Параконсистентна логика

Съдържание:

Параконсистентна логика
Параконсистентна логика

Видео: Параконсистентна логика

Видео: Параконсистентна логика
Видео: о. Григорий Лурье | Византийское учение о Троице и параконсистентная логика 2024, Март
Anonim

Навигация за влизане

  • Съдържание за участие
  • библиография
  • Академични инструменти
  • Friends PDF Preview
  • Информация за автора и цитирането
  • Върнете се в началото

Параконсистентна логика

За първи път публикуван вторник, 24 септември 1996 г.; съществена ревизия пт 18 май 2018 г.

Съвременното логическо православие смята, че от противоречиви предпоставки всичко следва. Съотношението на логическото следствие е експлозивно, ако според него всяко произволно заключение (B) е свързано с произволно противоречие (A), (neg A) (ex contraictione quodlibet (ECQ)). Класическата логика и най-стандартната "некласическа" логика, като например интуиционистката логика, са експлозивни. Несъответствието, според получената мъдрост, не може да бъде мотивирано съгласувано.

Параконсистентната логика оспорва това православие. Казва се, че връзката с логическото следствие е параконсистентна, ако не е експлозивна. По този начин, ако последствията са параконсистентни, то дори и при обстоятелства, в които наличната информация е непоследователна, връзката с последиците не избухва в тривиалност. По този начин параконсистентната логика привежда несъответствието по контролиран начин, който третира непоследователната информация като потенциално информативна.

Префиксът „para“на английски има две значения: „quasi“(или „подобен на, моделиран на“) или „отвъд“. Когато терминът „параконсистент“е въведен от Миро Кесада на Третата конференция за математическа логика в Латинска Америка през 1976 г., той изглежда има първо значение. Много параконсистентни логици обаче приемат, че това означава второто, което даде различни причини за развитието на параконсистентна логика, както ще видим по-долу.

Параконсистентната логика се определя отрицателно: всяка логика е параконсистентна, стига да не е експлозивна. Това означава, че няма единен набор от отворени проблеми или програми в параконсистентна логика. Като такъв, този запис не е пълно проучване на параконсистентната логика. Целта е да се опишат някои философски забележителни черти на разнообразна област.

  • 1. Параконсистенция

    • 1.1 Диалетеизъм
    • 1.2 Кратка история на ex contraictione quodlibet
    • 1.3 Съвременна история на параконсистентната логика
  • 2. Мотивации

    • 2.1 Несъответствие без тривиалност

      • 2.1.1 Нетривиални теории
      • 2.1.2 Истински противоречия
      • 2.1.3 Лингвистика
    • 2.2 Изкуствен интелект

      • 2.2.1 Автоматично обосноване
      • 2.2.2 Преглед на убежденията
    • 2.3 Официална семантика и теория на множествата

      • 2.3.1 Теория на истината
      • 2.3.2 Задаване на теория
      • 2.3.3 Математика като цяло
    • 2.4 Аритметика и теорема на Гьодел
    • 2.5 Неясност
  • 3. Системи на параконсистентната логика

    • 3.1 Дискусионна логика
    • 3.2 Неприсъединителни системи
    • 3.3 Консервация
    • 3.4 Адаптивна логика
    • 3.5 Логика на формалното несъответствие
    • 3.6 Многозначна логика
    • 3.7 Подходяща логика
  • библиография
  • Академични инструменти
  • Други интернет ресурси
  • Свързани записи

1. Параконсистенция

Логиката е параконсистентна, ако нейното отношение към логическото следствие ((vDash), семантично или доказателно теоретично) не е експлозивно. Параконсистенцията е свойство на последствие връзка. Аргументът е противоречив quodlibet (ECQ) е параконсистентно невалиден: като цяло не е така, че (A), (neg A / vDash B).

Ролята, която често играе понятието съгласуваност в ортодоксалната логика, а именно най-основното изискване, което трябва да отговаря на всяка теория, е отпуснато до понятието съгласуваност: никоя теория не може да включва всяко изречение изобщо, ако то трябва да се счита за приложимо. Простата последователност на една теория (без противоречия) е специален случай на абсолютна последователност или нетривиалност (не всяко изречение е част от теорията). Както ще видим по-долу, много параконсистентни логики валидират Закона за несъвместимост (LNC), (vDash / neg (A / wedge / neg A)), въпреки че те обезсилват ECQ.

Отвъд основното, определено изискване параконсистентната последична връзка да не е експлозивна, съществува огромно различие между параконсистентните логики. На този етап от развитието, добре в двадесет и първи век, изглежда справедливо да се каже, че „параконсистенцията“не отделя един конкретен подход към логиката, а е по-скоро свойство, което някои логики имат, а други нямат (например, да речем, компактност или множество изводи).

1.1 Диалетеизъм

В литературата, особено в частта й, която съдържа възражения срещу параконсистентната логика, се наблюдава някаква тенденция да се обърка параконсистенцията с диалетеизма, виждането, че има истински противоречия (вж. Записа за диалетеизма). Възгледът, че дадена връзка с последиците трябва да е параконсистентна, не води до виждането, че съществуват истински противоречия. Параконсистенцията е свойство на последица, докато диалетеизмът е възглед за истината. Това, че човек може да дефинира неексплозивна последица, не означава, че някои изречения са верни. Фактът, че човек може да изгради модел, при който противоречие има, но не всяко изречение на езика (или когато това е така в някой свят), не означава, че противоречието е вярно само по себе си. Следователно параконсистенцията трябва да се разграничава от диалетеизма (макар виж Asmus 2012).

Сега, ако диалетеизмът трябва да бъде съгласуван, тогава предпочитаната логика на диалеста трябва да е параконсистентна. Диалетеизмът е мнението, че някакво противоречие е вярно, което е отличителна теза от „тривиализма“, мнението, че всичко, което съществува (включително всяко противоречие) е вярно. Параконсистентният логик може да почувства някакво дърпане към диалетеизма, но повечето параконсистентни логики не са „диалектични“логики. При обсъждане на параконсистентна логика основният фокус не е достъпността на противоречията, а експлозивният характер на последствията.

1.2 Кратка история на ex contraictione quodlibet

Сега е стандартно да се счита, че ex contraictione quodlibet е валиден. Този съвременен възглед обаче трябва да бъде поставен в историческа перспектива. Именно към края на деветнадесети век, когато изучаването на логиката постига математическа артикулация, експлозивната логическа теория се превръща в стандарт. С работата на логиците като Бул, Фреге, Ръсел и Хилберт класическата логика се превръща в ортодоксална логическа сметка.

В древността обаче никой изглежда не е потвърдил валидността на ECQ. Аристотел представи онова, което понякога се нарича свързващ принцип: „невъзможно е едно и също нещо да се налага от битието и от несъществуването на едно и също нещо“(предходен аналитик II 4 57b3). (Наскоро конвенционалната логика бе подновена от Уансинг; вижте вписването за съединителната логика, която е разработена въз основа на този принцип.) Този принцип стана тема на дебати през Средновековието или Средновековието. Въпреки че средновековните дебати изглежда са били проведени в контекста на условности, ние също можем да го разглеждаме като дебати за последствията. Принципът е възприет от Боеций (480–524 или 525) и Абелард (1079–1142), които смятат две разкази за последиците. Първият е познат:не е възможно помещенията да са верни, но заключението е невярно. Следователно първият разказ е подобен на съвременната представа за запазване на истината. Втората е по-малко приета напоследък: смисълът на помещенията съдържа този на заключението. Този акаунт, както в съответната логика, не позволява извод, чието заключение е произволно. Абелард смята, че първият акаунт не отговаря на съединителния принцип и че вторият акаунт (акаунтът за сдържане) е обхванал принципа на Аристотел. Абелард смята, че първият акаунт не отговаря на съединителния принцип и че вторият акаунт (акаунтът за сдържане) е обхванал принципа на Аристотел. Абелард смята, че първият акаунт не отговаря на съединителния принцип и че вторият акаунт (акаунтът за сдържане) е обхванал принципа на Аристотел.

Позицията на Абелард е била изправена пред затруднения от Алберик от Париж през 1130-те. Повечето средновековни логици обаче не изоставят сметката за валидност въз основа на ограничаване или нещо подобно (вж. Например Martin 1987). Но един от начините за справяне с трудностите е отхвърляне на свързващия принцип. Този подход, който е станал най-влиятелната, е приета от последователи на Адам Balsham или Parvipontanus (или понякога известен като Адам на Малката мост [12 -ти век]). Парвипонтанците приеха историята за опазване на истината за последствията и „парадоксите“, които са свързани с нея. Всъщност той беше член на парвипонтанианците, Уилям от Суасони, който откри през дванадесети век това, което сега наричаме аргумента на CI Lewis (независим) за ECQ (виж Martin 1986).

Сметката за ограничаване обаче не изчезна. Джон Дънс Скот (1266–1308) и неговите последователи приеха акаунта за задържане (вж. Martin 1996). Кьолнската школа от края на петнадесети век спори срещу ECQ, като отхвърля дизюнктивния силогизъм (виж Sylvan 2000).

В историята на логиката в Азия има тенденция (например в джайната и будистките традиции) да се счита възможността твърденията да са както верни, така и неверни. Освен това, логиката, разработени от най-големите будистки логици, Дигнага (5 -ти век) и Дхармакирти (7 -ти век) не възприемат ECQ. Техният логичен отчет всъщност се основава на връзката „проникване“(Skt: vyāpti, Tib: khyab pa) между елементите на аргумента. Точно като акаунта за ограничаване на Abelard, трябва да има по-тясна връзка между помещенията и заключението, отколкото профилът за запазване на истината позволява. За логиката на Dharmakīrti и нейното последващо развитие вижте например Dunne 2004 и Tillemans 1999.

1.3 Съвременна история на параконсистентната логика

През ХХ век алтернативи на експлозивна информация за логически последици са възникнали при различни хора по различно време и на места, независимо един от друг. Те често са били мотивирани от различни съображения. Най-ранните параконсистентни логики в съвременната епоха изглежда са дадени от двама руснаци. Започвайки около 1910 г., Василев предлага модифициран аристотелев силогизъм, включващ изявления от формата: (S) е едновременно (P), а не (P). През 1929 г. Орлов дава първата аксиоматизация на съответната логика (R), която е параконсистентна. (Относно Василев, виж Arruda 1977 и Arruda 1989: 102f; за Orlov, виж Anderson, Belnap, & Dunn 1992: xvii.)

Работата на Василев или Орлов по това време не оказва никакво влияние. Първият (формален) логик, разработил параконсистентна логика, е Jaśkowski в Полша, който е студент на Łukasiewicz, който сам е предвидил параконсистентна логика в своята критика на Аристотел към LNC (Łukasiewicz 1951). Почти по същото време Halldén (1949) представи работа по логиката на глупостите, но отново това мина най-вече незабелязано.

Параконсистентната логика е разработена независимо в Южна Америка от Флоренсио Асеньо и особено Нютон да Коста в докторските си дисертации съответно през 1954 и 1963 г., с акцент върху математическите приложения (вж. Асенджо 1966, да Коста 1974). Активна група логици непрекъснато изследва параконсистентната логика, особено в Кампинас и Сао Пауло, Бразилия, с акцент върху логиката на формалното несъответствие. Carnielli и Coniglio (2016) дават изчерпателна неотдавнашна информация за тази работа.

Параконсистентната логика във формите на съответната логика е предложена в Англия от Smiley през 1959 г., а също и приблизително по същото време, в много по-развита форма, в Съединените щати от Anderson и Belnap. В Питсбърг израства активна група от съответните логици, включително Дън и Майер. Развитието на параконсистентната логика (под формата на съответните логики) е транспортирано в Австралия. R. Routley (по-късно Sylvan) и V. Routley (по-късно Plumwood) откриват умишлена семантика за някои от съответните логики на Anderson / Belnap. Училище, развито около тях в Канбера, включващо Брейди и Мортенсен, а по-късно и Свещеник, който заедно с Р. Рутли включи диалетеизма в развитието.

От 70-те години развитието на параконсистентната логика е международно. Някои от основните училища на мисълта могат да бъдат намерени по-долу, включително адаптивна логика (както в Batens 2001) и консервационизъм (както в Schotch, Brown, & Jennings 2009). Работи се в Аржентина, Австралия, Белгия, Бразилия, Канада, Чехия, Англия, Германия, Индия, Израел, Япония, Мексико, Нова Зеландия, Полша, Шотландия, Испания, САЩ и др. Имаше серия от големи международни конференции за параконсистентната логика. През 1997 г. в университета в Гент в Белгия се проведе Първият световен конгрес по параконсистенция. Вторият световен конгрес се проведе в Сао Себастиао (Сао Пауло, Бразилия) през 2000 г., Третият в Тулус (Франция) през 2003 г. и Четвъртият в Мелбърн (Австралия) през 2008 г. Пети световен конгрес се проведе в Колката, Индия през 2013 г. Друга голяма конференция за параконсистенция през 2014 г. се проведе в Мюнхен (Andreas & Verdée 2016). Вижте раздела за библиографията относно работата на Световния конгрес.

2. Мотивации

Изложените причини за параконсистенция са специфични за развитието на конкретните формални системи на параконсистентната логика. Съществуват обаче няколко общи причини за мисленето, че логиката трябва да е парасогласна. Преди да обобщим системите на параконсистентната логика, представяме някои мотиви за параконсистентната логика.

2.1 Несъответствие без тривиалност

Най-показателната причина за параконсистентната логика е, prima facie, фактът, че има теории, които са непоследователни, но нетривиални. Ако признаем съществуването на такива теории, техните основни логики трябва да са параконсистентни (макар виж Michael 2016).

2.1.1 Нетривиални теории

Примерите за непоследователни, но нетривиални теории са лесни за получаване. Един пример може да се извлече от историята на науката. Разгледайте теорията на Бор за атома. Според това един електрон обикаля около ядрото на атома, без да излъчва енергия. Според уравненията на Максуел, които са неразделна част от теорията, електрон, който се ускорява в орбита, трябва да излъчва енергия. Следователно разказът на Бор за поведението на атома е непоследователен. И все пак, очевидно, не всичко, което се отнася до поведението на електроните, се заключава от него, нито би трябвало да бъде. Следователно, какъвто и механизъм за извод да е бил в основата му, това трябва да е параконсистентно (Brown & Priest 2015).

2.1.2 Истински противоречия

Въпреки факта, че диалетеизмът и параконсистенцията трябва да се разграничават, диалетеизмът може да бъде мотивация за параконсистентна логика. Един от кандидатите за диалетия (истинско противоречие) е парадоксът на лъжците. Помислете изречението: „Това изречение не е вярно“. Има два варианта: или изречението е вярно, или не е. Да предположим, че е истина. Тогава това, което пише, е така. Следователно присъдата не е вярна. Да предположим, от друга страна, не е вярно. Това пише. Следователно присъдата е вярна. И в двата случая е и вярно, и не е вярно. (Вижте записа за диалетеизма.)

2.1.3 Лингвистика

Естествените езици са друг възможен сайт на нетривиално несъответствие. В лингвистиката се забелязва, че нормалните лексикални характеристики са запазени дори в непоследователен контекст. Например, думи като „близо“имат пространствени конотации, които не се нарушават дори при работа с невъзможни обекти (McGinnis 2013):

Ако ви кажа, че съм нарисувал сферично кубче в кафяво, вие приемате външната му част да е кафява… и ако аз съм вътре, знаете, че не съм близо до него. (Чомски 1995: 20)

Следователно, ако може да се каже, че естественият език има логика, параконсистентната логика може да бъде кандидат за формализирането му.

2.2 Изкуствен интелект

Параконсистентната логика се мотивира не само от философски съображения, но и от нейните приложения и последици.

2.2.1 Автоматично обосноване

Едно от приложенията е автоматизирано разсъждение (обработка на информация). Помислете за компютър, който съхранява голямо количество информация, както е в Belnap 1992. Докато компютърът съхранява информацията, той също се използва за работа с нея и най-важното е да се извежда от нея. Сега е доста обичайно компютърът да съдържа непоследователна информация, поради грешки от страна на операторите за въвеждане на данни или поради множество източници. Това със сигурност е проблем при операциите с база данни с доказатели на теореми и затова привлече много внимание от компютърните учени. Бяха изследвани техники за отстраняване на непоследователна информация. И все пак всички имат ограничена приложимост и, във всеки случай, не е гарантирано, че произвеждат последователност. (Няма алгоритъм за логическа лъжа.) Следователно, дори ако се предприемат стъпки, за да се освободим от противоречията, когато бъдат намерени,основна параконсистентна логика е желателна, ако скритите противоречия не генерират лъжливи отговори на заявки.

Парасонната (четиризначна) логика на Nelson е специално проучена за приложения в компютърните науки (Kamide & Wansing 2012). Анотираната логика е предложена от Субраманиан (1987) и след това от Да Коста, Субрамански и Ваго (1991); тези инструменти сега се разширяват до роботиката, експертните системи за медицинска диагностика и инженерство, като скорошната работа е събрана в томовете, редактирани от Abe, Akama и Nakamatsu (2015) и Akama (2016).

2.2.2 Преглед на убежденията

Ревизията на убежденията е изучаване на рационално ревизиране на телата на вярата в светлината на новите доказателства. Известно е, че хората имат непостоянни убеждения. Те дори могат да бъдат рационални в това. Например, може да има очевидно огромни доказателства както за нещо, така и за неговото отрицание. Възможно е дори да има случаи, когато по принцип е невъзможно да се елиминира такова несъответствие. Например, помислете за „парадокса на предговора“. Рационален човек, след задълбочени изследвания, пише книга, в която твърдят (A_1), …, (A_n). Но те също са наясно, че нито една книга с всякаква сложност не съдържа само истини. Така че те рационално вярват (neg (A_1 / wedge / ldots / wedge A_n)) също. Следователно принципите на рационалното преразглеждане на убежденията трябва да работят върху непоследователни групи от вярвания. Стандартни сметки за преразглеждане на убежденията, например AGM теорията (виж логиката на преразглеждането на убежденията),всички не успяват да направят това, тъй като се основават на класическата логика (Tanaka 2005). По-адекватният акаунт може да се основава на парасогласна логика; виж Girard and Tanaka 2016.

2.3 Официална семантика и теория на множествата

Параконсистенцията може да се приеме като отговор на логическите парадокси във формалната семантика и теорията на множествата.

2.3.1 Теория на истината

Семантика е изследването, което има за цел да изложи теоретично разбиране на смисъла. Повечето разкази на семантиката настояват, че да се изясни значението на едно изречение, в някакъв смисъл е да се изяснят неговите истинни условия. Сега, най-малко prima facie, истината е предикат, характеризиран с Т-схемата на Тарски:

[T (boldsymbol {A}) leftrightarrow A)

където (A) е изречение и (boldsymbol {A}) е неговото име. Но като се има предвид всяко стандартно средство за самонасочване, например аритметизация, може да се изгради изречение (B), което казва, че (neg T (boldsymbol {B})). T-схемата дава това (T (boldsymbol {B}) leftrightarrow / neg T (boldsymbol {B})). След това следва, че (T (boldsymbol {B}) wedge / neg T (boldsymbol {B})). (Това, разбира се, е просто парадоксът на лъжците.) Пълно развитие на теория за истината в параконсистентна логика дава Беал (2009).

2.3.2 Задаване на теория

Подобна е теорията на множествата. Наивните и интуитивно правилни аксиоми на теорията на множествата са схемата за разбиране и принципа на разширяване:

) начало {подравняване *} & / съществува y / forall x (x / в y / leftrightarrow A) & / forall x (x / in y / leftrightarrow x / in z) rightarrow y = z / end { Подравняване *})

където (x) не се среща безплатно в (A). Както беше открито от Ръсел, всяка теория, която съдържа схемата за разбиране, е непоследователна. За поставянето на (y / не / в y) 'за (A) в схемата за разбиране и създаване на екзистенциалния количествен показател на произволен такъв обект' (r) 'дава:

) forall y (y / в r / вляво игла y / не / в y))

И така, инстанцирането на универсалния количествен показател на '(r)' дава:

[r / в r / лявозабавяне r / не / в г)

След това следва, че (r / в r / клин r / не / в г).

Стандартните подходи към тези проблеми на несъответствие като цяло са целесъобразни. Параконсистентният подход дава възможност да има теории за истината и установеността, в които математическите фундаментални интуиции за тези понятия се спазват. Например, както показа Брейди (1989; 2006), може да се допусне противоречия в параконсистентната теория на множествата, но те не трябва да заразяват цялата теория.

Има няколко подхода за задаване на теория с наивно разбиране чрез параконсистентна логика. Теориите на порядковите и кардиналните числа са разработени аксиоматично, като се използва съответната логика във Weber 2010b, 2012. Възможността за добавяне на оператор на съгласуваност за проследяване на непарадоксални фрагменти от теорията е разгледана в Omori 2015, вземайки сигнал от традицията на da Costa, Теорията на наивните множества, използваща адаптивна логика, е представена от Verdée (2013). Моделите за теорията на параконсистентните множества са описани от Libert (2005).

2.3.3 Математика като цяло

Според да Коста (1974: 498),

Би било толкова интересно да се проучат непоследователните системи, като например неевклидовите геометрии: ние бихме получили по-добра представа за същността на парадоксите, бихме могли да имаме по-добра представа за връзките между различните логически принципи, необходими за получаване на детерминация резултати и т.н. … Целта ни не е да премахнем несъответствията, а да ги анализираме и изучим.

За по-нататъшно развитие на математиката в параконсистентната логика вижте вписването на непоследователната математика.

2.4 Аритметика и теорема на Гьодел

За разлика от формалната семантика и теория на множествата, може да няма явни аритметични принципи, които да пораждат противоречие. Независимо от това, подобно на класическите нестандартни модели на аритметика, има клас непоследователни модели на аритметика (или по-точно модели на непоследователна аритметика), които имат интересна и важна математическа структура.

Едно интересно значение за съществуването на непоследователни аритметични модели е, че някои от тях са ограничени (за разлика от класическите нестандартни модели). Това означава, че има някои значими приложения в метаматематическите теореми. Например, класическата теорема на Льовенхайм-Сколем гласи, че (Q) (аритметика на Робинсън, която е фрагмент от аритметика на Пеано) има модели на всяка безкрайна кардиналност, но няма ограничени модели. Но, може да се покаже, че (Q) имат и модели с ограничен размер, като се позоват на непоследователните аритметични модели.

Не само теоремата на Левенхайм-Сколем, но и други метаматематически теореми могат да бъдат подложени на параконсистентно лечение. В случай на други теореми обаче, отрицателните резултати, които често се показват от ограничителните теореми на метаматематиката, вече не могат да останат. Една важна такава теорема е теоремата на Гьодел.

Една версия на първата теорема за непълнота на Гьодел гласи, че за всяка последователна аксиоматична теория на аритметиката, която може да бъде разпозната като здрава, ще има аритметична истина, т.е. вярно чрез интуитивно правилни разсъждения. Сърцето на теоремата на Гьодел всъщност е парадокс, който се отнася до изречението, (G), „Това изречение не е доказуемо“. Ако (G) е доказуемо, то е вярно и затова не е доказуемо. Така (G) е доказано. Следователно (G) е вярно и толкова недоказуемо. Ако основната параконсистентна логика се използва за формализиране на аритметиката и следователно на теорията е позволено да бъде непоследователна, изречението на Гьодел може да бъде доказано в теорията (по същество от горните разсъждения). Така параконсистентният подход към аритметиката преодолява ограниченията на аритметиката, които се предполага (от мнозина) да следва от теоремата на Гьодел. (За други „ограничителни“теореми на метаматематиката, вижте Priest 2002.)

2.5 Неясност

От самото начало параконсистентната логика беше предназначена отчасти да се справи с проблемите на неяснотата и парадокса на сортитите (Jaśkowski 1948 [1969]). Някои емпирични доказателства предполагат, че неясността в естествения език е добър кандидат за параконсистентно лечение (Ripley 2011).

Бяха предложени няколко различни параконсистентни подхода към неяснотата. Сублимационизмът е логичният двойник спрямо суперцентрионизма: ако твърдението е вярно за някакво приемливо заточване на неясен предикат, то това е истина. Там, където супер оценяващият вижда пропуски в неопределеността или в истинността и стойността на истината, сублимационистът вижда свръх детерминираност, проблясъци на истинност. Логиката на подценяването, подобно на нейния свръхценен двойник, ще запази всички класически тавтологии, стига дефиницията на валидността да е ограничена до случаите, които не са полезни. Тъй като е толкова структурно подобен на супероценянизма, субективизацията също е обект на повечето от същите критики (Hyde 1997).

В по-широк план (диалектичната) параконсистенция е използвана в правилни три-ценни истина-функционални подходи към неяснотата. Целта е да се запазят и двете интуитивни твърдения:

  1. Толерантност: За неясни (F) не е случаят, че (x) е (F), но някои много (F) - подобен (x) не е (F)
  2. Прекъсвания: За всички (F), ако някои (x) е (F), а някои (y) не са, и има подреден (F) - прогресия от (x) до (y), тогава има някои последни (F) и някои първи не - (F)

Отново, ключът към анализа е да се вземат прекъсвания като сайтове за несъответствие, за обекти F и не F. Тогава всички твърдения за толерантност (за неясен F) се приемат за верни; но тъй като, параконично, изводът за дизюнктивен силогизъм по принцип не е валиден, тези твърдения не предполагат абсурди като „всеки е плешив“. Параконсистентните модели поставят голям акцент върху точките на отрязване на неясни предикати, като приписват голяма част от проблемите с парадокса на сортировки в основата на несъответствието на неясните предикати (Weber 2010a).

Съществува спор дали парадоксът на видовете е от вид с другите добре известни семантични и зададени теоретични парадокси, като Ръсел и лъжеца. Ако е така, тогава параконсистентният подход към единия би бил толкова естествен, колкото и към другия.

3. Системи на параконсистентната логика

Разработени са редица формални техники за обезсилване на ECQ. Повечето от техниките са обобщени на друго място (Brown 2002, Priest 2002). С нарастването на интереса към параконсистентната логика в различни части на света се развиват различни техники. В резултат на това развитието на техниките има донякъде регионален привкус (въпреки че, разбира се, има изключения и регионалните различия могат да бъдат преувеличени; вж. Tanaka 2003).

Повечето параконсистентни логици не предлагат едро отхвърляне на класическата логика. Те обикновено приемат валидността на класическите изводи в последователен контекст. Необходимостта от изолиране на несъответствие без разпространение навсякъде мотивира отхвърлянето на ECQ. В зависимост от това колко ревизия смятате, че е необходима, имаме техника за параконсистенция. Дадената тук таксономия се основава на степента на преразглеждане на класическата логика. Тъй като логическата новост може да се види на предложеното ниво, ще се съсредоточим върху предложената параконсистентна логика.

3.1 Дискусионна логика

Първата формална параконсистентна логика, която беше разработена, беше дискусионна (или дискурсивна) логика от полския логик Jaśkowski (1948). Мисълта, която стои зад дискусионната логика, е, че в дискурса всеки участник излага някаква информация, убеждения или мнения. Всяко твърдение е вярно според участника, който го излага в дискурс. Но това, което е вярно в дискурса като цяло, е сумата от твърдения, изказани от участниците. Мненията на всеки участник може да са несъвместими, но може да са в противоречие с тези на другите. Ясковски формализира тази идея под формата на дискусионна логика.

Формализирането на дискусионната логика става чрез моделиране на дискурс в модална логика. За простота, Jaśkowski избра S 5. Ние мислим, че вярата на всеки участник е набор от изречения, верни в един свят в модел S 5 (M). Така изречение (A), утвърдено от участник в дискурс, се интерпретира като „възможно е (A)“или изречение (Diamond A) от S 5. Тогава (A) има в дискурс iff (A) е вярно в някакъв свят в (M). Тъй като (A) може да притежава в един свят, но не и в друг, и (A), и (neg A) могат да се държат в дискурс. Всъщност трябва да се очаква, че участниците не са съгласни по някакъв въпрос в рационален дискурс. Идеята е, че (B) е дискусионно следствие от (A_1, / ldots, A_n) iff (Diamond B) е S5 следствие от (Diamond A_ {1} ldots / Diamond A_ {n}).

За да видите, че дискусионната логика е параконсистентна, помислете за модел S 5, (M), такъв, че (A) има при (w_1), (neg A) има в различен свят (w_2), но (B) не притежава нито един свят за някои (B). Тогава и двата (A) и (neg A) се задържат, но (B) не е в сила (M). Следователно дискусионната логика обезсилва ECQ.

Въпреки това, няма модел S 5, в който (A / wedge / neg A) да има в някакъв свят. Така че изводът на формата ({A / wedge / neg A } vDash B) е валиден в дискусионната логика. Това означава, че в дискусионната логика приспособяването (({A, / neg A } vDash A / wedge / neg A)) не успява. Но човек може да определи дискусионна връзка, (wedge_d), като (A / клин / Диамант В) (или (Диамант А / клин Б)). Тогава приспособяването е валидно за (wedge_d) (Jaśkowski 1949).

Една трудност е формулирането на условно. В S 5 изводът от (Diamond p) и (Diamond (p / supset q)) до (Diamond q) се проваля. Jaśkowski избра да въведе съединител, който той нарече дискусионно въздействие, (supset_d), определено като (Diamond A / supset B). Този съединител може да се разбира, че "ако някой участник заяви, че (A), тогава (B)". Тъй като изводът от (Diamond A / supset B) и (Diamond A) до (Diamond B) е валиден в S 5, modus ponens за (supset_d) се съдържа в дискусионната логика. Дискусивно би-импликация (equiv_d) също може да бъде определена като ((Diamond A / supset B) wedge / Diamond (Diamond B / supset A)) (или (Diamond (Диамант A / supset B) клин (Diamond B / supset A))). За известна история на работата върху логиката на Jaśkowski и нейните аксиоматизации, вижте Омори и Алама (предстоящи).

3.2 Неприсъединителни системи

Неприсъединителна система е система, която не валидира приспособяването (т.е. ({A, B } не / vDash A / клин B)). Както видяхме по-горе, дискусионната логика без дискусионен конюнкт не е адюнктивна. Решер и Манор (1970) предложиха друга неприспособима стратегия. В действителност можем да обединим помещения, но само до максимална последователност. По-специално, ако (Sigma) е набор от помещения, максимално последователно подмножество е всяко последователно подмножество (Sigma '), така че ако (A / в / Sigma - / Sigma') тогава (Sigma '\ cup {A }) е непоследователна. Тогава казваме, че (A) е следствие от (Sigma) iff (A) е класическа последица от (Sigma ') за някакво максимално последователно подмножество (Sigma'). Тогава ({p, q } vDash p / wedge q), но ({p, / neg p } not / vDash p / wedge / neg p).

3.3 Консервация

В неадюнктивната система на Rescher and Manor е определена последица за някои максимално последователни подмножества на помещенията. Това може да се разглежда като начин за „измерване“на нивото на съгласуваност в зададеното помещение. Нивото на ({p, q }) е 1, тъй като максимално последователното подмножество е самото множество. Нивото на ({p, / neg p }) обаче е 2: ({p }) и ({ neg p }).

Ако дефинираме отношение на последиците спрямо някакво максимално последователно подмножество, тогава отношението може да се мисли като запазване на нивото на последователни фрагменти. Това е подходът, който се нарича консервационизъм. Той е разработен за първи път от канадските логици Рей Дженингс и Питър Шотч.

По-точно, (ограничен) набор от формули, (Sigma), може да бъде разделен на класически последователни фрагменти, чийто съюз е (Sigma). Нека (vdash) е класическото следствие. Покритие от (Sigma) е набор ({ Sigma_i: i / в I }), където всеки член е последователен, и (Sigma = / bigcup_ {i / в I} Sigma_i). Нивото на (Sigma, l (Sigma)) е най-малкото (n), така че (Sigma) може да бъде разделена на (n) множества, ако има такива (n)), или (infty), ако няма такъв (n). Съотношение на последиците, наречено форсиране, (Vdash), се дефинира по следния начин. (Sigma / Vdash A) iff (l (Sigma) = / infty), или (l (Sigma) = n) и за всяко покритие с размер (n) има (j / в I), така че (Sigma_j / vdash A). Ако (l (Sigma) = 1) или (infty), тогава форсиращото отношение съвпада с класическото следствие. В случай, че (l (Sigma) = / infty), трябва да има изречение от формата (A / wedge / neg A) и така форсиращото отношение експлодира.

Беше приложена и стратегия за парче, за да се обхване инфекциозният механизъм, залегнал в основата на някои теории в науката и математиката. В математиката най-добрата налична теория относно безкрайните малолетни е непоследователна. При безкрайно малкото смятане на Лайбниц и Нютон, при изчисляването на производното безкрайност трябва да бъде както нулева, така и ненулева. За да уловим механизма на извода, който стои в основата на безкрайно малкото смятане на Лайбниц и Нютон (и теорията на Бор за атома), трябва да добавим към парчето механизъм, който позволява на ограничено количество информация да протича между последователните фрагменти от тези непоследователни, но нетривиални теории. Тоест, определена информация от един парче може да проникне в други парчета. Процедурата на извода, която е в основата на теориите, трябва да бъде Chunk и Permeate.

Нека (C = { Sigma_i: i / в I }) и (varrho) отношение на пропускливост на (C), така че (varrho) е карта от (I / пъти I) към подмножества от формули на езика. Ако (i_0 / в I), тогава всяка структура (langle C, / varrho, i_0 / rangle) се нарича структура на C&P на (Sigma). Ако (mathcal {B}) е C&P структура на (Sigma), ние определяме C&P последиците от (Sigma) по отношение на (mathcal {B}), както следва. За всеки (i / в I) набор от изречения (Sigma_i ^ n) се дефинира чрез рекурсия на (n):

) начало {подравняване *} Sigma_i ^ {0} & = / Sigma_i ^ { vdash} / \ Sigma_i ^ {n + 1} & = / наляво (Sigma_i ^ n / cup / bigcup_ {j / in I} наляво (Sigma_j ^ n / cap / rho (j, i) дясно) дясно) ^ { vdash} / \ край {подравняване *})

Тоест, (Sigma_i ^ {n + 1}) съдържа последиците от (Sigma_i ^ n) заедно с информацията, която прониква в парче (i) от другия участък на ниво (n). След това събираме всички крайни етапи:

) Sigma_i ^ { omega} = / bigcup_ {n / lt / omega} Sigma_i ^ n)

Последиците от C&P на (Sigma) могат да бъдат дефинирани по отношение на изреченията, които могат да бъдат направени в определената част (i_0), когато цялата подходяща информация е разрешена да протича по отношение на пропускливостта (виж Brown & Priest 2004, 2015.)

3.4 Адаптивна логика

Човек може да си помисли, че несъответствието трябва да бъде изолирано, но и че сериозната нужда от разглеждане на несъответствия е рядко срещано явление. Мисълта може да е, че последователността е норма, докато не бъде доказано друго: трябва да се отнасяме към изречение или теория възможно най-последователно. Това е по същество мотивацията за адаптивни логики, въведени от Дидерик Батенс в Белгия.

Адаптивната логика е логика, която се адаптира към ситуацията в момента на прилагане на правилата за извод. Той моделира динамиката на нашите разсъждения. Има две сетива, в които разсъжденията са динамични: външно и вътрешно. Разсъждението е външно динамично, ако с наличие на нова информация се разширява зададената предпоставка, последствията, изведени по-рано, може да се наложи да бъдат оттеглени. Следователно външната динамика е немонотонен характер на някои последствия: (Gamma / vdash A) и (Gamma / cup / Delta / not / vdash A) за някои (Gamma, / Delta) и (A). Въпреки това, дори ако зададената предпоставка остава постоянна, някои изведени по-рано заключения могат да се считат за неизпълними на по-късен етап. Тъй като нашите разсъждения изхождат от набор от предпоставки, можем да срещнем ситуация, при която извеждаме следствие, при условие че няма аномалия,по-специално никакво противоречие не се получава на някакъв етап от процеса на разсъждение. Ако сме принудени да изведем противоречие на по-късен етап, нашите разсъждения трябва да се адаптират така, че да се оттегли приложението на използваното по-рано правило за извод. В такъв случай разсъжденията са вътрешно динамични. Нашите разсъждения могат да бъдат вътрешно динамични, ако наборът от валидни изводи не е рекурсивно изброяващ (т.е. няма процедура за вземане на решение, която води до „да“след окончателно много стъпки, ако изводът наистина е валиден). Именно вътрешната динамика е създадена за адаптиране на адаптивната логика.разсъжденията са вътрешно динамични. Нашите разсъждения могат да бъдат вътрешно динамични, ако наборът от валидни изводи не е рекурсивно изброяващ (т.е. няма процедура за вземане на решение, която води до „да“след окончателно много стъпки, ако изводът наистина е валиден). Именно вътрешната динамика е създадена за адаптиране на адаптивната логика.разсъжденията са вътрешно динамични. Нашите разсъждения могат да бъдат вътрешно динамични, ако наборът от валидни изводи не е рекурсивно изброяващ (т.е. няма процедура за вземане на решение, която води до „да“след окончателно много стъпки, ако изводът наистина е валиден). Именно вътрешната динамика е създадена за адаптиране на адаптивната логика.

За да се илюстрира идеята зад адаптивната логика, помислете за набор от предпоставки (Gamma = {p, / neg p / vee r, / neg r / vee s, / neg s, s / vee t }). Човек може да започне да разсъждава с (neg s) и (s / vee t), използвайки дизъюнктивния силогизъм (DS), за да заключи (t), като се има предвид, че (s / wedge / neg s) прави не се получи. Тогава разсъждаваме с (p) и (neg p / vee r), да заключим (r) с DS, като се има предвид, че (p / wedge / neg p) не получава. Сега можем да приложим DS към (neg r / vee s) и (r), за да извлечем (s), при условие, че (r / wedge / neg r) не получава. Обаче, като свържем (s) и (neg s), можем да получим (s / wedge / neg s). Следователно трябва да оттеглим първото приложение на DS и така доказателството за (t) отпада. Следствие от това разсъждение е това, което не може да бъде победено на нито един етап от процеса.

Системата на адаптивната логика може да се характеризира като състояща се от три елемента:

  1. Логика с долна граница (LLL)
  2. Набор от отклонения
  3. Адаптивна стратегия

LLL е частта от адаптивната логика, която не подлежи на адаптиране. Състои се основно от редица инфекциозни правила (и / или аксиоми), които човек с удоволствие приема, независимо от ситуацията в процеса на разсъждение. Набор от аномалии е набор от формули, които се предполагат, че не притежават (или като абсурдни) в началото на разсъжденията, докато не се покаже, че е друго. За много адаптивни логики формула в този набор има формата (A / wedge / neg A). Адаптивна стратегия определя стратегия за работа с приложенията на правила за изводи въз основа на множеството отклонения. Ако LLL се разшири с изискването, че няма аномалия логично невъзможно, човек получава горната граница на логиката (ULL). ULL по същество съдържа не само инфекциозни правила (и / или аксиоми) на LLL, но и допълнителни правила (и / или аксиоми), които могат да се прилагат при отсъствие на ненормалност, като DS. Чрез уточняване на тези три елемента човек получава система от адаптивна логика.

3.5 Логика на формалното несъответствие

Подходите, използвани за мотивиране на системите на параконсистентната логика, които досега виждаме, изолират несъответствие от последователни части на дадената теория. Целта е да се запази колкото се може повече класически машини при разработването на система от параконсистентна логика, която, въпреки това, избягва експлозията, когато е изправена пред противоречие. Един от начините да се направи тази цел ясна е да се разшири изразителната сила на нашия език чрез кодиране на метатеоретичните понятия за последователност (и несъответствие) в езика на обекта. Логиката на формалното несъответствие (LFI) са семейство от параконсистентни логики, които представляват последователни фрагменти от класическата логика, но които отхвърлят принципа на експлозията, когато има противоречие. Разследването на това семейство логики е инициирано от Нютон да Коста в Бразилия.

Ефект от кодирането на последователност (и несъответствие) в езика на обекта е, че можем изрично да отделим несъответствието от тривиалността. С език, достатъчно богат да изразява несъответствие (и последователност), можем да изучаваме непоследователни теории, без да приемаме, че те задължително са тривиални. Това прави изрично, че наличието на противоречие е отделен въпрос от нетривиалния характер на параконсистентните изводи.

Мисълта, която стои зад LFI, е, че трябва да спазваме класическата логика колкото е възможно повече. Едва когато има противоречие, логиката трябва да се отклонява от нея. Това означава, че можем да признаем валидността на ECQ при липса на противоречия. За да направим това, ние кодираме "последователност" в нашия обект език чрез (circ). Тогава (vdash) е следствие от LFI iff

  1. (съществува / gamma / съществува A / съществува B (Gamma, A, / neg A / не / vdash B)) и
  2. (forall / Gamma / forall A / forall B (Gamma, / circ A, A, / neg A / vdash B)).

Нека (vdash_C) е класическото следствие (или производна) връзка и (circ (Gamma)) изразява съгласуваността на множеството формули (Gamma), така че ако (circ A) и (circ B) след това (circ (A * B)), където (*) е всяко едно място, което е логично. Тогава можем да уловим производна в последователния контекст по отношение на еквивалентността: (forall / Gamma / forall B / съществува / Delta (Gamma / vdash_C B) iff (circ (Delta), / Gamma / vdash Б)).

Сега вземете положителния фрагмент от класическата логика с modus ponens плюс двойно премахване на отрицание ((neg / neg A / rightarrow A)) като аксиома и някои аксиоми, управляващи (circ):

) начало {подравняване *} circ A & / rightarrow (A / rightarrow (neg A / rightarrow B)) (circ A / klin / circ B) & / rightarrow / circ (A / клин B) (circ A / rightarrow / circ B) & / rightarrow / circ (A / rightarrow B) end {align *})

Тогава (vdash) предоставя системата на Да Коста (C_1). Ако оставим (A ^ 1) да съкрати формулата (neg (A / klin / neg A)) и (A ^ {n + 1}) формулата ((neg (A ^ n / wedge / neg A ^ n)) ^ 1), тогава получаваме (C_i) за всяко естествено число (i) по-голямо от 1.

За да получим системата на Коста (C _ { omega}), вместо положителния фрагмент от класическата логика, вместо това започваме с положителната интуиционистка логика. Системите (C_i) за краен (i) не изключват ((A ^ n / wedge / neg A ^ n / wedge A ^ {n + 1})) от теорията. С издигането на йерархията към (omega), (C _ { omega}) изключва тази възможност. Имайте предвид обаче, че (C _ { omega}) не е LFC, тъй като не съдържа класическа положителна логика.

За семантиката на системите на Да Коста (C) вижте например da Коста и Алвеш 1977 и Лопарик 1977. За състоянието на техниката вижте Carnielli и Coniglio 2016.

3.6 Многозначна логика

Може би най-простият начин за генериране на параконсистентна логика, предложен първо от Асенджо в докторската му дисертация, е да се използва многозначна логика. Класически има точно две стойности на истината. Многоценен подход е да се откаже от това класическо предположение и да се допускат повече от две стойности на истината. Най-простата стратегия е да се използват три стойности на истината: true (само), false (само) и двете (true и false) за оценките на формули. Таблиците за истинност на логическите съединители, освен условни, могат да бъдат дадени по следния начин:

(Отр)
(T) (Е)
(Б) (Б)
(Е) (T)
(клин) (T) (Б) (Е)
(T) (T) (Б) (Е)
(Б) (Б) (Б) (Е)
(Е) (Е) (Е) (Е)
(VEE) (T) (Б) (Е)
(T) (T) (T) (T)
(Б) (T) (Б) (Б)
(Е) (T) (Б) (Е)

Тези таблици са по същество от трите ценни логики на Kleene и Łukasiewicz, в които средната стойност се смята за неопределена или нито една (вярна, нито невярна).

За условно (supset), следвайки тризначната логика на Kleene, можем да посочим таблица за истинност, както следва:

(Supset) (T) (Б) (Е)
(T) (T) (Б) (Е)
(Б) (T) (Б) (Б)
(Е) (T) (T) (T)

Нека (t) и (b) са определените стойности. Това са стойностите, които се запазват във валидни изводи. Ако дефинираме отношение на последиците по отношение на запазването на тези обозначени стойности, тогава имаме параконсистентната логика LP (Priest 1979). В LP, ECQ е невалиден. За да видим това, ние приписваме (b) на (p) и (f) на (q). Тогава (neg p) също се оценява като (b) и така се обозначават и (p), и (neg p). И все пак (q) не се оценява като определена стойност. Следователно ECQ е невалиден в LP.

Както виждаме, LP обезсилва ECQ, като присвоява определена стойност, вярна и невярна, на противоречие. По този начин LP се отклонява повече от класическата логика от системите, които видяхме по-рано. Но по-противоречиво е, че той естествено е приведен в съответствие с диалетеизма. Въпреки това, можем да тълкуваме стойностите на истината не в алетичен смисъл, а в епистемичен смисъл: стойностите на истината (или определени стойности) изразяват епистемични или доксастични ангажименти (виж например Belnap 1992). Или може да мислим, че стойността и на двете е нужна по семантична причина: може да се изисква да изразим противоречивия характер на някои от нашите убеждения, твърдения и т.н. (вж. Dunn 1976: 157). Ако тази интерпретационна стратегия е успешна, можем да отделим LP от непременно да попаднем под диалетеизъм.

Една особеност на LP, която изисква известно внимание, е, че в LP modus ponens се оказва невалиден. Защото ако (p) е истина и невярно, но (q) невярно (само), тогава (p / supset q) е истина, и невярно, и следователно е обозначено. Така и (p), и (p / supset q) са обозначени, но заключението (q) не е. Следователно modus ponens за (supset) е невалиден в LP. (Един от начините за отстраняване на проблема е добавянето на подходящ условен съединител, както ще видим в раздела за съответните логики.)

Друг начин да се развие многозначна параконсистентна логика е да се мисли за присвояване на стойност на истината не като функция, а като отношение. Нека (P) е набор от параметри на предложението. Тогава оценка (eta) е подмножество от (P / пъти {0, 1 }). Предложението може да се отнася само до 1 (вярно), може да се отнася само до 0 (невярно), може да се отнася както към 1, така и до 0 или може да се отнася нито до 1, нито до 0. Оценката се разширява до отношение за всички формули от следните рекурсивни клаузи:

) начало {подравняване *} отрицателно A / eta 1 & / textrm {iff} A / eta 0 \\ / neg A / eta 0 & / textrm {iff} A / eta 1 \[1ex] A / клин B / eta 1 & / textrm {iff} A / eta 1 / textrm {и} B / eta 1 \\ A / клин B / eta 0 & / textrm {iff} A / eta 0 / textrm {или} B / eta 0 \[1ex] A / vee B / eta 1 & / textrm {iff} A / eta 1 / textrm {или} B / eta 1 \\ A / vee B / eta 0 & / textrm {iff} A / eta 0 / textrm {и} B / eta 0 \\ / край {подравняване *})

Ако дефинираме валидността по отношение на запазването на истината при всички релационни оценки, тогава получаваме първа степен на ангажиране (FDE), която е фрагмент от съответните логики. Тази релационна семантика за FDE се дължи на Dunn 1976.

Различен подход се изследва чрез идеята за недетерминирани матрици, изследвана от Аврон и неговите сътрудници (например Avron & Lev 2005).

3.7 Подходяща логика

Разгледаните от нас подходи към параконсистенция се фокусират преди всичко върху неизбежното присъствие или истинността на някои противоречия. Отхвърлянето на ECQ при тези подходи зависи от анализ на помещенията, съдържащи противоречие. Човек може да си помисли, че истинският проблем с ECQ не е свързан с противоречивите предпоставки, а с липсата на връзка между помещенията и заключението. Мисълта е, че заключението трябва да е от значение за помещенията при валидно заключение.

Съответните логики бяха въведени с цел да се проучи релевантността на заключението по отношение на помещенията на Anderson и Belnap (1975) в Питсбърг. Андерсън и Белнап мотивираха разработването на съответните логики, използвайки естествени дедукционни системи; все пак те разработиха семейство от подходящи логики в аксиоматичните системи. Тъй като развитието протичаше и се провеждаше и в Австралия, се съсредоточаваше повече семантиката.

Семантиката за съответните логики са разработени от Fine (1974), Routley и Routley (1972), Routley and Meyer (1993) и Urquhart (1972). (Има и алгебраична семантика; виж например Dunn & Restall 2002: 48ff.) Семантиката на Рутли-Майер се основава на семантиката на възможния свят, която е най-проучваната семантика за съответните логики, особено в Австралия. В тази семантика конюнкцията и дизюнкцията се държат по обичайния начин. Но всеки свят (w) има асоцииран свят (w ^ *) и отрицанието се оценява по отношение на (w ^ *: / neg A) е вярно при (w) iff (A) е невярно, не в (w), а в (w ^ *). Следователно, ако (A) е вярно при (w), но неверно при (w ^ *), тогава (A / wedge / neg A) е вярно при (w). За да се получат стандартните съответни логики, трябва да се добави ограничението, което (w ^ {**} = w). Както е ясно,отрицанието в тази семантика е интензивен оператор.

Основната грижа за съответните логики не е толкова с отрицанието, колкото с условното съединител (rightarrow) (удовлетворяващ modus ponens). В съответните логики, ако (A / rightarrow B) е логична истина, тогава (A) е от значение за (B), в смисъл, че (A) и (B) споделят при поне една променлива предложения.

Семантика за съответните условни се получава чрез предоставяне на всеки модел на Рутли-Майер с тройно отношение. В опростената семантика на Priest and Sylvan (1992) и Restall (1993, 1995), световете са разделени на нормални и ненормални. Ако (w) е нормален свят, (A / rightarrow B) е вярно при (w) iff във всички светове, където (A) е вярно, (B) е вярно. Ако (w) не е нормално, (A / rightarrow B) е вярно при (w) iff за всички (x, y), така че (Rwxy), ако (A) е вярно при (x, B) е вярно при (y). Ако (B) е вярно при (x), но не и в (y), където (Rwxy), тогава (B / прав праг B) не е вярно при (w). Тогава може да се покаже, че (A / rightarrow (B / rightarrow B)) не е логична истина. (Валидността се дефинира като запазване на истината над нормалните светове.) Това дава основната съответна логика (B). По-силни логики като логиката (R),се получават чрез добавяне на ограничения върху тройната връзка.

Съществуват и версии на световна семантика за съответните логики, базирани на релационната семантика на Дън за FDE. Тогава отрицанието е разширено. Условен съединител, сега трябва да се предоставят както условия за истина, така и лъжливост. Така че имаме: (A / rightarrow B) е вярно при (w) iff за всички (x, y), така че (Rwxy), ако (A) е вярно при (x, B) е вярно при (y); и (A / rightarrow B) е невярно при (w) iff за някои (x, y), така че (Rwxy), ако (A) е вярно при (x, B) е невярно при (y). Добавянето на различни ограничения върху тройната връзка осигурява по-силна логика. Тези логики обаче не са стандартните релевантни логики, разработени от Anderson и Belnap. За да се получи стандартното семейство от съответните логики, се нуждаят от съседни рамки (виж Mares 2004). Допълнителни подробности могат да бъдат намерени в записа на съответните логики.

библиография

Библиография, сортирана по тема

Препратки

  • Abe, Jair Minoro, Seiki Akama и Kazumi Nakamatsu (ред.), 2015, Въведение в анотираната логика: основи за паракомплектни и параконсистентни разсъждения (Справочна библиотека за интелигентни системи 88), Dordrecht: Springer. DOI: 10.1007 / 978-3-319-17912-4
  • Akama, Seiki (съст.), 2016, Към параконсистентна инженерия (Интелектуална система Справочна библиотека 110), Dordrecht: Springer. DOI: 10.1007 / 978-3-319-40418-9
  • Андерсън, Алън Рос и Нуел Д. Белнап, 1975 г., Увеличение: Логиката на релевантността и необходимостта, том 1, Принстън: Принстънски университетски печат.
  • Андерсън, Алън Рос, Нуел Д. Белнап и Дж. Майкъл Дън, 1992, Увеличение: Логиката на релевантността и необходимостта, том 2, Принстън: Принстънски университетски печат.
  • Андреас, Холгер и Питър Верде, 2016 г., Логически проучвания на параконсистентното разсъждение в науката и математиката (Тенденции в логиката 45), Dordrecht: Springer. DOI: 10.1007 / 978-3-319-40220-8
  • Arruda, Ayda I., 1977, „За въображаемата логика на NA Vasil'év“, в Arruda et al. 1977: 3–24. DOI: 10.1016 / S0049-237X (08) 70642-6
  • –––, 1989 г., „Аспекти на историческото развитие на параконсистентната логика“, в Priest et al. 1989: 99–130.
  • Arruda, Ayda I., Newton da Costa и R. Chuaqui (ред.), 1977 г., Некласическа логика, теория на модела и изчислимост (Изследвания в логиката и основите на математиката 89), Амстердам: Северна Холандия.
  • Asenjo, FG, 1966, „Изчисляване на антиномиите“, сп. Notre Dame of Formal Logic, 7 (1): 103–105. DOI: 10.1305 / ndjfl / 1093958482
  • Asmus, Conrad, 2012, „Параконсистенция по скалите на диалеизма“, Logique et Analyze, 55 (217): 3–21. [Asmus 2012]
  • Avron, Arnon и Iddo Lev, 2005, „Недетерминизирани многозначни структури“, сп. „Логика и изчисления“, 15 (3): 241–261.
  • Batens, Diderik, 2001, „Обща характеристика на адаптивната логика“, Logique et Analyze, 44 (173–175): 45–68. [Batens 2001 на разположение онлайн]
  • –––, 2007 г., „Универсален логически подход към адаптивната логика”, Logica Universalis, 1 (1): 221–242. Дой: 10.1007 / s11787-006-0012-5
  • Батенс, Дидерик, Крис Мортенсен, Греъм Прист и Жан-Пол ван Бендегем (ред.), 2000 г., Граници на параконсистентната логика (Изследвания в логиката и изчисленията 8), Балдок, Англия: Research Studies Press. [Процедура на първия световен конгрес]; виж също Logique & Analyse, том 41, числа 161–163.
  • Beall, Jc, 2009, Spandrels of Truth, Oxford: Oxford University Press. DOI: 10.1093 / acprof: ОСО / 9780199268733.001.0001
  • Belnap, Nuel D., Jr., 1992, "Полезна четиризначна логика: Как компютърът трябва да мисли", Увеличение: Логиката на релевантността и необходимостта, том II, Алън Рос Андерсън, Нуел Д. Белнап, младши и Дж. Майкъл Дън, Принстън: Princeton University Press; за първи път се появява като „Полезна четиризначна логика“, Съвременна употреба на многозначна логика, Дж. Майкъл Дън и Джордж Епщайн (ред.), Dordrecht: D. Reidel, 1977: 5–37, и „Как компютърът трябва да Помислете”, Съвременни аспекти на философията, Гилбърт Райл (съст.), Ориел Прес, 1977: 30–. DOI: 10.1007 / 978-94-010-1161-7_2
  • Беснард, Филип и Антъни Хънтър (ред.), 1998 г., Изложение на мотивите с действителните и потенциалните противоречия (Наръчник за системи за управление на обосновани причини и несигурност, том 2), Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. DOI: 10.1007 / 978-94-017-1739-7
  • Beziau, Jean-Yves, Walter A. Carnielli и Dov M. Gabbay (ред.), 2007, Наръчник за параконсистенция (изследвания в логиката 9), London: College Publications. [Процедура на Третия световен конгрес]
  • Beziau, Jean-Yves, Mihir Chakraborty и Soma Dutta (ред.), 2015, Нови направления в параконсистентната логика, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-81-322-2719-9 [Пети процес на Световния конгрес]
  • Брейди, Рос Т., 1989, „Нетривиалността на теорията на диалектическите множества“, в Priest et al. 1989: 437–471.
  • ––– (изд.), 2003 г., Подходяща логика и техните съперници, том 2, Aldershot: Ashgate.
  • –––, 2006, Universal Logic, Стенфорд, Калифорния: CSLI Publications.
  • Браун, Брайсън, 2002, „За параконсистенцията“, в „Дружество към философската логика“, Дейл Жакет (съст.), Оксфорд: Блеквел, стр. 628–650. DOI: 10.1002 / 9780470996751.ch40
  • Браун, Брайсън и Греъм Свещеник, 2004 г., „Чънък и пермеат: параконсистентна стратегия на изводите. Част 1: Безкрайният изчисление”, сп.„ Философска логика”, 33 (4): 379–388. Doi: 10.1023 / B: LOGI.0000036831.48866.12
  • –––, 2015, „Chunk and Permeate II: Водородният атом на Бор“, Европейско списание за философия на науката, 5 (3): 297–314.
  • Чомски, Ноам, 1995, Минималистичната програма, Кеймбридж, МА: MIT Press.
  • Carnielli, Walter A. и Marcelo Esteban Coniglio, 2016, Paraconsistent Logic: последователност, противоречие и отрицание, Dordrecht: Springer. DOI: 10.1007 / 978-3-319-33205-5
  • Carnielli, Walter A., Marcelo E. Coniglio и João Marcos, 2007, „Logics of Formal Inconsistentness“, в Наръчник по философска логика, том 14 (второ издание), Dov M. Gabbay и Franz Guenthner (ред.), Берлин: Springer, стр. 15–107. DOI: 10.1007 / 978-1-4020-6324-4_1
  • Carnielli, Walter A., M. Coniglio и Itala Maria Lof D'ottaviano (ред.), 2002 г., Параконсистенция: Логическият път към несъответствието (Бележки от лекции в чистата и приложна математика: Том 228), Boca Raton: CRC Press, [Процедура на Втория световен конгрес]
  • da Costa, Newton CA, 1974, „За теорията на непоследователните формални системи“, сп. Notre Dame of Formal Logic, 15 (4): 497–510. DOI: 10.1305 / ndjfl / 1093891487
  • da Costa, Newton CA и EH Alves, 1977 г., “Семантичен анализ на изчисленията ({ bf C} _ {n})”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 18 (4): 621–630. DOI: 10.1305 / ndjfl / 1093888132
  • da Costa, Newton CA и L. Dubikajtis, 1977, „За дискусионната логика на Jaśkowski”, в Arruda et al. 1977: 37–56. Doi: 10.1016 / S0049-237X (08) 70644-X
  • da Costa, Newton CA, VS Subrahmanian и Carlo Vago, 1991, „Параконсистентната логика (mathrm {P} mathcal {T})“, Zeitschrift für Mathematische Logic und Grundlangen der Mathematik, 37 (9–12): 139–148. Дой: 10.1002 / malq.19910370903
  • Dunn, J. Michael, 1976, „Интуитивна семантика за привличане на първа степен и„ сдвоени дървета ““, Philosophicl Studies, 29 (3): 149–68. Дой: 10.1007 / BF00373152
  • Дън, Дж. Майкъл и Грег Рестал, 2002, „Логика на релевантността“, Наръчник по философска логика, том 6, второ издание, Дов М. Габай и Франц Гюентър (ред.), Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, стр. 1–136,
  • Dunne, John D., 2004, Основи на философията на Dharmakīrti, Boston: Публикации на мъдростта.
  • Fine, Kit, 1974 г., „Модели за развлечение“, сп. „Философска логика“, 3 (4): 347–372. Дой: 10.1007 / BF00257480
  • Жирард, Патрик и Коджи Танака, 2016, „Параконсистентна динамика“, Синтез, 193 (1): 1–14. Дой: 10.1007 / s11229-015-0740-2
  • Halldén, Sören, 1949, Логиката на глупостите, Uppsala: A.-B. Lundequistska Bokhandeln.
  • Хайд, Доминик, 1997, „От купища и пропасти до купища глухи“, Ум, 106 (424): 641–660. Дой: 10.1093 / ум / 106.424.641
  • Jaśkowski, Stanisław, 1948 [1969], “Rachunek zdań dla systemów dedukcyjnych sprzecznych”, Studia Societatis Scientiarum Torunensi (Sectio A), 1 (5): 55–77; английски превод се появява като „Пропозиционно смятане за противоречиви дедуктивни системи“, Studia Logica, 24 (1969): 143–157. (Актуализиран превод от Й. Перзановски се появява през 1999 г. като „Пропозиционно смятане за непоследователни дедуктивни системи“, Логика и логическа философия, 7: 35–56.
  • –––, 1949 [1999], „O koniunkcji dyskusyjnej w rachunku zdań dla systemów dedukcyjnych sprzecznych“, Studia Societatis Scientiarum Torunensis (Sectio A), 1 (8): 171–172; на английски превод се появи като „Дискусионната връзка в предложението за смятане за непоследователни дедуктивни системи“, Логика и логическа философия, 7 (1999): 57–59.
  • Камиде, Норихиро и Хайнрих Вансинг, 2012, „Теория на доказателството за параконсистентната логика на Нелсън: Единна перспектива“, Теоретична компютърна наука, 415: 1–38. Дой: 10.1016 / j.tcs.2011.11.001
  • Libert, Thiery, 2005, „Модели за теория на параконсистентния набор”, списание за приложна логика, 3 (1): 15–41. Дой: 10.1016 / j.jal.2004.07.010
  • Лопарич, А., 1977, „Une étude semantique de quelques calculs propositionnel”, Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l’Academie des Sciences, 284: 835–838.
  • Łukasiewicz, ян, 1951 г., Sloglogistic на Аристотел: От гледна точка на съвременната формална логика, Оксфорд: Университет Оксфорд.
  • Mares, Edwin D., 2004, „Четиризначна“семантика за съответната логика R “, сп.„ Философска логика “, 33 (3): 327–341. Doi: 10.1023 / B: LOGI.0000031375.18295.30
  • Мартин, Кристофър Дж., 1986, „Машината на Уилям“, сп. „Философия“, 83 (10): 564–572. DOI: 10.2307 / 2026432
  • –––, 1987, „Смущаващи аргументи и изненадващи изводи в теориите за развитие на условното през дванадесети век“, Gilbert De Poitiers Et Ses Contemporains, J. Jolivet, A. De Libera (ред.), Неапол: Bibliopolis, pp 377–401.
  • –––, 1996, „Невъзможното позициониране като основа на метафизиката или, логиката на шотландския план?“, Вестигия, Въображения, Верба: Семиотиката и логиката в средновековните богословски текстове, К. Мармо (съст.), Търнхаут: Бреполи, стр. 255–276.
  • McGinnis, Nicholas D., 2013, „Неочакваната приложимост на параконсистентната логика: път на Чомскиан към диалеизма“, Основи на науката, 18 (4): 625–640. Дой: 10.1007 / s10699-012-9294-7
  • McKubre-Jordens, Maarten и Zach Weber, 2011, „Истински анализ в параконсистентната логика“, Journal of Philosophical Logic, 41 (5): 901–922. Дой: 10.1007 / s10992-011-9210-6
  • Майкъл, Михаилис, 2016, „На„ най-разказващия “Аргумент за параконсистентна логика“, Синтез, 193 (10): 3347–3362. Дой: 10.1007 / s11229-015-0935-6
  • Mortensen, Chris, 1995, непоследователна математика, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
  • Омори, Хитоши, 2015, „Забележки върху теорията за наивните задачи въз основа на LP“, Преглед на символичната логика, 8 (2): 279–295. Дой: 10.1017 / S1755020314000525
  • Омори, Хитоши и Джеси Алама, предстоящо, „Аксиоматизиране на дискусионната логика на Джасковски D2”, Studia Logica, първо онлайн на 10 февруари 2018 г. doi: 10.1007 / s1122.
  • Свещеник, Греъм, 1979, „Логиката на парадокса“, сп. „Философска логика“, 8 (1): 219–241. Дой: 10.1007 / BF00258428
  • –––, 1987, в противоречие: изследване на трансконсистенцията, Дордрехт: Мартинус Нихоф; второ издание, Oxford: Oxford University Press, 2006.
  • –––, 2001, „Ревизия на параконсистентното убеждение“, Теория, 67 (3): 214–228. DOI: 10.1111 / j.1755-2567.2001.tb00204.x
  • –––, 2002, „Парасогласна логика“, в Наръчник по философска логика, второ издание, том 6, Дов М. Габай и Франц Гюнднер (ред.), Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, стр. 287–393.
  • –––, 2003, „Непоследователна аритметика: Проблеми технически и философски“, в „Тенденции в логиката“: 50 години на Studia Logica (библиотека „Studia Logica“, том 21), VF Hendricks и J. Malinowski (ред.), Dordrecht: Kluwer Academic Издатели, стр. 273–99.
  • –––, 2007, „Параконсистенция и диалетеизъм“, в Наръчник на историята на логиката, том 8, Д. Габай и Дж. Уудс (ред.), Амстердам: Северна Холандия, с. 129–204.
  • Прийст, Греъм, Дж. К. Беал и Брадли Армър-Гарб (ред.), 2004 г., Законът за несъгласие, Оксфорд: Университет Оксфорд. DOI: 10.1093 / acprof: ОСО / 9780199265176.001.0001
  • Свещеник, Греъм, Ричард Рутли и Жан Норман (ред.), 1989, Параконсистентна логика: Есета за непостоянното, Мюнхен: Философия Верлаг.
  • Прийст, Греъм и Ричард Силван, 1992, „Опростена семантика за основни релевантни логики“, сп. „Философска логика“, 21 (2): 217–232. Дой: 10.1007 / BF00248640
  • Rescher, Nicholas and Ruth Manor, 1970, „За извода от несъответстващи помещения“, Теория и решение, 1 (2): 179-217. Дой: 10.1007 / BF00154005
  • Рестал, Грег, 1993, „Опростена семантика за съответната логика (и някои от техните съперници)“, Journal of Philosophical Logic, 22 (5): 481–511. Дой: 10.1007 / BF01349561
  • –––, 1995, „Четиризначна семантика за съответната логика (и някои от техните съперници)“, сп. „Философска логика“, 24 (2): 139–160. Дой: 10.1007 / BF01048529
  • Рестал, Грег и Джон Слейни, 1995, „Реалистична ревизия на убежденията“, Протоколи от Втората световна конференция по основите на изкуствения интелект, М. Де Глас и З. Паулак (ред.), Париж: Ангкор, стр. 367–378,
  • Рипли, Дейвид, 2011, „Противоречия на границите“, в R. Nouwen, R. van Rooij, U. Sauerland & H.-C. Шмиц (ред.), Неясността в комуникацията, Dordrecht: Springer, стр. 169–188. DOI: 10.1007 / 978-3-642-18446-8_10
  • Рутли, Ричард и Робърт К. Майер, 1993, „Семантика на враждението“, Истина, синтаксис и модалност, Х. Леблан (съст.), Амстердам: Северна Холандия, стр. 194–243.
  • Рутли, Ричард, Вал Плъмууд, Робърт К. Майер и Рос Т. Брейди, 1982 г., Релевантни логики и техните съперници, том 1, Риджвью: Atascadero.
  • Рутли, Ричард и Вал Рутли, 1972 г., „Семантика на първа степен на увлечение“, Noûs, 6 (4): 335–359. DOI: 10.2307 / 2214309
  • Schotch, PK и RE Jennings, 1980, „Извод и необходимост“, сп. „Философска логика“, 9 (3): 327–340. Дой: 10.1007 / BF00248398
  • Schotch, Peter, Брайсън Браун и Реймънд Дженингс (изд.), 2009 г., относно запазването: есета за консервационизма и параконсистентната логика, Торонто: University of Toronto Press.
  • Smiley TJ, 1959, „Увлечение и изводимост“, Proceedings of Aristotelian Society, 59: 233–254.
  • Subrahmanian, VS, 1987, „За семантиката на качествените логически програми“, Proc. 4-ти IEEE Symp. Логическо програмиране, Сан Франциско, Калифорния: IEEE Computer Society Press, 178–182.
  • Силван, Ричард, 2000, „Предварителна западна история на социалната логика“, в „Социална логика и техните приложения: есета на покойния Ричард Силван, Доминик Хайд и Греъм Прист (редактори), Aldershot: Ashgate Publishers.
  • Tanaka, Koji, 2003, „Три училища на параконсистенция“, австралийското списание за логика, 1: 28–42.
  • –––, 2005 г., „Теорията на AGM и непостоянната промяна на вярването“, Logique et Analyze, 48 (189–192): 113–150. [Tanaka 2005 на разположение онлайн]
  • Tanaka, Koji, Francesco Berto, Edwin Mares и Francesco Paoli (ред.), 2013, Paraconsistentity: Logic and Applications (Logic, Epistemology and the Unity of Science 26), Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-94-007-4438-7 [Четвърта процедура на Световния конгрес]
  • Tillemans, Tom JF, 1999, Писание, Логика, Език: Есета за Дхармакирти и неговите тибетски наследници, Бостън: Публикации на мъдростта.
  • Urquhart, Alasdair, 1972 г., „Семантика за съответната логика“, Journal of Symbolic Logic, 37 (1): 159–169. DOI: 10.2307 / 2272559
  • Verdée, Peter, 2013, „Силна, универсална и доказано нетривиална теория на множествата чрез средства на адаптивната логика“, Logic Journal of IGPL, 21 (1): 108–125. DOI: 10.1093 / jigpal / jzs025
  • Weber, Zach, 2010a, „Параконсистентен модел на неясност“, Mind, 119 (476): 1025–1045. Дой: 10.1093 / ум / fzq071
  • –––, 2010b, „Трансгранични числа в теорията на параконсистентните множества“, Преглед на символичната логика, 3 (1): 71–92. Дой: 10.1017 / S1755020309990281
  • –––, 2012, „Трансгранични кардинали в теорията на параконсистентните множества“, Преглед на символичната логика, 5 (2): 269–293. Дой: 10.1017 / S1755020312000019

Световен конгрес на обемите на параконсистенция

  • [Първи конгрес] Батенс, Дидерик, Крис Мортенсен, Греъм Приз и Жан-Пол ван Бендегем (ред.), 2000 г., Граници на параконсистентната логика (Изследвания в логиката и изчисленията 8), Балдок, Англия: Research Studies Press.
  • [Втори конгрес] Carnielli, Walter A., M. Coniglio и Itala Maria Lof D'ottaviano (ред.), 2002, Параконсистенция: Логическият път към несъответствието (Бележки от лекции в чистата и приложна математика: том 228), Boca Ратон: CRC Press.
  • [Трети конгрес] Beziau, Jean-Yves, Walter A. Carnielli и Dov M. Gabbay (ред.), 2007, Handbook of Paraconsistency (Studies in Logic 9), London: College Publications.
  • [Четвърти конгрес] Танака, Коджи, Франческо Берто, Едвин Марес и Франческо Паоли (ред.), 2013, Параконсистенция: Логика и приложения (Логика, Епистемология и Единството на науката 26), Дордрехт: Спрингер. DOI: 10.1007 / 978-94-007-4438-7
  • [Пети конгрес] Beziau, Jean-Yves, Mihir Chakraborty и Soma Dutta (ред.), 2015, Нови направления в параконсистентната логика, Dordrecht: Springer. DOI: 10.1007 / 978-81-322-2719-9

Академични инструменти

сеп човек икона
сеп човек икона
Как да цитирам този запис.
сеп човек икона
сеп човек икона
Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
inpho икона
inpho икона
Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
Фил хартия икона
Фил хартия икона
Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси

  • Първи световен конгрес по параконсистенция
  • Втори световен конгрес по параконсистенция
  • Трети световен конгрес по параконсистенция
  • Четвърти световен конгрес по параконсистенция
  • Пети световен конгрес по параконсистенция

Препоръчано: