Логика и вероятност

Съдържание:

Логика и вероятност
Логика и вероятност

Видео: Логика и вероятност

Видео: Логика и вероятност
Видео: Введение в логику, урок 1: Базовые понятия 2024, Март
Anonim

Навигация за влизане

  • Съдържание за участие
  • библиография
  • Академични инструменти
  • Friends PDF Preview
  • Информация за автора и цитирането
  • Върнете се в началото

Логика и вероятност

Публикувана за първи път на 7 март 2013 г.; съществена ревизия вт. 26 март 2019 г.

Логиката и теорията на вероятностите са два от основните инструменти във формалното изследване на разсъжденията и са плодотворно приложени в различни области като философия, изкуствен интелект, когнитивна наука и математика. Тази публикация обсъжда основните предложения за комбиниране на теорията на логиката и вероятностите и се опитва да предостави класификация на различните подходи в тази бързо развиваща се област.

  • 1. Комбиниране на логика и теория на вероятностите
  • 2. Прогнозна вероятностна логика

    • 2.1 Вероятностна семантика
    • 2.2 Логика на вероятността на Адамс
    • 2.3 По-нататъшни обобщения
  • 3. Основни вероятностни оператори

    • 3.1 Качествени представи на несигурността
    • 3.2 Суми и продукти на вероятностни условия
  • 4. Модална логика на вероятността

    • 4.1 Основни крайни модални вероятностни модели
    • 4.2 Индексиране и тълкуване
    • 4.3 Вероятностни пространства
    • 4.4 Комбиниране на количествена и качествена несигурност
    • 4.5 Динамика
  • 5. Логика на вероятността от първи ред

    • 5.1 Пример за логика на вероятност от първи ред

      • 5.1.1 Количествено определяне на повече от една променлива
      • 5.1.2 Условна вероятност
      • 5.1.3 Вероятности като условия
    • 5.2 Възможна световна логика на вероятност от първи ред
    • 5.3 Металогично
  • библиография
  • Академични инструменти
  • Други интернет ресурси
  • Свързани записи

1. Комбиниране на логика и теория на вероятностите

Самата идея за съчетаване на логика и вероятност може да изглежда странна на пръв поглед (Hájek 2001). В крайна сметка логиката се занимава с абсолютно определени истини и изводи, докато теорията на вероятностите се занимава с несигурността. Освен това логиката предлага качествена (структурна) гледна точка на извода (дедуктивната валидност на аргумента се основава на формалната структура на аргумента), докато вероятностите имат количествен (числен) характер. Както обаче ще бъде показано в следващия раздел, има естествени сетива, в които теорията на вероятностите предполага и разширява класическата логика. Освен това, исторически погледнато, няколко отличени теоретици като De Morgan (1847), Boole (1854), Ramsey (1926), de Finetti (1937), Carnap (1950), Jeffrey (1992) и Howson (2003, 2007,2009 г.) подчертават тесните връзки между логиката и вероятността или дори смятат работата им върху вероятността като част от самата логика.

Чрез интегриране на допълващите перспективи на качествената логика и теорията на числовата вероятност, логиката на вероятността е в състояние да предложи силно изразителни изводи за извода. Следователно не трябва да е изненада, че те са били приложени във всички области, които изучават механизми на разсъждения, като философия, изкуствен интелект, когнитивна наука и математика. Недостатъкът на тази междудисциплинарна популярност е, че термини като „логика на вероятността“се използват от различни изследователи по различни, нееквивалентни начини. Ето защо, преди да преминем към същинското обсъждане на различните подходи, първо ще дефинираме темата на този запис.

Най-важното разграничение е между логиката на вероятността и индуктивната логика. Класически се твърди, че един аргумент е (дедуктивно) валиден, ако и само ако е невъзможно всички помещения на (A) да са верни, докато заключението му е невярно. С други думи, дедуктивната валидност представлява запазване на истината: при валиден аргумент истината на предпоставките гарантира истинността на заключението. В някои аргументи обаче истинността на предпоставките не гарантира напълно истинността на заключението, но все пак го прави с голяма вероятност. Типичен пример е спорът с помещения „Първият лебед, който видях, беше бял“,…, „1000-ият лебед, който видях, беше бял“и заключението „Всички лебеди са бели“. Подобни аргументи се изучават в индуктивна логика, която широко използва вероятностни представи, т.е.и поради това някои автори се считат за свързани с логиката на вероятността. Има известна дискусия относно точната връзка между индуктивната логика и логиката на вероятността, която е обобщена във въвеждането на Kyburg (1994). Доминиращото положение (защитавано от Адамс и Левин (1975), наред с други), което също е прието тук, е, че вероятностната логика изцяло принадлежи на дедуктивната логика и следователно не трябва да се занимава с индуктивни разсъждения. Все пак по-голямата част от индуктивната логика попада в подхода „запазване на вероятността“и по този начин е тясно свързана със системите, обсъдени в раздел 2. За повече информация относно индуктивната логика читателят може да се консултира с Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011) и записите по проблема за индукцията и индуктивната логика на тази енциклопедия. Има известна дискусия относно точната връзка между индуктивната логика и логиката на вероятността, която е обобщена във въвеждането на Kyburg (1994). Доминиращото положение (защитавано от Адамс и Левин (1975), наред с други), което също е прието тук, е, че вероятностната логика изцяло принадлежи на дедуктивната логика и следователно не трябва да се занимава с индуктивни разсъждения. Все пак по-голямата част от индуктивната логика попада в подхода „запазване на вероятността“и по този начин е тясно свързана със системите, обсъдени в раздел 2. За повече информация относно индуктивната логика читателят може да се консултира с Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011) и записите по проблема за индукцията и индуктивната логика на тази енциклопедия. Има известна дискусия относно точната връзка между индуктивната логика и логиката на вероятността, която е обобщена във въвеждането на Kyburg (1994). Доминиращото положение (защитавано от Адамс и Левин (1975), наред с други), което също е прието тук, е, че вероятностната логика изцяло принадлежи на дедуктивната логика и следователно не трябва да се занимава с индуктивни разсъждения. Все пак по-голямата част от индуктивната логика попада в подхода „запазване на вероятността“и по този начин е тясно свързана със системите, обсъдени в раздел 2. За повече информация относно индуктивната логика читателят може да се консултира с Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011) и записите по проблема за индукцията и индуктивната логика на тази енциклопедия. Доминиращото положение (защитавано от Адамс и Левин (1975), наред с други), което също е прието тук, е, че вероятностната логика изцяло принадлежи на дедуктивната логика и следователно не трябва да се занимава с индуктивни разсъждения. Все пак по-голямата част от индуктивната логика попада в подхода „запазване на вероятността“и по този начин е тясно свързана със системите, обсъдени в раздел 2. За повече информация относно индуктивната логика читателят може да се консултира с Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011) и записите по проблема за индукцията и индуктивната логика на тази енциклопедия. Доминиращото положение (защитавано от Адамс и Левин (1975), наред с други), което също е прието тук, е, че вероятностната логика изцяло принадлежи на дедуктивната логика и следователно не трябва да се занимава с индуктивни разсъждения. Все пак по-голямата част от индуктивната логика попада в подхода „запазване на вероятността“и по този начин е тясно свързана със системите, обсъдени в раздел 2. За повече информация относно индуктивната логика читателят може да се консултира с Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011) и записите по проблема за индукцията и индуктивната логика на тази енциклопедия.повечето работи по индуктивната логика попадат в подхода на „запазване на вероятността“и по този начин са тясно свързани със системите, обсъдени в раздел 2. За повече информация относно индуктивната логика, читателят може да се консултира с Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011).), както и записите по проблема за индукцията и индуктивната логика на тази енциклопедия.по-голямата част от индуктивната логика попада в подхода „запазване на вероятността“и по този начин е тясно свързана със системите, обсъдени в раздел 2. За повече информация относно индуктивната логика, читателят може да се консултира с Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011).), както и записите по проблема за индукцията и индуктивната логика на тази енциклопедия.

Също така ще се отърсим от философския дебат относно точния характер на вероятността. Официалните системи, обсъдени тук, са съвместими с всички общи интерпретации на вероятността, но очевидно в конкретните приложения някои интерпретации на вероятността ще се поберат по-естествено от други. Например, модалните логически вероятности, разгледани в раздел 4, сами по себе си са неутрални по отношение на естеството на вероятността, но когато се използват за описание на поведението на преходна система, техните вероятности обикновено се интерпретират обективно, докато моделирането на мулти -агентните сценарии са придружени най-естествено от субективна интерпретация на вероятностите (като степен на вяра на агентите). Тази тема е разгледана подробно в Gillies (2000), Eagle (2010) и вписването на интерпретациите за вероятността на тази енциклопедия.

Скорошна тенденция в литературата е да се съсредоточава по-малко върху интегрирането или комбинирането на логиката и теорията на вероятностите в единна, единна рамка, а по-скоро да се установят мостове между двете дисциплини. Това обикновено се опитва да улови качествените понятия на логиката в количествено изражение на теорията на вероятностите или обратното. Няма да можем да се справим с голямото разнообразие от подходи в тази процъфтяваща област, но заинтересованите читатели могат да се консултират с Leitgeb (2013, 2014), Lin and Kelly (2012a, 2012b), Douven and Rott (2018) и Harrison- Треньор, Холидей и Икард (2016, 2018). „Съвременна класика” в тази област е Лайтгеб (2017), докато ван Бентхем (2017) предлага полезно проучване и някои интересни програмни забележки.

И накрая, въпреки че успехът на логиката на вероятността се дължи до голяма степен на различните й приложения, ние няма да се занимаваме с тези приложения подробно. Например, няма да оценяваме използването на вероятността като формално представяне на вярата във философията (байесова епистемология) или изкуствен интелект (представяне на знанието) и нейните предимства и недостатъци по отношение на алтернативните представи, като генерализирана теория на вероятностите (за квантовата теория), (p) - адическа вероятност и размита логика. За повече информация по тези теми читателят може да се консултира с Gerla (1994), Vennekens et al. (2009), Hájek и Hartmann (2010), Hartmann и Sprenger (2010), Ilić-Stepić et al. (2012), както и записите за официални представи на вярата, байесова епистемология, разрушителни разсъждения, квантова логика и теория на вероятностите,и размита логика на тази енциклопедия.

При наличието на тези уточнения вече сме готови да разгледаме какво ще бъде обсъдено в този запис. Най-разпространената стратегия за получаване на конкретна система на вероятностната логика е да се започне с класическа (предлагаща / модална / и т.н.) система на логиката и да се „вероятнизира“по един или друг начин чрез добавяне на вероятностни характеристики към нея. Има различни начини, по които тази вероятност може да бъде осъществена. Човек може да изучава вероятностната семантика за класическите езици (които нямат изрични вероятностни оператори), като в този случай самата последична връзка придобива вероятностен привкус: дедуктивната валидност става „запазване на вероятността“, а не „запазване на истината“. Тази посока ще бъде разгледана в раздел 2. Алтернативно, човек може да добави различни видове вероятностни оператори към синтаксиса на логиката. В раздел 3 ще обсъдим някои първоначални, по-скоро основни примери за вероятностни оператори. Пълната експресивност на модалните вероятностни оператори ще бъде разгледана в раздел 4. Накрая, езици с вероятностни оператори от първи ред ще бъдат разгледани в раздел 5.

2. Прогнозна вероятностна логика

В този раздел ще представим първо семейство от вероятностни логики, които се използват за изучаване на въпроси за „запазване на вероятността“(или двойно - „разпространение на несигурността“). Тези системи не разширяват езика с никакви вероятностни оператори, а се занимават с "класически" език на предложения (mathcal {L}), който има счетлив набор от атомни предложения и обичайния функционал на истината (булев) connectives.

Основната идея е, че предпоставките на валиден аргумент могат да бъдат несигурни, в този случай (дедуктивната) валидност не налага условия за (не) сигурността на заключението. Например аргументът с помещения „ако утре ще вали, ще се намокри“и „утре ще вали“, а заключението „ще се намокри“е валидно, но ако втората му предпоставка е несигурна, заключението му обикновено също да бъде несигурен. Логическата вероятност на предложенията представлява такава несигурност като вероятности и изучава как те „текат“от предпоставките до заключението; с други думи, те не изучават запазването на истината, а по-скоро запазването на вероятността. Следващите три подраздела обсъждат системи, които се занимават с все по-общи версии на този брой.

2.1 Вероятностна семантика

Започваме с припомнянето на понятието функция на вероятността за езика на предложения (mathcal {L}). (В математиката вероятностните функции обикновено се дефинират за (sigma) - алгебра от подмножества на даден набор (Omega) и се изискват за задоволяване на счетната добавка; вж. Раздел 4.3. В логически контексти обаче, често е по-естествено да се определят вероятностните функции „незабавно“за обектния език на логиката (Williamson 2002). Тъй като този език е финален - всички негови формули имат ограничена дължина - той също е достатъчен да изисква ограничена добавка.) Функция на вероятността (за (mathcal {L})) е функция (P: / mathcal {L} до / mathbb {R}), отговаряща на следните ограничения:

Non-негативност. (P (phi) geq 0) за всички (phi / в / mathcal {L}.)

Тавтологии. Ако (модели / phi), тогава (P (phi) = 1.)

Крайна добавка. Ако (модели / neg (phi / клин / psi)), тогава (P (phi / vee / psi) = P (phi) + P (psi).)

Във второто и третото ограничение символът (модели) обозначава (семантична) валидност в класическата логика на предложенията. Определението на вероятностните функции изисква понятия от класическата логика и в този смисъл може да се каже, че теорията на вероятностите предполага класическата логика (Адамс 1998, 22). Лесно може да се покаже, че ако (P) удовлетворява тези ограничения, тогава (P (phi) в [0,1]) за всички формули (phi / в / mathcal {L}), и (P (phi) = P (psi)) за всички формули (phi, / psi / in / mathcal {L}), които са логически еквивалентни (т.е. такива, че (модели / phi / leftrightarrow / ИОС)).

Сега се обръщаме към вероятностната семантика, както е дефинирана в Leblanc (1983). Аргументът с помещения (Gamma) и заключение (phi) - оттук нататък обозначен като ((Gamma, / phi)) - се казва, че е вероятностно валиден, написан (Gamma / models_p / phi), ако и само ако:

за всички вероятностни функции (P: / mathcal {L} до / mathbb {R}):

ако (P (gamma) = 1) за всички (gamma / в / Gamma), тогава също (P (phi) = 1).

По този начин вероятностната семантика замества оценките (v: / mathcal {L} до {0,1 }) на класическата логика на предложенията с вероятностни функции (P: / mathcal {L} до / mathbb {R}), които приемат стойности в реалния единичен интервал ([0,1]). Следователно класическите стойности на истинността на true (1) и false (0) могат да се разглеждат като крайни точки на единичния интервал ([0,1]) и по същия начин оценки (v: / mathcal {L} to {0,1 }) могат да се считат за израдени вероятностни функции (P: / mathcal {L} до [0,1]). В този смисъл класическата логика е специален случай на вероятностна логика, или еквивалентно, вероятностната логика е продължение на класическата логика.

Може да се покаже, че класическата логика на предложенията е (силно) здрава и пълна по отношение на вероятностната семантика:

) Gamma / models_p / phi / текст {ако и само ако} Gamma / vdash / phi.)

Някои автори интерпретират вероятностите като обобщени стойности на истината (Reichenbach 1949, Leblanc 1983). Според това мнение вероятностната логика е само особен вид многозначна логика и вероятностната валидност се свежда до „запазване на истината“: истината (т.е. вероятност 1) се пренася от предпоставките до заключението. Други логици, като Tarski (1936) и Adams (1998, 15), отбелязват, че вероятностите не могат да се разглеждат като обобщени стойности на истината, защото вероятностните функции не са „разширени“; например, (P (phi / клин / psi)) не може да бъде изразена като функция от (P (phi)) и (P (psi)). Повече дискусия по тази тема може да се намери в Hailperin (1984).

Друга възможност е да се интерпретира вероятността на изречението като мярка за неговата (не) сигурност. Например изречението „Джоунс е в Испания в момента“може да има всякаква степен на сигурност, варираща от 0 (максимална несигурност) до 1 (максимална сигурност). (Обърнете внимание, че 0 всъщност е някаква сигурност, а именно сигурност за лъжливостта; но в този запис следваме терминологията на Адамс (1998, 31) и интерпретираме 0 като максимална несигурност.) Според тази интерпретация следващата теорема следва от силната здравина и пълнота на вероятностната семантика:

Теорема 1. Помислете за дедуктивно валиден аргумент ((Gamma, / phi)). Ако всички помещения в (Gamma) имат вероятност 1, тогава заключението (phi) също има вероятност 1.

Тази теорема може да се разглежда като първо, много частично изясняване на въпроса за запазването на вероятността (или разпространението на несигурност). В него се казва, че ако няма каквато и да е несигурност относно помещенията, тогава не може да има и несигурност по отношение на заключението. В следващите два подраздела ще разгледаме по-интересни случаи, когато има ненулева несигурност относно помещенията, и ще попитаме как се пренася към заключението.

И накрая, трябва да се отбележи, че макар този подраздел да обсъжда само вероятностната семантика за класическата логика на предложенията, има и вероятностна семантика за редица други логики, като например интуиционистичната логика на предложенията (van Fraassen 1981b, Morgan и Leblanc 1983), модалната логика (Morgan 1982a, 1982b, 1983, Cross 1993), класическа логика от първи ред (Leblanc 1979, 1984, van Fraassen 1981b), съответна логика (van Fraassen 1983) и немонотонна логика (Pearl 1991). Всички тези системи имат основна характеристика: семантиката на логиката има вероятностен характер, но вероятностите не са изрично представени на езика на обекта; следователно, те са много по-близки по естество до предложената логика на вероятността, обсъдена тук, отколкото до системите, представени в по-късни раздели.

Повечето от тези системи не се основават на неовариални вероятности (P (phi)), а по-скоро на условни вероятности (P (phi, / psi)). Условната вероятност (P (phi, / psi)) се приема за примитивна (вместо да бъде определена като (P (phi / wedge / psi) / P (psi)), както обикновено се прави) за да се избегнат проблеми, когато (P (psi) = 0). Goosens (1979) предоставя преглед на различни аксиоматизации на теорията на вероятностите по отношение на такива примитивни понятия за условна вероятност.

2.2 Логика на вероятността на Адамс

В предишния подраздел обсъдихме първи принцип за запазване на вероятността, който казва, че ако всички помещения имат вероятност 1, тогава заключението има и вероятност 1. Разбира се, възникват по-интересни случаи, когато помещенията са по-малко от абсолютно сигурни. Помислете за валиден аргумент с помещения (p / vee q) и (p / до q), и заключение (q) (символът "(до)" обозначава условно-условния материал, условен), Човек може лесно да покаже това

[P (q) = P (p / vee q) + P (p / to q) - 1.)

С други думи, ако знаем вероятностите на аргументацията на аргумента, тогава можем да изчислим точната вероятност за неговото заключение и по този начин да дадем пълен отговор на въпроса за запазване на вероятността за този конкретен аргумент (например, ако (P (p / vee q) = 6/7) и (P (p / to q) = 5/7), тогава (P (q) = 4/7)). Като цяло обаче няма да е възможно да се изчисли точната вероятност на заключението, като се имат предвид вероятностите на помещенията; по-скоро най-доброто, на което можем да се надяваме, е (стеснена) горна и / или долна граница за вероятността на заключението. Сега ще обсъдим методите на Адамс (1998) за изчисляване на такива граници.

Резултатите на Адамс могат да се посочат по-лесно по отношение на несигурност, а не на сигурност (вероятност). Като се има предвид вероятностната функция (P: / mathcal {L} до [0,1]), съответната функция на несигурност (U_P) се определя като

[U_P: / mathcal {L} до [0,1]: / phi / mapсто U_P (phi): = 1-P (phi).)

Ако функцията на вероятността (P) е ясна от контекста, ние често просто ще пишем (U) вместо (U_P). В останалата част от този подраздел (и в следващия също) ще приемем, че всички аргументи имат само крайно много предпоставки (което не е значително ограничение, като се има предвид свойството на компактност на класическата логика на предложенията). Първият основен резултат на Адамс, който първоначално е бил установен от Супес (1966 г.), вече може да се посочи, както следва:

Теорема 2. Помислете за валиден аргумент ((Gamma, / phi)) и вероятностна функция (P). Тогава несигурността на заключението (phi) не може да надвишава сбора от несигурностите на помещенията (gamma / in / Gamma). Формално:

[U (phi) leq / sum _ { gamma / in / Gamma} U (gamma).)

На първо място, обърнете внимание, че тази теорема поема теорема 1 като специален случай: ако (P (гама) = 1) за всички (gamma / в / Gamma), тогава (U (gamma) = 0) за всички (gamma / в / Gamma), така (U (phi) leq / sum U (gamma) = 0) и по този начин (P (phi) = 1), Освен това обърнете внимание, че горната граница на несигурността на заключението зависи от (| / Gamma |), т.е. от броя на помещенията. Ако валидният аргумент има малък брой предпоставки, всяко от които има само малка несигурност (т.е. висока сигурност), тогава неговото заключение ще има и сравнително малка несигурност (т.е. сравнително висока сигурност). И обратното, ако валиден аргумент има предпоставки с малки несигурности, тогава неговото заключение може да бъде силно несигурно само ако аргументът има голям брой предпоставки (известна илюстрация на този обратен принцип е парадоксът на лотарията на Кибург (1965 г.), т.е.което се обсъжда във вписването върху епистемичните парадокси на тази енциклопедия). За да поставим въпроса по-конкретно, обърнете внимание, че ако валиден аргумент има три предпоставки, всяка от които има несигурност 1/11, добавянето на предпоставка, която също има несигурност 1/11, няма да повлияе на валидността на аргумента, но ще повдигне горната граница на несигурността на заключението от 3/11 до 4/11, което позволява заключението да бъде по-несигурно, отколкото беше първоначално. И накрая, горната граница, предоставена от теорема 2, е оптимална, в смисъл, че (при правилните условия) несигурността на заключението може да съвпада с горната му граница (сума U (гама)):след това добавянето на предпоставка, която също има несигурност 1/11, няма да повлияе на валидността на аргумента, но ще повиши горната граница на несигурността на заключението от 3/11 до 4/11, като по този начин ще позволи заключението да бъде по-несигурно, отколкото първоначално беше случай. И накрая, горната граница, предоставена от теорема 2, е оптимална, в смисъл, че (при правилните условия) несигурността на заключението може да съвпада с горната му граница (сума U (гама)):след това добавянето на предпоставка, която също има несигурност 1/11, няма да повлияе на валидността на аргумента, но ще повиши горната граница на несигурността на заключението от 3/11 до 4/11, като по този начин ще позволи заключението да бъде по-несигурно, отколкото първоначално беше случай. И накрая, горната граница, предоставена от теорема 2, е оптимална, в смисъл, че (при правилните условия) несигурността на заключението може да съвпада с горната му граница (сума U (гама)):в смисъл, че (при правилните условия) несигурността на заключението може да съвпада с горната му граница (sum U (gamma)):в смисъл, че (при правилните условия) несигурността на заключението може да съвпада с горната му граница (sum U (gamma)):

Теорема 3. Помислете за валиден аргумент ((Gamma, / phi)) и приемете, че набор от предпоставки (Gamma) е последователен и че всяка предпоставка (gamma / в / Gamma) е релевантна (т.е. (Гама - { гама } не / модели / фи)). Тогава съществува вероятностна функция (P: / mathcal {L} до [0,1]) такава

[U_P (phi) = / sum _ { gamma / in / Gamma} U_P (gamma).)

Горната граница, предоставена от теорема 2, също може да се използва за определяне на вероятностно понятие за валидност. Аргументът ((Gamma, / phi)) се казва, че Адамс е вероятностно валиден, написан (Gamma / models_a / phi), ако и само ако

за всички вероятностни функции (P: / mathcal {L} to / mathbb {R}): (U_P (phi) leq / sum _ { gamma / in / Gamma} U_P (gamma)).

Адамсово-вероятностната валидност има алтернативна, еквивалентна характеристика по отношение на вероятностите, а не на несигурността. Тази характеристика казва, че ((Gamma, / phi)) е вероятностно за Адамс валиден, ако и само ако вероятността на заключението може да бъде произволно близка до 1, ако вероятностите на помещенията са достатъчно високи. Формално: (Gamma / models_a / phi), ако и само ако

за всички (epsilon> 0) съществува (delta> 0) такъв, че за всички вероятностни функции (P):

ако (P (gamma)> 1- / delta) за всички (gamma / в / Gamma), след това (P (phi)> 1- / epsilon).

Може да се покаже, че класическата логика на предложенията е (силно) здрава и пълна по отношение на вероятностната семантика на Адамс:

) Gamma / models_a / phi / текст {ако и само ако} Gamma / vdash / phi.)

Адамс (1998, 154) определя и друга логика, за която неговата вероятностна семантика е здрава и пълна. Тази система обаче включва неистински функционален съединител (вероятността е условна) и следователно попада извън обхвата на този раздел. (За повече информация относно вероятностните тълкувания на условни условия, читателят може да се консултира с записите относно условни и логиката на условни условия от тази енциклопедия.)

Помислете следния пример. Аргументът (A) с помещения (p, q, r, s) и заключение (p / wedge (q / vee r)) е валиден. Да приемем, че (P (p) = 10/11, P (q) = P (r) = 9/11) и (P (s) = 7/11). Тогава теорема 2 казва това

) начало {подравняване} & U (p / клин (q / vee r)) leq \& / quad / frac {1} {11} + / frac {2} {11} + / frac {2} { 11} + / frac {4} {11} = / frac {9} {11}. / Край {подравняване})

Тази горна граница на несигурността на заключението е доста разочароваща и тя разкрива основната слабост на теорема 2. Една от причините горната граница да е толкова висока е, че за да я изчислим, взехме предвид предпоставката (s), която има доста голяма несигурност ((4/11)). Тази предпоставка обаче е без значение, в смисъл, че заключението вече следва от останалите три предпоставки. Следователно можем да разглеждаме (p / wedge (q / vee r)) не само като заключение на валиден аргумент (A), но и като заключение на (еднакво валиден) аргумент (A '), който има помещения (p, q, r). В последния случай теорема 2 дава горна граница на (1/11 + 2/11 + 2/11 = 5/11), която вече е много по-ниска.

Слабостта на теорема 2 е, че тя отчита (несигурността) нерелевантни или несъществени предпоставки. За да се получи подобрена версия на тази теорема, е необходимо по-фино понятие „същественост“. В аргумента (A) в горния пример предпоставка (s) е абсолютно без значение. По подобен начин предпоставка (p) е абсолютно уместна, в смисъл, че без тази предпоставка изводът (p / wedge (q / vee r)) вече не може да бъде извлечен. И накрая, подмножеството от предпоставки ({q, r }) е "между": заедно (q) и (r) са уместни (ако и двете помещения са изключени, заключението вече не може да бъде извлечено), но всеки от тях поотделно може да бъде пропуснат (като се запази изводът).

Понятието за същественост се формализира, както следва:

Комплект от основни предпоставки Като се има предвид валиден аргумент ((Gamma, / phi)), набор (Gamma '\ subseteq / Gamma) е съществен iff (Gamma - / Gamma' / not / models / phi).

Степен на същественост Като се има предвид валиден аргумент ((Gamma, / phi)) и предпоставка (gamma / в / Gamma), степента на същественост на (gamma), написана (E (gamma)), е (1 / | S_ / гама |), където (| S_ / гама |) е кардиналността на най-малкия набор от основни предпоставки, който съдържа (gamma). Ако (gamma) не принадлежи към никоя минимална основна предпоставка, тогава степента на същественост на (gamma) е 0.

С тези дефиниции може да се създаде усъвършенствана версия на теорема 2:

Теорема 4. Помислете за валиден аргумент ((Gamma, / phi)). Тогава несигурността на заключението (phi) не може да надвишава претеглената сума от несигурността на помещенията (gamma / in / Gamma), със степените на същественост като тегла. Формално:

[U (phi) leq / sum _ { gamma / in / Gamma} E (gamma) U (gamma).)

Доказването на теорема 4 е значително по-трудно от това на теорема 2: Теорема 2 изисква само основна теория на вероятностите, докато теорема 4 е доказана с помощта на методи от линейно програмиране (Adams and Levine 1975; Goldman и Tucker 1956). Теорема 4 извежда теорема 2 като специален случай: ако всички помещения са уместни (т.е. имат степен на същественост 1), тогава теорема 4 води до същата горна граница като теорема 2. Освен това теорема 4 не взема предвид нерелевантните помещения (т.е. помещенията със степен на същественост 0) за изчисляване на тази горна граница; следователно, ако една предпоставка няма значение за валидността на аргумента, тогава нейната несигурност няма да се пренесе към заключението. И накрая, имайте предвид, че тъй като (E (гама) в [0,1]) за всички (гама / в / гама), той има това

) sum _ { gamma / в / Gamma} E (gamma) U (gamma) leq / sum _ { gamma / in / Gamma} U (gamma),)

т.е. теорема 4 дава по-строга горна граница от теорема 2. За да илюстрираме това, помислете отново за аргумента с помещения (p, q, r, s) и заключение (p / wedge (q / vee r)), Спомнете си, че (P (p) = 10/11, P (q) = P (r) = 9/11) и (P (s) = 7/11). Човек може да изчисли степента на същественост на помещенията: (E (p) = 1, E (q) = E (r) = 1/2) и (E (s) = 0). Оттук теорема 4 води до това

) начало {подравняване} & U (p / клин (q / vee r)) leq \& / quad / наляво (1 / пъти / frac {1} {11} дясно) + / наляво (frac { 1} {2} пъти / frac {2} {11} дясно) + / наляво (frac {1} {2} пъти / frac {2} {11} дясно) + / наляво (0 / пъти / frac {4} {11} дясно) = / frac {3} {11}, / край {подравняване})

което е по-строга горна граница за несигурността на (p / wedge (q / vee r)) от която и да е от границите, получени по-горе чрез теорема 2 (т.е. (9/11) и (5/11)).

2.3 По-нататъшни обобщения

Предвид несигурността (и степента на същественост) на предпоставките на валиден аргумент, теоремите на Адамс ни позволяват да изчислим горна граница за несигурността на заключението. Разбира се, тези резултати могат да бъдат изразени и по-скоро по отношение на вероятностите, а не на несигурността; след това те дават долна граница за вероятността на заключението. Например, когато е изразена по отношение на вероятности, а не на несигурност, теорема 4 изглежда по следния начин:

[P (phi) geq 1 - / sum _ { gamma / in / Gamma} E (gamma) (1 - P (gamma)).)

Резултатите на Адамс са ограничени най-малко по два начина:

  • Те осигуряват само долна граница за вероятността на заключението (предвид вероятностите на помещенията). В известен смисъл това е най-важната граница: тя представлява вероятността от заключението в „най-лошия сценарий“, която може да бъде полезна информация в практическите приложения. В някои приложения обаче може би е полезно да има горна граница за вероятността на заключението. Например, ако човек знае, че тази вероятност има горна граница от 0,4, тогава може да се реши да се въздържа от определени действия (които биха извършили, ако тази горна граница беше (известна като) 0.9).
  • Те предполагат, че са известни точните вероятности на помещенията. В практическите приложения обаче може да има само частична информация за вероятността за дадено помещение (gamma): точната му стойност не е известна, но се знае, че има долна граница (a) и горна граница (b) (Walley 1991). В такива приложения би било полезно да има метод за изчисляване (оптимален) долен и горен граници за вероятността на заключението по отношение на горния и долния граница на вероятностите на помещенията.

Хайлперин (1965, 1984, 1986, 1996) и Нилсон (1986) използват методи от линейното програмиране, за да покажат, че тези две ограничения могат да бъдат преодолени. Най-важният им резултат е следният:

Теорема 5. Помислете за аргумент ((Gamma, / phi)), с (| / Gamma | = n). Има функции (L _ { Gamma, / phi}: / mathbb {R} ^ {2n} to / mathbb {R}) и (U _ { Gamma, / phi}: / mathbb {R} ^ {2n} до / mathbb {R}), така че за всяка вероятностна функция (P) важи следното: ако (a_i / leq P (gamma_i) leq b_i) за (1 / leq i / leq n), тогава:

  1. (L _ { Gamma, / phi} (a_1, / точки, a_n, b_1, / точки, b_n) leq P (phi): / leq) (U _ { Gamma, / phi} (a_1 / точки, a_n, b_1, / точки, b_n)).
  2. Границите в точка 1 са оптимални, в смисъл, че съществуват вероятностни функции (P_L) и (P_U) такива, че (a_i / leq P_L (gamma_i),) (P_U (gamma_i) leq b_i) за (1 / leq i / leq n), и (L _ { Gamma, / phi} (a_1, / точки, a_n, b_1, / точки, b_n) = P_L (phi)) и (P_U (phi) = U _ { Gamma, / phi} (a_1, / точки, a_n, b_1, / точки, b_n)).
  3. Функциите (L _ { Gamma, / phi}) и (U _ { Gamma, / phi}) ефективно се определят от булева структура на изреченията в (Gamma / cup { phi }).

Този резултат може да бъде използван и за дефиниране на още една вероятностна представа за валидност, която ще наречем Хайлперин-вероятностна валидност или просто h-валидност. Това понятие не е дефинирано по отношение на формули, а по-скоро по отношение на двойки, състоящи се от формула и под-интервал от ([0,1]). Ако (X_i) е интервалът, свързан с предпоставка (gamma_i / в / Gamma) и (Y) е интервалът, свързан със заключението (phi), тогава аргументът ((Gamma, / phi)) се казва h-невалидно, написано (Gamma / models_h / phi), ако и само ако за всички вероятностни функции (P):

) текст {ако} P (gamma_i) в X_i / текст {за} 1 / leq i / leq n, / текст {тогава} P (phi) в Y)

В Haenni et al. (2011) това е написано като

) gamma_1 ^ {X_1}, / точки, / gamma_n ^ {X_n} | \! \! \! / приблизително / phi ^ Y)

и наречена стандартната вероятностна семантика.

Работата на Нилсон върху вероятностната логика (1986, 1993) предизвика много изследвания на вероятностните разсъждения в изкуствения интелект (Hansen и Jaumard 2000; глава 2 на Haenni et al. 2011). Трябва обаче да се отбележи, че въпреки че теорема 5 гласи, че функциите (L _ { Gamma, / phi}) и (U _ { Gamma, / phi}) са ефективно определящи от изреченията в (Gamma / cup { phi }) изчислителната сложност на този проблем е доста голяма (Georgakopoulos et al. 1988, Kavvadias and Papadimitriou 1990) и по този начин намирането на тези функции бързо става изчислимо невъзможно в приложенията в реалния свят. Съвременните подходи, базирани на вероятностни аргументационни системи и вероятностни мрежи, са по-способни да се справят с тези изчислителни предизвикателства. Освен това,вероятностните аргументационни системи са тясно свързани с теорията на Демпстър-Шафер (Dempster 1968; Shafer 1976; Haenni и Lehmann 2003). Разширеното обсъждане на тези подходи обаче е извън обхвата на (настоящата версия на) този текст; вижте (Haenni et al. 2011) за скорошно проучване.

3. Основни вероятностни оператори

В този раздел ще изследваме вероятностните логики, които разширяват езика на предложения (mathcal {L}) с доста основни оператори на вероятността. Те се различават от логиките в раздел 2 по това, че тук логиките включват оператори на вероятности на езика на обекта. Раздел 3.1 разглежда качествени оператори на вероятности; В раздел 3.2 са разгледани операторите за количествена вероятност.

3.1 Качествени представи на несигурността

Има няколко приложения, в които качествените теории за вероятността могат да бъдат полезни или дори необходими. В някои ситуации няма налични честоти, които да се използват за оценка на вероятностите, или може да бъде практически невъзможно да се получат тези честоти. Освен това хората често са склонни да сравняват вероятностите на две твърдения („(phi) е по-вероятна от (psi)“), без да могат да присвояват изрични вероятности на всеки от изказванията поотделно (Szolovits и Pauker 1978, Halpern and Rabin 1987). В такива ситуации ще бъде полезна качествена логика на вероятността.

Една от най-ранните качествени логики на вероятността е Hamblin's (1959). Езикът се разширява с унар оператор (Box), който трябва да се чете като „вероятно“. Следователно формула като (Box / phi) трябва да се чете като "вероятно (phi)". Това понятие "вероятна" може да се формализира като достатъчно висока (числова) вероятност (т.е. (P (phi) geq t), за някаква прагова стойност (1/2 <t / leq 1)), или алтернативно по отношение на правдоподобността, което е неметрично обобщение на вероятността. Burgess (1969) доразвива тези системи, фокусирайки се върху интерпретацията на „висока числова вероятност“. И Хамблин, и Бърджис въвеждат допълнителни оператори в своите системи (изразявайки например метафизична необходимост и / или знание) и изучават взаимодействието между 'вероятно' оператора и тези други модални оператори. Въпреки това,операторът 'вероятно' вече показва някои интересни функции самостоятелно (независимо от всички други оператори). Ако се тълкува като "достатъчно голяма вероятност", тогава той не отговаря на принципа ((Box / phi / wedge / Box / psi) to / Box (phi / wedge / psi)). Това означава, че той не е нормален модален оператор и не може да му бъде дадена крипке (релационна) семантика. Херциг и Лонгин (2003) и Арло Коста (2005) предоставят по-слаби системи на съседна семантика за такива „вероятно“оператори, докато Ялчин (2010) обсъжда поведението им от по-езиково ориентирана гледна точка. Това означава, че той не е нормален модален оператор и не може да му бъде дадена крипке (релационна) семантика. Херциг и Лонгин (2003) и Арло Коста (2005) предоставят по-слаби системи на съседна семантика за такива „вероятно“оператори, докато Ялчин (2010) обсъжда поведението им от по-езиково ориентирана гледна точка. Това означава, че той не е нормален модален оператор и не може да му бъде дадена крипке (релационна) семантика. Херциг и Лонгин (2003) и Арло Коста (2005) предоставят по-слаби системи на съседна семантика за такива „вероятно“оператори, докато Ялчин (2010) обсъжда поведението им от по-езиково ориентирана гледна точка.

Друг маршрут е направен от Segerberg (1971) и Gärdenfors (1975a, 1975b), които надграждат по-ранната работа на de Finetti (1937), Kraft, Pratt и Seidenberg (1959) и Scott (1964). Те въвеждат двоичен оператор (geq); формулата (phi / geq / psi) трябва да се чете като "(phi) е поне толкова вероятна, колкото (psi)" (формално: (P (phi) geq P (ИОС))). Ключовата идея е, че човек може напълно да аксиоматизира поведението на (geq), без да се налага да се използват "основните" вероятности на отделните формули. Трябва да се отбележи, че със сравнителна вероятност (двоичен оператор) може да се изразят и някои абсолютни вероятностни свойства (унарни оператори). Например, (phi / geq / top) изразява, че (phi) има вероятност 1, а (phi / geq / neg / phi) изразява, че (phi) има вероятност поне 1/2. В скорошна работа,Delgrande и Renne (2015) допълнително разширяват качествения подход, като позволяват аргументите на (geq) да бъдат крайни последователности от формули (с потенциално различни дължини). Формулата ((phi_1, / точки, / phi_n) geq (psi_1, / точки, / psi_m)) неформално трябва да се чете като "сумата от вероятностите на (phi_i)" е поне толкова висок, колкото сумата от вероятностите на (psi_j) 's'. Получената логика може да бъде аксиоматизирана напълно и е толкова изразителна, че дори може да улови количествена вероятностна логика, към която се обръщаме сега.\ psi_m)) неформално трябва да се чете като "сумата от вероятностите на (phi_i) 'е поне толкова висока, колкото сумата от вероятностите на (psi_j)' s". Получената логика може да бъде аксиоматизирана напълно и е толкова изразителна, че дори може да улови количествена вероятностна логика, към която се обръщаме сега.\ psi_m)) неформално трябва да се чете като "сумата от вероятностите на (phi_i) 'е поне толкова висока, колкото сумата от вероятностите на (psi_j)' s". Получената логика може да бъде аксиоматизирана напълно и е толкова изразителна, че дори може да улови количествена вероятностна логика, към която се обръщаме сега.

3.2 Суми и продукти на вероятностни условия

Пропозиционната логика на вероятността е разширение на логиката на предложението, което изразява числовите връзки между вероятностните термини (P (varphi)). Една проста логика на вероятност за предлагане добавя към логическите формули на формата (P (varphi) ge q), където (varphi) е формула на предложението и (q) е число; такава формула твърди, че вероятността от (varphi) е най-малко (q). Семантиката се формализира с помощта на модели, състоящи се от вероятностна функция (mathcal {P}) над набор (Omega), на чиито елементи се присвоява истина на атомните предложения на логиката на предложенията. Следователно формулата на предложение е вярна в елемент от (Omega), ако присвояването на истината за този елемент прави формулата на предложението истина. Формулата (P (varphi) ge q) е вярна в модела, ако и само ако вероятността (mathcal {P}) на множеството елементи от (Omega), за които (varphi) е вярно е поне (q). Вижте глава 3 на Ognjanović et al. (2016) за преглед на такава логика на вероятността за предлагане.

Някои предложения за логика на вероятността включват други видове формули на езика на обекта, като например тези, включващи суми и продукти на вероятностни термини. Призивът за включване на суми може да бъде изяснен чрез условието за прибавка на вероятностните функции (вж. Раздел 2.1), което може да бъде изразено като (P (phi / vee / psi) = P (phi) + P (psi)) всеки път, когато (neg (phi / клин / psi)) е тавтология или еквивалентно като (P (phi / wedge / psi) + P (phi / wedge / neg / psi) = P (Фи)). Логиката на вероятностите, която изрично включва суми от вероятности, обикновено включва по-общо линейни комбинации от вероятностни термини, като например във Fagin et al. (1990). Тук логиката на предложението се разширява с формули на формата (a_1P (phi_1) + / cdots + a_n P (phi_n) ge b), където (n) е положително цяло число, което може да се различава от формулата до формула и (a_1, / ldots, a_n),и (b) са всички рационални числа. Ето няколко примера за това, което може да се изрази.

  • (P (phi) le q) от (- P (phi) ge -q),
  • (P (phi) <q) от (neg (P (phi) ge q)),
  • (P (phi) = q) от (P (phi) ge q / клин P (phi) le q).
  • (P (phi) ge P (psi)) от (P (phi) -P (psi) ge 0).

Експресивна сила с и без линейни комбинации: Въпреки че линейните комбинации осигуряват удобен начин за изразяване на многобройни връзки между вероятностните термини, език без суми от вероятностни термини все още е много мощен. Помислете за езика, ограничен до формулите на формата (P (phi) ge q) за някои предложения на формули (phi) и рационални (q). Можем да определим

[P (phi) le q / текст {от} P (neg / phi) ge 1-q,)

което е разумно, като се има предвид, че вероятността за допълване на предложение е равна на 1 минус вероятността на предложението. Формулите (P (phi)[P (phi / клин / psi) = a / клин P (phi / клин / neg / psi) = b] до P (phi) = a + b)

заявява, че ако вероятността от (phi / клин / psi) е (a), а вероятността (phi / wedge / neg / psi) е (b), тогава вероятността от разделянето на формулите (което е еквивалентно на (phi)) е (a + b). Въпреки това, докато използването на линейни комбинации ни позволява да твърдим, че вероятностите на (varphi / wedge / psi) и (varphi / wedge / neg / psi) са адитивни чрез използване на формулата (P (varphi / wedge / psi) + P (varphi / wedge / neg / psi) = P (varphi)), формулата без линейни комбинации по-горе го прави само ако изберем правилните числа (a) и (б). Официално сравнение на изразителността на логиката на предложената вероятност с линейни комбинации и без е дадено в Demey and Sack (2015). Докато всеки два модела се съгласяват за всички формули с линейни комбинации, ако и само ако са съгласни за всички формули без (Лемма 4.1 от Demey and Sack (2015)), не е така случаят, че всеки клас модели, дефинируем чрез една формула с линейни комбинации, може да бъде дефиниран по една формула без (Lemma 4.2 на Demey and Sack (2015)). По-специално, класът модели, дефиниран по формулата (P (p) - P (q) ge 0), не може да бъде дефиниран по нито една формула без силата на линейните комбинации.

Вероятностите, принадлежащи на даден подмножество: Огнянович и Рашкович (1999) разширяват езика на вероятностната логика чрез нов тип оператор: (Q_F). Интуитивно, формулата (Q_F / phi) означава, че вероятността от (phi) принадлежи на (F), за даден набор (F / subseteq [0,1]). Този (Q_F) - оператор не може да бъде дефиниран от формули на формата (P (phi) ge a). Огнянович и Рашкович (1999) осигуряват звук и цялостна аксиоматизация на този тип логическа система. Основните мостови принципи, които свързват оператора (Q_F) - към по-стандартния оператор (P) - са аксиомите (P (phi) = a / до Q_F / phi) за всички (a / в F), както и инфинитариалното правило, което определя, че от (P (phi) = a / до / psi) за всички (a / във F), може да се направи извода (Q_F / Фи / до / ИОС).

Полиномни формули за тегло: Логиките с полиномични тегловни формули (включващи както претеглени суми, така и продукти на вероятностни термини), могат да позволят формули на формата (P (phi) P (psi) -P (phi / клин / psi) = 0), тоест вероятността и на (phi), и на (psi) е равна на произведението на вероятностите на (phi) и (psi). Тази формула улавя какво означава (phi) и (psi) статистически независими. Подобни логики са изследвани във Fagin et al. (1990), но най-вече с включени логически функции от първи ред и след това отново в по-опростен контекст (без количествени характеристики) в Perović et al. (2008 г.).

Компактност и пълнота: Компактността е свойство на логиката, при която набор от формули е удовлетворителен, ако всеки краен подмножество е изпълним. Прогнозната вероятностна логика не притежава свойството за компактност, тъй като всеки краен подмножество от ({P (p)> 0 } cup {P (p) leq a \, | \, a> 0 }) е удовлетворителен, но целият комплект не е.

Без компактност, логиката може да е слабо пълна (всяка валидна формула е доказуема в аксиоматичната система), но не е силно пълна (за всеки набор (Gamma) формули, всяко логическо следствие от (Gamma) е доказано от (Gamma) в аксиоматичната система). В Fagin et al. (1990) беше дадена система за доказателство, включваща линейни комбинации и логиката беше показана като здрава и слабо завършена. В Огнянович и Рашкович (1999) е дадена здрава и силно завършена доказателствена система за предложена логика на вероятността без линейни комбинации. В Heifetz and Mongin (2001),беше дадена система за доказателство за промяна на логиката без линейни комбинации, която използва система от типове, за да позволи итерация на вероятностни формули (в раздел 4 ще видим как може да се постигне такава итерация с помощта на възможни светове) и логиката беше показана на да бъде здрав и слабо завършен. Те също така отбелязват, че никоя финална система за доказателство за подобна логика не може да бъде силно завършена. Ognjanović et al. (2008) представят някои качествени вероятностни логики с инфинитариални правила за деривация (които изискват значително безкраен брой помещения) и доказват силна пълнота. Goldblatt (2010) представя силно завършена доказателствена система за свързана с въглегебраична логика. Perović et al. (2008) дават система за доказване и доказателство за силна пълнота на логиката на предложената вероятност с формули за полиномично тегло На последно място,друга стратегия за получаване на силна пълнота включва ограничаване на обхвата на вероятностните функции до фиксиран и ограничен набор от числа; например, Ognjanović et al. (2008) обсъдете качествена вероятностна логика, в която диапазонът на вероятностните функции не е пълният интервал на реалната единица ([0,1]), а по-скоро „дискретизираната“версия ({0, / frac {1 } {n}, / frac {2} {n}, / точки, / frac {n-1} {n}, 1 }) (за някакъв фиксиран номер (n / в / mathbb {N})). Вижте глава 7 на Ognjanović et al. (2016) за преглед на резултатите за пълнота.а по-скоро 'дискретизираната' версия ({0, / frac {1} {n}, / frac {2} {n}, / точки, / frac {n-1} {n}, 1 }) (за някакъв фиксиран номер (n / в / mathbb {N})). Вижте глава 7 на Ognjanović et al. (2016) за преглед на резултатите за пълнота.а по-скоро 'дискретизираната' версия ({0, / frac {1} {n}, / frac {2} {n}, / точки, / frac {n-1} {n}, 1 }) (за някакъв фиксиран номер (n / в / mathbb {N})). Вижте глава 7 на Ognjanović et al. (2016) за преглед на резултатите за пълнота.

4. Модална логика на вероятността

Много логика на вероятността се интерпретира в едно, но произволно вероятностно пространство. Модалната логика на вероятността използва много пространства на вероятностите, всяко от които е свързано с възможен свят или състояние. Това може да се разглежда като незначително приспособяване към релационната семантика на модалната логика: вместо да свързва към всеки възможен свят набор от достъпни светове, както се прави в модалната логика, модалната логика на вероятността асоциира към всеки възможен свят разпределение на вероятността, вероятностно пространство или набор от вероятностни разпределения. Езикът на логиката на модалната вероятност дава възможност за вграждане на вероятностите в рамките на вероятностите, тоест може например да разсъждава за вероятността, която (вероятно различна) вероятност е (1/2). Тази модална настройка, включваща множество вероятности, обикновено получава (1) стохастична интерпретация,по отношение на различни вероятности за следващите състояния, една система може да премине в (Larsen и Skou 1991), и (2) субективна интерпретация, отнасяща се до различни вероятности, които различните агенти могат да имат за ситуация или вероятности на другия (Fagin и Halpern 1988). И двете интерпретации могат да използват абсолютно една и съща формална рамка.

Основната логическа вероятност добавя към предложенията формули на логиката от формата (P (phi) ge q), където (q) обикновено е рационално число, а (phi) е всяка формула на език, вероятно формула на вероятността. Четенето на такава формула е, че вероятността от (phi) е най-малко (q). Този общ прочит на формулата не отразява никаква разлика между логиката на модалната вероятност и други логики на вероятността със същата формула; където разликата се състои в способността да се вграждат вероятности в аргументите на вероятностните термини и в семантиката. Следващите подраздели предоставят преглед на вариантите на начина на моделиране на логиката на модалната вероятност. В единия случай езикът се променя леко (раздел 4.2), а в други случаи,логиката се разширява, за да адресира взаимодействията между качествена и количествена несигурност (раздел 4.4) или динамика (раздел 4.5).

4.1 Основни крайни модални вероятностни модели

Формално основният краен модален вероятностен модел е кортеж (M = (W, / mathcal {P}, V)), където (W) е ограничен набор от възможни светове или състояния, (mathcal { P}) е функция, свързваща разпределение (mathcal {P} _w) над (W) към всеки свят (w / в W), а (V) е "функция за оценка" присвояване на атомни предложения от набор (Phi) към всеки свят. Разпределението се разширява допълнително от отделни светове до множества светове: (mathcal {P} _w (S) = / sum_ {s / in S} mathcal {P} _w (s)). Първите два компонента на основен модален вероятностен модел са фактически същите като рамка на Крипке, чието отношение е украсено с числа (стойности на вероятността). Такава структура има различни имена, като насочена графика с етикетирани ръбове в математиката или вероятностна система за преход в компютърните науки. Функцията за оценка,както в Крипке модел, ни позволява да присвояваме свойства на световете.

Семантиката за формулите е дадена на двойки ((M, w)), където (M) е модел и (w) е елемент от модела. Формула (P (phi) ge q) е вярна при двойка ((M, w)), написана ((M, w) модели P (phi) ge q), ако и само ако (mathcal {P} _w ({w '\ mid (M, w') модели / phi }) ge q).

4.2 Индексиране и тълкуване

Първото обобщение, което е най-често в приложения на модална вероятностна логика, е да се позволи разпределението да се индексира с две множества, а не от една. Първият набор е набор (W) от светове (основният набор на модела), но другият е набор от индекси (A), който често трябва да се приема като набор от действия, агенти или играчи на игра. Формално (mathcal {P}) свързва разпределение (mathcal {P} _ {a, w}) над (W) за всеки (w / в W) и (a / в). За езика, вместо да включва формули на формата (P (phi) ge q), имаме (P_a (phi) ge q), и ((M, w) модели P_a (phi) ge q), ако и само ако (mathcal {P} _ {a, w} ({w '\ mid (M, w') модели / phi }) ge q).

Пример: Да предположим, че имаме индексен набор (A = {a, b }) и набор (Phi = {p, q }) от атомни предложения. Помислете ((W, / mathcal {P}, V)), където

  • (W = {w, x, y, z })
  • (mathcal {P} _ {a, w}) и (mathcal {P} _ {a, x}) карта (w) до (1/2), (x) до (1/2), (y) до (0) и (z) до (0).

    (mathcal {P} _ {a, y}) и (mathcal {P} _ {a, z}) карта (y) до (1/3), (z) до (2/3), (w) до (0) и (x) до (0).

    (mathcal {P} _ {b, w}) и (mathcal {P} _ {b, y}) карта (w) до (1/2), (y) до (1/2), (x) до (0) и (z) до (0).

    (mathcal {P} _ {b, x}) и (mathcal {P} _ {b, z}) карта (x) до (1/4), (z) до (3/4), (w) до (0) и (y) до (0).

  • (V (p) = {w, x })

    (V (q) = {w, y }).

Представяме този пример със следната диаграма. Вътре във всеки кръг е обозначено истинността на всяка буква за света, чието име е означено точно извън кръга. Стрелките показват вероятностите. Например стрелка от света (x) до свят (z), обозначена с ((b, 3/4)) показва, че от (x), вероятно от (z) под етикет (b) е (3/4). Вероятностите от 0 не са отбелязани.

Четири кръга всеки с възможно състояние на p, q и стрелки за вероятност между тях
Четири кръга всеки с възможно състояние на p, q и стрелки за вероятност между тях

Фигура

Стохастично тълкуване: Считайте елементите (a) и (b) на (A) като действия, например натискане на бутони на машина. В този случай натискането на бутон няма определен резултат. Например, ако машината е в състояние (x), има (1/2) вероятност тя да остане в същото състояние след натискане на (a), но a (1/4) вероятност да останете в същото състояние след натискане на (b). Това е, [(M, x) модели P_a (p / клин / neg q) = 1/2 / клин P_b (p / клин / neg q) = 1/4.)

Важна особеност на модалната логика като цяло (а това включва модална вероятностна логика) е способността да се поддържа разсъждение от по-висок ред, тоест разсъжденията за вероятностите на вероятностите. Значението на вероятностите от по-висок ред е ясно от ролята, която играят например в принципа на Милър, който гласи, че (P_1 (phi / средата P_2 (phi) = b) = b). Тук (P_1) и (P_2) са вероятностни функции, които могат да имат различни интерпретации, като например вероятностите на два агента, логическа и статистическа вероятност или вероятностите на един агент в различни моменти във времето (Miller 1966; Lewis 1980; van Fraassen 1984; Halpern 1991). Вероятността от по-висок порядък се среща например в проблема на Джуди Бенджамин (van Fraassen 1981a), където човек обуславя вероятностната информация. Независимо дали човек е съгласен с принципите, предложени в литературата относно вероятностите от по-висок ред, или не, способността да ги представя принуждава човек да изследва принципите, които ги управляват.

За да илюстрираме по-конкретно разсъжденията от по-висок ред, се връщаме към нашия пример и виждаме, че при (x) има вероятност (1/2) вероятност след натискане на (a) да има (1 / 2) вероятност, че след натискане на (b), ще бъде така, че (neg p) е вярно, т.е.

[(M, x) модели P_a (P_b (neg p) = 1/2) = 1/2.)

Субективно тълкуване: Да предположим, че елементите (a) и (b) на (A) са играчи на игра. (p) и (neg p) са стратегии за играч (a) и (q) и (neg q) са двете стратегии за играч (b). В модела всеки играч е сигурен в собствената си стратегия; например при (x), играчът (a) е сигурен, че тя ще играе (p), а играчът (b) е сигурен, че ще играе (neg q), т.е.

[(M, x) модели P_a (p) = 1 / клин P_b (neg q) = 1.)

Но играчите се рандомизират над противниците си. Например при (x) вероятността, че (b) има вероятността () да бъде (neg q) (1/2) е (1/4), това е

[(M, x) модели P_b (P_a (q) = 1/2) = 1/4.)

4.3 Вероятностни пространства

Вероятностите обикновено се определят като мерки в пространството на мерките. Пространството на мярката е набор (Omega) (примерното пространство) заедно с (sigma) - алгебра (наричана също (sigma) - поле) (mathcal {A}) над (Omega), който е непразен набор от подмножества от (Omega), така че (A / в / mathcal {A}) означава, че (Omega-A / в / mathcal { A}) и (A_i / в / mathcal {A}) за всички естествени числа (i), означава, че (bigcup_i A_i / в / mathcal {A}). Мярката е функция (mu), определена в (sigma) - алгебра (mathcal {A}), така че (mu (A) ge 0) за всеки набор (A / in / mathcal {A}) и (mu (bigcup_i A_i) = / sum_i / mu (A_i)) всеки път (A_i / cap A_j = / празен набор) за всеки (i, j).

Ефектът на алгебрата (sigma) е да ограничи домейна, така че не всеки подмножество от (Omega) трябва да има вероятност. Това е решаващо за някои вероятности да бъдат дефинирани на безчет безкрайни множества; например, равномерното разпределение през единичен интервал не може да бъде дефинирано във всички подмножества на интервала, като същевременно се поддържа условието за изчислителна добавка за вероятностни мерки.

Същият основен език, който беше използван за основната логика с крайна вероятност, не е необходимо да се променя, но семантиката е малко по-различна: за всяко състояние (w / in W) компонентът (mathcal {P} _w) на a модалният вероятностен модел се заменя с цяло пространство на вероятностите ((Omega_w, / mathcal {A} _w, / mu_w)), така че (Omega_w / subseteq W) и (mathcal {A} _w) е (sigma) - алгебра над (Omega_w). Причината може да искаме цели пространства да се различават от един свят в друг е да отразяват несигурността за това кое вероятностно пространство е правилното. За семантиката на формулите на вероятностите ((M, w) модели P (phi) ge q), ако и само ако (mu_w ({w '\ mid (M, w') модели / phi }) ge q). Такова определение не е добре дефинирано в случай, че ({w '\ mid (M, w') модели / phi } не / в / mathcal {A} _w). По този начин на моделите често се поставят ограничения, за да се гарантира, че такива множества са винаги в алгебрите (sigma).

4.4 Комбиниране на количествена и качествена несигурност

Въпреки че вероятностите отразяват количествена несигурност на едно ниво, може да има и качествена несигурност относно вероятностите. Може би бихме искали да имаме качествена и количествена несигурност, защото може да сме толкова несигурни за някои ситуации, че не искаме да присвояваме числа на вероятностите на техните събития, докато има други ситуации, в които имаме представа за вероятностите на техните събития; и тези ситуации могат да взаимодействат.

Има много ситуации, в които може да не искаме да приписваме числови стойности на несигурността. Един пример е, когато компютър избира малко 0 или 1 и не знаем нищо за това как е избран този бит. Резултатите от обръщането на монети, от друга страна, често се използват примери за това, когато бихме могли да присвоим вероятности на отделни резултати.

Пример за това как те могат да си взаимодействат е, когато резултатът от бита определя дали справедлива монета или претеглена монета (да речем глави с вероятност (2/3)) да се използва за обръщане на монета. Следователно съществува качествена несигурност дали действието на прелитане на монета води до глави с вероятност (1/2) или (2/3).

Един от начините за формализиране на взаимодействието между вероятността и качествената несигурност е чрез добавяне на друго отношение към модела и модалния оператор към езика, както е направено във Fagin и Halpern (1988, 1994). Формално добавяме към основен модел с крайна вероятност отношение (R / subseteq W ^ 2). След това добавяме към езика модален оператор (Box), така че ((M, w) модели / Box / phi), ако и само ако ((M, w ') модели / phi) винаги, когато (w R w ').

Помислете следния пример:

  • (W = {(0, H), (0, T), (1, H), (1, T) }),
  • (Phi = {h, t }) е набор от атомни предложения,
  • (R = W ^ 2),
  • (P) асоциира с ((0, H)) и ((0, T)) картографиране на разпределението ((0, H)) и ((0, T)) всеки към (1/2) и се свързва с ((1, H)) и ((1, T)) картографиране на разпределението ((1, H)) до (2/3) и ((1, T)) до (1/3),
  • (V) преобразува (h) към множеството ({(0, H), (1, H) }) и (t) към множеството ({(0, T), (1, Т) }).

Тогава следната формула е вярна при ((0, H)): (neg / поле h / клин (neg / поле P (h) = 1/2) клин (Diamond P (h) = 1/2)). Това може да се прочете, тъй като не е известно, че (h) е вярно и не е известно, че вероятността от (h) е (1/2), но е възможно вероятността от (h) е (1/2).

4.5 Динамика

Обсъдихме две гледни точки на модалната логика на вероятността. Единият е временен или стохастичен, където разпределението на вероятността, свързано с всяко състояние, определя вероятността от преминаване в други състояния; друг се отнася до субективните перспективи на агентите, които могат да разсъждават за вероятности на други агенти. Стохастичната система е динамична, тъй като представлява вероятности от различни преходи и това може да бъде предадено от самите модални вероятностни модели. Но от субективна гледна точка модалните вероятностни модели са статични: вероятностите са свързани с това, което в момента е така. Макар и статична в тяхната интерпретация, модалната вероятностна настройка може да бъде поставена в динамичен контекст.

Динамиката в модалната вероятностна обстановка обикновено се отнася до едновременни промени в вероятностите в потенциално всички възможни светове. Интуитивно тази промяна може да бъде причинена от нова информация, която се позовава на вероятна ревизия във всеки възможен свят. Динамиката на субективните вероятности често се моделира, като се използват условни вероятности, като например в Kooi (2003), Baltag and Smets (2008) и van Benthem et al. (2009 г.). Вероятността (E), условна на (F), написана (P (E / средна F)), е (P (E / cap F) / P (F)). Когато се актуализира чрез набор (F), разпределението на вероятността (P) се заменя с разпределението на вероятността (P '), така че (P' (E) = P (E / средата F)), стига (P (F) neq 0). Нека допуснем за останалата част от този подраздел динамика, че всеки разглеждан набор има положителна вероятност.

Използвайки вероятностната логика с линейни комбинации, можем да съкратим условната вероятност (P (phi / mid / psi) ge q) с (P (phi / wedge / psi) - qP (psi) ge 0). В модална настройка към езика може да се добави оператор ([! / Psi]), така че (M, w / модели [! / Psi] phi), ако и само ако (M ', w / models / phi), където (M ') е моделът, получен от (M) чрез преразглеждане на вероятностите на всеки свят чрез (psi). Обърнете внимание, че ([! / Psi] (P (phi) ge q)) се различава от (P (phi / mid / psi) ge q), в това в ([! / Psi] (P (phi) ge q)), тълкуването на вероятностните изрази вътре (phi) са засегнати от ревизията от (psi), докато в (P (phi / mid / psi) ge q), те не са, поради което (P (phi / mid / psi) ge q) хубаво се разгръща в друга формула на вероятността. Въпреки това, ([! / Psi] phi) също се разгръща, но в повече стъпки:

[! / psi] (P (phi) ge q) лявоглаво стрело (psi / до P ([! / psi] phi / mid / psi) ge q).)

За други прегледи на модалната вероятностна логика и нейната динамика вижте Demey и Kooi (2014), Demey и Sack (2015) и приложение L относно вероятностното актуализиране в динамичната епистемична логика на записа на динамичната епистемична логика.

5. Логика на вероятността от първи ред

В този раздел ще обсъдим вероятностните логики от първи ред. Както беше обяснено в раздел 1 от този запис, има много начини, по които логиката може да има вероятностни характеристики. Моделите на логиката могат да имат вероятностни аспекти, понятието последица може да има вероятностен привкус или езикът на логиката може да съдържа вероятностни оператори. В този раздел ще се съсредоточим върху онези логически оператори, които имат аромат от първи ред. Ароматът от първи ред е това, което отличава тези оператори от вероятностните модални оператори от предишния раздел.

Помислете следния пример от Bacchus (1990):

Повече от 75% от всички птици летят.

Съществува пряка вероятностна интерпретация на това изречение, а именно когато човек избира произволно птица, тогава вероятността избраната птица да лети е повече от 3/4. Необходими са вероятностни оператори от първи ред, за да изразят този вид изявления.

Има и друг вид изречение, като следното изречение, обсъдено в Halpern (1990):

Вероятността Tweety да лети е по-голяма от (0.9).

Това изречение отчита вероятността Туити (определена птица) да лети. Тези два типа изречения са адресирани от два различни типа семантика, където първото включва вероятности над домейн, докато второто включва вероятности за набор от възможни светове, които са отделни от домейна.

5.1 Пример за логика на вероятност от първи ред

В този подраздел ще разгледаме по-отблизо една конкретна логика на вероятност от първи ред, чийто език е възможно най-прост, за да се съсредоточим върху вероятностните количествени характеристики. Езикът много прилича на езика на класическата логика от първи ред, но вместо познатия универсален и екзистенциален количествен език, езикът съдържа вероятностен количествен показател.

Езикът е изграден върху набор от отделни променливи (обозначени с (x, y, z, x_1, x_2, / ldots)), набор от функционални символи (обозначени с (f, g, h, f_1, / ldots)), където arity е свързана с всеки символ (символите на нуларната функция също се наричат индивидуални константи) и набор от букви предикати (обозначени с (R, P_1, / ldots)), където arity е свързана с всеки символ. Езикът съдържа два вида синтактични обекти, а именно термини и формули. Термините са дефинирани индуктивно, както следва:

  • Всяка отделна променлива (x) е термин.
  • Всеки символ на функция (f) на arity (n), последван от (n) - набор от термини ((t_1, / ldots, t_n)) е термин.

Като се има предвид това определение на термините, формулите са дефинирани индуктивно, както следва:

  • Всяка предикативна буква (R) от аритет (n), последвана от (n) - набор от термини ((t_1, / ldots, t_n)) е формула.
  • Ако (phi) е формула, тогава е така (neg / phi).
  • Ако (phi) и (psi) са формули, тогава е така ((phi / wedge / psi)).
  • Ако (phi) е формула и (q) е рационално число в интервала ([0,1]), тогава това е и (Px (phi) geq q).

Формулите на формата (Px (phi) geq q) трябва да се четат като: "вероятността за избор на (x) такава, че (x) удовлетворява (phi) е най-малко (р) ". Формулата (Px (phi) leq q) е съкращение от (Px (neg / phi) geq 1-q) и (Px (phi) = q) е съкращение от (Px (phi) geq q / wedge Px (phi) leq q). Всяко свободно възникване на (x) в (phi) е обвързано от оператора.

Този език се интерпретира на много прости модели от първи ред, които са тройки (M = (D, I, P)), където домейнът на дискурса (D) е ограничен непразен набор от обекти, интерпретацията (I) свързва (n) - ary функция на (D) с всеки (n) - символ на функцията arry, срещащ се в езика, и (n) - ary отношение на (D) с всяка (n) - арикатна предикативна буква. (P) е вероятностна функция, която присвоява вероятност (P (d)) на всеки елемент (d) в (D), така че (sum_ {d / в D} P (d) = 1).

За да се интерпретират формули, съдържащи свободни променливи, също се нуждае от присвояване (g), което присвоява елемент от (D) на всяка променлива. Интерпретацията ()! [T] !] _ {M, g}) на термин (t), даден модел (M = (D, I, P)) и задание (g) се определя индуктивно, както следва:

  • ()! [x] !] _ {M, g} = g (x))
  • ()! [f (t_1, / ldots, t_n)] !] _ {M, g} = I (f) ()! [t_1] !], / ldots,)! [t_n] !]))

Истината се дефинира като отношение (модели) между модели със задания и формули:

  • (M, g / модели R (t_1, / ldots, t_n)) iff (()! [T_1] !], / Ldots,)! [T_n] !]) В I (R))
  • (M, g / модели / neg / phi) iff (M, g / not / модели / phi)
  • (M, g / модели (phi / клин / psi)) iff (M, g / модели / phi) и (M, g / модели / psi)
  • (M, g / модели Px (phi) geq q) iff (sum_ {d: M, g [x / mapsto d] модели / phi} P (d) geq q)

Като пример, помислете за модел на ваза, съдържащ девет мрамора: пет са черни, а четири са бели. Нека приемем, че (P) присвоява вероятност 1/9 на всеки мрамор, което улавя идеята, че човек е еднакво вероятно да избере всеки мрамор. Да предположим, че езикът съдържа унарен предикат (B), чиято интерпретация е набор от черни мрамори. Изречението (Px (B (x)) = 5/9) е вярно в този модел, независимо от заданието.

Логиката, която току-що представихме, е твърде проста, за да обхване много форми на разсъждения за вероятностите. Тук ще обсъдим три разширения.

5.1.1 Количествено определяне на повече от една променлива

На първо място бихте искали да разсъждавате за случаите, когато повече от един обект е избран от домейна. Помислете например за вероятността първо да вземете черен мрамор, да го поставите обратно и след това да вземете бял мрамор от вазата. Тази вероятност е 5/9 (пъти) 4/9 = 20/81, но не можем да изразим това на езика по-горе. За това ни е необходим един оператор, който се занимава едновременно с няколко променливи, написани като (Px_1, / ldots x_n (phi) geq q). След това семантиката за такива оператори ще трябва да предостави вероятностна мярка за подмножества от (D ^ n). Най-простият начин да направите това е като просто вземете произведението на вероятностната функция (P) на (D), което може да се приеме като разширение на (P) до кортежи, където (P (d_1, / ldots d_n) = P (d_1) пъти / cdots / пъти P (d_n)), което дава следната семантика:

(M, g / модели Px_1 / ldots x_n (phi) geq q) iff (sum _ {(d_1, / ldots, d_n): M, g [x_1 / mapsto d_1, / ldots, x_n / mapsto d_n] модели / phi} P (d_1, / ldots, d_n) geq q)

Този подход е възприет от Bacchus (1990) и Halpern (1990), съответстващ на идеята, че селекциите са независими и със замествания. С тази семантика горният пример може да бъде формализиран като (Px, y (B (x) клин / neg B (y)) = 20/81). Съществуват и по-общи подходи за разширяване на мярката за домейна до кортежи от домейна, като например от Hoover (1978) и Keisler (1985).

5.1.2 Условна вероятност

Когато човек разгледа първоначалния пример, че повече от 75% от всички птици летят, се установява, че това не може да бъде адекватно заснето в модел, в който домейнът съдържа обекти, които не са птици. Тези обекти не трябва да имат значение за това, което човек желае да изрази, а количествените коефициенти на вероятността, количествено определящи целия домейн. За да се ограничи количественото, трябва да се добавят оператори на условна вероятност (Px (phi | / psi) geq q) със следната семантика:

  • (M, g / модели Px (phi | / psi) geq q) iff, ако има (d / в D), така че (M, g [x / mapsto d] модели / psi) тогава

    ) frac { sum_ {d: M, g [x / mapsto d] модели / phi / клин / psi} P (d)} { sum_ {d: M, g [x / mapsto d] модели / psi} P (d)} geq q.)

С тези оператори формулата (Px (F (x) средата B (x))> 3/4) изразява, че повече от 75% от всички птици летят.

5.1.3 Вероятности като условия

Когато човек иска да сравни вероятността от различни събития, да кажем за избор на черна топка и избор на бяла топка, може би е по-удобно да се считат вероятностите за термини сами по себе си. Тоест, изразът (Px (phi)) се интерпретира като отнасящ се до някакво рационално число. Тогава човек може да разшири езика с аритметични операции като добавяне и умножение и с оператори като равенство и неравенства за сравняване на вероятностни условия. След това може да се каже, че човек има два пъти по-голяма вероятност да избере черна топка в сравнение с бяла топка, тъй като (Px (B (x)) = 2 / пъти Px (W (x))). Такова разширение изисква езикът да съдържа два отделни класа термини: един за вероятности, числа и резултати от аритметични операции при такива термини,и един за областта на дискурса, която вероятностните оператори количествено определят. Тук няма да представим подробно такъв език и семантика. Човек може да намери такава система в Bacchus (1990).

5.2 Възможна световна логика на вероятност от първи ред

В този подраздел ние разглеждаме вероятностна логика от първи ред с възможна света семантика (която съкращаваме FOPL). Езикът на FOPL е подобен на примера, който дадохме в раздел 5.1, свързан с този на Бакхус, освен тук имаме пълни формули за количествено определяне на формата ((forall x) phi) за всяка формула (phi) и вместо формули на вероятността от формата (Px (phi) ge q), имаме вероятностни формули на формата (P (phi) ge q) (подобно на формулите за вероятност в предложената вероятност логика).

Моделите на FOPL са с формата (M = (W, D, I, P)), където (W) е набор от възможни светове, (D) е домейн на дискурс, (I) е локализирана функция за интерпретация, която преобразува всяка (w / в W) към функция за интерпретация (I (w)), която се асоциира към всяка функция и символ на предикат, функция или предикат с подходяща съвкупност и (P) е вероятностна функция, която присвоява вероятност (P (w)) на всеки (w) в (W).

Подобно на простия пример преди това, ние включваме функция за присвояване (g), която преобразува всяка променлива в елемент от домейна (D). За да интерпретираме термини, за всеки модел (M), свят (w / в W) и функция за присвояване (g), преобразуваме всеки термин (t) в елементи на домейна, както следва:

  • ()! [x] !] _ {M, w, g} = g (x))
  • ()! [f (t_1, / ldots, t_n)] !] _ {M, w, g} = I (w) (f) ()! [t_1] !], / ldots, [! [t_n] !]))

Истината се определя според съотношението (модели) между заострени модели (модели с обозначени светове) с задания и формули, както следва:

  • (M, w, g / модели R (t_1, / ldots, t_n)) iff (()! [T_1] !], / Ldots,)! [T_n] !]) В I (w) (R))
  • (M, w, g / модели / neg / phi) iff (M, w, g / not / модели / phi)
  • (M, w, g / модели (phi / клин / psi)) iff (M, w, g / модели / phi) и (M, w, g / модели / psi)
  • (M, w, g / модели (forall x) varphi) iff (M, w, g [x / d] модели / varphi) за всички (d / в D), където (g [x / d]) е същото като (g), с изключение на това, че преобразува (x) в (d).
  • (M, w, g / модели P (varphi) ge q) iff (P ({w '\ mid (M, w', g) модели / varphi }) ge q),

Като пример, помислете за модел, при който има две възможни вази: 4 бели мрамора и 4 черни мрамора бяха поставени в двете възможни вази. Но тогава във вазата беше поставен друг мрамор, наречен, но в едната възможна ваза беше бял, а в другата - черен. Така в крайна сметка има две възможни вази: едната с 5 черни мрамора и 4 бели мрамора, а другата с 4 черни мрамора и 5 бели мрамора. Да предположим, че (P) възлага (1/2) вероятност на двете възможни вази. Тогава (P (B (mathsf {last})) = 1/2) е вярно за това присвояване на променлива и ако е избрано друго задание на променлива, формулата ((съществува x) P (B (x)) = 1/2) пак ще е вярно.

5.3 Металогично

По принцип е трудно да се осигурят системи за доказателство за вероятностни логики от първи ред, защото проблемът с валидността на тези логики като цяло не може да се реши. Дори не е така, както е в класическата логика от първи ред, че ако изводът е валиден, тогава човек може да разбере в ограничено време (вж. Абади и Халперн (1994)).

Въпреки това има много резултати за логиката на вероятност от първи ред. Например, Хувър (1978) и Кейслер (1985) изследват резултатите за пълнота. Bacchus (1990) и Halpern (1990) също предоставят пълни аксиоматизации, както и комбинации от вероятностни логики от първи ред и съответно вероятни логики от първи ред на вероятността. В Огнянович и Рашкович (2000 г.) е дадена инфинитарна пълна аксиоматизация за по-обща версия на вероятната логика на вероятност от първи ред, представена тук.

библиография

  • Abadi, M. and Halpern, JY, 1994, „Решимост и експресивност за логиките на вероятност от първи ред“, Информация и изчисления, 112: 1–36.
  • Адамс, EW и Levine, HP, 1975, „За несигурността, предавана от предпоставки в заключения в дедуктивни заключения“, Синтез, 30: 429–460.
  • Адамс, EW, 1998, Праймер на вероятностната логика, Стенфорд, Калифорния: CSLI Publications.
  • Арло Коста, Х., 2005, „Неприсъединителни изводи и класически модалности“, сп. „Философска логика“, 34: 581–605.
  • Bacchus, F., 1990, Представяне и обосновка с вероятностни знания, Cambridge, MA: The MIT Press.
  • Baltag, A. и Smets, S., 2008, „Вероятностна ревизия на динамичната вяра“, Синтез, 165: 179–202.
  • van Benthem, J., 2017, „Срещу всички шансове: когато логиката отговаря на вероятността“, в ModelEd, TestEd, TrustEd. Есета, посветени на Ед Бринксма по повод 60-ия му рожден ден, JP Katoen, R. Langerak и A. Rensink (ред.), Cham: Springer, стр. 239–253.
  • van Benthem, J., Gerbrandy, J., and Kooi, B., 2009, „Dynamic Update with вероятности“, Studia Logica, 93: 67–96.
  • Бул, Г., 1854, Изследване на законите на мисълта, на които са основани математическите теории на логиката и вероятностите, Лондон: Уолтън и Мейбърли.
  • Burgess, J., 1969, „Вероятностна логика“, сп. „Символична логика“, 34: 264–274.
  • Карнап, Р., 1950, Логически основания на вероятността, Чикаго, Илинойс: University of Chicago Press.
  • Кръст, С., 1993, „От светове до вероятности: вероятностна семантика за модална логика“, сп. „Философска логика“, 22: 169–192.
  • Делгранде, Дж. И Рен, Б., 2015, „Логиката на качествената вероятност“, в сборника на двадесет и четвъртата международна съвместна конференция за изкуствен интелект (IJCAI 2015), Q. Yang and M. Wooldridge (eds.), Пало Алто, Калифорния: AAAI Press, стр. 2904–2910.
  • Demey, L. and Kooi, B., 2014, “Logic and Probabilistic Update”, в A. Baltag и S. Smets (ред.), Йохан ван Бентхем по логическа и информационна динамика, стр. 381–404.
  • Демей, Л. и Сак, Дж., 2015, „Епистемична вероятностна логика“в Наръчника по епистемична логика. H. van Ditmarsch, J. Halpern, W. van der Hoek и B. Kooi (ред.), Лондон: College Publications, стр. 147–202.
  • Dempster, A., 1968, „Обобщение на байесовското заключение“, списание на Кралското статистическо общество, 30: 205–247.
  • De Morgan, A., 1847, Formal Logic, London: Taylor and Walton.
  • de Finetti, B., 1937, „La Prévision: Ses Lois Logiques, Ses Sources Subjectives“, Annales de l’Institut Henri Poincaré, 7: 1–68; преведено като „Прогноза Неговите логически закони, нейните субективни източници”, в изследвания със субективна вероятност, Н. Е. Кибург, младши и Н. Е. Смоклер (ред.), Малабар, Флорида: Издателство RE Krieger, 1980, с. 53–118.
  • Дувен, И. и Рот, Х., 2018, „От вероятностите до категоричните убеждения: Да надхвърляме моделите на играчките“, сп. „Логика и изчисления“, 28: 1099–1124.
  • Иджъл, А., 2010, Философия на вероятността: Съвременни четения, Лондон: Routledge.
  • Fagin, R. and Halpern, JY, 1988, „Разсъждение за знанието и вероятността“, в сборник от 2-ра конференция за теоретичните аспекти на разсъжденията за знанието, MY Vardi (съст.), Pacific Grove, CA: Morgan Kaufmann, pp. 277-293.
  • –––, 1994, „Разсъждение за знанието и вероятността“, сп. На ACM, 41: 340–367.
  • Fagin, R., Halpern, JY, и Megiddo, N., 1990, „Logic for Reasoning of вероятности“, Information and Computation, 87: 78–128.
  • Fitelson, B., 2006, „Индуктивна логика”, в „Философия на науката: Енциклопедия”, J. Pfeifer и S. Sarkar (ред.), Ню Йорк, Ню Йорк: Routledge, стр. 384–394.
  • van Fraassen, B., 1981a, „Проблем за относителните минимуматори на информация в вероятностната кинематика“, British Journal for the Philosophy of Science, 32: 375–379.
  • –––, 1981b, „Вероятностна семантика е обект: I. постулати и логика“, сп. „Философска логика“, 10: 371–391.
  • –––, 1983, „Джентълменски залози: подходяща логика и вероятност“, Философски изследвания, 43: 47–61.
  • –––, 1984, „Вяра и воля“, сп. „Философия“, 81: 235–256.
  • Gärdenfors, P., 1975a, „Качествена вероятност като интензивна логика“, сп. „Философска логика“, 4: 171–185.
  • –––, 1975b, „Някои основни теории за качествена вероятност“, Studia Logica, 34: 257–264.
  • Georgakopoulos, G., Kavvadias, D., and Papadimitriou, CH, 1988, „Вероятна удовлетвореност“, сп. „Сложност“, 4: 1–11.
  • Gerla, G., 1994, „Находки в логиката на вероятностите“, Aritificial Intelligence, 70: 33–52.
  • Gillies, D., 2000, Философски теории на вероятността, Лондон: Routledge.
  • Goldblatt, R. (2010) „Системи за приспадане на въглища в измерими пространства.“Журнал за логика и изчисления 20 (5): 1069–1100
  • Goldman, AJ и Tucker, AW, 1956 г., „Теория на линейното програмиране“, в линейни неравенства и свързани системи. Анали на математическите изследвания 38, HW Kuhn и AW Tucker (ред.), Принстън: Princeton University Press, стр. 53–98.
  • Goosens, WK, 1979, „Алтернативни аксиоматизации на теорията на елементарната вероятност“, сп. Notre Dame of Formal Logic, 20: 227–239.
  • Хаек, А., 2001, „Вероятност, логика и вероятностна логика“, в Ръководството на Блеквел по философска логика, Л. Гобъл (съст.), Оксфорд: Блеквел, стр. 362–384.
  • Hájek, A. и Hartmann, S., 2010, “Bayesian Epistemology”, в A Companion to Epistemology, J. Dancy, E. Sosa и M. Steup (ред.), Oxford: Blackwell, стр. 93–106.
  • Haenni, R. and Lehmann, N., 2003, „Вероятни системи за аргументация: нова перспектива на теорията на Демпстър-Шафер“, Международен журнал за интелигентни системи, 18: 93–106.
  • Haenni, R., Romeijn, J.-W., Wheeler, G., and Williamson, J., 2011, Probabilistic Logics and Probabilistic Networks, Dordrecht: Springer.
  • Хайлперин, Т., 1965, „Най-добрите възможни неравенства за вероятността на логическата функция на събитията“, Американски математически месечен, 72: 343–359.
  • –––, 1984 г., „Вероятностна логика“, сп. Notre Dame of Formal Logic, 25: 198–212.
  • –––, 1986, Логика и вероятност на Бул, Амстердам: Северна Холандия.
  • –––, 1996 г., Логика на вероятностните прояви: Произход, развитие, текущо състояние и технически приложения, Витлеем, Пенсилвания: Lehigh University Press.
  • Халперн, Дж. Дж. И Рабин, МО, 1987, „Логика на разума за вероятността“, Изкуствен интелект, 32: 379–405.
  • Halpern, JY, 1990, „Анализ на вероятностните логики от първи ред“, Изкуствен интелект, 46: 311–350.
  • –––, 1991 г., „Връзката между знанието, вярването и сигурността“, Анали на математиката и изкуствения интелект, 4: 301–322. Errata се появява в Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, 26 (1999): 59–61.
  • –––, 2003, Изложение на несигурността, Кеймбридж, МА: MIT Press.
  • Хамблин, CL, 1959, „Модалният„ вероятно ““, Ум, 68: 234–240.
  • Хансен, П. и Джамард, Б., 2000, „Вероятна удовлетворяемост“, в Наръчник за системи за управление на неоправданото разсъждение и несигурност. Том 5: Алгоритми за несигурност и подлежащо на разсъждение, J. Kohlas и S. Moral (ред.), Dordrecht: Kluwer, стр. 321–367.
  • Harrison-Trainor M., Holliday, WH и Icard, T., 2016, „Бележка за аксиомите за отмяна за сравнителна вероятност“, Теория и решение, 80: 159–166.
  • –––, 2018, „Предполагащи сравнения на вероятностите“, Математически социални науки, 91: 62–70.
  • Hartmann, S. and Sprenger J., 2010, “Bayesian Epistemology”, в Routledge Companion to Epistemology, S. Bernecker и D. Pritchard (ред.), Лондон: Routledge, стр. 609–620.
  • Heifetz, A. и Mongin, P., 2001, „Логика на вероятностите за типови пространства“, Игри и икономическо поведение, 35: 31–53.
  • Херциг, А. и Лонгин, Д., 2003, „За модалната вероятност и вярване“, в материали от 7-ата Европейска конференция за символни и количествени подходи към разсъжденията с несигурността (ECSQARU 2003), TD Nielsen и NL Zhang (ред.), Бележки от лекции по компютърни науки 2711, Берлин: Спрингер, с. 62–73.
  • Хувър, DN, 1978, “Вероятностна логика”, Анали на математическата логика, 14: 287–313.
  • Howson, C., 2003, „Вероятност и логика“, сп. „Приложна логика“, 1: 151–165.
  • –––, 2007, „Логика с числата“, Синтез, 156: 491–512.
  • –––, 2009, „Може ли логиката да се комбинира с вероятност? Вероятно”, сп. Приложна логика, 7: 177–187.
  • Илич-Степич, Огнянович, З., Икодинович, Н., Перович, А., (2012), “A (p) - адическа вероятностна логика”, Математическа логика тримесечно 58 (4–5): 63–280.
  • Jaynes, ET, 2003, Теория на вероятностите: Логиката на науката, Кеймбридж: Cambridge University Press.
  • Джефри, Р., 1992, Вероятност и изкуството на съда, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Jonsson, B., Larsen, K., and Yi, W., 2001, „Вероятни разширения на процесните алгебри“, в Наръчника на процесната алгебра, JA Bergstra, A. Ponse и SA Smolka (ред.), Амстердам: Elsevier, с. 685–710.
  • Kavvadias, D. и Papadimitriou, CH, 1990, „Линеен програмен подход за разсъждения за вероятностите“, Анали на математиката и изкуствения интелект, 1: 189–205.
  • Keisler, HJ, 1985, „Квантори на вероятността“, в Model-Theoretic Logics, J. Barwise и S. Feferman (ред.), New York, NY: Springer, стр. 509–556.
  • Kooi BP, 2003, „Вероятна динамична епистемична логика“, сп. „Логика, език и информация“, 12: 381–408.
  • Kraft, CH, Pratt, JW и Seidenberg, A., 1959, „Интуитивна вероятност за крайни набори“, Анали на математическата статистика, 30: 408–419.
  • Kyburg, Н. Е., 1965 г., „Вероятност, рационалност и правило на откъсването“, в сборника на Международния конгрес за логика, методология и философия на науката от 1964 г., Y. Bar-Hillel (съст.), Амстердам: Северна Холандия, стр. 301–310.
  • –––, 1994, „Логика на несигурността“, в Наръчник по логика в изкуствения интелект и логическо програмиране, Д. М. Габай, К. Дж. Хогър и Дж. Дж. Робинсън (ред.), Оксфорд: Оксфордския университет прес, стр. 397–438.
  • Ларсен, К. и Skou, A., 1991, „Бисимулация чрез вероятностно тестване“, Информация и изчисления, 94: 1–28.
  • Leblanc, H., 1979, „Вероятна семантика за логика от първи ред“, Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 25: 497–509.
  • –––, 1983, „Алтернативи на стандартната семантика от първи ред“, в Наръчник по философска логика, том I, D. Gabbay и F. Guenthner (ред.), Dordrecht: Reidel, стр. 189–274.
  • Leitgeb, H., 2013, „Намаляване на симплитер на вярата до степени на вяра“, Анали на чистата и приложна логика, 164: 1338–1389.
  • –––, 2014, „Теория на стабилността на вярата“, Философски преглед, 123: 131–171.
  • –––, 2017, Стабилността на вярата. Как рационалното убеждение се съгласува с вероятността, Оксфорд: University of Oxford.
  • Люис, Д., 1980, „Ръководство за субективист към обективния шанс“, в изследвания в индуктивната логика и вероятност. Том 2, RC Джефри (съст.), Бъркли, Калифорния: University of California Press, стр. 263–293; препечатано във „Философски трудове“. Том II, Оксфорд: Oxford University Press, 1987, с. 83–113.
  • Лин, Х. и Кели, KT, 2012a, „Геологично решение на парадокса на лотарията, с приложения към условната логика“, Synthese, 186: 531–575.
  • –––, 2012b, „Пропозиционно разсъждение, което проследява вероятностните разсъждения“, сп. „Философска логика“, 41: 957–981.
  • Милър, Д., 1966, „Парадокс на информацията“, Британско списание за философия на науката, 17: 59–61.
  • Morgan, C., 1982a, „Има вероятностна семантика за всяко разширение на логиката на класическото изречение“, Journal of Philosophical Logic, 11: 431–442.
  • –––, 1982b, „Проста вероятностна семантика за предложения K, T, B, S4 и S5“, сп. „Философска логика“, 11: 443–458.
  • –––, 1983, „Вероятностна семантика за модална логика на предложението“. в Essays in Epistemology and Semantics, H. Leblanc, R. Gumb и R. Stern (ред.), New York, NY: Haven Publications, стр. 97–116.
  • Morgan, C. and Leblanc, H., 1983, „Вероятна семантика за интуиционистична логика“, сп. Notre Dame of Formal Logic, 24: 161–180.
  • Нилсон, Н., 1986, „Вероятна логика”, Изкуствен интелект, 28: 71–87.
  • –––, 1993, „Вероятна логика преразгледана“, Изкуствен интелект, 59: 39–42.
  • Огнянович, З. и Рашкович, М., 1999, „Някои вероятностни логики с нови видове вероятностни оператори“, сп. „Логика и изчисления“9 (2): 181–195.
  • Огнянович, З. и Рашкович, М., 2000, „Някои вероятностни логики от първи ред“, Теоретична компютърна наука 247 (1–2): 191–212.
  • Огнянович, З., Рашкович, М. и Маркович, Z., 2016, Вероятностна логика: Формализиране на несигурните съображения, основано на вероятността, Springer International Publishing AG.
  • Огнянович, З., Перович, А. и Рашкович, М., 2008, „Логика с качествен оператор на вероятности“, Логически вестник на IGPL 16 (2): 105–120.
  • Париж, Дж. Б., 1994 г., Несигурният другар на причинителя, Математическа перспектива, Кеймбридж: Cambridge University Press.
  • Parma, A. и Segala, R., 2007, „Логически характеристики на бисимулации за дискретни вероятностни системи“, в доклади от Десетата международна конференция за основите на софтуерната наука и изчислителните структури (FOSSACS), Х. Сейдл (съст.), Бележки от лекции по компютърни науки 4423, Берлин: Спрингер, стр. 287–301.
  • Pearl, J., 1991, "Вероятна семантика за немонотонно разсъждение", във философията и AI: Есета на интерфейса, R. Cummins и J. Pollock (ред.), Cambridge, MA: The MIT Press, стр. 157–188,
  • Перович, А., Огнянович, З., Рашкович, М., Маркович, З., 2008, „Вероятна логика с полиномични теглови формули“. В Hartmann, S., Kern-Isberner, G. (ред.) Протоколи от Петия международен симпозиум Основи на информационните и познавателни системи, FoIKS 2008, Пиза, Италия, 11–15 февруари 2008 г. 4932, с. 239–252. Springer.
  • Ramsey, FP, 1926, „Истина и вероятност“, в Основи на математиката и други есета, RB Braithwaite (ed.), Лондон: Routledge и Kegan Paul, 1931, стр. 156–198; препечатано в „Изследвания с субективна вероятност“, Н. Е. Кибург, младши и Н. Е. Смоклер (ред.), второ издание, Малабар, FL: RE Krieger Publishing Company, 1980, с. 23–52; препечатано във „Философски трудове“, DH Mellor (изд.) Cambridge: Cambridge University Press, 1990, с. 52–94.
  • Reichenbach, H., 1949, Теория на вероятността, Беркли, Калифорния: University of California Press.
  • Romeijn, J.-W., 2011, „Статистика като индуктивна логика“, в Наръчник за философия на науката. Vol. 7: Философия на статистиката, P. Bandyopadhyay и M. Forster (ред.), Амстердам: Elsevier, стр. 751–774.
  • Скот, Д., 1964, „Измервателни структури и линейни неравенства“, сп. „Математическа психология“, 1: 233–247.
  • Segerberg, K., 1971, „Качествена вероятност в модална настройка“, в Proceedings 2nd Scandinavian Logic Symposium, E. Fenstad (ed.), Amsterdam: North-Holland, с. 341–352.
  • Shafer, G., 1976, Математическа теория на доказателствата, Принстън, Ню Джърси: Princeton University Press.
  • Suppes, P., 1966, „Вероятни изводи и концепцията за тоталните доказателства“, в „Аспекти на индуктивната логика“, J. Hintikka и P. Suppes (ред.), Амстердам: Elsevier, стр. 49–65.
  • Szolovits, P. and Pauker SG, 1978, „Категорично и вероятностно разсъждение в медицинската диагноза”, Изкуствен интелект, 11: 115–144.
  • Тарски, А., 1936, “Wahrscheinlichkeitslehre und mehrwertige Logik”, Erkenntnis, 5: 174–175.
  • Vennekens, J., Denecker, M., and Bruynooghe, M., 2009, „CP-логика: Език на причинно-вероятните събития и връзката му с логическото програмиране“, Теория и практика на логическото програмиране, 9: 245–308.
  • Walley, P., 1991, Статистически разсъждения с неточни вероятности, Лондон: Чапман и Хол.
  • Уилямсън, Дж., 2002, „Логика на вероятността“, в Наръчник на логиката на аргументацията и извода: Завойът към практическото, Д. Габай, Р. Джонсън, Х. Дж. Олбах и Дж. Уудс (ред.), Амстердам: Елзевиер, стр. 397–424.
  • Yalcin, S., 2010, „Оператори на вероятностите“, Философски компас, 5: 916–937.

Академични инструменти

сеп човек икона
сеп човек икона
Как да цитирам този запис.
сеп човек икона
сеп човек икона
Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
inpho икона
inpho икона
Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
Фил хартия икона
Фил хартия икона
Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси

[Моля, свържете се с автора с предложения.]

Препоръчано: