Много ценна логика

Съдържание:

Много ценна логика
Много ценна логика

Видео: Много ценна логика

Видео: Много ценна логика
Видео: Пройди этот Тест и проверь своё Внимание 2024, Март
Anonim

Навигация за влизане

  • Съдържание за участие
  • библиография
  • Академични инструменти
  • Friends PDF Preview
  • Информация за автора и цитирането
  • Върнете се в началото

Много ценна логика

За първи път публикуван вторник, 25 април 2000 г.; съществена ревизия Чт 5 март 2015 г.

Многозначната логика е некласическа логика. Те са подобни на класическата логика, защото приемат принципа на истинността-функционалност, а именно, че истинността на сложното изречение се определя от стойностите на истинността на неговите съставни изречения (и така остава незасегната, когато едно от съставните му изречения се замени с друго изречение със същата стойност на истината). Но те се различават от класическата логика по фундаменталния факт, че не ограничават броя на стойностите на истината само до две: позволяват по-голям набор (W) степени на истинност.

Точно както понятието „възможни светове“в семантиката на модалната логика може да бъде преосмислено (напр. Като „моменти от време“в семантиката на напрегнатата логика или като „състояния“в семантиката на динамичната логика), там не съществува стандартна интерпретация на степените за истинност. Как ще бъдат разбрани зависи от реалната област на приложение. Обикновено е да се приеме, че има две конкретни степени на истинност, обикновено обозначени с „0“и „1“. Тези степени на истинност действат, съответно, като традиционните стойности на истината „фалсум“и „верум“, но понякога също харесват „абсолютно невярна“и „абсолютно вярна“, особено в случаите, когато традиционните стойности на истинността на класическата логика „се разделят“в поредица от степени на истинност.

Много ценената логика разглежда техните степени на истинност като технически средства и възнамерява да ги избере подходящо за конкретни приложения. Философски проблем е доста труден за обсъждане на (възможен, нетехнически) характер на такива „степени на истинност“или „стойности на истината“. Заинтересованият читател може да се консултира с монографията Shramko / Wansing (2011) или с записа на стойностите на истината.

Официализираните езици за системи с многозначна логика (MVL) следват двата стандартни модела за логика на предложението и предиката съответно:

  • има предложения за променливи заедно със съединители и (вероятно също) константи на степента на истинност в случай на предложения езици,
  • има обектни променливи заедно с предикатични символи, възможно също и обектни константи и функционални символи, както и квантори, съединители и (вероятно също) константи на степен на истинност в случай на езици от първи ред.

Както обикновено в логиката, тези езици са основа за семантично, както и за синтактично обосновани логически системи.

  • 1. Семантика

    • 1.1 Стандартни логически матрици
    • 1.2 Алгебраична семантика
    • 1.3 Семантика на играта
  • 2. Теория на доказването

    • 2.1 Калкулации тип Хилберт
    • 2.2 Последователни калкули от тип Gentzen
    • 2.3 Таблетни изчисления
  • 3. Системи с многозначна логика

    • 3.1 Łukasiewicz логика
    • 3.2 Логика на Gödel
    • 3.3 t-Norm базирани системи
    • 3.4 Три ценни системи
    • 3.5 4-ценната система на Dunn / Belnap
    • 3.6 Продуктови системи
  • 4. Приложения на многозначна логика

    • 4.1 Приложения към лингвистиката
    • 4.2 Приложения към логиката
    • 4.3 Приложения към философски проблеми
    • 4.4 Приложения към хардуерно проектиране
    • 4.5 Приложения за изкуствен интелект
    • 4.6 Приложения към математиката
  • 5. История на многозначната логика
  • библиография

    • Монографии и анкети
    • Други цитирани произведения
  • Академични инструменти
  • Други интернет ресурси
  • Свързани записи

1. Семантика

Има три вида семантика за системи с многозначна логика.

  • 1.1 Стандартни логически матрици
  • 1.2 Алгебраична семантика
  • 1.3 Семантика на играта

Обсъждаме ги на свой ред.

1.1 Стандартни логически матрици

Най-подходящият начин за дефиниране на система (bS) с многозначна логика е да се фиксира характерната логическа матрица за нейния език, т.е. да се фиксира:

  • набор от степени на истинност,
  • функциите на степента на истинност, които интерпретират предложените съединители,
  • значението на константните степени на истината,
  • семантичната интерпретация на количествените характеристики,

и допълнително,

  • определените степени на истинност, които образуват подмножество от множеството степени на истинност и действат като заместители на традиционната стойност на истината „verum“,
  • а понякога и антиопределени степени на истинност, които образуват подмножество от множеството степени на истинност и действат като заместители на традиционната стойност на истината „фалшив“.

Добре оформената формула (A) на предложен език се счита за валидна при някаква оценка (alpha) (която преобразува набора от предложения на променливи в множеството степени на истинност), ако тя има определена степен на истинност при (а). И (A) е логично валиден или тавтология, ако е валидна при всички оценки.

В случай на език от първи ред, такава добре оформена формула (A) се счита за валидна при интерпретация (alpha) на езика, ако тя има определена степен на истинност при това тълкуване и всички задачи на обекти от вселената на дискурса на тази интерпретация към обектните променливи. (A) се счита за логически валиден, ако е валиден при всички интерпретации.

Както в класическата логика, такова тълкуване трябва да даде

  • (не празна) вселена на дискурса,
  • значението на обектните константи на езика,
  • значението на предикатните букви и функционалните символи на езика.

Модел на някакъв набор (Sigma) на добре оформени формули е оценка (alpha) или интерпретация (alpha), така че всички (A) ∈ (Sigma) са валидно под (alpha). Това (Sigma) означава (A) означава, че всеки модел на (Sigma) също е модел на (A).

1.2 Алгебраична семантика

Съществува втори тип семантика за системи (bS) с многозначна логика, която се основава на цял характерен клас (bK) на (подобни) алгебрични структури. Всяка такава алгебраична структура трябва да предоставя всички данни, които трябва да бъдат предоставени от характерна логическа матрица за езика на (bS).

Понятието за валидност на формула (A) по отношение на алгебраична структура от (bK) се дефинира така, сякаш тази структура би образувала логическа матрица. И логическата валидност тук означава валидност за всички структури от класа (bK).

Типът алгебрични структури, които образуват такъв характерен клас (bK) за някаква система (bS) на MVL, обикновено може да идва от два различни източника. Първият източник може да бъде определен чрез екстралогични съображения, които отличават някои от този клас алгебраични структури. Ако обаче системата (bS) от MVL е определена синтактично или от една характеристична матрица, такъв клас алгебраични структури често се определя от (синтактичната или семантичната) алгебра на Линденбаум от (bS), и в такъв случай често играе и решаваща роля в рамките на доказателството за алгебраична пълнота. Алгебраичните структури в (bK) имат подобна роля за (bS), както булевите алгебри правят за класическата логика.

За конкретни системи на MVL, например има следните характерни класове алгебраични структури:

  • за безкрайно оценена Łukasiewicz логика класът на MV-алгебри,
  • за безкрайно оценена логика на Гьодел класът на всички алгебри на Хейтинг, които допълнително удовлетворяват предлинейността ((x / rightarrow y) cup (y / rightarrow x) = 1,)
  • за основната логика на Хаек t-норма BL класът на всички t-алгебри, т. е. всички онези алгебраични структури, които се формират от реалния интервал на единиците заедно с ляво-непрекъсната t-норма (T) и тяхната операция на преместване (I_ {T}) дефиниран като (I_ {T} (x, y) = / sup {z / mid T (x, z) le y }.)

За първите два от тези примери в исторически план има логиката, определена с характерна матрица, и съответния клас алгебраични структури, определени по-късно. За третия пример ситуацията е различна: BL е проектиран така, че да бъде логиката на всички непрекъснати t-норми и от този екстралогичен подход се открива класа на всички делими остатъчни решетки, които отговарят на предлинейността.

От философска гледна точка, обаче, обикновено е за предпочитане да има семантична основа за система от MVL, която използва единна характерна логическа матрица. Но от формална гледна точка и двата подхода са еднакво важни, а алгебраичната семантика се оказва по-общият подход.

1.3 Семантика на играта

Има различни начини, по които логиката и игрите могат да бъдат свързани. Диалогичната логика, например, предлага игрово-теоретична семантика както за класическа, така и за интуиционистка логика: една формула се счита за валидна, ако предложителят, който заявява тази формула, има печеливша стратегия за евентуални атаки, които опонентът може да реализира.

В контекста на връзката между размитите множества и многозначната логика, подходът към ориентиран към играта поглед към логическата валидност беше предложен от Робин Джайлс. От 1975 г. той предлага в поредица от документи Giles (1975,1976,1979) и отново в Giles (1988) общо третиране на разсъжденията с неясни предикати чрез формална система, основана на удобна диалогова интерпретация. Той вече е използвал тази диалогова интерпретация в други документи, като Giles 1974, която се занимава със субективното вярване и основите на физиката. Основната идея е да се остави „изречението да представлява вяра, като го изрази осезаемо под формата на залог“. Залаганията се отнасят до действителните резултати от дисперсивни експерименти с различни възможни резултати с известна вероятност. В тази настройка тогава „изречение (psi) се счита, че следва от изречения (phi_ {1}, / ldots, / phi_ {n}) точно когато приема залозите (phi_ {1 }, / ldots, / phi_ {n}) може едновременно да залагате (psi) без страх от загуба “.

Полученият по този начин (формален) език е тясно свързан с безкрайно ценната логика на Łukasiewicz (rL _ { infty}): всъщност двете системи съвпадат, ако едната присвои на изречение (phi) стойността на истината (1- / langle / phi / rangle), с (langle / phi / rangle) за стойността на риска при отстояване (phi). И той дори добавя забележката, „че при тази диалогова интерпретация logicukasiewicz логиката е точно подходяща за формулирането на„ размитата теория на множествата “, описана първо от LA Zadeh (1965); всъщност, не е твърде много да се твърди, че (rL _ { infty}) е свързана с размитата теория на множествата точно както класическата логика е свързана с теорията на обикновените множества “.

Наскоро бяха изучени различни версии и обобщения на тези диалогови игри. Различни аспекти на тези развития са дискутирани, например, във Fermüller (2008) и Fermüller / Roschger (2014). Подобни подходи не само са в състояние да осигурят семантиката на играта, например за Gödel логика и логика на продукта. Съществуват и мостове, които свързват такива игри с проектирането на последователни калкули за многозначни логики, вж. Fermüller / Metcalfe (2009).

Съществува и друг тип игри за диалог, свързани с (m) - ценна logicukasiewicz логика: предлогът иска информация, а противникът, отговарящ, може да лежи до (m) пъти. Такива „Улам игри с лъжи“са въведени от Mundici (1992).

2. Теория на доказването

Основните видове логически изчисления са налични за системи на MVL:

  • 2.1 Калкулации тип Хилберт
  • 2.2 Последователни калкули от тип Gentzen
  • 2.3 Таблетни изчисления

Някои от горните обаче са достъпни само за системи с окончателна стойност. Съвременното състояние на широк клас от безкрайно ценни логики е представено в Metcalfe / Olivetti / Gabbay (2009).

2.1 Калкулации тип Хилберт

Тези калкули се формират по същия начин като съответните калкули за класическата логика: някакъв набор от аксиоми се използва заедно с набор от правила за изводи. Понятието производно е обичайното.

2.2 Последователни калкули от тип Gentzen

В допълнение към обичайните видове последователни калкули, изследователите също наскоро започнаха да обсъждат „хиперсеквентни“калкули за системи на MVL. Хиперсеквентите са крайни мултисети, т.е. крайни нередовни списъци на обикновени последователности.

За крайно оценени системи, по-специално (m) такива, има и последователни калкули, които работят с обобщени последователности. В случая с стойност (m) това са последователности с дължина (m) от набори от формули.

2.3 Таблетни изчисления

Структурата на дърветата на таблицата остава същата в тези изчисления, както в изчисленията на таблицата за класическата логика. Етикетите на възлите стават по-общи обекти, а именно подписани формули. Подписаната формула е двойка, състояща се от знак и добре оформена формула. Знакът е или степен на истинност, или набор от степени на истинност.

Табличните изчисления с подписани формули обикновено са ограничени до системи с ограничена стойност на MVL, така че да могат да бъдат разгледани по ефективен начин.

3. Системи с многозначна логика

Основните системи на MVL често се срещат като семейства, които се състоят от еднакво дефинирани крайни стойности, както и безкрайно оценени системи. Ето списък:

  • 3.1 Łukasiewicz логика
  • 3.2 Логика на Gödel
  • 3.3 t-Norm базирани системи
  • 3.4 Три ценни системи
  • 3.5 4-ценната система на Dunn / Belnap
  • 3.6 Продуктови системи

3.1 Łukasiewicz логика

Системите (rL_ {m}) и (rL _ { infty}) се определят от логическата матрица, която има или някакъв краен набор

[W_ {m} = { tfrac {k} {m - 1} mid 0 / le k / le m - 1 })

на рационалите в рамките на реалния интервал на единица или на целия единичен интервал

[W _ { infty} = [0,1] = {x / в / Re / средата 0 / le x / le 1 })

както е зададена степен на истината Степента 1 е единствената определена степен на истинност.

Основните съединители на тези системи са силна и слаба връзка, (усилвател) и (клин), съответно, дадени от функциите на степен на истинност

започнете {подравнете} u / amp v & = / max {0, u + v-1 }, \\ u / клин v & = / min {u, v }, / end {align}

отрицателен съединител (neg), определен от

) neg u = 1-u,)

и импликационен съединител (rightarrow) с функция степен на истинност

[u / rightarrow v = / min {1, 1-u + v }.)

Често се използват и два съединителя за разделяне. Те са дефинирани като (усилвател) и (клин), съответно, чрез обичайните закони на де Морган, използвайки (neg). За системите на orderukasiewicz от първи ред се добавят два квантора (forall), (съществува) по такъв начин, че степента на истинност на (forall xH (x)) е най-ниската от всички съответни степени на истинност на (H (x)) и че степента на истинност на (съществува xH (x)) е върховата точка на всички съответни степени на истинност на (H (x)).

3.2 Логика на Gödel

Системите (rG_ {m}) и (rG _ { infty}) се определят от логическата матрица, която има или някакъв краен набор

[W_ {m} = { tfrac {k} {m - 1} mid 0 / le k / le m - 1 })

на рационалите в рамките на реалния интервал на единица или на целия единичен интервал

[W _ { infty} = [0,1] = {x / в / Re / средата 0 / le x / le 1 })

както е зададена степен на истината Степента 1 е единствената определена степен на истинност.

Основните съединители на тези системи са съединение (клин) и разединение (vee), определени от функциите на степен на истинност

започнете {подравнете} u / клин v & = / мин {u, v }, \\ u / vee v & = / max {u, v }, / end {align}

импликационен съединител (rightarrow) с функция степен на истинност

(u / правда v)
(u / le v) 1
(u / gt v) (О)

и отрицателен съединител (sim) с функция степен на истинност

({ SIM} ф)
(U = 0) 1
(u / ne 0) 0

За системите на Gödel от първи ред се добавят две количествени характеристики (forall), (съществува) по такъв начин, че степента на истинност на (forall xH (x)) е най-ниската от всички съответни степени на истинност на (H (x)) и че степента на истинност на (съществува xH (x)) е върховата точка на всички съответни степени на истинност на (H (x)).

3.3 t-Norm базирани системи

За безкрайно оценени системи със зададена степен на истинност

[W _ { infty} = [0,1] = {x / в / Re / средата 0 / le x / le 1 })

влиянието на размитата теория на множествата от средата на 80-те години на миналия век дава началото на изследването на цял клас такива системи на MVL.

Тези системи се определят основно от (вероятно не идемпотентно) силно съединително съединител (amp _ { rT}), който има съответната степен на истинност функция t-норма (rT), т.е. двоична операция (rT) в единичния интервал, който е асоциативен, комутативен, не намаляващ и има степен 1 като неутрален елемент:

започнете {подравнете} & / rT (u, / rT (v, w)) = / rT (rT (u, v), w), \& / rT (u, v) = / rT (v, u), \& u / le v / rightarrow / rT (u, w) le / rT (v, w), \& / rT (u, 1) = u. / Край {подравняване}

За всички онези t-норми, които имат свойството за запазване на суп

) rT (u, { sup} _ {i} v_ {i}) = { sup} _ {i} rT (u, v_ {i}),)

има стандартен начин за въвеждане на свързана импликация свързана (rightarrow _ { rT}) с функцията степен на истинност

[u / rightarrow _ { rT} v = / sup {z / mid / rT (u, z) le v }.)

Този импликационен съединител е свързан с t-нормата (rT) от решаващото условие за съпричастност

) rT (u, v) le w / Leftrightarrow u / le (v / rightarrow _ { rT} w),)

което определя (rightarrow _ { rT}) уникално за всеки (rT) със свойство за запазване на суп.

Езикът е допълнително обогатен с отрицателен съединител, (-_ { rT}), определен от функцията степен на истинност

[-_ { rT} u = u / rightarrow _ { rT} 0.)

Това принуждава езика да има и постоянна степен на истинност (uO), за да обозначава степента на истината 0, защото тогава (-_ { rT}) се превръща в дефинируем съединител.

Обикновено човек добавя като два допълнителни съединителя (слаба) конюнкция (клин) и разединение (vee) с функции за степен на истинност.

започнете {подравнете} u / клин v & = / мин {u, v }, \\ u / vee v & = / max {u, v }, / end {align}

За t-норми, които са непрекъснати функции (в стандартния смисъл на приемственост за реални функции на две променливи), тези допълнителни съединители стават дори определяеми. Подходящите определения са

започнете {подравнете} мин {u, v } & = / rT (u, (u / rightarrow _ { rT} v)), \\ / max {u, v } & = / min { ((u / rightarrow _ { rT} v) rightarrow _ { rT} v), ((v / rightarrow _ { rT} u) rightarrow _ { rT} u) }. / Край {подравняване}

Конкретни случаи на такива системи, свързани с t-норма, са безкрайно оценените системи Łukasiewicz и Gödel (rL _ { infty}), (rG _ { infty}), а също и логиката на продукта, която има обичайния аритметичен продукт като основна t-норма.

От аналитична гледна точка, за t-норма (rT) тяхното поддържащо запазване е лявата непрекъснатост на тази двоична функция (rT), т.е. свойството, което всяка от унарните функции (rT_ {a} (x) = / rT (a, x)) е останал непрекъснат. И непрекъснатостта на такава t-норма Т може да се характеризира чрез условието за разделяне на алгебраиката

[u / amp _ { rT} (u / rightarrow _ { rT} v) = u / wedge v.)

Класът на всички t-норми е много голям и досега не е много добре разбран. Дори и за онези t-норми, които притежават свойство на запазване на суп, структурното разбиране далеч не е пълно, но много по-добре, както за общия случай: дискусия за скорошното състояние на техниката дава Дженей (2004). Достатъчно добре разбран е само поредният подклас на непрекъснати t-норми: те са добре съставени от изоморфни копия на t-норма Łukasiewicz, продукт t-норма и G -del t-норма, т.е. минималната работа, както е обяснено например в Готвалд (2001).

Всъщност човек е в състояние да аксиоматизира системите, базирани на t-норма, за някои конкретни класове t-норми. Като основен резултат Хаек (1998) даде аксиоматизация на логиката BL на всички непрекъснати t-норми. Освен по-горе споменатата алгебраична семантика тази логика е, както се предполага от Хайек и доказано в Cignoli / Esteva / Godo / Torrens (2000), като друга алгебраична семантика класа на всички структури, базирани на t-норма, чиято t-норма е непрекъсната функция. Въз основа на тази работа, Esteva и Godo (2001) измислят аксиоматизация за логиката MTL на всички t-норми, които имат свойството на запазване на запазването, а Jenei / Montagna (2002) доказа, че това наистина е адекватна аксиоматизация. И Esteva / Godo / Montagna (2004) предлагат метод за аксиоматизиране на логиката на всяка една непрекъсната t-норма:те предоставят алгоритъм, който дава за всяка конкретна непрекъсната t-норма (rT) краен списък от схеми на аксиоми, които, ако бъдат добавени към логиката BL на всички непрекъснати t-норми, дават адекватна аксиоматизация на конкретната t-норма базирана логика за (rT).

Аксиоматизацията на по-нататъшните системи, базирани на t-норма, както и въпросът за квантовете, базирани на t-нормата, са скорошни проблеми в изследванията. Основният акцент се поставя от следните два аспекта, които се отнасят до модификации на изразителната сила на тези системи, базирани на t-норма: (i) укрепване на тази изразимост чрез формиране на системи с допълнителни операции за отрицание или с множество операции за свързване, базирани на t-норма; (ii) модификации на тази изразителност, например чрез изтриване на константата на истинността на степента на истинност (uO) от езика, но добавяне на импликация, свързана с основния речник, и (iii) обобщения, които променят основните t-норми в некомутативни „Псевдо-t-норми“и по този начин водят до логика с некоммутативни съединителни съединители. Проучванията за тези развития бяха дадени от Gottwald / Hájek (2005), Gottwald (2008),и Cintula / Hájek (2010).

Почти пълно представяне на съвременното състояние през 2011 г. е монографията Cintula / Hájek / Noguera (2011). А конкретният принос на П. Хайек към тези развития е отбелязан в книгата „Монтаня“(2015).

3.4 Три ценни системи

3-ценните системи изглеждат особено прости случаи, които предлагат интуитивни интерпретации на степента на истинност; тези системи включват само една допълнителна степен освен класическите стойности на истината.

Математикът и логик Клейн използва трета степен на истинност за „неопределена“в контекста на частични рекурсивни функции. Неговите съединители бяха отрицанието, слабата конюнкция и слабото дизъюнция на 3-стойната система Łukasiewicz заедно с определяем конюнкция (wedge _ {+}) и определяемо импликация (rightarrow _ {+}), определен от Функции на степента на истинност със следните функционални таблици (последните имат степен на истинност ½, ако един от техните съставни части има степен на истинност ½):

(Клин _ {+}) 0 ½ 1
0 0 ½ 0
½ ½ ½ ½
1 0 ½ 1
(СтрелкаНадясно _ {+}) 0 ½ 1
0 1 ½ 1
½ ½ ½ ½
1 0 ½ 1

Тук ½ е третата степен на истината „неопределена“. В тази система Kleene степен 1 е единствената определена степен на истинност.

Blau (1978) използва различна система като присъща логика на естествения език. В системата на Blau са обозначени и степени 1 и ½. Други интерпретации на третата степен на истинност ½, например като „безсмислена“, „неопределена“или „парадоксална“, мотивираха изследването на други 3-ценни системи.

3.5 4-ценната система на Dunn / Belnap

Тази особено интересна система на MVL е резултат от изследванията на логиката на уместността, но има значение и за приложенията в компютърните науки. Неговата степен на истинност може да се приеме като

[W ^ * = { varnothing, { bot }, { top }, { bot, / top } },)

и степента на истинност се интерпретира като посочваща (напр. по отношение на заявка в база данни за някакво конкретно състояние)

  • няма информация относно това състояние на нещата,
  • информация, която казва, че състоянието на нещата се проваля,
  • информация, която казва, че състоянието на нещата се получава,
  • противоречива информация, която казва, че състоянието на нещата се получава, както и че се проваля.

Този набор от степени на истинност има две естествени (решетъчни) подреждания:

  • подредба на истината, която има ({ top }) отгоре на несравнимите степени (varnothing), ({ bot, / top }) и има ({ bot }) на дъното; т.е.

    4V-истина
    4V-истина
  • информационно (или: знание) подреждане, което има ({ бот, / топ }) отгоре на несравнимите степени ({ bot }, { горе }), и има (varnothing) в долната част; т.е.

    4V-инфо
    4V-инфо

Като се има предвид inf и sup при подреждането на истината, има функции за степен на истинност за съединение и съединител на дизъюнкция. Отрицанието по естествен начин се определя от функция степен на истина, която обменя градусите ({ bot }) и ({ top }), и която напуска градусите ({ bot, / top }) и (varnothing) фиксирани.

Всъщност няма стандартен кандидат за импликация, свързан с импликацията, и изборът на определените степени на истинност зависи от предвидените приложения:

  • за приложенията в областта на компютърните науки е естествено да има ({ top }) единствената определена степен,
  • за приложения, които имат значение за логиката, изборът на ({ top }), ({ bot, / top }) като обозначени градуси се оказа адекватен.

Изборът на подходящи взаимоотношения е все още открита изследователска тема.

Тази 4-ценна система има интересна интерпретация в контекста на информационни бази, съхранявани в компютър, което беше обяснено от Belnap (1977). По-ново обобщение от Шрамко / Вансинг (2005) на бази от знания в компютърните мрежи води до 16-ценни системи, които например са проучени от Одинцов (2009).

Тези 16-ценни системи също представляват интерес от философска гледна точка и подробно представени в монографията Shramko / Wansing (2011).

3.6 Продуктови системи

Общият проблем с намирането на интуитивно разбиране на степента на истината понякога има хубаво решение: човек може да ги разглежда като съдържащи различни аспекти на оценката на изреченията. В такъв случай, да речем, (k) различни аспекти, степента на истинност може да бъде избрана като (k) - кратки стойности, които оценяват единичните аспекти. (И това, например, може да са стандартни стойности на истината.)

Функциите на степента на истинност над такива (k) - кортежите допълнително могат да бъдат определени „компонентно“от функциите за степен на истинност (или: стойност на истината) за стойностите на отделните компоненти. По този начин логическите системи (k) могат да бъдат комбинирани в една многозначна продуктова система.

По този начин степента на истинност на 4-ценната система на Дън / Белнап може да се счита за оценка на два аспекта на състояние на нещата (SOA), свързани с база данни:

  1. дали има положителна информация за истинността на този SOA или не, и
  2. дали има положителна информация за лъжливостта на този SOA или не.

И двата аспекта могат да използват стандартни стойности за истинност за тази оценка.

В този случай конюнкцията, дизъюнкцията и отричането на 4-ценната система на Дън / Белнап се дефинират по компонент съответно чрез конюнктура, дизюнкция или отрицание на класическата логика, т.е. тази 4-ценна система е продукт от две копия на класическата двузначна логика.

4. Приложения на многозначна логика

Многозначната логика се мотивира отчасти от философски цели, които никога не са постигнати, и отчасти от формални съображения относно функционалната пълнота. В по-ранните години на развитие това предизвика известни съмнения относно полезността на MVL. Междувременно обаче бяха открити интересни приложения в различни области. Някои от тях сега ще бъдат споменати.

  • 4.1 Приложения към лингвистиката
  • 4.2 Приложения към логиката
  • 4.3 Приложения към философски проблеми
  • 4.4 Приложения към хардуерно проектиране
  • 4.5 Приложения за изкуствен интелект
  • 4.6 Приложения към математиката

4.1 Приложения към лингвистиката

Предизвикателен проблем е третирането на предположенията в лингвистиката, т.е. на предположения, които са имплицитни само в дадено изречение. Така например, изречението „Настоящият крал на Канада е роден във Виена“има екзистенциалната предположение, че съществува настоящ крал на Канада.

Не е проста задача да се разбере предложението за третиране на подобни изречения, например да се дадат критерии за формиране на тяхното отрицание или да се разберат истинските условия на последиците.

Един вид решение за тези проблеми се отнася до използването на много степени на истинност, например към продуктови системи с подредени двойки като степени на истинност: което означава, че техните компоненти оценяват паралелно дали предпоставката е изпълнена и дали изречението е вярно или невярно. Но бяха обсъдени и 3-ценени подходи.

Друг вид идеи за използване на MVL инструменти в лингвистиката се състои в подходи за моделиране на природни езикови явления. Основни идеи и някои приложения се предлагат например в Novák / Perfilieva / Močkoř (1999) и Novák (2008).

4.2 Приложения към логиката

Първият тип приложение на системи от MVL към самата логика е използването им за по-добро разбиране на другите логически системи. По този начин системите на Гьодел възникнаха от подход за проверка дали интуиционистичната логика може да бъде разбрана като логика с крайно значение. Въвеждането на системи на MVL от Łukasiewicz (1920) първоначално се ръководи от (най-накрая неуспешната) идея за разбиране на понятието за възможност, т.е. модална логика, по 3-ценен начин.

Втори вид приложение към логиката е сливането на различни видове логически системи, например формулирането на системи с степенувани модалности. Melvin Fitting (1991/92) разглежда системи, които определят такива модалности чрез сливане на модална и многозначна логика, с предвидени приложения към проблеми на изкуствения интелект.

Трети тип приложение към логиката е моделирането на частични предикати и пропуски в стойността на истината. Това обаче е възможно само доколкото тези пропуски в стойността на истината се държат „истински функционално“, т.е. доколкото поведението на пропуските в стойността на истината в сложните изречения може да бъде описано чрез подходящи функции за истинност. (Това не винаги е така, напр. Не е така във формулировки, които използват свръх оценки.)

4.3 Приложения към философски проблеми

Как да разберем значението на "истината" е стар философски проблем. Логическият подход към този проблем се състои в обогатяване на формализиран език (L) с предикат за истина (T), който да се прилага към изреченията от (L) - или, още по-добре, да се прилага към изреченията на разширението (L_ {T}) на (L) с предиката (T).

Въз основа на тази идея, в средата на 30-те години на миналия век от А. Тарски е разработена разумна теория за такива езици, които съдържат предикати на истината. Един от резултатите беше, че такъв език (L_ {T}), който съдържа свой собствен предикат за истина (T) и има определено богатство в изразителната сила, непременно е непоследователен.

Друг подход към такива езици (L_ {T}), които съдържат свой собствен предикат за истината (T), беше предложен от S. Kripke (1975) и по същество се основава на идеята да се разглежда (T) като частичен предикат, т.е. като предикат, който има „пропуски в стойността на истината“. В случай, който Крипке (1975 г.) счита, че тези пропуски в стойността на истината се държат „истина функционално“и затова могат да бъдат третирани като трета степен на истината. Тяхното разпространение в сложни изречения след това става описателно чрез подходящи функции за степен на истинност на тризначни системи. В подхода на Крипке (1975) това позоваване е на тризначни системи, които SC Kleene (1938) е разгледал в (математическия) контекст на частични функции и предикати в теорията на рекурсията.

Второ приложение на MVL във философията е към старите парадокси като сортитите (купища) или фалакросите (плешив човек). (Вижте вписването Парадокс на Sorites.) В случая със Sorites парадоксът е следният:

(i) Едно зърно пясък не е грамада пясък. И (ii) добавянето на едно зърно пясък към нещо, което не е грамада, не го превръща в грамада. Следователно (iii) едно пясъчно зърно никога не може да се превърне в грамада пясък, без значение колко пясъчни зърна се добавят към него.

Следователно истинската предпоставка (i) дава невярно заключение (iii) чрез последователност от изводи, използвайки (ii). По-скоро естествено решение в продължение на MVL с степенувана представа за извод, често наричана размита логика, е да се приеме понятието за куп като неясно, т.е. като понятие, което може да се отнася за дадени обекти само за някои (истина) степен. Освен това е подходящо да се счита предпоставка (ii) само за частично вярна, но до степен, която е доста близка до максималната степен 1. Тогава всеки един етап на извода е във формата:

  • а) (k) пясъчните зърна не правят грамада.
  • (ii) Добавянето на едно зърно пясък към зърната (k) не превръща зърната ((k + 1)) в грамада.
  • следователно
  • (б) ((k + 1)) пясъчните зърна не правят грамада.

Това заключение обаче трябва да включва степени на истинност за помещенията (а) и (ii) и трябва да осигури степен на истина за заключението (б). Съществената идея за моделирането на този тип разсъждения в MVL е да се гарантира, че степента на истинност за (b) е по-малка от степента на истинност за (a), в случай че степента на истинност за (ii) е по-малка от максималната, В действителност, тогава изречението (n) зърна от пясък не прави купчина склонна към фалшиво за увеличаване на броя (n) зърна.

4.4 Приложения към хардуерно проектиране

Класическата логика на предложенията се използва като технически инструмент за анализ и синтез на някои видове електрически вериги, изградени от „превключватели“с две стабилни състояния, т.е. нива на напрежение. Доста пряко обобщение позволява използването на (m) стойностна логика за обсъждане на вериги, изградени от подобни "превключватели" със стабилни състояния (m). Цялото това поле на приложение на многозначна логика се нарича многозначно (или дори: размито) превключване. Добро въведение е Епщайн (1993).

4.5 Приложения за изкуствен интелект

AI всъщност е най-обещаващата област от приложения, която предлага серия от различни области, в които са използвани MVL системи.

Първата област на приложение се отнася до неясни понятия и здрави разсъждения, например в експертни системи. И двете теми се моделират чрез размити набори и размита логика и те се отнасят до подходящи системи на MVL. Също така в базите данни и в базирани на знания системи обича да съхранява неясна информация.

Втора област на приложение е силно обвързана с тази първа: автоматизацията на извличане на данни и знания. Тук методите на клъстериране се вземат под внимание; те се отнасят чрез нечести клъстери към размити множества и MVL. В този контекст човек се интересува и от автоматизирани техники за доказване на теореми за системи на MVL, както и от методи за логическо програмиране за системи на MVL. Част от тази тенденция е скорошната разработка на обобщена логика на описанието, така наречените неясни логики на описанието, които позволяват включването на технически инструменти (степени на истинност, съединители, степенувани предикати) от полето на MVL в - от гледна точка на пълната логика от първи ред: рудиментарна - логически системи, т. нар. логика на описанието, виж Straccia (2001), Hájek (2005), Stoilos et al. (2008 г.).

4.6 Приложения към математиката

В математиката има три основни теми, които са свързани с многозначна логика. Първият е математическата теория на размитите множества и математическият анализ на „размитите“или приблизителното разсъждение. И в двата случая се говори за системи на MVL. Втората тема бяха подходите към доказателства за последователност за теорията на множествата, като се използва подходяща система от MVL. И има - често само имплицитно - позоваване на основните идеи на MVL в доказателства за независимост (напр. За системи от аксиоми), които често се отнасят до логически матрици с повече от две степени на истинност. Тук обаче MVL е по-скоро чисто технически инструмент, тъй като при тези доказателства за независимост човек изобщо не се интересува от интуитивно разбиране на степента на истинност.

5. История на многозначната логика

Многозначната логика като отделен предмет е създадена от полския логик и философ Łukasiewicz (1920) и е разработена първо в Полша. Първото му намерение беше да използва трета, допълнителна стойност на истината за „възможно“и да моделира по този начин модалностите „това е необходимо“и „възможно е това“. Това предвидено приложение към модалната логика не се осъществи. Резултатът от тези разследвания обаче са системите „Łukasiewicz“и поредица от теоретични резултати относно тези системи.

По същество успореден на подхода Łukasiewicz, американският математик Post (1921) въвежда основната идея за допълнителни степени на истинност и я прилага при проблеми с представителността на функциите.

По-късно Гьодел (1932) се опита да разбере интуиционистичната логика по отношение на много степени на истината. Резултатът беше фамилията на системите на Гьодел и резултат, а именно, че интуиционистичната логика няма характерна логическа матрица със само крайно много степени на истинност. Няколко години по-късно Ясковски (1936) конструира безкрайно ценна характеристична матрица за интуиционистична логика. Изглежда обаче, че степента на истинност на тази матрица няма приятна и проста интуитивна интерпретация.

Философското приложение на 3-ценната логика за обсъждането на парадокси е предложено от руския логик Бочвар (1938), а математическото - за частична функция и отношения от американския логик Клейн (1938). Много по-късно съединителите на Kleene също стават философски интересни като технически инструмент за определяне на фиксирани точки в теорията за ревизия на истината, инициирана от Kripke (1975).

50-те години на миналия век видях (i) аналитична характеристика на функциите на класа на истинността, които могат да се определят в безкрайно оценената система на предложения Łukasiewicz от McNaughton (1951), (ii) доказателство за пълнота на същата система от Chang (1958, 1959), въвеждащо понятието на MV-алгебра и по-традиционна от Роуз / Розер (1958), както и (iii) доказателство за пълнота на безкрайното оценяващо предложение Gödel система от Dummett (1959). 50-те години на миналия век също виждат подход на Сколем (1957 г.) да докаже последователността на теорията на множествата в сферата на безкрайно ценната логика.

През 60-те години на миналия век Скарпелини (1962 г.) поясни, че безкрайната оценка на системата Łukasiewicz от първи ред не е (рекурсивно) аксиоматизируема. Хей (1963), както и Белус / Чанг (1963) доказват, че добавянето на едно правило за инфинитарен извод води до аксиоматизация на (rL _ { infty}). И Хорн (1969) представи доказателство за пълнота на безкрайно ценената логика на Гьодел от първи ред. Освен тези разработки в рамките на чиста многозначна логика, Zadeh (1965) започна подход (ориентиран към приложението) към формализирането на неясните понятия чрез обобщени теоретични средства, който скоро беше свързан от Goguen (1968/69) с философски приложения и който по-късно вдъхнови и много теоретични съображения в рамките на MVL.

70-те години бележат период на ограничена дейност в чиста многозначна логика. Имаше обаче много работа в тясно свързаната област на (компютърните науки) приложения на неясни понятия, формализирани като размити множества, инициирани например от Zadeh (1975, 1979). И имаше важно разширение на MVL чрез степенувана представа за заключение и привличане в Павелка (1979).

През 80-те години размитите набори и техните приложения остават гореща тема, която призовава за теоретични основи чрез методи на многозначна логика. Освен това имаше и първите резултати от сложността, например по отношение на множеството логически валидни формули в неограничена стойност на първия ред от логиката на Łukasiewicz от Ragaz (1983). Mundici (1986) започва по-задълбочено проучване на MV-алгебри.

Тези тенденции продължават от 80-те години. Изследванията включват приложения на MVL към теорията на размитите множества и техните приложения, подробни проучвания на алгебраични структури, свързани със системи на MVL, проучване на степенувани понятия за привличане и проучвания на сложни въпроси за различни проблеми в системите на MVL. Това изследване беше допълнено от интересна работа по теория на доказателствата, върху автоматизирано доказване на теореми, от различни приложения в областта на изкуствения интелект и от подробно проучване на безкрайните системи на базата на t-нормите - които сега често се наричат (математически) размити логики.

библиография

Монографии и анкети

  • Ackermann, R., 1967, Въведение в многозначната логика, Лондон: Routledge и Kegan Paul.
  • Болк, Л. и Боровик, П., 1992, Многозначна логика (1. Теоретични основи), Берлин: Спрингер.
  • –––, 2003 г., Многозначна логика (2. Автоматично обосноване и практически приложения), Берлин: Спрингер.
  • Cignoli, R., d'Ottaviano, I. and Mundici, D., 2000, Algebraic Основи на многоценното разсъждение, Dordrecht: Kluwer.
  • Cintula, P. and Hájek, P., 2010, Триъгълна норма, базирана на предикатични размити логики, Fuzzy Sets and Systems, 161 (3): 311–346.
  • Cintula, P., Hájek, P. и Noguera Ch. (изд.), 2011 г., Наръчник по математическа размита логика (Изследвания по логика, Томове 37–38), Колеж публикации: Лондон.
  • Epstein G., 1993, Многозначен логически дизайн, Бристол: Издателство за физика.
  • Fitting, M. and Orlowska, E. (ред.), 2003, Beyond Two, Heidelberg: Physica Verlag.
  • Gottwald, S., 1999, Многозначна теория и размита теория на множествата, в U. Höhle, SE Родабо (ред.) Математика на размитите набори: Логика, Топология и теория на мерките (Наръчниците от серията Fuzzy Sets), Бостън: Kluwer, 5–89.
  • –––, 2001, Трактат за многозначната логика (Изследвания в логиката и изчисленията, том 9), Балдок: Research Studies Press Ltd..
  • –––, 2007, Многозначна логика, в Д. Жакет (изд.) „Философия на логиката“(Наръчник на серията „Философия на науката“), Амстердам: Северна Холандия, 675–722.
  • –––, 2008, Математическа размита логика, Бюлетин символична логика, 14: 210–239.
  • Gottwald, S. and Hájek, P., 2005, базирана на T-норма математически размити логики, в Е.-П. Klement, R. Mesiar (ред.), Логически, алгебраични, аналитични и вероятностни аспекти на триъгълните норми, Dordrecht: Elsevier, 275-299.
  • Hähnle, R., 1993, Автоматично приспадане в многозначна логика, Оксфорд: Clarendon Press.
  • –––, 1999, Tableaux за многозначни логики, в M. d'Agostino et al. (изд.) Наръчник по методите на Tableau, Dordrecht: Kluwer, 529–580.
  • –––, 2001, Разширена многозначна логика, в D. Gabbay, F. Guenthner (ред.), Наръчник по философска логика (том 2), 2-ро издание, Dordrecht: Kluwer, 297–395.
  • Hájek, P., 1998, Metamathematics of Fuzzy Logic, Dordrecht: Kluwer.
  • Karpenko, AS, 1997, Mnogoznacnye Logiki (Logika i Kompjuter, vol. 4), Москва: Nauka.
  • Malinowski, G., 1993, Многозначна логика, Оксфорд: Clarendon Press.
  • Metcalfe, G., Olivetti, N. and Gabbay, D., 2009, Proof Theory for Fuzzy Logics, New York: Springer.
  • Монтаня, Ф. (изд.), 2015, Петр Хайек по математическа размита логика (изключителни приноси към логиката, том 6), Cham etc.:Springer.
  • Novák, V., Perfilieva, I. and Močkoř, J., 1999, Mathematical Principles of Fuzzy Logic, Boston: Kluwer.
  • Panti, G., 1998, Многозначна логика, в P. Smets (съст.) Количествено представяне на несигурността и неточността (Наръчник на системите за управление на обосновано разсъждение и несигурност, том 1), Dordrecht: Kluwer, 25–74.
  • Rescher, N., 1969, Многозначна логика, Ню Йорк: McGraw Hill.
  • Rine, DC (изд.), 1977 г., Компютърни науки и многозначна логика, Амстердам: Северна Холандия [2nd rev. изд. 1984].
  • Rosser, JB and Turquette, AR, 1952, Многозначна логика, Амстердам: Северна Холандия.
  • Shramko, Y. и Wansing H., 2011, Истината и лъжата. Запитване за обобщени логически стойности (тенденции в логиката: том 36), Дордрехт и др.: Спрингер.
  • Urquhart, A., 2001, Основна многозначна логика, в D. Gabbay, F. Guenthner (ред.), Handbook of Philosophical Logic, Vol. 2 (2d издание), Dordrecht: Kluwer, 249–295.
  • Wojcicki, R. и Malinowski, G. (ред.), 1977 г., Избрани доклади за Łukasiewicz Sentential Calculi, Wroclaw: Ossolineum.
  • Wolf, RG, 1977, Изследване на многозначна логика (1966–1974), в JM Dunn, G. Epstein (ред.), Съвременни приложения на многозначната логика, Dordrecht: Reidel, 167–323.
  • Зиновев, А. А., 1963, Философски проблеми на многозначната логика, Дордрехт: Райдел.

Други цитирани произведения

  • Belluce, LP и Chang, CC, 1963, Слаба теорема за пълнота за безкрайно оценена логика от първи ред, Journal Symbolic Logic, 28: 43–50.
  • Belnap, ND, 1977, Как компютърът трябва да мисли, в G. Ryle (ed.), Contemporary Aspects of Philosophy, Stockfield: Oriel Press, 30–56.
  • –––, 1977 г., Полезна четиризначна логика в JM Dunn, G. Epstein (ред.), Съвременни приложения на многозначна логика, Dordrecht: Reidel, 8–37.
  • Blau, U., 1978, Die dreiwertige Logik der Sprache: ihre Syntax, Semantik und Anwendung in der Sprachanalyse, Berlin: de Gruyter.
  • Bochvar, DA, 1938, Ob odnom trechznacnom iscislenii i его primenenii k анализu paradoksov klassiceskogo rassirennogo funkcional'nogo iscislenija, Matematiceskij Sbornik, 4 (46): 287–308. [Английски превод: Bochvar, DA, относно тризначното логическо смятане и приложението му към анализа на парадоксите на класическото разширено функционално смятане, History and Philosophy of Logic, 2: 87–112.]
  • Chang, CC, 1958, Алгебраичен анализ на много ценни логики, Американско математическо дружество, 88: 476–490.
  • –––, 1959 г., Ново доказателство за пълнотата на аксиомите Łukasiewicz, Американско математическо дружество за транзакции, 93: 74–80.
  • Cignoli, R., Esteva, F., Godo, L. and Torrens, A., 2000, Basic Fuzzy Logic е логиката на непрекъснатите t-норми и техните остатъци, Soft Computing, 4: 106-112.
  • Dummett, M., 1959, Предлагане на смятане с неизчерпаема матрица, Journal Symbolic Logic, 24: 97–106.
  • Dunn, JM, 1976, Интуитивна семантика за първа степен и „свързани дървета“, Философски изследвания, 29: 149–168.
  • Естева, Ф. и Годо, Л., 2001, Логика на моноидална t-норма: към логика за леви непрекъснати t-норми, Fuzzy Sets and Systems, 124: 271–288.
  • Естева, Ф., Годо, Л. и Монтаня, Ф., 2004, Изравнителна характеристика на поредицата на BL, генерирани от алгебри на t-норма, Studia Logica, 76: 161–200.
  • Fermüller, CG, 2008 г., Диалогови игри за многозначна логика - преглед, Studia Logica, 90: 43–68.
  • Fermüller, CG и Metcalfe, G., 2009, играта на Giles и теорията на доказателствата на логиката на Łukasiewicz, Studia Logica, 92: 27–61.
  • Fermüller, CG и Roschger, C., 2014, От игри до функции на истината: обобщение на играта на Giles, Studia Logica, 102: 389–410.
  • Fitting, MC, 1991/92, Многозначни модални логики (I, II), Fundamenta Informaticae, 15: 235–254; 17: 55–73.
  • Giles, R., 1974, Некласическа логика за физика, Studia Logica, 33: 397–415.
  • –––, 1975. logicukasiewicz логика и теория на размитите множества. В: Сборник 1975 Internat. Симпозиум с многозначна логика (Индиана Унивр., Блумингтън / IN)}, Лонг Бийч / Калифорния: IEEE Computer Soc., 197–211.
  • –––, 1976, logicukasiewicz логика и теория на размитите множества. Internat. Journ. Изследвания на човек и машина, 8: 313–327.
  • –––, 1979 г., формална система за размити разсъждения. Размити комплекти и системи, 2: 233–257.
  • Giles, R., 1988, Концепцията за степен на членство. Размити комплекти и системи, 25: 297–323.
  • Gödel, K., 1932, Zum intuitionistischen Aussagenkalkül, Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien (Math.-naturwiss. Klasse), 69: 65–66; - препечатано: (1933), Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums, 4: 40.
  • Goguen, JA, 1968–69, Логиката на неточните понятия, Synthese, 19: 325–373.
  • Hájek, P., 2005, По-обща логика на размитото описание, Fuzzy Sets and Systems, 154: 1–15.
  • Hájek, P. and Zach, R., 1994, Преглед на многозначната логика 1: Теоретични основи, от Леонард Болк и Пьотр Боровик, Списание за приложна некласическа логика, 4 (2): 215–220.
  • Hay, LS, 1963, Аксиоматизация на безкрайно оцененото предикатно смятане, списание Symbolic Logic, 28: 77–86.
  • Jaskowski, S., 1936, Recherches sur le système de la logique intuitioniste, in Actes du Congrès Internationale de Philosophie Scientifique 1936, vol. 6, Париж, 58–61. [Английски превод: Studia Logica, 34 (1975): 117–120.]
  • Jenei, S., 2004, Как да се конструират лево-непрекъснати триъгълни норми - най-съвременни, Fuzzy Sets and Systems, 143: 27–45.
  • Jenei, S. и Montagna, F., 2002, Доказателство за стандартната пълнота на логиката на Естева и Годо MTL, Studia Logica, 70: 183–192.
  • Kleene, SC, 1938, За нотация за порядъчни числа, Journal Symbolic Logic, 3: 150–155.
  • Kripke, SA, 1975, Очертание на теорията на истината, Journal of Philosophy, 72: 690–716.
  • Łukasiewicz, J., 1920, O logice trojwartosciowej, Ruch Filozoficny, 5: 170–171. [Английски превод на: Łukasiewicz (1970).]
  • –––, 1970, Избрани произведения, Л. Борковски (съст.), Амстердам: Северна Холандия и Варшава: PWN.
  • McNaughton, R., 1951, Теорема за безкрайно ценна сетенциална логика, Journal Symbolic Logic, 16: 1–13.
  • Mundici, D., 1986, Интерпретация на AF C * -алгебри в tenukasiewicz сентенциално смятане, J. Функционален анализ, 65: 15–63.
  • –––, 1992, Логиката на играта на Улам с лъжите, в: C. Bicchieri и ML dalla Chiara (ред.) Знание, вяра и стратегическо взаимодействие, Cambridge: Cambridge Univ. Преса, 275–284.
  • Novák, V., 2008, Официална теория за междинните квантори, Размити набори и системи, 159: 1229–1246.
  • Одинцов, СП, 2009, относно аксиоматизирането на логиката на Шрамко-Уансинг, Studia Logica, 91: 407–428.
  • Post, EL, 1920, Определяне на всички затворени системи от таблици за истинност, Бюлетин Американско математическо общество, 26: 437.
  • –––, 1921 г., Въведение в общата теория на елементарните предложения, American Journal Mathematics, 43: 163–185.
  • Ragaz, M., 1983, Die Unentscheidbarkeit der einstelligen undndlichwertigen Prädikatenlogik, Archiv mathematische Logik Grundlagenforschung, 23: 129–139.
  • Rose, A. and Rosser, JB, 1958 г., фрагменти от многозначни калкулации на изявления, Американско математическо дружество, 87: 1–53.
  • Scarpellini, B., 1962, Die Nichtaxiomatisierbarkeit des undndlichwertigen Prädikatenkalküls von Łukasiewicz, Journal Symbolic Logic, 27: 159–170.
  • Shramko, Y. и Wansing H., 2005, Някои полезни 16-стойни логики. Как трябва да мисли компютърната мрежа, сп. „Философска логика“, 34: 121–153.
  • Skolem, Th., 1957, Bemerkungen zum Kompressionnsionsaxiom, Zeitschrift mathematische Logik Grundlagen Mathematik, 3: 1–17.
  • Stoilos, G. Stamou, G., Pan, JZ, Touvaras, V., and Horrocks, I., 2007, Reasoning with zelo expressic fugzy description logic, J. Artificial Intelligence Res, 30: 273–320.
  • Straccia, U. (2001), Разсъждение в неясни описателни логики, J. Artificial Intelligence Res, 14: 137–166.
  • Уайт, RB, 1979, Съгласуваността на аксиомата на разбирането в безкрайната логика на предиката на Łukasiewicz, J. Philosophical Logic, 8: 509–534.
  • Wronski, A., 1987, Забележки към статия за изследване на много ценена логика от A. Urquhart, Studia Logica, 46: 275-227.
  • Zadeh, LA, 1965, Fuzzy комплекти, информация и контрол, 8: 338–353.
  • –––, 1975, Неясна логика и приблизителни разсъждения, Синтез, 30: 407–428.
  • –––, 1978, Fuzzy поставя като основа за теория на възможностите, Fuzzy Sets and Systems, 1: 3–28.
  • –––, 1979, Теория за приблизителните разсъждения в JE Hayes, D. Michie, LI Mikulich (ред.), Machine Intelligence 9. Ню Йорк: Halstead Press, 149–194.

Академични инструменти

сеп човек икона
сеп човек икона
Как да цитирам този запис.
сеп човек икона
сеп човек икона
Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
inpho икона
inpho икона
Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
Фил хартия икона
Фил хартия икона
Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси

  • Технически комитет на IEEE CS по многозначна логика, Yutaka Hata, редактор на бюлетини.
  • Списание за многозначни логически и меки изчисления, Дан А. Симовичи и Иван Стойменович, управляващи редактори.

Препоръчано: