Натурализъм във философията на математиката

2023 Автор: Noah Black | [email protected]. Последно модифициран: 2023-08-25 04:38

Навигация за влизане

• Съдържание за участие
• библиография
• Академични инструменти
• Friends PDF Preview
• Информация за автора и цитирането
• Върнете се в началото

Натурализъм във философията на математиката

За първи път публикувано на Sun Aug 24, 2008; съществена ревизия вт. 26 март 2013 г.

Трите основни натурализма на съвременната философия са методологически, онтологични и епистемологични. Методологическият натурализъм гласи, че единствените авторитетни стандарти са тези на науката. Онтологичният и съответно епистемологичният натурализъм гласи, че всички образувания и всички валидни методи на изследване са в известен смисъл естествени. Във философията на математиката от последните няколко десетилетия методологическият натурализъм получи лъвския дял от вниманието, така че се концентрираме върху това. Онтологичният и епистемологичен натурализъм във философията на математиката са разгледани по-кратко в раздел 6.

• 1. Методологически натурализъм

  1.1 Математически антиревизионизъм

• 2. Новата история на методологическия натурализъм

  • 2.1 Скорошна информация
  • 2.2 Настоящ контекст

• 3. Изясняване на методологическия натурализъм

  • 3.1 Авторитетен
  • 3.2 Граничният проблем и научният метод
  • 3.3 Методическо единство?
  • 3.4 Степен на санкция
  • 3.5 Стандарти и практикуващи
  • 3.6 По-широки натурализми

• 4. Мотивиращ натурализъм

  • 4.1 Натурализмът е революционен в някои аспекти
  • 4.2 Скъпота на аргументите в литературата
  • 4.3 Текущ успех
  • 4.4 Споразумение
  • 4.5 Исторически успех

• 5. Хетерогенен натурализъм

  • 5.1 Методологично автономна ли е математиката?
  • 5.2 Ако математиката е методологично автономна, това установява ли натурализма на Мади?

• 6. Онтологичен натурализъм

  • 6.1 Природни науки като арбитър на онтологията
  • 6.2 Всички субекти са пространствено-временни
  • 6.3 Натуралистичен антиплатонизъм и гносеологичен натурализъм
• библиография
• Академични инструменти
• Други интернет ресурси
• Свързани записи

1. Методологически натурализъм

Методологическият натурализъм има три основни и свързани сетива във философията на математиката. Първият е, че единствените авторитетни стандарти във философията на математиката са тези на естествознанието (физика, биология и др.). Второто е, че единствените авторитетни стандарти във философията на математиката са тези на самата математика. Третото, амалгама от първите две, е, че авторитетните стандарти са тези на естествознанието и математиката. Ние наричаме тези три натурализма научни, математически и математически-научни. Обърнете внимание, че в този текст „наука“и съвместни термини обхващат само естествените науки.

1.1 Математически антиревизионизъм

Натурализмът - „методологически“и „във философията на математиката“, разбран по-нататък - изглежда има антиревизионни последици за математиката. Математик-философът ЛЕЖ Браувър разработва интуиционистична математика, която се стреми да свали и замени стандартната („класическа“) математика. Брауър се опита да мотивира интуиционистичната математика философски с интуиция, базирана на математическа истина. По-скорошен представител на интуиционистичната математика е Майкъл Дамет, който е разработил аргументи от философията на езика, в частност теорията на смисъла, от негово име. И все пак научните стандарти оспорват класическата над интуиционистичната математика:дори ако съвременната наука може да бъде изцяло преработена интуиционистично - голям ако - би била по-малко проста и по-тромава от сегашната й класически базирана версия. Математиците също са склонни да разглеждат интуиционистичната математика като по-ниска от класическата математика, ако се тълкува като съперник на нея. Следователно, нито Броувър, нито интуиционизмът на Дъммет явно са санкционирани по научни или математически стандарти, така че натурализмът ги управлява извън съда. Всъщност за много от неговите съмишленици именно това е смисълът на натурализма. Смисълът му, често се смята, е да блокира фантастични атаки към утвърдени дисциплини като математика от дисциплини с по-малко сигурни методологии. Следователно, нито Броувър, нито интуиционизмът на Дъммет явно са санкционирани по научни или математически стандарти, така че натурализмът ги управлява извън съда. Всъщност за много от неговите съмишленици именно това е смисълът на натурализма. Смисълът му, често се смята, е да блокира фантастични атаки към утвърдени дисциплини като математика от дисциплини с по-малко сигурни методологии. Следователно, нито Броувър, нито интуиционизмът на Дъммет явно са санкционирани по научни или математически стандарти, така че натурализмът ги управлява извън съда. Всъщност за много от неговите съмишленици именно това е смисълът на натурализма. Смисълът му, често се смята, е да блокира фантастични атаки към утвърдени дисциплини като математика от дисциплини с по-малко сигурни методологии.

2. Новата история на методологическия натурализъм

2.1 Скорошна информация

Съвременният интерес към натурализма произлиза от Куин, чийто натурализъм е виден в по-късните му творби. Представителен цитат е, че натурализмът е „признанието, че в самата наука, а не в някаква предишна философия, тази реалност трябва да бъде идентифицирана и описана“(Quine 1981, 21). Друго голямо влияние има Хилари Путнам, която изразява своя научен натурализъм по следния начин:

… Глупаво е да се съгласим, че причината да се смята, че p изисква приемането на p при всички научни обстоятелства, и след това да се добави „но дори и да не е достатъчно добро“. Подобна преценка може да бъде направена само ако човек приеме научен метод като по-висок от научния метод; но този философ, поне, няма интерес да прави това. (Putnam 1971, 356)

Така от тази гледна точка математиката се преценява по научни стандарти, защото всичко е. Нещо повече, Куин и Путнам поддържат, че тези стандарти санкционират платонистичната математика, тъй като математиката и нейното платонистично конструиране са неизменна част от най-добрите ни научни теории.

Въпреки че натурализмът като самосъзнателна позиция във философията на математиката се очертава най-пълно с Куин, както винаги, има предшественици. Емпиристката традиция в различните й форми (логически позитивизъм, Мил, Хюм и др.) Е най-очевидният предшественик, макар че има значителни различия между предкинейските емпирици и съвременните натуралисти. Възходът на научния натурализъм във философията на математиката също съвпада с възхода на по-широк научен натурализъм, също отчасти приписващ се на Куин, който вижда цялата философия - не само философия на математиката - като протичаща в естествената наука. Натурализмът също върви ръка за ръка с общо взето преобладаващия песимизъм относно традиционните философски начини на аргументация.

Някаква версия на натурализма е привлекателна за почти всички философи днес. Че методологиите на математиката и науката са най-доброто, което имаме, изглежда една простота, която философията трябва да се опита да признае и надгради, а не игнорира. Въпросът е как точно да стане това.

2.2 Настоящ контекст

През последните няколко десетилетия се наблюдава голям прилив на интерес към натурализма. 1997 г. беше важна година в неотдавнашната философия на математиката, тъй като видя публикуването на четири книги, артикулиращи позициите на петима водещи философи на математиката: Джон Бърджис и Гидиън Росен „Субект без обект“, „Натурализъм на математиката на Пенелопа Мади“, „Математиката на Майкъл Резник“науката за шарките и философията на математиката на Стюарт Шапиро. И четирите книги са в различна степен и наред с други неща натуралистични: първите две са натуралистични манифести, третата се застъпва за куинейски научен натурализъм, а последната, макар и основно засягаща други въпроси, е симпатична на натурализма. Натурализмът на Джон Бърджис,първо изложено в неговото (1983) и през последните няколко години, разработено с неговия колега Гидиън Росен (1997, 2005), може би най-естествено се тълкува като версия на математически-научния натурализъм (1997, 211). Натурализмът на Пенелопа Мади е разнородна форма на натурализъм, която прави разлика между правилната математика и философията на математиката, обхващаща математическия натурализъм за първия и научния натурализъм за втория (раздел 5). Друга позиция, предложена от Мади (1997), е задълбочен математически натурализъм, който приема математическите стандарти като авторитетни както в математиката, така и в нейната философия.s натурализмът е разнородна форма на натурализъм, която прави разлика между правилната математика и философията на математиката, обхващаща математическия натурализъм за първия и научния натурализъм за втория (раздел 5). Друга позиция, предложена от Мади (1997), е задълбочен математически натурализъм, който приема математическите стандарти като авторитетни както в математиката, така и в нейната философия.s натурализмът е разнородна форма на натурализъм, която прави разлика между правилната математика и философията на математиката, обхващаща математическия натурализъм за първия и научния натурализъм за втория (раздел 5). Друга позиция, предложена от Мади (1997), е задълбочен математически натурализъм, който приема математическите стандарти като авторитетни както в математиката, така и в нейната философия.

Пренебрегвайки квалификациите, основните съвременни версии на натурализма с техните представителни защитници могат да бъдат представени по следния начин:

	Правилна математика	Философия на математиката
Научен (Quine)	научен	научен
Математически-Сперма-Научен (Burgess)	Математически-сперма- Научен	Математически-сперма- Научен
Математически (?)	математически	математически
Хетерогенна (Maddy 1997)	математически	научен

За да илюстрираме разликата между твърдения в правилната математика и философията на математиката, разгледайте като пример за бившата теорема на Грийн-Дао, доказана през 2004 г., която гласи, че последователността на прости числа съдържа произволно дълги аритметични прогресии (но разбира се, че не безкрайно дълъг); като примери за последното приемаме платонистичното твърдение, че числото две съществува и е абстрактно, или твърдението, че тъй като математическите образувания са създадени, а не открити, непредсказуемите дефиниции не са допустими. За всеки даден философ теоремата на Грийн-Дао и нейното доказателство трябва да се оценяват по стандартите на първата колона. Например,Куийн приема теоремата, ако и само ако тя е част от най-доброто систематизиране на науката (за което се приема, че са принципите, от които е изведена, и логиката, по която се извежда от тези принципи). По подобен начин за всеки философ платонизмът и стриктността по отношение на непредсказуемостта трябва да се оценяват по стандартите на втората колона. Например Куин приема платонизма, защото го приема за научно санкционирана интерпретация на математиката: според него математиката, съдържаща се в най-доброто систематизиране на науката, е платонична. Куийн приема платонизма, защото приема, че това е научно санкционираното тълкуване на математиката: според него математиката, съдържаща се в най-доброто систематизиране на науката, е платонична. Куийн приема платонизма, защото приема, че това е научно санкционираното тълкуване на математиката: според него математиката, съдържаща се в най-доброто систематизиране на науката, е платонична.

Няма ясни примерни възгледи, че математическите стандарти трябва да бъдат авторитетни във философията на математиката, следователно и въпросът. Дейвид Люис флиртува с тази позиция в своята монография за теорията на множествата (1991, viii – ix, 54), но към момента на неговата (1993) вече я отхвърли. Позицията е подсказана от забележки в Maddy (1997), макар че, както ще видим в раздел 5, Maddy (1997) по-естествено се тълкува като напредване на хетерогенна форма на натурализъм. Няколко други философи на математиката също са изповядани естественици, по-специално Алън Бейкър (2001) и Марк Коливан (2001).

3. Изясняване на методологическия натурализъм

Подобно на много –изми, натурализмът може би се мисли по-добре като ориентация с доктринални последици, отколкото като доктрина сама по себе си. Въпреки това може да се опитаме да го изясним в няколко измерения.

3.1 Авторитетен

Как трябва да разберем твърдението, че някой набор от стандарти трябва да бъде авторитетен във философията на математиката? Можем да запазим общността, като се позоваваме на X-стандарти, като при нас интересуващите случаи са „научни“, „математически“или „научно-математически“. Ето някои (неизчерпателни) показания на твърдението на органа:

1. Двустранна натурализъм: приемете p iff p се санкционира от X-стандарти
2. Тъмпинг натурализъм: приемете p, ако р е санкционирано от X-стандарти.
3. Акцент натурализъм: При оценяване дали p, дайте по-голям акцент на X-стандартите.
4. Съвместимост Натурализъм: не приемайте p, ако p е несъвместим с X -стандартите.

Двустранното четене е най-силното от четирите. Той изразява мисълта, че валидните стандарти просто са X-стандарти. За разлика от двустранния натурализъм, тръбната версия очевидно позволява, че едно твърдение във философията на математиката може да е приемливо, дори ако X-стандартите не го санкционират. Например Бърджис и Росен изразяват своя натурализъм, както следва:

Ангажиментът на натуралистите е … към сравнително скромното предположение, че когато науката [разбира се да включва математика] говори с твърд и единен глас, философът е длъжен или да приеме своите заключения, или да предложи онези, които са разпознаваеми научни причини да им се противопоставят (1997, 65).

Това естествено е омагьосано като тръбеща версия на научно-математическия натурализъм. Изглежда позволяват, ако математиката и науката не говорят с твърд глас по въпрос, може да приемем присъдата на някаква друга дисциплина.

Акцентът натурализъм е неясна доктрина. Различни версии възникват в зависимост от това колко се набляга на X -стандартите. Скромната версия заема позицията на наклонените натуралисти, но не и откровени философи натуралисти. Възстановяваме бикондиционалния натурализъм, когато X-стандартите са подчертани дотолкова, че никой друг няма значение.

Съвместимостта на натурализма не е толкова силна, колкото козлив натурализъм. Ако p е санкционирано от X-стандарти, тогава натурализмът на съвместимостта се радва на неприемане на ¬ p, но не е задължително да се приема за приемане на p. Неприемането на ¬ p не отговаря на приемането на p, тъй като винаги има възможност за спиране на решението по p. Изгледът за съвместимост е общоприет от повечето съвременни философи. За да вземат пример извън философията на математиката, повечето философи биха отхвърлили философията на времето, която се сблъсква с теорията на относителността (в случая X = наука). В рамките на философията на математиката повечето философи биха отхвърлили философията на математиката, която предполага, например, че сложният анализ трябва да бъде заличен (в този случай X може да бъде наука, математика или математика-наука).

Различни по-слаби методологични тези понякога са етикетирани като „натуралистични“, например отхвърляне на декартовия фундаментализъм, но тук разбираме термина по-силно. Кой от горните варианти е правилният начин за развитие на натурализъм, разбира се, зависи от това как е мотивиран натурализмът (раздел 4).

3.2 Граничният проблем и научният метод

Натурализмът създава противопоставяне между X-стандартите (научни, математически или научно-математически) и други видове стандарти, например, астрологични, теологични или стандарти на здравия разум. Друг пример за стандарти, които натуралистът вижда като неправилна страна на пистите, са „фундаментални“философски. Гудман и Куин (в неговата преднатуралистическа фаза) веднъж започнаха статия, като обявиха, че основата на техния номинализъм е фундаментална философска интуиция, непримирима към научните основания (1947). Натуралистите отхвърлят апела към подобни стандарти.

Очевиден проблем с натурализма е, че изглежда не съществуват остри граници между наука и ненаука и между математика и нематематика. Например, преходът от физика към физика на физиката към физиката - тежка метафизика към обща или градина метафизика изглежда постепенно. Когато математик пише изследователска статия, учебник за студенти, популярна книга по математика, книга, излагаща личната му философия на математиката и психологическите си асоциации с различни математически теории, в кой момент точно е спрял да се занимава с математика? Когато изследователите математици се съберат след семинара и се споразумеят за кафе, че хипотезата на Риман е най-важният изключителен проблем в математиката,това строго математическо твърдение или лична преценка, призната от математиците, е извън провинцията на математиката?

Много философи следват Куин, като цитират стандартен набор от принципи, предполагаемо съставляващи научните стандарти: емпирична адекватност, онтологична икономика, простота, плодородие и т.н. (Quine 1955, 247; Quine and Ullian 1970, глава 5). Подобни списъци обаче са незадоволителни по няколко причини. За едно нещо, принципите се предлагат в различни версии. И все пак е съмнително дали общите версии са научно санкционирани. Някои писатели твърдят например, че научното обжалване на онтологичното причастие не се разпростира върху постулацията на абстрактни обекти (Burgess 1998). Други твърдят, че научните призиви към простота, не са най-доброто, заснето от съвсем общо лозунга Предпочитам всяка теория T ₁ и да е по-малко прост теория T ₂(в това отношение) “(Paseau 2007). Нещо повече, списъци от този вид не ни казват как да балансираме desiderata един срещу друг.

След експлозията на научните изследвания през 60-те години, сега се обръща повече внимание на нюансите на научната практика. И все пак по-прецизното формулиране на научните стандарти и техните тегла остава неизвестно. Съществуването на алгоритъм, капсулиращ научния метод, обикновено се поставя под съмнение (макар че много хора очевидно успяват да приложат научния метод, така че ако методът не е алгоритмичен, тогава нито умът ни). Това, което не е спорно обаче, е, че изложбата му в момента ни избягва.

След като каза това, не е ясно колко сериозен е граничният проблем за натуралистите. Може би те могат да твърдят, че има доста остра граница, макар че е трудно да се определи. Може би математиците имплицитно знаят кога нещо се отчита като част от математиката и кога е нематематичен коментар по математика. Във всеки случай изглежда натурализмът преживява отсъствието на рязка граница. Натурализмът очевидно може да почива на претенциите си върху набор от стандарти с размити граници.

3.3 Методическо единство?

Какво става, ако няма глобални научни стандарти, а просто стандартите на тази или онази част от науката (напр. Физика или биология, физика на частиците или механика на течностите) или дори просто стандартите на тази или онази група учени? В този случай научният натурализъм би се раздробил на няколко варианта (напр. Физика-натурализъм или биология-натурализъм). Ако мотивацията за научен натурализъм сочи към един от тези по-фини натурализми над останалите (напр. Физика-натурализъм), или ако всички те върнат едни и същи присъди във философията на математиката, потенциалната фрагментация не е тревожна. Но ако не, научният натуралист е в затруднение, тъй като всички тези конкурентни натурализми са по презумпция еднакво валидни. Досега научните натуралисти са склонни да приемат, че науката оперира с единен набор от стандарти. Вероятно е, че това предположение е, че строг натуралист ще иска да го заложи с подробни казуси. Подобно е и за математическия натурализъм и математическия кум-научен натурализъм.

3.4 Степен на санкция

Научните стандарти санкционират предложенията до известна степен, а не откровено. Последната хипотеза на изследователската въглеродна повърхност, приета предварително от няколко експерти, няма същата позиция като отдавна вкоренена теория. По този начин черно-бялото понятие за санкциониране или не санкциониране на научните стандарти няма да направи. (Това е идея, която Байесовата теория за потвърждение приема сериозно.) Може също така да се твърди, че това важи и за математическите стандарти, например като се вземат предвид недедуктивните основания за вяра в математическите предложения. Изглежда разумно да се види Концепцията на Голдбах, твърдението, че всяко четно число, по-голямо от 4, е сумата от два прайма, подкрепена до голяма степен от наличните в момента недедуктивни доказателства. При липсата на доказателство за Концепцията на Голдбах обаче,тази степен не достига 1. По-точното твърдение на веруюто на натуралиста трябва да издава насоки за разпределяне на доверието в p в съответствие със степента и вида на ангажираност с препоръчаните научни или математически стандарти.

3.5 Стандарти и практикуващи

Би било погрешно да се приравнява какво X-стандарти санкция с това, което X-практикуващите вярват (за X = наука или математика или по-общо). От една страна, X-практикуващите може да не са задавали конкретен въпрос. За друго, X-практикуващите могат да сбъркат. Нещо повече, Х-практикуващите могат самосъзнателно да поддържат противоположното или във всеки случай нещо различно от това, което X-стандартите санкционират. Например, един учен може да повярва на р, може би въз основа на „чувството на червата“или поради някакви по-важни религиозни убеждения или поради някаква друга научна причина, докато все още признава, че научните стандарти не подкрепят. Или математик може да повярва, че числото 7 има мистични свойства, но не вярва, че това е математик. По-тясна връзка между практикуващите и стандартите може да бъде тази:какво е санкцията на X-стандартите, какви X-практикуващи са разположени, за да вярват правилно на qua X-практикуващите. (Това не е предназначен като редуктивен анализ.)

След като каза това, е необходимо да се приписва широко разпространена грешка на общността на практикуващите Х по отношение на това, което X-стандартите санкционират. По този начин това, което X-практикуващите всъщност вярват, обикновено служи като добро, макар и оправдано доказателство за това, което X-стандартите санкционират.

3.6 По-широки натурализми

Научният натурализъм, както е дефиниран тук, обхваща само естествознанието (и по същия начин и за научно-математическия натурализъм). По-широките натурализми приемат не само традиционната природонаучна дейност, но и някои от другите науки: може би цялата социална наука, може би само част от нея, може би лингвистика, може би когнитивна наука. Имайте предвид, че в по-късните писания самият Куйн приема широка версия на натурализма (1995, 49). Пенелопа Мади наскоро даде да се разбере, че формата на научен натурализъм, която тя възприема - „Втора философия“, както сега предпочита да я нарича - наистина е много широка, като взема предвид не само естествените науки, но и психологията, лингвистиката, социологията и т.н.. (2007, 2).

Разширяването на научния или научно-математическия натурализъм за включване на тези дисциплини има потенциално значими последици за философията на математиката. Например, ако семантиката попадне под чадъра на натуралистиката, тя може да осигури натуралистична санкция за математическия реализъм или платонизъм, тъй като семантиката на номиналната стойност за математиката изглежда я присвоява към непротиворечивите буквални части на езика - точка, известна от Benacerraf (1973), Дали да се тълкува натурализмът широко или тясно зависи от неговата мотивация. Привлеченията на научния или математическия или научно-математическия натурализъм се крият в несравнимия успех на дисциплините (за някои разбиране за това, което идва този успех - вижте раздел 4). В този момент обаче неприродните науки са по-малко успешни от естествените науки. Колкото по-малко успешен счита неприродните науки в сравнение с естествените, толкова по-малко привлекателен става по-широкият научен или научно-математически натурализъм в сравнение със строго естественонаучния.

Всички натуралисти, особено тези от по-голямото разнообразие, трябва да балансират потенциално конкурентни стандарти. Един широк натуралист може да реши, например, да даде на естествените науки 2/3 претегляне и семантика 1/3-тежест. Или може да приеме, че предложение във философията на математиката е приемливо, ако (или дори: ако и само ако) всички науки, естествени или неприродни, го санкционират - тоест, когато всички науки говорят с един глас, За съжаление тези въпроси за балансиране не са били много адресирани от естествениците. Може би това е така, защото въпроси от този вид възникват за всички: каквито и да са обоснователните стандарти да приемем, възниква проблемът как да се съди между тях. Но доколкото натурализмът е предписателен и не може да разчита на вече съществуваща имплицитна процедура,тя ни дължи артикулация на това как да балансираме различни групи стандарти.

Въпросът за балансирането е особено належащ за математиците, които са научни природолечи. Един научен натуралист по принцип с удоволствие казва, че ако математическата теория M е научно по-висша, но математически по-ниска от друга математическа теория M ^*, то M трябва да бъде предпочитано пред M ^* (следващият параграф съдържа пример). Математическите научни натуралисти обаче могат да се спуснат от двете страни, в зависимост от детайлите на конкретните теории: всичко зависи от това дали научните предимства на M са сравнени с M ^*са по-големи от неговите математически недостатъци. Сега философията на математиката няма установена традиция да претегля научните и математическите плюсове на математическите теории една срещу друга; нито друга дисциплина. Така че проблемът как да се балансират математическите и научните стандарти е особено належащ за математика-научен натуралист.

За да илюстрираме този проблем, да предположим, както твърдят много философи, че общият принцип на онтологичната икономика - позиционирайки възможно най-малко субекти - е научен стандарт. Да предположим също така, както поддържа Пенелопа Мади, че теоретично зададената версия за онтологичната развратност - позиционирайки възможно най-много множества - е математически стандарт (това е един от начините за извличане на теоретично зададената максима, която Мади нарича MAXIMIZE). Тези два стандарта се сблъскват, както признава Мади (1997, 131). По този начин, предвид тези предположения, предикативистката теория на множествата, която представлява сравнително малък брой набори, да кажем от вида, разработен в Das Kontinuum на Херман Вейл, може да бъде научно по-добра от ZFC, която разполага с повече набори. И все пак се смята, че ZFC е математически превъзхождащ теорията на предикативистите. Може би правилната диагноза е, че сблъсъкът е само повърхностен, тъй като правилната научна версия на онтологичната икономика е „постави възможно най-малко конкретни субекти“, а правилната математическа версия на онтологичната развръзка е „постави възможно най-много абстрактни образувания“. Въпреки това, може да е в този случай, математикът-научен натуралист трябва да измисли обща политика за справяне с потенциални сблъсъци или да твърди, че такива сблъсъци не са възможни. Математическият научен натуралист трябва да измисли обща политика за справяне с потенциални сблъсъци или да твърди, че такива сблъсъци не са възможни. Математическият научен натуралист трябва да измисли обща политика за справяне с потенциални сблъсъци или да твърди, че такива сблъсъци не са възможни.

4. Мотивиращ натурализъм

Човек може просто да приеме натурализма, без да предоставя аргумент или мотивация за него. Но мотивациите за натурализъм го подкрепят, като го правят вътрешно по-силен и му придават диалектическа сила, увеличавайки привлекателността му към не-натуралистите. Те отговарят на основния въпрос: защо точно тези стандарти?

(Същото важи и за натурализмите, замислени предимно като подходи или позиции, а не доктрини. След публикуването на книгата си от 1997 г. Пенелопа Мади поясни, че нейната версия за натурализъм е позиция (Maddy 2001) или частичен подход / метод на изследване (2007 г.), виж например, стр. 19, ет. 15, стр. 403). Въпреки това, позициите и подходите към проучването са привлекателни дотолкова, доколкото са добре мотивирани.)

4.1 Натурализмът е революционен в някои аспекти

Често се смята, че натурализмът е консервативна философия на математиката, както предложихме в раздел 1. Но всъщност нещата са по-сложни. Всеки от трите интересуващи се натурализма в известна степен е революционен.

Нашата гледна точка по подразбиране е, че математическите стандарти решават въпроси по математика, например въпроси, например дали последната теорема на Фермат или Axiom of Choice е вярна. Смята се, че научните стандарти не влияят на това: когато Андрю Уилс доказва последната теорема на Фермат в средата на 90-те години, той не се занимава особено с това как доказателствата му ще намалят в отделите по физика, или по-общо въздействието му върху емпиричната наука. По подобен начин твърдението, че ако някоя голяма кардинална аксиома не бъде санкционирана научно (може би защото води до нови емпирични последици), няма основателна причина да се приеме това е, както подчертава Мади, не е в крак с реалната практика на теория на множествата “(1997, 132) и наистина е в крак с действителната практика на голяма част от философията. Обикновено не преценяваме големи кардинални аксиоми по научни стандарти; ние ги съдим по математически стандарти. Куийн самосъзнателно вървеше срещу зърното, когато отхвърля по-високите полети на теорията на множествата на научни основания (1986, 400).

По този начин научният натурализъм за математиката е философски революционен възглед, тъй като той застъпва различен набор от стандарти, с които да се съди математиката (научната) от традиционната (математическата). Той също е потенциално революционен по отношение на самата математика, тъй като може да доведе до преразглеждане на математиката. (Забележете, че дори научният натурализъм да не води до преразглеждане на математиката, той все още се счита за философски революционен: застъпването на заместване на Y -стандарти с X -стандарти като правилните арбитри в някаква област е философски революционно, дори ако Y -стандартите и X -стандартите потвърждават едни и същи претенции в тази област.) Като каза това,напоследък научните естестволози са склонни да бъдат математически консервативни по темперамент и се застъпват за малко или никакво ревизиране на математиката.

Тези нрави се отнасят и за математическия-научен натурализъм, но в по-малка степен, тъй като последният придава известна тежест на математическите стандарти при математическото обосноване.

Третият от трите интересни натурализма, математически натурализъм, е философски, но не и математически революционен. Математически това е толкова консервативно, колкото може да бъде: никакви други стандарти освен математическите не са от значение за оценката на математическите твърдения. Така нито една приета математика не се преобръща отвън. И все пак математическият натурализъм е революционна позиция във философията на математиката. За да видите това, да предположим, че платонизмът е част от стандартната, приета математическа практика. В този случай математическият натурализъм води до това, че няма повече въпрос за неговата истина. Накратко, просто защото математиците (ква математиците) са платонисти, платонизмът е правилната философия на математиката. Това очевидно не е в крак с философската практика: философите гледат към математицитевъзгледи (ква математици) като опровержими данни за философията на математиката, а не нейното заключение. Така виждаме, че простата характеристика на математическия натурализъм като консервативен не е съвсем правилна: макар и математически консервативна, тя е философски революционна.

Накратко, научният, математическият и математически-научният натурализъм са всеки революционер в някакво отношение и са изправени пред съответната тежест на доказване. Вече можем да оценим смисъла, в който общото твърдение, изразено в раздел 1, че натурализмът е антиревизионен е вярно и смисълът, в който не е такъв.

Това също показва, че съвременният натурализъм е различен от повърхностно подобната метафилософия на последния Витгенщайн. Антифилософията на Витгенщайн, като натурализма, пречи на философията да променя математиката: „Философията по никакъв начин не може да пречи на реалното използване на езика… Оставя всичко такова, каквото е. Освен това оставя математиката такава, каквато е”(1953, § 163). Революционният тенор на натурализма обаче означава, че той не оставя всичко такова, каквото е.

4.2 Скъпота на аргументите в литературата

Аргументи за натурализъм липсват в литературата. Повечето натуралисти просто позиционират своя натурализъм и работят надолу от него с надеждата, че последствията от него ще се окажат привлекателни за възприемчивите (Maddy 2007, 3). По този начин натурализмът на практика се превръща в лично кредо с малко директен опит да вкарам някой друг на борда: приемам само X-стандарти в някаква област, защото ги намирам за по-достоверни от други. Вероятно в края на деня човек не може да се справи по-добре. Но не бива да приемаме това в началото. Това е още по-важно предвид революционните характеристики на натурализма, както беше обяснено по-рано. Консервативната теория на оправданието може да санкционира натурализма, като се има предвид като цяло натуралистична отправна точка; но нашата отправна точка, както видяхме, не е тази на тръбния натурализъм: тя е най-много съвместимост натурализъм. Така че аргументът за нещо повече от най-меката версия на натурализма би бил добре дошъл.

4.3 Текущ успех

Натуралистите са мотивирани от мисълта, че научните или математическите стандарти са най-успешните стандарти, които притежаваме. Но до какво идва успехът? Много грубо може да се приеме следното като белег за успеха на дадена дисциплина: (i) сред практикуващите я има широко споделено схващане за водещите въпроси и допустимата методология на дисциплината; и (ii) има напредък в дисциплината при адресиране на нейните водещи въпроси. След това човек може да се опита да твърди, че физиката е по-успешна от метафизиката, че психологията е по-успешна от парапсихологията и че астрономията е по-успешна от астрологията.

Подобен подход е изправен пред двоен проблем. Ако нещо стане, що се отнася до методологията, всякакви дисциплини могат да постигнат успех, без това да постигнат достоверност. Помислете за Гуру-ологията, дисциплината, която взема водещите въпроси да бъдат тези, посочени от някой гуру, и определя като своя методология, че приемливите отговори са всички и само изреченията на гуруто (може би, ако приемем последователност - затова нека приемем за добра мярка, че гуру е последователен и по-общо вероятностно съгласуван). Тези отговори могат да бъдат толкова фантастични, колкото искате: оставяме на въображението на читателя да измисли примери за чужди претенции, направени от гуруто. Ако предположим, че гуруто отговаря на всеки от въпросите, които повдига,Следователно гурулогията е прогресивна - тя отговаря на всички въпроси, които повдига - и затова е успешна. Но успехът му не говори нищо за неговата достоверност.

Като цяло, ако успехът на даден набор от стандарти S се преценява според неговите собствени условия, т.е. чрез използване на S-стандарти, няколко самоносещи, но интуитивно неприемливи набора от стандарти се считат за успешни. Този релативизъм очевидно не е това, което иска натуралистът. Също така и за мисълта, че успехът трябва да се определя от това доколко стандартите ни помагат да се справим с реалността; няколко ненаучни и нематематически натурализми също се самооправдават по този критерий. Може би вместо това успехът трябва да се измерва с това колко добре стандартите обясняват и предсказват природни явления, т.е. с това как се справят с предмета на естествознанието. Но възприемането на обичайната ни представа за това как да преценяваме успеха в това отношение би било поставянето на въпроси в полза на научния натурализъм,тъй като научните стандарти са именно стандартите, които сме разработили, за да се справим с тази част от реалността. Сравнете астрологичния натурализъм, мотивиран от идеята, че успехът трябва да се измерва с това колко добре стандартите обясняват и предсказват „астрологични явления“, разбирани както правят астролозите. Така че, ако един натуралистичен аргумент, основан на успех, трябва да успее, трябва да се намери някакво друго натуралистично приемливо, но без въпросително разбиране за „успех“.трябва да се намери някакво друго натуралистично приемливо, но без въпросително разбиране за „успех“.трябва да се намери някакво друго натуралистично приемливо, но без въпросително разбиране за „успех“.

Вторият проблем с аргумента за успех е, че успехът в една сфера не е индикация за успех в друга. Биологията е доста успешна в обясняване и прогнозиране на биологични явления. Но защо това трябва да му дава власт върху въпросите в математиката или философията на математиката? Подобно на другите природни науки. Както ще видим, тази точка обобщава.

4.4 Споразумение

Традиционната философия, може да се каже натуралист, води до безкрайно несъгласие. Наука и математика, от друга страна, обикновено постигат широко съгласие - често консенсус - по въпросите в тяхната област. Следователно научните или математическите стандарти трябва да се предпочитат пред останалите. (Такива аргументи от несъгласие и липса на сближаване на мненията са показани на първо място в други области на философията, по-специално мета-етиката.)

Обаче моралът, който натуралистът желае да извлече от моделите на съгласие и несъгласие, изглежда неоправдан. Споразумението или несъгласието в дадена общност е условен въпрос. Тоталитарна държава би могла да постигне споразумение в общността с смразяваща ефикасност, като наложи някои предпочитани набори от стандарти на своите субекти. Като цяло има безброй неепистемични причини за съгласие или несъгласие. Следователно не е важно споразумението, а по-скоро обяснението защо се постига споразумение.

Следователно по-сложната версия на този аргумент може да се основава на проследимостта на несъгласието, а не на самото му присъствие. Несъгласието е изобилно както във философията, така и в науката, но само в последната, може да се каже, несъгласието може да се проследи. Най-малкото може да се постигне напредък и може би по принцип винаги може да се постигне споразумение. Действителните модели на съгласие и несъгласие могат да бъдат посочени като доказателство за съответната проследимост или непроменяемост на дебатите, втълпени от, да речем, научни и ненаучни философски стандарти.

Извън обхвата на този запис е да се оцени този по-сложен вариант на аргумента, който под една или друга форма напоследък спечели значително внимание извън философията на математиката. Въпреки това, обърнете внимание на няколко първоначални трудности.

За да се абстрахира от обстоятелствата на нашата епистемична ситуация, аргументите за проследимостта обикновено продължават, като се разглеждат силно идеализирани теми, по-специално теми, чиито фактически, логически и др. Знания далеч надхвърлят нашите. Но проблемът с подобни идеализации е, че те изглеждат въпросителни. Например, богословският анти-натуралист би поддържал, че фактически високо информираните субекти ще бъдат афиширани от факти за свръхестествена реалност. Следователно нашето захващане за идеализирани теми и как несъгласието между тях може да се разреши, може би е твърде разкрепостено, за да извлечем някакъв материален морал от подобни мисловни експерименти. Или това, или подобни аргументи вероятно ще бъдат въпросителни.

Второ, можем да признаем, че съображенията за проследимост разкриват, че научните и математическите стандарти са по-благоприятни за истината в съответните им сфери. И все пак това изглежда не дава основание за мислене, че те ще бъдат успешни в други сфери. (Това е същата точка, която направихме във връзка с аргумента за успех.)

4.5 Исторически успех

Може би най-обещаващият аргумент за натурализма се основава на исторически успех. Научните и математическите стандарти имат по-добри резултати от останалите; следователно научните и математическите стандарти трябва да се приемат като авторитетни във философията на математиката и на други места. Забележете, че подобно на предишните два аргумента, този аргумент за натурализъм във философията на математиката е аргумент за глобалния натурализъм.

Някои натуралисти изрично са разчитали на тази мотивация. Например, Луис го използва, за да отхвърли структурализма като правилната философия на теорията на множествата в Части от класове (1991, 58–9), дори и да я отхвърли като аргумент; виж също Colyvan (2001, 33), Shapiro (1997, 30) и Burgess (1998, 197). Много може да се каже за спора, изследван в Paseau (2005). Тук се задоволяваме с две критични наблюдения.

Тъй като философите прилагат очевидно различни стандарти, не е ясно какво означава да се каже, че философията като цяло има лош исторически опит. Помислете за ранния Попър (1935 г.), който смята, че никакво количество доказателства не може да направи неизправната теория вероятна (или поне не по-вероятна от която и да е друга несанкционирана теория). Това е видът на Дейвид Люис, който се забавлява с философията: със сигурност - със сигурност - стандартите, довели до това заключение, не са надеждни. Теорията на относителността е несъмнено по-вероятна от все още непотвърдената хипотеза, че светът ще приключи през 2525 г. Но въпреки това, ако не споделя стандартите на Попър от 1935 г., фактът, че тогавашната му философия на науката е от моя гледна точка очевидно погрешен не прави нищо, за да разтърси вярата ми в собствените ми философски стандарти. По същия начин вземете Тома Аквински,чиито философски стандарти включваха съзвучие с Библията и по-общо с принципите на християнската вяра. Ако не съм християнин, фактът, че философската теология на Аквински е от моя гледна точка грешен, не прави нищо, което да разклати вярата ми във философските ми стандарти. По този начин стандартите на сър Карл или Сейнт Томас, както виждам, никое добро не е склонно да подкопава моята вяра.

Ето защо мога да се съглася с натуралиста, че философията има по-лоши резултати от науката и математиката. Но от това не следва, че (ненаучните или нематематическите) стандарти, които използвам, имат лоши резултати. Ако философите последователно приемат повече или по-малко еднакъв набор от стандарти в хода на историята и ако аз също следвам тази традиция, приемайки ги за мои и освен това, ако тези стандарти демонстрират по-лош опит от научните или математическите стандарти, това би било причина за мен да се обърна към натуралист. Но първото предположение е най-малкото съмнително и не е ясно какво остава от аргумента от историята, ако предшествениците на моите стандарти нямат лошо представяне.

Втори проблем с аргумента е свързан с прилагането му към философски въпроси. Нека се съгласим, че научните стандарти имат добър опит в отговорите на научните въпроси, че математическите стандарти имат добър опит в отговорите на математически въпроси и освен това тези записи са по-добри от тези на философските стандарти в отговаряйки на философски въпроси. Тези факти обаче изглежда не са от значение за въпроса кои стандарти трябва да се третират като авторитетни, когато става въпрос за философски въпроси. Добрият опит в една сфера сам по себе си не е доказателство за благоприятна истина в друга.

Това вече познато възражение може да се илюстрира, като се разгледа дебата между платонисти и структуралисти във философията на математиката. Платонистите тълкуват „1 + 2 = 3“като претенция за абстрактни обекти. Структуристите от друга страна интерпретират „1 + 2 = 3“като твърдение за това какъв е случаят във всяка структура, която удовлетворява асиомите на аритметиката. (Тук ние мислим за структурализма като вида на възгледа, често обозначен като „елиминативен структурализъм“след Чарлз Парсънс, и чиято най-сложна версия за дължина на книгите и модалите може да бъде намерена в Hellman (1989).) Природата твърди, че математическите стандарти имат са били по-успешни в миналото и затова трябва да се вярва на този въпрос. Но в никакъв случай не е ясно, че това е въпросът относно въпроса кои математически стандарти имат по-добри резултати от философските. Математическите стандарти имат добър опит, когато става въпрос за въпроси, като например дали 1 + 2 е равно на 3, или към какво се сближава серия 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … или дали Концепцията на Поанкаре (относно класификацията на 3-колектора) е вярно; но те нямат доказан опит, когато става въпрос за въпроси като това дали тези истини са платонистични или структуралистични. (Свързано възражение срещу аргумента е, че научните стандарти не говорят на въпроси за интерпретация, като въпроса кой от платонизъм или структурализъм да предпочете. Вж. Пасо (2007).)Математическите стандарти имат добър опит, когато става въпрос за въпроси, като например дали 1 + 2 е равно на 3, или към какво се сближава серия 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … или дали Концепцията на Поанкаре (относно класификацията на 3-колектора) е вярно; но те нямат доказан опит, когато става въпрос за въпроси като това дали тези истини са платонистични или структуралистични. (Свързано възражение срещу аргумента е, че научните стандарти не говорят на въпроси за интерпретация, като въпроса кой от платонизъм или структурализъм да предпочете. Вж. Пасо (2007).)Математическите стандарти имат добър опит, когато става въпрос за въпроси, като например дали 1 + 2 е равно на 3, или към какво се сближава серия 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … или дали Концепцията на Поанкаре (относно класификацията на 3-колектора) е вярно; но те нямат доказан опит, когато става въпрос за въпроси като това дали тези истини са платонистични или структуралистични. (Свързано възражение срещу аргумента е, че научните стандарти не говорят на въпроси за интерпретация, като въпроса кой от платонизъм или структурализъм да предпочете. Вж. Пасо (2007).)но те нямат доказан опит, когато става въпрос за въпроси като това дали тези истини са платонистични или структуралистични. (Свързано възражение срещу аргумента е, че научните стандарти не говорят на въпроси за интерпретация, като въпроса кой от платонизъм или структурализъм да предпочете. Вж. Пасо (2007).)но те нямат доказан опит, когато става въпрос за въпроси като това дали тези истини са платонистични или структуралистични. (Свързано възражение срещу аргумента е, че научните стандарти не говорят на въпроси за интерпретация, като въпроса кой от платонизъм или структурализъм да предпочете. Вж. Пасо (2007).)

Накратко, необходимостта от естествениците да разработят тези аргументи или да произведат по-добри от тях остава настойчиво.

5. Хетерогенен натурализъм

Досега разгледахме три единни вида методологически натурализъм, свързани с математиката: научен, математически и математически-научен. Помислете сега за разнороден методологичен натурализъм, който приема математическите стандарти, когато става въпрос за правилната математика, но приема научни стандарти за философията на математиката и за философията по-общо. Хетерогенният натурализъм е напреднал от Пенелопа Мади (1997), чийто богат принос оживява и несравнимо повлиява на дебата за натурализма във философията на математиката през последните двадесет години. (Мади сега предпочита да я нарича натурализъм „Втора философия“, както е в заглавието на нейната книга от 2007 г., но тук поддържаме етикета „натурализъм“в съответствие с останалата част от записа.)

Като начало, представителна оферта от Мади:

Където Куин счита, че науката „не отговаря на който и да е наднаучен трибунал и не се нуждае от никакво оправдание извън наблюдението и хипотетико-дедуктивния метод“…, математическият натуралист добавя, че математиката не е отговорна на никакъв извънматематически трибунал и не се нуждае от никаква обосновка извън доказателството и аксиоматичния метод (1997, 184).

В нашата терминология, хетерогенният натурализъм на Мади е тропична теза. Както казва тя, „ако философският ни разказ на математиката влиза в конфликт с успешната математическа практика, това е философията, която трябва да даде“(1997, 161). Нито философията, нито науката не могат да преобърнат математическите „методологически решения“(2007, 361), тъй като и двете са извънматематически трибунали. Въпреки това, Мади приема философията на математиката за разлика от правилната математика, за да бъде клон на естествознанието, както обяснява в следващия пасаж:

Така че натуралистичната философия на математиката се осъществява в рамките на естествената наука, подобно на натуралистичната философия на науката, но за разлика от натуралистичната философия на науката, тя заема неотлъчно отношение към натурализирания модел на математическата практика (1997, 202).

Тези и подобни пасажи (особено 1997, 200–203) показват, че Мади приема философията на математиката да отговаря на (естествените) научни стандарти.

По този начин отличителността на хетерогенния натурализъм е, че той препоръчва един набор от стандарти (математически) за уреждане на някои въпроси, свързани с математико-математическите, като например, кои аксиоми да изберете - и друг набор от стандарти (научни) за уреждане на други въпроси за математиката, оставени отворени от самата практика - философски, като например как да се тълкува математиката. Това е в контраст с еднообразните натурализми във философията на математиката, например Куинейски научен натурализъм, или Бургески математически-кум-научен натурализъм, или равномерно математически натурализъм (също предложен от Мади (1997), но според нас в крайна сметка не се застъпва там), За да обясните как това бивалентно отношение може да работи на практика, вземете любимия пример на Мади: теорията на множествата. Да предположим, че ZFC + LCA е настоящата ни приета теория на множествата, където LCA е някаква колекция от големи кардинални аксиоми. Като се има предвид математическият натурализъм за правилната математика, няма въпрос за отхвърляне на ZFC + LCA в полза на, да речем, ZFC + аксиомата, че няма недостъпни или някаква друга теория на множествата, казват Новите основи на Quine. Математическите стандарти санкционират ZFC + LCA, така че това е теорията на множествата, която трябва да приемем. Но как трябва да интерпретираме ZFC + LCA? Платонистично, структурно или по някакъв друг начин? Това е философски въпрос, така че предвид научния натурализъм за философията на математиката (и по-общо философията) правилният й отговор е този, който е санкциониран от научните стандарти. Например,ако един по-висок научен критерий за простота благоприятства платонизма спрямо всички други интерпретации, това трябва да бъде правилната интерпретация на ZFC + LCA.

Мади мотивира своя натурализъм, като апелира към „фундаменталния дух, който стои в основата на всеки натурализъм: убеждението, че успешното предприятие, било то наука или математика, трябва да се разбира или оценява според собствените му условия, че такова предприятие не трябва да бъде подлагано на критика от страна на и не се нуждае от подкрепа от някаква външна, уж по-висока гледна точка”(1997, 184). Едно напрегнато четене на това изречение е, че основното убеждение на натурализма по дефиниция се отнася само за естествените науки и математиката. По-естествен прочит е, че се прилага за всяка успешна наука. След това Мади твърди, че всъщност нематематическите основания не са се отразили на математиката. Можем да изразим това като теза, че математиката е автономна.

Оценката на разнородния натурализъм на Мади се състои главно в оценката на тезата за автономията по отношение на математиката и нейните последици. Един въпрос е дали тезата е вярна. Друго е дали, ако е вярно, тезата поддържа хетерогенен натурализъм.

5.1 Методологично автономна ли е математиката?

Мади твърди, че правилният модел на математическата обосновка ще отмени хипотезата, че традиционно научните или философските аргументи не влизат в оправданието на математическите твърдения. Например, френските анализатори Baire, Borel и Lebesgue критикуват Axiom of Choice въз основа на дефиниалистична методология, според която съществуването на обект зависи от неговата дефинируемост: функциите трябва да бъдат определяеми правила, членството в даден набор трябва да бъде дадено в определим начин и т.н. Но дефиниализмът в крайна сметка няма влияние върху практиката на математиката и нейните симпатизанти са замълчани или се отказват от нея, когато математическите му нежелани характеристики станат ясни. Например, Axiom of Choice позволява приемането на максимални идеали в пръстени и други структури;тя включва видовете принципи за максималност, които дори анализаторите вече използват; опростява трансфинитната аритметика; и въпреки подозрителната си абстрактност се оказва, че е еквивалентна на „конкретни“и „математически“изявления, като твърдението, че всяко векторно пространство има основа. Причините за приемането на Axiom of Choice в крайна сметка бяха чисто математически.

Мади предлага също така възхитително подробно описание на видовете математически причини, които воюват срещу "Аксиома" за конструируемост, V = L, по-специално факта, че приемането му противоречи на теоретико-множествената максима MAXIMIZE, която се възползва от вселената на множествата трябва да бъде възможно най-експанзивен (като съдържа възможно най-много видове изоморфизъм).

Повечето коментатори оставят описателния компонент на натурализма на Мади, тезата за автономията да премине, фокусирайки критиката вместо върху нейните нормативни последици. И все пак тезата за автономията е много радикална. Обичайната картина на взаимодействието между математиката и философията е на двупосочна улица. По-специално обикновено се смята, че философията засяга до известна степен математическата практика. Интуиционистите например приемат зависимостта за дълбока: те смятат, че цялата математическа практика се опира на фалшива философска основа и че след като тази основа бъде премахната, математиката се разминава.

Мади с охота признава, че философските доктрини като дефиниализъм или реализъм са важни вдъхновения за математическото развитие, дори ако не са достатъчни за оправдания (1997, 192). И тя приема, че „теориите за математическата истина или съществуването или знанието всъщност се появяват в повечето математически дебати за правилни методи, наред с по-типичните математически съображения“(2007, 348). Но тя твърди, че в крайна сметка подобни теории не са изиграли „инструментална роля“(2007, 359) и че те са натрупали „необичайни резултати“(2007, 366) в развитието на математиката.

Значи философските (или по-общо нематематическите) съображения винаги попадат на страната на вдъхновението, а не на оправданието? Е, философските съображения почти никога не се развиват в математическите списания или книги. И всеки път, когато са Мади, ги вижда като сума, когато човек надраска повърхността, на „вътрешноматематически“аргументи (1997, 193), от които натурализираният модел на практиката ще бъде „пречистен“, поради тяхната методологическа нерелевантност (1997, 197). Ако е права, този отговор обобщава този конкретен, по-скоро ограничен, тип контекст във всички математически контексти.

Едно от последствията от това мнение е, че видовете максими, които Мади вижда като чисто вътрешни за математиката, като MAXIMIZE или UNIFY, сами по себе си никога не са подложени на философски убеждения. UNIFY е методологическо следствие от основополагащата амбиция на теорията на множествата да се предостави „единна система, в която всички обекти и структури на математиката могат да бъдат моделирани или инстанцирани“(1997, 208–9). И все пак може би UNIFY и основополагащата амбиция на теорията - фактът, че както Мади правилно отбелязва, „теорията на множествата е (поне отчасти) предназначена да осигури основа за класическата математика“(2007, 355) - самите те са по някакъв малък начин, може би някаква лека степен, подкрепена от теоретично множествения реализъм, т.е. виждането, че теорията на множествата е около една вселена от множества. По същия начин и за Axiom of Choice,който на повърхността дължи своето място в теоретично множествения канон - може би само в малка степен - на вродения реализъм за теорията на множествата. Няколко теоретици на множеството се записват като претенции за това, така че тежестта на доказване е върху Мади да обясни тези забележки.

Мади използва и следния проблематичен стил на спор. Тя смята, че фактът, че философските дебати (напр. За реализма) са широко отворени, но че математиката се е развила по определен начин (например, за да се позволят непредсказуеми методи), показва, че философските дебати не са повлияли на резултата от съвременната математика (например, 2007 г., 348). Но фактът, че дебатът за реализма е широко отворен във философията, не означава, че той е широко отворен в математиката. Може би математиците косвено са заели реалистична позиция, което отчасти е в основата на приемането им на непредсказуемост, дори когато философите продължават да спорят за правилността на реализма като философия на математиката. Математиката може да е философски причастна, поради което се е развила така, както е имала.

Тези точки срещу тезата за автономията едва ли са убедителни. За да го оценим, е необходима по-голяма яснота къде се намира границата между оправданието и вдъхновението и какво точно означава да кажеш, че нещо пада от едната или другата страна. И разбира се, след това трябва да идентифицираме по-точно кои от факторите в еволюцията на математиката оправдателно действат и кои празни. Въпреки това, дори тезата за автономията да не е вярна, може би е почти вярна. И може би нищо не е толкова силно, колкото тезата за автономията, за да се подкрепи тръбането, за разлика от двустранния натурализъм.

5.2 Ако математиката е методологично автономна, това установява ли натурализма на Мади?

Това, че практиката на издаване на изявления е фактическа самостоятелност, не води до това, че нейните изявления са по този начин приемливи. Практиките могат да бъдат херметически затворени от външно влияние (напр. Астрология, догматична теология), но това само по себе си не прави твърденията им приемливи. Какво прави математиката различна?

Мади признава този проблем заради позицията си (1997, 203–5; 2005, 449; 2007, 346–7), в която са иззети прегледи и дискусии за нейната работа (напр. Dieterle 1999, Rosen 1999, Roland 2007; само Tappenden (2001) е по-симпатичен). Тя се обръща към нея, като прави разлика между чисти и приложни дисциплини. Приемайки астрологията като фолио, тя отбелязва, че приложната астрология може да се тълкува като отправяне на твърдения за емпиричния свят. Използвайки обикновените си научни стандарти, научният натуралист оценява, че приложната астрология е невярна (тъй като се различава от приетата научна история). Следователно приложната астрология не заслужава уважението на натуралиста. Чистата астрология за разлика от тях се тълкува като астрология като лечение на „определени свръхестествени вибрации, които не взаимодействат причинно с обикновените физически явления“(1997, 204). Въпреки това,няма причина да вярваме в чистата астрология, тъй като тя не присъства в нашата най-добра научна теория на света. И при двете интерпретации астрологията е несъвместима с математиката.

Мади сякаш иска да си изпече тортата и да я изяде. Причината за достоверността на математиката се предполага в нейното приложение в науката. Но защо фактът, че характеристиките на математиката в най-добрата ни наука трябва да е причина за вярване на изказванията на математиците - това е причина да ги приемем за истина? Подозрението е, че ако участието в най-добрата наука е белег на достоверността, това трябва да бъде научни стандарти, които в крайна сметка определят приемливостта на математическите теории. Мади наистина е цитирала функция, която отличава математиката от чистата астрология, както тя посочва (2007, 390); но това, което все още остава неясно, е защо тази функция трябва да направи математиката, а не науката авторитетна по отношение на въпросите в математиката. По този начин изглежда, че тя не е обяснила как човек може последователно да бъде математически натуралист за математическите теории, а научен натуралист за всичко останало, включително истината и естеството на математиката. В по-общ план, като се има предвид, че една практика издава твърдения за оценка на истината, изглежда, че не може да се застъпва за X-стандарти като арбитри на приемливостта на тези твърдения, като същевременно се застъпва за различен набор от стандарти, Y -стандартите, като арбитри на това дали не изявленията трябва да се приемат за верни, как трябва да се тълкуват и т.н. Забележете, че това е проблем, с който се сблъскват изключително разнородните, за разлика от единния натурализъм.като се има предвид, че една практика издава твърдения за оценка на истината, изглежда, че не може да се застъпва за X-стандарти като арбитри на приемливостта на тези изявления, като същевременно се застъпва за различен набор от стандарти, Y -стандартите, като арбитри на това дали изявленията или не трябва да се приеме за вярно, как трябва да се тълкуват и т.н. Забележете, че това е проблем, който се сблъсква изключително от хетерогенен, за разлика от единния натурализъм.като се има предвид, че една практика издава твърдения за оценка на истината, изглежда, че не може да се застъпва за X-стандарти като арбитри на приемливостта на тези изявления, като същевременно се застъпва за различен набор от стандарти, Y -стандартите, като арбитри на това дали изявленията или не трябва да се приеме за вярно, как трябва да се тълкуват и т.н. Забележете, че това е проблем, който се сблъсква изключително от хетерогенен, за разлика от единния натурализъм.

Единственият начин да се избегне това очевидно несъответствие е да се предположи, че „приемането“на изявление, санкционирано от математическата практика - изявление, на което автономната практика на математиката дава палци, не означава да я приемем като истина. Въпреки че е предложена от няколко пасажа в Maddy (1997), тази интерпретация не е тази, която може сериозно да бъде поставена върху нейната книга. Освен това, това е равносилно на научния натурализъм във всичко освен име. Това представлява твърдението, че каквото и да е математиците прекарват времето си да говорят, правят и публикуват, не трябва да се намесват, но че трябва да имаме предвид само да вярваме на тези математически твърдения, санкционирани на научни основания, независимо дали им се дават палци или не в езиковата игра на математиците.

Тази картина напоследък се усложнява от твърденията на Мади, че това, което тя нарича Ареализмът - не приемайки теорията на множествата и по-общо математиката, е истина - може да бъде също толкова уважаемо от науката, колкото и тънкият реализъм - приблизително, възгледът, който определя, има само свойствата, приписани на тях по теория на множествата (2007, IV.4). Този запис няма място да направи справедливост на този обрат в метафилософията на Мади. Достатъчно е да отбележите следното. Току-що обсъжданите въпроси изглежда изглеждат за тънкия реалист също толкова, колкото и всеки друг вид реалист. А конструкцията на Arealist изглежда превръща позицията на Мади в нещо съвсем различно от разглеждания тук хетерогенен натурализъм.

6. Онтологичен натурализъм

Като се отдалечим от методологическия натурализъм, помислете сега за онтологичния натурализъм, виждането, че всички същества са естествени. Един от начините да се прочете това е, че съществуват само съществата, позиционирани от естествените науки. Второ и може би по-естествено четиво е, че съществуват само пространствено-временни същества. В този последен раздел ще се спрем на двете четения накратко и ще вземем накратко епистемологичния натурализъм в 6.3.

6.1 Природни науки като арбитър на онтологията

На първо четене онтологичният натурализъм във философията на математиката е пряко следствие от методологическия научен натурализъм. В него се посочва, че онтологията на математиката е математическата онтология на нашата най-добра естествена наука. Научните платонисти твърдят, следвайки Куин и Путнам, че тази онтология е платонистка, както правят и математически-кум-научните платонисти (напр. Burgess and Rosen (1997)). Съпротивата срещу научния платонизъм и свързания с него аргумент за незаменима необходимост са монтирани на няколко фронта (напр. Field 1980, Sober 1993, Maddy 1997, ch. II.6, Paseau 2007). Консултирайте се с Colyvan (2011) за подробна дискусия.

6.2 Всички субекти са пространствено-временни

Второто четене на онтологичния натурализъм, според което всички същества са пространствено-временни, представлява версия на антиплатонизма във философията на математиката.

Позицията се подразделя. При редукционистката математика се приема по логико-граматична номинална стойност, но нейните обекти (числа, функции, множества и т.н.) се приемат като пространствено-временни. Това мнение се застъпва за сетове в Армстронг (1991) и по-общо в Бигелоу (1988). Нередукционистките възгледи са многобройни. Те включват приемането на математиката като безсмислена манипулация на символи (формализъм) или като изследване на това, което е вярно във всички структури, подчинени на аксиомите (структурализъм), или като изследване на това, което е вярно във всички възможни структури, подчиняващи се на аксиомите (модал-структурализъм). Буено (предстоящо) обсъжда различни номинализми, т.е. виждания, които имат отношение само към пространствено-временните образувания. Тъй като много от тези номинализми са съвместими както с не натуралистични, така и с онтологично натуралистични мотиви, ние не ги обсъждаме тук. Ние се концентрираме върху шепа въпроси, свързани главно с редукционистки версии на онтологичния реализъм.

Редукционисткият онтологичен натурализъм и немодалният структурализъм относно теорията на множеството се сблъскват с непосредствен проблем: в пространственото време очевидно има много по-малко същества, отколкото има множества. Дори и при най-либералните допускания (съществуват точки от пространството и техните произволни региони, някои малки безкрайности на образуванията могат да бъдат колокирани във всяка от тези точки или региони), размерът на пространството и предметите в него е сравнително ниска безкрайна кардиналност (със сигурност не повече от

_ω-дори, че е щедър). Следователно няма достатъчно пространствено-временни образувания, които да интерпретират теорията на множествата буквално, нито да направят структурна интерпретация на теорията на множеството не вакуумно вярна и следователно да гарантират, че теоретичните множества не са истински, а не верни. Вижте Paseau (2008) за обсъждане на този и други проблеми за теоретично-теоретичния редукционизъм.

Друг проблем е, че дори космическото време да е достатъчно голямо, за да предостави или модел за буквално тълкуване на теорията на множествата, или екземпляр за нейната структурна интерпретация, това би било условен факт за нашата вселена. Теорията на множествата би била вярна, но условна. Тъй като ние обикновено смятаме математиката за необходима, това е неблагоприятно последствие за философията на математиката. Някои дори биха могли да го нарекат редукция.

Версиите на тези проблеми засягат и емпиризма на Мил (1843). За Мил математиката и логиката са природни науки, а техните принципи са природни закони. Аритметиката например е теорията на агрегатите, т.е. теорията за колекциите от конкретни образувания. Геометрията е теорията на идеализираните граници на конкретни образувания - линии, точки, равнини и т. Н., Чиито принципи са „реални факти с преувеличени или пропуснати обстоятелства“(Mill 1843, кн. 1, bk. II, ch.v). Милианската философия на математиката е податлива на току-що зададения проблем за кардиналност. (Разбира се, това е анахронична критика, тъй като теорията за инфинитарния набор все още не е била разработена по времето на Мил.) Що се отнася до случайността на математиката, Мил ухапа куршума и го прие.

Свързан проблем за милианския възглед, който възниква дори за математиката на деня на Мил, е дилема относно съществуването на агрегати от агрегати, агрегати от агрегати на агрегати…. Агрегатите от по-висок ред, ако съществуват, могат да бъдат само абстрактни - какво друго? Но ако те не съществуват - ако има само агрегати от първи ред - тогава по-специално няма номера на числата, например е безсмислено или невярно да се твърди, че има два прайма между 20 и 30.

Китчър (1983) е опит да реанимира философията на математиката на Мил, като я модернизира. Той отчита математическата истина по отношение на операциите на възможен, но несъществуващ идеален агент и по този начин попада под заглавието на модалистките философии на математиката. (Въпреки че самият Китчър не е любител на етикета (1983, 121–2).)

Други очевидни проблеми за редукционисткия онтологичен натурализъм включват проблема за произвола и факта, че той противоречи дълбоко на математическия метод. Да предположим, че аритметиката е изследване на някои конкретни пространствено-временни образувания. Много добре; но кои от тях? Със сигурност е произволно коя пространствено-временна единица е избрана като число нула. Тази критика е версия на общ антиредукционистки аргумент, представен в Benacerraf (1965). Отговорът на него обикновено е, че редукционизмът не се стреми да разкрие значението на числовите термини, а вместо това предлага теоретична идентификация (Paseau 2009). Обвинението в противоречие на математическия метод също е сериозно. Ако математическите обекти са пространствено-временни,защо математиците не извършват експерименти, за да открият техните свойства? Ако математиката наистина се занимаваше с пространствено-времевата, със сигурност нейната методология би била по-емпирична.

Онтологичните натуралистични възгледи за обсъждания тип са поради тези и свързани причини, които се разглеждат като проблемни и следователно са непопулярни.

6.3 Натуралистичен антиплатонизъм и гносеологичен натурализъм

Каквато и да е мотивацията им, онтологичните натуралисти по дефиниция (на второ четене на учението) са съгласни, че платонизмът е фалшив. Понякога онтологичният натурализъм се мотивира от метафизични доктрини, например от принципа, че всичко, което съществува, има причинно-следствени сили. Абонати на този принцип включват Армстронг (1997), който го нарича елеатичен принцип; за критика вижте Colyvan (2001, гл. 3) и Papineau (2009).

Най-популярният аргумент за онтологичния натурализъм е гносеологичният и следователно онтологичният натурализъм често се съюзява с епистемологичния натурализъм. Ако има абстрактни същества, изглежда, че не можем да знаем, нито да формираме надеждни убеждения за тях (Benacerraf 1973, Field 1989), поради причинната им изолация от нас. Повечето философи смятат, че това е основният проблем, свързан с платонизма. Обърнете внимание, че аргументът обикновено води до агностицизъм, а не до отричане на съществуването на абстрактни математически обекти. Това не е мястото да се занимаваме с аргумента - за повече подробности, вижте Balaguer (2009) - освен да скицирате как платонист, който също е научен или математически-научен натуралист - напр. Куин, отговаря на него.

Натуралистическият платонистичен отговор е двустранен (Burgess and Rosen 1997, 2005; за критика вижте Linnebo 2006, Chihara 2006). Първото изречение е, че никога не е бил създаден прост критерий за знание (или надеждна вяра или оправдана вяра), който да успее да изключи знанието за абстрактното, без да изключи по този начин видове знания, които повечето натуралисти биха приели (Steiner 1975). Няколко примера: (i) условието, че p е причина за убеждението, че p е твърде силно, тъй като изключва знанието за бъдещето; (ii) както естественият платонист вижда, че абстрактната математическа реалност е и така всъщност е част от най-доброто обяснение за вярването, че p; следователно подобно обяснително състояние се оказва съвместимо с платонизма. Освен това,натуралистите-платонисти се оплакват, че дори и да се намери критерий, който очертава линията, където номиналистът желае да бъде нарисуван, това би поставило въпроса срещу платонизма.

Второ, натуралистите-платонисти провеждат стандартна линия на Куиней, като конструират всяко предизвикателство към надеждността на нашите убеждения относно платоничните математически обекти като общо предизвикателство за надеждността на научния метод. (Това е от гледна точка на научния натуралист; научно-математическият натуралист може да прокара същата линия със съответните корекции.) Въпреки това, от нашите най-добри светлини - според нашата най-добра теория на света, т.е., естествознание, която поставя абстрактни математически обекти-вярата в абстрактни математически образувания се постига чрез надежден метод, а именно научния метод. Това не е само самоуважение, тъй като тук се използва научният метод за обяснение на надеждността на математическите вярвания, макар и целително. Но разбира се, ако надеждността на самия научен метод бъде поставена под въпрос, натуралистът няма друг избор, освен да използва самия научен метод, за да обясни собствената си надеждност. Натуралистът-платонист може да добави, че не можем да направим по-добро и че всеки, който поставя под въпрос надеждността на научния метод, е изоставил лагера на натуралистите. От тази гледна точка, за платонизма няма епистемологичен проблем, след като се установи, че платонистичната математика е част от най-добрата наука.няма гносеологичен проблем за платонизма, след като се установи, че платонистичната математика е част от най-добрата наука.няма гносеологичен проблем за платонизма, след като се установи, че платонистичната математика е част от най-добрата наука.

библиография

• Armstrong, DM, 1991, „Класовете са състояния на нещата“, Mind, 100 (2): 189–200.
• –––, 1997, A World of State of State, Cambridge: Cambridge University Press.
• Бейкър, А., 2001, „Математика, неизменност и научен прогрес“, Erkenntnis, 55: 85–116.
• Balaguer, М., 2009, „Платонизмът в метафизиката“, в „Станфордската енциклопедия на философията“(лято 2009, издание), Edward N. Zalta (ed.), URL = ,
• Бигелоу, Дж., 1988, Реалността на числата, Оксфорд: Клеръндън Прес.
• Benacerraf, P., 1965, „Какви числа не могат да бъдат“, Философски преглед 74, repr. в P. Benacerraf & H. Putnam (eds), Философия на математиката: Избрани четения 1983, Cambridge University Press.
• –––, 1973 г., „Математическа истина“, сп. „Философия“70, отпр. в Benacerraf & Putnam (1983), Философия на математиката: Избрани четения, Кеймбридж: Cambridge University Press, стр. 403–420.
• Бигелоу, Дж., 1988, Реалността на числата, Оксфорд: Клеръндън Прес.
• Буено, О, предстоящо, „Номинализъм във философията на математиката“, Станфордската енциклопедия на философията.
• Burgess, J., 1983, „Защо не съм номиналист”, списание Notre Dame of Formal Logic, 24: 93–105.
• –––, 1990, „Епистемология и номинализъм“, в AD Irvine (съст.), Физикализъм в математиката. Dordrecht: Kluwer, стр. 1–15.
• –––, 1998, „Бръснач на Окам и научен метод“, в М. Ширн (съст.), Философия на математиката днес, Ню Йорк: Oxford University Press, стр. 195–214.
• Burgess, J. & Rosen, G., 1997, Subject With No Object, New York: Oxford University Press.
• –––, 2005, „Номинализъм, преразгледан”, в S. Shapiro (съст.), Оксфордски наръчник на философията на математиката и логиката, Оксфорд: Oxford University Press, стр. 515–535.
• Chihara, C., 2006, „Научните“аргументи на Бърджис за съществуването на математически обекти “, Philosophia Mathematica 14: 318–37.
• Colyvan, M., 2001, The Imispensability of Mathematics, New York: Oxford University Press.
• –––, 2011 г., „Аргументи за незаменимостта във философията на математиката“, Енциклопедия на философията на Станфорд (издание пролет 2011), Edward N. Zalta (ed.), URL = ,
• Dieterle, JM, 1999, „Математически, астрологичен и богословски натурализъм“, Philosophia Mathematica, 7: 129–135.
• Field, H., 1980, Science Without Numbers, Princeton: Princeton University Press.
• –––, 1989, Реализъм, математика и модалност, Оксфорд: Базил Блакуел.
• Goodman, N. & Quine. WV, 1947, „Стъпки към конструктивен номинализъм“, сп. „Символична логика“, 12: 105–122.
• Hellman, G., 1989, Mathematics Without Numbers, Oxford: Oxford University Press.
• Китчър, П., 1983, Природата на математическите знания, Оксфорд: Университет Оксфорд.
• Lewis, D., 1991, Части от класове, Оксфорд: Блеквел.
• –––, 1993 г., „Математиката е мегетология“, Philosophia Mathematica, 3: 3–23.
• Линебо, Ø, 2006 г., „Епистемологични предизвикателства пред математическия платонизъм”, Философски изследвания, 129: 545–574.
• Лински, Б. и Залта, Е., 1995, „Натурализиран платонизъм срещу платонизиран натурализъм“, сп. „Философия“, 92 (10): 525–555 (октомври).
• Lycan, WG, 1988, Решение и обосновка, Cambridge: Cambridge University Press.
• Maddy, P., 1997, Naturalism in Mathematics, Oxford: Oxford University Press.
• –––, 2001, „Натурализъм: приятели и врагове“, Философски перспективи, 15: 37–67.
• –––, 2005, „Три форми на натурализъм“в S. Shapiro (съст.), Оксфордски наръчник на философията на математиката и логиката, Оксфорд: Oxford University Press, стр. 437–459.
• –––, 2007, Втора философия: Натуралистичен метод, University Oxford Press.
• Mill, JS, 1843, Система на логиката. [няколко издания]
• Papineau, D., 2009, “Naturalism”, Енциклопедия на философията на Станфорд (издание на пролетта на 2009 г.), Edward N. Zalta (ed.), URL = ,
• Пасо, А., 2005, „Натурализъм в математиката и авторитета на философията“, Британско списание за философия на науката, 56: 399–418.
• –––, 2007 г., „Научен платонизъм”, в М. Ленг, А. Пасо и М. Потър (редактори), Математически знания, Оксфорд: Оксфордски университет прес, стр. 123–149
• –––, 2008 г., „Мотивиращ редукционизъм за комплектите“, Australasian Journal of Philosophy, 86: 295–307.
• –––, 2009 г., „Намаляване на аритметиката до теорията на зададените“, в Ø. Linnebo & O. Bueno (eds), Нови вълни във философията на математиката, Palgrave Macmillan.
• Popper, KR, 1935, Logik der Forschung, Виена: Springer.
• Putnam, H., 1971, “Философия на логиката”, репр. в неговата Математика, материя и метод: Философски трудове (том 1), Кеймбридж: Кембридж UP, стр. 323–57.
• Roland, Jeffrey, 2009, „Натурализиране на гносеологията на математиката“, Pacific Philosophical Quarterly, 90 (1): 63–97.
• Quine, WV, 1955 г., „Позиции и реалност“, препр. в „Начините на парадокса и други есета“, Кеймбридж, Масачузет: Harvard University Press, стр. 246–54.
• –––, 1981, „Нещата и техните места в теориите“в неговите теории и неща, Кеймбридж, МА: Harvard University Press, стр. 1–23.
• –––, 1986, „Отговор на Чарлз Парсънс“, в L. Hahn & P. Schilpp (ред.), Философията на WV Quine, La Salle: Отворен съд, стр. 396–403.
• –––, 1995, От стимул към науката. Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Quine, WV и Ullian, J., 1970, The Web of Belief, New York: McGraw Hill.
• Roland, J., 2007, „Maddy and Mathematics: Naturalism or Not“, Британски журнал за философия на науката, 58: 423–450.
• Rosen, G., 1999, Review of Maddy (1997), British Journal for the Philosophy of Science, 50: 467–74.
• Шапиро, Стюарт и Патрик Ридер, 2009, „Научно предприятие? Втората философия на Пенелопа Мади“, Философия Математика, 17 (2): 247–271.
• Sober, E., 1993, "Математика и незаменима", Философски преглед, 102: 35–58.
• Щайнер, М., 1975, Математически знания, Принстън: Принстънски университетски печат.
• Tappenden, J., 2001, „Рецензия: Скорошна работа във философията на математиката“, сп. „Философия“, 98: 488–97.
• Wittgenstein, L., 1953, Философски изследвания, Оксфорд: Блеквел.

Академични инструменти

	Как да цитирам този запис.
	Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
	Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
	Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси

[Моля, свържете се с автора с предложения.]