Ако ултрафилтър U е безпринципна, т.е. не съдържа крайни множества, тогава диагоналната карта не е върху домейна на U -prod A, а всъщност U -prod A обикновено е много по-голям от A. Така че имаме начин за конструиране на големи елементарни разширения. Аксиомата на избор гарантира, че всеки безкраен набор има много непринципни ултрафилтри над него. Ултрасилите са основен инструмент за боравене с големи кардинали в теорията на множествата (виж записа на теорията на множествата).

Една забележителна (но на практика не е много полезна) теорема на Сахарон Шела ни казва, че двойка структури А и В са елементарно еквивалентни, ако и само ако имат ултрасили, които са изоморфни една на друга.

4.2 Наситеност

Да предположим, че A е L-структура, X е набор от елементи на A, B е елементарно разширение на A и b, c са два елемента на B. Тогава се казва, че b и c имат един и същ тип над X, ако за всяка формула φ (v ₁, …, v _{n +1}) на L и всеки n -двой d от елементи на X,

B ⊨ φ [b, d] ⇔ B ⊨ φ [c, d].

Ние казваме, че A е наситен, ако всеки път, когато X е набор от елементи на A, със сърдечност, по-малък от този на A, и B е всяко елементарно разширение на A, винаги имаме, че всеки елемент от B има същия тип над X като някои елемент вече в A.

Това доста тежко определение дава малко представа колко полезни са наситените структури. Ако всяка структура имаше наситено елементарно разширение, много от резултатите от теорията на модела биха били много по-лесни за доказване. За съжаление съществуването на наситени елементарни разширения зависи от особеностите на заобикалящата вселена на множествата. Съществуват технически начини около това препятствие, например използване на отслабване на понятието за насищане. Имаме два основни начина за изграждане на елементарни разширения с известна степен на насищане. Единият е от свръхсили, използвайки умело изградени ултрафилтри. Другото е, като вземем обединения на елементарни вериги, обобщи доказателството, което дадохме за възходящата теорема на Левенхайм-Сколем.

Наличието на частично наситени елементарни разширения на полето R на реални числа е основният технически факт зад нестандартния анализ на Ейбрахам Робинсън. Вижте раздел 4 от записа на теорията на модела за повече информация по този въпрос. Въпреки че теорията на модела предостави първите стъпки в нестандартния анализ, този клон на анализа бързо се превърна в обект и връзките му с теорията на модела от първи ред днес са доста тънки.

4.3 Модели на Ehrenfeucht-Mostowski

Нека A е L-структура, X набор от елементи от A и <линейно подреждане на X (не е задължително да се определи чрез формула от първи ред). Ние казваме, че (X, <) е неразличим последователност в А ако за всяко естествено число п, и всички елементи на ₁, …, а _п, б ₁, …, б _п на А, така че _един <… <а _п и b ₁ <… <b _n, като картата отвежда всяко a _i към съответното b _iе елементарна карта. Ако T е теория с безкрайни модели, тогава T има модели, които са корпусите на Сколем (виж записа в класическата логика) на неразличими последователности. Тези модели са известни като модели на Ehrenfeucht-Mostowski, след двамата теоретици на полски модел, които за първи път извършват тази конструкция в средата на 50-те години. Тези модели обикновено са противоположни на наситените; можем да уредим, че много малко видове над наборите от елементи са представени сред техните елементи. Някои важни разлики между различните модели на теорията на множествата могат да бъдат изразени по отношение на неразличимите последователности в рамките на тези модели; вижте записа в теорията на множествата.

5. Три успешни програми

Всеки здрав клон на математиката се нуждае от набор от проблеми, които представляват сериозно предизвикателство за неговите изследователи. Затваряме с кратко въведение към някои от изследователските програми, които движат теорията на модела от първи ред напред през втората половина на ХХ век. Книгата на Маркия и Тофалори в библиографията дава допълнителна информация за тези програми. Има и други текущи програми, освен тези; вижте например наръчника, редактиран от Юрий Ершов, който се отнася до теорията на моделите, когато структурите са изградени рекурсивно.

5.1. Категоричност и класификация

През 1904 г. Освалд Веблен описва теорията като категорична, ако има само един модел до изоморфизъм, т.е. има модел и всичките му модели са изоморфни един на друг. (Името му бе предложено от Джон Дюи, който също предложи името „дизъюнктивно“за други теории. Тази двойка термини произлизат от традиционната логика като имена на типове изречения.) Депресиращата новина е, че няма категорични първи поръчайте теории с безкрайни модели; можем да видим това веднага от възходящата теорема на Левенхайм-Сколем. Всъщност, ако Т е теория от първи ред с безкрайни модели, тогава най-силният вид категоричност, на който можем да се надяваме, е, че за някои безкрайни кардинали κ, Т има точно един модел на кардиналност κ, до изоморфизма. Това свойство на T се нарича κ-категоричност.

Сега има евристичен принцип, който много хора са използвали, макар че изглежда няма проста формулировка. Предлагаме ви „Малко е красиво“. Принципът казва, че ако теорията от първи ред T ограничава своите модели (на определена кардиналност), за да бъдат всички сходни помежду си, това може да бъде само защото моделите на T имат малко нередности и асиметрии. Така че трябва да има добро структурно описание на тези модели. Човек трябва да очаква, че те са „добри структури“от гледна точка на класическата математика. Като първа стъпка човек лесно вижда от възходящите и низходящите теореми на Левенхайм-Сколем, че ако T е κ-категоричен за някои κ поне толкова голям, колкото е броят на формулите на езика на T, тогава T трябва да е пълна теория. Оттук нататък Т е пълна теория с безкрайни модели;и за простота ще приемем, че езикът на Т е счетлив.

През 1954 г. Йежи Йос обявява, че може да намери само три вида примери на теории Т, които са κ-категорични. А именно:

• T е напълно категоричен, ако е κ-категоричен за всеки безкраен кардинал κ. Типичен пример е пълната теория за безкрайно-пространствено векторно пространство над ограничено поле.
• T е безчетно категоричен (но не напълно категоричен), ако е κ-категоричен точно когато κ е безчетлив. По същество единственият пример, който Йос може да намери, е пълната теория за алгебрично затворено поле; това е безбройно категорично от добре известна теорема на Щайниц.
• T е сравнимо категоричен (но не безчетно категоричен), ако е κ-категоричен точно когато κ е счетлив. Типичен пример е пълната теория за плътно линейно подреждане без първи или последен елемент; това е категорично категорично от добре известна теорема за Кантор.

Йос попита дали има други възможности освен тези три. (Разбира се, най-пълните теории не са κ-категорични за нито един κ.)

Този въпрос на Йос беше огромен стимул за изследванията и той доведе до класическа книга на Майкъл Морли през 1965 г., която показа, че трите възможности на Йос всъщност са единствените. Една от главните идеи на анализа на Морли беше, че моделите на безчетната категорична теория имат най-малкия възможен брой видове елементи; това доведе директно до разклонението на теорията на модела, наречена теория за стабилност, която изучава теории, които имат ограничен брой типове елементи. Тези теории имат забележителното свойство, че всяка безкрайна неразличима последователност във всеки от техните модели е неразличима при всяко линейно подреждане каквото и да е; така че тези последователности са вид обобщение на базите на векторни пространства. Друга идея, заложена в работата на Морли, но много изяснена от по-късната работа на Уилям Марш, Джон Болдуин и Алистър Лаклан,беше, че във всеки модел на безчетната категорична теория има централно ядро (наречено силно минимален набор), което носи зависимост на зависимост, подчинявайки се на подобни закони на линейната зависимост във векторните пространства. По отношение на тази зависимост може да се определи измерение за модела и това, което остава от модела извън ядрото, е толкова тясно свързано с ядрото, че измерението определя модела до изоморфизма.

Сахарон Шела разви идеите на Морли с голяма находчивост и енергия. Основната му цел беше да разшири идеята „Малко е красиво“, като показа, че има ясни разделителни линии между видовете теория Т. От едната страна на разделителната линия са разположени теории с добро структурно свойство, което форсира броя на неизоморфните модели на дадена кардиналност да бъде малка. От друга страна, всяка теория има (например) два модела с една и съща кардиналност, които не са изоморфни, но са изключително трудни за разграничаване. Шела изложи теорията за класификацията на имената за това изследване. Текстът на Ласкар, изброен по-долу, е елегантно въведение към цялата тази програма - от Йос до Шела. Междувременно самият Шелах го разшири далеч извън логиката от първи ред. Дори в случая от първи ред,Шела трябваше да измисли нови теоретично зададени методи (като правилното принуждаване), за да извърши своите конструкции.

Теорията на класификацията има две свързани, макар и коренно различни цели: да класифицира моделите на една теория (или да покаже, че такава класификация е невъзможна) от някои сравнително прости комбинаторни инварианти и да класифицира самите теории чрез наличието или липсата на някакви фундаментални структури в рамките на техните модели. С второто издание на теорията на класификацията, Шела заряза подзаглавието „И броя на неизоморфните модели“, за да подчертае по-широките цели на проекта. Като цяло един клас теории може да бъде признат за класификация теоретично здрава, ако допуска характеристики както по отношение на кардинали, така и по отношение на някакво абсолютно условие по формули, относително към теорията. Например по дефиниция,теория Т на език L е стабилна, ако има някакъв кардинал κ ≥ | L | така че за всеки модел M от T на кардиналност най-много κ, броят на 1-те типа над M е най-много κ. Еквивалентно е, че теорията Т е стабилна, ако никоя формула няма свойството на реда по отношение на Т. Това означава, че няма L-формула φ (x; y) (където x и y могат да бъдат сборни променливи), така че за всяко естествено число n е в съответствие с T, че има a₁, …, a _n; b ₁,…, b _n, така че φ (a _i, b _j) има право само в случай, че i ≤ j.

5.2. Теория на геометричния модел

Теорията на геометричните модели произтича от документа на Майкъл Морли от 1965 г., но в различна посока от работата на Шела (макар че днес прави редовно използване на технически инструменти, разработени от Шелах в неговата класификационна програма). Морли беше показал, че моделите на безчетната категорична теория имат структурни свойства, които са интересни сами по себе си, независимо от пълната теория на структурата; така че стана обичай да се говори за безбройни категорични структури, което означава модели на безчислени категорични теории. (И също така напълно категорични структури.) Независимо Борис Зилбер в Сибир и Грег Черлин в Съединените щати забелязаха, че всяка безкрайна група, която може да се определи в категорична безчетна структура, трябва да има много общи черти с алгебраичните групи, изучавани от алгебраични геометри. По-специално Цилбер показа, че много методи от алгебраичната геометрия се обобщават до моделно-теоретичния случай. Тайното му оръжие беше теоремата на Безут от геометрията, която той използва, за да го насочи към решения на много трудни теоретични задачи на модела; например неговата теорема, че нито една напълно категорична теория не може да бъде аксиоматизирана от ограничен брой аксиоми. (Беше тайна в смисъл, че ръководеше интуицията му, но никога не се появи изрично в резултатите си.) Зилбер също забеляза важна разлика между първия и втория от примерите на Йос по-горе. А именно във векторно пространство подпространствата (т.е. подмножествата, затворени под линейна зависимост) образуват модулна решетка; но алгебраично затворените подмножества на алгебраично затворено поле образуват решетка, която не е модулна.

Отчасти поради затрудненията в комуникацията между Сибир и Запада, тези резултати на Зилбер отнеха известно време за усвояване и отчасти трябваше да бъдат преоткрити на Запад. Но когато съобщението най-накрая се получи, резултатът беше нов клон на теорията на моделите, който стана известен като теория на геометричния модел. Програмата е широко да класифицира структурите според (а) какви групи или полета могат да бъдат интерпретирани в тях (в смисъла, начертан в записа на теорията на модела) и (б) дали структурите имат „модулна геометрия“или не; и след това да се използва тази класификация за решаване на задачи в теорията на модела и геометрията. От средата на 80-те години лидер на това изследване е Ехуд Грушовски. В началото на 90-те, използвайки съвместна работа с Zilber,Грушовски даде моделно-теоретично доказателство (първото пълно доказателство, открито) на геометричната хипотеза Мордел-Ланг във всички характеристики; това беше предположение за класическа диофантинова геометрия. Bouscaren (изд.) 1998 г. е посветена на доказателството на Грушовски и необходимия фон в теорията на модела. И двете (a) и (b) са основни за аргумента на Грушовски.

5.3. О-minimality

От трите описани тук програми това е най-старото, тъй като произтича от описанието на Тарски на пълната теория на полето на реалните числа (което той доказа чрез метода на елиминиране на количествените показатели). В хода на това описание Тарски беше показал, че всяка формула от първи ред φ (x) на съответния език, евентуално с параметри, се изпълнява от точно същите задания като някаква булева комбинация от формули на формата x <s или t <x където s, t са постоянни термини, именуващи параметри. Друг начин да се каже това е това

Всеки набор от елементи, дефинируем чрез формула от първи ред, е ограничено обединение на отворени интервали с именовани крайни точки, заедно с някакъв краен набор от елементи.

Линейно подредената структура с това свойство се казва, че е о-минимална. (Идеята на името е, че o-минималността е аналог на „силната минималност“, във форма, която има смисъл за структури, които извършват линейно подреждане, откъдето „o-“за подреждане.)

През 1982 г. Lou van den Dries показа, че фактът, че полето на реалните числа е o-минимално, дава голям обем полезна информация за определяемите множества с по-високо измерение, като семейството на определяемите подмножества на реалната равнина. Скоро след това Джулия Найт, Ананд Пилей и Чарлз Щайнхорн забелязват, че ако структура А е о-минимална, тогава такава е всяка структура, която е елементарно еквивалентна на А, и че анализът на ван ден Дрис за определяне на по-голям размер се прилага за всички тези структури. Тези резултати доведоха до голяма активност на границата между теорията на модела и теорията на функциите. Бяха решени няколко стари проблеми от теорията на моделите и теорията на функциите. Алекс Уилки показа, че полето на реални числа със символ за експоненциране е о-минимално и има пълна теория на модела, т.е.и по този начин даде положителен отговор на стария проблем на Тарски дали тази структура позволява елиминиране на количеството, въпреки че методът му беше много далеч от синтактичния анализ, който Тарски имаше предвид. (Това е един от случаите, когато трябва да запомним разликата между това да бъде завършена по модел и да елиминира количеството; вижте раздел 2 по-горе. Въпросът дали тази конкретна теория има елиминиране на количествени показатели е много по-труден и е тясно свързан с дълбоко предположение за теория на числата наречена хипотеза на Schanuel; вижте статията на Macintyre и Wilkie.) Вече знаем широк спектър от начини за добавяне на интересни характеристики към полето на реални числа по такъв начин, че получената структура все още е минимална (и следователно в някакъв смисъл математически проследими). Ван ден Дрис призова, че о-минималните структури осигуряват добра обстановка за разработване на програма „укротена топология“на Александър Гротендиек.

През 2006 г. Джонатан Пила и Алекс Уилки показаха, че при условие че се премахнат подмножествата, определени с използване само на полиномни неравенства, подмножествата от R ^{n, които} могат да се определят при минимално разширяване на реалното поле, имат малко рационални точки. Впоследствие, следвайки стратегията, използвана първо от Пила и Умберто Заниер, за да опровергаят хипотезата на Манин-Мумфорд, различни автори са използвали тази теория за минимално броене, за да разрешат някои важни открити проблеми в диофантиновата геометрия.

Коби Петерзил и Сергей Старченко са разработили теория за о-минималния комплексен анализ. Точно както при класическия подход към сложния анализ, човек може да интерпретира сложните числа като набор от подредени двойки реални числа с добавяне и умножение, определени от обичайните правила, включващи техните реални и въображаеми части. От техните резултати в тази област, тяхната теорема за алгебраичност, която твърди, че ако подмножество на C ⁿе сложен аналитичен (което означава, че е затворен и е локално определен чрез изчезване на крайно много сложни аналитични функции) и дефинируем при някакво минимално разширение на реалното поле, тогава трябва да е алгебричен, което се определя от изчезването на полинома уравнения, е най-поразителният резултат и има силни последици при изследването на функционалната трансцендентност и хомогенната динамика.

И трите от тези програми генерираха нови техники за доказване, конструкции и класификации. Както би трябвало да очакваме, изследователите са изследвали обхвата на приложение на всяка техника. Един резултат от това е появата на няколко полезни класа теории от първи ред, които са свързани с повече от една от трите програми. Например централен инструмент на теорията на класификацията на Шела беше представата му за разклоняване, широкообхватно обобщение на по-ранните алгебрични представи за отношение на зависимостта. Класът на прости теории се дефинира от факта, че разклоняването има определени приятни свойства, докато класът на розовите теории се характеризира с наличието на добра представа за независимост, идваща от по-нататъшно обобщение на разклоняването, наречено þ-разклоняване; няколко естествени примера за прости теории излязоха наяве в теорията на геометричния модел,и пълните теории за о-минималните структури са примери за розови теории. Успоредно с тези технически постижения теорията на моделите от първи ред продължава да се развива по-тясно, свързана с проблеми в теорията на числата, функционалния анализ и други клонове на чистата и дори приложна математика.

В програмата на теорията за класификацията на Шела, централната зона се играе чрез разделителни линии. Тоест, класът на всички теории трябва да бъде разделен на тези, които имат някакво свойство, и тези, които не, и това разделяне на тези два класа трябва да е автентично в смисъл, че класовете трябва да допускат различни определения на различни знаци. Например, класът на стабилните теории може да бъде описан по много различни начини, като например онези теории, по отношение на които е определен всеки тип, тези, по отношение на които никоя формула няма свойството на реда, или тези, за които има някои безкрайни кардинални κ поне толкова големи, колкото тези на езика, за които над всеки модел с размер κ няма повече от κ много 1-типове. Много от тези класически теоретични класове са дефинирани, като забраняват съществуването на определени комбинаторни конфигурации. Например, класът на зависимите или NIP (за „Не собствеността на независимостта“) теории се дефинира, като казва, че за без формула φ (x, y) не е възможно да се намери модел M и последователности (a _i) _{i = 0} ^∞ и (b _S), където b последователността е индексирана от подмножествата на естествените числа, така че φ (a _i, b _S), ако и само ако i ∈ S. Приблизително по същото време, когато Шела изолира собствеността за независимост, Владимир Вапник и Алексей Червоненкис откриват същото понятие в теорията на машинното обучение. Последиците от моделния теоретичен анализ на NIP са извлечени от теорията на невронните мрежи, екстремалната комбинаторика, теорията за диференциалния личен живот и теорията на машинното обучение по-широко.

библиография

• Бет, Е., 1953, „За метода на Падоа в теорията на дефиницията“, Nederlandse Akademie van Wetenschappen, Proceedings (Series A), 56: 330–339.
• Bouscaren, Е. (съст.), 1998, Теория на модела и алгебраична геометрия: Въведение в доказателството на Е. Хрушовски за геометричната хипотеза на Мордел-Ланг (Бележки от лекции по математика: Том 1696), Берлин: Springer-Verlag.
• Buechler, S., 1996, Основна теория за стабилност, Берлин: Спрингер-Верлаг.
• Chang, C. and Keisler, J., 1990, Model Theory, Amsterdam: North-Holland.
• Chatzidakis, Z. et al. (изд.), 2008 г., Теория на моделите с приложения към алгебра и анализ, Томове 1 и 2, Кеймбридж: Университетско издателство в Кеймбридж.
• Dries, L. van den, 1998, Tame Topology и O-минимални структури, Cambridge: Cambridge University Press.
• Ealy, C. and Onshuus, A., 2007, „Характеризиране на теории на розите“, Journal of Symbolic Logic, 72: 919–940.
• Ehrig, H. and Mahr, B., 1985, Основи на алгебричната спецификация I: Уравнения и начална семантика, Берлин: Springer-Verlag.
• Ершов, Й. (съст.), 1998, Наръчник по рекурсивна математика I, Теория на рекурсивния модел, Ню Йорк: Елзевиер.
• Харт, Б., Лаклан, А. и Валериоте, М., 1996, Алгебраична теория на модела, Дордрехт: Kluwer.
• Haskell, D., Pillay, A. и Steinhorn, C., 2000, Теория на моделите, Алгебра и геометрия, Кеймбридж: Cambridge University Press.
• Hodges, W., 1993, Теория на моделите, Кеймбридж: Cambridge University Press.
• –––, 1998 г., „Законите на разпространение за силогизмите“, списание Notre Dame of Formal Logic, 39: 221–230.
• Karpinski, M. and A. Macintyre, 1997 г., Полиномни граници за VC измерение на сигмоидални и общи нефронни мрежи на Pfaffian, 1-и годишен Dagstuhl семинар по невронни изчисления (1994), Journal of Computer and System Sciences, 54 (1 [2]): 169-176.
• Lascar, D., 1986, Стабилност в теорията на модела, Harlow: Longman.
• Macintyre, A. и Wilkie, A., 1996, „За разрешимостта на реалното експоненциално поле“, в Kreiseliana: За и около Georg Kreisel, P. Odifreddi (ed.), Wellesley MA: AK Peters, 441–467.
• Marcja, A. и Toffalori, C., 2003, Ръководство по теория на класическите и съвременни модели, Dordrecht: Kluwer.
• Marker, D., 2002, Теория на модела: Въведение, Ню Йорк: Springer-Verlag.
• Морли, М., 1965, “Категоричност във властта”, Трансакции на Американското математическо дружество, 114: 514–538.
• Peterzil, Y. и S. Starchenko, Sergei, 2009, Сложна аналитична геометрия и аналитично-геометрични категории, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 626: 39–74.
• Pillay, A., 1996, Теория на геометричната стабилност, Oxford: Oxford University Press.
• Pila, J., 2011, „О-минималност и хипотезата на Андре-Оорт за C ⁿ “, Annals of Mathematics (2), 173 (3): 1779–1840.
• Пила, Дж. И Уилки, А., 2006, „Рационалните точки на определяемото множество“, сп. Duke Mathematics, 133 (3): 591–616.
• Pila, J. and Zannier, U., 2008, „Рационални точки в периодичните аналитични набори и хипотезата на Манин-Мумфорд“, Rendiconti Lincei Matematica E Applicazioni, 19 (2): 149–162.
• Poizat, B., 2000, Курс по теория на моделите, Ню Йорк: Спрингер.
• Шела, С., 1990, Теория на класификацията, Амстердам: Северна Холандия.
• Тарски, А., 1951, Метод на решение за елементарна алгебра и геометрия, Беркли: University of California Press.
• Vaught, R., 1974, „Теория на моделите преди 1945 г.“, в Proceedings of Tarski Symposium, L. Henkin, et al. (ред.), Providence RI: Американско математическо дружество, 153-1172.
• Veblen, O., 1904, „Система от аксиоми за геометрия“, сделки на Американското математическо дружество, 5 (3): 343–384
• Wagner, F., 2000, Simple Theories, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
• Уилки, А., 1996, „Резултатите за пълнота на модела за разширения на реалното поле чрез ограничени функции на Pfaffian и експоненциалната функция“, Journal of American Mathematical Society, 9: 1051–1094.

Академични инструменти

	Как да цитирам този запис.
	Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
	Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
	Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси

• Hrushovski, E. and Loeser, F., 2010, Неархимедова топология на укротяване и стабилно доминирани типове, онлайн ръкопис на arXiv.org.
• Simon, P., 2012, Бележки за лекции по NIP теории, онлайн ръкопис на arXiv.org.
• Схематично представяне на класификацията на теориите.