Съвременен произход на модалната логика

2023 Автор: Noah Black | [email protected]. Последно модифициран: 2023-08-25 04:38

Навигация за влизане

• Съдържание за участие
• библиография
• Академични инструменти
• Friends PDF Preview
• Информация за автора и цитирането
• Върнете се в началото

Съвременен произход на модалната логика

За първи път публикуван вторник, 16 ноември 2010 г.; съществена ревизия пн 8 май 2017 г.

Модалната логика може да се разглежда широко като логика на различни видове модалности или режими на истината: алетична („задължително“), епистемична („това е известно“), деонтична („трябва да е така“), или временна („така е било“) сред другите. Общите логически характеристики на тези оператори оправдават общия етикет. В строгия смисъл, обаче, терминът „модална логика“е запазен за логиката на алетичните модалности, за разлика от времевата или деонтичната логика. От чисто техническа гледна точка всяка логика с неистински функционални оператори, включително логика от първи ред, може да се разглежда като модална логика: в тази перспектива количествените фактори също могат да се разглеждат като модални оператори (както в Монтегю 1960), Независимо от това, ние следваме традиционното разбиране на модалната логика, тъй като не включва пълна логика от първи ред. В тази перспектива модалните оператори могат да се разглеждат като ограничени квантори, които се простират от специални образувания като възможни светове или времеви инстанции. Артур Приор беше един от първите философи / логици, които подчертаха, че модалната система S5 може да бъде преведен във фрагмент от логика от първи ред, който той нарече „равномерно монадично предикатно смятане“(Prior и Fine 1977: 56). Монадик, тъй като за S5 не трябва да се посочват отношения между световете; и единна, тъй като е необходима само една променлива, за да се определи количеството над светове (инстанции), когато са свързани, и да се отнася до привилегированото състояние (действителния свят или сегашното време), когато е свободно (вж. Prior и Fine 1977). Относно техническия въпрос кои теоретико-моделни характеристики характеризират модалната логика, разбирана като добре поддържани фрагменти от логиката от първи ред, вижте „Модалната логика: семантична перспектива“(2007a) на Блекбърн и ван Бентхем.

Обхватът на този запис е скорошното историческо развитие на модалната логика, строго разбирана като логиката на необходимостта и възможността, и по-специално историческото развитие на системите на модалната логика, синтактично и семантично, от пионерската работа на CI Lewis, започваща през 1912 г., първите системи, създадени през 1918 г., към работата на С. Крипке в началото на 60-те години. В този кратък период от време, по-малко от петдесет години, модалната логика процъфтява както философски, така и математически. Математически бяха разработени различни модални системи и напредъкът в алгебрата помогна за насърчаване на теорията на модела за такива системи. Това завърши с разработването на формална семантика, която разшири до модална логика успешните теоретични техники от първи ред, като по този начин даде пълнота и възможност за разрешимост за много, но не всички системи. Философски, наличието на различни системи и възприемането на възможните светове за моделно-теоретична семантика бяха естествено придружени от размисли за естеството на възможността и необходимостта, за отделните видове необходимости, за ролята на формалната семантика и за естеството на възможните светове, да споменем само няколко. По-специално, наличието на различни системи извежда на преден план философският въпрос коя модална логика е правилната, при някаква преднамерена интерпретация на модалните оператори, например като логическа или метафизична необходимост. Quine настоятелно повдига въпроси относно интерпретативността на модалната логика, особено количествено определената модална логика. Всички тези въпроси не се разглеждат в този запис, който е посветен най-вече на официалното развитие на темата.наличието на различни системи и възприемането на възможните светове за моделно-теоретична семантика естествено бяха придружени от размисли за естеството на възможността и необходимостта, за отделните видове необходимости, за ролята на формалната семантика и за естеството на възможните светове, да спомена само няколко. По-специално, наличието на различни системи извежда на преден план философският въпрос коя модална логика е правилната, при някаква преднамерена интерпретация на модалните оператори, например като логическа или метафизична необходимост. Quine настоятелно повдига въпроси относно интерпретативността на модалната логика, особено количествено определената модална логика. Всички тези въпроси не се разглеждат в този запис, който е посветен най-вече на официалното развитие на темата.наличието на различни системи и възприемането на възможните светове за моделно-теоретична семантика естествено бяха придружени от размисли за естеството на възможността и необходимостта, за отделните видове необходимости, за ролята на формалната семантика и за естеството на възможните светове, да спомена само няколко. По-специално, наличието на различни системи извежда на преден план философският въпрос коя модална логика е правилната, при някаква преднамерена интерпретация на модалните оператори, например като логическа или метафизична необходимост. Quine настоятелно повдига въпроси относно интерпретативността на модалната логика, особено количествено определената модална логика. Всички тези въпроси не се разглеждат в този запис, който е посветен най-вече на официалното развитие на темата.

Модалната логика е богата и сложна тема. Този запис не представя цялостно проучване на всички разработени системи и на всички теоретични резултати от модела, доказани с течение на разглеждания период. Той обаче предлага смислено проучване на основните системи и има за цел да бъде полезен за онези, които търсят исторически очертания на темата, която, дори и да не е всеобхватна, очертава най-интересните теоретични резултати от модела и посочва допълнителни линии на изследване. Прието е полезното разделение на оригиналните източници на модалната логика на Bull and Segerberg (1984: 3) на три отделни традиции - синтактична, алгебрична и теоретична за модела. За други по-малко влиятелни традиции вижте Bull and Segerberg (1984: 16). Вижте също „Модална логика и философия“на Линдстрем и Сегерберг (2007). Основният акцент на този запис е върху предлаганата модална логика, докато се обсъждат само някои конкретни аспекти на семантиката на количествено определената модална логика. За по-подробно третиране на количествено определената модална логика, консултирайте се със записа SEP относно модалната логика. Относно нотацията на записа, забележете, че (Rightarrow) е приет на мястото на риболовната кука на Люис за строго въздействие и (Leftrightarrow) за строга еквивалентност.

• 1. Синтактичната традиция

  • 1.1 Системите на Lewis
  • 1.2 Други системи и алтернативни аксиоматизации на системите на Луис
• 2. Матричният метод и някои алгебраични резултати

• 3. Моделната теоретична традиция

  • 3.1 Карнап
  • 3.2 Семантика на възможните светове на Крипке

• библиография

  • Уводни текстове
  • Първична литература
  • Вторична литература
• Академични инструменти
• Други интернет ресурси
• Свързани записи

1. Синтактичната традиция

В пионерската статия от 1912 г. в „Съзнанието и алгебрата на логиката“CI Люис започна да изразява безпокойството си от така наречените „парадокси на материално значение“. Люис посочва, че в Principia Mathematica на Ръсел и Уайтхед откриваме две „стряскащи теореми: (1) фалшивото предложение предполага всяко предложение, и (2) истинското предложение се подразбира от всяко предложение“(1912: 522). В символи:

) етикет {1} neg p / rightarrow (p / rightarrow q))

и

) етикет {2} p / rightarrow (q / rightarrow p))

Люис няма възражения срещу тези теореми сами по себе си:

Те сами по себе си не са нито мистериозни поговорки, нито големи открития, нито груби абсурди. Те показват само с остри очертания значението на „подразбира“, което е включено в алгебрата. (1912: 522)

Теоремите обаче са недостатъчни по отношение на предвидения смисъл на „импликацията“и на нашите реални начини на извод, които намереният смисъл се опитва да улови. Така че Люис има предвид предвиденото значение за условното съединител (rightarrow) или (supset), и това е значението на английската дума "предполага". Значението на „предполага“е това „на обикновения извод и доказателство“(1912: 531), според което предложение предполага друго предложение, ако второто може да бъде логично изведено от първото. Като се има предвид такова тълкуване, (1) и (2) не би трябвало да са теореми, а логиката на предложенията може да се разглежда като неразбрана по отношение на четенето на (rightarrow) като логично значение. Помислете (2) например:от чистата истина на предложение (p) не (логично) следва, че (p) следва логично от каквото и да е предложение. Освен това, като се има предвид предвиденото, стриктно четене на (rightarrow) като логично значение и еквивалентността на ((neg p / rightarrow q)) и ((p / vee q)), Люис заключава, че дизъюнкцията също трябва да се придаде нов интензивен смисъл, според който ((p / vee q)) има право само в случай, че ако (p) не беше така, би трябвало да бъде така, че (q).

Такива съображения, основаващи се на разграничението между разширения и интензивни четения на съединителите, не бяха оригинални за Люис. Още през 1880 г. Хю Маккол в първата от поредица от осем доклада за символичното разсъждение, публикуван в Mind, твърди, че ((p / rightarrow q)) и ((neg p / vee q)) не са еквивалентни: ((neg p / vee q)) следва от ((p / rightarrow q)), но не и обратното (MacColl 1880: 54). Това е така, защото MacColl интерпретира (vee) като редовно разширение на разширението, а (rightarrow) като интензивна импликация, но след това от лъжливостта на (p) или истината на (q) това не следва, че (p) без (q) логично е невъзможно. Във втория документ от поредицата MacColl разграничава сигурността, възможностите и променливите изявления, т.е.и въвежда гръцки букви като индекси за класифициране на предложенията. Така (alpha ^ { varepsilon}) изразява, че (alpha) е сигурност, (alpha ^ { eta}), че (alpha) е невъзможност, и (алфа ^ { theta}), че (alpha) е променлива, т.е. нито сигурност, нито невъзможност (MacColl 1897: 496–7). Използвайки тази тройна класификация на изявленията, MacColl продължава да прави разлика между причинно-следствената и общата импликация. Причинно-следственото въздействие има между изразите (alpha) и (beta), ако винаги, когато (alpha) е вярно (beta) е вярно, и (beta) не е сигурност. Общо значение има между (alpha) и (beta) винаги, когато (alpha) и не (- / beta) е невъзможно, следователно по-специално, когато (alpha) е невъзможност или (beta) сигурност (1897: 498). Използването на индекси отвори вратата за повторение на модалностите и началото на третата книга от поредицата (MacColl 1900: 75–6) е посветена на изясняване значението на изявленията с повторени индекси, включително (tau) за истина и (iota) за отрицание. Така например (A ^ { eta / iota / varepsilon}) се чете като "Сигурно е, че е невярно, че A е невъзможно" (имайте предвид, че индексите се четат от дясно на ляво). Интересно е, че прегледът на Бертран Ръсел от 1906 г. на книгата на MacColl Symbolic Logic и нейните приложения (1906) разкрива, че Ръсел не е разбрал модалната идея за променливостта на предложението, следователно погрешно приписва на MacColl объркване между изречения и предложения, което позволява приписването на променливостта само на изречения, чието значение, следователно и стойност на истината, не беше фиксирано. По същия начин,сигурност и невъзможност са за Ръсел материални свойства на предложенията функции (вярно за всичко или за нищо), а не модални свойства на предложенията. Може да се каже, че работата на MacColl дойде твърде рано и падна на глухи уши. Всъщност Решер докладва за заявената трудност на Ръсел в разбирането на символиката на MacColl и по-важното е, че виждането на Russell за логиката има отрицателно въздействие върху развитието на модалната логика („Bertrand Russell and Modal Logic“в Rescher 1974: 85–96), Въпреки по-ранната работа на MacColl, Люис може да се счита за баща на синтактичната традиция, не само поради влиянието си върху по-късните логици, но особено поради въвеждането на различни системи, съдържащи новите интензивни съединители.

1.1 Системите на Lewis

В „Изчисляването на строгото импликация” (1914 г.) Люис предлага две възможни алтернативи на разширителната система на Уайтхед и Ръсел Principia Mathematica. Един от начините за въвеждане на система със строго въздействие се състои в премахване от системата на онези теореми, които като (1) и (2) по-горе са верни само за материално значение, но не и за строго въздействие, като по този начин се получава звукова система както за материал, така и за строго значение, но в нито един случай не е пълно. Втората, по-ползотворна алтернатива се състои във въвеждането на нова система със строги последици, все още моделирана върху системата на Уайтхед и Ръсел от материално значение, която ще съдържа (изцяло или част от) логика на предложението като подходяща част, но стремеж към пълнота поне за строго значение. Този втори вариант е доразвит в „Проучване на символичната логика“(1918 г.). Там Люис въвежда първа система, предназначена да улови обикновеното, строго усещане за импликация, ръководено от идеята, че:

Освен ако „предполага“има някакво „правилно“значение, няма критерий за валидност, няма възможност дори да се аргументира въпросът дали има такъв или не. И все пак въпросът Какво е "правилното" значение на "предполага"? остава особено трудно. (1918: 325)

Системата от 1918 г. приема като примитивна представата за невъзможност ((neg / Diamond)), определя оператора на строго значение в нейните термини и все още използва оператор на интензивна дисункция. Пост обаче ще докаже, че тази система води до срив на необходимостта от истинност - алтернативно, до невъзможност за лъжливост - тъй като от една от нейните теореми (((p / Rightarrow q) Leftrightarrow (neg / Diamond q / Rightarrow / neg / Diamond p))) може да се докаже, че ((neg p / Leftrightarrow / neg / Diamond p)). През 1920 г., "Строго въздействие - изменение", Люис поправя системата, заменяща старата аксиома по-слабата: (((p / Rightarrow q) Rightarrow (neg / Diamond q / Rightarrow / neg / Diamond p))). И накрая, в Приложение II на обемната символична логика на Луис и Лангфорд (1932 г.:492–502) „Структурата на системата на строгото импликация“системата от 1918 г. получава нова аксиоматична основа.

В приложението от 1932 г. CI Люис представя пет различни системи. Модалният примитивен символ вече е операторът на възможност (Diamond), строго импликация ((p / Rightarrow q)) се определя като (neg / Diamond (p / wedge / neg q)), и (vee) е обикновена разширение на разширението. Операторът за необходимост (Box) също може да бъде въведен и дефиниран, въпреки че Люис не го прави по обичайния начин като (neg / Diamond / neg).

Когато (p, q) и (r) са променливи променливи, система S1 има следните аксиоми:

Аксиоми за S1

) начало {подравняване} маркер {B1} (p / клин q) & / Rightarrow (q / клин p) / \ маркер {B2} (p / клин q) & / Righttarrow p \\ / маркер {B3 } p & / Rightarrow (p / клин p) / \ маркер {B4} ((p / клин q) клин r) & / Rightarrow (p / клин (q / клин r)) / \ маркер {B5} p & / Rightarrow / neg / neg p \\ / tag {B6} ((p / Rightarrow q) wedge (q / Rightarrow r)) & / Rightarrow (p / Rightarrow r) / tag {B7} (p / wedge (p / Rightarrow q)) & / Righttarrow q \\ / end {align})

Аксиом В5 се оказа излишен от Маккинси (1934 г.) и по този начин може да бъде игнориран.

Правилата са (1932: 125–6):

Правила за S1

Еднообразно заместване

Валидната формула остава валидна, ако формулата е равномерно заместена в нея за предложена променлива.

Замяна на строги еквиваленти

Всяка от две строго еквивалентни формули може да бъде заменена една с друга.

Приспособяване

Ако (Phi) и (Psi) са направени, тогава (Phi / клин / Psi) може да се направи извод.

Строго заключение

Ако (Phi) и (Phi / Rightarrow / Psi) са направени, тогава (Psi) може да се направи извод.

System S2 се получава от System S1 чрез добавяне на това, което Люис нарича „постулат за последователност“, тъй като очевидно е валидно за (Diamond), интерпретиран като последователност:

) маркер {B8} Diamond (p / клин q) Rightarrow / Diamond p)

Система S3 се получава от система S1 чрез добавяне на аксиомата:

) маркер {A8} ((p / Rightarrow q) Rightarrow (neg / Diamond q / Righttarrow / neg / Diamond p)))

Система S3 съответства на системата от проучване от 1918 г., която Люис първоначално смята за правилната система за стриктно въздействие. До 1932 г. Люис е предпочел системата S2. Причината, както се съобщава в Lewis 1932: 496, е, че и Wajsberg, и Parry са получени в система S3 - в своята аксиоматизация от 1918 г. - следната теорема:

[(p / Rightarrow q) Rightarrow ((q / Rightarrow r) Rightarrow (p / Rightarrow r)),)

което според Луис не би трябвало да се разглежда като валиден принцип на приспадане. През 1932 г. Люис не е сигурен, че съмнителната теорема не може да бъде изведена в S2. Ако е така, той ще определи S1 като подходяща система за стриктно въздействие. Въпреки това, Пари (1934) по-късно ще докаже, че нито А8, нито

[(p / Rightarrow q) Rightarrow ((q / Rightarrow r) Rightarrow (p / Rightarrow r)))

може да се получи в S2.

Към всички тези системи може да се добави допълнителна аксиома за съществуване:

) маркер {B9} (съществува p, q) (neg (p / Rightarrow q) wedge / neg (p / Rightarrow / neg q)))

Добавянето на B9 прави невъзможно да се интерпретира (Rightarrow) като материално значение, тъй като в случай на материално въздействие може да се докаже, че за всякакви предложения (p) и (q, ((p / rightarrow q) vee (p / rightarrow / neg q))) (1932: 179). От B9 Люис изхожда от съществуването на поне четири логически различни предложения: едно вярно и необходимо, едно вярно, но не и необходимо, едно невярно и невъзможно, едно невярно, но не невъзможно (1932: 184–9).

Следвайки Бекер (1930), Люис разглежда още три аксиоми:

Три допълнителни аксиоми

) начало {подравняване} маркер {C10} нег / Диамант / нег & & Rightarrow / neg / Diamond / neg / neg / Diamond / neg p \\ / tag {C11} Diamond p & / Rightarrow / neg / Diamond / neg / Diamond p \\ / tag {C12} p & / Rightarrow / neg / Diamond / neg / Diamond p \\ / end {align})

Система S4 добавя аксиома C10 към основата на S1. Система S5 добавя аксиома C11 или алтернативно C10 и C12 към основата на S1. Люис завършва Приложение II, като отбелязва, че изучаването на логиката се обслужва най-добре, като се съсредоточи върху системи, по-слаби от S5, а не изключително върху S5.

Възникват и парадокси със строго въздействие, подобни на тези на материално въздействие. Като се има предвид, че строгото импликация ((p / Rightarrow q)) е дефинирана като (neg / Diamond (p / wedge / neg q)), следва, че невъзможното предложение предполага нещо и че се налага необходимото предложение от каквото и да било. Люис твърди, че това е както трябва да бъде. Тъй като невъзможността се приема като логическа невъзможност, т.е. в крайна сметка противоречие, Люис твърди, че от невъзможно предложение като ((p / wedge / neg p)), двете (p) и (neg p) последвам. От (p) можем да извлечем ((p / vee q)), за всяко предложение (q). От (neg p) и ((p / vee q)) можем да извлечем (q) (1932: 250). Аргументът е спорен, тъй като може да се мисли, че принципът ((p / Rightarrow (p / vee q))) не трябва да е теорема на система, която има за цел да изрази обикновеното имплициране (виж, например, Nelson 1930: 447). Каквито и да са достойнствата на този аргумент, тези, които не са съгласни с Луис, започнаха да разработват логика на поведение, основаващо се на предположението, че за налагането му е необходимо повече от стриктното значение на Люис. Вижте например Nelson 1930, Strawson 1948 и Bennett 1954. Вижте също и записа SEP относно логиката на уместност.

Забележете, че именно търсенето на Люис за система, подходяща за изразяване на строго импликация, накара Quine да отхвърли модалните системи като основани на объркване при споменаване на употребата, доколкото такива системи са формулирани да изразят на обектно ниво доказателствено-теоретични или семантични понятия като последователност, импликация, производността и теоретичността (в действителност, когато (p / rightarrow q) е предположителна теорема, система S1 и така всички останали по-силни системи на Люис също могат да докажат (p / Rightarrow q) (Parry 1939: 143)).

1.2 Други системи и алтернативни аксиоматизации на системите на Луис

Гьодел в „Интерпретация на интуиционистичния предложения за смятане“(1933) е първият, който предлага алтернативна аксиоматизация на системата на Луис S4, която разделя предложената основа на системата от модалните аксиоми и правила. Гьодел добавя следните правила и аксиоми към прогнозното смятане.

) начало {подравняване *} маркер {Необходимост} текстrm {Ако} mvdash / alpha & / textrm {тогава} mvdash / Box / alpha, \\ / tag {Axiom K} mvdash / Box (p / rightarrow q) & / rightarrow (поле p / rightarrow / поле q), \\ / маркер {Axiom T} mvdash / поле p & / rightarrow p / textrm {, и} / \ tag {Axiom 4} mvdash / Каре p & / rightarrow / поле / поле / p. \\ / край {подравняване *})

Първоначално Гьодел използва оператор (B) на измеримост, за да преведе примитивните интуиционистични съединители на Хейтинг, а след това отбелязва, че ако заменим (B) с оператор на необходимост, получаваме системата S4. Gödel също така твърди, че формула (поле p / vee / поле q) не е доказуема в S4, освен ако или (полето p), или (поле q) е доказуемо, аналогично на интуиционистичното разделяне. Твърдението на Гьодел ще бъде доказано алгебрично от Макинзи и Тарски (1948). Кратката бележка на Гьодел е важна за започване на ползотворната практика на аксиоматизиране на модалните системи, отделящи предложенията на смятане от строго модалната част, но също така и за свързване на интуиционистичната и модалната логика.

Фейс (1937) е първата, която предлага система Т чрез изваждане на аксиома 4 от системата на Гьодел S4 (виж също Фейс 1965: 123–124). В есе в Прехвърляне Logic (1951) фон Райт обсъжда alethic, епистемичните и deontic условия и въвежда система М, която Sobociński (1953) ще се окаже да е равно на Фейс "система T. Von Райт (1951: 84-90) доказва, че системата М съдържа Луис S2, която съдържа S1 -където система S се казва, че съдържа система S ", ако всичките формули доказуеми в S" може да бъде доказано в S твърде. Система S3, разширение на S2, не се съдържа в М. Н и М се съдържа в S3. Фон Райт намира S3 за малък независим интерес и не вижда причина да приеме S3 вместо по-силния S4. Като цяло системите на Луис са номерирани по ред на здравина, като S1 е най-слабата, а S5 - най-силните, по-слаби системи, които се съдържат в по-силните.

Lemmon (1957) също следва Гьодел в аксиоматизиращи модални системи на базата на предложения за смятане и представя алтернативна аксиоматизация на системите на Луис. Когато компютърът е базата за смятане на предложения, РС може да се характеризира като следните три правила (1957: 177):

Характеристика на предложения за изчисление на компютър

• PCa Ако (alpha) е тавтология, тогава (mvdash / alpha)
• Замяна на PCb за променливи за предложения
• PCc Материално откъсване / Modus Ponens: ако (alpha) и (alpha / rightarrow / beta) са тавтологии, тогава това е така (beta)

Други правила в системата на Lemmon са:

• (a) Ако (mvdash / alpha) тогава (mvdash / Box / alpha) (Необходимост)
• (a ') Ако (alpha) е тавтология или аксиома, тогава (mvdash / Box / alpha)
• (б) Ако (mvdash / Box (alpha / rightarrow / beta)) тогава (mvdash / Box (Box / alpha / rightarrow / Box / beta))
• б) Замяна на строги еквиваленти.

Други аксиоми в системата на Lemmon са:

) начало {подравняване} маркер {1} поле (p / rightarrow q) & / rightarrow / поле (поле p / rightarrow / поле q) / \ етикет {1 '} поле (p / rightarrow q) & / rightarrow (поле p / rightarrow / поле q) & / textrm {(Axiom K)} / \ маркер {2} поле p & / rightarrow p & / textrm {(аксиома T)} / \ маркер { 3} (поле (p / rightarrow q) клин / поле (q / rightarrow r)) & / rightarrow / поле (p / rightarrow r) / \ край {подравняване})

Използвайки горните правила и аксиоми Lemmon дефинира четири системи. Система P1, която се оказва еквивалентна на системата на Lewis S1, използва предложената основа (PC), правила (a ') - необходимост от тавтологии и аксиоми-и (b'), и аксиоми (2) и (3). Система P2, еквивалентна на S2, използва (PC), правила (a ') и (b) и аксиоми (2) и (1'). Система P3, еквивалентна на S3, използва (PC), правило (a ') и аксиоми (2) и (1). Използва се система P4, еквивалентна на S4 (компютър)), правило (а) и аксиоми (2) и (1). В axiomatization Лемън е че е лесно да се види, че S3 и фон Райт система М (Фейс " T) не са включени в един от друг, тъй като M е по-силна власт на necessitation и S3 " силен аксиома е (1) на мястото на (1 ') = K. Като цяло аксиоматизацията на Леммон прави по-отчетливи логическите разграничения между различните системи на Люис.

Lemmon счита също някои системи за по-слаби от S1. От особен интерес е система S0.5, която отслабва S1 чрез замяна на правило (a ') с по-слабото правило (a ″):

(a ″) Ако (alpha) е тавтология, тогава (mvdash / Box / alpha)

Lemmon интерпретира система S0.5 като формализирана металогика на предложението смятане, където (поле / алфа) се интерпретира като "(алфа) е тавтология".

Ние наричаме „нормални“системите, които включват PC, аксиома K и правилото за необходимост. Система K е най-малката нормална система. Система T добавя аксиома T в системата К. Система B (системата Brouwersche) добавя аксиома B

) mvdash p / Rightarrow / Box / Diamond p / quad / textrm {(еквивалентно на C12 на Бекер)})

за система T. S4 добавя аксиома 4 (еквивалентно на 10 Бекер) за система T. S5 добавя аксиоми В и 4, или алтернативно аксиома Е

) mvdash / Diamond p / Rightarrow / Box / Diamond p / quad / textrm {(еквивалентно на C11 на Бекер)})

за система T. Системите на Lewis S1, S2 и S3 са ненормални, като се има предвид, че те не съдържат правилото на Necessitation. За връзката между тези (и други) системи и условията за кадри, които аксиомите налагат, консултирайте се със записа SEP по модална логика.

Тук са споменати само няколко от многото разширения на системите на Луис, които са обсъдени в литературата. Албан (1943) въведе система S6, като добави към S2 аксиомата (mvdash / Diamond / Diamond p). Halldén (1950) нарича S7 системата, която добавя аксиомата (mvdash / Diamond / Diamond p) към S3, а S8 системата, която разширява S3 с добавянето на аксиомата (mvdash / neg / Diamond / neg / Diamond / Diamond p). Докато добавянето на аксиома с универсална възможност (mvdash / Diamond p) би било несъвместимо с всички системи на Люис, тъй като всички те съдържат теореми от формата (mvdash / Box p), системи S6, S7 и S8 са последователни. Вместо това добавянето на която и да е от тези аксиоми към S4, а също така и към S5, води до непоследователна система, като се има предвид, че в S4 (mvdash / Diamond / Diamond p / Rightarrow / Diamond p). Халден също доказа, че една формула е теорема за S3, ако и само ако е теорема за S4 и S7 (1950: 231-232), следователно S4 и S7 са две алтернативни разширения на S3.

2. Матричният метод и някои алгебраични резултати

В „Философски бележки за многозначни системи на логиката на предложението“(1930 г. Но Łukasiewicz 1920 е предварителна полска версия на основните идеи на този документ), Łukasiewicz казва:

Когато разпознах несъвместимостта на традиционните теореми за модалните предложения през 1920 г., бях заета с създаването на системата от обикновени „двуценни” предложения за смятане с помощта на матричния метод. Аз се задоволих по това време, че всички тезиси на обикновеното предложение за смятане могат да бъдат доказани, ако предположението, че техните променливи променливи могат да приемат само две стойности, "0" или "невярно" и "1" или "истинното". (1970: 164)

Този пасаж илюстрира добре как Łukasiewicz мислеше за логиката в началото на двадесетте години. Първо, той мислеше в алгебрично отношение, а не синтактично, засягайки себе си не толкова с изграждането на нови системи, колкото с оценката на системите относително на множества от стойности. Второ, той въвежда тризначни матрици, за да направи логично пространство за понятието предложения (главно за бъдещи контингенти), които не са нито истински, нито лъжливи, и които получават новата неопределена стойност ½. По ирония на съдбата по-късната работа, използваща неговия оригинален матричен метод, ще покаже, че надеждата да се третира модалната логика като тризначна система не може да бъде реализирана. Вижте също записа на SEP за многозначна логика.

Матрица за логика на предложение L се дава от (i) набор K от елементи, стойности на истината, (ii) непразен подмножество (D / subseteq K) на определени стойности за истинност и (iii) операции на множеството K, тоест функции от (n) - кортежи от стойности на истината до стойности на истината, които съответстват на съединителите на L. Матрицата удовлетворява формула A при присвояване (sigma) на елементи от K на променливите на A, ако стойността на A под (sigma) е член на D, тоест определена стойност. Матрицата удовлетворява формула, ако я удовлетворява при всяко задание (sigma). Матрица за модална логика M разширява матрицата за предложена логика чрез добавяне на унарна функция, която съответства на съединителната (Diamond).

Матриците обикновено се използват, за да покажат независимостта на аксиомите на една система, както и тяхната последователност. Съгласуваността на две формули A и B се установява чрез матрица, която при задаване (sigma) приписва на двете формули обозначени стойности. Независимостта на формула Б от формула А се установява чрез матрица, която (i) запазва валидността на правилата на системата и която (ii) при интерпретация (sigma) присвоява на A, но не и на B определена стойност, Пари (1939) използва метода на матрицата, за да покаже, че броят на модалностите на системите на Lewis S3 и S4 е ограничен. Модалността е модална функция на една променлива, която съдържа само операторите (neg) и (Diamond). Степента на модалност се определя от броя на съдържащите се оператори (Diamond). Правилната модалност е със степен по-висока от нула. Правилните условия могат да бъдат в четири различни форми:

) начало {подравняване} маркер {1} нег / ldots / диамант p \\ / маркер {2} диамант / ldots / диамант p \\ / маркер {3} neg / ldots / диамант / neg p / \ / етикет {4} Diamond / ldots / neg p. \\ / end {align})

Неправилните модалности са (p) и (neg p) (1939: 144). Пари доказва, че S3 има 42 различни модалности и че S4 има 14 различни модалности. Вече беше известно, че система S5 има само 6 различни модалности, тъй като редуцира всички модалности до модалности от степен нула или една. Пари въвежда система S4.5, като добавя към S4 следната аксиома:

) mvdash / neg / Diamond / neg / Diamond / neg / Diamond p / Rightarrow / neg / Diamond p.)

Системата намалява броя на модалностите на S4 от 14 на 12 (или 10 правилни). Добавянето на същата аксиома към системата S3 на Lewis води до система с 26 различни модалности. Освен това, ако добавим

) mvdash / neg / Diamond / neg / Diamond / Diamond p / Rightarrow / neg / Diamond / neg / Diamond p)

до S3 получаваме отделна система с 26 модалности, които също са междинни между S3 и S4. Следователно броят на модалностите не определя еднозначно една система. Системите S1 и S2, както и T и B, имат безкраен брой модалности (Burgess 2009, глава 3 относно модалната логика, обсъжда допълнителните системи S4.2 и S4.3 и обяснява добре намаляването на модалностите в различните системи), Характерна матрица за система L е матрица, която удовлетворява всички и само теоремите на L. Матрицата е крайна, ако нейният набор K от стойности на истината е краен. Крайната характеристична матрица дава процедура за вземане на решение, при която система е решена, ако всяка формула на системата, която не е теорема, е фалшифицирана от някаква крайна матрица (това е свойството на крайния модел). И все пак Dugundji (1940) показва, че никой от S1 - S5 няма ограничена характеристична матрица. Следователно, никоя от тези системи не може да се разглежда като (n) логика с стойност за краен (n). По-късно Scroggs (1951) ще докаже, че всяко правилно удължаване на S5, което запазва откъсването за материално въздействие и е затворено при заместване, има ограничена характеристична матрица.

Въпреки липсата на ограничена характеристична матрица, Маккинси (1941) показва, че системите S2 и S4 са решаващи. За да докаже тези резултати, Маккинсей въвежда модални матрици ((K, D, -, *, / пъти)), с (-), (*) и (пъти), съответстващи на отрицание, възможност и съответно връзка. Матрицата е нормална, ако отговаря на следните условия:

1. ако (x / в D) и ((x / Rightarrow y) в D) и (y / в K), тогава (y / в D),
2. ако (x / в D) и (y / в D), тогава (x / пъти y / в D),
3. ако (x / в K) и (y / в K) и (x / Ляво игла y / в D), тогава (x = y).

Тези условия съответстват на правилата на Люис за строго заключение, съгласуване и замяна на строги еквиваленти. Структурата на доказателството на Маккинси е следната. Доказателството използва три стъпки. Първо, използвайки непубликуван метод на Линденбаум, обяснен му от Тарски, който се отнася за системи, които имат правило за заместване на предложни променливи, Макинси показва, че има S2 -характерна матрица (M = (K, D, -, *, / пъти)), което не отговаря на условие (iii) и следователно е ненормално. M е тривиална матрица, чиято област е набор от формули на системата, чиито обозначени елементи са теоремите на системата и чиито операции са самите съединители. Тривиалната матрица M не удовлетворява (iii) като се има предвид, че за някои отделни формули A и B (A / Leftrightarrow B) е S2 -теорема. Второ, Маккинси показва как да се изгради от М нормална, но все още безкрайна S2 -характерна матрица (M_1 = (K_1, D_1, -_1, * ^ 1, / times_1)), чиито елементи са класове на еквивалентност с доказан еквивалент формули на S2, т.е. на формули A и B, такива, че (A / Leftrightarrow B) е теорема за S2 и чиито операции се ревизират съответно. Например, ако (E (A)) е наборът от формули, доказващо еквивалентен на A и (E (A) в K_1), тогава (-_ 1 E (A) = E (-A) = E (neg A). M_1) удовлетворява точно формулите, удовлетворени от M, без да нарушава условието (iii), следователно това е характерна нормална матрица за S2 ((M_1) е алгебрата на Линденбаум за S2). Накрая е показано, че за всяка формула А, която не е теорема на S2, има ограничена и нормална матрица (под-алгебра на (M_1)), която я фалшифицира. Подобно доказателство е дадено и за S4.

Матрицата е специален вид алгебра. Една алгебра е матрица без набор D от определени елементи. Булевите алгебри съответстват на матрици за логика на предложението. Според Bull and Segerberg (1984: 10) обобщаването от матрици към алгебри може да доведе до насърчаване на изучаването на тези структури независимо от връзките им с логиката и модалните системи. Наборът от определени елементи D всъщност улеснява дефиницията на валидността, по отношение на която теоремите на една система могат да бъдат оценени. Без такъв набор най-очевидната връзка с логиката е прекъсната. Второ обобщение на класовете на алгебри, а не само на отделни алгебри, също беше от решаващо значение за математическото развитие на предмета. Тарски е извисяващата се фигура в такова развитие.

Йонсън и Тарски (1951 и 1952) въвеждат общата идея за булеви алгебри с оператори, т.е. разширения на булеви алгебри чрез добавяне на оператори, които съответстват на модалните съединители. Те доказват обща теорема за представяне на булеви алгебри с оператори, която разширява резултата на Стоун за булеви алгебри (всяка булева алгебра може да бъде представена като множествена алгебра). Тази работа на Йонсън и Тарски се развива от чисто математическото изследване на Алгебра на отношенията на Тарски и не включва препратка към модалната логика или дори логиката като цяло. Теоремата на Йонсън и Тарски е (по-общ) алгебричен аналог на по-късните резултати от семантичната пълнота на Крипке, но това не беше осъзнато за известно време. Тарски не само не знаеше за връзката,но изглежда, че както Крипке, така и Леммон не са чели документите на Йонсън и Тарски по времето, в което са вършили модалната си работа в края на петдесетте и шестдесетте години, а Крипке твърди, че са постигнали същия резултат независимо.

Lemmon (1966a и 1966b) адаптира алгебраичните методи на McKinsey, за да докаже резултатите от разтворимостта и теоремите за представяне за различни модални системи, включително T(макар явно в незнание за работата на Йонсън и Тарски). По-специално, той разширява метода на Маккинси, като въвежда нова техника за конструиране на крайни алгебри от подмножества на модела на Крипке (обсъдена в следващия раздел на този запис). Lemmon (1966b: 191) приписва на Дейна Скот основния резултат от втората му книга от 1966 г. Това е обща теорема за представяне, доказваща, че алгебрите за модалните системи могат да бъдат представени като алгебри въз основа на мощностния набор от множеството K в съответните структури на Крипке. Вследствие на това алгебраичната пълнота се превръща в теоретична пълнота на модела на Крипке. И така, Леммон много ясно изяснява връзката между моделите на Крипке, чиито елементи са светове, и съответните алгебри, чиито елементи са набори от светове, които могат да се смятат за предложения, т.е.като по този начин показва, че алгебраичните и моделните теоретични резултати са дълбоко свързани. Kripke (1963a) вече е изрично на тази връзка. В „Бележките на лимоните“(1977), написани в сътрудничество с Дана Скот и редактирани от Сегерберг, техниката от 1966 г. се трансформира в чисто моделен теоретичен метод, който дава завършеност и възможност за решаване на много системи от модална логика във възможно най-общ вид (1977: 29).

Вижте също записа на SEP за алгебрата на логическата традиция. За основно въведение в алгебрата на модалната логика, консултирайте се с Hughes and Cresswell 1968, глава 17 на тема „Булева алгебра и модална логика“. За по-цялостно лечение вижте глава 5 от Blackburn, de Rijke и Venema 2001. Вижте също Goldblatt 2003.

3. Моделната теоретична традиция

3.1 Карнап

В началото на 40-те години признаването на семантичния характер на понятието логическа истина доведе Рудолф Карнап до неофициално обяснение на тази представа по отношение на възможните светове на Лейбнизиан. В същото време той призна, че многото синтактични постижения на модалната логика от 1918 г. насам все още не са съпроводени от адекватни семантични съображения. Едно забележително изключение беше интерпретацията на Гьодел за необходимостта като доказуемост и произтичащото от това предпочитание за S4. Карнап вместо това смяташе необходимостта като логична истина или аналитичност. Обмислянето на свойствата на логически верните изречения го накара да се замисли за S5 като правилната система да формализира това „неформално“понятие. Работата на Карнап в началото на четиридесетте години ще бъде фокусирана върху (1) определяне на формално семантично понятие за L-истината, подходяща за представяне на неформалните семантични понятия за логическа истина, необходимост и аналитичност, тоест истината само по силата на смисъла (първоначално, той не направи разлика между тези понятия, но ясно помисли аналитичността като водеща идея); и (2) предоставяне на формална семантика за количествено определено S5 от гледна точка на официалното понятие L-истина с цел получаване на резултати от здравина и пълнота, тоест да се докаже, че всички теореми на количественото S5 са L-true и че всички L -истините (изразими на езика на системата) са теореми на системата.

Идеята за количествено определените модални системи възникна и при Рут Баркан. В "функционална смятане на Първи ред, основан на Стриктно Последици" (1946a) тя добави количествено определяне на Пропозиционални система Люис S2; Carnap (1946) го добавя към S5. Въпреки че ще бъдат разгледани някои специфични семантични точки относно количествено определената модална логика, този запис не е фокусиран върху развитието на количествено определената модална логика, а по-скоро върху появата на моделната теоретична формална семантика за модална логика, предложна или количествено определена. За по-обширно третиране на количествено определената модална логика, консултирайте се със записа SEP относно модалната логика.

В „Модалности и количествено определяне“(1946) и в „Значение и необходимост“(1947) Карнап интерпретира оператора на езика на обекта на необходимост като изразяващ на обектно ниво семантичното понятие за логическа истина:

[T] водещата идея в нашите конструкции на системи с модална логика е това: предложение (p) е логично необходимо, ако и само ако изречението, изразяващо (p), е логично вярно. Тоест, модалната концепция за логическата необходимост от предложение и семантичната концепция за логическата истина или аналитичността на едно изречение си съответстват. (1946: 34)

Карнап въвежда апарата на държавни описания, за да определи формалното семантично понятие за L-истина. Това официално понятие след това трябва да се използва за осигуряване на формална семантика за S5.

Описание на състоянието за език L е клас на изреченията на L, така че за всяко атомно изречение (p) на L, или (p), или (neg p), но не и двете, е съдържащи се в класа. Атомното изречение съдържа в състояние описание R, ако и само ако то принадлежи на R. Изречение (neg A) (където A не е необходимо да е атомно) има R, ако и само ако A не съдържа R; ((A / клин B)) има R, ако и само ако и A, и B имат R, и така нататък за другите съединители по обичайния индуктивен начин; ((forall x) Fx) има R, ако и само ако всички екземпляри на заместване на (Fx) имат R. Обхватът на изречението е класа на описанията на състоянието, в които то се съдържа. Понятието на Carnap за валидност или L -uthuth е максимално понятие, т.е. Carnap дефинира изречение, което да е валидно или L -true, ако и само ако съдържа във всички описания на състоянието. В по-късна работа Карнап приема модели на мястото на описанията на състоянието. Моделите са присвояване на стойности на примитивните нелогични константи на езика. В случая на Карнап предикатните константи са единствените примитивни константи, на които моделите присвояват стойности, тъй като на отделни константи се дава фиксирана интерпретация на модела, а присвояването на стойности на променливите се извършва независимо от моделите (1963а).

Важно е да се отбележи, че дефиницията на L-истина не използва понятието истина, а по-скоро само това на опис на държане в състояние. Истината е представена по-късно като това, което се съдържа в описанието на реалното състояние. За да бъде адекватно формално представяне на аналитичността, L-истината трябва да спазва основната идея зад аналитичността: истината само по силата на смисъла. Всъщност L-истините на система S са такива, че семантичните правила на S са достатъчни, за да се установи тяхната истина. Неофициално описанията на държавата представляват нещо като възможни светове на Лайбнизиан или възможни състояния на Витгенштейн, а обхватът на държавните описания за даден език трябва да изчерпа диапазона от алтернативни възможности, описани на този език.

Относно модалните изречения Carnap приема следните конвенции (използваме (поле) вместо оператора N на Carnap за логическа необходимост). Нека S е система:

1. Изречение (поле A) е вярно в S, ако и само ако (A) е L-true в S (така че изречение (поле A) е вярно в S, ако и само ако (A) съдържа във всички описания на състоянието на S);
2. Изречение (поле A) е L -труе в S, ако и само ако (поле A) е вярно в S (така че всички описания на състоянието са съгласни при оценката им на модалните изречения).

От което следва, че:

(Поле A) е L-true в S, ако и само ако (A) е L -true в S

Конвенциите на Карнап важат и ако заменим „истината в състояние на описание на S“с „истината в S“.

Карнап поема фиксиран домейн за количествено определяне на неговата количествена система, функционалното смятане с идентичност FC и следователно за модалното функционално смятане с идентичност MFC, количествено определена форма на S5. Езикът на FC съдържа безброй много индивидуални константи, вселената на дискурса съдържа безброй много индивиди, на всяка константа е присвоен индивид от домейна и на две константи не е присвоен един и същ индивид. Това прави изречения като (a = a) L -true и изречения като (a = b) L -false (1946: 49). Относно MFC формулата на Barcan и нейната обратна връзка са едновременно L -true, т.е.

) mvDash (forall x) Box Fx / leftrightarrow / Box (forall x) Fx.)

Този резултат е гарантиран от приемането на фиксиран домейн за количествено определяне. Карнап доказва, че MFC е звук, тоест всичките му теореми са L -true и поставя въпроса за пълнотата както за FC, така и за MFC. Гьодел доказа пълнота на предикатното смятане от първи ред с идентичност, но използваната представа за валидност беше истина във всяка непразна област за количествено определяне, включително и крайни домейни. Carnap вместо това приема един уникален неизмерим домейн за количествено определяне. Приемането на фиксиран безчет домен от индивиди генерира някои допълнителни валидности вече на предмодално ниво, които застрашават пълнотата, например „Има поне два индивида“, ((съществува x) (съществува y) (x / ne y)), оказва се, че е валиден (1946: 53).

Следствие от дефинициите на държавните описания за език и L-истина е, че всяко атомно изречение и неговото отрицание се оказват верни в някои, но не при всички описания на състояния. Следователно, ако (p) е атомен, и (Diamond p), и (Diamond / neg p) са L -true. Следователно, правилото на Луис за Единна заместване не успява (ако (p / клин / нег p) е заменен с (p) в (Diamond p), ние извличаме (Diamond (p / wedge / neg p)), което е L-фалшиво, а не L -true). Това забелязва Макинсън (1966а), който твърди, че това, което трябва да се направи, е възстановяване на заместителността и преразглеждане на наивната представа на Карнап за валидност (като логическа необходимост) в полза на схематично понятие Куиней („Логична истина … може да се определи като изречение, от което ние получаваме само истини, когато заместваме изреченията с неговите прости изречения”Куин 1970:50), които няма да направят изречения като (Diamond p) валидни. Независимо от това, Карнап доказва здравината и пълнотата на предложението S5, който той нарича „ MPC “за модално смятане, следвайки Wajsberg. Доказателството обаче ефективно използва схематично понятие за валидност.

Доказано е, че понятието на Карнап за максимална валидност прави пълнотата невъзможна за количествено определен S5, т.е. че има L -истина, които не са теореми на MFC на Карнап. Нека (A) е немодално изречение на MFC. По конвенция (1), (поле A) е вярно в MFC, ако и само ако (A) е L -труе в MFC. Но (A) също е изречение на FC, така че ако L -true в MFC то също е L -true във FC, тъй като описанията на състоянието (моделите) на модалната функционална логика са същите като тези на функционалната логика (1946: 54). Това означава, че описанията на състоянието имат тройната роля на (i) моделите от първи ред на FC като по този начин се дефинира валидността от първи ред, (ii) светове за MFC, като по този начин се дефинира истина за (поле A) изречения на MFC, и (iii) модели на MFC, като по този начин се определи валидността за MFC. Ядрото на аргумента за непълнота се състои в това, че невалидността на изречение от първи ред (A) може да бъде представена на модалния език като (neg / поле A), но всички модели са съгласни за оценката на модалните изречения, което прави (neg / поле A) валидни. Приблизително и заделяне на усложнения, създадени от факта, че семантиката на Карнап има само безброй домейни, ако (A) е невалидно изречение от първи ред на FC, (A) е вярно в някои, но не във всички модели или описания на състояния. Като се имат предвид конвенциите на Carnap, следва, че (neg / поле A) е вярно в MFC. Но тогава (neg / поле A) е L -true в MFC, т.е. в MFC (mvDash / neg / поле A). Като се има предвид, че невалидните изречения от първи ред не са рекурсивно изброяващи, нито валидността на модалната система MFC. Но класът на теоремите на MFC е рекурсивно изброяващ. Следователно MFC е непълна спрямо максималната валидност на Carnap. Cocchiarella (1975b) приписва резултата на Ричард Монтег и Доналд Калиш. Вижте също Lindström 2001: 209 и Kaplan 1986: 275–276.

3.2 Семантика на възможните светове на Крипке

Семантика на Карнап наистина е предвестник на семантиката на възможните светове (PWS). И все пак някои решаващи съставки все още липсват. Първо, максималната представа за валидност трябва да бъде заменена с нова универсална идея. Второ, описанията на състоянието трябва да осигурят пространство за възможни светове, които се разбират като индекси или точки за оценка. И накрая, трябва да се въведе връзка с достъпността между световете. Въпреки че Kripke в никакъв случай не е единственият логик през петдесетте и началото на шейсетте години, който работи върху тези идеи, във версията на PWS на Kripke всички тези иновации присъстват. Kanger (1957), Montague (1960, но първоначално представен през 1955), Hintikka (1961) и Prior (1957) мислеха за връзка между светове, а Hintikka (1961) като Kripke (1959a) прие нова идея за валидност, която изискваше истината във всички произволни набори от светове. Но Крипке беше единственият, който характеризира световете като прости точки за оценка (през 1963а). Другите логици все още мислеха за световете като модели за логика от първи ред, макар че може би Предшественикът в развитието на временната логика също се насочва към по-абстрактна характеристика на моментите на времето. По-абстрактната характеристика на Крипке на световете е от решаващо значение за осигуряването на връзка между моделната теоретична семантика и алгебрата на модалната логика. Крипке вижда много ясно тази връзка между алгебрата и семантиката и това му дава възможност систематично да получи резултати от теоретична пълнота и разтворимост за различни модални системи. Goldblatt (2003: раздел 4.8) убеждава убедително, че приемането от Крипке на точки за оценка в моделните структури е особено важно нововъведение. Подобно обобщение отваря вратата за различни бъдещи развития на теорията на модела и дава възможност да се предоставят теории на моделите за интензивната логика като цяло. Поради тези причини в този запис ние посвещаваме повече внимание на версията на PWS на Kripke. За по-цялостно третиране на първоначалната разработка на PWS, включително в края на петдесетте работивключително работата на края на петдесетте годинивключително работата на края на петдесетте години S5 на френския логик Bayart, читателят е посочен Goldblatt 2003. За разликите между семантиката на Kanger и стандартната PWS семантика, вижте Lindström 1996 и 1998.

„Теорема за пълнота в модалната логика“от 1959а на Крипке съдържа модел на теоретичен завършеност за количествена версия на S5 с идентичност. В семантичното третиране на Крипке на количествено определен S5, който той нарича S5 * (^ =), присвояване на стойности на формула (A) в домейн от индивиди (D) присвоява член на (D) на всяка свободна индивидуална променлива от (A), стойност на истината (T) или (F) към всяка предложна променлива от (A) и набор от подредени (n) - кортежи на членове от (D) към всяка (n) - поставете предикатна променлива на (A) (езикът за системата не съдържа нелогични константи). Крипке дефинира модел над непразен домейн (D) от индивиди като подредена двойка ((G, K)), така че (G / в K, K) е произволен подмножество от задания на стойности за формулите на S5 * (^ =), и всички (H / в K) се съгласяват по заданията на отделни променливи. За всеки (H / в K) стойността, която (H) присвоява на формула (B), се определя индуктивно. Пропозиционните променливи са присвоени (T) или (F) от хипотеза. Ако (B) е (P (x_1, / ldots, x_n)), (B) е назначен (T), ако и само ако (n) - сбор от елементи, присвоени на (x_1), …, (x_n) принадлежи към множеството от (n) - двойки от индивиди, които (H) присвоява на (P. H) възлага (T) на (neg B) ако и само ако тя присвоява (F) до (B. H) присвоява (T) до (B / клин C), ако и само ако възлага (T) до (B) и до (C). Ако (B) е (x = y), то се присвоява (T), ако и само ако (x) и (y) имат една и съща стойност в (D). Ако (B) е ((forall x) Fx) се назначава (T), ако и само ако (Fx) е присвоен (T) за всяко задание на (x),(Поле B) се присвоява (T), ако и само ако (B) е присвоен (T) от всеки (H / в K).

Най-важното, което трябва да се забележи в теорията на модела от 1959 г., е дефиницията на валидността. Формулата (A) се казва, че е валидна в модел ((G, K)) в (D), ако и само ако е зададен (T) в (G), на да е валиден в домейн (D), ако и само ако е валиден във всеки модел в (D), и да бъде универсално валиден, ако и само ако е валиден във всеки непразен домейн. Крипке казва:

Опитвайки се да конструира определение за универсална логическа валидност, изглежда правдоподобно да се приеме не само, че вселената на дискурса може да съдържа произволен брой елементи и че на предикатите може да бъде назначена всякаква интерпретация в реалния свят, но и че всяка комбинация от възможните светове може да са свързани с реалния свят по отношение на някаква група предикати. С други думи, правдоподобно е да се приеме, че не трябва да се поставят допълнителни ограничения за (D, G) и (K), с изключение на стандартното, което (D) не е празно. Това предположение води директно до нашето определение за универсална валидност. (1959а: 3)

Тази нова универсална представа за валидност е много по-обща от максималната валидност на Carnap. Елементите (H) на (K) все още съответстват на модели от първи ред, като описанията на състоянието на Карнап, и във всеки модел на Крипке елементите (H) на (K) са назначени в същия домейн (D) на индивиди и отделните променливи имат фиксирана кръстосана задача. Засега единственото значително различие от Carnap е, че различните модели на Kripke могат да имат домейни с различна кардиналност. Това само по себе си е достатъчно, за да въведе отново пълнотата на немодалната част на системата. Но най-значимото развитие и това, което дава възможност да се докаже пълнота на модалната система, е дефиницията на валидността не като истина във всички светове на максимална структура на светове, а като истина за всички подмножества на максималната структура,Разглеждането на произволни подмножества от възможни светове дава възможност теорията на Крипке да модела да изключи валидността от необходимостта. Въпреки че необходимостите са относителни към модела, следователно и към набор от светове, валидността трябва да има във всички такива набори. Това позволява повторното въвеждане на правилото за единна замяна. За да видите това интуитивно в прост случай, помислете за атомно изречение (p). Класическата таблица за истинност за (p) съдържа два реда, единият, където (p) е истина и този, където (p) е невярно. Всеки ред е като възможен свят или елемент (H) от (K). Ако разгледаме само тази пълна таблица на истината, ние обмисляме само максимални модели, които съдържат два свята (няма значение кой свят е действителен). Чрез дефиницията на истината за формула (поле B, / поле p) е невярно във всички светове на максималния модел,и (Diamond p) е вярно във всички тях. Ако валидността е истина във всички светове на този максимален модел, като за Carnap, следва, че (mvDash / Diamond p), но в S5(nmvdash / Diamond p). Ако вместо това дефинираме валидността, както Крипке прави, трябва да вземем предвид и не-максималните модели, които съдържат само един свят, тоест непълни таблици за истина, които отменят някои редове. Следователно има още два модела, които трябва да бъдат взети под внимание: един, който съдържа само един свят (H = G), където (p) е вярно, следователно това е (поле p), и този, който съдържа само един свят (H = G), където (p) е невярно и така е (поле p), както и (Diamond p). Благодарение на този последен модел (nmvDash / Diamond p). Забележете, че решаващото нововъведение е определянето на валидността като истина за всички подгрупи светове, а не само максималното подмножество. Допълнителният факт, че валидността в даден модел е дефинирана като истина в реалния свят на модела - за разлика от истината във всички светове на модела, макар да разкрива факта, че Крипке не свързва понятието за необходимост с понятието валидност, е без значение за този технически резултат.

Доказателството за пълнота на Крипке използва метода на семантичната таблица на Бет. Семантична таблица се използва за тестване дали формула (B) е семантична последица от някои формули (A_1, / ldots, A_n). Таблицата приема, че формулите (A_1, / ldots, A_n) са верни и (B) е невярна и се изгражда съгласно правила, които следват определенията на логическите съединители. Например, ако формулата (neg A) е в лявата колона на таблицата (където са изброени истинските формули), (A) ще бъде поставена в дясната колона (където са изброени фалшиви формули). За да се справят с модалните формули, трябва да се вземат предвид набори от таблици, тъй като ако (поле A) е в дясната колона на таблицата, трябва да се въведе нова помощна таблица с (A) в дясната му колона. Основната таблица и нейната спомагателна таблица образуват набор от таблици. Ако формула (A / клин B) е в дясната колона на основната таблица, наборът от tableaux се разделя на два нови набора от tableaux: този, чийто главен tableau изброява (A) в дясната му колона, и този, който списъци на основните таблици (B) в дясната колона. Затова трябва да разгледаме алтернативни набори от таблици. Семантична таблица се затваря, ако и само ако всички нейни алтернативни набори са затворени. Набор от таблици е затворен, ако съдържа таблица (основна или спомагателна), която достига до противоречие под формата на (i) една и съща формула (A), появяваща се в двете си колони или (ii) формула за идентичност на формата (a = a) в дясната му страна (това е прекалено опростяване на дефиницията на затворена таблица, но не е вредно за нашите цели). Опростявайки още веднъж,структурата на доказателството за пълнота на Крипке се състои в доказването, че семантична таблица, използвана за тестване дали формула (B) е семантично следствие от формули (A_1, / ldots, A_n), е затворена, ако и само (i) в S5 * (^ =) (A_1, / ldots, A_n / vdash B) и (ii) (A_1, / ldots, A_n / vDash B). Този последен резултат се постига чрез показване как се изграждат модели от семантични таблици. Като следствие от (i) и (ii) имаме здравина и пълнота за S5 * (^ =), тоест: (A_1, / ldots, A_n / vdash B), ако и само ако (A_1, / ldots, A_n / vDash B).

Документът от 1959 г. съдържа и доказателство за модалния колега на теоремата на Льовенхен-Сколем за логика от първи ред, според която, ако формулата е удовлетворима в непразна област, то тя е удовлетворима и следователно валидна (вярно в (G)), в модел ((G, K)) в домейн (D), където и (K), и (D) са ограничени или неизброими; и ако формулата е валидна във всеки краен или неизмерим домейн, тя е валидна във всеки домейн.

Крипке от 1962 г. „Неопределяемостта на теорията за монално количествено определяне“развива паралел между логиката от първи ред с един диадичен предикат и монадична логика от първи ред само с две предикативни букви, за да докаже, че този фрагмент от модална логика от първи ред вече е неотменим., От голямо значение е документът „Семантичен анализ на модалната логика I“(Kripke 1963a), където се лекуват нормални системи. Именно тук Крипке напълно развива аналогията с алгебраичните резултати на Йонсон и Тарски и доказва завършеност и решителност за предложения системи T, S4, S5 и B(системата Brouwersche), която е въведена тук. Крипке твърди, че сам е извел основната теорема за „Булеви алгебри с оператори“от алгебричен аналог на собствените му семантични методи (69, ет. 2). Именно в този документ са въведени две основни обобщения на теорията на модела. Първата е новото разбиране на елементите (H) на (K) като прости индекси, а не присвояване на стойности. След като тази промяна бъде въведена, моделите трябва да бъдат допълнени от помощна функция (Phi), необходима за присвояване на стойности на предложените променливи спрямо световете. Следователно, докато е в теорията на моделите от 1959 г.

не може да има два свята, в които една и съща стойност на истината е присвоена на всяка атомна формула [което] се оказва удобно може би за S5, но е доста неудобно, когато се отнасяме към нормалните MPC като цяло (1963a: 69)

сега можем да имаме световни дубликати. Най-важното за отделянето на елементите на (K) от функцията за оценка е, че тя отваря вратата към общото разглеждане на модалните рамки, множествата светове плюс двоична връзка между тях и съответствието на такива кадри към модални системи. И така, вторият нов елемент на хартията, въвеждането на отношение (R) между елементите на (K), естествено придружава първия. Нека още веднъж да се подчертае, че идеята за връзка между световете не е нова за Крипке. Например, тя вече присъства като връзка за алтернативност в Монтаг 1960, Хинтика 1961 и Приори 1962, където идеята се приписва на Питър Геч.

През 1963 г. Крипке „задава различни въпроси относно отношението (R)“(1963a: 70). Първо, той показва, че всяка удовлетворима формула има свързан модел, т.е. модел, базиран на моделна структура ((G, K, R)), където за всички (H / в K), (G / mathrel {R *} H), където (R *) е отношението на предците, съответстващо на (R). Следователно трябва да се разглеждат само свързани модели. Тогава Крипке показва на днешно известни резултати, че аксиома 4 съответства на транзитивността на отношението (R), че аксиома (В) съответства на симетрия и че характерната аксиома на S5, добавена към система Т, съответства на (R) е отношение на еквивалентност. Използвайки метода на таблицата, пълнота на модалните системи на предложения T, S4, S5 и B спрямо подходящия клас модели (рефлексивни структури за Т) е доказан. Доказуемостта на тези системи, включително по-сложния случай на S4, също е доказана. (За по-подробно третиране на кадрите, консултирайте се със записа на SEP относно модалната логика.)

В документа от 1965 г. „Семантичен анализ на модалната логика II“Крипке разширява теорията на моделите за лечение на ненормални модални системи, включително S2 и S3 на Lewis. Въпреки че тези системи се считат за някак неестествени, тяхната теория на моделите се счита за елегантна. Резултатите за пълнота и разтворимост се доказват спрямо правилния клас структури, включително пълнотата на S2 и S3 и разтворимостта на S3, За да се постигнат тези резултати, теорията на модела се разширява чрез въвеждането на нов елемент (N / subseteq K) в структурите на моделите ((G, K, R, N). N) е подмножеството на нормалните светове т.е. светове (H) такива, че (H / mathrel {R} H). Друг интересен аспект на ненормалните системи е, че в теоретичните резултати на модела, които се отнасят до тях, (G) (действителният свят) играе съществена роля, по-специално в моделите на S2 и S3, които реалният свят трябва да бъди нормално. Вместо това, правилото за необходимост, което се прилага за нормалните системи, прави избора на (G) модел теоретично без значение.

Независимо от големия успех на теорията на крипкейския модел, заслужава да се подчертае, че не всички модални логики са пълни. За резултатите от непълноти вижте Makinson 1969, за система по-слаба от S4; и Fine 1974, S. Thomason 1974, Goldblatt 1975 и van Benthem 1978, за системи между S4 и S5, Някои модални формули налагат условия на рамки, които не могат да бъдат изразени на език от първи ред, поради което дори предлаганата модална логика по същество е от втори ред. Доколкото понятието за валидност на рамка се абстрахира от интерпретационната функция, то имплицитно включва количествено определяне на по-висок ред спрямо предложенията. Относно съответствието между валидността на рамката и логиката от втория ред и върху теоретико-критериите за модела, които отличават модалните изречения, които са изразителни от първи ред, от тези, които по същество са от втори ред, вижте „Модалната логика: семантична перспектива“на Блекбърн и ван Бентхем (2007a).

През 1963b, „Семантични съображения за модалната логика“, Крипке въвежда ново обобщение на моделите на количествено определени модални системи. През 1959 г. е определен модел в домейн (D). В резултат всички светове в един модел имаха еднаква кардиналност. През 1963b моделите не са дадени в домейн, следователно на светове в един и същ модел могат да бъдат присвоени различни домейни чрез функция (Psi), която присвоява домейни на елементите (H) на (K). Като се има предвид променливостта на домейните в различните светове, Крипке вече може да конструира контра-примери както към формулата на Баркан

[(forall x) Box Fx / rightarrow / Box (forall x) Fx)

и обратното

) Поле (forall x) Fx / rightarrow (forall x) поле Fx.)

Формулата на Barcan може да бъде фалшифицирана в структури с нарастващи домейни. Например модел с два свята (G) и един друг възможен свят (H), който го разширява. Домейнът на (G) е ({a }), а (Fa) е вярно в (G). Домейнът на (H) е множеството ({a, b }) и (Fa), но не (Fb), е вярно в (H). В този модел ((forall x) Box Fx), но не (Box (forall x) Fx) е вярно в (G). За да опровергаем обратното на формулата на Barcan, ни трябват модели с намаляващи домейни. Например модел с два свята (G) и (H), където домейнът на (G) е ({a, b }) и домейнът на (H) е ({a }), с (Fa) и (Fb) вярно в (G, Fa) вярно в (H), но (Fb) невярно в (Н). Този модел изисква да присвоим стойност на истината във формулата (Fb) в света (H), където индивидът (b) не съществува (не е в областта на (H)), Крипке посочва, че от моделна теоретична гледна точка това е просто технически избор.

Крипке реконструира доказателство за обратната формула на Баркан в количествено определено Т и показва, че доказателството преминава само като позволява необходимостта от изречение, съдържащо свободна променлива. Но ако вместо това свободните променливи се считат за универсално обвързани, тази стъпка е незаконна. Необходимостта директно от отворена формула, без първо да я затваря, означава предположението какво трябва да се докаже. Преди 1956 г. съдържа доказателство за формулата на Баркан

) Diamond (съществува x) Fx / rightarrow (съществува x) Diamond Fx.)

Крипке не обсъжда подробностите на доказателството на Приор. Доказателството на Приор за формулата на Barcan приема правилата на asukasiewicz за въвеждането на екзистенциалния количествен показател. Второто от тези правила гласи, че ако (mvdash A / rightarrow B), тогава (mvdash A / rightarrow (съществува x) B). Prior използва правилото за извличане

) mvdash / Diamond Fx / rightarrow (съществува x) Diamond Fx)

от

) mvdash / Diamond Fx / rightarrow / Diamond Fx.)

Струва ни се, че това е „нелегитимната“стъпка в доказателството, тъй като

) Diamond Fx / rightarrow (съществува x) Diamond Fx)

не държи в модел с два свята (G) и (H), където домейнът на (G) е ({a }), а домейнът от (H) е ({a, b }) и където (Fa) е невярно и в (G) и (H), но (Fb) е вярно в (H). В този модел (Diamond Fx) е вярно, но ((съществува x) Diamond Fx) е невярно в (G). В този контра-модел (Diamond Fx) се прави вярно в (G) от индивида (b), който не е в областта на (G). По принцип правилото, че ако (mvdash A / rightarrow B) тогава (mvdash A / rightarrow (съществува x) B) не запазва валидността, ако позволим това (Fx) може да бъде вярно в свят от индивид, който не съществува там. Заключваме, че правилото трябва да бъде отхвърлено, за да се запази здравината на S5 по отношение на теоретичното предположение на този модел.

библиография

Моля, обърнете внимание, че разграничението в библиографията между въвеждащи текстове, първична и вторична литература е частично изкуствено.

Уводни текстове

• Blackburn, Patrick, Maarten de Rijke и Yde Venema, 2001, Modal Logic, Cambridge: Cambridge University Press. Дой: 10.1017 / CBO9781107050884
• Chellas, Brian F., 1980, Modal Logic: a Introduction, Cambridge: Cambridge University Press.
• Фитинг, М. и Ричард Л. Менделсон, 1998 г., Модална логика от първи ред, Dordrecht: Kluver Academic Publishers.
• Гарсън, Джеймс У., 2013, Модална логика за философите, Кеймбридж: Cambridge University Press.
• Хюз, GE и MJ Cresswell, 1968, Въведение в модалната логика, Лондон: Methuen.
• –––, 1984, спътник на модалната логика, Лондон: Methuen.
• –––, 1996, Ново въведение в модалната логика, Лондон: Routledge.

Първична литература

• Албан, MJ, 1943 г., „Независимост на примитивните символи на изчисленията на Луис на предложенията“, Journal of Symbolic Logic, 8 (1): 25–26. DOI: 10.2307 / 2267978
• Андерсън, Алън Рос, 1957 г., „Независима схема на аксиоми за М на Фон Райт“, Journal of Symbolic Logic, 22 (3): 241–244. DOI: 10.2307 / 2963591
• Баркан (Маркъс), Рут К., 1946а, „Функционално смятане от първи ред въз основа на строго импликация“, сп. „Символична логика“, 11 (1): 1–16. DOI: 10.2307 / 2269159
• –––, 1946b, „Теоремата за приспадане във функционално смятане от първи ред въз основа на строгото импликация“, Journal of Symbolic Logic, 11 (4): 115–118. DOI: 10.2307 / 2268309
• –––, 1947 г., „Идентичност на индивидите в строго функционално смятане от втори ред“, сп. „Символична логика“, 12 (1): 12–15. DOI: 10.2307 / 2267171
• Баярт, Арнулд, 1958 г., „Корекция на логическия модален премиер и втория ордер S5“, Logique et Analyze, 1: 28–45.
• –––, 1959 г., „Quasi Adéquation de la Logique Modal du Second Ordre S5 et Adéquation de la Logique Modal du Premier Ordre S5“, Logique et Analyze, 2: 99–121.
• Бекер, Оскар, 1930, „Zur Logik der Modalitäten“, Jahrbuch für Philosophie und Phänomenologische Forschung, 11: 497–548.
• Бенет, Джонатан, 1954, “Значение и импликация”, Ум, 63 (252): 451–463.
• Bernays, Paul, 1926, „Axiomatische Untersuchung des Aussagenkalküls der Principia Mathematica“, Mathematische Zeitschrift, 25: 305–320.
• –––, 1948 г., „Преглед на„ Модалностите и количественото определяне “на Рудолф Карнап (1946 г.)“, сп. „Символична логика“, 13 (4): 218–219. DOI: 10.2307 / 2267149
• –––, 1950, „Преглед на значението и необходимостта на Рудолф Карнап“, сп. „Символична логика“, 14 (4): 237–241. DOI: 10.2307 / 2269233
• Bull, RA, 1964, „Бележка за модалните калкули S4.2 и S4.3“, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 10 (4): 53–55. Дой: 10.1002 / malq.19640100403
• –––, 1965 г., „Алгебрично изследване на диодоровите модални системи“, сп. „Символична логика“, 30 (1): 58–64. DOI: 10.2307 / 2270582
• –––, 1966, „отколкото всички нормални разширения на S4.3 имат свойството на крайния модел“, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 12: 341–344. Дой: 10.1002 / malq.19660120129
• –––, 1968, „Алгебрично изследване на напрегнатата логика с линейно време“, сп. „Символична логика“, 33 (1): 27–38. DOI: 10.2307 / 2270049
• Карнап, Рудолф, 1946, „Модалности и количествено определяне“, сп. „Символична логика“, 11 (2): 33–64. DOI: 10.2307 / 2268610
• –––, 1947, Значение и необходимост, Чикаго: University of Chicago Press, 2- ^ро издание с добавки, 1956.
• –––, 1963a, „Моето схващане за логиката на модалностите“, в Schlipp 1963: 889–900.
• –––, 1963b, „Моето схващане за семантиката“, в Schlipp 1963: 900–905.
• Дугунджи, Джеймс, 1940 г., „Бележка за свойството на матрици за изчисленията на Луис и Лангфорд“, сп. „Символична логика“, 5 (4): 150–151. DOI: 10.2307 / 2268175
• Dummett, MAE и EJ Lemmon, 1959, „Модална логика между S4 и S5“, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 5 (5): 250–264. Дой: 10.1002 / malq.19590051405
• Фейс, Робърт, 1937 г., „Les Logiques Nouvelles des Modalités“, Revue Néoscolastique de Philosophie, 40 (56): 517–553.
• –––, 1963, „Карнап за модалностите“, в Schlipp 1963: 283-297.
• –––, 1965 г., Модална логика, в Collection de Logique Mathématique (том 4), J. Dopp (ed.), Louvain: E. Nauwelaerts.
• Fine, Kit, 1974, „Непълна логика, съдържаща S4“, Теория, 40 (1): 23–29. DOI: 10.1111 / j.1755-2567.1974.tb00076.x
• Gödel, K., 1933, „Eine Interpretation des Intuitionistischen Aussagenkalküls“, Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums, 4: стр. 39–40. Превод на английски език „Интерпретация на интуиционистичното предложение за смятане“, с уводна бележка на AS Troelstra, от Kurt Gödel. Събрани произведения, кн. 1: Публикации 1929-1936, S. Feferman, JW Dawson, SC Kleene, GH Moore, RM Solovay и J. van Heijenoort (ред.), Oxford: Oxford University Press, 1986, с. 296–303.
• Goldblatt, RI, 1975 г., „Определяемост от първи ред в модалната логика“, сп. „Символична логика“, 40 (1): 35–40. DOI: 10.2307 / 2272267
• Halldén, Sören, 1948, „Бележка относно парадоксите на строгата импликация и системата на Луис S1“, Journal of Symbolic Logic, 13 (1): 138–139. DOI: 10.2307 / 2267814
• –––, 1950 г., „Резултати относно проблема с решението на Lewis’s Calculi S3 и S6”, сп. „Символична логика”, 14 (4): 230–236. DOI: 10.2307 / 2269232
• –––, 1951 г., „За семантичната непълнота на някои изчисления на Луис“, сп. „Символична логика“, 16 (2): 127–129. DOI: 10.2307 / 2266686
• Hintikka, Jaakko, 1961, „Модалности и количествено определяне“, Theoria, 27 (3): 119–28. Разширена версия в Hintikka 1969: 57–70. DOI: 10.1111 / j.1755-2567.1961.tb00020.x
• –––, 1963 г., „Режимите на модалността“, Acta Philosophica Fennica, 16: 65–81. Препечатано в Hintikka 1969: 71–86.
• –––, 1969, Модели за модалности, Dordrecht: D. Reidel.
• Йонсън, Бярни и Алфред Тарски, 1951 г., „Булеви алгебри с оператори. Част I”, American Journal of Mathematics, 73 (4): 891–939. DOI: 10.2307 / 2372123
• –––, 1952 г., „Булеви алгебри с оператори. Част II”, Американско списание по математика, 74 (1): 127–162. DOI: 10.2307 / 2372074
• Kanger, Stig, 1957, Provability in Logic, (Acta Universitatis Stockholmiensis, Стокхолмски изследвания във философията, том 1), Стокхолм: Almqvist и Wiksell.
• Крипке, Саул А., 1959а, „Теорема за пълнота в модалната логика“, сп. „Символична логика“, 24 (1): 1–14. DOI: 10.2307 / 2964568
• –––, 1959b, „Семантичен анализ на модалната логика“(резюме от Двадесет и четвъртата годишна среща на Асоциацията за символна логика), сп. „Символична логика“, 24 (4): 323–324. Дой: 10.1017 / S0022481200123321
• –––, 1962 г., „Неопределяемостта на теорията за модално количествено определяне“, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 8 (2): 113–116. Дой: 10.1002 / malq.19620080204
• –––, 1963а, „Семантичен анализ на модалната логика I. Нормални модални предложения“, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 9 (5–6): 67–96. Дой: 10.1002 / malq.19630090502
• –––, 1963b, „Семантични съображения за модалната логика“, Acta Philosophica Fennica, 16: 83–94.
• –––, 1965 г., „Семантичен анализ на модалната логика II. Ненормални модални предложения за изчисление”, в Симпозиум по теория на моделите, JW Addison, L. Henkin и A. Tarski (ред.), Амстердам: Северна Холандия, стр. 206-220.
• –––, 1967a, „Преглед на EJ Lemmon„ Алгебраична семантика за модална логика I “(1966a)“, Математически прегледи, 34: 1021–1022.
• –––, 1967b, „Преглед на EJ Lemmon„ Алгебраична семантика за модална логика II “(1966b)“, Математически прегледи, 34: 1022.
• Lemmon, EJ, 1957, „Нови основи за модалните системи на Lewis“, Journal of Symbolic Logic, 22 (2): 176–186. DOI: 0.2307 / 2964179
• –––, 1966а, „Алгебраична семантика за модална логика I“, сп. „Символична логика“, 31 (1): 46–65. DOI: 10.2307 / 2270619
• –––, 1966b, „Алгебраична семантика за модална логика II“, сп. „Символична логика“, 31 (2): 191–218. DOI: 10.2307 / 2269810
• Lemon, EJ (с Дана Скот), 1977 г., „Лимоновите бележки“. Въведение в модалната логика (American Philosophical Quarterly Monograph Series, том 11), К. Сегерберг (съст.), Оксфорд: Базил Блакуел.
• Lewis, CI, 1912, „Импликация и алгебра на логиката“, Mind, 21 (84): 522–531. Дой: 10.1093 / ум / XXI.84.522
• –––, 1914 г., „Изчислението на строгото импликация”, Ум, 23 (1): 240–247. Дой: 10.1093 / ум / XXIII.1.240
• –––, 1918, Проучване на символичната логика, Бъркли: University of California Press.
• –––, 1920, „Строго въздействие - изменение“, сп. „Философия, психология и научни методи“, 17 (11): 300–302. DOI: 10.2307 / 2940598
• Lewis, CI и CH Langford, 1932, Symbolic Logic, London: Century. 2- ^ро издание 1959 г., Ню Йорк: Дувър.
• Łukasiewicz, ян, 1920, „O Logice Trójwartościowej“, Ruch Filozoficzny, 5: 170–171.
• –––, 1930, „Philosophische Bemerkungen zu Mehrwertigen Systemen des Aussagenkalküls“, Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie, 23: 51–77. Преведено и препечатано в Łukasiewicz 1970: 153–178.
• –––, 1970, Избрани произведения, Л. Борковски (съст.), Амстердам: Северна Холандия.
• Łukasiewicz, Ян и Алфред Тарски, 1931 г., „Изследвания на сентенционното смятане“, в Алфред Тарски, 1956 г., Логика, Семантика, Метаматематика, Оксфорд: Clarendon Press, стр. 38–59.
• MacColl, Hugh, 1880, „Символично разсъждение“, Mind, 5 (17): 45–60. Дой: 10.1093 / ума / OS-V.17.45
• –––, 1897, „Символично разсъждение (II)”, Ум, 6 (4): 493–510. Дой: 10.1093 / ум / VI.4.493
• –––, 1900 г., „Символично разсъждение (III)”, Ум, 9 (36): 75–84. Дой: 10.1093 / ум / IX.36.75
• –––, 1906, Symbolic Logic и нейните приложения, Лондон: Longmans, Green и Co.
• Makinson, David C., 1966a, „Колко значими са модалните оператори?“, Australasian Journal of Philosophy, 44 (3): 331–337. DOI: 10.1080 / 00048406612341161
• –––, 1966b, „За някои теореми за пълнота в модалната логика“, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 12: 379–384. Дой: 10.1002 / malq.19660120131
• –––, 1969 г., „Нормално модално изчисляване между T и S4 без свойството на крайния модел“, сп. „Символична логика“, 34 (1): 35–38. DOI: 10.2307 / 2270978
• McKinsey, JCC, 1934, „Намаляване на броя на постулатите за системата на строго въздействие на CI Lewis“, Бюлетин на Американското математическо дружество (Нова серия), 40 (6): 425–427. Дой: 10.1090 / S0002-9904-1934-05881-6
• –––, 1941 г., „Решение на проблема за решение за системите на Lewis S2 и S4, с приложение към топологията“, Journal of Symbolic Logic, 6 (4): 117–134. DOI: 10.2307 / 2267105
• –––, 1944 г., „За броя на завършените разширения на системите на Луис на сентенционното смятане“, сп. „Символична логика“, 9 (2): 42–45. DOI: 10.2307 / 2268020
• –––, 1945, „За синтактичната конструкция на системи на модалната логика“, сп. „Символична логика“, 10 (3): 83–94. DOI: 10.2307 / 2267027
• McKinsey, JCC и Алфред Тарски, 1944, „Алгебрата на топологията“, Annals of Mathematics, 45 (1): 141–191. DOI: 10.2307 / 1969080
• –––, 1946, „За затворените елементи в алгебрата на затваряне“, Анали на математиката, 47 (1): 122–162. DOI: 10.2307 / 1969038
• –––, 1948 г., „Някои теореми за изчислителните изчисления на Луис и Хейтинг“, сп. „Символична логика“, 13 (1): 1–15. DOI: 10.2307 / 2268135
• Монтег, Ричард, 1960, „Логическа необходимост, физическа необходимост, етика и количествени характеристики“, Запитване, 3 (1–4): 259–269. DOI: 10.1080 / 00201746008601312
• Nelson, Everett J., 1930, „Международни отношения“, Mind, 39 (156): 440–453. Дой: 10.1093 / ум / XXXIX.156.440
• Пари, Уилям Татлил, 1934 г., „Постулатите за„ строго въздействие ““, Ум, 43 (169): 78–80. Дой: 10.1093 / ум / XLIII.169.78
• –––, 1939 г., „Модалности в системата на изследване на строга импликация“, сп. „Символична логика“, 4 (4): 137–154. DOI: 10.2307 / 2268714
• Преди, Arthur N., 1955, Formal Logic, Oxford: Clarendon Press.
• –––, 1956 г., „Модалност и количествено определяне в S5“, Journal of Symbolic Logic, 21 (1): 60–62. DOI: 10.2307 / 2268488
• –––, 1957 г., Време и Модалност, Оксфорд: Кларъндън Прес.
• –––, 1962, „Възможни светове“, Философски квартал, 12 (46): 36–43. DOI: 10.2307 / 2216837
• Преди, Артър Н. и Кит Файн, 1977 г., Worlds, Times and Selves, Amherst, MA: University of Massachusetts Press.
• Quine, WV, 1947a, “Проблемът за тълкуване на модалната логика”, Journal of Symbolic Logic, 12 (2): 43–48. DOI: 10.2307 / 2267247
• –––, 1947b, „Преглед на теоремата за приспадане във функционално смятане от първи ред въз основа на стриктното импликация от Рут К. Баркан (1946b)“, Journal of Symbolic Logic, 12 (3): 95–96. DOI: 10.2307 / 2267230
• –––, 1970, Философия на логиката, Кеймбридж, МА: Харвардския университет.
• Ръсел, Бертран, 1906 г., „Преглед на Хю Маккол символична логика и нейните приложения (1906 г.)“, Ум, 15 (58): 255–260. Дой: 10.1093 / ум / XV.58.255
• Schlipp, Paul Arthur (ed.), 1963 г., The Philosophy of Rudolf Carnap (Библиотеката на живите философи: том 11), La Salle: Отворен съд.
• Scroggs, Schiller Joe, 1951, “Разширения на системата на Lewis S5”, Journal of Symbolic Logic, 16 (2): 112–120. DOI: 10.2307 / 2266683
• Segerberg, Krister, 1968, „Решимост на S4.1“, Теория, 34 (1): 7–20. DOI: 10.1111 / j.1755-2567.1968.tb00335.x
• –––, 1971, Есе в класическата модална логика, 3 тома, (Filosofiska Studier, vol. 13), Uppsala: Uppsala Universitet.
• Simons, Leo, 1953 г., „Нови аксиоматизации на S3 и S4“, сп. „Символична логика“, 18 (4): 309–316. DOI: 10.2307 / 2266554
• Sobociński, Boleslaw, 1953, „Бележка за модална система на Фейс-фон Райт“, сп. „Компютърни системи“, 1 (3): 171–178.
• –––, 1962, „Принос към аксиоматизацията на системата на Lewis S5“, сп. Notre Dame of Formal Logic, 3 (1): 51–60. DOI: 10.1305 / ndjfl / 1093957059
• Strawson, PF, 1948 г., „Необходими предложения и изявления за ангажименти“, Mind, 57 (226): 184–200. Дой: 10.1093 / ум / LVII.226.184
• Thomason, Richmond H., 1973, „Философия и формална семантика“, в „Истина, синтаксис и модалност“, Hugues Leblanc (съст.), Амстердам: North-Holland, с. 294–307.
• Томасън, Стивън К., 1973 г., „Ново представяне на S5”, списание Notre Dame of Formal Logic, 14 (2): 281–284. DOI: 10.1305 / ndjfl / 1093890907
• –––, 1974, „Теорема за непълнота в модалната логика“, Теория, 40 (1): 30–34. DOI: 10.1111 / j.1755-2567.1974.tb00077.x
• van Benthem, Йохан, 1978, „Две прости непълни модални логики“, Теория, 44: 25–37. DOI: 10.1111 / j.1755-2567.1978.tb00830.x
• –––, 1984, „Възможни семантики на светове: Изследователска програма, която не може да се провали?“, Studia Logica, 43: 379–393.
• фон Райт, GH, 1951 г., Есе в модалната логика (изследвания в логиката и основите на математиката: том V), LEJ Brouwer, EW Beth и A. Heyting (ред.), Амстердам: Северна Холандия.
• Уайтхед, Алфред Норт и Бертран Ръсел, 1910 г., Principia Mathematica (том I), Cambridge: Cambridge University Press.

Вторична литература

• Баларин, Роберта, 2005, „Валидност и необходимост“, сп. „Философска логика“, 34 (3): 275–303. Дой: 10.1007 / s10992-004-7800-2
• Belnap, Nuel D., Jr., 1981, „Модална и релевантна логика: 1977“, в Modern Logic: A Survey, Evandro Agazzi (ed.), Dordrecht: D. Reidel, стр. 131–151. DOI: 10.1007 / 978-94-009-9056-2_8
• Блекбърн, Патрик и Йохан ван Бентхем, 2007a, „Модална логика: семантична перспектива“, в Блекбърн, ван Бентхем и Уолтър 2007b: глава 1.
• Блекбърн, Патрик, Йохан ван Бентхем и Франк Уолтър, (ред.), 2007b, Наръчник по модална логика (Изследвания в логиката и практическото разсъждение: том 3), Амстердам: Елзевир.
• Бул, Робърт и Кристър Сегерберг, 1984, „Основна модална логика“, в разширенията на класическата логика (Наръчник по философска логика: том 2), Д. М. Габай и Ф. Гуентнер (ред.), Dordrecht: Kluwer, стр. 1–88, DOI: 10.1007 / 978-94-009-6259-0_1
• Burgess, John P., 2009, Философска логика, Принстън: Принстънски университетски печат.
• Cocchiarella, Nino B., 1975a, “Логически атомизъм, номинализъм и модална логика”, Synthese, 31 (1): 23–62. Дой: 10.1007 / BF00869470
• –––, 1975b, „За първичната и вторичната семантика на логическата необходимост“, сп. „Философска логика“, 4 (1): 13–27. Дой: 10.1007 / BF00263118
• Copeland, B. Jack, 2002, „Генезисът на семантиката на възможните светове“, Journal of Philosophical Logic, 31 (2): 99–137. Doi: 10.1023 / A: 1015273407895
• Кърли, Е. М., 1975, „Развитието на теорията на строгата импликация на Люис“, сп. Notre Dame of Formal Logic, 16 (4): 517–527. DOI: 10.1305 / ndjfl / 1093891890
• Голдблат, Робърт, 2003, „Математическа модална логика: оглед на нейната еволюция“, в „Логика и модалностите през ХХ век“(Наръчник за историята на логиката: Том 7), DM Gabbay и J. Woods (ред.), Амстердам: Elsevier, стр. 1–98. [2003, Списание за приложна логика, 1 (5–6): 309–392. DOI: 10.1016 / S1570-8683 (03) 00008-9]
• Каплан, Дейвид, 1966 г., „Преглед на Саул А. Крипке, Семантичен анализ на модалната логика I. Нормални модални предложни калкулации (1963а)“, сп. „Символична логика“, 31 (1): 120–122. DOI: 10.2307 / 2270649
• –––, 1986, „Непрозрачност“, в Люис Едвин Хан и Пол Артър Шлип (ред.), „Философия на WV Quine“(Библиотеката на живите философи, том 18), La Salle: Отворен съд, стр. 229–289,
• Lindström, Sten, 1996, „Модалност без светове: ранна семантика на Кангер за модална логика“, в коефициенти и край. Философски есета, посветени на Влодек Рабинович по повод неговия петдесети рожден ден, С. Линдстрем, Р. Сливински и Й. Йостерберг (ред.), Упсала, Швеция, стр. 266–284.
• –––, 1998, „Изложение и развитие на ранната семантика на Кангер за модална логика“, в Новата теория на справка: Крипке, Маркус и неговите произход, PW Humphreys и JH Fetzer (ред.), Dordrecht: Kluwer, стр. 203–233.
• –––, 2001, „Проблемът с интерпретацията на Куин и ранното развитие на възможните световни семантики“, Философски изследвания в Упсала, 50: 187–213.
• Lindström, Sten и Krister Segerberg, 2007, „Модална логика и философия“, в Blackburn, van Benthem, and Wolter 2007b: глава 1.
• Лински, Леонард, (съст.), 1971 г., Справка и модалност, Оксфорд: Оксфордския университет.
• Löb, MH, 1966, “Разширителни интерпретации на модалната логика”, Journal of Symbolic Logic, 31 (1): 23–45. DOI: 10.2307 / 2270618
• Рахман, Шахид и Хуан Редмънд, 2007 г., Хю Маккол: Преглед на неговата логическа работа с антологията, Лондон: Коледж публикации.
• Rescher, Nicholas, 1974, Изследвания в модалността, Оксфорд: Базил Блакуел.
• Захаряшев, Майкъл, Кристър Сегерберг, Маартен де Рийке и Хайнрих Вансинг, 2001, „Произходът на съвременната модална логика“, в „Аванси в модалната логика 2“, М. Захарящев, К. Сегерберг, М. де Рийке и Х. Уансинг (ред.), Станфорд: Публикации на CSLI, стр. 11–38.

Академични инструменти

	Как да цитирам този запис.
	Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
	Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
	Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси

• Основни понятия в модалната логика, от Едуард Н. Залта (бележки за курса)
• Наръчник за модална логика, от Блекбърн, ван Бентхем и Уолтър