Ранното развитие на теорията на множествата

2023 Автор: Noah Black | [email protected]. Последно модифициран: 2023-08-25 04:38

Навигация за влизане

• Съдържание за участие
• библиография
• Академични инструменти
• Friends PDF Preview
• Информация за автора и цитирането
• Върнете се в началото

Ранното развитие на теорията на множествата

За първи път публикуван вторник, 10 април 2007 г.; съществена ревизия Thu 18 юни 2020

Теорията на множествата е едно от най-големите постижения на съвременната математика. По принцип всички математически понятия, методи и резултати допускат представяне в теорията на аксиоматичните множества. По този начин теорията на множествата е послужила доста уникална роля, като систематизира съвременната математика и подхожда в единна форма на всички основни въпроси относно допустимите математически аргументи, включително трънливия въпрос за принципите на съществуване. Тази публикация обхваща очертания противоречив процес, по който възниква теорията на множествата, обхващаща приблизително годините 1850 до 1930.

През 1910 г. Хилберт пише, че теорията на множествата е

онази математическа дисциплина, която днес заема изключителна роля в нашата наука и излъчва [ausströmt] своето мощно влияние във всички клонове на математиката. [Хилберт 1910, 466; превод по автор на записа]

Това вече подсказва, че за да се обсъди ранната история, е необходимо да се разграничат два аспекта на теорията на множествата: нейната роля като основен език и хранилище на основните принципи на съвременната математика; и нейната роля като независим клон на математиката, класифициран (днес) като клон на математическата логика. И двата аспекта са разгледани тук.

Първият раздел разглежда произхода и възникването на зададената теоретична математика около 1870 г.; това е последвано от обсъждане на периода на разширяване и консолидиране на теорията до 1900 г. Раздел 3 дава преглед на критичния период през десетилетията 1897 до 1918 г., а раздел 4 разглежда времето от Цермело до Гьодел (от теорията към метатеория), със специално внимание на често пренебрегваната, но решаваща, описателна теория на множествата.

• 1. възникване
• 2. Консолидация
• 3. Критичен период
• 4. От Цермело до Гьодел

• библиография

  • Цитирани произведения
  • Допълнителна информация
• Академични инструменти
• Други интернет ресурси
• Свързани записи

1. възникване

Концепцията за набор изглежда измамно проста, поне за обучения математик и до такава степен, че става трудно да се прецени и оцени правилно приноса на пионерите. Това, което им коства много усилия да произведат, и отнемаше на математическата общност доста време да приеме, може да ни се струва по-скоро саморазясняващо се или дори тривиално. В началото трябва да се отбележат три исторически погрешни схващания, които са широко разпространени в литературата:

1. Не е така, че действителната безкрайност беше универсално отхвърлена пред Кантор.
2. Теоретичните възгледи на множеството не възникват изключително от анализа, но се появяват и в алгебрата, теорията на числата и геометрията.
3. Всъщност възходът на теоретично зададената математика предхожда критичните приноси на Кантор.

Всички тези точки ще станат ясни в следващото.

Понятието за колекция е толкова старо, колкото броенето, и логични идеи за класовете съществуват поне от "дървото на Порфирий" (3 ^-ти век пр.н.е.). По този начин става трудно да се подредят произхода на концепцията за множеството. Но комплекти са нито колекции в ежедневния смисъл на тази дума, нито "класове", в смисъл на логици преди средата на 19 ^-ти век. Ключовият липсващ елемент е обектността - набор е математически обект, който трябва да се управлява точно като всеки друг обект (множеството (mathbf {N}) е толкова „нещо“, колкото числото 3). За да изясни този въпрос, Ръсел използва полезното разграничение между клас-като-много (това е традиционната идея) и клас-като-един (или набор).

Ернст Цермело, решаваща фигура в нашата история, каза, че теорията е била „създадена от Кантор и Дедекинд” [Zermelo 1908, 262]. Това предполага добър прагматичен критерий: човек трябва да започне от авторите, които са повлияли значително на концепциите на Кантор, Дедекинд и Цермело. В по-голямата си част това е критерият, приет тук. Въпреки това, тъй като всяко правило изисква изключение, случаят с Болцано е важен и поучителен, въпреки че Болцано не повлиява значително на по-късните писатели.

В 19 ^-ти век немскоговорящите райони, имаше някои интелектуални тенденции, които насърчават приемането на действителната безкрайността (например, възраждане на мисълта Лайбниц). Въпреки предупреждението на Гаус, че безкрайността може да бъде само начин на говорене, някои незначителни фигури и три основни (Болцано, Риман, Дедекинд) предхождат Кантор, за да приемат напълно действителната безкрайност в математиката. Тези трима автори са били активни в насърчаването на теоретично зададено формулиране на математически идеи, като приносът на Дедекинд в голям брой класически съчинения (1871, 1872, 1876/77, 1888) е от централно значение.

Хронологично Бернар Болцано беше първият, но той не оказа почти никакво влияние. Високото качество на работата му по логика и основите на математиката е добре известно. Книга, озаглавена Paradoxien des Unendlichen, е посмъртно публикувана през 1851 г. Тук Болцано твърди подробно, че множество парадокси, обграждащи безкрайността, са логично безобидни и монтираха силна защита на действителната безкрайност. Той предложи интересен аргумент, опитващ се да докаже съществуването на безкрайни множества, което е в сравнение с по-късния аргумент на Дедекинд (1888 г.). Въпреки че използва сложни разграничения от различни видове множества или класове, Болцано ясно разпознава възможността да постави два безкрайни множества в кореспонденция едно към едно, както може лесно да се направи, например, с интервалите ([0, 5]) и ([0, 12]) от функцията (5y = 12x). Въпреки това,Болцано устоя на заключението, че и двата множества са „равни по отношение на множеството на техните части“[1851, 30–31]. По всяка вероятност традиционните идеи за измерване все още бяха твърде мощни в начина му на мислене и по този начин той пропусна откриването на концепцията за кардиналност (обаче, може да се помисли за неканориански идеи, на които вижте Mancosu 2009).

Случаят с Болцано предполага, че освобождаването от метрични понятия (дошло с развитието на теориите на проективната геометрия и най-вече на топологията) би трябвало да има решаваща роля за осигуряване на абстрактната гледна точка на теорията на множествата. Бернхард Риман предложи визионерски идеи за топологията и за основаването на цялата математика върху понятието множество или „многообразие“в смисъла на класа (Mannigfaltigkeit) в своята прочута встъпителна лекция „За хипотезите, които лежат в основите на геометрията“(1854 / 1868a). Характерно за Риман също беше голям акцент върху концептуалната математика, особено видим в подхода му към сложен анализ (който отново навлезе дълбоко в топологията). Да дам, но най-простият пример,Риман беше ентусиазиран последовател на идеята на Дирихлет, че дадена функция трябва да се схваща като произволна кореспонденция между числови стойности, независимо дали тя може да бъде представена чрез формула или не; това означаваше да изоставим времената, когато дадена функция беше определена като аналитичен израз. Чрез този нов стил на математика и чрез визията си за нова роля за комплекти и пълна програма за развитие на топология, Риман оказа решаващо влияние както върху Дедекинд, така и върху Кантор (виж Ferreirós 1999). Риман имаше решаващо влияние както върху Дедекинд, така и върху Кантор (виж Ferreirós 1999). Риман имаше решаващо влияние както върху Дедекинд, така и върху Кантор (виж Ferreirós 1999).

За петгодишния период 1868-1872 г. в Германия се наблюдава гъвкавост на теоретично зададени множества, така че да можем да го считаме за раждане на теоретично зададена математика. Лекцията по геометрия на Риман, изнесена през 1854 г., е публикувана от Дедекинд през 1868 г. съвместно с книгата на Риман за тригонометрични серии (1854 / 1868b, която представя интеграла на Риман). Последното беше отправна точка за задълбочена работа в реалния анализ, започвайки изследването на „сериозно“прекъснатите функции. Младият Георг Кантор влезе в тази област, което го доведе до изучаване на точките. През 1872 г. Cantor въвежда операция върху точкови набори (виж по-долу) и скоро той се размишлява за възможността да повтори тази операция до безкрайност и отвъд: това беше първият поглед върху трансфинитното царство.

Междувременно, друго голямо развитие е предложено от Ричард Дедекинд през 1871 г. В контекста на своята работа по теория на алгебраичните числа Дедекинд въвежда по същество теоретично зададена гледна точка, определяща полета и идеали на алгебраични числа. Тези идеи бяха представени в много зряла форма, използвайки зададени операции и структурно запазващи карти (вж. Съответен пасаж във Ferreirós 1999: 92–93; Cantor използва терминологията на Dedekind за операциите в своя собствен труд по теория на множествата около 1880 г. [1999: 204]). Имайки предвид кръга от цели числа в дадено поле от алгебраични числа, Дедекинд дефинира определени подмножества, наречени „идеали“и оперира върху тези множества като нови обекти. Тази процедура беше ключът към неговия общ подход към темата. В други произведения той се занимаваше много ясно и точно с отношения на еквивалентност, набори от дялове, т.е.хомоморфизми и автоморфизми (за историята на отношенията на еквивалентност, виж Асхари 2018). По този начин много от обичайните теоретично настроени процедури от математиката на ХХ век се връщат към неговата работа. Няколко години по-късно (през 1888 г.) Дедекинд ще публикува презентация на основните елементи на теорията на множествата, правейки само малко по-ясни операциите върху множества и карти, които използва от 1871 г.

На следващата година Дедекинд публикува документ [1872], в който предоставя аксиоматичен анализ на структурата на множеството (mathbf {R}) на реални числа. Той го определи като подредено поле, което също е пълно (в смисъл, че всички Dedekind-разрези на (mathbf {R}) съответстват на елемент в (mathbf {R})); пълнотата в този смисъл има следствие от Архимедовата аксиома. Cantor също даде дефиниция на (mathbf {R}) през 1872 г., използвайки Коши последователности от рационални числа, което беше елегантно опростяване на определението, предлагано от Карл Вайерщрас в неговите лекции. Формата на аксиома за пълнота, която Вайерщрас предпочита, беше принципът на Болцано, че последователност от вложени затворени интервали в (mathbf {R}) (последователност такава, че ([a_ {m + 1}, b_ {m + 1}]) подмножество [a_ {m}, b_ {m}])) „съдържа“поне едно реално число (или, както бихме казали,има непразна пресечка).

Определенията на Cantor и Dedekind на реалните числа разчитат имплицитно на теорията на множествата и могат да се разглеждат ретроспективно, за да включват предположението на принципа на Power Set. И двамата приеха като зададен набор от рационални числа и за дефиницията на (mathbf {R}) разчитаха на определена съвкупност от безкрайни множества рационални числа (или съвкупността от последователности на Коши, или на всички съкращения на Дедекинд), С това също започна да се появява конструктивистична критика на теорията на множествата, когато Леополд Кронекер започна да прави възражения срещу подобни инфинитариални процедури. Едновременно с това започна проучване на топологията на (mathbf {R}), по-специално в работата на Weierstrass, Dedekind и Cantor. Зададеният теоретичен подход е използван и от няколко автори в областта на реалния анализ и комплексния анализ (например, Ханкел, Дю Боа-Реймънд, HJS Smith, U. Дини) и от Дедекинд в съвместна работа с Вебер (1882), пионерска алгебрична геометрия.

Произведените на Cantor набори представляват особен интерес (за контекста на тази идея в реалния анализ, вижте например, Dauben 1979, Hallett 1984, Lavine 1994, Kanamori 1996, Ferreirós 1999). Cantor прие като дадената „концептуална сфера“на реалните числа и считаше произволни подмножества (P), които той нарече „множества точки“. Реално число (r) се нарича гранична точка на (P), когато всички квартали на (r) съдържат точки от (P). Това може да се случи само ако (P) е безкраен. С тази концепция, поради Weierstrass, Cantor продължи да определя производното множество (P ') на (P) като множеството на всички гранични точки на (P). Като цяло (P ') може да е безкраен и да има свои собствени гранични точки (вижте книгата на Cantor в Ewald [1996, том 2, 840ff], esp. Стр. 848). По този начин човек може да повтори операцията и да получи допълнителни производни множества (P ''), (P '' ') … (P ^ {(n)}) … Лесно е да се дадат примери за набор (P), който ще породи непразни производни множества (P ^ {(n)}) за всички крайни (n). (По-скоро тривиален пример е (P = / mathbf {Q} _ {[0,1]}), набор от рационални числа в единичния интервал; в този случай (P '= [0,1] = P '').) По този начин човек може да определи (P ^ {(infty)}) като пресечната точка на всички (P ^ {(n)}) за краен (n). Това беше първата среща на Кантор с безкрайни повторения. Това беше първата среща на Кантор с безкрайни повторения. Това беше първата среща на Кантор с безкрайни повторения.

Тогава, в края на 1873 г., дойде изненадващо откритие, което напълно отвори царството на трансфинита. В кореспонденция с Дедекинд (виж Евалд 1996, том 2) Кантор зададе въпроса дали безкрайните множества (mathbf {N}) на естествените числа и (mathbf {R}) на реални числа могат да бъдат поставени в кореспонденция едно към едно. В отговор Дедекинд предложи изненадващо доказателство, че множеството (A) на всички алгебраични числа е безбройно (т.е. съществува кореспонденция едно към едно с (mathbf {N})). Няколко дни по-късно Кантор успя да докаже, че предположението, че (mathbf {R}) е безбройно, води до противоречие. За тази цел той използва принципа на завършеност на Bolzano-Weierstrass, споменат по-горе. По този начин той показа, че има повече елементи в (mathbf {R}), отколкото в (mathbf {N}) или (mathbf {Q}) или (A),в точния смисъл, че кардиналността на (mathbf {R}) е строго по-голяма от тази на (mathbf {N}).

2. Консолидация

Теорията на множествата започва да се превръща в съществена съставка на новия „модерен” подход към математиката. Но тази гледна точка беше оспорена и нейното консолидиране отне доста дълго време. Алгебричният стил на Дедекинд започва да намира последователи едва през 1890-те; Дейвид Хилбърт беше сред тях. Почвата беше по-добре подготвена за съвременните теории за реалните функции: италиански, немски, френски и британски математици допринесоха през 1880-те. А новите основополагащи възгледи са възприети от Пеано и неговите последователи, до известна степен от Фредж, от Хилберт през 1890-те и по-късно от Ръсел.

Междувременно Кантор прекара годините 1878 до 1885 г., публикувайки ключови произведения, които помогнаха да превърне теорията на множествата в автономен клон на математиката. Нека да напишем (A / equiv B), за да изразим, че двата множества (A), (B) могат да бъдат поставени в кореспонденция едно към едно (имат еднаква кардиналност). След като се докаже, че ирационалните числа могат да бъдат поставени в кореспонденция едно към едно с (mathbf {R}), и изненадващо, че също (mathbf {R} ^ {n} equiv / mathbf {R }), Cantor предполага през 1878 г., че всяко подмножество от (mathbf {R}) ще бъде или неизброимо ((equiv / mathbf {N})) или (equiv / mathbf {R}), Това е първата и най-слабата форма на прочутата хипотеза на континуума. През следващите години Cantor изследва света на точките, въвеждайки няколко важни топологични идеи (напр. Перфектен комплект, затворен набор, изолиран набор),и стигна до резултати като теоремата за Кантор-Бендикссон.

Точният набор (P) е затворен, ако неговият производен набор (P '\ subseteq P), и перфектният iff (P = P'). Тогава теоремата за Кантор-Бендикссон посочва, че набор от затворени точки може да бъде разложен на две подмножества (R) и (S), така че (R) е безброй и (S) е перфектен (наистина, (S) е (а) ^то получава на набор от (Р), за броимо редни (а)). Поради това се казва, че затворените множества имат свойството перфектно зададено. Освен това Кантор успя да докаже, че перфектните набори имат силата на континуума (1884). И двата резултата предполагаха, че хипотезата на континуума е валидна за всички набори от затворени точки. Много години по-късно, през 1916 г., Павел Александров и Феликс Хаусдорф успяват да покажат, че по-широкият клас комплекти Борел също има перфектното зададено свойство.

Работата му върху точките накара Cantor през 1882 г. да замисли трансграничните числа (вж. Ferreirós 1999: 267 ff). Това беше повратна точка в неговото изследване, тъй като оттогава нататък той изучава абстрактната теория на множествата независимо от по-конкретни въпроси, свързани с множествата точки и тяхната топология (до средата на 1880-те, тези въпроси бяха важни в дневния му ред). Впоследствие Кантор се съсредоточи върху трансфинитните кардинални и порядъчни числа и върху типовете от общ ред, независимо от топологичните свойства на (mathbf {R}).

Трансфинитните наредби са въведени като нови числа във важен математико-философски труд от 1883 г., Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (забележете, че Cantor все още използва термина Mannigfaltigkeit на Риман или „многообразие“, за да обозначава множествата). Cantor ги дефинира с два "генериращи принципа": първият (1) дава правоприемник (a + 1) за всяко число (a), докато вторият (2) предвижда, че има число (b), което следва веднага след дадена последователност от числа без последен елемент. По този начин, след като всички крайни числа идват, чрез (2), първото трансфинитно число, (omega) (четете: омега); и това е последвано от (omega + 1), (omega + 2), …, (omega + / omega = / omega / cdot 2), …, (omega / cdot n), (omega / cdot n +1), …, (omega ^ {2}), (omega ^ {2} +1), …, (omega ^ { omega }),… И така нататък и нататък. Всеки път, когато се появи последователност без последен елемент, човек може да продължи и, така да се каже, да скочи на по-висок етап чрез (2).

Въвеждането на тези нови номера изглеждаше като празни спекулации за повечето му съвременници, но за Кантор те изпълняваха две много важни функции. За тази цел той класифицира трансфинитните наредби по следния начин: „първият числов клас“се състои от крайните наредби, множеството (mathbf {N}) от естествени числа; "вторият числов клас" е образуван от ω и всички числа след него (включително (omega ^ { omega}) и много други), които имат само безброй набор от предшественици. Това решаващо условие бе предложено от проблема за доказване на теоремата на Кантор-Бендикссон (виж Ferreirós 1995). Въз основа на това Кантор може да установи резултатите, че кардиналността на „втория клас на числата“е по-голяма от тази на (mathbf {N}); и че няма междинна кардиналност. По този начин, ако пишете (textit {card} (mathbf {N}) = / aleph_ {0}) (прочетете:алеф нула), неговите теореми оправдаха наричайки кардиналността на „втория числов клас“(aleph_ {1}).

След втория клас на числата идва „трети клас от числа“(всички трансинитни наредби, чийто набор от предшественици има кардиналност (aleph_ {1})); кардиналността на този нов клас на числа може да бъде доказана като (aleph_ {2}). И така нататък. Следователно първата функция на трансфинитните наредби беше да установят добре дефиниран мащаб на увеличаващи се трансфинитни кардиналности. (Използваната по-горе нотация на алеф е въведена от Cantor едва през 1895 г.) Това дава възможност да се формулира много по-точно проблема на континуума; Хипотезата на Кантор стана хипотезата, че (textit {card} (mathbf {R}) = / aleph_ {1}). Освен това, разчитайки на трансфинитните наредби, Кантор успя да докаже теоремата за Кантор-Бендикссон, като закръгли резултатите по точките, които той разработва през тези решаващи години. Теоремата на Кантор-Бендикссон гласи:затворените множества от (mathbf {R} ^ n) (обобщаващо на полски пространства) имат перфектното зададено свойство, така че всеки затворен набор (S) в (mathbf {R} ^ n) може да бъде написани уникално като разединителен съюз на перфектен набор (P) и счетлив набор (R). Нещо повече, (P) е (S ^ α) за α счетлив порядък.

Проучването на трансфинитните наредби насочи вниманието на Кантор към подредените множества и по-специално добре подредените множества. Набор (S) е добре подреден от отношение <iff <е общ ред и всеки подмножество от (S) има най-малко елемент в <-подреждането. (Реалните числа не са добре подредени в обичайния им ред: просто помислете за отворен интервал. Междувременно, (mathbf {N}) е най-простият безкрайно добре подреден набор.) Кантор твърди, че транфинитираните наредби наистина заслужават име на номера, тъй като те изразяват „типа ред“на всеки възможен добре подреден набор. Забележете също, че за Cantor беше лесно да посочи как да пренареди естествените числа, така че да съответстват на видовете поръчки (omega + 1), (omega + 2), …, (omega / cdot 2), …, (omega / cdot n), …, (omega ^ 2), …, (omega ^ { omega}), … и така нататък.(Например, пренареждане (mathbf {N}) във формата: 2, 4, 6,…, 5, 15, 25, 35,…, 1, 3, 7, 9,…, получаваме набор, който има тип поръчка (omega / cdot 3).)

Забележете също, че хипотезата на континуума, ако е вярна, би довела до това, че множеството (mathbf {R}) на реални числа наистина може да бъде добре подредено. Кантор беше толкова отдаден на тази гледна точка, че той представи по-нататъшната хипотеза, че всеки набор може да бъде добре подреден като „основен и съществен закон на мисълта“. Няколко години по-късно Хилберт обърна внимание както на хипотезата на континуума, така и на проблема с подреждането като проблем 1 в своя знаменит списък на „Mathematische Probleme“(1900). Това беше интелигентен начин да се подчертае значението на теорията на множествата за бъдещето на математиката и ползотворността на новите й методи и проблеми.

През 1895 и 1897 г. Кантор публикува последните си две статии. Те бяха добре организирано представяне на резултатите от него относно трансграничните числа (кардинали и ординали) и тяхната теория, а също и за видовете поръчки и добре подредените комплекти. Тези документи обаче не изнесоха значителни нови идеи. За съжаление Кантор се съмняваше в подготвена от него трета част, която би обсъдила много важни въпроси, свързани с проблема с доброто подреждане и парадоксите (виж по-долу). Изненадващо, Кантор също не успя да включи в документите от 1895/97 г. теорема, която беше публикувал преди няколко години, която е известна просто като теорема на Кантор: предвид всеки набор (S), съществува друг набор, чиято кардиналност е по-голяма (това е набора на мощност (mathcal {P} (S)), както казваме сега - Cantor използва вместо това набора от всички функции на формата (f):(S / rightarrow {0, 1 }), което е еквивалентно). В същата кратка статия (1892 г.) Кантор представи своето прочуто доказателство, че (mathbf {R}) е неизброим чрез метода на диагонализация, метод, който след това разширява, за да докаже теоремата на Кантор. (Свързана форма на аргументи се появи по-рано в работата на P. du Bois-Reymond [1875], виж сред други [Wang 1974, 570] и [Borel 1898], бележка II.)

Междувременно други автори изследваха възможностите, открити от теорията на множествата за основите на математиката. Най-важен е приносът на Дедекинд (1888 г.) с дълбоко представяне на теорията за естествените числа. Той формулира някои основни принципи на теорията на множествата (и картографирането); даде аксиоми за естествената система с числа; доказа, че математическата индукция е категорична и рекурсивните определения са безупречни; разработи основната теория на аритметиката; въведе крайните кардинали; и доказа, че неговата аксиомна система е категорична. Системата му имаше четири аксиоми. Като се има предвид функция φ, дефинирана на (S), набор (N / подсектор S) и отличен елемент (1 / в N), те са както следва:

) начало {подравняване} маркер {α} & / phi (N) подмножество N \\ / маркер {β} & N = / phi_ {o} {1 } / \ таг {γ} & 1 / не / в / phi (N) / \ маркер {δ} & / textrm {функцията} phi / textrm {е инжективен.} край {подравняване})

Условието (β) е от решаващо значение, тъй като осигурява минималност за множеството естествени числа, което отчита валидността на доказателствата чрез математическа индукция. (N = / phi_ {o} {1 }) се чете: (N) е веригата на сингъл {1} при функция φ, тоест минималното затваряне на {1} под функцията φ. Като цяло човек разглежда веригата на множество (A) под произволно картографиране γ, обозначена с (gamma_ {o} (A)); в своята книжка Дедекинд разработи интересна теория за такива вериги, която му позволи да докаже теоремата на Кантор-Бернщайн. По-късно теорията е обобщена от Цермело и приложена от Сколем, Куратовски и т.н.

В следващите години Джузепе Пеано се занимава с по-повърхностно (но също така и по-известно) отношение към естествените числа, използвайки новия символичен език на логиката и Готлоб Фреге разработва свои собствени идеи, които обаче стават плячка за парадоксите. Важна книга, вдъхновена от теоретично зададения стил на мислене, е Grundlagen der Geometrie (1899) на Хилберт, която предприема „математиката на аксиомите“една крачка отвъд Дедекинд чрез богато проучване на геометрични системи, мотивирано от въпроси за независимостта на неговите аксиоми. Книгата на Хилберт изясни новата аксиоматична методология, която се оформяше във връзка с новите методи на теорията на множествата и той я комбинира с аксиоматичните тенденции, идващи от проективната геометрия.

Въпреки това, както казахме преди, имаше доста критики към теоретично настроените, инфинитаристични методи. Още през 1870 г. Кронекер започна да изказва критични забележки за конструктивист, който много години по-късно ще бъде озвучен от видни мислители като Брауер или Витгенщайн. Критичната ориентация на Кронекер посочи начина на отказ от реалната система от числа и класическия анализ, в полза на някаква по-строга форма на анализ - примери от ХХ век за това би бил предикативен анализ (Х. Вейл, изграден върху основни понятия на Поанкаре, вж. Feferman 1988) и интуиционистичен анализ (Brouwer). Дори Вайерштрас имаше възражения (поне през 1874 г.) срещу идеята за разграничаване на размерите на безкрайността и това на лицето на доказателствата на Кантор. Примерите изобилстват,и така през 1900 г. много математици изразиха съмнения относно ключови идеи и методи на теорията на множествата. Случаят с прототип е Е. Борел, който след въвеждането на идеите на Кантор във Франция [1898] става все по-подозрителен към теорията на множествата (петте писма, разменени от него и Байер, Лебег, Хадамар през 1905 г., стават известни; вж. Евалд [1996 г.), том 2]). Но има и случаи на Поанкаре, Уейл, Сколем и т.н. Сред философите най-яркият пример е Витгенщайн, който осъди теорията на множествата за надграждане на "глупостите" на фиктивната символика, предлагайки "грешна образност" и т.н. Хадамар през 1905 г. стават известни; виж Ewald [1996, кн. 2]). Но има и случаи на Поанкаре, Уейл, Сколем и т.н. Сред философите най-яркият пример е Витгенщайн, който осъди теорията на множествата за надграждане на "глупостите" на фиктивната символика, предлагайки "грешна образност" и т.н. Хадамар през 1905 г. стават известни; виж Ewald [1996, кн. 2]). Но има и случаи на Поанкаре, Уейл, Сколем и т.н. Сред философите най-яркият пример е Витгенщайн, който осъди теорията на множествата за надграждане на "глупостите" на фиктивната символика, предлагайки "грешна образност" и т.н.

3. Критичен период

В края на деветнадесети век беше широко разпространена идеята, че чистата математика не е нищо друго освен сложна форма на аритметика. По този начин беше обичайно да се говори за "аритметизацията" на математиката и как тя доведе до най-високите стандарти за строгост. С Дедекинд и Хилберт тази гледна точка доведе до идеята за заземяване на цялата чиста математика в теорията на множествата. Най-трудните стъпки при създаването на тази гледна точка бяха установяването на теория за реалните числа и теоретично зададено намаление на естествените числа. И двата проблема бяха решени от работата на Кантор и Дедекинд. Но точно когато математиците празнуваха, че най-накрая е постигната „пълна строгост“, възникнаха сериозни проблеми за основите на теорията на множествата. Първо Кантор, а след това Ръсел откри парадоксите в теорията на множествата.

Кантор беше доведен до парадоксите, като въведе „концептуалната сфера“на безкрайните числа. Всеки трансфинитен порядък е типът ред на множеството на неговите предшественици; например, ω е типът на поръчката ({0, 1, 2, 3, / ldots }), а (omega + 2) е типът на поръчката на ({0, 1, 2, 3, / ldots, / omega, / omega +1 }). По този начин, на всеки първоначален сегмент от поредицата порядки, има непосредствено по-голям порядък. Сега „цялата поредица“от всички безкрайни наредби ще образува добре подреден набор и към него ще отговаря нов порядъчен номер. Това е неприемливо, тъй като този порядък (o) трябва да е по-голям от всички членове на „цялата серия“и по-специално (o <o). Обикновено това се нарича парадокс Бурали-Форти или парадокс на ординарците (въпреки че самият Бурали-Форти не успя да го формулира ясно, т.е.виж Moore & Garciadiego 1981).

Въпреки че е възможно Кантор да е открил този парадокс още през 1883 г., веднага след въвеждането на трансграничните наредби (за аргументи в полза на тази идея виж Purkert & Ilgauds 1987 и Tait 2000), доказателствата ясно показват, че това е било едва през 1896 г. / 97, че той намира този парадоксален аргумент и осъзнава неговите последици. По това време той също беше в състояние да използва теоремата на Кантор, за да даде парадокса на Кантор или парадокса на алефите: ако съществуваше „набор от всички“кардинални числа (алефи), теоремата на Кантор, приложена към него, ще даде нов алеф (aleph), така че (aleph <\ aleph). Теоретикът на великия набор осъзнаваше отлично, че тези парадокси са били фатален удар върху „логичните” подходи към групи, предпочитани от Фреге и Дедекинд. Кантор подчертава, че възгледите му са „в диаметрално противопоставяне“на тези на Дедекинд, и по-специално на „наивното му предположение, че всички добре дефинирани колекции или системи също са„ последователни системи “(виж писмото до Хилберт, 15 ноември, 1899, в Purkert & Ilgauds 1987: 154). (Противно на твърдението, което често се твърди, двусмисленото определение на Кантор в неговия документ от 1895 г. е било предназначено да бъде "диаметрално противоположно" на разбирането на логистите за множествата - често наричани "наивна" теория на множествата, която по-правилно би могла да се нарече " дихотомия концепция на множествата, следвайки предложение на Гьодел.)(Противно на твърдението, което често се твърди, двусмисленото определение на Кантор в неговия документ от 1895 г. е било предназначено да бъде „диаметрално противоположно“на разбирането на логистите за множествата - често наричани „наивна“теория на множествата, която по-правилно би могла да бъде наречена „ дихотомия концепция на множествата, следвайки предложение на Гьодел.)(Противно на твърдението, което често се твърди, двусмисленото определение на Кантор в неговия документ от 1895 г. е било предназначено да бъде "диаметрално противоположно" на разбирането на логистите за множествата - често наричани "наивна" теория на множествата, която по-правилно би могла да се нарече " дихотомия концепция на множествата, следвайки предложение на Гьодел.)

Кантор смятал, че може да реши проблема с парадоксите, като разграничи „последователни множества“или множества и „непоследователни множества“. Но при липсата на изрични критерии за разграничението това беше просто словесен отговор на проблема. Осъзнавайки недостатъците в новите си идеи, Кантор никога не публикува последен документ, който подготвя, в който планира да обсъди парадоксите и проблема с доброто подреждане (ние доста добре знаем съдържанието на тази непубликувана книга, както обсъжда Кантор то в кореспонденция с Дедекинд и Хилберт; виж писмата от 1899 г. до Дедекинд в Кантор 1932 или Евалд 1996: том 2). Кантор представи аргумент, който разчита на парадокса „Бурали-Форти“на ординарките и има за цел да докаже, че всеки набор може да бъде добре подреден. По-късно този аргумент беше преоткрит от британския математик PEB Jourdain, но той е отворен за критика, тъй като работи с „непоследователни множества“(терминът на Кантор в горепосочените писма).

Парадоксите на Кантор убедиха Хилберт и Дедекинд, че има важни съмнения относно основите на теорията на множествата. Хилберт формулира свой парадокс (Peckhaus & Kahle 2002) и обсъжда проблема с математиците в своя кръг в Гьотинген. Ернст Цермело беше накаран да открие парадокса на „множеството“на всички множества, които не са членове на себе си (Rang & Thomas 1981). Това беше открито независимо от Бертран Ръсел, който беше воден до него чрез внимателно проучване на теоремата на Кантор, което противоречи дълбоко с вярата на Ръсел в универсален набор. Известно време, през юни 1902 г., той съобщава „противоречието“на Готлоб Фреге, който завършва собствената си логическа основа на аритметиката, в добре познато писмо [van Heijenoort 1967, 124]. Реакцията на Фрег много ясно показа дълбокото въздействие на това противоречие върху логистичната програма. „Мога ли винаги да говоря за клас, за разширяване на понятието? И ако не, как мога да знам изключенията? " Изправени пред това, „Не виждам как аритметиката може да бъде дадена научна основа, как числата могат да бъдат представени като логически обекти“(Frege 1903: 253).

Публикуването на том II на Grundgesetze на Frege (1903) и най-вече на работата на Russell The Principles of Mathematica (1903), направи математическата общност напълно наясно за съществуването на теоретично зададените парадокси, за тяхното въздействие и значение. Има доказателства, че дотогава дори Хилберт и Цермело не са оценили напълно щетите. Забележете, че парадоксът на Ръсел-Цермело оперира с много основни понятия-отрицание и задава концепции за членство, които широко се смятат за чисто логични. „Наборът“(R = {x: x / не / в x }) съществува според принципа на разбиране (който позволява на всяко отворено изречение да определи клас), но ако е така, (R / в R / textit {iff} R / не / в R). Това е пряко противоречие с принципа, предпочитан от Фреге и Ръсел.

Очевидно беше необходимо да се изяснят основите на теорията на множествата, но общата ситуация не направи тази лесна задача. Различните конкурентни гледни точки бяха широко различаващи се. Кантор имаше метафизично разбиране на теорията на множествата и макар да имаше една от най-острите гледки на полето, той не можа да предложи точна основа. Беше му ясно (както беше някак мистериозно на Ернст Шрьодер в неговия Vorlesungen über die Algebra der Logik, 1891), че човек трябва да отхвърли идеята за универсален комплект, предпочитан от Фреге и Дедекинд. Фреге и Ръсел основават своя подход на принципа на разбиране, който е показан противоречиво. Дедекинд избягва този принцип, но постулира, че Абсолютната Вселена е набор, „нещо“в неговия технически смисъл на Геданкединг;и той съчетава това предположение с пълно приемане на произволни подмножества.

Тази идея за допускане на произволни подмножества беше едно от дълбоките вдъхновения както на Кантор, така и на Дедекинд, но никой от тях не го теоретизира. (Тук съвременното им разбиране за анализ играе решаваща, но имплицитна основна роля, тъй като те работят в традицията на Дирихле-Риман за „произволни“функции.) Що се отнася до сега известната итеративна концепция, имаше някои елементи от нея (особено в работата на Дедекинд, с итеративното му развитие на числовата система и възгледите си за „системи“и „неща“), но явно отсъства от много от съответните автори. Обикновено, например, Кантор не повтаря процеса на формиране на множеството: той е склонен да разглежда набори от хомогенни елементи, елементи, които се приемат, че принадлежат „в някаква концептуална сфера“(или числа, или точки, или функции,или дори физически частици, но не се смесват). Итеративната концепция е предложена за първи път от Курт Гьодел през [1933 г.] във връзка с техническата работа на фон Нойман и Цермело няколко години по-рано; Гьодел би настоял за идеята в добре познатата си статия за проблема с континуума на Кантор. Той се появи едва след факт, след като бяха разработени и напълно систематизирани много значителни количества теория на множествата.

Това разнообразие от противоречиви гледни точки допринесе много за общото объркване, но имаше и повече. В допълнение към парадоксите, обсъдени по-горе (парадоксите от теоретичен набор, както казваме), списъкът на „логичните“парадокси включваше цял масив от други (наричани по-късно „семантични“). Сред тях са парадокси, дължащи се на Ръсел, Ричард, Кьониг, Бери, Грелинг и др., Както и древният парадокс на лъжеца, дължащ се на Епимениди. А диагнозите и предложените лечения за щетите бяха изключително разнообразни. Някои автори, като Ръсел, смятаха, че е от съществено значение да се намери нова логическа система, която да разреши всички парадокси наведнъж. Това го отвежда в теорията за разклонен тип, която е в основата на Principia Mathematica (3 тома, Уайтхед и Ръсел 1910-1913), съвместната му работа с Алфред Уайтхед. Други автори, като Zermelo,вярваше, че повечето от тези парадокси се разтварят веднага щом човек работи в ограничена аксиоматична система. Те се съсредоточиха върху „теоретично зададените“парадокси (както направихме по-горе) и бяха водени да търсят аксиоматични системи от теорията на множествата.

Още по-важното е, че въпросите, оставени отворени от Кантор и подчертани от Хилберт в първия му проблем от 1900 г., предизвикаха разгорещен дебат. На Международния конгрес на математиците в Хайделберг, 1904 г., Джула (Юлий) Кьониг предложи много подробно доказателство, че кардиналността на континуума не може да бъде нито един от алефовете на Кантор. Неговото доказателство беше само погрешно, защото се позова на резултат, преди това „доказан“от Феликс Бернщайн, ученик на Кантор и Хилберт. Отнеха няколко месеца на Феликс Хаусдорф да идентифицира недостатъка и да го коригира, като правилно посочи специалните условия, при които резултатът на Бернщайн е валиден (виж Hausdorff 2001, том 1). Веднъж коригирана по този начин, теоремата на Кьониг се превърна в един от малкото резултати, ограничаващи възможните решения на проблема с континуума, предполагайки напр.че (textit {card} (mathbf {R})) не е равно на (aleph _ { omega}). Междувременно Цермело успя да представи доказателство, че всеки набор може да бъде добре подреден, използвайки Axiom of Choice [1904]. През следващата година изтъкнати математици в Германия, Франция, Италия и Англия обсъждат Аксиомата на избора и неговата приемливост.

Axiom of Choice гласи: За всеки набор (A) от непразни множества съществува набор, който има точно един общ елемент с всеки набор в (A). Това започна цяла ера, през която Axiom of Choice се третира най-внимателно като съмнителна хипотеза (виж монументалното изследване на Moore 1982). И това е иронично, защото сред всички обичайни принципи на теорията на множествата, Axiom of Choice е единственият, който изрично налага съществуването на някои произволни подмножества. Но, тъй като тази идея е била в мотивирането на Cantor и Dedekind и колкото и да се заплита с класическия анализ, безкрайните произволни подмножества са отхвърлени от много други автори. Сред най-влиятелните в следващия период трябва да се наблегнат на имената на Ръсел, Херман Уейл и разбира се Брауър.

Изборът дълго време беше противоречива аксиома. От една страна, той е широко използван в математиката и всъщност е от ключово значение за много важни теореми на анализа (това стана ясно постепенно с произведения като Sierpiński [1918]). От друга страна, има доста неинтуитивни последици, като парадокса Банах-Тарски, който казва, че единичната топка може да бъде разделена на крайно много парчета (подмножества), които след това могат да бъдат пренаредени, за да образуват две единични топки (виж Tomkowicz & Wagon [2019]). Възраженията срещу аксиомата произтичат от факта, че тя твърди наличието на множества, които не могат да бъдат дефинирани изрично. През 20-те и 30-те години на миналия век съществува ритуалната практика да се споменава изрично, винаги, когато една теорема ще зависи от аксиомата. Това спря едва след доказателството на Гьодел за относителна последователност, разгледано по-долу.

Впечатляващата полемика, която заобикаляше теоремата му за подреждане и най-интересният и труден проблем, поставен от основите на математиката, накара Зермело да се концентрира върху теорията на аксиоматичните множества. В резултат на неговия инцизивен анализ, през 1908 г. той публикува своята аксиомна система, показваща как тя блокира известните парадокси и все пак позволява майсторско развитие на теорията на кардиналите и ординалите. Това обаче е темата на друг вход (за живота и делото на Цермело, виж Ebbinghaus [2015]).

4. От Цермело до Гьодел

В периода 1900-1930 г. рубриката „теория на множествата“все още се разбира, че включва теми в топологията и теорията на функциите. Въпреки че Кантор, Дедекинд и Цермело са оставили този етап зад себе си, за да се концентрират върху теорията на чистите множества, за математиците като цяло това ще отнеме много време. По този начин, на първия Международен конгрес на математиците, 1897 г., изказванията на Хадамар и Хървиц защитават теорията на множествата въз основа на нейното значение за анализа. Около 1900 г., мотивиран от аналитични теми, важна работа е извършена от трима френски експерти: Borel [1898], Baire [1899] и Lebesgue [1902] [1905]. Тяхната работа открива разработката на описателна теория на множествата чрез разширяване на проучванията на Кантор върху определяеми множества от реални числа (в които той установява, че хипотезата на континуума е валидна за затворени множества). Те въведоха йерархията на множествата на Борел, йерархията на функциите на Байер и концепцията за мярката на Лебег - решаваща концепция на съвременния анализ.

Описателната теория на множествата (DST) е изучаването на определени видове определяеми множества от реални числа, които се получават от прости видове (като отворените множества и затворените множества) чрез добре разбрани операции като допълване или проекция. Наборите Борел бяха първата йерархия на определяемите множества, въведена в книгата на Емил Борел от 1898 г.; те се получават от отворените набори чрез итерационно приложение на операциите на счетния съюз и допълване. През 1905 г. Лебегг изследва наборите на Борел в епохална мемоарност, като показва, че тяхната йерархия има нива за всички счетни ординарии и анализира функциите на Баир като аналогични на Бореловите набори. Основната цел на теорията на описателните множества е да се намерят структурни свойства, общи за всички такива определяеми множества: например, показано е, че множествата Borel имат перфектното свойство на множеството (ако не могат да се изчисляват,те имат перфектно подмножество) и по този начин да се съобразят с хипотезата на континуума (CH). Този резултат е установен през 1916 г. от Хаусдорф и от Александров, работещи независимо. Други важни „свойства на редовността“, изследвани в DST, са свойството да бъдат измерими в Lebesgue и така нареченото свойство на Baire (да се различава от отворения набор от така наречения оскъден набор или набор от първа категория).

Също така решаващо по онова време беше изследването на аналитичните множества, а именно непрекъснатите образи на множествата на Борел или еквивалентно проекциите на множествата на Борел. Младият руски математик Михаил Суслин намери грешка в мемоара на Лебег от 1905 г., когато разбра, че проекцията на набор от Борел изобщо не е Борел [Suslin 1917]. Въпреки това той успя да установи, че и аналитичните набори притежават свойството перфектно зададено множество и по този начин проверява СН. Към 1923 г. Николай Лусин и Вацлав Сирпински изучават съвместните аналитични набори и това трябва да ги доведе до нова йерархия на проективни набори, която започва с аналитичните множества ((Sigma ^ {1} _ {1})), техните допълнения (съвместно аналитични, (Pi ^ {1} _ {1}) множества), проекциите на тези последни ((Sigma ^ {1} _ {2}) множества), техните допълва ((Pi ^ {1} _ {2}) комплекти) и т.н. През 1920-те години се работи много по тези нови видове комплекти, главно от полски математици около Sierpiński и от руската школа на Lusin и неговите ученици. Решаващ резултат, получен от Сирпински, беше, че всеки набор от (Sigma ^ {1} _ {2}) е обединението на (aleph_ {1}) множества на Борел (същото важи за (Sigma ^ { 1} _ {1})), но този вид традиционно изследване по темата ще застой след около 1940 г. (виж Kanamori [1995]).

Скоро Лусин, Сирпински и техните колеги изпитваха изключителни трудности в работата си. Лусин беше толкова отчаян, че в статия от 1925 г. той стигна до „напълно неочакваното“заключение, че „човек не знае и никога няма да знае“дали проективните набори имат желаните свойства на редовност (цитирано в Kanamori 1995: 250). Подобни коментари са изключително интересни в светлината на по-късните разработки, които доведоха до хипотези, които решават всички релевантни въпроси (по-конкретно, проектна решителност). Те подчертават трудните методологически и философски въпроси, повдигнати от тези по-нови хипотези, а именно проблема относно вида на доказателствата, които ги подкрепят.

Лусин обобщи състоянието на техниката в своята книга от 1930 г. Leçons sur les ansambles analytiques (Париж, Готие-Вилърс), която трябваше да бъде основна справка за години напред. След тази работа стана обичайно да се представят резултати в DST за пространството на Байер (^ { omega}) (omega) безкрайни последователности от естествени числа, които в действителност бяха въведени от Рене Баир в хартия, публикувана през 1909 г. Пространството на Баир е надарено с определена топология, която го прави хомеоморфен към множеството от ирационални числа и се счита от експертите за „може би най-фундаменталният обект на изучаване на теорията на множествата“до множеството от естествени числа [Moschovakis 1994, 135].

Този поток от работа върху DST трябва да се отчете сред най-важните приноси на теорията на множествата за анализ и топология. Но това, което беше започнало като опит да се докаже хипотезата на континуума, не може да достигне тази цел. Скоро с помощта на Axiom of Choice е показано, че съществуват измерими набори от риалити от Lebesgue (Vitali 1905), както и неизчислими набори от риали без идеално подмножество (Bernstein 1908). Подобни резултати изясниха невъзможността за постигане на целта на СН чрез концентриране върху определяеми и „добре поддържани” набори от реални резултати.

Също така, с работата на Гьодел около 1940 г. (и също с форсирането през 60-те години на миналия век) стана ясно защо изследванията от 20-те и 30-те години на миналия век са в застой: основните нови резултати за независимост показват, че теоремите, установени от Суслин (перфектно зададено свойство за аналитични набори), Sierpinski ((Sigma ^ {1} _ {2}) определя като обединения на (aleph_ {1}) множества на Борел) и няколко други бяха най-добрите възможни резултати на базата на аксиома система ZFC. Това е важно философски: вече изследването на света от множества, които могат да се определят от отворените (или затворените) множества чрез допълване, счетливо съединение и проекция, беше достатъчно, за да достигне границите на ZFC системата. Оттук идва и необходимостта от нови аксиоми, които Гьодел подчертава след Втората световна война [Gödel 1947].

Нека сега се обърнем към другото основно наследство на Кантор, изследването на безкрайните числа. До 1908 г. Хаусдорф работи върху неизброими типове поръчки и въвежда обобщената хипотеза за непрекъснатост ((2 ^ { aleph_ {a}} = / aleph_ {a + 1})). Той беше и първият, който разгледа възможността за „прекомерен“кардинал, а именно слабо недостъпен, т.е. обикновен кардинал, който не е приемник (кардинал (alpha) се нарича редовен, ако се разлага (alpha) в сбор от по-малки кардинали изисква (alpha) - много такива числа). Няколко години по-късно, в началото на 10-те години на миналия век, Пол Махло изучава йерархии на толкова големи кардинали в работата, които създават пионер в това, което трябва да стане централна област на теорията на множествата; той получи поредица от недостъпни кардинали, като използва определена операция, която включва понятието за неподвижно подмножество; те се наричат Махло кардинали. Но изследването на големи кардинали се развива бавно. Междувременно учебникът на Хаусдорф Grundzüge der Mengenlehre (1914) въвежда две поколения математици в теорията на множествата и общата топология.

Следващите решаващи стъпки към „много високата“безкрайност са направени през 1930 г. Понятието за силно недостъпни кардинали е изолирано от Sierpiński & Tarski и от Zermelo [1930]. Силен недостъпен е обикновен кардинал (alpha) такъв, че (2 ^ x) е по-малък от (alpha) всеки път (x <\ alpha). Докато слабите недостъпни места включват само затваряне в рамките на операцията-приемник, силните недостъпни включват много по-силна представа за затваряне при работа на захранването. Същата година в прекъсваща пътека за модели на ZFC Zermelo [1930] установява връзка между неизчислимите (силно) недостъпни кардинали и някои „естествени“модели на ZFC (в работата си той предполагаше, че работата на захранването е, т.е. така да се каже, напълно детерминиране).

През същата година Станислав Улам беше воден от съображения, произтичащи от анализа (теорията на мерките), до концепция, която трябваше да стане централна: измерими кардинали. Оказа се, че такива кардинали, дефинирани от теоретично свойство на мярката, трябва да бъдат (силно) недостъпни. Всъщност много години по-късно ще бъде установено (от Ханф, работещ върху предишната работа на Тарски), че първият недостъпен кардинал не може да бъде измерим, което показва, че тези нови кардинали са били още по-„прекомерни“. Както се вижда, полската школа, ръководена от Sierpiński, имаше много централна роля в развитието на теорията на множествата между войните. Измеримите кардинали стигнаха до известна известност в края на 60-те години, когато стана ясно, че съществуването на измерим кардинал противоречи на аксиомата на Гьодел за конструктируемост ((V = L) в нотацията за клас). Това отново потвърди убежденията на Гьодел, изразени в това, което понякога се нарича „програма на Гьодел“за нови аксиоми.

Теоретично зададената математика продължи развитието си в мощния аксиоматичен и структурен подход, който трябваше да доминира голяма част от 20 ^-тавек. За да дам само няколко примера, ранната аксиоматична работа на Хилберт (напр. В неговите арх известни основи на геометрията) беше дълбоко теоретично зададена; Ернст Щайниц публикува през 1910 г. своите изследвания за абстрактната теория на полето, като използва съществено Аксиомата на избора; и приблизително по същото време проучването на функционалните пространства започва с работа на Хилберт, Морис Фречет и други. През 1920-те и 30-те години първото специализирано математическо списание Fundamenta Mathematicae е посветено на теорията на множествата, както се разбира тогава (централно включваща топологията и теорията на функциите). През тези десетилетия структурната алгебра нарасна, абстрактната топология постепенно се превръща в независим отрасъл на изследването и изучаването на теорията на множествата инициира своя метатеоретичен обрат.

Оттогава „теорията на множествата“обикновено се отъждествява с клона на математическата логика, който изучава трансфинитни множества, произхождащи от резултата на Cantor, че (mathbf {R}) има по-голяма кардиналност от (mathbf {N}), Но както показва горната дискусия, теорията на множествата е била едновременно ефект и причина за възхода на съвременната математика: следите от този произход са незаличимо отпечатани върху нейната аксиоматична структура.

библиография

Цитирани произведения

• Александров, Павел, 1916 г., „Sur la puissance des ans ansbles mesurables B“, Comptes Rendus Акад. Sci. Париж, 162: 323–325.
• Асгари, Амир, 2019, „Еквивалентност: опит за история на идеята”, Синтез, 196: 4657–4677.
• Baire, Рене, 1899, „Sur les fonctions de variables reelles“, Анали ди Математика Пура и приложение, Серия IIIa, кн. 3, с. 1–122.
• –––, 1909, „Sur la représentation des fonctions прекратява“, Acta Mathematica, 32: 97–176.
• Bernstein, Felix, 1908, „Zur Theorie der trigonometrischen Reihen“, Sitzungsberichte der Königlich Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Laipzig, Math.-Phys. Klasse, 60: 325–338.
• du Bois – Reymond, Paul, 1875, „Ueber asymptotische Werthe, infinitäre Approximationen und infinitäre Auflösung von Gleichungen“, Mathematische Annalen, 8: 363–414.
• Болцано, Бернар, 1851, Paradoxien des Unendlichen, Laipzig, Reclam; Английски превод Лондон, Routledge, 1920г.
• Borel, Émile, 1898, Leçons sur la théorie des fonctions, Париж, Gauthier-Villars. 4 ^-ти EDN 1950 с различни добавки.
• Cantor, Georg, 1872, „Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen“, Mathematische Annalen, 5: 123–132. В Кантор 1932: 92–102.
• –––, 1883, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Лайпциг: BG Teubner. В Кантор 1932: 165–208. Превод на английски в Ewald 1996: кн. 2.
• –––, 1884, „Über undndliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten, 6“, Mathematische Annalen, 23: 453–88. Препечатано в Cantor 1932: 210–244.
• –––, 1892, „Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre“, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, 1: 75–78. Препечатано в Cantor 1932: 278-280. Превод на английски в Ewald 1996: vol.2.
• –––, 1895/97, „Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre“, в Кантор 1932: 282–351. Превод на английски език в Кантор, Принос към основаването на теорията за безкрайните числа, Ню Йорк: Дувър, 1955 г.
• –––, 1932, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, E. Zermelo (съст.), Берлин: Springer. Препечатайте Хилдесхайм: Олмс, 1966г.
• Dauben, Joseph, 1979, Георг Кантор. Неговата математика и философия на безкрайността, Кеймбридж, МА: Harvard University Press.
• Dedekind, Richard, 1871, „Über die Komposition der binären quadratischen Formen“, допълнение X към GL Dirichlet & R. Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie, Braunschweig: Vieweg. [По-късни издания като допълнение XI, от които четвъртото е преиздадено в Ню Йорк: Челси, 1968.] Частично преиздаване в Дедекинд 1930/32: т.3, 223–261.
• –––, 1872, Stetigkeit und iracionalle Zahlen, Braunschweig: Vieweg. В Дедекинд 1930/32: том 3, 315–334. Превод на английски в Ewald 1996: кн. 2.
• –––, 1876/77, „Sur la théorie des nombres entiers algébriques“, Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, 1- ^ва поредица, XI (1876): 278–293; 2 ^-ра серия, I (1877): 17-41, 69-92, 144-164, 207-248. Отделно издание, Париж: Готие-Вилърс, 1977. Превод на английски от Дж. Стилъл: Теория на алгебраичните цели числа, Кеймбридж: Cambridge University Press, 2004.
• –––, 1888 г., sind und was sollen die Zahlen?, Брауншвайг: Vieweg. В Дедекинд 1930/32: кн. 3. Английски език в Евалд 1996: кн. 2.
• –––, 1930/32. Gesammelte mathematische Werke, R. Fricke, E. Noether & Ö. Руда (изд.), Брауншвайг: Vieweg, 3 кн. Преиздаване Ню Йорк: Челси, 1969.
• Dedekind, R. & Heinrich Weber, 1882, “Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen”, Journal für reine und angew. Математик, 92: 181–290; препечатано в Дедекинд 1930/32 (том 1), стр. 238–350; Превод на английски от Джон Стилъл, Теория на алгебраичните функции на една променлива, Провиденс: Американско математическо общество и Лондонското математическо общество, 2012.
• Ebbinghaus, HD, 2015, Ернст Цермело: Подход към живота и работата му, второ издание, Берлин: Springer Verlag.
• Евалд, Уилям Б., 1996, От Кант до Хилберт: Източник в основите на математиката, 2 тома, Оксфорд: Оксфордския университет прес.
• Feferman, Solomon, 1988, „Weyl оправдано: Das Kontinuum 70 години по-късно“, препечатано в светлината на логиката, Oxford: Oxford University Press, 1998, гл. 13.
• Ferreirós, José, 1995, „„ Какво ферментира в мен за години “: Откритие на Кантор за безкрайни числа“, Historia Mathematica, 22: 33–42.
• –––, 1999, Лабиринт на мисълта. История на теорията на множествата и нейната роля в съвременната математика, Базел: Биркяузер.
• Frege, Gottlob, 1903, Grundgesetze der Arithmetik, кн. 2, Йена: Поле. Препечатайте Хилдесхайм: Олмс, 1966г.
• Gödel, Kurt, 1933, „Настоящата ситуация в основите на математиката“, в S. Feferman et al. (редакции), Събрани произведения, кн. 3, Oxford University Press, стр. 45–53.
• –––, 1947 г., „Какъв е проблемът на Кантор с непрекъснатостта?“, American Mathematical Monthly, 54. Reprinted in S. Feferman et al. (редакции), Събрани произведения, кн. 2, Oxford University Press, стр. 176–187.
• Hallett, Michael, 1984, Cantorian Set Theory and Limit of Size, Oxford: Clarendon.
• Hausdorff, Felix, 1914, Grundzüge der Mengenlehre, Лайпциг: Виет. Препечатано Ню Йорк: AMS Chelsea Publishing, 1949. Препечатано като том II на Хаусдорф 2001–. Третото издание (1937 г.) е преведено на английски, 1957 г., Теория на множествата, Ню Йорк: AMS Chelsea Publishing. онлайн сканиране на Hausdorff 1914.
• –––, 1916, „Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen“, Mathematische Annalen, 77 (3): 430–437. В Hausdorff [2001-], кн. 3. doi: 10.1007 / BF01475871
• –––, 2001–, Gesammelte Werke, 9 тома, Е. Brieskorn, W. Purkert, U. Felgner, E. Scholz et al. (ред.), Берлин: Спрингер.
• van Heijenoort, Jean, 1967, От Frege до Gödel: Книга-източник по математическа логика, 1879–1931, Cambridge, MA: Harvard University Press. Препечатайте като меки корици, 2000 г.
• Kanamori, Akihiro, 1995, „Възникване на описателна теория на множествата“, Synthese, 251: 241–262.,
• –––, 1996, „Математическото развитие на теорията на множествата от Кантор до Коен”, Бюлетин на символичната логика, 2: 1–71.
• Lavine, Shaughan, 1994, Understanding the Infinite, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Lebesgue, Анри, 1902 г., “Intégrale, longueur, aire”, Анали ди Математика Пура и Приложение, 7 (1): 231–359.
• –––, 1905, „Sur les fonctions represéntables analytiquement“, Journal de Mathématiques, (6e serie), 1: 139–216.
• Лусин, Николай, 1925 г., „Sur les ansambles projectifs de M. Lebesgue”, Comptes Rendus Акад. Scie. Париж, 180: 1572–74.
• –––, 1930, Leçons sur les Ensembles Analytiques et leurs Applications, с предговор от Lebesgue и бележка на Sierpinski, Париж: Gauthier-Villars.
• Манкосу, Паоло, 2009 г., „Измерване на размера на безкрайните колекции от естествени числа: Теорията на Кантор за безкрайното число неизбежна ли е?“, Прегледът на символичната логика, 2 (04): 612 - 646.
• Moore, Gregory H., 1982, Axiom of Choice на Zermelo. Нейният произход, развитие и влияние, Берлин: Springer.
• Moore, Gregory H. & A. Garciadiego, 1981, „Парадоксът на Бурали-Форти: Преоценка на неговия произход“, Historia Mathematica, 8: 319–50.
• Moschovakis, Yiannis N., 1994, Set Theory Notes, New York: Springer.
• Peckhaus, Volker & R. Kahle, 2002, „Парадокс на Хилберт“, Historia Mathematica, 29 (2): 157–175.
• Purkert, Walter & HJ Ilgauds, 1987, Georg Cantor 1845–1918, Базел: Birkhäuser.
• Rang, Bernhard & W. Thomas, 1981, „Откритие на Цермело на„ Парадокса на Ръсел ““, Historia Mathematica, 8: 15–22.
• Riemann, Bernhard, 1854 / 1868a, „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“(Habilitationsvotrag), Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1868): 133–152. В Риман 1892: 272–287. Превод на английски от Clifford, препечатан в Ewald 1996: кн. 2.
• –––, 1854 / 1868b, „Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe“, (Habilitationsschrift), Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1868): 87–132. В Риман 1892: 227–265.
• –––, 1892, Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass, H. Weber и R. Dedekind (ред.), Лайпциг, Teubner. Препечатано (заедно с Nachträge), M. Noether и W. Wirtinger (ред.), Ню Йорк: Дувър, 1953.
• Ръсел, Бертран, 1903, Принципите на математиката, Кеймбридж, University Press. Преиздаване на ^{второто} издание (1937): Лондон: Allen & Unwin, 1948.
• Sierpiński, Waclav, 1918, "L'axiome de M. Zermelo et son rôle dans la théorie des ansambles et l'analyse", Bulletin de l'Académie des Sciences de Cracovie (Cl. Sci. Math. A), 99–152; препечатани в Sierpiński, Oeuvres choisies, S. Hartman и др. (изд.), том 2, Warszawa: Editions scientifiques de Pologne, 1974.
• Sierpiński, Waclav & Alfred Tarski, 1930, „Sur une propriété caractéristique des nombres nedocessses“, Fundamenta Mathematicae, 15: 292–300.
• Steinitz, Ernst, 1910, “Algebraische Theorie der Körper”, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 137: 167–309.
• Суслин, Михаил Я., 1917 г., „Sur une définition des ans ansbles merableable B sans nombres transfinis“, Comptes Rendues Acad. Sci. Париж, 164: 88–91.
• Tomkowicz, G., and Wagon, S., 2019, Парадоксът Банах-Тарски, второ издание, Cambridge: Cambridge University Press.
• Vitali, G., 1905, Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta, Bologna: Gamberini e Parmeggiani.
• Уайтхед, Алфред Н. и Бертран Ръсел, 1910–1913, Principia Mathematica, 3 тома, Cambridge: Cambridge University Press.
• Tait, William W., 2000, „Грюндлагенът на Кантор и парадоксите на теорията на множествата“, между логиката и интуицията: есета в чест на Чарлз Парсънс, Г. Шер и Р. Тизен (редактори), Кеймбридж: Cambridge University Press, pp. 269-290. Препечатано в неговия „Прованс на чистата причина“, Oxford: Oxford University Press, 2005, стр. 252-275.
• Wang, Hao, 1974, „Концепцията за множеството“, в „От математика до философия“, Лондон, Routledge; препечатано в P. Benacerraf & H. Putnam, Философия на математиката: избрани четения, Cambridge Univ. Преса, 1983, 530–570.
• Zermelo, Ernst, 1904, „Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann“, Mathematische Annalen, 59: 514–516; в Zermelo [2010], кн. 1, 80–119. Превод на английски на van Heijenoort 1967 („Доказателство, че всеки комплект може да бъде добре поръчан“).
• –––, 1908 г., „Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre“, Mathematische Annalen, 65: 261–281;; в Zermelo [2010], кн. 1, 160–229. Превод на английски в van Heijenoort 1967 („Изследвания в основите на теорията на множествата I“).
• –––, 2010–2011, Събрани съчинения / Gesammelte Werke, Vol. I и II, H.-D. Ebbinghaus et al. (изд.), Springer: Berlín,

Допълнителна информация

• Cavaillès, Jean, 1962 г., Philosophie mathématique, Париж: Hermann.
• Ебингхаус, Хайнц-Дитер, 2007, Ернст Цермело: Подход към живота му творба, Ню Йорк: Спрингер.
• Fraenkel, Abraham, 1928, Einleitung in die Mengenlehre, 3 ^-то изд. Берлин: Спрингер
• Grattan-Guinness, Ivor (съст.), 1980 г., Изчисляването до теорията на множествата, 1630–1910 г., Лондон: Duckworth.
• Kanamori, Akihiro, 2004, “Zermelo и теория на множествата”, Бюлетин на символичната логика, 10 (4): 487–553.
• –––, 2007, „Теория на Гьодел и множества“, Бюлетин на символната логика, 13 (2): 153–188.
• –––, 2008, „Теория на Коен и множества“, Бюлетин на символичната логика, 14 (3): 351–378.
• –––, 2009, „Теория на Бернаис и множества“, Бюлетин на символичната логика, 15 (1): 43–60.
• Maddy, Penelope, 1988, „Вярвайки на аксиомите“, Journal of Symbolic Logic, 53 (2): 481–511; 53 (3): 736–764.
• Вагон, Стан, 1993 г., Парадоксът Банах-Тарски, Кеймбридж: University Press.

Академични инструменти

	Как да цитирам този запис.
	Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
	Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
	Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси

• История на теорията на множествата, от JJ O'Connor и EF Robertson, в архива на MacTutor History of Mathematics. Обърнете внимание, че в някои моменти тяхната реконструкция противоречи на предоставената тук.
• Програма на Годел (PowerPoint), интересна беседа на Джон Р. Стийл (Математика, UC / Бъркли).
• Начална страница за избор на аксиома, поддържан от Ерик Шехтер (Математика, Университета Вандербилт).