Непоследователна математика

2023 Автор: Noah Black | [email protected]. Последно модифициран: 2023-08-25 04:38

Навигация за влизане

• Съдържание за участие
• библиография
• Академични инструменти
• Friends PDF Preview
• Информация за автора и цитирането
• Върнете се в началото

Непоследователна математика

За първи път публикуван вторник 2 юли 1996 г.; съществена ревизия пет авг 18, 2017

Непоследователната математика е изучаването на математическите теории, които се получават, когато класическите математически аксиоми се твърдят в рамките на (некласическата) логика, която може да толерира наличието на противоречие, без да превръща всяко изречение в теорема.

• 1. Основи на математиката
• 2. Аритметика
• 3. Анализ
• 4. Геометрично несъответствие
• 5. Парче и пермеат
• библиография
• Академични инструменти
• Други интернет ресурси
• Свързани записи

1. Основи на математиката

Непоследователната математика започва исторически с основополагащи съображения. Зададените от Ръсел и други теоретично зададени парадокси доведоха до опити за създаване на последователна теория на множествата като основа за математиката. Но, както е известно, зададените теории като ZF, NBG и други подобни бяха по различни начини ad hoc. Следователно, редица хора, включително da Costa (1974), Brady (1971, 1989), Priest, Routley и Norman (1989, стр. 152, 498), смятат за за предпочитане да запазят пълната сила на принципа на естественото разбиране (всеки предикат определя набор) и толерира степен на несъответствие в теорията на множествата. Брейди, в частност, разшири, опрости и опрости тези резултати на теорията на наивните множества в своята книга (2006); за ясен акаунт вижте също рецензията на Restall (2007).

Тези конструкции изискват, разбира се, да се освободи поне логичният принцип ex contraictione quodlibet (ECQ) (от противоречие може да се изведе всяко предложение, също наскоро наречено експлозия), както и всеки принцип, който води до него, като напр. дизъюнктивен силогизъм (DS) (от A -or- B и не- A извод B). ECQ тривиализира всяка непоследователна теория (тривиалността = всяко изречение е доказуемо), което го прави безполезен за математическото изчисление. Но значителен дебат (Burgess 1981, Mortensen 1983) даде да се разбере, че освобождаването от ECQ и DS не е толкова контраинтуитивно, особено когато се появи правдоподобна история за специалните условия, при които те продължават да се задържат.

Трябва също така да се отбележи, че изграждането на теорията на наивните множества на Брейди отваря вратата за възраждане на логиката на Фреге-Ръсел, която е широко държана, дори и от самия Фреге, да бъде силно повредена от парадокса на Ръсел. Ако противоречието на Ръсел не се разпространява, няма очевидна причина, поради която не бива да възприемаме мнението, че теорията за наивните множества осигурява адекватна основа за математиката и че теорията за наивните множества може да бъде изведена от логиката чрез схемата за наивно разбиране. Единствената необходима промяна е преминаване към логика, непоносима за несъответствие. Още по-радикално, Weber в свързани документи (2010), (2012) прие несъответствието като положителна добродетел, тъй като ни дава възможност да разрешим няколко въпроса, които бяха оставени от Cantor, а именно, че теоремата за добре подреждане и аксиомата на избор е доказана,и че хипотезата на континуума е невярна (2012, 284). Някои от тях са доказани както верни, така и лъжливи; при което Вебер е загрижен да представи доказателства за класическото възстановяване, което е проектът да покаже, че традиционните резултати остават верни (2010, 72). Това е ободряващо ново основание. Вебер също показа нещо съществено за този проект, а именно, че теоремата на Кантор продължава да се държи; това означава, че не зависи от прекалено силни логически принципи, които се оспорват от параконсистентите. Задържането на теоремата на Кантор е важно от гледна точка на Вебер, тъй като в непоследователната теория на множеството остават различни порядки на безкрайността.който е проектът да покаже, че традиционните резултати остават верни (2010, 72). Това е ободряващо ново основание. Вебер също показа нещо съществено за този проект, а именно, че теоремата на Кантор продължава да се държи; това означава, че не зависи от прекалено силни логически принципи, които се оспорват от параконсистентите. Задържането на теоремата на Кантор е важно от гледна точка на Вебер, тъй като в непоследователната теория на множеството остават различни порядки на безкрайността.който е проектът да покаже, че традиционните резултати остават верни (2010, 72). Това е ободряващо ново основание. Вебер също показа нещо съществено за този проект, а именно, че теоремата на Кантор продължава да се държи; това означава, че не зависи от прекалено силни логически принципи, които се оспорват от параконсистентите. Задържането на теоремата на Кантор е важно от гледна точка на Вебер, тъй като в непоследователната теория на множеството остават различни порядки на безкрайността.тъй като различни последователности на безкрайността остават налични в непоследователна теория на множествата.тъй като различни последователности на безкрайността остават налични в непоследователна теория на множествата.

В допълнение, математиката има метаезик, за да говорим за самата математика. Това включва понятията: (i) имена за математически изказвания и други части на синтаксиса, (ii) самонасочване, (iii) доказателство и (iv) истина. Приносът на Гьодел във философията на математиката беше да покаже, че първите три от тях могат да бъдат строго изразени в аритметични теории, макар и в теории, които са или непоследователни или непълни. Възможността за добре структуриран пример на предишната от тези две алтернативи, несъответствие, не беше взета насериозно, отново поради вярата в ECQ. Освен това изглежда естествените езици имат свой собствен предикат за истината. В съчетание със самонасочване това поражда парадокса на Лъжеца: „Това изречение е невярно“, несъответствие. Priest (1987) и Priest, Routley and Norman (1989, p.154) изтъкна, че лъжецът трябва да се разглежда като истина и лъжа, вярно противоречие. Това представлява друг аргумент за изучаване на непоследователни теории, а именно твърдението, че някои противоречия са верни, известни още като диалетеизъм. Крипке (1975) предложи вместо да моделира предикат на истината по различен начин, в последователна непълна теория. По-долу виждаме, че непълнотата и несъответствието са тясно свързани.

2. Аритметика

Но тези забележки са били за основите, а математиката не е нейната основа. Следователно има допълнителен независим мотив, за да се види каква математическа структура остава, където ограничението на последователността е отпуснато. Но би било погрешно да се разглежда това като по никакъв начин отхвърляне на структурите, изучавани в класическата математика: непоследователните структури представляват допълнение към известни структури.

Робърт К. Майер (1976) изглежда е първият, който се сети за непоследователна аритметична теория. В този момент той се интересуваше повече от съдбата на една последователна теория, съответната му аритметика R #. Това представлява аксиомите за аритметиката на Peano, с база на количествено определената логика RQ и Майер се надяваше, че по-слабата база на съответната логика ще позволи повече модели. Той беше прав. Оказа се, че има цял клас непоследователни аритметични теории; вижте Meyer и Mortensen (1984), например. Паралелно с горните забележки относно реабилитирането на логизма, Майер твърди, че тези аритметични теории дават основа за съживена програма на Хилберт. Програмата на Хилберт беше проектът за строго формализиране на математиката и доказване на нейната последователност чрез прости финални / индуктивни процедури. Широко се смята, че е сериозно повреден от втората теорема за непълнота на Гьодел, според която консистенцията на аритметиката е била недоказуема в самата аритметика. Но следствие от изграждането на Майер беше, че в рамките на неговата аритметика R # е доказано с финални средства, че каквито и противоречия да се случат, те не могат да повлияят неблагоприятно на числени изчисления. Следователно целта на Хилберт да докаже категорично, че математиката е безпроблемна, се доказва в голяма степен, стига да се използват логики, устойчиви на несъответствие. Но следствие от изграждането на Майер беше, че в рамките на неговата аритметика R # е доказано с финални средства, че каквито и противоречия да се случат, те не могат да повлияят неблагоприятно на числени изчисления. Следователно целта на Хилберт да демонстрира категорично, че математиката е безпроблемна, се доказва в голяма степен, стига да се използват логики, устойчиви на несъответствие. Но следствие от изграждането на Майер беше, че в рамките на неговата аритметика R # е доказано с финални средства, че каквито и противоречия да се случат, те не могат да повлияят неблагоприятно на числени изчисления. Следователно целта на Хилберт да демонстрира категорично, че математиката е безпроблемна, се доказва в голяма степен, стига да се използват логики, устойчиви на несъответствие.

Аритметичните модели, използвани от Майер и Мортенсен, по-късно се оказаха, че позволяват непоследователно представяне на предиката за истината. Те също така позволяват представяне на структури извън аритметиката на естествените числа, като пръстени и полета, включително техните свойства на ред. Осигурени са и аксиоматизации. Наскоро окончателните непоследователни модели на аритметични сриви, строго по-голям клас от тези, изучавани от Майер и Мортенсен, бяха напълно характеризирани от Греъм Прист. Моделите на свиване се получават от класическите модели чрез свиване на домейна до класове конгруенция, генерирани от различни отношения на конгруенция. Когато се идентифицират членове от един и същи клас на конгруенция, произведените теории са непоследователни. Например първоначалната конструкция на Майер срути целите числа по модула на конгруенция 2. Това поставя 0 и 2 в един и същи клас на конгруенция и в подходяща три стойностна логика, както 0 = 2, така и не (0 = 2). Priest показа, че тези модели имат определена обща форма, вижте Priest (1997) и (2000). Строго погледнато, Priest отиде малко прекалено далеч във включването на „кликови модели“. Това беше поправено от Париж и Пътманатън (2006), и разширено в безкрайността от Париж и Сирокфскич (2008). Още по-наскоро Tedder (2015) получи аксиоматизации за класа на модели с ограничен срив с различна фонова логика - A3 на Аврон.и разширена в безкрайността от Париж и Сирокфскич (2008). Още по-наскоро Tedder (2015) получи аксиоматизации за класа на модели с ограничен срив с различна фонова логика - A3 на Аврон.и разширена в безкрайността от Париж и Сирокфскич (2008). Още по-наскоро Tedder (2015) получи аксиоматизации за класа на модели с ограничен срив с различна фонова логика - A3 на Аврон.

3. Анализ

Човек трудно би могъл да пренебрегне примерите на анализа и неговия специален случай - смятането. За моделно-теоретичен подход към тях вижте Mortensen (1990, 1995)

Сега оригиналният подход на Майер към естествените числа, тоест R #, беше по-скоро аксиоматичен, отколкото моделно-теоретичен. Аксиоматичният подход е взет и в анализ от McKubre-Jordens и Weber (2012). При аксиоматизиращия анализ с основа на параконсистентна логика, тяхната хартия тласка подхода на Майер към аритметиката чрез R # далеч по-нататък. Същите тези автори (предстоящи) преработват теорията за интеграцията, каквато е била в ръцете на Архимед, който използва метода за изтощение, използвайки параконсистентни разсъждения. Това дава резултат „до несъответствие“, което означава, че човек е в състояние да докаже „Класически резултат или противоречие“. След това класическият резултат може да се възприеме като възвръщаем от класическия дизъюнктивен силогизъм, приложен към класически-фалшивия (непоследователен) втори дизъюнт.

Със сигурност е важно и достойно да се следва тази посока, но тук се въвежда лека предпазливост: аксиоматичният проект е малко по-различен от непостоянната математика. Както беше отбелязано по-рано, Майер в тази фаза беше последователен - той търсеше последователна теория с несъгласуваща логика. Със сходна мотивация той също беше загрижен да се опита да разреши това, което той нарича „гама-проблем“, който по същество беше въпросът дали аксиоматичната теория R # може да бъде показана като класическа аритметика на Пеано като под-теория. Ако това беше така, тогава неговото доказателство за нетривиалност за R # веднага би довело до ново доказателство за консистенцията на отрицанието на класическата ариатика на Peano! Обърнете внимание, че това не би било в противоречие с Втората теорема на Годел, тъй като по презумпция доказателството за резултата от гама няма да бъде ограничено до финални техники.(В случая с теорията на Майер се оказа, че не е така.)

Доказано е, че има много места по време на анализа, където има отличителни непоследователни разбирания. Примерите в останалата част на този раздел са взети от Mortensen (1995). Например: (1) Нестандартният анализ на Робинсън (1974) се основава на безкрайни дребни количества, по-малки от всяко реално число, както и на техните реципрочни, безкрайните числа. Това има непоследователна версия, която има някои предимства за изчисляване на възможността да се изхвърлят инфинитимали от по-висок ред. Интересното е, че теорията на диференциацията се оказва, че има тези предимства, докато теорията на интеграцията не. Подобен резултат, използвайки различна основна логика, е получен от Da Costa (2000). (2) Друго място за намиране на несъответствия в анализа е топологията,където човек лесно наблюдава практиката на рязане и залепване на пространства да се описва като „идентификация“на една граница с друга. Може да се покаже, че това може да бъде описано в непоследователна теория, в която двете граници са еднотипни и не идентични и може допълнително да се твърди, че това е най-естественото описание на практиката. (3) Още едно приложение е класът на непоследователни непрекъснати функции. Не всички функции, които са класически прекъснати, подлежат на непоследователно лечение; но някои са например f (x) = 0 за всички x <0 и f (x) = 1 за всички x ≥0. Несъответстващото разширение заменя първото <с ≤ и има отличителни структурни свойства. Тези непоследователни функции може да имат някакво приложение в динамичните системи, в които има прекъснати скокове,като например квантови измервателни системи. Диференцирането на такива функции води до делта функциите, приложени от Дирак при изследването на квантовото измерване. (4) На следващо място, е добре известният случай на несъответстващи системи на линейни уравнения, като системата (i) x + y = 1, плюс (ii) x + y = 2. Такива системи могат потенциално да възникнат в контекста на автоматизирано управление. Класически е свършена малка работа за решаването на такива системи, но може да се покаже, че има неподходящи решения в непоследователни векторни пространства. (5) И накрая, може да се отбележи допълнително приложение в топологията и динамиката. Като се има предвид предположение, което изглежда възможно, а именно, че каквото и да се случи или е вярно, се случва или е вярно в отворен набор от (пространствено-времеви) точки, човек има, че логиката на динамично възможните пътеки е логика с отворен набор, тоест интуиционист логика,което поддържа непълни теории par excellence. Това е така, защото естественият отчет на отрицанието на предложение в такова пространство казва, че той се отнася до най-големия отворен набор, съдържащ се в булевото допълнение на множеството точки, върху които се е държал оригиналното предложение, което по принцип е по-малко от булевото допълнение. Определянето на топологично пространство от неговите затворени множества обаче е толкова разумно, колкото и конкретизирането му чрез отворените му множества. И все пак логиката на затворените множества е известна като параконсистентна, т.е. подкрепя непоследователните нетривиални теории; виж например Goodman (1981). По този начин, като се има предвид (алтернативното) предположение, което също изглежда възможно, а именно, че каквото и да е истина е вярно в затворен набор от точки, може да се приеме, че противоречивите теории могат да се спазват. Това е така, защото естествената сметка на отричането на предложение, т.е.а именно, че тя се държи на най-малкия затворен набор, съдържащ булевото отрицание на предложението, означава, че на границата на припокриване както предложението, така и неговото отрицателно задържане. По този начин динамичните теории определят собствената си логика на възможните предложения и съответните теории, които може да са непоследователни и със сигурност са толкова естествени, колкото и техните непълни колеги.

За затворената логика и границите като естествена настройка за противоречиви теории вижте Mortensen (2003, 2010). Weber и Cotnoir (2015) също изследват несъответствието на границите, произтичащо от несъвместимостта на трите принципа (i) съществуват граници, (ii) пространството е топологично свързано и (iii) дискретни образувания могат да бъдат в контакт (т.е. не пространство между тях). Това е много интересен проблем, тъй като и трите са правдоподобни; по-специално изглежда, че в нашия свят има граници. Първоначално изненадваща характеристика на този акаунт е, че границите излизат като „празни“; в крайна сметка, нулевите образувания противоречат на духа на мееологията. Но това не е толкова шокиращо, тъй като се оказва, че те са празни само в смисъл, че имат членове непоследователно.

Теорията на категориите хвърля светлина върху много математически структури. Със сигурност е предложена като алтернативна основа за математиката. Подобна общност неизбежно се натъква на проблеми, подобни на тези за разбиране в теорията на множествата; виж, например, Hatcher 1982 (стр. 255-260). Следователно има едно и също възможно приложение на непоследователни решения. Съществува също така важна колекция от категориални структури, топозите, които поддържат логиката с отворен набор точно в паралел с начина, по който множествата поддържат булева логика. Мнозина приемат това като доказателство за основополагащата гледна точка на математическия интуиционизъм. Въпреки това, може да се докаже, че това предлага поддръжка на логика със затворен набор толкова лесно, колкото те поддържат логиката с отворен набор, до момента единствената теоретично категорична семантика за параконсистентна логика. Това обаче не трябва да се разглежда като възражение срещу интуиционизма, а толкова много като аргумент, че противоречивите теории са еднакво разумни като предметите от математическото изучаване. Вижте Mortensen (1995, гл. 11, съавтор Lavers). Тази позиция сега беше заета, разширена и умело защитавана от Естрада-Гонзалес (2010, 2015a, 2015b). Същият автор (2016) се задължава да предостави категорично-теоретично описание на тривиалните теории, с цел да покаже, че тривиалността не е толкова безинтересна характеристика, която математическите теории трябва да имат. Настоящият автор остава неубеден, тъй като една тривиална теория със сигурност е безполезна за математическото изчисление; но изобретателността на аргументите трябва да бъде призната.съавтор Lavers). Тази позиция сега беше заета, разширена и умело защитавана от Естрада-Гонзалес (2010, 2015a, 2015b). Същият автор (2016) се задължава да предостави категорично-теоретично описание на тривиалните теории, с цел да покаже, че тривиалността не е толкова безинтересна характеристика, която математическите теории трябва да имат. Настоящият автор остава неубеден, тъй като една тривиална теория със сигурност е безполезна за математическото изчисление; но изобретателността на аргументите трябва да бъде призната.съавтор Lavers). Тази позиция сега беше заета, разширена и умело защитавана от Естрада-Гонзалес (2010, 2015a, 2015b). Същият автор (2016) се задължава да предостави категорично-теоретично описание на тривиалните теории, с цел да покаже, че тривиалността не е толкова безинтересна характеристика, която математическите теории трябва да имат. Настоящият автор остава неубеден, тъй като една тривиална теория със сигурност е безполезна за математическото изчисление; но изобретателността на аргументите трябва да бъде призната. Настоящият автор остава неубеден, тъй като една тривиална теория със сигурност е безполезна за математическото изчисление; но изобретателността на аргументите трябва да бъде призната. Настоящият автор остава неубеден, тъй като една тривиална теория със сигурност е безполезна за математическото изчисление; но изобретателността на аргументите трябва да бъде призната.

Двойствеността между непълнота / интуиционизъм и непоследователност / параконсистенция има поне два аспекта. Първо там е горната топологична (отворена / затворена) двойственост. Второ е Rualley * двойствеността. Звездата на Рутли * на набор от изречения S, се определя като S * = _df {A: ~ A не е в S}. Открита от Routleys (1972) като семантичен инструмент за съответната логика, * операцията дуализира между непоследователни и непълни теории на големия естествен клас на логиката на де Морган. И двата вида двойственост си взаимодействат, където * дава отличителни теореми за двойственост и инвариантност за аритметични теории за отворен набор и затворени множества. Въз основа на тези резултати е справедливо да се твърди, че и двата вида математика, интуиционистката и параконсистентната, са еднакво разумни.

4. Геометрично несъответствие

Съвсем скорошно развитие е приложението за обяснение на феномена на непоследователни картини. Най-известните от тях са може би шедьоврите на MC Escher Belvedere, водопад и Възходящ и низходящ. Всъщност традицията се връща хилядолетия в Помпей. Изглежда, че Ешер е извлек много от интуициите си от шведския художник Оскар Ройтерсвард, който започва своята непоследователна работа през 1934 г. Ешер също активно сътрудничи с английския математик Роджър Пенроуз. Има няколко опита да се опише математическата структура на непоследователните картини, използвайки класическата последователна математика, от теоретици като Коуан, Франсис и Пенроуз. Както се твърди в Mortensen (1997), обаче, нито една последователна математическа теория не може да улови усещането, че човек вижда невъзможно нещо. Само непоследователната теория може да улови съдържанието на това възприятие. Това представлява апел към познавателна обосновка на параконсистенцията. След това може да се пристъпи към показване на непоследователни теории, които са кандидати за такова непоследователно съдържание. По този въпрос има аналогия с класическата математика: проективната геометрия е класическа последователна математическа теория, която е интересна, защото ние сме същества с око, тъй като обяснява защо нещата изглеждат така, както изглеждат в перспектива.проективната геометрия е класическа последователна математическа теория, която е интересна, защото ние сме същества с око, тъй като обяснява защо нещата изглеждат така, както изглеждат в перспектива.проективната геометрия е класическа последователна математическа теория, която е интересна, защото ние сме същества с око, тъй като обяснява защо нещата изглеждат така, както изглеждат в перспектива.

Непоследователните геометрични изследвания са доразвити в Mortensen (2002a), където теорията на категориите се прилага за даване на общо описание на връзките между различните теории и техните последователни съкращения и непълни дуали. За неформална сметка, която подчертава разликата между визуалните „парадокси“и философски по-често срещаните парадокси на езика, като Liar, вижте Mortensen (2002b).

Съвсем наскоро бяха получени несъответстващи математически описания за няколко класа непоследователни фигури, пример за куб на Ешер (намерен в неговия печат Белведере), триъгълник Ройтерсвард-Пенроуз и други. Вижте Mortensen (2010).

5. Парче и пермеат

Наскоро се появи алтернативна техника за справяне най-общо с противоречията. Браун и Прист (2004) са предложили техника, която наричат „парче и пермеат“, в която разсъжденията от несъответстващите предпоставки протичат чрез разделяне на предположенията в последователни теории (парчета), извличане на подходящи последици, след което предаване (проникване) на тези последствия на различни парче за допълнителни последици да бъдат получени. Те предполагат, че първоначалното разсъждение на Нютон за приемане на производни в смятането е било в тази форма. Това е интересен и нов подход, въпреки че трябва да отговори на възражението, че за да се вярва на заключение, получено на тази основа, човек трябва да вярва на всички предпоставки еднакво; и затова аргументът на по-разпространената форма, обжалващ всички предпоставки, без да ги фрагментира, трябва в крайна сметка да бъде предстоящ. Следователно възражението е, че Chunk and Permeate са част от контекста на откриването, а не от контекста на оправданието.

Наскоро Benham et. Ал. (2014) разшириха тези методи до делта функцията на Дирак. Това разширява класа на приложенията и така засилва техниката. Въпреки това там също става ясно, че има близък паралел между (един голям клас от) приложения Chunk и Permeate и (последователен) нестандартен анализ: където Chunk и Permeate вземат производно чрез преместване на парчета в едно, където са безкрайни малки нула, нестандартният анализ взема производно, като определя производни за „само стандартни части“. Разбира се, еквивалентността между тези две техники не показва обяснително по-дълбоко. Развитията трябва да се очакват с интерес.

6. Заключение

В заключение: напоследък се появява доста философски материал, който е симпатичен на причината за непостоянната математика. Colyvan (2000) се занимава с въпроса, че непоследователните математически теории предполагат непоследователни математически обекти като техен предмет. Той също така се заема с важната задача да предостави отчет за това, как непоследователната математика може да има клон, който е приложна математика. Priest (2013), подобно на Colyvan, отбелязва, че непоследователната математика допринася за платонистичния микс. Berto (2007) полезно изследва парадокси и основополагащи въпроси и излага някои от аритметичните резултати, които имат важни философски въпроси като теоремите за непълнота. Van Bendegem (2014) преследва интересната мотивация, че промяната винаги е състояние на аномалия, така че винаги промяната предполага винаги аномално. Примерите включват безкрайност, сложни числа и безкрайност. Трябва да се внимава с мисленето, че несъответствието винаги е аномално, макар и само защото това е просто повече материал за математическото изучаване.

Трябва отново да се подчертае, че тези структури по никакъв начин не предизвикват или отхвърлят съществуващата математика, а по-скоро разширяват представата ни за това, което е математически възможно. Това от своя страна изостря въпроса за математическия плурализъм; вижте например Davies (2005), Hellman and Bell (2006) или Priest (2013). Различни автори имат различни версии на математическия плурализъм, но това е нещо, което несъвместимите математически теории могат да бъдат еднакво верни. Случаят с математическия плурализъм опира до наблюдението, че има различни математически „вселени“, в които има различни, наистина несъвместими математически теореми или закони. Добре известни примери са несъвместимостта между класическата математика и интуиционистката математика и несъвместимостта между ZF-подобни вселени на множествата съответно със и без,Аксиома на избора. Изглежда абсурдно да се твърди, че ZF with Choice е истинска математика, а ZF without Choice е невярна математика, ако и двамата са законни примери за математически добре поддържани теории.

Основният въпрос за философията на математиката със сигурност е какво е математика. Двойствените операции като топологична двойственост или Routley * засилват тезата, че непълните / непоследователни дуали са също толкова разумни като примери за математика. От тази гледна точка споровете за това кой от интуиционистите или класическата или непостоянна математика да приемат изглеждат безсмислени; всички те са част от предмета на математиката. Тази точка е направена ефективно от Шапиро (2014 г., за разлика от него 2002 г.). Отличителното положение на Шапиро има и други съставки: математиката като наука за структурата и математическият плурализъм, предполагащ логическия плурализъм (за логическия плурализъм вижте също Beall and Restall 2006); но ние не ги приемаме тук.

За това, което си струва, настоящият писател смята, че някаква версия на математическия плурализъм очевидно е вярна, ако се вземе предвид математиката, за да бъде на първо място за математическите теории, позволяващи несъответствие, и само второ, за обектите, вътрешни за тези теории. Разбира се, няма проблем относно несъвместимите теории, тъй като структурите на предложенията съществуват съвместно. Приматът на теориите съответства и на естественото наблюдение, че епистемологията на математиката е дедуктивно доказателство. Само ако човек вземе за отправна точка примата на математическия обект като създател на истината на теориите, човек трябва да се тревожи за това как техните обекти успяват да съществуват съвместно.

библиография

• Beall, JC и G. Restall, 2006, Logical Pluralism, Oxford: The Clarendon Press.
• Benham, R., C. Mortensen и G. Priest, 2014, „Chunk and Permeate III: The Dirac Delta Function“, Synthese, 191 (13): 3057-3062. Дой: 10.1007 / s11229-014-0473-7
• Berto, F., 2007, How to Sell a Contradiction, London: College Publications.
• Brady, R., 1971, “Съгласуваността на аксиомите на абстракцията и разширяването в тризначна логика”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 12: 447–453.
• –––, 1989, „Нетривиалността на теорията на диалектическите множества“, в G. Priest, R. Routley и J. Norman (ред.), Paraconsistent Logic, Мюнхен: Philosophia Verlag.
• –––, 2006, Universal Logic, Stanford: CSLI Publications.
• Браун, Б. и Г. Прист, 2004 г., „Парче и пермеат: параконсистентна стратегия на изводите. Част I: Безкрайното изчисление “, сп.„ Философска логика “, 33: 379–388.
• Burgess, J., 1981, „Уместност, заблуда?“, Сп. Notre Dame of Formal Logic, 22: 97–104.
• Colyvan, M., 2000, "Прилагане на непоследователна математика", Нови вълни във философията на математиката, O. Bueno и O. Limmbo (ред.), Лондон: Palgrave McMillan, 160-172.
• Да Коста, Нютон Калифорния, 1974 г., „За теорията на несъответстващите формални системи“, сп. Notre Dame of Formal Logic, 15: 497–510.
• –––, 2000, „Парасогласна математика“, в D. Batens et al. (ред.), Граници на параконсистентната логика, Хертфордшир: Research Studies Press, 165–180.
• Дейвис, Е. Б., 2005 „Защита на математическия плурализъм“, Философия Математика, 13: 252–276.
• Estrada-Gonzales, L., 2010, „Допълнение-топои и двойна интуиционистична логика“, Australasian Journal of Logic, 9: 26–44.
• –––, 2015a, „Злият близнак: основите на комплементарните топоси“, в Безио, Чакраборти и Дута (ред.), Нови направления в параконсистентната логика, Dordrecht: Springer: 375-425.
• –––, 2015b, „От (парасогласна) топосна логика до универсална (топосна) логика“, в Кослов и Бухсбаум (ред.), Пътят към универсалната логика: Festschrift за Жан-Ив Безио на неговия петдесети рожден ден, Dordrecht: Springer, 263-295.
• –––, 2016, „Перспективи за тривиалността“, в H. Andreas и P. Verdee (ред.), Логически проучвания на параконсистентното разсъждение в науката и математиката, Dordrecht: Springer, 81-89.
• Goodman, N., 1981, „Логиката на противоречията”, Zeitschrift fur Mathematische Logic und Grundlagen der Arithmetik, 27: 119–126.
• Hatcher, WS, 1982, Логическите основи на математиката, Оксфорд: Пергамон.
• Hellman, G. and J. Bell, 2006, “Плурализъм и основите на математиката”, в CK Waters et al. (ред.), научен плурализъм (Минесота изследвания във философията на науката, том XIX), Минеаполис: Университет на Минесота Прес.
• Крипке, С., 1975, „Очертание на теорията на истината“, сп. „Философия“, 72: 690–716.
• McKubre-Jordens, M., and Zach Weber, 2012, „Реален анализ и параконсистентна логика“, Journal of Philosophical Logic, 41 (5): 901–922.
• –––, предстоящо, „Параконсистентно измерване на кръга: покана за непоследователна математика“, австралийски журнал по логика.
• Майер, RK, 1976, „Съответна аритметика“, Бюлетин на секцията по логика на Полската академия на науките, 5: 133–137.
• Meyer, RK и C. Mortensen, 1984, „Несъответстващи модели за съответната аритметика“, The Journal of Symbolic Logic, 49: 917–929.
• Mortensen, C., 1983, „Отговор на Burgess and to read“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 24: 35–40.
• –––, 1990, „Модели за непоследователно и непълно диференциално смятане“, сп. Notre Dame of Formal Logic, 31: 274-285.
• –––, 1995, Несъответстваща математика, Математика на Kluwer и нейните приложения, Dordrecht: Kluwer. [Errata достъпна онлайн.]
• –––, 1997, „Поглед към невъзможното“, сп. Notre Dame of Formal Logic, 38: 527–534.
• –––, 2000, „Перспективи за несъответствие“, в D. Batens et al. (ред.), Frontiers of Paraconsistent Logic, London: Research Studies Press, 203–208.
• –––, 2002a, „Към математиката на невъзможните картини“, в W. Carnielli, M. Coniglio и I. D'Otavaviano (ред.), Параконсистенция: Логическият път към безкрайността (Бележки от лекции в „Чисти и приложени“Математика, том 228), Ню Йорк: Марсел Деккер, 445–454.
• –––, 2002b, „Парадокси вътре и отвън език“, език и комуникация, 22: 301–311.
• –––, 2003, „Логика със затворени задачи“, в Р. Брейди (съст.), Съответните логики и техните съперници (том II), Aldershot: Ashgate, стр. 252-262 (особено 255-6).
• –––, 2006 г., „Анализ на несъответстващи и непълни кубчета на Necker“, Австралийско списание за логика, 4: 216-225.
• –––, 2010 г., Непоследователна геометрия (Изследвания по логика, том 27), Лондон: Коледжни публикации (King's College).
• Paris, J. и Pathmanathan, N., 2006, „Бележка за крайната аритметика на свещеника“, The Journal of Philosophical Logic, 35: 529–537.
• Paris, J., и Sirokofskich, A., 2008, „On LP-модели на аритметиката“, The Journal of Symbolic Logic, 73 (1): 212–226.
• Свещеник, Г., 1987, В противоречие, Дордрехт: Нихоф; второ разширено издание, Oxford: The Clarendon Press, 2006.
• –––, 1997, „Несъответстващи модели за аритметика: аз, крайни модели“, сп. „Философска логика“, 26: 223–235.
• –––, 2000, „Несъответстващи модели за аритметика: II, общият случай“, сп. „Символична логика“, 65: 1519–29.
• –––, 2013 г., „Математически плурализъм“, Журнално логическо издание на IGPL, 21 (1): 4–13: doi: 10.1093 / jzs018
• Priest, G., R. Routley и J. Norman (ред.), 1989, Paraconsistent Logic, Мюнхен: Philosophia Verlag.
• Рестал, Г., 2007, „Преглед на универсалната логика на Брейди“, Бюлетин на символичната логика, 13 (4): 544–547.
• Робинсън, А., 1974, Нестандартен анализ, Амстердам: Северна Холандия, преработено издание.
• Routley, R. and V. Routley, 1972, „Семантика на първа степен на увлечение“, Noûs, 6: 335–359.
• Шапиро, С., 2002, „Непоследователност и непълнота“, Ум, 111: 817–832.
• –––, „Структури и логика: случай на (а) релативизъм“, Erkenntnis, 79: 309–329.
• Теддер, А., 2015, „Аксиоми за модели на аритметика с краен срив“, Преглед на символичната логика, 8 (3): 529-539.
• Van Bendegem, JP., 2014, „Несъответствие в математиката и математиката на несъответствието“, Synthese, 191 (13), 3063-3078.
• Weber, Z., 2010, „Трансгранични числа в теорията на параконсистентните множества“, Прегледът на символичната логика, 3 (1): 71-92.
• –––, 2012, „Трансгранични кардинали в теорията на параконсистентните множества“, Преглед на символичната логика, 5 (2): 269–293.
• ––– и Cotnoir, AJ, 2015, „Несъответстващи граници“, Synthese, 192: 1267-1294. DOI: 10.1007 / 511229-014-0614-2

Академични инструменти

	Как да цитирам този запис.
	Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
	Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
	Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси

[Моля, свържете се с автора с предложения.]