Математически стил

2023 Автор: Noah Black | [email protected]. Последно модифициран: 2023-08-25 04:38

Навигация за влизане

Съдържание за участие
библиография
Академични инструменти
Friends PDF Preview
Информация за автора и цитирането
Върнете се в началото

Публикувана за първи път на 2 юли 2009 г.; съществена ревизия сря 9 август 2017 г.

Есето започва с таксономия на основните контексти, в които понятието „стил“в математиката е обжалвано от началото на ХХ век. Те включват използването на понятието за стил в сравнителните културни истории на математиката, за характеризиране на националните стилове и за описание на математическата практика. След това тези развития са свързани с по-познатото третиране на стила в историята и философията на естествените науки, където човек разграничава „местен“и „методологичен“стил. Твърди се, че естественият локус на „стила“в математиката попада между „местните“и „методологичните“стилове, описани от историците и философите на науката. И накрая, последната част от есето разглежда някои от основните разкази на стила в математиката поради Хакинг и Грейнджър,и изследва техните гносеологични и онтологични последици.

1. Въведение
2. Стил като централно понятие в сравнителните културни истории
3. Национални стилове в математиката
4. Математици по стил
5. Локусът на стила
6. Към епистемология на стила
7. Заключение
библиография
Академични инструменти
Други интернет ресурси
Свързани записи

1. Въведение

Целта на това есе е да изследва и анализира литературата за стила в историята и философията на математиката. По-специално проблемът за това как човек може да подходи философски към понятието „стил“в математиката ще бъде решен до края. Въпреки че това не е една от каноничните теми във философията на математиката, презентацията ще се възползва от съответните дискусии за стила в историята и философията на науката.

Говоренето за математика по отношение на стила е достатъчно често срещано явление. Човек среща подобни призиви към стилистичните особености в математиката още в началото на XVII век. Бонавентура Кавалиери, например, още през 1635 г. контрастира своите индивизибилистки техники с архимедския стил:

Знам всъщност, че всички неща, споменати по-горе [собствените теореми на Кавалиери, получени чрез индивизиалистични доказателства], могат да бъдат сведени до архимедовия стил. (В оригиналния латински: „Scio autem praefata omnia ad stylum Archimedeum reduci pose.“(Cavalieri 1635, 235)).

По-късно през века е по-лесно да се намерят примери. Например Лейбниц (1701, 270–71) пише: „Анализът не се различава от стила на Архимед, с изключение на изразите, които са по-директни и по-подходящи за изкуството на откриване“(френски: „L'analyse ne diffère du style d „Archimède que dans les expressions, qui sont плюс directes et plus съответства на l'art d'inventer“). Интересен факт е, че подобни прояви предхождат обобщеното използване на понятието за стил в живописта, което датира едва от 1660-те години (спорадични прояви, както е посочено в Sauerländer 1983, се срещат и през XVI век). По-рано през XVII в. Думата за избор в живописта е „manière“(вж. Panofsky 1924; Английски превод (1968, 240)). Ето няколко допълнителни примера от ХIХ и ХХ век. Chasles в своята история Aperçu (1837), която говори за Monge, казва:

Той инициира нов начин на писане и говорене за тази наука. Всъщност стилът е толкова интимно заварен в духа на методология, че трябва да напредне в крачка с него; също така, ако го е предвидил, стилът трябва да играе мощно влияние върху него и върху общия напредък на науката. (Chasles, 1837, §18, 207)

Друг пример идва от оценката на Едуард за подхода на Дедекинд към математиката:

Блясъкът на Кронекер не може да се съмнява. Ако имаше десета способност на Дедекинд да формулира и изразява ясно своите идеи, приносът му в математиката може би би бил дори по-голям от този на Дедекинд. Както е обаче, блясъкът му в по-голямата си част умира заедно с него. Наследството на Дедекинд, от друга страна, се състоеше не само от важни теореми, примери и концепции, но и от цял стил математика, който е бил вдъхновение за всяко следващо поколение. (Едуардс 1980, 20)

Очевидно може да се съберат цитати от същия вид (вж., Между другото, Коен 1992, де Ганд 1986, Домбрес 1993, Епъл 1997, Флекенщайн 1955, Грейнджър 2003, Хьоруп 2005, Лагвиц 1993, Нови 1981, Рек 2009, Таппенден 2005, Weiss 1939, Wisan 1981), но това не би било много интересно. Дори в стила на математиката варира от "индивидуални стилове" до "национални стилове" до "епистемични стилове", между другото. Необходимо е преди всичко разбиране на основните контексти, в които се появява апел към „стила“в математиката, въпреки че това есе няма да съдържа много обсъждане на „отделни стилове“(примери за такива биха могли да включват следването на предложение от Енрико Бомбиери, „много личните“стилове на Ойлер, Рамануджан, Риман, Сере и А. Вайл).

В много случаи апелът към понятието стил се възприема като заимстван от изобразителното изкуство, а някои случаи ще бъдат обсъдени незабавно. Harwood 1993 твърди, че „концепцията за стил е създадена, за да се класифицират културните модели, наблюдавани при изследването на изобразителното изкуство“. Wessely 1991 говори за „пренасяне на това понятие [на стил] в историята на науката“(265). Въпреки че това може би е вярно за ХХ век (вж. Също Kwa 2012), трябва да се има предвид, както беше посочено по-горе, че това твърдение трябва да бъде квалифицирано за XVII век.

2. Стил като централно понятие в сравнителните културни истории

Независимо от предишните предупреждения, факт е, че някои основни апели на ХХ век към категорията стил в математиката са направили това по отношение на изкуствата. Това е особено вярно за онези автори, които са били мотивирани чрез отчитане по единен начин за културното производство на човечеството и които виждат по този начин еднаквост в процесите на научно и художествено производство. Именно в такъв контекст Освалд Шпенглер в „Упадъкът на Запада“(1919, 1921) опита морфология на световната история и заяви, че историята на математиката се характеризира с различни стилистични епохи, които зависят от културата, която я произвежда:

Стилът на всяка математика, която възниква, зависи изцяло от културата, в която се корени, от вида на човечеството, който го размишлява. Душата може да внесе присъщите си възможности в научното развитие, може да ги управлява практически, може да постигне най-високи нива в лечението си с тях - но е доста невъзможно да ги промени. Идеята за евклидовата геометрия се актуализира в най-ранните форми на класически орнамент, както и тази на Безкрайното изчисление в най-ранните форми на готската архитектура, векове преди да се родят първите учени математици на съответните култури. (Spengler 1919, 59)

Не само има паралели между математиката и другите художествени постановки на една култура. Разчитайки на твърдението на Гьоте, че пълният математик „чувства вътре в себе си красотата на истинското“и на изречението на Вайерщрас, че „който не е едновременно малко поет, никога няма да бъде истински математик“, Шпенглер продължи да характеризира математиката. себе си като изкуство:

Математиката е изкуство. Като такъв той има своите стилове и стилови периоди. Това не е, както си мислят мирянинът и философът (който също е мирянин), по същество непроменим, а подлежи като всяко изкуство на незабелязани промени от епоха в епоха. (Spengler 1919, 62)

Най-обширното лечение, което се основава на паралела между изкуството и математиката и използва представата за стил като централна категория за анализ на историята на математиката, е тази на Макс Бенс. В книга, озаглавена Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik (1946), Бенс посвети цяла глава (гл. 2) на артикулацията как понятието стил се прилага към математиката. За Bense стил е формата:

Защото стилът е форма, съществена форма и ние обозначаваме тази форма като „естетическата“, ако тя категорично контролира разумния материал. (Bense 1946, 118)

Bense вижда историята на изкуството и историята на математиката като аспекти от историята на ума [Geistesgeschichte]. Всъщност „стилът се дава там, където човешкото въображение и способността на изразяване стигат до творението“. Бенсе със сигурност беше склонен да прави паралели между стиловете в историята на изкуството и стиловете в математиката (той особено се отнасяше към барока и романтичните стилове в книгата си), но запази, в противовес на Шпенглер, природата на изкуството и математиката разделени. Всъщност той призна, че стилистичната история на математиката не може да бъде сведена „до съвпадение между определени математически формални тенденции и големите художествено-светоусещане-духовни стилове на единични епохи като Ренесанса, Класицизма, Барока или Романтизма“(стр.132;вижте Fleckenstein 1955 и Wisan 1981 за по-нови паралели между барока в изкуството и математиката на XVII век). Той се позовава на „Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus“на Феликс Клайн, за да посочи, че определени линии на развитие, характеризиращи се с Клайн, могат да се разглеждат като насочени към стилове в историята на развитието на математиката (вж. Klein 1924, 91).

Опитите като апела на Шпенглер и Бенсе със сигурност към онези теоретици, които биха искали да използват категорията стил като инструмент за описание и може би отчитане на културните модели. Те обаче оставят читателя, който е добре познат по математика и / или история на изкуството, скептично, поради обикновено надутите паралели, които трябва да предоставят доказателства за сметката. Разбира се, това не е да се отхвърли в крайна сметка подхода или полезността на целесъобразността на категорията стил в математиката, но човек би искал използването й да бъде по-пряко свързано с аспекти на математическата практика.

Като цяло може да се разграничат два вида теоретизиране, които могат да бъдат свързани с такива опити. Първият е чисто описателен или таксономичен и се задоволява с показване на определени общи модели между определена мисловна област, като математика и други културни продукти на определено общество. Вторият подход предполага първия, но също така проучва причините, които обясняват наличието на определен стил на мислене или производство и обикновено се опитва да го припише на психологически или социологически фактори. В Spengler и Bense има елементи и на двете, въпреки че акцентът е по-скоро върху паралелите, отколкото върху причините, които стоят в основата или обясняват паралелите.

Опитите за разширяване на употребата на концепцията за стил в изкуството върху други области на човешките начинания изобилстват в началото на ХХ век. Добре известен случай е социологическият опит на Манхайм да характеризира стилове на мислене в различни социални групи (Манхайм 1928). Докато Манхайм не беше изключил научната мисъл от сферата на социологическия анализ на знанието, той не преследва активно такъв анализ. За разлика от тях Людвик Флек практикува социологически анализ на науката, в който „стиловете на мисълта“играят централна роля. Флек обаче се фокусира върху медицината (Fleck 1935).

Тук е важно да се отбележи, че понятието за мисловен стил е получило като цяло две различни разработки в съвременните изследвания, които засягат и математиката. Първо, има представата, срещана във Флек. В зависимост от това колко щедър човек иска да бъде в рисуването на връзки, би могъл да се види, че този подход към мисловните стилове е свързан с по-късната работа на Kuhn, Foucault и Hacking (вижте по-долу за дискусия за Hacking). Съществува обаче различен начин на мислене за мисловните стилове, който обикновено под името когнитивни стилове. Това е област от интерес за когнитивните психолози и математическите педагози (за преглед на психологическите изследвания в тази област вижте Riding 2000 и Stenberg and Grigorenko 2001). Тук акцентът е върху психологическия състав на индивида, който проявява предпочитание към определен когнитивен стил или при учене, разбиране или мислене на математика (т.е. обработка и организиране на математическа информация). Старото разграничение между визуалните и аналитичните математици, подчертано от Поанкаре (вж. Poincaré 1905), все още е част от картината, въпреки че има голямо разнообразие от модели и класификации. За исторически преглед и теоретично предложение, фокусирано върху математиката, вижте Borromeo Ferri 2005. Старото разграничение между визуалните и аналитичните математици, подчертано от Поанкаре (вж. Poincaré 1905), все още е част от картината, въпреки че има голямо разнообразие от модели и класификации. За исторически преглед и теоретично предложение, фокусирано върху математиката, вижте Borromeo Ferri 2005. Старото разграничение между визуалните и аналитичните математици, подчертано от Поанкаре (вж. Poincaré 1905), все още е част от картината, въпреки че има голямо разнообразие от модели и класификации. За исторически преглед и теоретично предложение, фокусирано върху математиката, вижте Borromeo Ferri 2005.

В областта на историята и философията на математиката няма счетоводни разкази на математически стилове, които обясняват появата на определен стил със социологически или психологически категории (въпреки че Netz 1999 е представлявал интерес за теоретиците на стила като опит за познавателна история на важен сегмент от гръцката математика). Това е в контраст с книги от историята на природните науки като Harwood 1993, чиято цел е да обясни възникването на мисловния стил на немската генетична общност чрез социологически аргументи. Най-близкото до това е разбирането на Бибербах за стила в математиката като зависим от психологически и расови фактори. Той ще бъде разгледан в следващия раздел за националните стилове.

3. Национални стилове в математиката

Нещо по-малко амбициозно от предишните опити за обща история на човешките културни продукции или мащабни паралели между изкуството и математиката се състои в използване на понятието за стил като историографска категория в историята на математиката, без конкретно позоваване на изкуството или друго човешко Културни дейности. Ако се върнем към началото на ХХ век, се установява, че „националните стилове“често се споменават за категоризиране на определени характеристики, характеризиращи математическото производство, които сякаш попадат в рамките на националните линии. В историята на науката често се изучават такива случаи на „национални стилове“. Тук трябва да си припомним книгата на J. Harwood „Стилове на научната мисъл“(1993) и приносите Nye 1986, Maienschein 1991 и Elwick 2007. Пример за интерес към математиката е противопоставянето между френския и немския стил в математиката, изучавани от Херберт Мертенс.

Mehrtens (1990a, 1990b, 1996) описва по отношение на стилове конфликта в математиката между „формалисти“и „логистици“от една страна и „интуиционистите“от друга, като битка между две концепции на математиката (виж също Грей 2008 за критично възприемане на подхода на Мертенс, като подчертава „модернистичната“трансформация на математиката). Хилберт и Поанкаре се използват като парадигми за източниците на опозицията, които по-късно доведоха до основополагащия дебат на Хилберт-Браувър през 20-те години на миналия век (за историята на дебата Брауър-Хилберт вижте Mancosu 1998). Мертенс също изтъква, че това противопоставяне не е задължително да се движи по национални линии, тъй като например Клайн може да се разглежда като близък до Поанкаре. Наистина,известен интернационализъм в математиката е доминиращ в края на ХIХ и началото на ХХ век. Първата световна война обаче трябваше да промени ситуацията и да доведе до силни националистически конфликти. Централен играч в „национализирането“на опозицията беше Пиер Дюхем, който се противопостави на esprit de finesse на французите на esprit de géométrie на германците:

Да започнем от ясни принципи … след това да постигнем напредък стъпка по стъпка, търпеливо, старателно, с темп, който правилата на дедуктивната логическа дисциплина с изключителна строгост: в това се отличава германският гений; немският есприт е по същество esprit de géométrie … Немците са геометри, не са фини [перки]; германците напълно липсват esprit de finesse. (Duhem 1915, 31–32)

Дюхем възнамерява своя модел да се прилага към природните науки, но и към математиката. Клайнерт 1978 показва, че книгата на Дюхем е само част от реакция на френски учени на декларацията от 1914 г. „Aufruf a die Kulturwelt“, подписана от 93 видни германски интелектуалци. Това доведе до т. Нар. „Krieg der Geister“, при който поляризацията между Германия и Франция достигна дотам, че не само критикува специфичните начини за използване на науката (да кажем практикуването на науката с военни цели), но и доведе до характеризиране на научните знанието като по същество се определя от националните характеристики. Всъщност тази стратегия е използвана основно от французите при критиката на „La Science Allemande“, но двадесет години по-късно ще бъде използвана от германците със замяна на „национална“с „rassisch“. Най-известният случай е този на „Deutsche Physik”, но тук акцентът ще бъде върху „Deutsche Mathematik” (вж. Също Segal 2003 и Peckhaus 2005).

Най-крайната форма на тази идеологическа конфронтация, която по ирония на съдбата обърна ролята на германците и французите в сравнението, използвано от Duhem, се намира в съчиненията на Людвиг Бибербах, основателят на т. Нар. Deutsche Mathematik. Като започна от уволнението на Ландау от математическия факултет в Гьотинген, Бибербах се опита да осмисли защо студентите са принудили уволнението на Ландау. В курцреферат за беседата си той обобщи целите си, както следва:

Моите съображения имат за цел да опиша влиянието на моята собствена наука, математика, на хората [Volkstum], на кръвта и расата, върху стила на създаване, като използвам няколко примера. За национал-социалист това изисква, разбира се, никакви доказателства. Това е по-скоро прозрение за голяма очевидност. Защото всичките ни действия и мисли са вкоренени в кръв и раса и получава от тях своята специфика. Че има такива стилове е познато и на всеки математик. (Бибербах, 1934а, 235)

В своите два документа 1934b и 1934c той твърди, че математиката, практикувана от Ландау, е чужда на немския дух. Той сравнява Ерхард Шмит и Ландау и твърди, че в първия случай

Системата е насочена към обектите, конструкцията е органична. За разлика от тях, стилът на Ландау е чужд на реалността, антагонистичен на живота, неорганичен. Стилът на Ерхард Шмит е конкретен, интуитивен и в същото време удовлетворява всички логически изисквания. (Бибербах 1934b, 237)

Други важни възражения, представени от Бибербах като „доказателство“за твърденията му, бяха Гаус срещу Коши-Гурсат по сложни числа; Поанкаре срещу Максуел в математическата физика; Ландау срещу Шмид; и Якоби срещу Клайн.

Като разчита на психологията на типовете от прословутия марбургски психолог Яенш, той продължава да се противопоставя на еврейски / латински и немски психологически типове. Линията на разлома, така да се каже, беше между математика, движена от интуицията, типична за немската математика, и формализма, за който се твърди, че е приет от еврейските / латинските математици. Очевидно Бибербах е бил принуден да направи много гермадернинг, за да се увери, че важните немски математици не са попаднали на грешната страна на уравнението (вижте какво казва той за Weierstrass, Euler и Hilbert). В основата на тези математически разлики се намира в расовите характеристики:

В моите съображения се опитах да покажа, че в математическата дейност има проблеми със стила и следователно кръвта и расата влияят върху начина на математическо създаване. (Бибербах 1934c, 358–359)

Причината за обсъждането на Бибербах в този контекст е, че неговият случай е пример за опит за вкореняване на понятието стил в нещо по-фундаментално, като национални характеристики, интерпретирани като психология и расови особености. Нещо повече, неговият случай също представлява интерес, тъй като неговият подход към стила показва как подобно теоретизиране може да бъде поставено в услуга на усукана политическа програма.

За щастие, приказките за националните стилове в математиката не трябва да носят със себе си всички последици, открити в Бибербах. Всъщност, когато историците днес се позовават на националните стилове, те правят това без национализма, който мотивира по-старите приноси. По-скоро те се занимават с описание на това как „местните“култури играят роля в конституцията на знанието (виж също Larvor 2016). Докато увеличената мобилност и комуникациите по електронната поща затрудняват процъфтяването на националните стилове, специалните политически условия също могат да благоприятстват устойчивостта на такъв стил. Такъв е случаят например с руския стил в алгебраичната геометрия и теорията на представянето. Както Робърт Макферсън посочи автора,този случай в национален стил би заслужил по-задълбочено разследване и би било интересно да се проучи как падането на Съветския съюз се отрази на този стил. За разлика от тях, екземпляр от национален стил, който е обстойно проучен, е този на алгебраичната геометрия в италиански стил. Този случай е проучен внимателно от редица историци на математиката и по-специално от Алдо Бригалия (вж. Също Casnati et al. 2016). Например в скорошна статия Brigaglia пише:

Освен това италианското училище не е строго национално „училище“, а по-скоро работен стил и методология, основно базирани в Италия, но с представители, които могат да се намерят другаде по света. (Brigaglia 2001, 189)

Цитатите на уплахата подчертават проблема с опитите да се разбере разликата между „училища“, „стилове“, „методологии“и др. (Вж. Rowe 2003) Няма опит да се обсъди аналитично понятието „национален стил“за историята на математика - във всеки случай, нищо сравнимо с това, което Harwood 1993 прави в първата глава на своята книга. Ситуацията се усложнява и от факта, че различните автори използват различни терминологии, като може би се отнасят до един и същ проблем. Например, напоследък се говори много за „образи на математиката“(Corry 2004a, 2004b, Bottazzini и Dahan Dalmedico, 2001). В последния раздел ще се върнем, за да разгледаме тези различни употреби на стил в историографската литература по математика и как те сравняват с тези в естествените науки.

4. Математици по стил

Досега дискусията беше съсредоточена върху стила като инструмент за философите на културата и за историците на математиката. Но признават ли математиците съществуването на стилове в математиката? Още веднъж не би било трудно да се дадат изолирани цитати, където математиците биха могли да говорят за стила на древните или за абстрактния алгебричен стил или категориален стил. В логическата работа се срещат прояви на стил в такива деноминации като „конструктивна математика в стил епископ“. Трудно е да се намерят систематични дискусии от математиците на понятието стил. Случаят с Бибербах бе споменат по-горе, но не беше дадено подробно обсъждане на примерите, които той приведе като доказателство за различия в стила,отчасти защото са толкова усукани от желанието му да окаже подкрепа за своята идеологическа гледна точка, че има причини да се съмняваме, че човек би спечелил много чрез анализ на своите казуси.

Интересен принос е статия на Клод Шевали от 1935 г., озаглавена „Вариации в стила на математиката“. Шевали приема съществуването на стил за даденост. Той започва както следва:

Математическият стил, също като литературния стил, е обект на важни колебания в преминаването от една историческа епоха в друга. Без съмнение, всеки автор притежава индивидуален стил; но може да се забележи и във всяка историческа епоха обща тенденция, която е доста добре разпознаваема. Този стил, под въздействието на мощни математически личности, е подложен всеки път по време на революции, които предизвикват писане и по този начин мисъл, за следващите периоди. (Шевали 1935, 375)

Въпреки това Шевали не се опита да разсъждава върху представата за стила тук. По-скоро той беше загрижен да покаже с важен пример характеристиките на прехода между два стила на правене на математика, който бе характеризирал преминаването от математика от XIX век към подходите на ХХ век. Първият стил, описан от Шевали, е Weierstrassian стил, "стил на ε". Той намира своя „причина на действие“в необходимостта да се коригира смятането, отдалечаващо се от неясностите, свързани с понятия като „безкрайно малко количество“и т.н. Развитието на анализа през XIX век (аналитични функции, серия на Фурие, Гаус “теории за повърхности, уравнения на Лагранжий в механиката и т.н.) доведоха до критичен анализ

на алгебраично-аналитичната рамка, пред която са се озовали; и именно от тази критична проверка трябва да се появи напълно нов математически стил. (Шевали 1935, 377)

Шевали продължи да изтъква откриването на непрекъсната никъде различаваща се функция, поради Вайерщрас, като най-важният елемент на тази революция. Тъй като функцията на Weierstrass може да бъде дадена по отношение на разширение на Фурие с съвсем нормален външен вид, стана очевидно, че много демонстрации в математиката приемат условие за затваряне, което трябва да бъде строго установено. Концепцията за лимит, както е дефинирана от Weierstrass, беше мощният инструмент, позволяващ подобни разследвания. Реконструкцията на анализа, преследвана от Вейерштрас и неговите последователи, се оказа не само основополагаща успешна, но и математически плодотворна. Ето колко близо Chevalley идва да характеризира този стил:

Използването от страна на математиците от тази школа на определението за граница поради Weierstrass може да се забележи във външния вид на техните писания. На първо място, при интензивното и понякога нескромно използване на „ε“, оборудван с различни индекси (това е причината, поради която говорихме по-горе за стил на „ε“). Второ, в прогресивното заместване на равенството на неравенството в демонстрациите, както и в резултатите (теореми за приближение; теореми на горната граница; теория на увеличението и т.н.). Този последен аспект ще ни заеме, защото ще ни накара да разберем причините, които наложиха преодоляването на Weierstrassian стил на мислене. Всъщност, докато равенството е отношение, което има значение за математическите същества, неравенството може да се прилага само към обекти, оборудвани със съотношение на ред,практически само на реалните числа. По този начин човек беше воден, за да обхване целия анализ, да го реконструира изцяло от реалните числа и от функциите на реалните числа. (Шевали 1935, 378–379)

От този подход би могло да се изгради и системата от комплексни числа като двойка реални точки и точките на интервали в n измерения като n-двойки реални. Това създаде впечатлението, че математиката може да бъде унифицирана чрез конструктивни дефиниции, започващи от реалните числа. Нещата обаче тръгнаха по различен начин и Шевали се опитва да отчете причините, които накараха човек да се откаже от този „конструктивен“подход в полза на аксиоматичен подход. Различни алгебрични теории, като теория на групите, пораждат връзки, които не могат да бъдат изградени, като се започне от реалните числа. Освен това конструктивното определение на сложни числа е еквивалентно на фиксирането на произволна референтна система и по този начин дарява тези обекти със свойства, които крият истинската им същност. От друга страна, човек беше запознат с аксиоматизацията на геометрията на Хилберт, която,макар и строг, нямаха характер на изкуственост на конструктивните теории. В този случай образуванията не са конструирани, а по-скоро са дефинирани чрез аксиомите. Този подход се разви, за да повлияе на самия анализ. Шевали спомена теорията за интеграла на Лебег, която е получена, като първо е определила кои свойства трябва да удовлетворява интегралът и след това показва, че съществува домейн от обекти, отговарящи на тези свойства. Същата идея беше използвана от Фреше, като определи свойствата, които трябваше да характеризират действието на границата, като по този начин стигна до обща теория за топологичните пространства. Друг пример, споменат от Шевали, е аксиоматизацията на теорията на полето, дадена от Щайниц през 1910 г. Шевали заключи, чеВ този случай образуванията не са конструирани, а по-скоро са дефинирани чрез аксиомите. Този подход се разви, за да повлияе на самия анализ. Шевали спомена теорията за интеграла на Лебег, която е получена, като първо е определила кои свойства трябва да удовлетворява интегралът и след това показва, че съществува област от обекти, отговарящи на тези свойства. Същата идея беше използвана от Фреше, като определи свойствата, които трябваше да характеризират действието на границата, като по този начин стигна до обща теория за топологичните пространства. Друг пример, споменат от Шевали, е аксиоматизацията на теорията на полето, дадена от Щайниц през 1910 г. Шевали заключи, чеВ този случай образуванията не са конструирани, а по-скоро са дефинирани чрез аксиомите. Този подход се разви, за да повлияе на самия анализ. Шевали спомена теорията за интеграла на Лебег, която е получена, като първо е определила кои свойства трябва да удовлетворява интегралът и след това показва, че съществува домейн от обекти, отговарящи на тези свойства. Същата идея беше използвана от Фреше, като определи свойствата, които трябваше да характеризират действието на границата, като по този начин стигна до обща теория за топологичните пространства. Друг пример, споменат от Шевали, е аксиоматизацията на теорията на полето, дадена от Щайниц през 1910 г. Шевали заключи, чеШевали спомена теорията за интеграла на Лебег, която е получена, като първо е определила кои свойства трябва да удовлетворява интегралът и след това показва, че съществува домейн от обекти, отговарящи на тези свойства. Същата идея беше използвана от Фреше, като определи свойствата, които трябваше да характеризират действието на границата, като по този начин стигна до обща теория за топологичните пространства. Друг пример, споменат от Шевали, е аксиоматизацията на теорията на полето, дадена от Щайниц през 1910 г. Шевали заключи, чеШевали спомена теорията за интеграла на Лебег, която е получена, като първо е определила кои свойства трябва да удовлетворява интегралът и след това показва, че съществува домейн от обекти, отговарящи на тези свойства. Същата идея беше използвана от Фреше, като определи свойствата, които трябваше да характеризират действието на границата, като по този начин стигна до обща теория за топологичните пространства. Друг пример, споменат от Шевали, е аксиоматизацията на теорията на полето, дадена от Щайниц през 1910 г. Шевали заключи, чеДруг пример, споменат от Шевали, е аксиоматизацията на теорията на полето, дадена от Щайниц през 1910 г. Шевали заключи, чеДруг пример, споменат от Шевали, е аксиоматизацията на теорията на полето, дадена от Щайниц през 1910 г. Шевали заключи, че

Аксиоматизацията на теориите промени много дълбоко стила на съвременните математически съчинения. На първо място, за всеки получен резултат винаги трябва да се установи кои от тях са строго необходимите свойства, необходими за неговото установяване. Човек ще се заеме сериозно с проблема да даде минимална демонстрация на такъв резултат и в този смисъл човек ще трябва да разграничи точно в коя област на математиката да работи по такъв начин, че да отхвърли чужди на тази област методи, тъй като последните са вероятно ще доведе до въвеждането на безполезни хипотези. (Шевали 1935, 382)

Нещо повече, съставянето на домейни, които са напълно подходящи за определени операции, позволява да се установят общи теореми за разглежданите обекти. По този начин може да се характеризират алгебрично операциите на безкрайно малкия анализ, но без нито един от наивите, който бе характеризирал предишните алгебрични подходи.

Статията на Шевали е ценен източник от съвременен математик по темата за стила. Той настойчиво показва разликата между аритметизацията на анализа в края на деветнадесети век и аксиоматично-алгебраичния подход в началото на ХХ век. Тя обаче има своите ограничения. Представата за стил не е тематизирана като такава и не е ясно, че характеристиките, приложени за обяснение на конкретните исторически събития, биха могли да предоставят общите инструменти за анализ на други преходи в математически стил. Но може би това трябва да е задачата на философа по математика (за подробен анализ на подхода на Чевалли към стила вижте Rabouin 2017).

5. Локусът на стила

В книга, озаглавена „Introducción al estilo matematico“(1971), испанският философ Хавиер де Лоренцо се опита да напише история на математиката (призната частично) по отношение на стила. Въпреки че до 1971 г. работата на Грейнджър, която ще бъде разгледана в раздел 5, вече се беше появила, де Лоренцо не беше наясно с това и единственият източник на стил, който използва, е статията на Шевали. Всъщност тази книга е просто продължение на изследването на Шевали, за да включи още много „стилове“, появили се в историята на математиката. Списъкът на математическите стилове, изучени от де Лоренцо, е следният:

Геометричен стил;
Поетичен стил;
Косичен стил;
Декартово-алгебричен стил;
Стилът на неделимите;
Оперативен стил;
Epsilon стил;
Синтетични спрямо аналитични стилове в геометрията;
Аксиоматичен стил;
Официален стил.

Общата постановка напомня една голяма част от подхода на Шевали и човек би изглеждал напразно в книгата на Дьо Лоренцо за задоволително описание на стила. Вярно е, че има някои интересни наблюдения за ролята на езика при определяне на стил, но липсва общ философски анализ. Трябва обаче да се подчертае важен момент по отношение на лечението на Шевали и де Лоренцо, което изглежда показва важна характеристика на използването на „стил“в математиката.

В своя труд „De la catégorie de style en histoire des Sciences” (Gayon 1996), а в по-късния Gayon 1999, Jean Gayon представя различните употреби на „стил” в историографията на науката като попадение между два лагера (по някакъв начин той следва Hacking 1992 тук). Първо, там се използва „научен стил“от страна на тези, които преследват „местна история на науката“. Обикновено този тип анализ се фокусира върху „местни групи или училища“или върху „нации“. Например, този тип история демафрира универсалния компонент на знанието и подчертава трудностите, свързани с превеждането на експерименти от една настройка в друга. Показано е, че подобни трудности зависят от „местните“традиции, които включват специфични технически и теоретични ноу-хау, които са „основни за създаването, реализирането,и анализиране на резултата от тези експерименти “(Corry 2004b) Второ, съществува използването на„ научен стил “, показан в произведения като например„ Стилове на научно мислене в европейската традиция “на Кромби от 1994 г. Кромби изброява следните научни стилове:

постулация в аксиоматичните математически науки
експериментално изследване и измерване на сложни откриваеми отношения
хипотетично моделиране
подреждане на сорт чрез сравнение и таксономия
статистически анализ на популациите и
историческо извличане на генетичното развитие (цитирано от Hacking 1996, 65)

Гейон отбелязва, че последното понятие за "стил" може да бъде заменено с "метод" и че "обсъжданите тук стилове нямат нищо общо с местните стилове". Той също така отбелязва, че що се отнася до местните стилове, групите, които действат като социологическа подкрепа за подобни анализи, са или „изследователски групи“, или „нации“. В новата история на експерименталните науки има голям акцент върху такива местни фактори (вж. Например Gavroglu 1990 за „стиловете на разсъждения“на две лаборатории за ниска температура, тази на Dewar (Лондон) и на Kamerlingh Onnes (Leiden)).

Историците на математиката сега се опитват да прилагат такива историографски подходи и към чистата математика. Скорошен опит в тази посока е работата на Епъл по отношение на „епистемични конфигурации“, като например неговата неотдавнашна статия за ранната работа на Александър и Райдмайстер в теорията на възела (Epple 2004; но вижте също Rowe 2003 и 2004, и Epple 2011). Групите за подкрепа на подобни изследвания не се наричат „училища“, а по-скоро като „математически традиции“или „математически култури“.

Какво ще кажете за „методологичното“понятие за стил à la Crombie? Използвали ли са много историците на математиката това? Освен многобройните лечения от първия стил (аксиоматичен метод), в тази област няма много, но интересен исторически принос е работата на Голдщайн върху Frenicle de Bessy (2001). Тя твърди, че чистата математика, практикувана от Френикъл дьо Беси, има много общо с баконовския стил на експериментална наука. Може би трябва да споменем тук, че експерименталната математика сега е разцъфтяваща област, която скоро може да намери своя историк (вж. Бейкър 2008 за философски отчет на експерименталната математика и Sørensen 2016 за анализ по отношение на математическите култури). Това е тема от голям интерес за философите, тъй като засяга проблемите на математическия метод. Проблемът може просто да се постави по следния начин: в допълнение към това, което Кромби изброява като методологичен стил (а) [аксиоматичен], какви други стилове се преследват в математическата практика? Корфийлд 2003 засяга проблема във въвеждането на книгата си „Към философия на„ истинската “математика“, когато позовавайки се на списъка на Кромби по-горе, казва:

Хакването аплодира включването на Кромби (а) като "възстановяване на математиката на науките" (Hacking 1996) след разделянето на логическите позитивисти и разширява броя на нейните стилове до две, като допуска алгоритмичния стил на индийската и арабската математика. Доволен съм от този аргумент, особено ако пречи на математиката да се разглежда като дейност, напълно различна от която и да е друга. Всъщност математиците също участват в стилове (б) (вж. Глава 3), (в) и (г) [7] и по линия на (д) математиците в момента анализират статистиката на нулите на функцията на Риман. (Corfield 2003, 19)

В бележка 7 Корфийлд споменава коментара на Джон Томпсън, според който класификацията на ограничените прости групи е упражнение за таксономия.

Не е целта на това есе да разгледа категорично огромния набор от въпроси, които произтичат от предишните цитати. Но трябва да се отбележи, че тези въпроси представляват свежа и стимулираща територия за описателна епистемология на математиката и че в тази насока вече е извършена известна работа (виж Etcheverría 1996; van Bendegem 1998; Baker 2008).

И накрая, как да се съберат "местните" и "методологичните" стилове с това, което се среща в Шевали и де Лоренцо? В случая на математиката има добри доказателства, че най-естественото място за „стилове“попада между двете категории. В действителност математическите стилове надхвърлят всяка местна общност, дефинирана в по-прости социологически термини (националност, пряко членство в училище и т.н.) и са такива, че групата за подкрепа може да се характеризира само от специфичния метод на проучване, който се преследва. От друга страна, методът не е толкова универсален, че да може да бъде идентифициран като един от шестте метода, описани от Кромби или в разширения списък, даден от Хакинг. Ето някои възможни примери, при които имената, прикрепени към всяка позиция, не трябва да подвеждат читателя да мисли, че човек просто се занимава с „индивидуални“стилове.

Директни срещу косвени техники в геометрията (Кавалиери и Торичели срещу Архимед)
Алгебраични спрямо геометрични подходи в анализа през XVII и XVIII век (Ойлер срещу Макларин)
Геометрични спрямо аналитични подходи в комплексния анализ през XIX век (Риман срещу Вейерщрас)
Концептуални спрямо изчислителни подходи в теорията на алгебраичните числа (Дедекинд срещу Кронекер)
структурен срещу интуитивен стил в алгебраичната геометрия (немско училище срещу италианско училище)

Разбира се, може просто да е така, че и в историята, и във философията на науката има „междинни“нива на стил, като тези, които са описани тук (един пример, който идва на ум е „нютонов стил“в математическата физика), но Фактът, че Жан Гейон не ги е засичал като централен, показва, че ситуацията в историята и философията на математиката е съвсем различна, тъй като тези „междинни“стилове са тези, които са обсъдени по-подробно и съответстват на анализираните стилове от Шевали и дьо Лоренцо. Освен това дискусиите за местните математически култури са склонни да се правят без понятието стил.

6. Към епистемология на стила

Проблемът с епистемологията на стила може да бъде грубо поставен по следния начин. Дали стилистичните елементи, присъстващи в математическия дискурс, са лишени от познавателна стойност и така са само част от оцветяването на математическия дискурс или могат да се разглеждат като по-тясно свързани с неговото познавателно съдържание? Идеята за оцветяване тук идва от Фреге, който разграничи в „Мисълта“между условието за истинност на едно твърдение и онези аспекти на изявлението, които биха могли да предоставят информация за душевното състояние на говорещия или слушателя, но не допринасят за условията на истината му, На естествен език типичните елементи на оцветяване са израз на съжаление като „за съжаление“. „За съжаление, вали сняг“има същите условия за истината като „вали сняг“и „за съжаление“, в първото изречение, е само част от оцветяването. Жак и Моник Дубъкс обобщиха това разграничение с доказателства в „La couleur des preuves“(Dubucs and Dubucs 1994), където те се занимават с проблема за „реториката на математиката“, проблем, доста близък до този на анализ на стила. Дублирайки традиционната реторика като „остатъчна“, тъй като тя отчита само явления с не-познавателно значение, като орнаментиране и т.н. на математическия текст, но оставя обекта (като съдържанието на демонстрация) недокоснат, те проучиха вариантите за по-амбициозна „реторика на математиката“.тъй като той отчита само явления с не-познавателна значимост, като орнаментиране и т.н. на математическия текст, но оставя обекта (като съдържанието на демонстрация) недокоснат, те проучиха възможностите за по-амбициозна „реторика на математиката“.тъй като той отчита само явления с не-познавателна значимост, като орнаментиране и т.н. на математическия текст, но оставя обекта (като съдържанието на демонстрация) недокоснат, те проучиха възможностите за по-амбициозна „реторика на математиката“.

По този начин човек може да започне да артикулира първата позиция, която може да се защити по отношение на гносеологичното значение на стила. Това е позиция, която отрича стила всяка съществена познавателна роля и го свежда до феномен на субективно оцветяване. Според тази позиция стилистичните вариации биха разкрили само повърхностни различия в изразяването, които оставят съдържанието на дискурса недокоснато.

В литературата са отстояни още две амбициозни позиции относно познавателното съдържание на стила. Първият изглежда е съвместим с форма на платонизъм или реализъм в математиката, докато вторият определено е против него. Предполага се двете основни предложения, налични в литературата, а именно тези от Granger 1968 и Hacking 1992, които сега ще бъдат описани накратко.

Есето на Грейнджър за философия на стила (Essai d'une philosophie du style 1968) е най-систематичното и изработено усилие за разработване на теория на стила за математика. Програмата на Грейнджър е толкова амбициозна и богата, че за задълбочено обсъждане на структурата на неговата книга и на неговите подробни анализи ще е необходима книга сама по себе си. Поради ограничаването на пространството, целта тук е да даде само груба представа за какво се състои проектът и да покаже, че епистемологичната роля на стила, защитен от Гангър, е съвместима с реализъм за математическите образувания или структури.

Целта на Грейнджър е да предостави анализ на „научната практика“. Той определя практиката като „дейност, разгледана със сложния й контекст, и по-специално социалните условия, които й придават значение в свят, който се преживява ефективно (vécu)“(1968, 6). Науката той определя като „изграждане на абстрактни модели, последователни и ефективни, на явленията“(13). Така научната практика има както „универсални“или „общи“компоненти, така и „отделни“компоненти. Анализът на научната практика изисква най-малко три вида изследвания:

Има много начини за структуриране на определен феномен с помощта на модели; и едни и същи модели могат да се прилагат при различни явления. Освен това научните конструкции, включително математическите, разкриват определено „структурно единство“. И двата аспекта ще бъдат тема на стилистичен анализ.
Второто разследване се отнася до „научна характеристика“, насочена към изучаване на психологическите компоненти, които са от значение за индивидуализирането на научната практика;
Третото разследване се отнася до изследването на „извънредното положение“на научното творение, винаги разположено в пространството и времето.

И трите аспекта биха били необходими за анализ на „научната практика“, но в своята книга Грейнджър се фокусира само върху 1. Къде влизат стилът и математиката? Математиката влиза като една от областите на изследване, която може да бъде подложена на стилистичен анализ на науката (книгата на Грейнджър предоставя приложения не само на математиката, но и на езикознанието и социалните науки). Ами стилът? Всяка социална практика, според Грейнджър, може да се изучава от гледна точка на стила. Това включва политически действия, художествено творчество и научна дейност. Следователно има обща стилистика, която ще се опита да обхване най-общите стилистични особености на такива дейности, а след това и повече „локални“стилистични анализи като този, предоставен от Грейнджър за научни дейности. Очевидно е, четук използваната концепция за стил трябва да бъде много по-обхващаща от тази, която обикновено се свързва с този термин, и наистина тази, която би приложила в такива области като политическа дейност или научна дейност не просто метафорично, а по-скоро „коннатурация“на такива дейности.

Анализът на Грейнджър на математическия стил заема глави 2, 3 и 4 от неговата книга. Глава 2 се занимава с евклидовия стил и понятието величина; глава 3 с противопоставянето между „декартовски стил и десаргуйски стил“(относно декартовия стил вижте също Рабуин 2017); накрая, глава 4 се отнася до „раждането на векторален стил“. Всички тези анализи се фокусират около концепцията за "геометрична величина".

Човек придобива добър представа за това, което търси Грейнджър, като просто погледне пример, който описва в предговора си. Това е пример за сложните числа.

Според Грейнджър стилът е начин за налагане на структура на преживяване. Тук трябва да се вземе опит, за да надхвърли емпиричния опит. Като цяло подобният опит, на който апелира математикът, не е емпиричен. От този опит идват „интуитивните“компоненти, които са структурирани в математическата дейност. Но не бива да се мисли, че съществува „интуиция“, към която, както би било външно, човек прилага форма. Математическата дейност поражда едновременно да формира и съдържа в рамките на определен опит.

Стилът ни се струва тук, от една страна, като начин за въвеждане на концепциите на една теория, за свързването им, за обединяването им; и от друга страна, като начин за разграничаване на това, което интуицията допринася за определянето на тези понятия. (Грейнджър 1968, 20)

Като пример Грейнджър дава три начина за въвеждане на сложните числа; и трите начина отчитат структурните свойства, които характеризират въпросната алгебраична структура. Първият начин въвежда сложните числа чрез тригонометрично представяне, използвайки ъгли и посоки. Втората ги представя като оператори, приложени към векторите. В първия случай човек определя сложно число като двойка реални числа и адитивните свойства са незабавни. За разлика от това, във втория случай мултипликативните свойства се изземват веднага. Но, и това е третият начин, човек също може да въведе сложни числа чрез редовни квадратни матрици. Това води до разглеждането на сложните числа като система от полиноми в x modulo x ² +1.

Тези различни начини за схващане на понятието, интегрирането му в оперативна система и свързването му с някои интуитивни последици - от които човек ще трябва да ограничи точно степента - представляват това, което наричаме аспекти на стила. Очевидно е, че тук не се влияе структурното съдържание на понятието, че понятието ква математически обект съществува идентично чрез тези ефекти на стила. Но не винаги е така и ще срещнем стилистични позиции, които изискват истински концептуални вариации. Във всеки случай, което винаги се променя, е ориентацията на концепцията към това или онова използване, към това или онова разширение. По този начин стилът играе роля, която може би е от съществено значение както по отношение на диалектиката на вътрешното развитие на математиката, така и по отношение на връзката й със светове на по-конкретни обекти. (Granger 1968, 21).

По този начин, в теорията на Грейнджър математическите стилове са режими на представяне, или начини за схващане на математическите структури. Поне в някои случаи тези ефекти на стила оставят незасегнати математическите обекти или структури, въпреки че ще повлияят на когнитивния режим, в който са възприети, следователно влияят върху начина, по който те могат да бъдат подложени на разширение, прилагани в различни области и т.н. Въпреки че Грейнджър може да има симпатизирайки на кантианството без трансцендентален предмет и по този начин мислите за стил като конститутивен, изглежда, че неговото положение е най-малкото съвместимо с форма на реализъм за математическите същества. Това изглежда не е така за третата и последна епистемологична позиция, която ще бъде обсъждана, което се дължи на Иън Хакъринг.

Както беше посочено по-рано, Хакъринг, следвайки Кромби, предложи да се проучи понятието стил като „нов аналитичен инструмент“за историята и философията на науката. Предпочитанието му е да говори за стилове на разсъждения (вж. Също Mancosu 2005), за разлика от мисловните стилове на Флек или стиловете на мислене на Кромби (най-скорошното му предпочитание е да говори за „Стилове на научно мислене и правене“; за последната дискусия на Програмата на Hacking по време на писането вижте Kusch 2010 и специалният брой на студиите по история и философия на науката (брой 43, 2012), включително Hacking 2012 и няколко други приноса). Причината е, че Хакът иска да се отдалечи от психологическото ниво на разсъждения и да работи с по-обективното ниво на аргументи. Той изрично определя проекта си като продължение на проекта на Кант, насочен към обяснение как е възможна обективността. И наистина позицията на Хакинг отхвърля реализма и заема силно конститутивна роля за стила. Според Хакинг стиловете се определят от набор от необходими условия (той не се опитва разумно да осигури достатъчно условия):

Няма нито изречения, които са кандидати за истинност, нито независимо идентифицирани обекти, за които да се обърнем внимание, преди разработването на стил на разсъждение. Всеки стил на разсъждение въвежда огромно много новости, включително нови видове: Обекти; доказателства; изречения, нови начини да бъдеш кандидат за истината или лъжата; закони или всякакви условия; възможности. Трябва също така да се забележи, понякога, нови видове класификация и нови видове обяснения. (Хакер 1992, 11)

Трябва да е ясно, че това понятие за стил, подобно на Грейнджър, приписва много важна роля на стила като основание на обективността на цяла област от научна дейност, но че за разлика от този на Грейнджър, той е ангажиран онтологично с отхвърляне на реализма. Стиловете са от съществено значение за съставянето на математическите обекти и последните нямат форма на съществуване, независима от тях. Хакъринг не е обсъждал подробно казуси от историята на математиката, въпреки че един от неговите документи (Hacking 1995) се занимава с четири конструктивистки образа на математиката (думата „конструкционизъм“е заимствана от Нелсън Гудман) и показва колко добре се вписват в неговата картина на „стилове на мислене“. От подразбиране също е ясно, че по-стабилно ангажираните реалистични позиции няма да се вписват добре в разказа на Хакинг за стилове на разсъждения.

По този начин са разгледани три възможни модела за изразяване на гносеологичната роля на „стиловете“в математиката. Със сигурност има много повече възможни позиции, които чакат да бъдат формулирани, но засега това е всичко, което може да се намери в литературата.

7. Заключение

Както беше посочено в началото, темата за математическия стил не е една от каноничните области на изследване във философията на математиката. Всъщност този запис е първият опит да се обхване в един документ многообразните приноси към тази тема. Независимо от това, досега трябва да е ясно, че размисълът върху математическия стил присъства в съвременната философска дейност и заслужава да се вземе сериозно. Но работата едва започва. Човек се нуждае от много повече казуси на математически стилове и по-ясно артикулиране на гносеологичните и онтологичните последици, произтичащи от различни концептуализации на стила. Освен това човек би искал да види по-добра интеграция на цялата тази работа с работата върху когнитивните стилове, която се намира в когнитивната психология и математическото образование. И накрая, стандартните философски кестени,като връзката на формата и съдържанието към стила и отношението на стила към нормативността и умишлеността също би трябвало да се обърне внимание (за много добро обсъждане на такива теми в естетиката вижте Meskin 2005).

библиография

Бейкър, А., 2008, „Експериментална математика”, Еркентнис, 68: 331–344.
Bense, М., 1946, Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik. Die Mathematik und die Wissenschaften, Хамбург: Claassen & Goverts. Сега в Max Bense, Ausgewählte Schriften, Band 2, Philosophie der Mathematik, Naturwissenschaft und Technik, Weimar: Verlag JB Metzler, Stuttgart, 1998 (виж гл. 2 “Stilgeschichte in der Mathematik”).
–––, 1949, Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik. II. Die Mathematik in der Kunst, Хамбург: Claassen & Goverts. Сега в Max Bense, Ausgewählte Schriften, Band 2, Philosophie der Mathematik, Naturwissenschaft und Technik, Weimar: Verlag JB Metzler, Stuttgart, 1998 (виж гл. 1 „Zum Begriff des Stils“).
Bieberbach, L., 1934a, Kurzreferat, Forschungen und Fortschritte, 10: 235–237.
–––, 1934b, „Persönlichkeitsstruktur und mathematisches Schaffen“, Unterrichtblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, 40: 236–243.
–––, 1934c, „Stilarten mathematischen Schaffens“, Sitzungsbericht der preußischen Akademie der Wissenschaften, 351–360.
Borromeo Ferri, R., 2005, Mathematische Denkstile. Ergebnisse einer empirische Studie, Hildesheim: Verlag Franzbecker.
Bottazzini, U., 2001, „От Париж до Берлин: противоречиви образи на математиката от XIX век“, в U. Bottazzini, A. Dahan Dalmedico, (ред.), 2001, стр. 31–47.
Bottazzini, U. и Dahan Dalmedico, A., (ред.), 2001, Промяна на образите на математиката, Лондон: Routledge.
Brigaglia, A., 2001, „Създаването и устойчивостта на националните училища: случаят на италианската алгебраична геометрия“, в U. Bottazzini, A. Dahan Dalmedico, (ред.), 2001, стр. 187–206.
Casnati, G., et al. (изд.), 2016, От класическа до съвременна алгебраична геометрия. Mastership and Legacy Corrado Segre, Cham: Birkhäuser.
Cavalieri, B., 1635, Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota, Bologna: Clemente Ferroni.
Chasles, M., 1837, Aperçu Historique sur l'Origine et le Développement des Méthodes en Géométrie, Bruxelles: M. Hayez.
Chevalley, C., 1935, „Вариации на стил mathématique“, Revue de Metaphysique et de Morale, 3: 375–384.
Cohen, IB, 1992, „Principia, универсална гравитация и„ нютонов стил “, във връзка с Нютоновата революция в науката“, в Bechler, Z., (съст.), Contemporary Newtonian Research, Dordrecht: Reidel, pp. 21-108.
Corfield, D., 2003, към философия на „истинската“математика, Cambridge: Cambridge University Press.
Corry, L., 2004a, Модерна алгебра и възходът на математическата структура, Базел: Birkhäuser; 2-ро издание.
Corry, L., 2004b, „Въведение”, Наука в контекст, 17: 1–22.
Crombie, A., 1994, Стилове на научното мислене в европейската традиция, Лондон: Duckworth.
de Gandt, F., 1986, „Le style mathématique des„ Principia “de Newton“, Revue d'Histoire des Sciences, 39 (3): 195–222.
de Lorenzo, J., 1971, Introducción al estilo matematico, Мадрид: Редакционен Tecnos.
Dhombres, J., 1993, La figure dans le discours géométrique: les façonnages d'un style, Nantes: Université de Nantes.
Dubucs, J. and Dubucs, M., 1994, “La couleur des preuves”, в V. de Coorebyter, (съст.), Structures rhétorique en science, Paris: PUF, стр. 231–249.
Duhem, P., 1915, La Science Allemande, Париж: Hermann. Превод на английски: Немска наука, Чикаго: Издателство Карус, 2000г.
Edwards, HM, 1987, „Изобретяването на идеалите на Дедекинд“, в Phillips, E., Изследвания в историята на математиката, Вашингтон: Математическата асоциация на Америка, стр. 8–20.
Elwick, J., 2007, Стилове на разум в британските науки за живота: Споделени предположения, 1820–1858, Лондон: Пикинг и Чато.
Epple, М., 1997, "стилове на аргументи в края на 19 ^-ия геометрия век и структурата на математически модерността", в М. М. Оте и Панса (Eds.), Анализ и синтез по математика, Dordrecht: Kluwer, стр 177–198.
–––, 2004 г., „Инвартиантите на възела във Виена и Принстън през 20-те години на миналия век: епистемични конфигурации на математическите изследвания“, Science in Context, 17: 131–164.
–––, 2011, „Между времето и историчността: относно динамиката на епистемичните обекти на математиката“, Isis, 102: 481–493.
Etcheverría, J., 1996, „Емпирични методи в математиката. Казус: хипотезата на Голдбах”, в G. Munévar (съст.), Испански изследвания във философията на науката, Dordrecht: Kluwer, стр. 19–55.
Fleck, L., 1935, Entstehung und Entwicklung einer wissenschaftlichen Tatsache. Einführung in die Lehre vom Denkstil und Denkkollektiv, Базел: Schwabe. Превод от английски: Генезис и развитие на научен факт (преведен на английски от Фредерик Брадли), Чикаго: University of Chicago Press, 1979.
Fleckenstein, JO, 1955, „Stilprobleme des Barock bei der Entdeckung der Infinitesimalrechnung“, Studium Generale, 8: 159–166.
Freudenthal, H., 1975, Математиката като образователна задача, Dordrecht: Reidel.
Гавроглу, К., 1990, „Различията в стила като начин за изследване на контекста на откритието“, Философия, 45: 53–75.
Gayon, J., 1996, „De la catégorie de style en histoire des Sciences”, Alliage, 26: 13–25.
–––, 1998, „De l'usage de la ideation de style en histoire des Sciences”, в J. Gayon et al. (изд.), La Rhétorique: Enjeux de ses Résurgences, Брюксел: OUSIA, стр. 162–181.
Голдщайн, C., 2001, “L’expérience des nombres de Bernard Frenicle de Bessy”, Revue de Synthèse, 122: 425–454.
Granger, GG, 1968, Essai d'une philosophie du style, Париж: Armand Colin, препечатан с корекции от Париж: Odile Jacob.
–––, 2003, „Le style mathématique de l’Académie platonicienne“, в GG Granger, Philosophie, Langage, Science, Les Ulis: EDP Science, стр. 267–294.
Грей, Дж., 2008, Призракът на Платон: Модернистката трансформация на математиката, Принстън: Принстънски университетски печат.
Хакер, I., 1992, „Стил“за историци и философи “, Изследвания по история и философия на науката, 23: 1–20.
–––, 1995, „Immagini radimente costruzionaliste del progresso matematico“, в A. Pagnini, Realismo / Antirealismo, Firenze: La Nuova Italia, стр. 59–92.
–––, 1996, „Разстройствата на науката“, в П. Галисън и Д. Стъмп, „Разединението на науката: граници, контекст и власт“, Станфорд: Stanford University Press, стр. 37–74.
–––, 2002, Историческа онтология, Кеймбридж, МА: Harvard University Press.
–––, 2012, „„ Език, истина и разум “30 години по-късно“, Изследвания по история и философия на науката, 43: 599–609.
Harwood, J., 1993, Стилове на научната мисъл - Германската общност на генетиката, 1900–1933, Чикаго: Университетът в Чикаго Преса.
Høyrup, J., 2005, „Tertium non datur: относно стиловете на разсъждения в ранната математика“, в P. Mancosu et al. (ред.), визуализация, обяснение и разсъждение на стиловете в математиката, Dordrecht: Springer, стр. 91–121.
Katz, S., 2004, „Берлинските корени-ционистки въплъщения: етосът на чистата математика и началото на Института по математика на Айнщайн в Еврейския университет в Йерусалим“, Science in Context, 17: 199–234.
Klein, F., 1924, Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus. Erster Band. Аритметик, Алгебра, анализ, 3 ^-то издание, Берлин: Julius Springer.
Kleinert, A., 1978, “Von der Science Allemande zur Deutschen Physik”, Forschungen zur westeuropäischer Geschichte, 6: 509–525.
Куш, М., 2010, „Историческата епистемология на хакинга: критика на стиловете на разсъждения“, Изследвания по история и философия на науката, 41: 158–173.
Ква, С., 2012, „Екологичен“възглед за стиловете на науката и изкуството: изследванията на Алоис Ригъл на стиловата концепция “, Изследвания по история и философия на науката, 43: 610–618.
Ларвор, Б. (съст.), 2016, Математически култури. The London Meetings 2012–2014, Cham: Birkhäuser.
Laugwitz, D., 1993, Zur Genese des Denkens in mathematischen Begriffen: Bernhard Riemanns neuer Stil in der Analysis, Darmstadt.
Лейбниц, GW, 1701, „Mémoire de Mr. Leibniz докосващ син настроение sur le calcul différentiel“, Journal de Trévoux, 270–272. Препечатано в GW Leibniz, Mathematische Schriften (Редактиран от CI Gerhardt), Hildesheim: Georg Olms, 1962, vol. IV, с. 95–96.
Maienschein, J., 1991, "Епистемични стилове в немската и американската ембриология", Science in Context, 4: 407–427.
Mancosu, P. (ed.), 1998, От Brouwer to Hilbert, New York and Oxford: Oxford University Press.
Mancosu, P., et al. (изд.), 2005 г., Визуализация, обяснение и обосновка на стиловете в математиката, Dordrecht: Springer.
Mannheim, K., 1929, Ideologie und Utopie, Bonn: F. Cohen. Превод на английски: Идеология и утопия: въведение в социологията на знанието, Ню Йорк: Harcourt, Brace и World, 1968.
Mehrtens, H., 1987, „Ludwig Bieberbach and„ Deutsche Mathematik ““, в ER Philipps, Studies in the History of Mathematics, Washington: The Mathematical Association of America, стр. 195–241.
–––, 1990a, „Der französische Stil und der deutsche Stil. Nationalismus, Nationalsozialismus und Mathematik, 1900–1940 г.”, в Y. Cohen и K. Manfrass (ред.), Frankreich und Deutschland: Forschung, Technologie und industrielle Entwicklung im 19. und 20. Jahrhundert, Мюнхен: CH Beck.
–––, 1990b, Moderne, Sprache, Mathematik, Frankfurt: Suhrkamp.
–––, 1996, „Модернизъм срещу контрамодернизъм, национализъм срещу интернационализъм: стил и политика в математиката, 1900–1950”, в C. Goldstein et al. (изд.), L'Europe Mathématique. Histoires, Mythes, Identités, Éditions de la Maison de Sciences de l’Homme, Париж, стр. 519–530.
Мескин, A., 2005, "Стил", в В. подагра и DM Lopes (изд.), The Routledge Companion за естетика, 2 ^-ро издание, London: Routledge, стр 489-500..
Netz, R., 1999, The Shaping of Deduction in Greek Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press.
Novy, L., 1981, „Бележки относно стила на математическото мислене на Болцано“, Acta Historiae Rerum Naturalium nec non Technicarum, 16: 9–28.
Nye, MJ, 1993, „Национални стилове? Френска и английска химия през ХIХ и началото на ХХ век”, Озирис, 8: 30–49.
Panofsky, E., 1924, Идея, Берлин: Erwin Panofsky und Bruno Hessling Verlag. Превод на английски: Idea, New York: Harper and Row, 1968.
Peckhaus, V., 2007, “Stilarten matemachen Schaffens”, в K. Robering (съст.), “Stil” in den Wissenschaften, Münster: Nodus-Verlag, стр. 39–49.
JH Poincaré, 1905, La Valeur de la Science, Париж: Flammarion. Превод на английски: The Value of Science, New York: Dover Publications, 1958.
Рабуин, Д., 2017, „Стилове в математическата практика“, в К. Кемла и Е. Фокс-Келер (ред.), Култури без културализъм в научното познание, Дърам: Дюк Университет Прес, стр. 262–306,
Рек, Е., 2009, „Дедекинд, структурно разсъждение и математическо разбиране“, в B. van Kerkhove (съст.), Нови перспективи на математическите практики, Сингапур: WSPC Press, стр. 150–173
Riding, R., 2000, „Когнитивен стил: преглед“, в RJ Riding и SG Rayner, Международни перспективи за индивидуалните различия, кн. 1, Когнитивни стилове, Стамфорд (КТ): Ablex, стр. 315–344
Rowe, D., 2003, "Математически училища, общности и мрежи", в Cambridge History of Science, vol. 5, Съвременни физически и математически науки, Мери Джо Найе (съст.), Кеймбридж: Cambridge University Press, стр. 113–132.
–––, 2004, „Осъществяване на математика в устната култура: Гьотинген в ерата на Клайн и Хилберт“, Science in Context, 17: 85–129.
Sauerländer, W., 1983, „От Стил до стил: Размисли върху съдбата на понятието“, История на изкуствата, 6 (3): 253–270.
Segal, S., 2003, Математици при нацистите, Принстън: Princeton University Press.
Sørensen, HK, 2016, „Краят на доказателството“? Интеграцията на различни математически култури като експериментална математика е на възраст “, в B. Larvor (съст.), Математически култури. The London Meetings 2012-2014, Cham: Birkhäuser, 2016, стр. 139–160.
Spengler, O., 1918 (1921) Der Untergang des Abenlandes, Виена: Verlag Braumüller. Превод на английски: Упадъкът на Запада: Форма и действителност, 2 т., Лондон: Алън и Унвин.
Sternberg, RJ и Grigorenko, EL, 2001, „История на капсулата на теорията и изследването на стиловете“, в Sternberg and Zhang 2001, стр. 1–22.
Sternberg, RJ и Zhang, LF (ред.), 2001 г., Перспективи за мислене, учене и когнитивни стилове, Mahwah, NJ: Лоурънс Ерлбаум.
Tappenden, J., 2005, „Доказателски стил и разбиране в математиката I: Визуализация, обединение и избор на аксиома“, в Mancosu 2005, стр. 147–214.
van Bendegem, JP, 1998, „Какво, ако има нещо, е експеримент в математиката?“, в Anapolitanos, D. et al. (изд.), „Философия и много лица на науката“, Ланъм: Роуман и Литълфелд, стр. 172–182.
Weiss, EA, 1939 г., „Über den mathematischen Stil von Poncelet”, Deutsche Mathematik, 4: 126–127.
Wessely, A., 1991, „Транспониране на„ стил “от историята на изкуството в историята на науката“, Science in Context, 4: 265–278.
Wisan, W., 1981, „Галилео и появата на нов научен стил”, в „Теория промяна, древна аксиоматика и методология на Галилей”, кн. 1, J. Hintikka, D. Gruender и E. Agazzi (ред.), Dordrecht: Reidel, стр. 311–339

Академични инструменти

сеп човек икона	Как да цитирам този запис.
сеп човек икона	Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
inpho икона	Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
Фил хартия икона	Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси

[Моля, свържете се с автора с предложения.]

Математически стил

Съдържание:

Видео: Математически стил