Логическа истина

2023 Автор: Noah Black | [email protected]. Последно модифициран: 2023-08-25 04:38

Навигация за влизане

Съдържание за участие
библиография
Академични инструменти
Friends PDF Preview
Информация за автора и цитирането
Върнете се в началото

Публикувана за първи път на 30 май 2006 г.; съществена ревизия Чт 6 септември 2018 г.

В стандартните възгледи логиката има за една от своите цели да характеризира (и да ни даде практически средства за разграничаване) своеобразен набор от истини, логическите истини, от които следните английски изречения са парадигматични примери:

(1) Ако смъртта е лоша, само ако животът е добър, а смъртта е лоша, тогава животът е добър.
(2) Ако никое желание не е доброволно и някои вярвания са желания, тогава някои вярвания не са доброволни.
(3) Ако Драша е котка и всички котки са мистериозни, тогава Драша е загадъчна.

Както се оказва, е много трудно да се мисли за общоприети идеи за това какви са или трябва да бъдат родовите свойства на логическите истини. Широко разпространена, може би всеобщо приета идея е, че част от онова, което трябва да отличава логическите истини от другите видове истини, е, че логическите истини трябва да имат все още напълно разбрана модална сила. Типично е мнението, че в някакъв смисъл или в смисъла на „би могло“, логическата истина не може да бъде невярна или, алтернативно, че в някакъв смисъл или сетива на „трябва“, логическата истина трябва да бъде истина. Но е малко, ако има някакво споразумение за това как трябва да се разбира съответната модалност.

Друга широко разпространена идея е, че част от това, което трябва да различава логическите истини, е, че те трябва да бъдат в някакъв смисъл, за да бъдат напълно разбрани „формални“. Това, че логическата истина е формална, предполага най-малкото, че всички изречения, които са подходящи заместващи случаи на нейната логическа форма, са и логически истини. В този контекст логическата форма на изречение (S) се предполага, че е определена схема, определена еднозначно от (S), схема на която (S) е заместващ екземпляр и на кои изречения с същата форма като (S) също са заместващи инстанции. Формата има най-малкото свойство, че изразите в нея, които не са схематични букви („логическите изрази“) са широко приложими в различни области на дискурса. Сред хората, които приемат идеята за формалност, ще има широко съгласие, че формите на (1),(2) и (3) биха били нещо като ((1 ')), ((2')) и ((3 ')) съответно:

((1 ')) Ако (a) е (P) само ако (b) е (Q), и (a) е (P), тогава (b) е (Q).
((2 ')) Ако не (Q) е (R), а някои (P) s са (Q) s, тогава някои (P) s не са (R).
((3 ')) Ако (a) е (P) и всички (P) s са (Q), тогава (a) е (Q).

((1 ')), ((2')) и ((3 ')) изглежда създават логически истини за всички подходящи замествания на буквите "(a)", " (b)”,“(P)”,“(Q)”и“(R)”. А изрази като „ако“, „и“, „някои“, „всички“и т.н., които са парадигматични логически изрази, изглежда са широко приложими в различни области на дискурса. Но идеята, че логическите истини са или трябва да бъдат формални, със сигурност не е общоприета. И дори сред онези, които го приемат, е малко, ако има някакво съгласие за това, какви родови критерии определят формата на произволно изречение. ^[1]

Забележителен факт за логическата истина е, че мнозина смятат за правдоподобно, че наборът от логически истини на някои богати формализирани езици е характерен по отношение на понятията на стандартната математика. По-конкретно, в някои гледни точки наборът от логически истини на такъв тип език винаги е съвкупността от изречения на езика, който може да се получи в определено смятане. В други, по-широко разпространени възгледи, наборът от логически истини на такъв тип език може да бъде идентифициран с множеството изречения, които са валидни в определен диапазон от математически интерпретации (където валидността е нещо свързано, но различно от условието, че всички изреченията, които са заместващи случаи на неговата форма, също са верни; вижте по-долу, раздел 2.3). Едно от основните постижения на ранната математическа логика беше именно да покаже как да се характеризират понятията за производност и валидност по отношение на понятията на стандартната математика. (Раздели 2.2 и 2.3 дават основно описание на математически охарактеризираните понятия за производност и валидност, с препратки към други записи.)

В част 1 от този запис ще опишем в много широки очертания основните съществуващи възгледи за това как да разберем идеите за модалност и формалност, свързани с логическата истина. (По-подробно третиране на тези гледни точки е достъпно в други записи, споменати по-долу, и по-специално в записите за аналитичното / синтетичното разграничение и логическите константи.) В част 2 ще опишем, също така, в очертания, определен набор от философски въпроси, които възникват, когато човек разглежда опитите за математически характеристики на логическата истина. Въпросът за това дали или в какъв смисъл тези характеристики са правилни, е свързан с въпроса какво е или трябва да бъде нашето конкретно разбиране на идеите за модалност и формалност. ^[2]

1. Природата на логическата истина
- 1.1 Модалност
- 1.2 Формалност
2. Математическата характеристика на логическата истина
- 2.1 Формализация
- 2.2 Производимост
- 2.3 Моделно-теоретична валидност
- 2.4 Проблемът за адекватността
  - 2.4.1 Анализ и модалност
  - 2.4.2 Адекватност на разширението: общ аргумент
  - 2.4.3 Адекватност на разширението: езици от по-висок ред
библиография
Академични инструменти
Други интернет ресурси
Свързани записи

1. Природата на логическата истина

1.1 Модалност

Както казахме по-горе, изглежда, че е общоприето, че ако има изобщо някакви логически истини, логическата истина трябва да бъде такава, че да не може да бъде невярна или равностойно, тя трябва да бъде такава, че трябва да е истина. Но както вече казахме, почти няма съгласие за специфичния характер на съответната модалност.

С изключение на онези, които изцяло отхвърлят понятието логическа истина или тези, които, докато го приемат, отхвърлят понятието логическа форма, има широко съгласие, че поне част от модалната сила на логическата истина се дължи на това, че тя е конкретна случай на универсално обобщение на възможните стойности на схематичните букви във „формални“схеми като ((1 ') - (3')). (Тези стойности могат, но не е необходимо да бъдат изрази.) В това, което е възможно най-старият начин за разбиране на логическата модалност, тази модална сила изцяло се дължи на това свойство: така например, в този възглед да се каже, че (1) трябва да бъде true може да означава само, че (1) е особен случай на истинското универсално обобщение „За всички подходящи (P), (Q), (a) и (b), ако (a) е (P) само ако (b) е (Q), и (a) е (P), тогава (b) е (Q) . В една традиционна (но не и противоречива) интерпретация, твърдението на Аристотел, че заключението на силогизъм трябва да е вярно, ако предпоставките са истински, трябва да се разбират по този начин. В известен пасаж от „Приоритетна аналитика“той казва: „Силогизъм е реч (логос), в която, като се предполага, че някои неща са нещо различно от тези, за които се предполага, че са резултат от необходимостта (бивши ананки), защото са такива“(24b18–20). Помислете за (2) като силогизъм, в който „предполагаемите неща“са (2а) и (2б) и в който нещата, които „резултати от необходимост“са (2в):някои неща се предполагат, нещо различно от предполагаемите са резултат от необходимост (бивши ананки), защото са такива”(24b18–20). Помислете за (2) като силогизъм, в който „предполагаемите неща“са (2а) и (2б) и в който нещата, които „резултати от необходимост“са (2в):някои неща се предполагат, нещо различно от предполагаемите са резултат от необходимост (бивши ананки), защото са такива”(24b18–20). Помислете за (2) като силогизъм, в който „предполагаемите неща“са (2а) и (2б) и в който нещата, които „резултати от необходимост“са (2в):

(2а) Не желание е доброволно.
(2б) Някои вярвания са желания.
(2в) Някои убеждения не са доброволни.

В интерпретацията, която описваме, мнението на Аристотел е, че да се каже, че (2в) резултат на необходимостта от (2а) и (2б) означава, че (2) е особен случай на истинското универсално обобщение „За всички подходящи (P), (Q) и (R), ако не (Q) е (R), а някои (P) s са (Q) s, тогава някои (P) s не са (R)”. За това тълкуване вижте например Александър от Афродизиа, 208.16 (цитирано от Łukasiewicz 1957, §41), Болцано (1837, §155) и Łukasiewicz (1957, §5).

В много други древни и средновековни логици твърденията за „трябва“се разбират като универсални обобщения за действителните елементи (дори ако не винаги се разбират като универсални обобщения на „формални“схеми). Особено видно е мнението на Диодор, че предложението е необходимо само в случай, че е вярно по всяко време (вж. Матей 1961, III, §3). Имайте предвид, че това има смисъл от идеята, че (2) трябва да е вярно, но, да речем, „Хората гледат телевизия“може да е невярна, защото със сигурност това изречение не е било вярно по времето на Диодор. Възгледът на Диодор изглежда много често през Средновековието, когато автори като Уилям от Шерууд и Уолтър Бърли изглежда са разбрали възприеманата необходимост от условности като (2) като истина по всяко време (виж Knuuttila 1982, стр. 348– 9). Разбирането на необходимостта като вечност е често и при по-късните автори; виж е. Кант, Критика на чистия разум, Б 184. В полза на споменатото тълкуване на Аристотел и на диодорския възглед може да се посочи, че често използваме модални локуси, за да подчертаем последствията от условностите, които произтичат от обикновените универсални обобщения за реалният свят, както в „Ако цените на газта се покачат, икономиката задължително се забавя“.

Много автори смятат, че възгледите от този вид не отчитат пълната сила на модалния импорт на логически истини. В днешно време много често срещан, но (очевидно) късен възглед в историята на философията е, че необходимостта от логическа истина не означава само, че има някакво обобщение за действителните елементи, но също така предполага, че истината би била истинна като цяло набор от контрафактивни обстоятелства. Лайбниц присвои това свойство на необходими истини като тези на логиката и геометрията и изглежда е един от първите, които говорят за контрафактическите обстоятелства като за „възможни вселени“или светове (виж писмото до Бургует, стр. 572–3, за ясно изражение на неговите възгледи, което ги контрастира с възгледите в предходния параграф; Knuuttila 1982, стр. 353 ср.открива най-ранните прозрачни приказки за контрафактивни обстоятелства и за необходимостта, разбрани като най-малко намекващи истина във всичко това в Дънс Скот и Буридан; вижте също записа в средновековните теории за модалността). В съвременните писания разбирането на необходимостта като истина при всички контрафактивни обстоятелства и възгледът, че логичните истини са необходими в този смисъл, са широко разпространени - въпреки че много, може би повечето автори възприемат „редуктивистични“възгледи за модалност, които виждат приказки за контрафактивни обстоятелства като не повече от прикрито говорене за определени актуализирани (вероятно абстрактни) елементи, като например езикови описания. Изглежда дори Лайбниц е мислил за своите „възможни вселени” като идеи в ума на Бога. (Вижте Lewis 1986 за въведение в съвременната полемика в тази област.)))В съвременните писания разбирането на необходимостта като истина при всички контрафактивни обстоятелства и възгледът, че логичните истини са необходими в този смисъл, са широко разпространени - въпреки че много, може би повечето автори възприемат „редуктивистични“възгледи за модалност, които виждат приказки за контрафактивни обстоятелства като не повече от прикрито говорене за определени актуализирани (вероятно абстрактни) елементи, като например езикови описания. Изглежда дори Лайбниц е мислил за своите „възможни вселени” като идеи в ума на Бога. (Вижте Lewis 1986 за въведение в съвременната полемика в тази област.)В съвременните писания разбирането на необходимостта като истина при всички контрафактивни обстоятелства и възгледът, че логичните истини са необходими в този смисъл, са широко разпространени - въпреки че много, може би повечето автори възприемат „редуктивистични“възгледи за модалност, които виждат приказки за контрафактивни обстоятелства като не повече от прикрито говорене за определени актуализирани (вероятно абстрактни) елементи, като например езикови описания. Изглежда дори Лайбниц е мислил за своите „възможни вселени” като идеи в ума на Бога. (Вижте Lewis 1986 за въведение в съвременната полемика в тази област.)авторите възприемат „редуктивистични“възгледи за модалността, които виждат приказките за контрафактивни обстоятелства като не повече от прикрити разговори за някои актуализирани (евентуално абстрактни) елементи, като лингвистични описания. Изглежда дори Лайбниц е мислил за своите „възможни вселени” като идеи в ума на Бога. (Вижте Lewis 1986 за въведение в съвременната полемика в тази област.)авторите възприемат „редуктивистични“възгледи за модалността, които виждат приказките за контрафактивни обстоятелства като не повече от прикрити разговори за някои актуализирани (евентуално абстрактни) елементи, като лингвистични описания. Изглежда дори Лайбниц е мислил за своите „възможни вселени” като идеи в ума на Бога. (Вижте Lewis 1986 за въведение в съвременната полемика в тази област.)

Въпреки това, дори след Лайбниц и до наши дни, много логици изглежда са избегнали ангажимент за твърда представа за необходимост като истина при всички (действителни и) контрафактически обстоятелства. Така Болцано, в съответствие със споменатото по-горе тълкуване на Аристотел, характеризира необходимите предложения като тези, чието отрицание е несъвместимо с чисто общи истини (вж. Болцано 1837, §119). Фреге казва, че „аподиктическото решение (т.е. приблизително съдебното решение, чието съдържание започва с„ задължително “, управляващо останалото съдържание), се отличава от изтъкнатото по това, че предполага съществуването на универсални съждения, от които може да се направи заключението, докато в случая с апликатора такова предложение липсва”(Frege 1879, §4). Тарски е още по-близо до гледката, която традиционно се приписва на Аристотел, т.е.тъй като е доста ясно, че за него да каже, че напр. (2в) „трябва“да е вярно, ако (2а) и (2б) са верни, означава, че (2) е особен случай на „формалното“обобщение „за всички подходящи (P), (Q) и (R), ако не (Q) е (R), а някои (P) s са (Q) s, тогава някои (P) s не са (R)”(виж Tarski 1936a, стр. 411, 415, 417, или съответните пасажи в Tarski 1936b; вж. Също Ray 1996). Куийн е известен с изричното си отхвърляне на каквато и да е модалност, която не може да бъде разбрана по отношение на универсални обобщения за реалния свят (вж. Особено Куийн 1963). В някои от тези случаи това отношение се обяснява с недоверие към понятия, за които се смята, че не са достигнали напълно уважаван научен статус, като силните модални представи; често се придружава от такива автори, които често практикуват логици,от предложението да се характеризира логическата истина като вид валидност (в смисъла на 2.3 по-долу).

В скорошно виждане, разработено от Beall and Restall (2000, 2006), наречено от тях „логичен плурализъм“, концепцията на логическата истина носи ангажимент с идеята, че логическата истина е вярна във всички групи или „случаи”, А нейната необходимост се състои в истинността на такова общо твърдение (вж. Beall and Restall 2006, стр. 24). Въпреки това, понятието логическа истина не отделя уникален набор от „случаи” като привилегировани при определянето на разширението за концепцията; Вместо това има много такива еднакво приемливи диапазони и съответните разширения, които могат да бъдат избрани като функция на контекстуални интереси. Това означава, че за логическия плуралист много множества имат право да бъдат наричани „набор от логически истини“(и „набор от логически необходимости“), всеки в подходящ контекст. ^[3](Вижте записа за логическия плурализъм.) При друго скорошно разбиране на логическата необходимост като вид общност, предложено от Румфит (2015), необходимостта от логическа истина се състои само в нейното използване при всички групи специфични за предмета начини на чертеж на последиците (при условие че тези групи отговарят на определени структурни правила); или, по-грубо казано, само в прилагането му, независимо какъв вид разсъждения е заложен. На този възглед отново не се изисква по-съществено разбиране на модалността, заложена в логическата истина. Може да се отбележи, че макар да постулира с разнообразни подлежащи на специфично отношение импликации, Руфит отхвърля плурализма относно логическата истина в смисъла на Beall and Restall (вж. Неговата 2015, стр. 56, n. 23.), и всъщност мисли че съвкупността от логически истини се характеризира със стандартната класическа логика.

Друг смисъл, в който се смята, че истини като (1) - (3) и логически истини съвсем общо, „не може“да не е невярно или „трябва“да е истина е епистемичен. Старо наблюдение е, поне от Платон, че някои истини се считат за интуитивно известни от нас, дори в случаите, когато не изглежда да имаме емпирични основания за тях. Истините, които могат да се познаят по неемпирични причини, се наричат априори (израз, който започва да се използва с това значение по времето на Лайбниц; вж. Напр. Неговите „Primæ Veritates”, стр. 518). Като примери са дадени аксиомите и теоремите на математиката, лексикографските и условни дефиниции, както и парадигматичните логически истини. Ако се приеме, че логическите истини са априорни,естествено е да мислим, че те трябва да са верни или не биха могли да бъдат лъжливи поне отчасти в силния смисъл, че техните отрицания са несъвместими с това, което сме в състояние да знаем не емпирично.

Ако приемем, че такова априорно познание съществува по някакъв или друг начин, много по-нова философия се е заела с въпроса как е възможно. Едно традиционно („рационалистично“) мнение е, че умът е снабден със специална способност да възприема истини чрез изследване на отношенията между чистите идеи или концепции и че истините, достигнати чрез правилното функциониране на този капацитет, се считат за известни априори, (Вижте, например, „Discours de Métaphysique“на Лайбниц, §§23 ср.; Russell 1912, стр. 105; BonJour 1998 е съвсем скорошен пример за подобен възглед.) Противоположният традиционен („емпиричен“) възглед е че няма причина да се постулира този капацитет или дори че има причини да не го постулираме, като например, че е „мистериозен“. (Вижте статията за рационализма срещу емпиризма.) Някои философи, емпирици и т.н.са се опитали да обяснят априорни знания като произтичащи от някаква конвенция или мълчаливо споразумение, за да се съгласят с определени изречения (като (1)) и да използват определени правила. Хобс в своите възражения срещу медитациите на Декарт („Трети възражения“, IV, стр. 608) предлага широкообхватен конвенционалистичен възглед. По-късните Витгенщайн (от една интерпретация) и Карнап са отличени привърженици на „мълчаливото споразумение“и конвенционалистичните възгледи (вж. Например Wittgenstein 1978, I.9, I.142; Carnap 1939, §12, и 1963, стр. 916, за неофициални излагане на възгледите на Карнап; виж също Coffa 1991, chs. 14 и 17). Строго погледнато, Витгенщайн и Карнап смятат, че логическите истини изобщо не изразяват твърдения и са просто неясни изречения, които по някаква или друга причина сме полезни за манипулиране;следователно само в някак си намален смисъл можем да говорим за (априори) знания за тях. Въпреки това, в типичните скорошни изразители на „мълчаливото споразумение“и конвенционалистичните възгледи, като Богхосян (1997), твърдението, че логическите истини не изразяват предположения, се отхвърля и се приема, че съществуването на споразумението осигурява априорно пълно познаване на тези предложения.

Изгледът за „рационален капацитет“и „конвенционалистичният“възглед са съгласни, че в широк смисъл епистемичното основание на логическите истини е в нашата способност да анализираме значенията на техните изрази, независимо дали те се разбират като конвенции или като обективни идеи. Поради тази причина може да се каже, че те обясняват априорността на логическите истини по отношение на тяхната аналитичност. (Вижте записа за аналитичното / синтетичното разграничение.) Обяснението на Кант за априорността на логическите истини изглежда по-трудно да се извлече. ^[4]Дълъг ред коментатори на Кант отбелязват, че ако мнението на Кант е, че всички логически истини са аналитични, това изглежда ще е в напрежение с характеристиките му на аналитични истини. Кант характеризира аналитичните истини като тези, при които понятието на предиката се съдържа или е идентично с понятието на субекта и, което е по-важно, като тези, чието отричане е противоречиво. Но на онези коментатори се оказа, че тези характеристики, макар да се прилагат към строги тавтологии като „Мъжете са мъже“или „Брадати мъже са мъже“, изглежда ще изоставят голяма част от онова, което самият Кант счита за логично вярно, включително силогизмите като (2) (вж. Например Mill 1843, bk. II, ch. Vi, § 5; Husserl 1901, том II, т. 2, §66; Kneale and Kneale 1962, стр. 357–8; Парсънс 1967; Мади 1999). Тази и явната липса на ясни изказвания на Кант по въпроса накараха поне Мади (1999) и Хана (2001) да разгледат (макар и да не приемат) хипотезата, че Кант разглежда алогичните истини като синтетични. При подобно тълкуване априорността на много логически истини би била обяснена с факта, че те биха били изисквани от когнитивната структура на трансценденталния субект и по-специално от формите на съждение.^[5]Но стандартната интерпретация е да се придаде на Кант мнението, че всички логически истини са аналитични (виж например Capozzi и Roncaglia 2009). При подобно тълкуване формите на Кант могат да бъдат идентифицирани с логични понятия, податливи на анализ (виж например Allison 1983, стр. 126ff.). Разширена защита на интерпретацията, според която Кант разглежда всички логически истини като аналитични, включително оправдание на Кант срещу възраженията на споменатия по-горе ред коментатори, може да се намери в Хана (2001), §3.1. По същество Кантиева съвременна теория за гносеологията на логиката и нейните корени в познанието е разработена в Хана (2006); тази теория не се стреми да обясни априорността на логиката по отношение на нейната аналитичност и апелира вместо това към специфичен вид логическа интуиция и специфичен познавателен логически факултет.(Сравнете също антиаприорнистичния и антианалитичния, но като цяло Kantian възглед за Maddy 2007, споменат по-долу.)

Ранният Витгенщайн споделя с Кант идеята, че логическите изрази не изразяват значения по начина, по който го правят нелогичните изрази (виж 1921, 4.0312). В съответствие с тази гледна точка той твърди, че логическите истини не "казват" нищо (1921, 6.11). Но той изглежда отхвърля конвенционалистичните и „мълчаливите споразумения” (1921, 6.124, 6.1223). Не че логичните истини не казват нищо, защото те са просто инструменти за някаква изключително полезна манипулация; по-скоро те „показват“„логическите свойства“, които светът има независимо от нашите решения (1921, 6.12, 6.13). Не е ясно по какъв начин априорността е обяснима в тази рамка. Витгенщайн нарича логическите истини аналитични (1921, 6.11) и казва, че „човек може да разпознае само в символа, че са истински“(1921, 6.113). Изглежда, че има предвид факта, че човек може да „види“, че логическата истина на функционалната истина логика трябва да бъде валидна чрез проверка на подходящо представяне на нейното функционално съдържание за истината (1921, 6.1203, 6.122). Но разширяването на идеята до количествено-логическата логика е проблематично, въпреки усилията на Витгенщайн да свежда количествено-логическата логика до истина-функционална логика; както сега знаем, няма алгоритъм за определяне дали количественото изречение е валидно. Това, което е може би по-важно, Витгенщайн не дава забележимо обяснение защо по принцип всички „логически свойства” на света трябва да бъдат податливи на отражение в адекватна нотация. Но разширяването на идеята до количествено-логическата логика е проблематично, въпреки усилията на Витгенщайн да свежда количествено-логическата логика до истина-функционална логика; както сега знаем, няма алгоритъм за определяне дали количественото изречение е валидно. Това, което е може би по-важно, Витгенщайн не дава забележимо обяснение защо по принцип всички „логически свойства” на света трябва да бъдат податливи на отражение в адекватна нотация. Но разширяването на идеята до количествено-логическата логика е проблематично, въпреки усилията на Витгенщайн да свежда количествено-логическата логика до истина-функционална логика; както сега знаем, няма алгоритъм за определяне дали количественото изречение е валидно. Това, което е може би по-важно, Витгенщайн не дава забележимо обяснение защо по принцип всички „логически свойства” на света трябва да бъдат податливи на отражение в адекватна нотация. Витгенщайн не дава забележимо обяснение защо по принцип всички „логически свойства” на света трябва да бъдат податливи на отражение в адекватна нотация. Витгенщайн не дава забележимо обяснение защо по принцип всички „логически свойства” на света трябва да бъдат податливи на отражение в адекватна нотация.

На фона на „рационалния капацитет“, „конвенционалистичните“, кантианските и ранните витгенщайнски възгледи, други философи, особено радикални емпирици и натуралисти (да не говорим за епистемологични скептици), отхвърлиха твърдението, че априорно знание съществува (следователно чрез подразбиране и твърдението че съществуват аналитични предложения) и вместо това те са предложили само илюзия за априорност. Често това отхвърляне е придружено от критика към другите възгледи. JS Mill смята, че предложения като (2) изглежда априори просто, защото те са конкретни случаи на ранни и много познати обобщения, които черпим от опит, като „За всички подходящи (P), (Q) и (R), ако не (Q) е (R) и някои (P) s са (Q) s, тогава някои (P) s не са (R) (виж Mill 1843, bk. II, ch. Viii). Болцано държал подобно мнение (виж Болцано 1837, §315). Куийн (1936, §III) известно критикува хоббейския възглед, отбелязвайки, че тъй като логическите истини са потенциално безкрайни, нашата основа за тях не трябва да се крие само в ограничен брой изрични условности, тъй като логично правилата вероятно са необходими за получаване на безкраен брой логически истини от ограничен брой условности (точка, получена от Карол 1895). По-късно Куйн (особено през 1954 г.) критикува конвенционалистическия възглед на Карнап, до голяма степен на основанието, че изглежда няма неясна разлика между конвенционалните истини и истините, които мълчаливо се оставят отворени за опровержение и дотолкова, доколкото някои истини са продукт на конвенция или „мълчаливо споразумение“,подобно съгласие е характерно за много научни хипотези и други постулации, които изглеждат парадигматично неаналитични. (Вижте Grice and Strawson 1956 и Carnap 1963 за реакции на тези критики.) Quine (особено 1951) също твърди, че приетите изречения като цяло, включително парадигматичните логически истини, могат да се разглеждат най-добре като нещо като хипотези, които се използват за справяне с опита, т.е. всяко от които може да бъде отхвърлено, ако това помогне да се осмисли емпиричният свят (вж. Putnam 1968 за подобен възглед и предполагаем пример). Според това не може да има строго априорни основания за каквато и да е истина. Три неотдавнашни фини антиаприорни позиции са Maddy's (2002, 2007), Azzouni (2006, 2008) и Sher's (2013). За Мади логичните истини са астериори, но те не могат да бъдат потвърдени само чрез наблюдение и експеримент,тъй като те са част от много основни начини на нашето мислене, дълбоко вградени в нашата концептуална машина (концептуална машина, която е структурно подобна на постулираната трансцендентална организация на разбирането на Кант). По същия начин, за Азуни логическите истини са еднакво астериори, макар че нашето усещане, че те трябва да бъдат верни, идва от това, че са психологически дълбоко вкоренени; за разлика от Мади обаче, Азуни смята, че логическите правила, чрез които разсъждаваме, са непрозрачни за интроспекция. Шер предлага опит за комбиниране на кинеевска епистемология на логиката с ангажимент за метафизически реалистичен поглед върху модалната основа на логическата истина.s постулирана трансцендентална организация на разбирането). По същия начин, за Азуни логическите истини са еднакво астериори, макар че нашето усещане, че те трябва да бъдат верни, идва от това, че са психологически дълбоко вкоренени; за разлика от Мади обаче, Азуни смята, че логическите правила, чрез които разсъждаваме, са непрозрачни за интроспекция. Шер предлага опит за комбиниране на кинеевска епистемология на логиката с ангажимент за метафизически реалистичен поглед върху модалната основа на логическата истина.s постулирана трансцендентална организация на разбирането). По същия начин, за Азуни логическите истини са еднакво астериори, макар че нашето усещане, че те трябва да бъдат верни, идва от това, че са психологически дълбоко вкоренени; за разлика от Мади обаче, Азуни смята, че логическите правила, чрез които разсъждаваме, са непрозрачни за интроспекция. Шер предлага опит за комбиниране на кинеевска епистемология на логиката с ангажимент за метафизически реалистичен поглед върху модалната основа на логическата истина. Шер предлага опит за комбиниране на кинеевска епистемология на логиката с ангажимент за метафизически реалистичен поглед върху модалната основа на логическата истина. Шер предлага опит за комбиниране на кинеевска епистемология на логиката с ангажимент за метафизически реалистичен поглед върху модалната основа на логическата истина.

Един от начините, по които би било възможно априорно познаване на логическа истина като (1), ако е априорно познаване на факта, че (1) е логическа истина, или на универсалното обобщение „За всички подходящи (a), (P), (b) и (Q), ако (a) е (P), само ако (b) е (Q) и (a) е (P), тогава (b) е (Q)”бяха възможни. Един особено забележителен вид скептично разглеждане в епистемологията на логиката е, че възможността за инфекциозно априорно познаване на тези факти изглежда се сблъсква с проблем на кръговата или безкрайна регресия. Ако искаме да получим априорно познание за тези факти, тогава по някакъв начин вероятно ще следваме логичните правила,включително евентуално правилото за modus ponens, чиято много коректност може частично да зависи от факта, че (1) е логическа истина или от истината на универсалното обобщение „За всички подходящи (a), (P), (b) и (Q), ако (a) е (P), само ако (b) е (Q), и (a) е (P), тогава (b) е (Q)”. Във всеки случай изглежда ясно, че не всички твърдения от този последен вид, изразяващи, че определена истина е логическа истина или че определена логическа схема съхранява истината, биха могли да бъдат дадени априорно инфекциозно оправдание, без да се използват някои от същите логически правила, чиято коректност може да се смята, че кодифицират. Въпросът отново може да бъде извлечен от Карол (1895). Част от скорошната литература по този въпрос и относно антискептичните възвръщания включва Dummett (1973, 1991) и Boghossian (2000).

1.2 Формалност

За повечето възгледи, дори ако е вярно, че логическите истини са верни при всички контрафактивни обстоятелства, априорни и аналитични, това не би дало достатъчно условия една истина да бъде логична истина. В повечето възгледи логическата истина също трябва да бъде в известен смисъл „формална“и това предполага поне, че всички истини, които са заместващи случаи на нейната форма, също са логически истини (и следователно, при предположението на предходното изречение, вярно при всички контрафактивни обстоятелства, априорни и аналитични). Да се използва лека модификация на пример на Алберт от Саксония (цитиран от Bocheński 1956, § 30.07), „Ако вдовица бяга, тогава женска бяга“трябва да е вярно при всички контрафактивни обстоятелства, априори и аналитични, ако има някаква истина, Обаче „Ако вдовицата работи, тогава логът тече“е заместващ екземпляр от формата си,и всъщност той дори има една и съща форма във всеки изглед на логическа форма (нещо като "Ако a (P) (Q) s, тогава (R) (Q) s"), но дори не е истински симплитер. Така че в повечето възгледи „Ако вдовица бяга, тогава женска бяга“не е логична истина.

За философите, които приемат идеята за формалност, както казахме по-горе, логическата форма на изречението е определена схема, в която изразите, които не са схематични букви, са широко приложими в различни области на дискурса. ^[6]Ако схемата е формата на логическа истина, всички нейни заместващи инстанции са логически истини. Идеята, че логиката се отнася особено за (заместващи случаи на) схеми, разбира се е очевидна, като се започне от Аристотел и стоиците, за които думата, обикновено преведена от „фигура“, е именно схема. В Аристотел фигурата всъщност е още по-абстрактна форма на група от онова, което сега бихме нарекли „схеми“, като (2 '). Нашите схеми са по-близки до това, което в аристотелския силогизъм са настроенията; но изглежда няма дума за „настроение“в Аристотел (с изключение на евентуално птосеон през 42b30 или тропон в 43a10; вж. Smith 1989, стр. 148–9) и по този начин няма общо размисъл върху понятието формални схеми. Има изрично размисъл за контраста между формалните схеми или настроения и материята (хиле) на syllogismoi в Александър от Афродизия (53.28 сл., Цитиран от Bocheński 1956, § 24.06), и оттогава е имало. Въпросът е стойностите на схематичните букви.

Идеята, че несхематичните изрази в логическите форми, т.е. логическите изрази, са широко приложими в различни области на дискурса, също присъства от началото на логиката и се появява във всички големи логики. То се появява косвено в много пасажи от Аристотел, като например: „Всички науки са свързани чрез общите неща (наричам общи тези, които използват, за да демонстрират от тях, но не и тези, които са демонстрирани в тях или тези за кое нещо е демонстрирано); и логиката е свързана с всички тях, тъй като това е наука, която се опитва да демонстрира универсално общите неща”(Posterior Analytics, 77a26–9); „Не е нужно да се хващаме за нещата от всички опровержения, а само от онези, които са характерни за логиката;тъй като те са общи за всяка техника и способност”(Софистични опровержения, 170a34–5). (В тези текстове „логиката“е подходящ превод на диалектика; вж. Kneale and Kneale 1962, I, §3, който ни информира, че логиката се използва за първи път със сегашното си значение в Александър от Афродизия.) Frege казва, че „ най-твърдото доказателство очевидно е чисто логичното, което, изхождайки от особеностите на нещата, се основава единствено на законите, върху които почива цялото знание”(1879, стр. 48; виж също 1885 г., където универсалната приложимост на аритметичните понятия е приети като знак за тяхната логичност). Същата идея е очевидна и в Тарски (1941, гл. II, §6).който ни информира, че логиката се използва за първи път със сегашното й значение в Александър Афродизиаски.) Фреге казва, че „най-твърдото доказателство очевидно е чисто логичното, което, като се предположи от особеностите на нещата, се основава единствено на законите на на което почива цялото знание”(1879, с. 48; вж. също 1885, където универсалната приложимост на аритметичните понятия се приема като знак за тяхната логичност). Същата идея е очевидна и в Тарски (1941, гл. II, §6).който ни информира, че логиката се използва за първи път със сегашното й значение в Александър Афродизиаски.) Фреге казва, че „най-твърдото доказателство очевидно е чисто логичното, което, като се предположи от особеностите на нещата, се основава единствено на законите на на което почива цялото знание”(1879, с. 48; вж. също 1885, където универсалната приложимост на аритметичните понятия се приема като знак за тяхната логичност). Същата идея е очевидна и в Тарски (1941, гл. II, §6).където универсалната приложимост на аритметичните понятия се приема като знак за тяхната логичност). Същата идея е очевидна и в Тарски (1941, гл. II, §6).където универсалната приложимост на аритметичните понятия се приема като знак за тяхната логичност). Същата идея е очевидна и в Тарски (1941, гл. II, §6).

Че логическите изрази включват парадигматични случаи като „ако“, „и“, „някои“, „всички“и т.н., и че те трябва да бъдат широко приложими в различни области на дискурса е това, което бихме могли да наречем „минималната теза“за логичното изрази. Но отвъд това е малко, ако някакво съгласие за това, което родовата характеристика прави един израз логичен, а оттам и за това, което определя логическата форма на изречението. Повечето автори симпатизират на идеята, че логиката е формална, са се опитали да надхвърлят минималната теза. Ще бъде общоприето, че широкото приложение в различни области на дискурса е само необходимо, а не достатъчно свойство на логическите изрази; например, вероятно повечето предлози са широко приложими, но те не са логически изрази върху някаква имплицитна родова представа за логически израз. Опитите за обогатяване на понятието за логически израз обикновено се стремят да осигурят допълнителни свойства, които в същност представляват необходимите и достатъчни условия, за да може изразът да бъде логичен.

Една идея, която е била използвана при подобни характеристики и която присъства и при Аристотел, е, че логическите изрази не означават, строго казано, нищо; или, че те не означават нищо по начина, по който веществените материали, прилагателните и глаголите означават нещо. „Логиката [диалектика] не е наука за определени неща или за всеки един род“(Posterior Analytics, 77a32–3). Видяхме, че идеята все още присъства в Кант и ранния Витгенщайн. Повторно се е зародило през Средновековието. Основният смисъл на думата „синкатегорематичен“, приложен към изразите, беше приблизително този семантичен смисъл (вж. Kretzmann 1982, стр. 212 ср.). Буридан и други късносредновекови логици предложиха категорематичните изрази да представляват "материята" на изреченията, докато синкатегорематичните изрази представляват тяхната "форма" (виж текста, цитиран от Bocheński 1956,§26.11). (В малко по-различен, по-ранен, граматически смисъл на думата се казва, че синкатегорематичните изрази са тези, които не могат да бъдат използвани като субекти или предикати в категорични предложения; вж. Kretzmann 1982, стр. 211-2.) неточна, но има сериозни съмнения, че тя може да служи за характеризиране на идеята за логичен израз, каквото и да е това. Повечето предлози и наречия по презумпция са синкатегорематични, но вероятно също са нелогични изрази. Обратно, предикатите като „са идентични“, „е идентичен със себе си“, „е едновременно идентичен и не са идентични със себе си“и т.н., които са решително третирани като логични в новата логика, вероятно са категорични. (Разбира се, те са категорематични в граматическия смисъл,в които предлозите и наречията са еднакво ясно синкатегорематични.)

Повечето други предложения се опитват да очертаят по някакъв друг начин аристотеловата идея, че логическите изрази имат някакво „несъществено” значение, така че да се използват като необходимо и достатъчно условие за логичност. Едно скорошно предложение е, че логическите изрази са тези, които не ни позволяват да различаваме различни индивиди. Един от начините, по които това е направено прецизно, е чрез характеризиране на логическите изрази като тези, чието разширение или обозначение върху всеки конкретен домейн от индивиди е инвариантно при пермутации на този домейн. (Вж. Tarski and Givant 1987, стр. 57, и Tarski 1966; за свързани предложения вижте също McCarthy 1981, Sher 1991, ch. 3, McGee 1996, Feferman 1999, Bonnay 2008 и Woods 2016, между другото). домейн е кореспонденция едно към едно между домейна и самия него. Например, ако (D) е домейнът {Аристотел, Цезар, Наполеон, Крипке}, една пермутация е кореспонденцията, която приписва всеки човек на себе си; друго е кореспонденцията (P), която приписва Цезар на Аристотел (в математическа нотация, (P (текст {Аристотел}) = / текст {Цезар})), Наполеон на Цезар, Крипке на Наполеон и Аристотел на Крипке. Това, че разширението на израз на домейн е инвариантно при пермутация на този домейн означава, че индуцираното изображение на това разширение под пермутацията е самото разширение („индуцираното изображение“на разширение под пермутация (Q) е какво става разширението, когато на мястото на всеки обект (o) човек поставя обекта (Q (o))). Разширението на „философ“над (D) не е инвариантно под пермутацията (P) по-горе, тъй като това разширение е ({ текст {Аристотел}, / текст {Крипке} }),чието индуцирано изображение под (P) е ({ текст {Цезар}, / текст {Аристотел} }). Това е благоприятно за предложението, тъй като „философ“със сигурност не е широко приложим и е толкова нелогичен за повечето възгледи. От друга страна, предикатът "са идентични" има разширение над (D) набора от двойки

({ langle / text {Аристотел, Аристотел} rangle, / langle / текст {Цезар, Цезар} rangle, / langle / текст {Наполеон, Наполеон} rangle, / langle / text {Kripke, Kripke} rangle };)

индуцираното му изображение под (P) и под всяка друга пермутация на (D) е същият набор от двойки (както може да провери читателят); така че това отново е благоприятно за предложението. (Други парадигматични логически изрази получават по-сложни разширения над домейни, но разширенията, които получават, са инвариантни при пермутации. Например, по един обикновен начин за разбиране на разширението на „и“над домейн, това е функцията, която се приписва на всеки чифт (langle S_1, S_2 / rangle), където (S_1) и (S_2) са множество от безкрайни последователности на обекти, извлечени от (D), пресечната точка на (S_1) и (S_2) и тази функция е пермутационна инвариантна.) Един проблем на предложението е, че много изрази, които изглеждат очевидно не логични, тъй като не са широко приложими, все пак са инвариантни при пермутациите,и по този начин не могат да различават различни индивиди. Най-простите примери са може би не логични предикати, които имат празно разширение за всеки домейн и следователно имат и празни индуцирани изображения. „Мъжка вдовица“е един пример; нейни версии могат да се използват като контрапримери към различните версии на идеята за логичност като пермутационна инвариантност (виж Gómez-Torrente 2002) и не е ясно, че привърженикът на идеята може да избегне проблема по всякакъв неприет начин. Не е ясно, че привърженикът на идеята може да избегне проблема по някакъв неприет начин. Не е ясно, че привърженикът на идеята може да избегне проблема по някакъв не-ad hoc начин.

Друг популярен наскоро начин за очертаване на аристотеловата интуиция на семантичната „несъстоятелност“на логическите изрази апелира към концепцията за „чиста инфекциозност“. Идеята е, че логическите изрази са тези, чийто смисъл в някакъв смисъл е даден от „чисто инфекциозни“правила. (Виж Kneale 1956, Hacking 1979, Peacocke 1987, Hodes 2004, наред с други.) Необходимо свойство на чисто инфекциозните правила е, че те регулират само инфекциозни преходи между словесни предмети, а не между условията на извънсловейна увереност и словесни предмети или между вербални продукти и действия, лицензирани от тези елементи. Определено инфекциозно правило ви позволява да казвате „вали“, когато вали, но не е „чисто инфекциозно“. Правило, което ви позволява да кажете „А е жена, чийто съпруг е починал преди нея“, когато някой казва „А е вдовица“,не е веднага дисквалифициран като чисто инфекциозен. Вероятно в някакъв смисъл значението на "вдовица" е дадено от това последно правило, заедно с обратното правило, което ви позволява да кажете "А е вдовица", когато някой казва "А е жена, чийто съпруг е умрял преди нея", Но „вдовица“не е логичен израз, тъй като не е широко приложим; така че човек трябва да постулира повече необходими свойства, на които „чисто инфекциозните“правила трябва да отговарят. Редица такива условия са постулирани в съответната литература (виж например Belnap 1962 (отговор на Prior 1960), Hacking 1979 и Hodes 2004). Въпреки това, дори когато понятието за чиста инфекциозност е засилено по тези начини, проблемите остават. Най-често предложението е изразът да е логичен само в случай, че определени чисто инфекциозни правила дават целия си смисъл, включително неговия смисъл,или набора от аспекти на неговото използване, които трябва да бъдат овладени, за да се разбере (като в Kneale 1956, Peacocke 1987 и Hodes 2004). Изглежда ясно, че някои парадигматични логически изрази имат допълнителен смисъл, прикрепен към тях, който не е кодифицируем чисто инфекциозно. Например, индуктивните разсъждения, включващи „всички“, изглежда са част от смисъла на този израз, но е трудно да се разбере как би могъл да бъде кодифициран чрез чисто инфекциозни правила (както отбелязва Sainsbury 1991, стр. 316–7; вж. Също Dummett 1991, гл. 12). Различната версия на предложението се състои в това, че изразът е логичен само в случай, че определени чисто инфекциозни правила, които са част от неговия смисъл, са достатъчни за определяне на неговото разширяване (както в Hacking 1979). Но изглежда ясно, че ако разширението на, да речем,„Са идентични“се определя от определен набор от чисто инфекциозни правила, които са част от неговия смисъл, след това разширението на „са идентични и не са мъжки вдовици“се определя еднакво от същите правила, които спорно формират част от неговия смисъл; все пак „са идентични и не са мъжки вдовици“не е логичен израз (виж Gómez-Torrente 2002).

С оглед на проблеми от този и други видове, някои философи са предложили понятието за логически израз да не е свързано с необходими и достатъчни условия, а само с някакво необходимо условие, свързано със състоянието на широка приложимост, като например условието за „ е много уместно за систематизацията на научните разсъждения”(виж Warmbrōd 1999 за позиция от този тип). Други (Gómez-Torrente 2002) предполагат, че може да има набор от необходими и достатъчни условия, ако те не са много свързани с идеята за семантична „несъстоятелност“и вместо това са прагматични и подходящо неясни; например много изрази се изключват директно от условието за широка приложимост;и предположенията по всяка вероятност са изключени от някакво такова имплицитно условие като „логически израз трябва да бъде този, чието проучване е полезно за разрешаване на значими проблеми и грешки в разсъжденията“. За да бъдем сигурни, тези предложения се отказват от разширената интуиция на семантичната „несъстоятелност“и може да са донякъде незадоволителни по тази причина.

Някои философи са реагирали още по-радикално на проблемите на обичайните характеристики, твърдейки, че разграничаването между логически и нелогични изрази трябва да е вакуумно и по този начин отхвърля изцяло идеята за логическата форма. (Вижте например Orayen 1989, ch. 4, §2.2; Etchemendy 1990, ch. 9; Read 1994; Priest 2001.) Тези философи обикновено мислят за логическата истина като понятие, приблизително еквивалентно на това на аналитичния симплитер на истината. Но те са дори по-отговорни за обвинението да се откажат от разширените интуиции, отколкото предложенията от предишния параграф.

За по-задълбочено третиране на идеите за формалност и логичен израз вижте логическите константи за въвеждане и MacFarlane 2000.

2. Математическата характеристика на логическата истина

2.1 Формализация

Една от важните причини за успехите на съвременната логика е използването на това, което се нарича „формализация“. Този термин обикновено се използва, за да обхване няколко различни (макар и свързани) явления, всички те присъстват във Frege (1879). Едно от тях е използването на напълно определен набор от изкуствени символи, на които логикът недвусмислено придава значения, свързани със значенията на съответните изрази от естествен език, но много по-ясно разграничени и откъснати от бележките, които в тези естествени езикови изрази изглеждат без значение до условно-условно съдържание; това важи особено за символите, предназначени да представят логическите изрази на естествения език. Друго явление е постановяването на напълно точна граматика за формулите, изградени от изкуствените символи, т.е.формули, които ще бъдат „оголени“версии на корелативни изречения на естествен език; тази граматика представлява алгоритъм за създаване на формули, започващи от основните символи. Трето явление е постулацията на дедуктивно смятане с много ясна спецификация на аксиомите и правилата на извода за изкуствените формули (виж следващия раздел); такова смятане е предназначено да представи по някакъв начин дедуктивно разсъждение с корелатите на формулите, но за разлика от обикновените удръжки, производни в смятането не съдържат стъпки, които не са категорично приложение на посочените правила за извод. Трето явление е постулацията на дедуктивно смятане с много ясна спецификация на аксиомите и правилата на извода за изкуствените формули (виж следващия раздел); такова смятане е предназначено да представи по някакъв начин дедуктивно разсъждение с корелатите на формулите, но за разлика от обикновените удръжки, производни в смятането не съдържат стъпки, които не са категорично приложение на посочените правила за извод. Трето явление е постулацията на дедуктивно смятане с много ясна спецификация на аксиомите и правилата на извода за изкуствените формули (виж следващия раздел); такова смятане е предназначено да представи по някакъв начин дедуктивно разсъждение с корелатите на формулите, но за разлика от обикновените удръжки, производни в смятането не съдържат стъпки, които не са категорично приложение на посочените правила за извод.

Вместо да се опитва да характеризира логическите истини на естествен език като английския, фригейският логик се опитва да характеризира изкуствените формули, които са „оголени“корелати на тези логически истини във фригейски формализиран език. В фрийгейските формализирани езици сред тези формули се откриват изкуствени корелати на (1), (2) и (3), неща като

(((text {Bad} (textit {death}) rightarrow / text {Добро} (textit {life})) & / \ text {Bad} (textit {death})) rightarrow / текст {} Добър (textit {живот}).)

((forall x (текст {Желание} (x) rightarrow / neg / текст {Доброволно} (x)) & / \ съществува x (текст {Вяра} (x) & / \ текст {Желание} (x))))

(rightarrow / съществува x (текст {Вяра} (x) & / \ neg / текст {Доброволно} (x)).)
((текст {Cat} (textit {drasha}) & / \ forall x (текст {Cat} (x) rightarrow / текст {Мистериозен} (x))))

(rightarrow / текст {Мистериозен} (textit {drasha}).)

(Вижте записа за логиката, класически.) Фрегейските формализирани езици включват също класически езици от по-висок ред. (Вижте записа за логика, втори ред и по-висок ред.) Логичните изрази в тези езици се приемат стандартно като символи за функциите за истинност, квантовете, идентичността и други символи, определени по отношение на тези (но има несъгласни са възгледите за състоянието на количествените характеристики от по-висок ред; вж. 2.4.3 по-долу).

Ограничаването на изкуствените формули поражда редица въпроси относно точната стойност на фригейското предприятие за разграничаване на логическите истини на естествен език; голяма част от тази стойност зависи от това колко и колко важни се възприемат бележките, откъснати от естествените езикови изрази, които са корелати на стандартните логически изрази на формализирани езици. Но каквото и да е мнението на точната стойност на формализацията, няма съмнение, че тя е много осветяваща за логически цели. Една от причините е, че често е ясно, че оголените бележки са наистина без значение за съдържанието на условна истина (това е особено вярно за използването на естествени езикови логически изрази за правене на математика). Друга от причините е, че фактът, че граматиката и значението на изкуствените формули е толкова добре разграничен, позволи разработването на предложени характеристики на логическата истина, които използват само понятия от стандартната математика. Това от своя страна позволи изучаването на характеризираните понятия с помощта на стандартни математически техники. Следващите два раздела описват в основни линии двата основни подхода за характеризиране.^[7]

2.2 Производимост

Току-що отбелязахме, че формализираната граматика на фригския логик представлява алгоритъм за създаване на формули от основните изкуствени символи. Това се разбира много буквално. Както беше ясно на математическите логици от много рано, основните символи могат да се разглеждат (или кодифицирани от) естествени числа, а правилата за формиране в изкуствената граматика могат да се разглеждат (или кодифицирани от) прости изчислими аритметични операции. Граматичните формули могат след това да бъдат разглеждани като (или кодифицирани от) числата, които могат да се получат от основните числа след някаква ограничена поредица от приложения на операциите и по този начин тяхното множество е осезаемо по отношение на понятията от аритметиката и теорията на множествата (всъщност аритметиката е достатъчна, с помощта на някои трикове).

Точно същото е и при множеството формули, които могат да се получат във формализирано дедуктивно изчисление. Формула (F) може да се извлече във фригейски смятане (C) само в случай, че (F) може да се получи от аксиомите на (C) след някои крайни серии от приложения на правилата за извеждане на (° С). Но аксиомите са определени формули, изградени от процеса на граматическо образуване, така че те могат да бъдат разглеждани като (или кодифицирани от) определени числа; и правилата за извод отново могат да бъдат разглеждани като (или кодифицирани от) определени изчислими аритметични операции. Така извлечените формули могат да бъдат разглеждани като (или кодифицирани от) числата, които могат да се получат от числата на аксиома след някаква ограничена поредица от приложения на операциите по извода, и по този начин тяхната съвкупност отново се характеризира от гледна точка на понятия от стандартната математика (отново аритметичните са достатъчни), Във времето, следващо революцията на Фреге, изглежда, че съществува широкото вярване, че наборът от логически истини на всеки фрегеански език може да бъде характеризиран като набор от формули, извличащи се в някакво подходящо избрано смятане (следователно, по същество, като набора от числа, които могат да се получат чрез определени аритметични операции). Самият Фреж казва, като говори за езика от по-висок ред в своята „Begriffsschrift“, че чрез формализация (в третия смисъл по-горе) „стигаме до малък брой закони, в които, ако добавим съдържащите се в правилата, съдържанието от всички закони е включена, макар и в неразвито състояние”(Фреге 1879, §13). Идеята следва пряко от схващането на Ръсел за математика и логика като идентични (вж. Russell 1903, ch. I, §10; Russell 1920, pp.194–5) и неговата теза, че „с помощта на десет принципа на приспадане и десет други предпоставки от общ логически характер (…), цялата математика може да бъде строго и формално изведена“(Russell 1903, ch. I, §4), Вижте също Bernays (1930, стр. 239): „[чрез формализация] става очевидно, че всички логически изводи (…) могат да бъдат сведени до ограничен брой логически елементарни процеси, които могат да бъдат точно и напълно изброени“. В встъпителните параграфи на доклада си за логическото следствие, Тарски (1936a, 1936b) казва, че вярата е била разпространена преди появата на теоремите за непълнота на Гьодел (виж подраздел 2.4.3 по-долу за носенето на тези теореми по този въпрос). В последно време, очевидно поради влиянието на аргументи на Тарски, като споменатия към края на подраздел 2.4.3,вярата в адекватността на характеристиките на деривативността изглежда е намаляла (вж. например Правиц 1985 за подобна оценка).

2.3 Моделно-теоретична валидност

Дори по най-предпазливия начин за разбиране на модалността, присъстваща в логическите истини, изречението е логическа истина, само ако нито едно изречение, което е заместващ екземпляр от неговата логическа форма, не е невярно. (Тази идея се отхвърля само от онези, които отхвърлят понятието логическа форма.) Общо наблюдение е, че това свойство, дори и да е необходимо, не е ясно достатъчно, за да бъде едно изречение логична истина. Може би има изречение, което има това свойство, но всъщност не е логично вярно, защото човек би могъл да присвои някои неизразени значения на променливите и схематичните букви в неговата логическа форма, а под тези значения формата би била невярно изречение. ^[8]От друга страна, не е ясно неправилно да се мисли, че изречението е логическа истина, ако колективното присвояване на значения на променливите и схематичните букви в неговата логическа форма не би превърнало тази форма в невярно изречение. Кажете, че изречението е общовалидно, когато има това свойство. Стандартният подход към математическата характеристика на логическата истина, алтернативен на подхода за деривация, използва винаги някаква версия на свойството с универсална валидност, като го предлага във всеки случай като необходим и достатъчен за логическата истина. Обърнете внимание, че ако едно изречение е универсално валидно, дори и да не е логично вярно, то ще бъде вярно. Така че всички универсално валидни изречения са правилни поне в този смисъл.

Очевидно първият, който използва вариант на универсална валидност и изрично го предлага като необходим и достатъчен за логическата истина, е Болцано (вж. Bolzano 1837, §148; и Coffa 1991, стр. 33–4 за претенцията за приоритет). Идеята присъства и в други математици от XIX век (вж. Например Jané 2006) и е често срещана в училището на Хилберт. Тарски (1936a, 1936b) е първият, който посочи по напълно изричен начин как версията за универсална валидност, използвана от математиците, може сама да даде характеристика по отношение на понятията на стандартната математика, в случай на фригейски формализирани езици с алгоритмичен граматика. По същество характеристиката на Тарски се използва широко днес под формата на това, което е известно като моделно-теоретична представа за валидност, т.е.и изглежда справедливо да се каже, че обикновено се приема, че това понятие дава сравнително добро очертаване на множеството логически истини за фригейските езици.

Понятието моделно-теоретична валидност имитира понятието универсална валидност, но се дефинира точно с помощта на множествено-теоретичния апарат, разработен от Тарски (1935 г.) за характеризиране на семантични понятия като удовлетвореност, дефинируемост и истина. (Вижте записа в дефинициите за истинността на Тарски.) Като се има предвид фрейски език, структурата за езика е теоретично зададен обект, съставен от набор от домейни, взети заедно с присвояване на разширения, изтеглени от този домейн, към неговите нелогични константи. Структурата е предназначена от повечето логици да представлява присвояване на значения: нейният домейн дава обхвата или „смисъла“на променливите от първи ред (и индуцира диапазони на променливите от по-висок ред) и разширенията, които структурата присвоява на нелогичните константи са „значения“, които тези изрази могат да приемат. Използвайки апарата на Тарски, човек определя за формулите на фрегеанския език понятието истина в (или удовлетворение от) набор от теоретична структура (по отношение на безкрайна последователност, приписваща обект на домейна на всяка променлива). И накрая, човек дефинира формула, която да бъде теоретично валидна за модел, само в случай, че е вярна във всички структури за нейния език (по отношение на всички безкрайни последователности). Да съкратим „(F) е вярно във всички структури“като „MTValid ((F))“. Теоретичната характеристика на модела дава яснота, че „MTValid ((F))“е дефинируем чисто от гледна точка на концепции от теорията на множествата. (Понятието за теоретична валидност на модела за фригейските езици е обяснено подробно в записите за класическата логика и логиката от втори ред и по-висок ред; вижте също вписването за теорията на модела.)човек дефинира за формулите на фрегеанския език понятието истина в (или удовлетворение от) набор от теоретична структура (по отношение на безкрайна последователност, приписваща обект на домейна на всяка променлива). И накрая, човек дефинира формула, която да бъде теоретично валидна за модел, само в случай, че е вярна във всички структури за нейния език (по отношение на всички безкрайни последователности). Да съкратим „(F) е вярно във всички структури“като „MTValid ((F))“. Теоретичната характеристика на модела дава яснота, че „MTValid ((F))“е дефинируем чисто от гледна точка на концепции от теорията на множествата. (Понятието за теоретична валидност на модела за фригейските езици е обяснено подробно в записите за класическата логика и логиката от втори ред и по-висок ред; вж. Също вписването за теорията на модела.)човек дефинира за формулите на фрегеанския език понятието истина в (или удовлетворение от) набор от теоретична структура (по отношение на безкрайна последователност, приписваща обект на домейна на всяка променлива). И накрая, човек дефинира формула, която да бъде теоретично валидна за модел, само в случай, че е вярна във всички структури за нейния език (по отношение на всички безкрайни последователности). Да съкратим „(F) е вярно във всички структури“като „MTValid ((F))“. Теоретичната характеристика на модела дава яснота, че „MTValid ((F))“е дефинируем чисто от гледна точка на концепции от теорията на множествата. (Понятието за теоретична валидност на модела за фригейските езици е обяснено подробно в записите за класическата логика и логиката от втори ред и по-висок ред; вижте също вписването за теорията на модела.)))))човек дефинира формула, която да бъде теоретично валидна за модел само в случай, че е вярна във всички структури за нейния език (по отношение на всички безкрайни последователности). Да съкратим „(F) е вярно във всички структури“като „MTValid ((F))“. Теоретичната характеристика на модела дава яснота, че „MTValid ((F))“е дефинируем чисто от гледна точка на концепции от теорията на множествата. (Понятието за теоретична валидност на модела за фригейските езици е обяснено подробно в записите за класическата логика и логиката от втори ред и по-висок ред; вижте също вписването за теорията на модела.)човек дефинира формула, която да бъде теоретично валидна за модел само в случай, че е вярна във всички структури за нейния език (по отношение на всички безкрайни последователности). Да съкратим „(F) е вярно във всички структури“като „MTValid ((F))“. Теоретичната характеристика на модела дава яснота, че „MTValid ((F))“е дефинируем чисто от гледна точка на концепции от теорията на множествата. (Понятието за теоретична валидност на модела за фригейските езици е обяснено подробно в записите за класическата логика и логиката от втори ред и по-висок ред; вижте също вписването за теорията на модела.)(Понятието за теоретична валидност на модела за фригейските езици е обяснено подробно в записите за класическата логика и логиката от втори ред и по-висок ред; вижте също вписването за теорията на модела.)(Понятието за теоретична валидност на модела за фригейските езици е обяснено подробно в записите за класическата логика и логиката от втори ред и по-висок ред; вижте също вписването за теорията на модела.)^[9]

(Ако (F) е формула на език от първи ред без идентичност, тогава ако нито един заместващ екземпляр от формата на (F) не е фалшив, това е достатъчно условие за съществуването на (F) теоретично валиден за модела. Както се оказва, ако (F) не е теоретично валиден за модел, тогава някакъв заместващ екземпляр от неговата форма, чиито променливи варират над естествените числа и чиито нелогични константи са аритметични изрази, ще бъде невярно. Това може да бъде оправдано с прецизиране на теоремата на Льовенхайм-Сколем. Вижте записа за логика, класика и Quine 1970, ch. 4, за обсъждане и справка. Няма подобни резултати за езиците от по-висок ред.)

„MT“в „MTValid ((F))“подчертава факта, че теоретичната валидност на модела е различна от универсалната валидност. Понятието за смислово задание, което се появява в описанието на универсалната валидност, е много неточно и интуитивно понятие, докато понятието структура, появяващо се в характеристика на моделно-теоретичната валидност, е доста точно и техническо. Изглежда ясно, че понятието структура за фригейските формализирани езици е минимално разумно, в смисъл, че структура моделира силата на едно или няколко смислови задания, за да се направи невярно (логическата форма на) някакво изречение. Както ще споменем по-нататък, обратното свойство, че всяка смислова сила на опровержение на валидността се моделира от някаква структура, също е естествено, но по-взискателно изискване за понятието структура.

2.4 Проблемът за адекватността

Фактът, че понятията за производна и теоретична валидност на модела са дефинируеми в стандартната математика, изглежда е бил много привлекателна характеристика за тях сред практикуващите логици. Но тази привлекателна особеност, разбира се, не оправдава самото приемане на нито едно понятие като адекватна характеристика на логическата истина. В повечето изгледи с математическа характеристика на логическата истина се опитваме да очертаем набор от формули, притежаващи редица нематематични свойства. Кои свойства са различни, в зависимост от нашата претеоретична концепция за, например, характеристиките на модалността и формалността. (Под „предреоретично“не се разбира „преди всяка теоретична дейност“; в този смисъл едва ли може да има „прееоретично“схващане за логическа истина. В този контекст какво „s означава „преди пред теоретичната дейност по математическа характеристика“.) Но във всяка такава концепция ще има външни, не-математически критерии, които могат да бъдат приложени за оценка на въпроса дали математическата характеристика е адекватна. В този последен раздел ще очертаем някои от основните въпроси и резултати по въпроса дали производността и теоретичната валидност на модела са адекватни в този смисъл.

2.4.1 Анализ и модалност

Едно често възражение срещу адекватността на моделно-теоретичната валидност е, че тя не дава концептуален анализ на понятието логическа истина, дори за изреченията на фригейските формализирани езици (виж например Pap 1958, p. 159; Kneale and Kneale 1962, p. 642; Field 1989, стр. 33–4; Etchemendy 1990, ch. 7). Това оплакване е особено често срещано сред авторите, които се чувстват склонни да идентифицират логически истински и аналитичен симплитер (виж например Kneale and Kneale, пак там, Etchemendy 1990, стр. 126). Ако човек мисли за понятието логическа истина просто като за понятие аналитична истина, е особено разумно да приеме, че понятието логическа истина няма много общо с концепцията за моделно-теоретична валидност, тъй като вероятно тази концепция не имат много общо с концепцията за аналитичност. Да се каже, че една формула е теоретично валидна за модела означава, че няма теоретично зададени структури, в които тя е невярна; следователно, да се каже, че една формула не е теоретично валидна за модела, означава, че има теоретично зададени структури, в които тя е невярна. Но да се каже, че едно изречение е или не е аналитично по презумпция, не означава нищо за съществуването или несъществуването на теоретично зададени структури. Обърнете внимание, че бихме могли да възразим срещу изричимостта на същите основания, защото да кажем, че изречението е или не е аналитично по презумпция, не означава нищо за неговото съществуване или не е продукт на определен алгоритъм (сравнете Etchemendy 1990, стр. 3). (Още един особен,много обсъжданото твърдение в Etchemendy 1990 е, че истинските твърдения от формата „(F) е логично вярна“или „(F) не е логично вярна“сами по себе си трябва да са логически истини (докато съответните твърдения „MTValid ((F))”и„ Not MTValid ((F))”не са логични истини). Твърдението на Etchemendy може би е обосновано при схващането на логическата истина като аналитичен аналитик, но със сигурност е съмнително при по-традиционните схващания за логическата истина, при което предикатът „е логична истина“дори не е логичен израз. Виж Gómez-Torrente 1998/9 и Soames 1999, ch. 4 за обсъждане.)върху който предикатът „е логична истина“дори не е логичен израз. Виж Gómez-Torrente 1998/9 и Soames 1999, ch. 4 за обсъждане.)върху който предикатът „е логична истина“дори не е логичен израз. Виж Gómez-Torrente 1998/9 и Soames 1999, ch. 4 за обсъждане.)

Аналогични възражения „без концептуален анализ“могат да бъдат направени, ако приемем, че понятието логическа истина има някои други силни модални бележки, несвързани с аналитичността; например, ако приемем, че е част от концепцията за логическата истина, логичните истини са верни при всички контрафактивни обстоятелства или са необходими в някакъв друг силен смисъл. Шер (1996) приема нещо като изискването да се даде добра характеристика на логическата истина по отношение на модално богата концепция. Тя обаче твърди, че понятието теоретична валидност на модела е силно модално и затова възражението „без концептуален анализ“всъщност е погрешно: да се каже, че формула е или не е теоретично валидна за модела, означава да се създаде математическо съществуване или не -съществуваща претенция,и според Шер тези твърдения се четат най-добре като твърдения за възможността и необходимостта от структури. (Шалковски 2004 твърди, че защитата на Шер от теоретичната валидност на модела е недостатъчна въз основа на определена метафизична концепция за логическа необходимост. Etchemendy 2008 съответно твърди, че защитата на Шер се основава на неадекватни ограничения на модалността, свързана с логическата истина. Вижте също критична дискусия за Шер в Хансън 1997. всъщност фино усъвършенстване на модалното понятие за възможно смислово задание. Azzouni (2006), гл. 9,също защитава мнението, че теоретичната валидност на модела осигурява правилен концептуален анализ на логическата истина (макар и ограничен до езиците от първи ред), въз основа на определена дефлационистка концепция за (силната) модалност, включена в логическата истина.

Стандартният изглед на теоретично зададените твърдения обаче не ги разглежда като силни модални твърдения - в най-добрия случай някои от тях са модални в минималния смисъл, че са универсални обобщения или конкретни случаи на такива. Но по никакъв начин не е ясно, че това е основата за мощно възражение срещу валидността на теорията на модела или за неговата производност, защото, дори ако приемем, че концепцията за логическата истина е силно модална, не е ясно дали добрата характеристика на логическата истината трябва да бъде концептуален анализ. Аналогия може да помогне. Широко съгласие е, че характеристиките на понятието за изчислимост в стандартната математика, например като рекурсивност, са в известен смисъл добри характеристики. Обърнете внимание, че концепцията за способността за компютри е модална, в умерено силен смисъл;Изглежда, че става въпрос за това, което същество като нас би могло да направи с определени символи, ако беше освободено от определени ограничения - а не за, да речем, какво са направили или ще правят съществуващите същества. Въпреки това, да се каже, че определена функция е рекурсивна, не е да се прави модално твърдение за нея, а определено чисто аритметично твърдение. Така че рекурсивността е широко съгласувана да осигури добра характеристика на изчислимостта, но тя очевидно не дава концептуален анализ. Може би би могло да се твърди, че ситуацията с теоретична валидност на модела, или непроизводимост или и двете е една и съща. Така че рекурсивността е широко съгласувана да осигури добра характеристика на изчислимостта, но тя очевидно не дава концептуален анализ. Може би би могло да се твърди, че ситуацията с теоретична валидност на модела, или непроизводимост или и двете е една и съща. Така че рекурсивността е широко съгласувана да осигури добра характеристика на изчислимостта, но тя очевидно не дава концептуален анализ. Може би би могло да се твърди, че ситуацията с теоретична валидност на модела, или непроизводимост или и двете е една и съща.

Редица философи изрично отхвърлят изискването добрата характеристика на логическата истина да предостави концептуален анализ и (поне в името на аргументацията) да не поставят под въпрос обичайния възглед на теоретично зададените твърдения като немодални, а твърдят, че че Вселената на множеството теоретични структури по някакъв начин моделира Вселената на възможните структури (или поне Вселената на възможните теоретично зададени структури; вижте McGee 1992, Shapiro 1998, Sagi 2014). В този косвен смисъл характеристиката по отношение на моделно-теоретичната валидност би схванала част от силната модална сила, която логичните истини често се възприемат. McGee (1992) дава елегантен аргумент за тази идея: разумно е да се мисли, че при положение, че всяка теоретично зададена структура, дори тази, изградена от не-математически индивиди, се актуализира или не,има множествено-теоретична структура, изоморфна на нея, но конструирана изключително от чисти множества; но всяка такава чиста теоретично зададена структура е, по обичайния поглед, актуализирана съществуваща; така че всяка възможна множествена теоретична структура се моделира от зададена теоретична структура, според желанието. (Значението на това се основава на факта, че във фригейските езици една формула е вярна в една структура, ако и само ако е вярна във всички структури, изоморфна на нея.)(Значението на това се основава на факта, че във фригейските езици една формула е вярна в една структура, ако и само ако е вярна във всички структури, изоморфна на нея.)(Значението на това се основава на факта, че във фригейските езици една формула е вярна в една структура, ако и само ако е вярна във всички структури, изоморфна на нея.)

Но теоретичната валидност на модела (или производността) може да бъде теоретично адекватна по някакъв начин, дори ако някои възможни смислови задания не се моделират направо от (действителните) теоретично зададени структури. За да бъде теоретично адекватна валидността на модела, може да се приеме, достатъчно е, ако имаме други причини да смятаме, че е адекватно в екстензионален план, т.е. че съвпада в продължение с предпочитаната от нас претеоретична представа за логическа истина. В подраздели 2.4.2 и 2.4.3 ще разгледаме някои съществуващи аргументи за и против обикновената екстензивна адекватност на производността и теоретичната валидност на модела за фрегски езици.

2.4.2 Адекватност на разширението: общ аргумент

Ако човек изгради дедуктивното си смятане внимателно, човек ще може да се убеди, че всички формули, извлечени в смятането, са логически истини. Причината е, че човек може да използва интуицията си много систематично, за да получи това убеждение: човек може да включва в смятането само аксиоми, в които човек е убеден, че са логични истини; и може да се включат като правила за изводи, за които човек е убеден, че те произвеждат логически истини, когато се прилагат към логически истини. Използвайки друга терминология, това означава, че ако внимателно изградим своя численост, човек ще бъде убеден, че характеристиката на производната логическа истина за формулите на формализирания език ще звучи по отношение на логическата истина.

Също толкова очевидно е, че ако човек има под ръка представа за теоретична валидност на модела за формализиран език, който се основава на минимално разумна представа за структура, тогава всички логически истини (на този език) ще бъдат теоретично валидни за модел. Причината е проста: ако една формула не е теоретично валидна за модел, тогава има структура, в която е невярна; но тази структура след това трябва да моделира смислово задание (или задания), при което формулата (или нейната логическа форма) е невярна; така че ще бъде възможно да се изгради формула със същата логическа форма, чиито нелогични изрази по уговорка имат конкретните значения, извлечени от това колективно смислово задание, и която следователно е невярна. Но тогава идеята за формалност и най-слабото схващане за модалната сила на логическите истини несъмнено предполага, че оригиналната формула не е логично вярна. Използвайки друга терминология, можем да заключим, че моделно-теоретичната валидност е пълна по отношение на логическата истина.

Да съкратим „(F) е производно в смятане (C)“от „DC ((F))“, а „(F) е логична истина (в предпочитания от нас претеоретичен смисъл)“от „ LT ((F)) . Тогава, ако (C) е изчисление, изградено така, че да отговаря на нашата прееоретична концепция за логическа истина, ситуацията може да бъде обобщена по този начин:

(4) (текст {DC} (F) Rightarrow / текст {LT} (F) Righttarrow / текст {MTValid} (F).)

Първото значение е стабилността на производната; второто е пълнотата на моделно-теоретичната валидност.

За да се убедим, че характеристиките на логическата истина от гледна точка на DC ((F)) и MTValid ((F)) са адекватни като цяло, трябва да се убедим, че обратните последици също имат:

(5) (текст {MTValid} (F) Rightarrow / текст {LT} (F) Righttarrow / текст {DC} (F).)

Получаването на това убеждение или убеждението, че тези последици всъщност нямат, се оказва като цяло трудно. Но забележка на Kreisel (1967) установява, че понякога може да се получи убеждение, което те притежават. В някои случаи е възможно да се даде математическо доказателство, че производността (в някои конкретни изчисления (C)) е пълна по отношение на теоретичната валидност на модела, т.е. доказателство за

(6) (текст {MTValid} (F) Righttarrow / текст {DC} (F).)

Kreisel обърна внимание на факта, че (6) заедно с (4) предполага, че теоретичната валидност на модела е здрава по отношение на логическата истина, т.е. че първото импликация на (5) е вярно. (Строго погледнато, това е силно обобщение на забележката на Kreisel, която на мястото на „(text {LT} (F))“имаше нещо като „(F) е вярно във всички класови структури“(структури с клас, евентуално правилен, като домейн на отделните променливи).) Това означава, че когато (6) притежава понятието за теоретична валидност на модела предлага разширено правилна характеристика на логическата истина. (Вж. Etchemendy 1990, ch. 11, Hanson 1997, Gómez-Torrente 1998/9 и Field 2008, ch. 2, за версии на това наблюдение, и Smith 2011 и Griffiths 2014 за възражения.) Също така, (6), заедно с (4),означава, че понятието за производна е пълна по отношение на логическата истина (второто импликация в (5)) и следователно предлага подробно правилна характеристика на това понятие. Обърнете внимание, че това разсъждение е много общо и независимо от това, което е нашето конкретно дореоретично схващане за логическа истина.

Особено важен случай, в който може да се приложи това разсъждение, е случаят с количествено изразени езици от първи ред, под широк спектър от претеоретични концепции за логическа истина. Типично е да се приеме, че всички формули, получени при типично изчисление от първи ред, са общовалидни, верни при всички контрафактивни обстоятелства, априорни и аналитични, ако има някаква формула. ^[10]Така че (4) в този случай се намира под широк спектър от претеоретични концепции. (6) важи и за типичните въпросни изчисления по силата на теоремата за завършеност на Гьодел, така че (5) е валидно. Това означава, че човек може да се убеди, че както производността, така и теоретичната валидност на модела са правилно коректни характеристики на любимата ни дореоретична представа за логическа истина за езиците от първи ред, ако нашата претеоретична концепция не е твърде ексцентрична. Ситуацията не е толкова ясна и в други езици, които са от особено значение за фригейската традиция, количествените езици от по-висок ред.

2.4.3 Адекватност на разширението: езици от по-висок ред

От първата теорема за непълнота на Гьодел следва, че вече за език от втори ред няма смятане (C), при което производността е здрава по отношение на теоретичната валидност на модела и която е вярна (6) (за понятието теоретично модел на теория) валидност, както обикновено е определена за такъв език). Можем да наречем този резултат непълнотата на изчисленията от втори ред по отношение на теоретичната валидност на модела. Каза друг начин: за всеки звук на изчисление от втори ред (C) по отношение на теоретичната валидност на модела ще има формула (F) такава, че (текст {MTValid} (F)), но е не е случаят, че (текст {DC} (F)).

В тази ситуация не е възможно да се приложи аргументът на Kreisel за (5). Всъщност непълнотата на изчисленията от втори ред показва, че предвид всяко изчисление (C), удовлетворяващо (4), едно от последиците от (5) е невярно (или и двете са): или производна в (C) е непълна по отношение на логическата истина или моделно-теоретичната валидност е неподправена по отношение на логическата истина.

Различни автори са извлекли противоположни уроци от непълноти. Често срещана реакция е да се мисли, че теоретичната валидност на модела трябва да е неоснователна по отношение на логическата истина. Това е особено често при философите, чието схващане логическите истини трябва да бъдат априорни или аналитични. Една от идеите е, че резултатите от априорните разсъждения или аналитичното мислене трябва да бъдат кодифицирани при смятане. (Вижте напр. Wagner 1987, стр. 8.) Но дори и да дадем тази идея, съмнително е, че следва желаното заключение. Да предположим, че (i) всяко априорно или аналитично разсъждение трябва да се възпроизвежда в рамките на смятане. Разбира се, приемаме също така, че (ii) за всеки звук на смятане (C) по отношение на валидността на теорията на модела съществува теоретично валидна за модела формула, която не може да бъде изведена в (C). От всичко това не ставаt следва, че (iii) съществува теоретично валидна за формула формула (F), така че за всяко изчисление (C) звук за валидност на теорията на модела (F) не може да се изведе в C. От (iii) и (i) следва, разбира се, че съществуват моделно теоретично валидни формули, които не могат да се получат чрез априорни или аналитични разсъждения. Но стъпката от (ii) до (iii) е типична количествена грешка. От (i) и (ii) не следва, че съществува някаква теоретично валидна за модела формула, която не може да се получи чрез априорни или аналитични разсъждения. Единственото, което следва (само от (ii) под предположенията, че теоретичната валидност на модела е стабилна по отношение на логическата истина и че логическите истини са априорни и аналитични), е, че не може да звучи смятане по отношение на теоретичната валидност на модела от сам моделира всички априорни или аналитични разсъждения, които хората са в състояние да направят. Но не е достатъчно ясно, че това трябва да бъде присъщо проблематично. В края на краищата априорните и аналитичните разсъждения трябва да започват от основните аксиоми и правила и за всичко, което знаем, че рефлектиращият ум може да има неизчерпаема способност да намира нови истини и правила за съхранение на истината чрез априорно или аналитично разглеждане дори на оскъден запас от концепции. Твърдението, че всички аналитични истини трябва да бъдат извлечени в едно изчисление, може би е правдоподобно от гледна точка на това, че аналитичността трябва да се обяснява с конвенции или „мълчаливи споразумения“, тъй като тези споразумения по презумпция са ограничени по брой и последиците от тях вероятно са най-много ефективно изброяващи. Но това мнение е само една проблемна идея за това как трябва да се обяснят априорността и аналитичността. (Вж. Също Etchemendy (1990), chs. 8, 9, за аргумент за необосноваността на моделно-теоретичната валидност от по-висок ред, основан на схващането на логическата истина като аналитичен симплитер и Gómez-Torrente (1998/9), Soames (1999), глава 4 и Пасо (2014) за критични реакции.)Но това мнение е само една проблемна идея за това как трябва да се обяснят априорността и аналитичността. (Вж. Също Etchemendy (1990), chs. 8, 9, за аргумент за необосноваността на моделно-теоретичната валидност от по-висок ред, основан на схващането на логическата истина като аналитичен симплитер и Gómez-Torrente (1998/9), Soames (1999), глава 4 и Пасо (2014) за критични реакции.)Но това мнение е само една проблемна идея за това как трябва да се обяснят априорността и аналитичността. (Вж. Също Etchemendy (1990), chs. 8, 9, за аргумент за необосноваността на моделно-теоретичната валидност от по-висок ред, основан на схващането на логическата истина като аналитичен симплитер и Gómez-Torrente (1998/9), Soames (1999), глава 4 и Пасо (2014) за критични реакции.)

Друг тип аргументи за недоумение се опитват да покажат, че има някаква формула от по-висок ред, която е теоретично валидна за модел, но е интуитивно невярна в структура, чийто домейн е подходящ клас. („Предназначената интерпретация“на теорията на множествата, ако тя изобщо съществува, може да бъде една такава структура, тъй като тя със сигурност не е набор; вижте записа в теорията на множествата.) Тези аргументи по този начин поставят под въпрос твърдението, че всяко значение на заданието е валидност - опровергаващата мощност се моделира от някаква теоретично зададена структура, твърдение, което със сигурност е следствие от първото значение в (5). (В McGee 1992 има добър пример; има критична дискусия в Gómez-Torrente 1998/9.) Най-разпространеното мнение сред теоретиците на множеството изглежда е, че няма формули с това свойство на фригейски езици, но със сигурност не е абсолютно твърда вяра на техните. Обърнете внимание, че тези аргументи предлагат предизвикателство само за идеята, че универсалната валидност (както е дефинирана в раздел 2.3) е адекватно моделирана от теоретично зададена валидност, а не за надеждността на характеристиката на логическата истина по отношение на самата универсална валидност или по отношение на на вид валидност, основан на някаква представа за „задаване на смисъл“, различна от обичайната представа за теоретично зададена структура. (Аргументите, които споменахме в предходния параграф и в 2.4.1, биха имали по-дълбоки последици, ако са правилни, тъй като те лесно предполагат предизвикателства пред всички характеристики по отношение на валидността на видовете). Всъщност притесненията от този вид предизвикаха предложението за различен вид понятия за валидност (за фригейските езици),в които теоретично зададените структури са заменени с подходящи стойности на променливи от по-висок ред в език от по-висок ред за теория на множествата, например с „множествено тълкуване“(виж Boolos 1985, Rayo и Uzquiano 1999, Williamson 2003; вж. също записа на множествено количествено определяне). Както теоретично настроените, така и правилните класови структури се моделират от такива стойности, така че тези особени притеснения от неразбираемост не засягат този вид предложения.

По принцип не съществуват напълно задоволителни философски аргументи за тезата, че теоретичната валидност на модела е неоснователна по отношение на логическата истина в езиците от по-висок ред. Има ли тогава основателни причини да смятаме, че производността (във всеки звук на смятане за теоретична валидност на модела) трябва да е непълна по отношение на логическата истина? Не изглежда да има никакви абсолютно убедителни причини за това мнение. Основният аргумент (първата версия на който вероятно е изрично изрично представен в Tarski 1936a, 1936b) изглежда е този. Както бе отбелязано по-горе, първата теорема за непълнота на Гьодел предполага, че за всяко смятане за език от по-висок ред ще има моделно теоретично валидна формула, която няма да бъде изведена в смятането. Както излиза,формулата, получена от конструкцията на Гьодел, също винаги е интуитивно вярна във всички области (теоретично зададени или не) и е разумно да се мисли за нея като общовалидна. (Това със сигурност не е формула, невярна в правилната структура на класа.) Аргументът заключава, че за всяко смятане има логически верни формули, които не могат да се извеждат в него.

От това се стигна до заключението, че производността (във всяко смятане) трябва да е непълна по отношение на логическата истина. Но основен проблем е, че това заключение се основава на две предположения, които не е задължително да бъдат предоставени от шампиона по производственост: първо, предположението, че изразите обикновено се катализират като логични в езиците от по-висок ред, и по-специално на количествените характеристики в количествените характеристики на формата (forall X) (където (X) е променлива от по-висок ред), всъщност са логически изрази; и второ, предположението, че да бъдеш универсално валиден, е достатъчно условие за логическа истина. Въз основа на тези предположения със сигурност е много разумно да се смята, че производността при всяко изчисление, удовлетворяващо (4), трябва да е непълна по отношение на логическата истина. Но при липса на допълнителни съображения,критикът може да постави под въпрос предположенията и да отрече релевантността на аргумента. Второто предположение вероятно би било поставено под въпрос, например от гледна точка, че логическите истини трябва да бъдат аналитични, тъй като няма категорична причина да се смята, че универсално валидните формули трябва да бъдат аналитични. Първото предположение всъщност е в основата на всяко убеждение, което може да има (4) за всяко конкретно смятане от по-висок ред. (Обърнете внимание, че ако отречем, че квантовете на по-висок ред са логически изрази, можем еднакво да отречем, че аргументите, представени по-горе срещу здравината на теоретичната валидност на модела по отношение на логическата истина, са релевантни изобщо.) Че количествениците от по-висок ред са логиката често е отричана с мотива, че те са семантично твърде „съществени“. В тази връзка често се посочва, че количествените оценки от по-висок ред могат да се използват за дефиниране на сложни теоретични свойства на множеството, които човек не може да дефинира само с помощта на квантори от първи ред. (Защитниците на логическото състояние на количествените характеристики от по-висок ред, от друга страна, насочват към широката приложимост на квантовете от по-висок ред, към факта, че те са аналогични на количествените характеристики от първи ред, към факта, че те обикновено са необходими за осигуряване на категорични аксиоматизации на математически структури и др. Вж. Quine (1970), гл. 5, за стандартния показател на ограничителния изглед, и Boolos (1975) и Shapiro (1991) за стандартните показатели на либералния изглед.)(Защитниците на логическото състояние на количествените характеристики от по-висок ред, от друга страна, насочват към широката приложимост на квантовете от по-висок ред, към факта, че те са аналогични на количествените характеристики от първи ред, към факта, че те обикновено са необходими за осигуряване на категорични аксиоматизации на математически структури и др. Вж. Quine (1970), гл. 5, за стандартния показател на ограничителния изглед, и Boolos (1975) и Shapiro (1991) за стандартните показатели на либералния изглед.)(Защитниците на логическото състояние на количествените характеристики от по-висок ред, от друга страна, насочват към широката приложимост на квантовете от по-висок ред, към факта, че те са аналогични на количествените характеристики от първи ред, към факта, че те обикновено са необходими за осигуряване на категорични аксиоматизации на математически структури и др. Вж. Quine (1970), гл. 5, за стандартния показател на ограничителния изглед, и Boolos (1975) и Shapiro (1991) за стандартните показатели на либералния изглед.)за стандартния експонент на ограничителния изглед и Boolos (1975) и Shapiro (1991) за стандартните експоненти на либералния изглед.)за стандартния експонент на ограничителния изглед и Boolos (1975) и Shapiro (1991) за стандартните експоненти на либералния изглед.)

библиография

Александър от Афродизиас, In Aristotelis Analyticorum Priorum Librum I Commentarium, M. Wallies (ed.), Берлин: Reimer, 1883.
Allison, H., 1983, Трансценденталният идеализъм на Кант. Тълкуване и защита, Ню Хейвън: Yale University Press.
Aristotel, Analytica Priora et Posteriora, WD Ross (съст.), Оксфорд: Clarendon Press, 1964.
–––, Topica et Sophistici Elenchi, WD Ross (съст.), Оксфорд: Clarendon Press, 1974.
Azzouni, J., 2006, Проследяване на причината: доказателство, следствие и истина. Оксфорд: Oxford University Press.
–––, 2008 г., „Принудата да вярваме: Логическо заключение и нормалност“, Протосоциология, 25: 69–88.
Beall, Jc и G. Restall, 2000, „Логически плурализъм“, Australasian Journal of Philosophy, 78: 475–93.
–––, 2006, Логически плурализъм, Оксфорд: Клеръндж Прес.
Belnap, ND, 1962, „Tonk, Plonk и Plink“, Анализ, 22: 130–4.
Bernays, P., 1930, "Философията на математиката и теорията на доказателствата на Хилберт", преведена от П. Манкосу, в Манкосу (съст.), От Брууър до Хилберт, Оксфорд: Оксфордския университет прес, 1998.
Bocheński, IM, 1956, Formale Logik, Мюнхен: Alber.
Boghossian, P., 1997, "Аналитичност", в B. Hale и C. Wright (ред.), Спътник на философията на езика, Оксфорд: Блеквел, с. 331–68.
–––, 2000, „Знание за логиката“, в P. Boghossian и C. Peacocke (изд.), Нови есета на A Priori, Oxford: Clarendon Press, стр. 229–54.
Болцано, Б., 1837, Теория на науката, частичен превод от R. George, Oxford: Blackwell, 1972.
BonJour, L., 1998, В защита на чистия разум, Ню Йорк: Cambridge University Press.
Bonnay, D., 2008, „Логичност и инвариантност“, Бюлетин на символичната логика, 14: 29–68.
Boolos, G., 1975, „За логиката от втори ред“, сп. „Философия“, 72: с. 509–27.
–––, 1985, „Номиналистичен платонизъм“, в неговата „Логика, логика и логика“, Кеймбридж, МА: Harvard University Press, стр. 73–87.
Capozzi, M. and G. Roncaglia, 2009, „Логика и философия на логиката от хуманизма до Кант”, в Л. Хаапаранта (съст.), Развитието на съвременната логика, Оксфорд: Оксфордски университет, Прес, стр. 78–158.
Карнап, Р., 1939, Основи на логиката и математиката (Международна енциклопедия на обединената наука, Vols. I-II), Чикаго: University of Chicago Press.
–––, 1963, „Отговори и систематични изложби“, в PA Schilpp (съст.), „Философия на Рудолф Карнап, Ла Сале, Илинойс: Отворен съд, стр. 859–1013.
Карол, Л., 1895, „Какво каза костенурката за Ахил“, Ум, 4: 278–80.
Чихара, С., 1998, „Тезата на Тарски и онтологията на математиката“, в М. Ширн (съст.), „Философия на математиката днес“, Оксфорд: Оксфордски университет прес, стр. 157–72.
Coffa, JA, 1991, Семантичната традиция от Кант до Карнап, Кеймбридж: Cambridge University Press.
Dogramaci, S., 2017, „Защо валидното заключение е добро заключение?“, Философия и феноменологични изследвания, 94: 61–96.
Dummett, М., 1973, „Оправданието на приспадането“, в своята Истина и други загадки, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1978, стр. 290–318.
–––, 1981, Фреге. Философия на езика, Кеймбридж, МА: Harvard University Press.
–––, 1991, Логическата основа на метафизиката, Кеймбридж, МА: Харвардския университет.
Etchemendy, J., 1990, Концепцията за логическата последица, Cambridge, MA: Harvard University Press.
–––, 2008, „Размисли за последствията”, в Д. Патерсън (съст.), Нови есета на Тарски и философия, Оксфорд: Оксфордския университет, Прес, стр. 263–99.
Feferman, S., 1999, “Logic, Logics and Logicism”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 40: 31–54.
Field, H., 1989, Реализъм, математика и модалност, Оксфорд: Блеквел.
–––, 2008 г., Спасяване на истината от Парадокс, Оксфорд: University of Oxford.
–––, 2015, „Какво е логическата валидност?“, В CR Caret и OT Hjortland (ред.), Основи на логическата последица, Oxford: Oxford University Press, стр. 33–70.
Франкс, С., 2014, „Логически нихилизъм”, в П. Ръш (съст.), Метафизиката на логиката, Кеймбридж: Cambridge University Press, стр. 109–27.
Frege, G., 1879, „Begriffsschrift, формула на езика, създадена по модела на аритметиката, за чиста мисъл“, преведена от С. Бауер-Менгелберг, в J. van Heijenoort (ed.), От Frege до Gödel, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1967, стр. 1–82.
–––, 1885 г., „Официални теории на аритметиката“, в Събраните си трудове по математика, логика и философия, Б. МакГиннес (съст.), Оксфорд: Блеквел, 1984, с. 112–21.
Гарсия-Карпинтеро, М., 1993, „Основанията за моделно-теоретичния отчет на логическите свойства“, сп. Notre Dame of Formal Logic, 34: 107–31.
Gómez-Torrente, М., 1998/9, „Логическа истина и логическа истина на Тарскиан“, Синтеза, 117: 375–408.
–––, 2002, „Проблемът за логическите константи“, Бюлетин на символичната логика, 8: 1–37.
–––, 2008, „Съществуват ли моделно-теоретични логически истини, които не са логично верни?“, В Д. Патерсън (съст.), Нови есета на Тарски и философия, Оксфорд: Оксфордски университет прес, стр. 340–68.
Грис, П. и П. Ф. Стросън, 1956, „В защита на догма“, в Грис, Изследвания по пътя на думите, Кеймбридж, МА: Harvard University Press, 1989, с. 196–212.
Грифитс, О., 2014, „Формална и неформална последица”, Мисъл, 3: 9–20.
Hacking, I., 1979, „Какво е логика?“, Сп. „Философия“, 76: 285–319.
Хана, Р., 2001, Кант и основите на аналитичната философия, Оксфорд: Clarendon Press.
–––, 2006, Rationality and Logic, Cambridge, MA: MIT Press.
Hanson, W., 1997, „Концепцията за логическата последица“, Философски преглед, 106: 365–409.
–––, 2006, „Актуалност, необходимост и логическа истина“, Философски изследвания, 130: 437–59.
–––, 2014, „Логическа истина в модалните езици: отговор на Нелсън и Залта”, Философски изследвания, 167: 327–39.
Hobbes, T., „Troisièmes възражения“, в Декарт, vuvres Philosophiques, кн. II, Ф. Алкие (съст.), Париж: Гарние, 1967, с. 599–631.
Hodes, H., 2004, „За смисъла и препратката на логически констант“, Философски квартал, 54: 134–65.
Хусерл, Е., 1901, Логически изследвания, кн. II, Лондон: Routledge, 2001.
Якона, А., 2018, логическа форма. Между логиката и естествения език, Cham: Springer.
Jané, I., 2006, „Какво е общата концепция на последиците на Тарски?“, Бюлетин на символичната логика, 12: 1–42.
Кант, И., Критика на чистия разум, превод от П. Гийър и А. В. Ууд, Кеймбридж: Cambridge University Press, 1998.
Kneale, W., 1956, „Провинцията на логиката“, в HD Lewis (съст.), Съвременна британска философия, 3-та серия, Лондон: Allen & Unwin.
Kneale, W. and M. Kneale, 1962, The Development of Logic, Oxford: Clarendon Press.
Knuuttila, S., 1982, „Модална логика“, в N. Kretzmann, A. Kenny и J. Pinborg (ред.), The Cambridge History of later Medieval Philosophy, Cambridge: Cambridge University Press, стр. 342–57.
Kreisel, G., 1967, „Неофициални доказателства за строгост и пълнота“, в I. Lakatos (съст.), Проблеми във философията на математиката, Амстердам: Северна Холандия, с. 138-71.
Кретцман, Н., 1982, „Синкатегоремата, Софизмата, Експонибилия“, в Н. Кретцман, А. Кени и Дж. Пинборг (ред.), Историята на Кембридж от по-късносредновековната философия, Кеймбридж: Cambridge University Press, стр. 211– 45.
Leibniz, GW, Letter to Bourguet (XII), в CI Gerhardt (ed.), Die philosophische Schriften von GW Leibniz, Hildesheim: Olms, 1965, vol. III, с. 572–6.
–––, „Primæ Veritates”, в L. Couturat (съст.), Opuscules et Fragments Inédits de Leibniz, Hildesheim: Olms, 1961, стр. 518–23.
–––, „Discours de Métaphysique“, в CI Gerhardt (съст.), Die philosophische Schriften von GW Leibniz, Hildesheim: Olms, 1965, vol. IV, стр. 427–63.
–––, „Analysis Linguarum“, в L. Couturat (съст.), Opuscules et Fragments Inédits de Leibniz, Hildesheim: Olms, 1961, pp. 351–4.
Lewis, DK, 1986, относно множеството светове, Оксфорд: Блеквел.
Łukasiewicz, J., 1957, Sloglogistic на Aristotel от гледна точка на съвременната формална логика, второ издание, Oxford: Clarendon Press.
McCarthy, T., 1981, „Идеята за логическата константа“, Journal of Philosophy, 78: 499–523.
MacFarlane, J., 2000, Какво означава да кажа, че логиката е формална?, Доцент доктор. дисертация, Университет в Питсбърг, катедра „Философия“.
–––, 2002, „Фреге, Кант и логиката в логиката“, Философски преглед, 111: 25–65.
McGee, V., 1992, „Два проблема с теорията на последиците на Тарски“, Proceedings of Aristotelian Society (нова серия), 92: 273–92.
–––, 1996, „Логически операции“, сп. „Философска логика“, 25: 567–80.
Maddy, P., 1999, „Логика и дискурсивният интелект“, сп. Notre Dame of Formal Logic, 40: 94–115.
–––, 2002, „Естествен натуралистичен поглед към логиката“, сборник и адреси на Американската философска асоциация, 76 (2): 61–90.
–––, 2007 г., Втора философия. Натуралистичен метод, Оксфорд: University of Oxford.
Mates, B., 1961, Stoic Logic, Berkeley: University of California Press.
Mill, JS, 1843, Система на логиката, в своите Сборници, кн. 7, Торонто: Университет на Торонто Прес, 1973 г.
Нелсън, М. и Е. Н. Залта, 2012, „Защита на логическите истини на условни ситуации“, Философски изследвания, 157: 153–62.
Orayen, R., 1989, Lógica, Significado y Ontología, Mexico City: UNAM.
Пап, А., 1958 г., Семантика и необходима истина, Ню Хейвън: Университетско издателство Йейл.
Парсънс, С., 1969, „Философия на аритметиката на Кант“, в неговата Математика по философия, Итака: Cornell University Press, 1983, стр. 110–49.
Paseau, AC, 2014, „Аргументът (ите) на свръхгенерация: Успешно опровержение“, Анализ, 74: 40–7.
Peacocke, C., 1987, „Разбиране на логическите константи: сметка на реалисти“, Proceedings of British Academy, 73: 153–200.
Правиц, Д., 1985, „Забележки относно някои подходи към концепцията за логическата последица“, Синтез, 62: 153–71.
Priest, G., 2001, „Логика: Един или много?“, В J. Woods and B. Brown (ред.), Логическа последица: Подходи за съперници, Оксфорд: Hermes Science Publishing, стр. 23–38.
Преди, AN, 1960 г., „The Runabout Infer-Ticket“, Анализ, 21: 38–9.
Putnam, H., 1968, „Логиката на квантовата механика“, в своята Математика, материя и метод. Философски трудове, том 1, Кеймбридж: Cambridge University Press, 1975, с. 174–197.
Куин, WV, 1936, „Истина чрез конвенция“, в неговия „Пътищата на парадокса и други есета“, преработено издание, Кеймбридж, МА: Harvard University Press, 1976, стр. 77–106.
–––, 1951 г., „Две догми за емпиризма“, в неговия „Логическа гледна точка“, преработено второ издание, Кеймбридж, МА: Harvard University Press, 1980, с. 20–46.
–––, 1954, „Карнап и логическа истина“, в неговия „Пътищата на парадокса и други есета“, преработено издание, Кеймбридж, МА: Harvard University Press, 1976, с. 107–32.
–––, 1963, „Необходима истина“, в неговия „Пътищата на парадокса и други есета“, преработено издание, Кеймбридж, МА: Harvard University Press, 1976, стр. 68–76.
–––, 1970, Философия на логиката, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall.
Рей, Г., 1996, „Логическа последица: защита на Тарски“, сп. „Философска логика“, 25: 617–77.
Rayo, A. и G. Uzquiano, 1999, „Към теорията за последиците от втори ред“, сп. Notre Dame of Formal Logic, 40: 315–25.
Прочетете, С., 1994, „Формални и материални последствия“, сп. „Философска логика“, 23: 247–65.
Rumfitt, I., 2015, Граничните камъни на мисълта. Есе във философията на логиката, Оксфорд: Clarendon Press.
Ръсел, Б., 1903, Принципите на математиката, Ню Йорк: Нортън, 1938.
–––, 1912 г., Проблемите на философията, Оксфорд: Университет Оксфорд, 1976 г.
–––, 1920 г., Въведение в математическата философия, второ издание. Ню Йорк: Макмилан.
Саги, Г., 2014, „Модели и логически последствия“, сп. „Философска логика“, 43: 943–964.
Sainsbury, M., 1991, Logical Forms, Oxford: Blackwell.
Shalkowski, S., 2004, "Логика и абсолютна необходимост", Journal of Philosophy, 101: 55–82.
Shapiro, S., 1991, Основи без фундаментализъм: случай за логика от втори ред, Оксфорд: Clarendon Press.
–––, 1998 г., „Логическа последица: модели и модалност”, в М. Ширн (съст.), „Философия на математиката днес”, Оксфорд: Оксфордски университет прес, стр. 131–56.
Шер, Г., 1991, Границите на логиката, Кеймбридж, МА: MIT Press.
–––, 1996, „Тарски извършил ли е„ заблуда на Тарски? “, Сп.„ Символична логика “, 61: 653–86.
–––, 2013, „Основният проблем на логиката“, Бюлетин на символичната логика, 19: 145–98.
Smith, P., 2011, „Стискане на аргументи“, Анализ, 71: 22–30.
Smith, R., 1989, „Бележки към книга A“, в Aristotel, Prior Analytics, R. Smith (ed.), Indianapolis, IN: Hackett, стр. 105–81.
Soames, S., 1999, Understanding Truth, New York: Oxford University Press.
Тарски, А., 1935, „Концепцията за истината в формализираните езици“, преведена от Дж. Х. Удджър в А. Тарски, Логика, Семантика, Метаматематика, второ издание, Дж. Коркоран (съст.), Индианаполис, IN: Hackett, 1983, с. 152–278.
–––, 1936a, „За концепцията за логическата последица“, преведена от Дж. Х. Уудджър в А. Тарски, Логика, Семантика, Метаматематика, второ издание, Дж. Коркоран (съст.), Индианаполис, IN: Hackett, 1983, pp. 409–20.
–––, 1936b, „За концепцията за следване на логиката“, преведени от М. Stroińska и Д. Хичкок, История и философия на логиката, 23 (2002): 155–96.
–––, 1941 г., Въведение в логиката и методологията на дедуктивната наука, преведено от О. Хелмер, Ню Йорк: Oxford University Press.
–––, 1966 г., „Какви са логическите понятия?“, Изд. от J. Corcoran, История и философия на логиката, 7 (1986): 143–54.
Tarski, A. и S. Givant, 1987, Формализиране на теорията на множествата без променливи, Провиденс, RI: Американско математическо общество.
Wagner, SJ, 1987, „Рационалистическото схващане на логиката“, сп. Notre Dame of Formal Logic, 28: 3–35.
Warmbrōd, K., 1999, „Логически константи“, Ум, 108: 503–38.
Уилямсън, Т., 2003, „Всичко“, в Д. Цимерман и Дж. Хоторн (ред.), Философски перспективи 17: Език и философска лингвистика, Оксфорд: Блеквел, с. 415–65.
Wittgenstein, L., 1921, Tractatus Logico-Philosophicus, преведено от К. К. Огден, Лондон: Routledge, 1990.
–––, 1978 г., Забележки относно основите на математиката, преработено издание, GH Von Wright, R. Rhees и GEM Anscombe (ред.), Cambridge, MA: MIT Press.
Woods, J., 2016, „Характеризираща инвариантност“, Ergo, 3: 778–807.
Zalta, E., 1988, „Логически и аналитични истини, които не са необходими“, Journal of Philosophy, 85: 57–74.

Академични инструменти

сеп човек икона	Как да цитирам този запис.
сеп човек икона	Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
inpho икона	Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
Фил хартия икона	Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси

Логическа последица и поражение, категория PhilPapers, редактирана от Salvatore Florio.
Проект "Основи на логическата последица" в Arché, Философски изследователски център за логика, език, метафизика и епистемология, Университета в Сейнт Андрюс.

Логическа истина

Съдържание:

Видео: Логическа истина

Логическа истина