Появата на логиката от първи ред

2023 Автор: Noah Black | [email protected]. Последно модифициран: 2023-08-25 04:38

Навигация за влизане

• Съдържание за участие
• библиография
• Академични инструменти
• Friends PDF Preview
• Информация за автора и цитирането
• Върнете се в началото

Появата на логиката от първи ред

Публикувана за първи път в събота 17 ноември 2018 г.

За всеки, който се обучава в съвременната логика, логиката от първи ред може да изглежда напълно естествен обект на изследване и откриването му е неизбежно. Той е семантично завършен; тя е адекватна на аксиоматизацията на цялата обикновена математика; и теоремата на Линдстрьом показва, че това е максималната логика, удовлетворяваща свойствата на компактност и Löwenheim-Skolem. Така че не е изненадващо, че логиката от първи ред отдавна се разглежда като "правилната" логика за изследване на основите на математиката. Той заема централното място в съвременните учебници по математическа логика, като други системи се отвеждат в кулоарите. Историята обаче е всичко друго, но не и просто и със сигурност не е въпрос на внезапно откритие от един-единствен изследовател. Появата е свързана с технически открития, с различни схващания за това какво представлява логиката, т.е.с различни програми на математическото изследване и с философско и концептуално размисъл. Така че, ако логиката от първи ред е „естествена“, тя е естествена само в ретроспекция. Историята е сложна и в оспорвани точки; следващият запис може да предостави само преглед. Дискусии за различни аспекти на развитието се предоставят от Goldfarb 1979, Moore 1988, Eklund 1996, Brady 2000, Ferreirós 2001, Sieg 2009, Mancosu, Zach & Badesa 2010, Schiemer & Reck 2013, бележките към Hilbert [LFL] и енциклопедичен наръчник Gabbay & Woods 2009. Дискусии за различни аспекти на развитието се предоставят от Goldfarb 1979, Moore 1988, Eklund 1996, Brady 2000, Ferreirós 2001, Sieg 2009, Mancosu, Zach & Badesa 2010, Schiemer & Reck 2013, бележките към Hilbert [LFL] и енциклопедичен наръчник Gabbay & Woods 2009. Дискусии за различни аспекти на развитието се предоставят от Goldfarb 1979, Moore 1988, Eklund 1996, Brady 2000, Ferreirós 2001, Sieg 2009, Mancosu, Zach & Badesa 2010, Schiemer & Reck 2013, бележките към Hilbert [LFL] и енциклопедичен наръчник Gabbay & Woods 2009.

• 1. Джордж Бул
• 2. Чарлз С. Пърс
• 3. Gottlob Frege
• 4. Ернст Шрьодер
• 5. Джузепе Пеано
• 6. Алфред Норт Уайтхед и Бертран Ръсел
• 7. Леополд Льовенхайм
• 8. Дейвид Хилбърт и Пол Бърнайс
• 9. Торалф Сколем
• 10. Курт Гьодел
• 11. Заключения
• библиография
• Академични инструменти
• Други интернет ресурси
• Свързани записи

1. Джордж Бул

Съвременното изследване на логиката обикновено се датира от 1847 г. с появата на Математическия анализ на логиката на Бул. Тази работа установява, че силогистичната логика на Аристотел може да бъде преведена в алгебраично смятане, чиито символи Бул интерпретира като позоваване или на класове, или на предложения. Неговата система обхваща онова, което днес се нарича сентенционна (или булева) логика, но също така е способна да изрази рудиментарни количествени оценки. Например, предложението "Всички X s са Y s" е представено в неговата система от уравнението (xy = x), като умножението се мисли или като пресичане на множества, или като логическо съединение. „Някои X s са Y s“е по-трудно и изражението му е по-изкуствено. Бул въвежда (мълчаливо: непразен) набор V, съдържащ елементите, общи за X и Y;след това предложението се записва (xy = V) (1847: 21). Булевата система в съвременни условия може да се разглежда като фрагмент от монадичната логика от първи ред. Той е от първи ред, тъй като неговите нотационни ресурси не могат да изразят количествено определение, което варира над предикати. Той е монадичен, защото няма познание за n -ary отношения. И това е фрагмент, защото не може да изрази вложени количествени оценки („за всяко момиче съществува момче, което я обича“). Но това са нашите категории: не Бул. Логическата му система няма символи, съответстващи на количествените характеристики; така че дори да го наречем ограничена система от количествено изразена логика е анахронична. Той е монадичен, защото няма познание за n -ary отношения. И това е фрагмент, защото не може да изрази вложени количествени оценки („за всяко момиче съществува момче, което я обича“). Но това са нашите категории: не Бул. Логическата му система няма символи, съответстващи на количествените характеристики; така че дори да го наречем ограничена система от количествено изразена логика е анахронична. Той е монадичен, защото няма познание за n -ary отношения. И това е фрагмент, защото не може да изрази вложени количествени оценки („за всяко момиче съществува момче, което я обича“). Но това са нашите категории: не Бул. Логическата му система няма символи, съответстващи на количествените характеристики; така че дори да го наречем ограничена система от количествено изразена логика е анахронична.

Двете основни допълнения към системата на Бул, които създадоха разпознаваемо модерна логика, бяха: а) въвеждането, освен едно поставени предикати („х е смъртно“), на много поставени отношения („х е брат на у“; „X лежи между y и z“); и (б) въвеждане на обозначение за универсално и екзистенциално количествено определяне.

Двама логици, работещи по булева традиция, извършиха тези стъпки. Първата стъпка беше частично извършена от Август Де Морган (през De Morgan 1864). Вторият е извършен от CS Peirce (в Пърс 1885). Работейки изцяло независимо, Готлоб Фреге извърши и двете стъпки едновременно в своя Begriffsschrift от 1879 г. Последвалата история в продължение на няколко десетилетия е разклоняваща се структура, с многобройни изследователи, работещи в различни традиции и само частично запознати с постиженията на един друг.

2. Чарлз С. Пърс

Пърс работи в алгебраичната традиция на Бул. Първите му документи за логика се появяват през 1867 г.; те опростяват системата на Boole, повторно интерпретират обединението или логическото добавяне (A + B), така че да се прилага и когато A и B не са разединени, коригират няколко грешки и изследват връзките между логиката, аритметика и алгебра.

Три години по-късно, в своето „Описание на нотация за логиката на роднините“(1870), Пърс произвежда значително разширяване на системата на Бул. Де Морган беше посочил (De Morgan 1864), че аристотеловият силогист не е в състояние да се справи с такива изводи като: „Ако всеки човек е животно, то всяка глава на човек е глава на животно“. Де Морган въведе логика на отношенията, дефинира обратното и противоположното отношение и за отношения като „X е любовник на Y“и „Z е слуга на W“, беше проучил такива състави от отношения като „X е любовник на y слугата“. Тази работа успешно разшири аристотеловата силогистична логика, но също така беше ограничена по няколко начина. Първо, De Morgan оперира само с бинарни отношения. Второ, нотацията му беше тромава. (Например:ако (X / pdot / pdot LY) означава, че X е любовник на Y, тогава (X / pdot LY) означава, че X не е любовник на Y. Де Морган няма отделен знак за отрицание, нито за булевите предложения за връзки.)

Пърс забеляза тези недостатъци и през 1870 г. показа как да разшири логиката на Бул, за да обхване

цялата сфера на формалната логика, вместо да се ограничава до онази най-проста и най-малко полезна част от темата, логиката на абсолютните термини, която, когато [Бул] писа, беше единствената известна формална логика.

Той изучава състава на отношенията помежду си и с класовите термини и изработва основните закони за получената абстрактна алгебраична система, в крайна сметка показва, че линейните асоциативни алгебри, изследвани от баща му (Бенджамин Пърс, харвардският математик), могат да бъдат всички определено по отношение на това, което той нарече „елементарни роднини“. Неговата система от 1870 г., макар и с голям напредък както по Бул, така и по отношение на Де Морган, остава забележително неудобна и в ретроспекция е ясно, че се нуждае от теорията за количественото определяне. Но това беше първият успешен опит за разширяване на системата на Бул в логиката на отношенията.

През 1880 г. Пърс описва процедурата за намаляване на формулите на сентенциалното смятане до конюнктивна и дизюнктивна нормална форма, а също и в непубликувана работа демонстрира, че сентенционното смятане може да бъде получено от единния съединител на съвместно отказване („нито p, нито q“). Неговата книга от 1881 г. „За логиката на числото“изследва основите на аритметиката и анализира естествените числа по отношение на дискретни, линейно подредени множества без максимален елемент. Той даде неформални рекурсивни дефиниции на събиране и умножение и доказа, че и двете операции са асоциативни и комутативни.

В два забележителни документа, кратката бележка 1883 г. и по-дългата „На алгебрата на логиката“от 1885 г., той въвежда модерна нотация за това, което той пръв нарече „количествен показател“. Той разглежда своите квантори (за които използва символите (Pi) и (Sigma)) като обобщение на булевите съединители, като универсалният количествен номер (Pi) се интерпретира като (вероятно безкраен)) съвместно, така че (Pi_x P (x)) се разбира като „a е P и b е P и c е P и …“. По същия начин екзистенциалният количествен коефициент (Sigma) се разбира като (вероятно безкрайна) сума: „a е P или b е P или c е P или …“. Тази гъвкава нотация (Pi) и (Sigma) му позволява лесно да изразява вложени количествени характеристики до всяка желана дълбочина. По този начин, в неговото обозначение, ако (l_ {ij}) представлява „аз съм любовник на j“,(Sigma_i / Sigma_j) (l_ {ij}) ни казва, че някой обича някого, докато (Pi_i / Sigma_j) (l_ {ij}) ни казва, че всеки обича някого. (Нотията (Sigma) и (Pi) разбира се е предназначена, в булев дух, да подчертае аналогията с аритметичните суми и продукти.)

„На алгебрата на логиката“е забележително и по други причини. Тя започва с важен пасаж (§2) относно смятането на предложенията, съдържащ първата изрична употреба на две стойности на истината. След това Пърс описва процедура за вземане на решение за смятане:

[T] o намери дали дадена формула е непременно вярно заместител (mathbf {f}) и (mathbf {v}) за буквите и виж дали може да се предполага, че е фалшива при такова присвояване на стойности. (1885: 191)

Той дава защита на материалното значение и показва как да се дефинира отрицанието по отношение на импликацията и специален символ за абсурда. В следващия раздел (§3) той третира това, което нарича, следвайки Училищата, „първоначалната логика на отношенията“. Именно тук той въвежда термина „количествен показател“; матрицата на предложението на количествена формула, която той нарича „булева“. В този раздел квантификаторите варират само за индивидите от Вселената; следователно „логиката на първото умишление“е първостепенна. И тук той беше първият, който обсъди правилата за трансформиране на количествена формула в нормална форма на предварителен достъп. Следващият раздел (§4) е озаглавен „логика за второ умисъл“. Има ясно разграничение от първонамерената логика на §3. Тук е разрешено количествените характеристики да варират над предикати;и той използва новата си нотация, за да посочи съвременното определение за идентичност от втори ред: два обекта са идентични само в случай, че отговарят на едни и същи предикати.

Хартата на Пърс в много отношения беше много по-напред от своето време. Неговото рязко разграничаване между логически системи за предложения, първонамерено и второ умишлено не трябваше да се приравнява по яснота до Хилберт в неговите лекции от 1917/18. Пърс също е бил прозорлив при разглеждането на количествените вещества като (вероятно безкрайни) суми и продукти, обозначение, което Льовенхайм трябваше да направи възможно откриването на теоремата на Левенхайм-Сколем и което трябваше да играе значителна роля при формулирането на доказателството на Хилберт -теоретична програма през 20-те години. (Логическите идеи на Пърс бяха добре познати в континентална Европа, като бяха възприети от Ернст Шрьодер и получиха широк тираж в трите тома на неговата Алгебра дер Логик (1890–95).)

Пърс изрича тези различни различия - и по-специално разграничението между логика от първи и втори ред - с по-голяма яснота от всеки логик до лекциите на Хилберт през 1917 г. И, за разлика от Хилберт, Пърс е проникнат в писанията на средновековните логици, Той оцени напълно философската значимост на аргументите за реалността на универсалите: това е ясно защо той направи такова рязко разграничение между логиката на §2 и тази на §3. По този начин той бе отворен да направи (или поне да разгледа) номиналистичен аргумент от името на логиката от първи ред и срещу логиката от втори ред. Но освен няколко случайни забележки, той самият не е доразвил своите наблюдения върху логиката за второ умисъл, т.е.и изглежда вероятно съвременното разграничаване между логиката от първи ред и по-висок ред да е преоткриване, направено независимо през 1917/18 г. от Хилберт, а не директно вдъхновено от Пърс.

3. Gottlob Frege

Логичните приноси на Фреге израстваха от различна почва и бяха направени (доколкото може да се определи) изцяло независимо от англо-американската алгебрична традиция на Бул, Де Морган и Пърс. Вместо това те имат своя корен в работата по основите на реалния анализ от такива немски математици като Дирихлет, Риман, Вайерштрас и Хайне. От тази традиция Фреге взе първоначално идеята за осигуряване на строга основа за математиката (проект, който в неговите ръце се превърна в проект за показване, че аритметиката може да бъде основана на законите на логиката); и второ, централните математически понятия за функция и променлива, които той използва вместо аристотеловите понятия за предикат и подлог. Тази последна стъпка го доведе естествено до логика на отношенията (тъй като функциите, разгледани в математиката, са многомерни);и неговият анализ на математически изводи също го накара да въведе понятие за количествено-логическа логика. (Математици като Вейерщрас, в своя анализ на граничната концепция, вече бяха чувствителни към „гнезденето“на квантовете и значението на тяхното подреждане: към разликата, например, между „казвам за всеки (varepsilon) съществува (delta) "и" съществува (delta) такъв, че за всеки (varepsilon) ". Това, което се изискваше сега, и това, което предлагаше Frege, беше официален език за изразяване и направете изрично количествените изводи, които вече присъстват в работата на германските анализатори.) И така, с един ход, в Begriffsschrift от 1879 г., Фреге предприел двете основни стъпки отвъд традиционните логически отношения и количествени характеристики - които алгебраичната традиция е предприела отделно и десетилетия един от друг.

Логическата система на Фреж имаше няколко предимства пред Пърс. Аксиоматичното му представяне на чисто синтактично смятане беше значително по-прецизно и анализът му на понятието число отиде по-дълбоко. Неговата система позволява количествено да се определят както променливите, така и функциите. Това беше централен компонент на неговата програма за осигуряване на логическа основа за аритметиката, тъй като в неговата логическа система идентичността, кардиналното число и математическата индукция бяха определени чрез количествено определяне на по-висок ред. В своя Grundlagen (1884) той прави разлика между понятия от различен ред, така че ако понятие A попада в концепция B, тогава B е от „втори ред“(§53). При по-техническото третиране в неговия Grundgesetze (1893) той обмисля количествените оценки от третия ред, макар че действителното му извличане на аритметика протича изцяло в логиката на втори ред.

По този начин Фреге беше един от първите логици, разпознали важността на йерархията на логическите нива. Откритието му на практика беше едновременно с това на Пърс и стигна до напълно независимо, в преследване на различни цели. Откритието на Фреж трябваше да има по-голямо въздействие. Това бе основа за теорията на типовете на Ръсел (а също така, десетилетия по-късно повлия на Карнап, който изучаваше логиката с Фреге).

Но въпреки че Фреге разграничаваше логическите нива, той не изолира частта от неговата количествено-измервателна система, която се простира само над променливи от първия ред като обособена логическа система: нито би било естествено той да го направи. В това отношение има значителен контраст с Пърс. Проектът на Фреж трябваше да покаже, че аритметиката може да бъде основана на законите на логиката: за него имаше само една логика и логиката задължително включваше логиката на концепциите от по-висок ред. За разлика от тях Пърс отхвърли идеята за една единствена, прекалено извита логика, вместо да мисли по логика, която варира в зависимост от „вселената на дискурса“. До голяма степен поради тази причина той се приближи в своя документ от 1885 г. до изолирането на предложението, смятането, „логиката на първото намерение” и „логиката на второто намерение” като отделни системи,всеки достоен за изучаване сам по себе си: в това отношение той беше по-близо до съвременните схващания, отколкото беше Фреге. Има допълнителна и по-фина разлика. Нотацията на Пирс (Sigma) и (Pi) за количествените характеристики беше изрично замислена от гледна точка на (вероятно безкрайни) връзки и спорове на предложенията за индивидите. Това е силно внушаваща концепция, която е трудно да се представи в системата на нотите на Фреге. Левенхайм трябваше да го използва в ранната си работа по теория на модела, което доведе до технически открития, които в крайна сметка трябваше да привлекат вниманието към логиката от първи ред. Но цялата тази работа лежи десетилетия в бъдещето и нито Frege, нито Peirce могат да бъдат кредитирани за модерно разбиране на разликата между логиките от първи ред и по-висок ред.той беше по-близо до съвременните представи, отколкото беше Фреге. Има допълнителна и по-фина разлика. Нотацията на Пирс (Sigma) и (Pi) за количествените характеристики беше изрично замислена по отношение на (вероятно безкрайни) връзки и разминавания на предложенията за индивидите. Това е силно внушаваща концепция, която е трудно да се представи в системата на нотите на Фреге. Левенхайм трябваше да го използва в ранната си работа по теория на модела, което доведе до технически открития, които в крайна сметка трябваше да привлекат вниманието към логиката от първи ред. Но цялата тази работа лежи десетилетия в бъдещето и нито Frege, нито Peirce могат да бъдат кредитирани за модерно разбиране на разликата между логиките от първи ред и по-висок ред.той беше по-близо до съвременните представи, отколкото беше Фреге. Има допълнителна и по-фина разлика. Нотацията на Пирс (Sigma) и (Pi) за количествените характеристики беше изрично замислена по отношение на (вероятно безкрайни) връзки и разминавания на предложенията за индивидите. Това е силно внушаваща концепция, която е трудно да се представи в системата на нотите на Фреге. Левенхайм трябваше да го използва в ранната си работа по теория на модела, което доведе до технически открития, които в крайна сметка трябваше да привлекат вниманието към логиката от първи ред. Но цялата тази работа лежи десетилетия в бъдещето и нито Frege, нито Peirce могат да бъдат кредитирани за модерно разбиране на разликата между логиките от първи ред и по-висок ред. Нотацията на Пирс (Sigma) и (Pi) за количествените характеристики беше изрично замислена по отношение на (вероятно безкрайни) връзки и разминавания на предложенията за индивидите. Това е силно внушаваща концепция, която е трудно да се представи в системата на нотите на Фреге. Левенхайм трябваше да го използва в ранната си работа по теория на модела, което доведе до технически открития, които в крайна сметка трябваше да привлекат вниманието към логиката от първи ред. Но цялата тази работа лежи десетилетия в бъдещето и нито Frege, нито Peirce могат да бъдат кредитирани за модерно разбиране на разликата между логиките от първи ред и по-висок ред. Нотацията на Пирс (Sigma) и (Pi) за количествените характеристики беше изрично замислена по отношение на (вероятно безкрайни) връзки и разминавания на предложенията за индивидите. Това е силно внушаваща концепция, която е трудно да се представи в системата на нотите на Фреге. Левенхайм трябваше да го използва в ранната си работа по теория на модела, което доведе до технически открития, които в крайна сметка трябваше да привлекат вниманието към логиката от първи ред. Но цялата тази работа лежи десетилетия в бъдещето и нито Frege, нито Peirce могат да бъдат кредитирани за модерно разбиране на разликата между логиките от първи ред и по-висок ред. Левенхайм трябваше да го използва в ранната си работа по теория на модела, което доведе до технически открития, които в крайна сметка трябваше да привлекат вниманието към логиката от първи ред. Но цялата тази работа лежи десетилетия в бъдещето и нито Frege, нито Peirce могат да бъдат кредитирани за модерно разбиране на разликата между логиките от първи ред и по-висок ред. Левенхайм трябваше да го използва в ранната си работа по теория на модела, което доведе до технически открития, които в крайна сметка трябваше да привлекат вниманието към логиката от първи ред. Но цялата тази работа лежи десетилетия в бъдещето и нито Frege, нито Peirce могат да бъдат кредитирани за модерно разбиране на разликата между логиките от първи ред и по-висок ред.

4. Ернст Шрьодер

Приносите на Фреге не бяха веднага разбрани или оценени и през последното десетилетие на века логиката беше доминирана от трите тома на Vorlesungen über die Algebra der Logik на Ернст Шредер (1890–95). Шрьодер представи енциклопедично третиране на логическата работа на Бул и Пърс, систематизирайки и разширявайки техните резултати. Количествените характеристики на Пърс се появяват в обем два, но разликата между количественото определяне от първи и втори ред не е направено със съпоставима яснота. Както посочва Фреге в рецензията си (1895 г.), нотацията на Шрьодер не разграничава зададеното членство от връзката подмножество и в резултат на това може да бъде трудно да се определи дали възнамерява да даде определено количествено определяне за подмножествата на един домейн (т.е. да бъде втори ред) или над неговите елементи (т.е. да бъде от първи ред). Schröder използва както второстепенни, така и първокачествени количествени характеристики; и в третия си том той използва техниката за разширяване на количественото определяне на втори ред в безкраен продукт от първокласни количествени оценки - техника, която е развитие на нотата на продуктите на Peircian и това е да предостави отправна точка за изследванията на Löwenheim. Но Шрьодер не извлича от по-широката си система подсистема от първостепенен логика и не третира разграничаването на поръчките като само по себе си от голямо значение, нито математически, нито философски. В този смисъл той е по-малко ясен от книгата на Пърс от 1885 г. (Полезен анализ на логическата работа на Шрьодер се съдържа в Брейди 2000).и в третия си том той използва техниката за разширяване на количественото определяне на втори ред в безкраен продукт от първокласни количествени оценки - техника, която е развитие на нотата на продуктите на Peircian и това е да предостави отправна точка за изследванията на Löwenheim. Но Шрьодер не извлича от по-широката си система подсистема от първостепенен логика и не третира разграничаването на поръчките като само по себе си от голямо значение, нито математически, нито философски. В този смисъл той е по-малко ясен от книгата на Пърс от 1885 г. (Полезен анализ на логическата работа на Шрьодер се съдържа в Брейди 2000).и в третия си том той използва техниката за разширяване на количественото определяне от втори ред в безкраен продукт на количествените оценки от първи ред - техника, която е разработка на Peircian нотацията на продукта и това е да предостави отправна точка за изследванията на Löwenheim. Но Шрьодер не извлича от по-широката си система подсистема от първостепенен логика и не третира разграничаването на поръчките като само по себе си от голямо значение, нито математически, нито философски. В този смисъл той е по-малко ясен от книгата на Пърс от 1885 г. (Полезен анализ на логическата работа на Шрьодер се съдържа в Брейди 2000). Но Шрьодер не извлича от по-широката си система подсистема от първостепенен логика и не третира разграничаването на поръчките като само по себе си от голямо значение, нито математически, нито философски. В този смисъл той е по-малко ясен от книгата на Пърс от 1885 г. (Полезен анализ на логическата работа на Шрьодер се съдържа в Брейди 2000). Но Шрьодер не извлича от по-широката си система подсистема от първостепенен логика и не третира разграничаването на поръчките като само по себе си от голямо значение, нито математически, нито философски. В този смисъл той е по-малко ясен от книгата на Пърс от 1885 г. (Полезен анализ на логическата работа на Шрьодер се съдържа в Брейди 2000).

5. Джузепе Пеано

През 1889 г. Джузепе Пеано, независимо от Пърс и Фреге, въвежда обозначение за универсално количествено определяне. Ако a и b са предложения със свободните променливи (x, y, / ldots), тогава (a / mathbin { revc_ {x, y, / ldots}} b) символизира: Каквото и (x, y, / ldots), може да бъде от предложението един извежда b. Човек се колебае да нарече това обозначение за универсалния количествен показател, тъй като количественото определяне не може да бъде отделено от знака за материално значение: нотативно, това е значителна стъпка назад от Пърс. Освен това Peano не разграничава първия ред от количественото определяне от втори ред. Смисълът на неговото есе беше да представи принципите на аритметиката в логическата символика, а формулирането му на принципа на математическата индукция може да се види, от нашите светлини, да бъде от втори ред: но само мълчаливо. Това беше разграничение, на което (отново за разлика от Пърс) той изглежда не придава значение. Той обаче добави редица нови символи към математическата логика, които трябваше да окажат влияние върху работата на Уайтхед и Ръсел в Principia Mathematica; и един от символите беше нотация (съществува) за екзистенциалния количествен показател. (Странно, Peano не въведе паралелен символ за универсалния количествен показател. Изглежда, че Уайтхед е въвел нотацията ((x)) в Principia, а Хилберт е въвел символа (forall).)(Странно, Peano не въведе паралелен символ за универсалния количествен показател. Изглежда, че Уайтхед е въвел нотацията ((x)) в Principia, а Хилберт е въвел символа (forall).)(Странно, Peano не въведе паралелен символ за универсалния количествен показател. Изглежда, че Уайтхед е въвел нотацията ((x)) в Principia, а Хилберт е въвел символа (forall).)

6. Алфред Норт Уайтхед и Бертран Ръсел

Откритието на Ръсел през 1901 г. за Парадокса на Ръсел го накара в рамките на няколко месеца в писмо до Фреге (Frege [PMC]: 144) да предложи ориентировъчна версия на теорията на видовете. Централната идея той взе от теорията на Фреге за функциите на първия, втория и по-високия порядък. Ръсел представи версия на своята теория в приложение към Принципите на математиката (1903 г.), а след това в зряла форма в своята „Математическа логика като основана на теорията на типовете“(1908 г.), която предоставя концептуалните основания за Principia Mathematica, Ръсел разглежда Вселената като набраздена на нива или видове. Първият тип включва индивидите; вторият тип включва предложенията от „първи ред“, чиито количествени характеристики варират спрямо индивидите от първия тип; общо взето,квантовете в предложенията от n + 1-ви тип диапазон спрямо предложенията от n-ти тип. Системата на Ръсел всъщност се състои от две отделни йерархии: едната да се занимава с парадоксите на теорията на множествата (по-специално да забрани на множествата да бъдат елементи на самите тях); другият да се занимава със семантичните парадокси (като парадокса на лъжца). Тази двойна структура, разклоняваща се в две посоки, дава на теорията си наименованието „разклонена теория на типовете“. За да може да установи класическия анализ, той е принуден да възприеме аксиомата на приводимостта, която предвижда, че всяка функция на ниво (n + 1) е съвместно с предикат на функция от по-ниско ниво. Системата беше изключително сложна; след време, от ръцете на Chwistek, Ramsey, Carnap, Tarski и Church,беше признато, че йерархията, занимаваща семантичните парадокси, може да бъде съкратена, оставяйки „простата теория за типовете“. (Проучване на тази еволюция може да бъде намерено в Църква 1974 г. и подробни проучвания на теорията на Ръсел в Landini 1998 и Linsky 2011.)

По този начин Ръсел и Уайтхед притежават обозначение за двата количествени характеристики, както и разграничение между количествените характеристики от първия и по-високия тип. Но това не е същото като притежаването на концепция за логика от първи ред, замислена като свободно стояща логическа система, достойна за изучаване от само себе си. По същество две неща блокираха пътя. Първо (и за разлика от Пърс), техният обект на изследване не са множество логически системи, а логика, за да могат да разделят фрагмент за отделно изследване, камо ли да твърдят, че фрагментът от първи ред се радва на привилегировано статус. Напротив: както при Фреге, амбицията на Принципия е била да демонстрира, че математиката може да бъде сведена до логика, т.е.и за Уайтхед и Ръсел логиката обхваща пълния апарат на теорията за разклонен тип (заедно с аксиомите за безкрайност, избор и редуцируемост). Второ, въпреки че Принципията предоставя аксиоматизация на теорията на типа (и по този начин може да се разглежда като уточняване на концепция за дедуктивна последица), Уайтхед и Ръсел смятат за своята система за интерпретирана система, заявявайки истините на логиката, а не като формално смятане в усещането за Хилберт. Хилберт трябваше да използва тяхната аксиоматизация като отправна точка за собствените си аксиоматизации на различни логически системи; но докато не беше формулирана разликата между логиката и металогията, естествено не се случи на никого да поставя металогичните въпроси за пълнота, последователност и решителност,или да проучи такива въпроси като връзката между дедуктивната и семантичната завършеност или провалите на категоричността; и едва веднъж подобни понятия станаха в центъра на вниманието, значението на логиката от първи ред стана очевидно.

7. Леополд Льовенхайм

През 1915 г. Льовенхайм публикува своята забележителност „Über Möglichkeiten im Relativkalkül“. Този документ, написан в традицията на смятането на роднините на Пърс-Шрьодер, установи първата значима металогична теорема; от определени гледни точки, тя поставя началото на теорията на модела. Льовенхайм счита за клас от това, което нарича „преброяване на изрази“(Zählausdrücke), чиито количествени характеристики се простират само върху домейна на обектите във Вселената, но не и над роднините; след това той доказа, че за всеки такъв преброителен израз, ако е удовлетворителен, той е удовлетворителен в някаква многобройна област. В съвременната терминология неговите „броещи изрази“са формули на логиката от първи ред; но терминологията му не показва никакво влияние нито от логиката на Пърс на „първото намерение“, нито от теорията на типовете Ръсел. Левенхайм, както всички логици от тази епоха,не притежаваше разликата между езика на обекта и метаезика. Неговото доказателство е трудно да се следва, а точните детайли на неговата теорема - за това, което той вярваше, че е доказал, и това, което той всъщност доказа - бяха обект на обширна научна дискусия. (Проучване на различните интерпретации е предоставено от Mancosu, Zach, & Badesa 2009, както и подробна реконструкция на самото доказателство от Badesa 2004.) Документът изглежда няма никакво влияние, докато Сколем не изостря и разширява резултатите си през 1920 г. Льовенхайм, подобно на Пърс и Ръсел, не изолира аксиоматична система, обхващаща логиката от първи ред, нито направи разграничение между синтаксис и семантика. Още по-малко твърди, че класът му за „броене на изрази“по някакъв начин е логично привилегирован и осигурява благоприятна основа за математиката. Теоремата на Левенхайм беше навреме да бъде призната като изолиране на основно свойство на логиката от първи ред. Но пълните последици от неговия резултат трябваше да станат ясни чак по-късно, след като Хилберт въведе метаматематическото изследване на логическите системи. (Между другото, Льовенхайм кредитира елегантната символика (Sigma) и (Pi) на Пърс за това, че предполага необходимите за неговото доказателство инфинитарни разширения; и е трудно да се разбере как би могъл да получи теоремата си с която и да е от другите количествено-измерителни обозначения, които се предлагат тогава. Той все още енергично защитаваше предимствата на нотата на Пърс-Шрьодер срещу нотация на Principia още през Löwenheim 1940.)Но пълните последици от неговия резултат трябваше да станат ясни чак по-късно, след като Хилберт въведе метаматематическото изследване на логическите системи. (Между другото, Льовенхайм кредитира елегантната символика (Sigma) и (Pi) на Пърс за това, че предполага необходимите за неговото доказателство инфинитарни разширения; и е трудно да се разбере как би могъл да получи теоремата си с която и да е от другите количествено-измерителни обозначения, които се предлагат тогава. Той все още енергично защитаваше предимствата на нотата на Пърс-Шрьодер срещу нотация на Principia още през Löwenheim 1940.)Но пълните последици от неговия резултат трябваше да станат ясни чак по-късно, след като Хилберт въведе метаматематическото изследване на логическите системи. (Между другото, Льовенхайм кредитира елегантната символика (Sigma) и (Pi) на Пърс за това, че предполага необходимите за неговото доказателство инфинитарни разширения; и е трудно да се разбере как би могъл да получи теоремата си с която и да е от другите количествено-измерителни обозначения, които се предлагат тогава. Той все още енергично защитаваше предимствата на нотата на Пърс-Шрьодер срещу нотация на Principia още през Löwenheim 1940.)и е трудно да се разбере как би могъл да получи теоремата си с някоя от другите количествено-обозначителни обозначения след това на предложение. Той все още енергично защитаваше предимствата на нотата на Пърс-Шрьодер срещу нотацията на Принципия чак през Льовенхайм 1940 г.)и е трудно да се разбере как би могъл да получи теоремата си с някоя от другите количествено-обозначителни обозначения след това на предложение. Той все още енергично защитаваше предимствата на нотата на Пърс-Шрьодер срещу нотацията на Принципия чак през Льовенхайм 1940 г.)

8. Дейвид Хилбърт и Пол Бърнайс

Нека накратко да направим равносметка на ситуацията, каквато е съществувала през 1915 г. Пърс е разграничил логиката от първи и втори ред, но е направил разграничението без математическа употреба и отпадна от погледа. Както Фредж, така и Ръсел бяха формулирани версии на теория на типа на много нива, но нито един от тях не бе определил фрагмент от първи ред като обект, достоен за изследване. Американските теоретици на постулатите, Едуард Хънтингтън и Освалд Веблен, формулираха различни представи за пълнота и категоричност и Веблен отбеляза, че аксиоматичната дедуктируемост може да се различава от семантичното имплициране (Awodey & Reck 2002: 15-19). Но Веблен не притежаваше точна характеристика на формалното удръжка и наблюдението му остава инертно. Льовенхайм беше доказал дълбока теорема за това какво в ретроспекция може да се характеризира като формули от първи ред,но не беше изолирала система от логика от първи ред. Подобна точка важи и за Херман Вейл, който през 1910 г. предложи (в действителност) да използва логиката от първи ред, за да уточни концепцията за „определено свойство“в аксиомата на отделянето на Цермело. Но това също е ретроспективна характеристика и интересът на Вейл беше в теорията на множествата, а не в изучаването на система от логика от първи ред.

Следващата голяма стъпка бе направена от Дейвид Хилберт в лекционния му курс Prinzipien der Mathematik, изнесен в Гьотинген през зимния семестър на 1917/18. Хилберт е изнасял лекции и публикувани по основополагащи теми през годините 1899-1905; в интервенционното време, тъй като той се съсредоточи върху други въпроси, публикациите бяха прекратени, въпреки че продължителните лекции в класната стая продължиха. Той беше в крак с текущото развитие и по-специално беше информиран за логичната работа на Уайтхед и Ръсел, до голяма степен чрез неговия ученик Хайнрих Беман. През септември 1917 г. той изнася своята програмна лекция „Axiomatisches Denken” в Цюрих, призовавайки за аксиоматично третиране на логиката по линиите, които по-рано беше изследвал в своята аксиоматизация на геометрията, и изрично предложи металогични изследвания:

Когато разгледаме въпроса по-отблизо, скоро признаваме, че въпросът за съгласуваността за цели числа и за множества не е този, който стои самостоятелно, а че принадлежи към огромна област от трудни гносеологични въпроси, които имат специфичен математически нюанс: например (за да характеризирам накратко тази област от въпроси), проблемът за разрешимостта по принцип на всеки математически въпрос, проблемът за последващата проверимост на резултатите от математическото изследване, въпросът за критерий за простота на математическите доказателства, въпросът за връзката между съдържанието и формализма в математиката и логиката и накрая проблемът с разрешимостта на математическия въпрос в ограничен брой операции. (Хилберт 1917: 412–413)

Именно на това пътуване до Цюрих той покани Пол Бернайс да се върне в Гьотинген като негов помощник по основополагащите въпроси. Въпреки че Бернайс нямаше предишен опит в фондациите, това се оказа груб избор и началото на тясно и ползотворно партньорство в областта на научните изследвания.

Лекциите от Гьотинген, които наскоро следват адреса на Цюрих (и които бяха записани в официален протокол от Бернайс), са забележителен документ и бележат раждането на съвременната математическа логика. Те по същество са същите като публикуваната монография, известна като „Хилберт и Акерман“(1928), и дори днес, със скромни допълнения, биха могли да послужат като уводен учебник по логика. Хилберт за първи път ясно разграничава метаезика от езика на обекта и стъпка по стъпка представя последователност от формални логически изчисления за постепенно увеличаване на силата. Всяко смятане внимателно се изучава от своя страна; нейните силни и слаби страни са идентифицирани и балансирани, а анализът на слабостите се използва за подготовка на прехода към следващото смятане. Той започва с предложението смятане,след това преминава към монадична количествено-логическа логика (с разширено обсъждане на смятането на класовете и на аристотелевския силогизъм), а след това към „функционалното смятане“.

Функционалното смятане е система от (много сортирана) логика от първи ред, с променливи за изречения, както и за отношения. Именно тук за първи път се сблъскваме с прецизна, модерна формулировка на логиката от първи ред, ясно разграничена от другите калкули, с аксиоматична основа и с изрично формулирани металогични въпроси. Хилберт завършва дискусията си за логиката от първи ред със забележката:

Основното обсъждане на логическото смятане може да приключи тук, ако нямахме друг край с оглед на това смятане освен формализирането на логическото заключение. Но ние не можем да бъдем доволни от това приложение на символичната логика. Ние не само искаме да можем да разработваме отделни теории от техните принципи по чисто формален начин, но също така искаме да проучим основите на самите математически теории и да проучим как са свързани с логиката и доколко те могат да бъдат изградени от чисто логически операции и концепции; и за тази цел логичното смятане е да ни служи като инструмент. (1917/18: 188)

Това го води след това да въведе логика от по-висок порядък, а оттам и до разглеждане на логическите парадокси и тяхното разрешаване чрез разросената теория на типовете на Ръсел; аксиомата на приводимостта се обсъжда накратко и се приема като основа за математиката. Лекционният протокол завършва с изречението:

Следователно е ясно, че въвеждането на аксиомата на редуцируемостта е подходящото средство за превръщането на смятането на нивата в система, от която могат да се развият основите на висшата математика.

Това изречение изглежда по същество непроменено, когато лекциите от 1917 г. са преработени отново като монография (Hilbert & Ackermann 1928).

В хода на лекциите си Хилберт се занимава с металогичните въпроси, които е посочил в „Axiomatisches Denken“, и (поне негласно) показва как трябва да се отговори на въпросите за пълнота, последователност и решителност за случая на предложение. Въпросът за пълнотата на логиката от първи ред не е изрично повдигнат в записа на Бернейс от лекциите, въпреки че внимателният читател лесно би го разпознал като открит проблем. На следващото лято Бернайс изготви хабилитационна теза, в която разработи с пълна строгост аксиоматичен анализ на логиката на предложенията в стил Хилберт. Той представя аксиоматичната система като не тълкувано формално смятане; осигурява му семантика; и след това доказва теоремата за пълнота, свързваща синтаксиса със семантиката във формата, „Всяка доказаема формула е универсално валидна и обратно“. След това той пристъпва към изследване на въпросите на разтворимостта, последователността и взаимната независимост на различни комбинации от аксиоми.

Лекциите от Хилберт от 1917 г. и хабилитацията на Берни от 1918 г. са крайъгълен камък в развитието на логиката от първи ред. В лекциите за първи път логиката от първи ред се представя сама по себе си като аксиоматична логическа система, подходяща за изучаване с помощта на новите металогични техники. Именно тези металогични техники представляват решаващия напредък над Пърс и Фреге и Ръсел и бяха навреме, за да приведат във фокус логиката от първи ред. Но това не се случи веднага и предстои все още голяма работа. В лекциите от 1917/18 г. последователността на логическите изчисления на Хилберт беше представена като стъпала по пътя към пълната теория на разклонения от по-висок ред, която той продължава да разглежда като „правилната“логическа рамка за изследване на основите на математиката. За Хилберт беше характерно да разгражда сложни математически явления на техните елементи: последователността на изчисленията може да се разглежда като разлагане на логиката от по-висок ред на нейните по-прости компоненти, разкривайки на учениците си точно стъпките, които влязоха в сградата на пълното система. Въпреки че обсъжда функционалното смятане, той не го отделя за специално внимание. С други думи (както както и с Пърс три десетилетия по-рано) логиката от първи ред се въвежда предимно като устройство за съхранение: нейното значение все още не беше ясно.той не го отделя за специално внимание. С други думи (както както и с Пърс три десетилетия по-рано) логиката от първи ред се въвежда предимно като устройство за съхранение: нейното значение все още не беше ясно.той не го отделя за специално внимание. С други думи (както както и с Пърс три десетилетия по-рано) логиката от първи ред се въвежда предимно като устройство за съхранение: нейното значение все още не беше ясно.

Нещо повече, собственото третиране на Хилберт с металогичните въпроси е някак прибързано и неофициално. Той експериментира с няколко версии на концепцията за „пълнота“: човек има смисъл, че бързо пробива нова основа и все още не е сигурен кои понятия ще се окажат най-ползотворни. Неговото доказателство за пълнотата на предложенията е само скица и се прехвърля в бележка под линия; паралелният проблем за логиката от първи ред дори не е повдигнат като предположение. Още по-поразително е, че когато в крайна сметка Бернайс през 1926 г. публикува своята хабилитация, той пропусна доказателството си за теоремата за пълнота, тъй като (както по-късно грубо каза) резултатът изглеждаше навремето пряк и маловажен. (За обсъждане на тази точка вж. Hilbert [LFL]: 229. За лесно достъпни общи дискусии вж. Sieg 1999, Zach 1999,и есетата, събрани през Sieg 2013; за оригиналните документи и подробен анализ, вижте Hilbert [LFL.)

С други думи, дори в Гьотинген през 20-те години липсва пълно разбиране на значението на идеите, които Хилберт е въвел през 1917 г. Школата в Хилберт през 20-те години на миналия век разглеждаше логиката от първи ред като фрагмент от теорията на типа и не изтъкваше аргументи за нея като уникално предпочитана система. Едва когато монографията Hilbert & Ackermann 1928 (и съвременната „Болонска лекция“, Hilbert 1928) Хилберт изрично призова вниманието към пълнотата на логиката от първи ред като отворен въпрос. Това постави основата на работата на Гьодел: но преди да стигнем до това, трябва да направим хронологична стъпка назад.

9. Торалф Сколем

Сколем през зимата на 1915–16 посещава Гьотинген, където обсъжда теорията на множествата с Феликс Бернщайн; няма признак, че е срещнал Хилберт. По това време той вече беше запознат с теоремата на Левенхайм и знаеше нейните парадоксални последици за аксиоматизацията на теорията на множествата на Зермело: по-специално, че аксиоматизацията от първи ред на теорията за непреброимите множества ще има безброй модел. Навремето той не публикува по тези теми, защото, както по-късно каза:

Вярвах, че е толкова ясно, че аксиоматизацията на теорията на множествата няма да бъде задоволителна като крайна основа за математиката, че като цяло математиците няма да се притесняват много с нея. За мое учудване видях наскоро, че много математици смятат тези аксиоми за теорията на множествата като идеална основа за математиката. Поради тази причина ми се стори, че е дошъл моментът да публикувам критика. (Сколем 1922: приложение.)

Първите големи документи на Сколем са неговият 1920 г. и особено неговият 1922 г. В първия той доказва (или отново се доказва) в по-осезаема форма низходящата теорема на Левенхайм-Сколем. Във втория той представи ново доказателство за този резултат. Той също така критикува аксиомата на отделяне на Цермело, която прие формата: Като се има предвид S и определено предложение (phi (x)), съществува набор S 'от всички елементи s на S, така че (phi (с)). Тук концепцията за „категоричното предложение“беше оставена донякъде неточна. Предложението на Сколем беше да идентифицира „категоричните предложения“с формулите на логиката от първи ред (с идентичност). Въпреки че Сколем обяви тази идентификация за "естествена" и "напълно ясна", той не изрично се аргументира за ограничаването на квантовете до първо ниво. След това той даде най-ранната задоволителна формулировка от първи ред на теорията на множествата на Цермело и след това приложи резултата от Льовенхайм-Сколем, за да получи парадокса Сколем.

Тези технически резултати бяха от голямо значение за последвалия дебат относно логиката от първи ред. Но е важно да не се чете в Сколем 1922 по-късно разбиране на проблемите. Сколем в този момент не притежаваше разлика между езика на обекта и метаезика. И макар че в ретроспекция неговата аксиоматизация на теорията на множествата може да се тълкува като първостепенна, той никъде не подчертава този факт. (Всъщност, Eklund (1996) представя убедителен аргумент, че Сколем все още не е преценил ясно значението на разграничението между логика от първи и втори ред и че преформулирането на аксиомата на раздяла всъщност не е еднозначно първо- ред, както често се приема.)

Забележките на Сколем относно логиката от първи ред изискват внимателно тълкуване (виж, например, Ferreirós 2001: 470–74), но ясно трябва да се разглеждат на фона на Grundlagenkrise от 20-те години на миналия век и на дебатите между Хилберт, Брауър и Уейл. Има две широки тенденции в рамките на логиката през тези години и те се изтеглят в противоположни посоки. Една от тенденциите е към подрязване на логически и математически системи, така че да се съобразяват с критиките на Брауър и неговите последователи. Целта беше да се избегнат парадоксите, да се разграничи територията на "законната" математика и да се поставят на сигурни основи. Теорията на множествата беше спорна и Сколем изрично представи резултатите си от 1922 г. като критика на поставените теоретични основи. Уейл още през 1910 г. беше воден от изследването на системата на Цермело, за да формулира набор от логически принципи, които в ретроспекция (и въпреки идиосинкратичното обозначение) могат да се разглеждат като форма на логика от първи ред. Като цяло и Вайл, и Сколем са склонни по методологически съображения към някакъв конструктивизъм като средство за избягване на парадоксите; и това означава, че те разглеждат количественото измерване върху, да речем, съвкупността от подмножества от безкраен набор като нещо, което трябва да се избягва: каквото и да се схваща понятието „всички цели числа“, понятието „всички свойства на цели числа“беше далеч по-малко твърдо, Казано малко по-различно: самата точка на теорията на аксиоматизирането на множествата беше да се изразят неговите философски проблемни предположения по такъв начин, че да може ясно да се види до какво стигат. Но тази цел би била компрометирана, ако човек вече предположи във фоновата логика проблемното понятие за „всички подмножества“, което човек се опитваше да изясни. Една от възможностите беше да се ограничите до логиката от първи ред; друго, да се приеме някаква предикативна система от по-висок ред.

Подобни широко конструктивистични тенденции също са много доказани в доказателствения теоретичен труд на Хилберт и Бернайс и техните последователи през 20-те години. Още по времето на лекциите на Хилберт от 1921/22 г. Хилберт определи въвеждането на (класическите) квантори като решаваща стъпка, където трансфинитът навлиза в логиката. Хилберт, като CS Peirce много преди, мислеше за количествените фактори като за безкрайни връзки и дизюнкции и от началото на 20-те години нататък в Гьотинген се разбира добре, че за програмните цели на програмата за консистенция на Hilbert, която трябва да бъде изпълнена, финален анализ на количествените средства бяха необходими. Методът на заместване на епсилон е основното устройство, което Хилберт е въвел, за да се опита да постигне този резултат.(Проучване на това изследване е предоставено от Sieg 2009 и във встъпителните бележки към Hilbert [LFL].)

Но въпреки тези конструктивни тенденции, много логици от 20-те години на миналия век (включително Хилберт) продължават да разглеждат теорията на типа от по-висок ред, а не нейният фрагмент от първи ред, като подходяща логика за изследване в основите на математиката. Крайната надежда беше да предостави доказателство за последователност за цялата класическа математика (включително теорията на множествата). Но междувременно, изследователите все още бяха малко неясни относно някои основни разграничения. Хилберт понякога не спазва разликата между аксиома-схема от първи ред и аксиома от втори ред; Интуиционизмът на Брауер понякога се идентифицира с „финитизъм“; връзките между пълнотата (в няколко сетива), категоричността (също в няколко сетива) и логиката от първи и по-висок ред все още не бяха разбрани. Всъщност Грегъри Мур посочва, че дори Гьодел, т.е.в своето доказателство от 1929 г. за пълнотата на логиката от първи ред, не е разбрал напълно понятието категоричност и връзката му с логиката от втори ред (Moore 1988: 125).

10. Курт Гьодел

Така че въпросите остават неясни през 20-те години. Но конструктивистките амбиции на гилбертската школа, съсредоточаването върху анализа на квантификаторите и изричното поставяне на металогични въпроси направиха появата на логиката от първи ред като система, достойна за изучаване от само себе си, но неизбежна. Най-важните технически пробиви стават през 1929 и 1931 г. с публикуването от Гьодел първо на теоремата за пълнота на логиката от първи ред, а след това и на теоремите за непълнота. С тези резултати (и други, които скоро последваха) накрая стана ясно, че има важни металогични разлики между логиката от първи ред и логиките от по-висок ред. Може би най-същественото е, че логиката от първи ред е пълна и може да бъде напълно формализирана (в смисъл, че изречение може да се извлече от аксиомите, само в случай, че се съдържа във всички модели). Логиката от първи ред освен това удовлетворява както компактността, така и низходящото свойство на Löwenheim-Skolem; така че има проследима теория на модела. Логиката от втори ред не го прави. Към средата на 30-те години тези различия започват да се разбират широко, както и фактът, че категоричността по принцип може да бъде получена само в системи от по-висок ред. По-късно Lindström ще покаже (1969), че никоя логическа система, удовлетворяваща компактността и свойството на Löwenheim-Skolem, не може да притежава по-голяма изразителна сила от логиката от първи ред: така че в този смисъл логиката от първи ред наистина е „естествена“цялост.както беше фактът, че като цяло категоричността може да бъде получена само в системи от по-висок ред. По-късно Lindström ще покаже (1969), че никоя логическа система, удовлетворяваща компактността и свойството на Löwenheim-Skolem, не може да притежава по-голяма изразителна сила от логиката от първи ред: така че в този смисъл логиката от първи ред наистина е „естествена“цялост.както беше фактът, че като цяло категоричността може да бъде получена само в системи от по-висок ред. По-късно Lindström ще покаже (1969), че никоя логическа система, удовлетворяваща компактността и свойството на Löwenheim-Skolem, не може да притежава по-голяма изразителна сила от логиката от първи ред: така че в този смисъл логиката от първи ред наистина е „естествена“цялост.

Но само техническите резултати не решиха въпроса в полза на логиката от първи ред. Както Schiemer & Reck посочват (2013), още в 30-те години на миналия век, дори след постигането на основните металогични резултати, логиците като Gödel, Carnap, Tarski, Church и Hilbert & Bernays продължават да използват системи от по-висок порядък (обикновено в някаква версия на простата теория на типовете). С други думи, дори след металогичните резултати имаше избор, който трябва да бъде направен и изборът в полза на логиката от първи ред не беше неизбежен. В края на краищата металогичните резултати могат да покажат силно ограничение на логиката от първи ред: че той не е в състояние да посочи уникален модел дори за естествените числа. Хилберт през 1917/18 г. е третирал логиката от първи ред като просто стъпало,и металогичните резултати могат да бъдат взети, за да потвърдят мъдростта на неговия подход: Ако искате категоричност, тогава сте принудени да преминете към система от по-висок ред.

Към този момент през 30-те години на миналия век няколко други направления на мислене за логиката се сляха. Интелектуалната ситуация беше много сложна. Известните документи на Карнап, фон Нойман и Хейтинг на конгреса в Кьонигсберг през 1931 г. идентифицираха логистичните, формалистичните и интуиционистките школи: техните дебати трябваше да формират мислене за основите на математиката през следващите няколко десетилетия. Търсенето на сигурни основи и по-специално за избягване на теоретично настроените парадокси беше нещо, което те споделиха и това помогна за насочване на баланса в полза на логиката от първи ред. На първо място (както вече отбелязаха Вейл и Сколем и както най-малкото имплицитно се съдържа в програмата на Хилберт) имаше добри конструктивистки и философски причини за избягване на количественото определяне на по-висок ред, когато е възможно,и за ограничаване на нечия логика до първия ред. Второ, сега бяха дадени няколко недвусмислено формулировки от първи ред на теорията на множествата на Zermelo-Fraenkel, а също и на теорията на множествата von-Neumann-Bernays-Gödel (която позволява ограничена аксиоматизация). Характерът на тези теории от първи ред е подчертан в редица публикации от 30-те години на миналия век: от Тарски (1935), Куин (1936), Бернайс (1937) и Гьодел (1940). Като практически въпрос тези теории от първи ред са достатъчни, за да формулират всички съществуващи математически практики; така че за кодификацията на математическите доказателства не е необходимо да се прибягва до логика от по-висок ред. (Това потвърждава наблюдение, което Хилберт е направил още през 1917 г., макар и сам да не е развил изцяло въпроса.) Трето, съществува засилена тенденция да се прави разлика между теорията на логиката и теорията на множествата,и да разглежда теорията на множествата като клон на математиката. Фактът, че логиката на по-висок порядък може да се тълкува като (в по-късната фраза на Куине) „теория на множеството в дрехите на овцете“, засилва другите тенденции: „истинската“логика е от първи ред; Логиката от по-висок ред беше „наистина“теория на множествата. В края на десетилетието беше постигнато консенсус, че за целите на изследванията в основите на математиката математическите теории трябва да бъдат формулирани в термини от първи ред. Класическата логика от първи ред стана „стандартна“.за целите на изследването в основите на математиката математическите теории трябва да бъдат формулирани в термини от първи ред. Класическата логика от първи ред стана „стандартна“.за целите на изследването в основите на математиката математическите теории трябва да бъдат формулирани в термини от първи ред. Класическата логика от първи ред стана „стандартна“.

11. Заключения

Нека сега се опитаме да извлечем някои уроци и по-специално да попитаме дали появата на логиката от първи ред е неизбежна. Започвам с наблюдение. Всеки етап от тази сложна история се обуславя от два вида изместване на фоновото разглеждане. Единият е широко математически: теоремите, които са били установени. Другото е широко философско: предположенията, които са направени (изрично или негласно) за логиката и за основите на математиката. Тези две неща си взаимодействаха. Всеки мислител в последователността започва с някои повече или по-малко интуитивни идеи за логиката. Тези идеи поставят математически въпроси: правят се разграничения: доказват се теореми: отбелязват се последици и се изостря философското разбиране. На всеки етап въпросът „Какво е логика?“(или:„Каква е правилната логика?“) Трябва да се оценява както на математическия, така и на философския произход: няма смисъл да задаваме въпроса абстрактно.

Нека сега разгледаме въпроса: Кога беше открита логика от първи ред? Този въпрос е твърде общ. Той трябва да бъде разделен на три спомагателни въпроса:

• ((alpha)) Кога логиката от първи ред изрично е идентифицирана като отделна логическа система? Този въпрос има сравнително пряк отговор. Логиката от първи ред е изрично идентифицирана от Пърс през 1885 г., но след това е забравена. Той беше независимо открит отново в лекциите на Хилберт от 1917/18 г. и му даде широка валута в монографията от 1928 г. „Хилберт и Акерман“. Пърс го идентифицира първият, но Хилберт е поставил системата на картата.
• ((beta)) Кога беше признато, че логиката от първи ред е важна по-различно от системите от по-висок ред? Това е по-сложен въпрос. Въпреки че Хилберт изолира логиката от първи ред, той не я третира като особено значима и той сам продължава да работи в теорията на типа. Осъзнаването на фундаменталните металогични различия между логиката от първи ред и висш ред започва да се появява едва в началото на 30-те години на миналия век, предимно, макар и не изключително, от ръцете на Гьодел.
• ((гама)) Как стана логиката от първи ред да се разглежда като привилегирована логическа система - това е (в известен смисъл) "правилната" логика за изследване на основите на математиката? Този въпрос също е много сложен. Дори след като резултатите от Гьодел бяха широко разбрани, логиците продължиха да работят в теорията на типа и минаха години, преди логиката от първи ред да придобие каноничен статус. Преходът беше постепенен и не може да бъде определена конкретна дата.

Оборудвани с тези различия, нека сега да попитаме: Защо логиката от първи ред не беше открита по-рано?

Поразително е, че Пърс, още през 1885 г., ясно е разграничил между логиката на предложението, логиката от първи ред и логиката от втори ред. Той беше наясно, че логиката на предложенията е значително по-слаба от количествената логика и по-специално е неадекватна на анализ на основите на аритметиката. Тогава той би могъл да продължи да забележи, че логиката от втори ред е в известна степен философски проблемна и че като цяло схващането ни за количествено определяне на обекти е по-силно, отколкото нашето разбиране за количествено определяне на свойствата. Проблемът възниква, дори ако вселената на дискурса е ограничена. Например имаме разумно разбиране за това какво означава да говорим (в първи ред) за всички планети или да кажем, че съществува планета с определено свойство. Но какво означава да говорим (от втория ред) за всички свойства на планетите? Какъв е критерият за индивидуалност за такива свойства? Дали свойството да бъде най-външната планета е същото като свойството да бъде най-малката планета? Какво да кажем за отрицателните свойства? Това свойство на планетата Сатурн ли е, че не е равно на цяло число 17? В този случай, въпреки че има само ограничен брой планети, нашите квантори за втори ред трябва да варират в безкрайно много свойства. И така нататък. Куинейските възражения са познати.

Аргументи от този вид бяха направени в схоластичните спорове между реалисти и номиналисти: и Пърс беше проникнат в средновековната литература по тези теми. Не е нужно да е стигнал дотам, че да направи точка ((gamma)), т.е. да твърди, че логиката от първи ред е специално привилегирована. Това във всеки случай би противоречало на логическия му плурализъм. Но той имаше инструментите да направи точка ((beta)) и да подчертае, че има важен залив, отделящ логиката от втори ред от първия ред, точно както има важен залив, отделящ логиката от първи ред от булева прогнозна прогноза. Защо не направи тези точки още през 1885 г.?

Всеки отговор може да бъде само спекулативен. Един от маловажните фактори е, че Пърс не е бил самият номиналист. Друг е фактът, че той е действал в различни логически системи: той беше темпераментно еклектичен и не беше настроен да търси „една истинска логика“. Има и технически съображения. Пърс, за разлика от Хилберт, не представя първонамерената логика като аксиоматизирана система, нито я подтиква като средство за изучаване на основите на математиката. Той не притежава разликата между не тълкувано, формално, аксиоматично смятане и неговия метаезик. В резултат на това той не пита за въпроси, свързани с решимостта, пълнотата или категоричността; и без метаматематичните резултати не му беше достъпно пълно разбиране на разликите в изразителната сила между логиката от първи и втори ред. Един от най-силните аргументи срещу логиката от втори ред - че количественото определяне за всички подмножества от сборната колекция води до количествено определяне на несметна съвкупност - дори не можеше да бъде формулирана, докато теоремата на Кантор не беше известна. Логическите и теоретично зададени парадокси все още не са открити и Цермело все още не е аксиоматизирал теорията на множествата: така че на Пърс липсва острото чувство за мотивация да открие „сигурна основа за математиката“. И разбира се, Пърс нямаше никакво умаление на теоремите на Льовенхайм-Сколем, нито парадокса на Сколем, нито последователността на металогичните теореми, които трябваше да приведат логиката в първи ред в остър фокус. Той предостави гъвкава и внушаваща нотация, която трябваше да се окаже изключително плодородна и той беше първият, който ясно разграничи логиката от първи и втори ред:но инструментите за разбиране на математическата значимост на разграничението все още не са съществували. (Както веднъж отбеляза Анри Пирен, викингите откриха Америка, но забравиха за нея, защото все още не се нуждаеха от нея.)

Свързана точка важи за Фреге и Ръсел. Те притежаваха концепцията за йерархия на логическите нива и по принцип те също можеха да изолират логика от първи ред и по този начин да извършат стъпка ((alpha)). Но те никога не са смятали да изолират най-ниското ниво на йерархията като свободно стояща система. За това има както философски, така и математически причини. Като философски въпрос, логистичният проект има за цел да покаже, че „математиката може да бъде сведена до логика“: и те замислят цялата йерархия от типове като съставляваща логика. И тогава като математически въпрос логиката на втори ред беше необходима за тяхното изграждане на целите числа. Така че те нямаха убедителна причина - нито философска, нито математическа, което би ги накарало да се съсредоточат върху фрагмента от първи ред.

Тук има поучителен контраст с Пърс. Пърс, в духа на 19-те ^-ти и век algebraists, е щастлив да проучи буйни изобилие от логическите структури: отношението му е фундаментално плуралистична. Логистите, работещи в аналитичната традиция, бяха по-загрижени да открият какви са всъщност целите числа: отношението им беше в основата си монистично и редукционистко. Но за да се открои логиката от първи ред, както беше направено през 30-те години, бяха необходими две неща: осъзнаване, че съществуват различни логически системи, и аргумент за предпочитане на едната пред другата. Пърс имаше плурализъм: логистите имаха желание да намерят „правилна“система: но и двете не разполагаха с двете.

Нека сега да се обърнем към въпроса: Неизбежно ли беше появата на логика от първи ред? Невъзможно е да се избегнат контрафактивни съображения и отговорът трябва да бъде по-спекулативен. И тук също трябва да се прави разлика между неизбежността на техническите резултати ((beta)) и неизбежността на точка ((gamma)).

Нека започнем с точка ((beta)). До 1928 г. металогичните резултати могат да се твърдят, че са били неизбежни. Хилберт и Акерман бяха изолирани и описани логика от първи ред; разликата между математика и мета-математика дотогава беше добре разбрана; те бяха показали как да докажат пълнотата на предложението смятане; и изрично повдигнаха пълнотата на логиката от първи ред като важен открит проблем. Беше сигурно, че в следващите няколко години някой предприемчив логик ще даде отговор: тъй като се случи, Гьодел стигна там първи. Тогава би било очевидна следваща стъпка да се проучи за пълнотата на системите от по-висок ред. Така след няколко години от Хилберт и Акерман основните металогични теореми щяха да бъдат установени.

Ако това е правилно, тогава решителната стъпка на Хилберт в лекциите от 1917/18 г. не е изолирането на логиката от първи ред - т.е. не е стъпка ((alpha)). Това беше сравнително незначителен въпрос. Тази стъпка вече е била предприета изрично от Пърс и мълчаливо от Вейл и Льовенхайм. Хилберт не го разглежда като важно и изглежда, че го е разглеждал предимно като устройство за съхранение, средство за опростяване на представянето на логиката на Principia Mathematica. Важната стъпка през 1917 г. е по-скоро въвеждането на техники на метаматематиката и изричното поставяне на въпроси за пълнота и последователност и решителност. Задаването на тези въпроси на логическите системи беше огромен концептуален скок и Хилберт го разбра като такъв. Първите му опити, направени в неговия адрес в Хайделберг от 1905 г.,се разпадна под критиките на Поанкаре и той се бори да намери задоволителна формулировка. И дори след като беше въвел своите металогични различия в своите документи от 1920-те, логиците от калибъра на Ръсел и Брауър и Рамзи изпитваха затруднения да разберат какво се опитва да направи. Това развитие е през 1917 г. всичко друго, но неминуемо: и без въвеждането на металогичните техники историята на теорията на логиката и доказателствата през 20-те и 30-те години на миналия век би изглеждала съвсем различно. Били ли са изобретени някога теоремите на Гьодел? Дали работата на Левенхайм или Сколем или Цермело независимо би довела до изследване на металогичните свойства на логиката от първи ред? В ретроспекция може да си представим алтернативен път към техническите резултати ((beta)),но няма причина да предполагаме, че те са били съдбоносни да се появят или когато са го направили, или както са го направили.

По-тънък проблем възниква, ако се обърнем сега към точка ((гама)) и попитаме: Беше ли неизбежно логиката от първи ред да се разглежда като „привилегирована“логическа система? Както видяхме, металогичните резултати от 30-те години не уреждат първенството на логиката от първи ред. „Привилегированието“се появи по-късно и изглежда по-скоро зависеше от философски съображения: необходимостта да се избягват теоретично настроените парадокси, търсене на сигурни основи на математиката, желание за приспособяване на възраженията на Броуър и Уейл, чувство, че по-високо -Лигиката на поръчките беше методологично подозрима и избегната. Всички тези неща показват продължаващото влияние на Grundlagenkrise от 20-те години на миналия век, което направи толкова много, за да постави условията на последващото философско разбиране на основите на математиката.

Ето защо е важно да се подчертае, че е била възможна алтернативна история и че Grundlagenkrise е напълно отсъствал от логическите писания на Хилберт през 1917/18. Имената на Брауър и Уейл никъде не се споменават. Хилберт разбира се знае парадоксите (за които знаеше от 1897 г.), но отдавна вярваше, че аксиоматизацията на Цермело е показала как да ги избегне. Нито намираме в писанията му никакъв стремеж към „една истинска логика“. Напротив. Както през 1917/18 г., така и в непубликуваните бележки от лекциите от началото на 1920 г. акцентът е върху използването на новите металогични техники за изследване на силните и слабите страни на многообразието от логически системи. Работата е изрично предприета в духа на неговите изследвания за аксиомите на геометрията. Той ще се заеме със система, ще я изследва известно време, след което ще я пусне, за да проучи нещо друго. По своя плурализъм и в своето прагматично, експериментално отношение той е по-близък до Пърс, отколкото до логистите.

Grundlagenkrise и неговият обществен, полемичен обмен с Brouwer дойдоха по-късно и те дадоха изкривена картина на мотивациите зад неговите логически разследвания. Какво беше влиянието на тези философски дебати върху техническите аспекти на неговата програма? За формулирането на логиката от първи ред и за поставянето на металогични въпроси отговорът е лесен: нямаше никакво въздействие. Съдържанието на Hilbert & Ackermann 1928 вече присъства в лекциите от 1917/18. Що се отнася до доказателствените теоретични изследвания на Хилберт от 20-те години на миналия век, основните линии на развитие възникват съвсем независимо от Брауър и Вейл. Полемиката може да добави усещане за неотложност, но е трудно да се открие някакво влияние върху действителната математика.

Така че дори да си представим философския Grundlagenkrise, изцяло отстранен от картината, техническите резултати от Хилбертовата школа не биха били засегнати значително. Резултатите от пълнотата и непълнотата по всяка вероятност щяха да пристигнат повече или по-малко по график. (Заслужава да се отбележи, че Бернайс и Хилберт са обмисляли възможността за различни видове непълноти още през 1928 г.: вижте дискусията на Уилфрид Зиг в Хилберт [LFL]: 792–796.) Но тези резултати биха се появили в много различен философски климат. Теоремите за непълноти вероятно биха били посрещнати като важен технически принос в рамките на по-широката програма на Хилберт, а не като драматично опровержение. Може би (както предложи Ангъс Макинтър 2011) те биха били разглеждани повече като независимостта води до теория на множествата, с по-малко приказки за границите на математическото творчество.

С други думи, далеч от неизбежността, появата към края на 30-те години на логиката от първи ред като привилегирована логическа система зависи от две неща, всяко независимо от другото. От математическа страна зависи от въвеждането на Хилберт от металогични техники; от философска страна, това зависеше от аргументите на Grundlagenkrise. Нито едно от тези неща не е било неизбежно: нито фактът, че са възникнали приблизително по едно и също време. С различна история гъвкавото отношение на Хилберт може би е надделяло и може би е имало по-голям акцент върху системите от по-висок ред или върху изследването на алгебраични логики, инфинитарна логика, категорично-теоретични системи и други подобни: накратко, логически плурализъм.

Струва си да се отбележи, че тъй като философските тревоги на Grundlagenkrise отстъпиха и след като нови подходи от посоката на компютърната наука и теорията на хомотопията навлязоха на полето, първичността на логиката от първи ред е отворена за преразглеждане.

библиография

• Awodey, Steve & Erich H. Reck, 2002, „Завършеност и категоричност, част I: Аксиоматика от XIX век до металогика на ХХ век“, История и философия на логиката, 23 (1): 1–30. DOI: 10.1080 / 01445340210146889
• Бадеса, Каликто, 2004, Раждането на теорията на модела: Теоремата на Левенхайм в рамките на теорията на роднините, Принстън: Принстънски университетски печат.
• Bernays, Paul, 1918, “Beiträge zur axiomatischen Behandlung des Aussagen-Kalküls”, Хабилитационна дисертация, Университет в Гьотинген; за първи път публикуван в Hilbert [LFL], стр. 231-268.
• –––, 1926, „Axiomatische Untersuchung des Aussagen-Kalküls der Principia Mathematica“, Mathematische Zeitschrift, 25: 305–320.
• –––, 1937 г., „Система на теорията на аксиоматичните множества“, сп. „Символична логика“, 2 (1): 65–77. DOI: 10.2307 / 2268862
• Бул, Джордж, 1847 г. Математическият анализ на логиката: да бъдеш есе към изчисляване на дедуктивната разсъдка, Кеймбридж: Макмилан. Препечатано в Ewald 1996: кн. 1, стр. 451–509. [Boole 1847 е достъпен онлайн]
• Брейди, Джералдин, 2000, От Пърс до Сколем: Пренебрегната глава в историята на логиката, (Изследвания в историята и философията на математиката, 4), Амстердам: Elsevier.
• Карнап, Рудолф, „Die logizistische Grundlegung der Mathematik“, Erkenntnis, 2 (1): 91–105. (Позовавания на превода в Пол Бенасерраф и Хилари Путнам, Философия на математиката: Избрани четения, Кеймбридж: Cambridge University Press, 1983, 41–52.) Doi: 10.1007 / BF02028142 (de) doi: 10.1017 / CBO9781139171519.003 (en)
• Църква, Алонзо, 1956 г., Въведение в математическата логика, Принстън: Принстънски университетски печат.
• –––, 1974, „Руселианска проста теория на типа“, сборник и адреси на Американската философска асоциация, 47: 21–33. DOI: 10.2307 / 3129899
• Де Морган, Август, 1864, „За силогизма, № IV и за логиката на отношенията“, Трансакции на Философското общество в Кеймбридж, 10: 173-230. (Прочетете 8 февруари 1858 г.) [De Morgan 1864 е достъпен онлайн]
• Dutilh Novaes, Катарина, предстоящи, „Аксиоматизации на аритметиката и разделянето на първи ред / втори ред“, Синтез, първо онлайн: 30 декември 2014 г. doi: 10.1007 / s11229-014-0636-6
• Еклунд, Мати, 1996 г., „Как логиката стана първа поръчка“, Nordic Journal of Philosophical Logic, 1 (2): 147–167. [Eklund 1996 на разположение онлайн]
• Евалд, Уилям Браг (съст.), 1996, От Кант до Хилбърт: Книга с източници в основите на математиката, 2 т., Оксфорд: Клеръндж Прес.
• Ferreirós, José, 2001, „Пътят към съвременната логика - тълкуване“, Бюлетин на символичната логика, 7 (4): 441–484. DOI: 10.2307 / 2687794
• Fraenkel, Abraham A., 1927, „Преглед на Сколем 1922”, Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, 49: 138–139.
• Frege, Gottlob, 1879, Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle: Nebert. Преведено от Стефан Бауер-Менгелберг в Van Heijenoort 1967: 1–82.
• –––, 1884, Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau: Koebner. Преведено от Дж. Л. Остин като основите на аритметиката, логико-математическо проучване на концепцията за числото, Оксфорд: Блеквел, 1950.
• –––, 1893, Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet, кн. 1, Йена: Pohl.
• –––, 1895, „Kritische Beleuchtung einiger Punkte in E. Schröders Vorlesungen über die Algebra der Logik“, Archiv für systematische Philosophie, 1: 433–456. [Frege 1895 на разположение онлайн]
• –––, [ PMC], Философско-математическа кореспонденция, Готфрид Габриел, Ханс Хермес, Фридрих Камбартел, Крисчън Тийл, Алберт Вераарт, Брайън МакГинес и Ханс Каал (редактори), Чикаго: University of Chicago Press, 1980.
• Gabbay, Dov M. & John Woods (ред.), 2009, Наръчник по история на логиката, кн. 5: Логика от Ръсел до Църква, Амстердам: Елзевир-Северна Холандия.
• Gödel, Kurt, 1929, Über die Vollständigkeit des Logikkalküls, Докторска дисертация, Виенски университет. Отпечатано с превод в Сол Феферман и др. (редакции), Kurt Gödel: Събрани съчинения, кн. 1: Публикации 1929–1936, Оксфорд: Clarendon Press, стр. 60–101.
• –––, 1931 г., „Über formal undenscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I“, Monatshefte für Mathematik und Physik, 38: 173–198; преведено от С. Бауер-Менгелберг в Van Heijenoort 1967: 596–616.
• –––, 1940, Съгласуваността на избора на аксиома и на обобщената хипотеза за континуум с аксиомите на теорията на множествата, Принстън: Принстънски университетски печат.
• Goldfarb, Warren D., 1979, "Логиката през двадесетте години: природата на количествения показател", Journal of Symbolic Logic, 44 (3): 351-368. DOI: 10.2307 / 2273128
• Хилберт, Дейвид, 1905 г., “Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik”, във Verhandlungen des Dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg vom 8. bis 13. Август 1904 г., Лайпциг: Тебнер, стр. 174–185; преведено от С. Бауер-Менгелберг в Van Heijenoort 1967: 130–138.
• –––, 1917 г., „Axiomatisches Denken”, Mathematische Annalen 78 (1–4): 405–415; преведено от W. Ewald в Ewald 1996 (том 2), стр. 1105–1115. doi: 10.1007 / BF01457115 (de)
• –––, 1917/18, Prinzipien der Mathematik, непубликувани лекции, проведени в Гьотинген, зимен семестър, 1917/18 (бележки от лекции, записани от Пол Бернейс). Препечатано в Hilbert 2013: 31-221.)
• –––, 1928 г., „Проблеми на Grundlegung der Mathematik“, („Болонска лекция“), препечатано в Hilbert 2013: 954–966.
• –––, [ LFL], David Hilbert, Лекции за основите на логиката, математиката и естествените науки (том III: Основи на логиката и аритметика, 1917–1933), Уилям Евалд и Уилфрид Зиг (ред.), Берлин: Springer Verlag, 2013. doi: 10.1007 / 978-3-540-69444-1
• Hilbert, David & Wilhelm Ackermann, 1928, Grundzüge der teoretischen Logik, Berlin: Springer Verlag.
• Hilbert, David & Paul Bernays, 1939, Prinzipien der Mathematik II, Berlin: Springer Verlag.
• Landini, Gregory, 1998, Скритата заместваща теория на Russell, Oxford: Oxford University Press.
• Lindström, Per, 1969, „За разширенията на елементарната логика“, Теория, 35 (1): 1–11. DOI: 10.1111 / j.1755-2567.1969.tb00356.x
• Лински, Бернар, 2011 г., Еволюцията на „Principia Mathematica“: Ръкописите и бележките на Бертран Ръсел за второто издание, Cambridge: Cambridge University Press. Дой: 10.1017 / CBO9780511760181
• Löwenheim, Leopold, 1915, „Über Möglichkeiten im Relativkalkül“, Mathematische Annalen, 76 (4): 447–470. Превод на van Heijenoort 1967: 228–251. doi: 10.1007 / BF01458217 (de)
• –––, 1940, „Einkleidung der Mathematik im Schröderschen Relativkalkül“, сп. „Символична логика“, 5 (1): 1–15. DOI: 10.2307 / 2269177
• Macintyre, Angus, 2011, „Въздействието на теоремите за непълнота на Гьодел върху математиката“, в Kurt Gödel и основите на математиката: Хоризонти на истината, Matthias Baaz, Christos H. Papadimitriou, Dana S. Scott, Hilary Putnam и Charles L. Harper (ред.), Cambridge: Cambridge University Press, стр. 3–26. Дой: 10.1017 / CBO9780511974236.004
• Манкосу, Паоло (съст.), 1998, От Брауър до Хилберт: Дебатът за основите на математиката през 20-те години на миналия век, Оксфорд: Оксфордския университет прес.
• Манкосу, Паоло, Ричард Зак и Каликто Бадеса, 2009 г., „Развитието на математическата логика от Ръсел до Тарски, 1900-1935 г.“, в Л. Хаапаранта (съст.), Развитието на съвременната логика, Оксфорд: Оксфордски университет, стр. 318–470; препечатано в Paolo Mancosu (съст.), „Приключението на разума: взаимодействие между философията на математиката и математическата логика“, 1900–1940 г., Оксфорд: Оксфордският университет прес, стр. 5–120.
• Moore, Gregory S., 1988, "Възникване на логиката от първи ред", на Уилям Аспрай и Филип Китчър (редактори), История и философия на съвременната математика, (Минесота изследвания във философията на науката, 11), стр. 95 -135, Минеаполис: Университет на Минесота Прес.
• Peano, Giuseppe, 1889, Arithmetices Principia, nova methodo methodita, Торино: Бока. Преведено във van Heijenoort 1967: 20–55. [Peano 1889 (то) достъпно онлайн]
• Пърс, Чарлз С., 1867, Пет доклади по логика, представени пред Американската академия; препечатано в Писанията на Чарлз С. Пърс: Хронологично издание (том 2), Едуард К. Мур (съст.), Блумингтън: Индиана Университет Прес, 1984, с. 12-86.
• –––, 1870 [1873], „Описание на нотация за логиката на роднините, произтичаща от усъвършенстване на концепциите на логическото смятане на Бул“, Мемоари на Американската академия на изкуствата и науките, 9 (2): 317 –378, съобщено на 26 януари 1870 г., публикувано 1873 г. doi: 10.2307 / 25058006
• –––, 1881, „On the Logic of Number“, American Journal of Mathematics, 4 (1): 85–95. Препечатано в Ewald 1996: кн. 1, с. 598–608. DOI: 10.2307 / 2369151
• –––, 1883 г., „Теория на вероятната намеса“, в CS Peirce (съст.), Изследвания по логика от членовете на университета „Джон Хопкинс“, Бостън: Little Brown, стр. 126–181. [Peirce 1883 е достъпен онлайн]
• –––, 1885, „За алгебрата на логиката: Принос към философията на нотацията“, Американски журнал по математика, 7 (2): 180–202. Препечатано в Ewald 1996: кн. 1, с. 608–632. DOI: 10.2307 / 2369451
• Куин, Уилард В., 1936, „Основи за теория на теорията на множеството“, сп. „Символична логика“, 1 (2): 45–57. DOI: 10.2307 / 2268548
• Рек, Ерих Х., 2013, „Развитие в логиката: Карнап, Гьодел и Тарски“, в Оксфордския наръчник по история на аналитичната философия, Майкъл Бийни (съст.), Оксфорд: Оксфордския университет прес, стр. 546–571.
• Ръсел, Бертран, 1903 г., Принципите на математиката, Кеймбридж: Cambridge University Press. [Russell 1903 на разположение онлайн]
• –––, 1908, „Математическа логика като основана на теорията на видовете“, American Journal of Mathematics, 30 (3): 222–262. Препечатано във van Heijenoort 1967: 150–182. DOI: 10.2307 / 2369948
• Schiemer, Georg & Erich H. Reck, 2013, „Логиката през 30-те години на миналия век: теория на типа и теория на модела“, Бюлетин за символичната логика, 19 (4): 433–472. Дой: 10.1017 / S1079898600010568
• Schröder, Ernst, 1890–95, Vorlesungen über die Algebra der Logik (exakte Logik), 3 тома, Лайпциг: Teubner.
• Зиг, Уилфрид, 1999, “Програмите на Хилберт: 1917–1922”, Бюлетин на символичната логика, 5 (1): 1–44. DOI: 10.2307 / 421139
• –––, 2009, „Теория на доказателството на Хилберт“, в Gabbay & Woods 2009: 321–384. DOI: 10.1016 / S1874-5857 (09) 70012-3
• –––, 2013 г., Програми на Хилберт и отвъд Оксфорд: Оксфордски университет.
• Skolem, Thoralf, 1920, “Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze nebst einem teoreme über dichte Mengen”, Кристиания. Частично преведено от С. Бауер Менгелберг в Van Heijenoort 1967: 252–263.
• –––, 1922 г., „Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre“, преведено от С. Бауер Менгелберг в Van Heijenoort 1967: 217–232.
• –––, 1923 г., „Begründung der elementaren Arithmetik durch die rekurrierende Denkweise ohne Anwendung scheinbarer Veränderlichen mit undndlichem Ausdehnungsbereich“, Кристиания. Преведено от С. Бауер Менгелберг в Van Heijenoort 1967: 302–333. [Сколем 1923 (de) достъпен онлайн]
• Тарски, Алфред, 1935, „Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen“, Studia Philosophica, 1: 261–405. Преведено от Логика, Семантика, Метаматематика: Доклади от 1923 до 1938 г., Оксфорд: Оксфордски университет прес, 1956 г.
• van Heijenoort, Jean, (изд.), 1967 г., от Frege to Gödel: Книга с източници по математическа логика, 1879–1931, Cambridge, MA: Harvard University Press
• фон Нойман, Джон, 1927 г., “Zur Hilbertschen Beweistheorie”, Mathematische Zeitschrift, 26: 1–46.
• Weyl, Hermann, 1910, „Über die Definitionen der matmaischen Grundbegriffe“, Mathematisch-Wissenschaftliche Blätter, 7: 93–95, 109–113.
• –––, 1918, Das Kontinuum, Berlin: de Gruyter.
• Уайтхед, Алфред Н. и Бертран Ръсел, 1910–1913, Principia Mathematica, 3 тома, Cambridge: Cambridge University Press.
• Зак, Ричард, 1999, „Завършеност преди публикацията: Бърнайс, Хилберт и развитието на логиката на предложението“, Бюлетин на символичната логика, 5: 331–366.
• Zermelo, Ernst, 1908 г., „Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, I“, Mathematische Annalen, 65 (2): 261–281. Преведено от С. Бауер Менгелберг в Van Heijenoort 1967: 199–215. doi: 10.1007 / BF01449999 (de)
• –––, 1929, „Über den Begriff der Definitheit in der Axiomatik“, Fundamenta Mathematicae, 14: 339–344. Doi: 10.4064 / FM-14-1-339-344

Академични инструменти

	Как да цитирам този запис.
	Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
	Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
	Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси

[Моля, свържете се с автора с предложения.]