Теоремата на Кохен-Спекер

2023 Автор: Noah Black | [email protected]. Последно модифициран: 2023-08-25 04:38

Навигация за влизане

• Съдържание за участие
• библиография
• Академични инструменти
• Friends PDF Preview
• Информация за автора и цитирането
• Върнете се в началото

Теоремата на Кохен-Спекер

Публикувана за първи път от 11 септември 2000 г.; съществена ревизия сря 7 февруари 2018 г.

Теоремата на Кохен-Спекер е важна и фина тема в основите на квантовата механика (QM). Теоремата демонстрира невъзможността за определен тип интерпретация на QM по отношение на скрити променливи (HV), която естествено предполага себе си, когато човек започне да разглежда проекта за интерпретация на QM. Тук представяме теоремата / аргумента и основополагащата дискусия около него различни нива. Читателят, който търси бърз преглед, трябва да прочете следните раздели и подраздели: 1, 2, 3.1, 3.2, 4 и 6. Тези, които прочетат целия запис, ще намерят доказателства за някои нетривиални твърдения в допълнителни документи.

• 1. Въведение
• 2. Основи на теоремата на KS

• 3. Изявление и доказателство на теоремата на KS

  • 3.1 Изявление на теоремата на KS
  • 3.2 Бърз аргумент на KS в четири измерения (Cabello et al.)
  • 3.3 Оригиналният аргумент на KS. Технически предварителни предложения
  • 3.4 Оригиналният аргумент на KS. Скица на доказателството
  • 3.5 A Статистически аргумент на KS в три измерения (Clifton)
• 4. Принципът на функционалния състав

• 5. Бягство от аргумента на KS

  • 5.1 Няма определена обща стойност
  • 5.2 Отказ от ценностен реализъм
  • 5.3 Контекстуалност
• 6. Въпросът за емпиричното тестване
• библиография
• Академични инструменти
• Други интернет ресурси
• Свързани записи

1. Въведение

QM има свойственото свойство, което квантовомеханичните състояния предполагат като цяло само статистически ограничения върху резултатите от измерванията. Естественият извод, който трябва да се направи, е, че тези състояния са непълни описания на квантовите системи. Следователно QM би бил непълен в смисъл, че типичното описание на състоянието на QM на отделна система може да бъде допълнено с по-пълно описание от гледна точка на HV теория. В HV описание на системата вероятностите за QM биха били естествено интерпретирани като епистемични вероятности от рода, които възникват в обикновената статистическа механика. Такова HV описание може да не е практически полезно, но човек се изкушава да мисли, че по принцип би трябвало да е възможно. Съществуват обаче две мощни теореми, според които подобно описание подлежи на сериозни ограничения: QM,като се имат предвид поне поне правдоподобни предпоставки, не може да бъде допълнено от теория за HV. По-известната от тези две теореми е теоремата на Бел, която гласи, че предвид предпоставката за локалност, HV модел не може да съответства на статистическите прогнози на QM. Втората важна безпроблемна теорема срещу HV теориите е теоремата на Кохен и Спекер (KS), която гласи, че предвид предпоставката за неконтекстуалност (трябва да се обясни понастоящем) някои набори от наблюдаеми QM изобщо не могат да бъдат присвоявани стойности (дори преди възниква въпросът за тяхното статистическо разпределение). Втората важна безпроблемна теорема срещу HV теориите е теоремата на Кохен и Спекер (KS), която гласи, че предвид предпоставката за неконтекстуалност (трябва да се обясни понастоящем) някои набори от наблюдаеми QM изобщо не могат да бъдат присвоявани стойности (дори преди възниква въпросът за тяхното статистическо разпределение). Втората важна безпроблемна теорема срещу HV теориите е теоремата на Кохен и Спекер (KS), която гласи, че предвид предпоставката за неконтекстуалност (трябва да се обясни понастоящем) някои набори от наблюдаеми QM изобщо не могат да бъдат присвоявани стойности (дори преди възниква въпросът за тяхното статистическо разпределение).

Преди да разгледаме подробно работата на теоремата на KS, трябва да изясним защо тя е от значение за философите на науката. Изричното предположение за HV тълкувания, както е разбрано по-долу, е една от определените стойности:

(VD) Всички наблюдавани дефинирани за QM система имат определени стойности по всяко време.

(Обърнете внимание, че за Bohmian Mechanics често разглеждан като HV интерпретация на QM, това твърдение би трябвало да бъде квалифицирано.) ^[1] VD се мотивира от очевидно безобидно предположение за експериментални резултати, което се отразява в обичая да се позовава на квантови експерименти като "измервания", а именно, че тези експерименти разкриват долини, които съществуват независимо от измерването. (Обърнете внимание, че тук не е необходимо да приемаме, че стойностите са вярно разкрити чрез измерване, а само че съществуват!) Това предполага второ, на пръв поглед безобидно предположение, за неконтекстуалността:

(NC) Ако система за QM притежава свойство (стойност на наблюдаемо), тогава тя прави това независимо от всеки контекст на измерване, т.е. независимо от това как тази стойност в крайна сметка се измерва.

Когато се прилага за специфични свойства, които могат да бъдат измерени при различни несъвместими измервания, NC казва, че тези свойства са еднакви в тези различни ситуации на измерване.

Нека предположим, че ние приемаме обичайното свързване на свойствата на квантова система, тоест да-не-наблюдателни и оператори на проекция в пространството на Хилберт на системата.

(O) Съществува еднозначно съответствие между свойствата на квантова система и операторите на проекция в пространството на Хилберт на системата

Теоремата на KS установява противоречие между VD + NC + O и QM; по този начин, приемането на QM логично ни принуждава да се откажем или от VD, или от NC, или от O.

Ако теорията на HV, отговаряща на тези условия, беше възможна, ние бихме имали естествено обяснение на статистическия характер на QM и елегантен начин за решаване на скандалния проблем с измерванията, преследващ всички интерпретатори на QM (виж статията за квантовата механика и раздела за проблем с измерването във вписването за философските въпроси в квантовата теория за подробности). Това, което теоремата на KS показва, е, че теория за HV от най-правия вид, отговаряща на тези условия, не е опция. В програмата HV се оставят само опции, които нарушават едно или повече от тези условия; вижте записи за бохманската механика и модални интерпретации на квантовата механика.

2. Основи на теоремата на KS

По-нататък ще предположим известно запознаване с елементарни QM понятия като „състояние“, „наблюдаем“, „стойност“и техните математически представители „вектор“, „(самоприсъединителен) оператор“и „собствено значение“[вижте записа на квантова механика за подробности]. Обикновено ще идентифицираме наблюдателните и операторите в подходящо пространство на Хилберт, които ги представляват; ако има нужда от разграничаване на оператори и наблюдаеми, пишем операторите, подчертани и с удебелен шрифт. (По този начин оператор A представлява наблюдаван А.)

Настоящият раздел съдържа някои елементи от историческия и систематичен фон на теоремата на KS. Най-важното е да се вземат предвид аргументът на фон Нойман (1932 г.), теоремата на Глисън (1957 г.) и критичното обсъждане на двете плюс по-късен аргумент на Бел (1966 г.). Фон Нойман в своята известна книга от 1932 г. Die mateischen Grundlagen der Quantenmechanik оспорва възможността за осигуряване на QM в основата на HV. Той даде аргумент, който се свежда до следното: Помислете математическия факт, че ако A и B са самоприсъединяващи се оператори, то всяка реална линейна комбинация от тях (всяка C = α A + β B, където α, β са произволни реални числа) също е самоприсъединяващ се оператор. QM по-нататък диктува, че:

1. Ако A и B (представени от самоприсъединяващи се оператори A и B) са наблюдаеми в една система, тогава има една наблюдаема С (представена от самоприсъединителен оператор C, дефиниран както преди) в същата система.
2. Ако за всяко състояние на QM стойностите на очакванията на A и B са дадени от <A> и <B>, тогава стойността на очакването на C се дава от <C> = α <A> + β <B>.

Сега помислете за A, B, C, както по-горе, и приемете, че имат определени стойности v (A), v (B), v (C). Помислете за „скрито състояние“V, което определя v (A), v (B), v (C). Тогава можем да извлечем от V тривиалните „стойности на очакване“, които са само самите притежавани стойности: <A> _V = v (A) и т.н. ^[2] Разбира се, тези „стойности на очакване“по принцип не се равняват на QM: <A> _V ≠ <A> (наистина бихме мислили за последното като средни стойности спрямо първите за различни скрити състояния V!), Фон Нойман обаче изисква <A> _V, подобно на <A>, да съответства на (2). Това автоматично води до това, че самите стойности трябва да съответстват на условие, успоредно на (2), т.е.:

v (C) = α v (A) + β v (B)

Това обаче е невъзможно като цяло. Един пример много лесно показва как (3) е нарушен, но поради своята простота той показва и неадекватността на аргумента. (Този пример не се дължи на самия фон Нойман, а на Бел! ^[3]) Нека A = σ _x и B = σ _y, тогава операторът C = (σ _x + σ _y) / √2 съответства на наблюдаваното от завъртане на компонент по посоката, разделяща x и y. Сега всички компоненти на въртене имат (в подходящи единици) възможни стойности само 1, така че HV привърженикът е принуден да приписва ± 1 на A, B, C като стойности и по този начин като "стойности на очакванията". Но (3) сега очевидно не може да бъде изпълнено, тъй като ± 1 ≠ (± 1 + ± 1) / √2.

Примерът илюстрира защо аргументът на фон Нойман е незадоволителен. Никой не оспорва преминаването от (2) към (3) за съвместими наблюдаеми, т.е. тези, които според QM са съвместно измерими в едно споразумение. Горният избор на A, B, C, обаче, е такъв, че всеки от тях е несъвместим, т.е. не се наблюдават съвместно. За това няма да искаме да изискваме интерпретация на HV, за да отговаряме (3), а само (2). Скритите стойности не трябва да съответстват на (3) като цяло, само средните стойности на техните стойности в серия от тестове трябва да съответстват на (2). Авторитетът на аргумента на фон Нойман идва от факта, че изискванията (1) и (2) за състоянията на QM са последици от QM формализма, но това само по себе си не оправдава разширяването на тези изисквания към хипотетичните скрити състояния. Всъщност, ако (3) са неограничено верни,това би обяснило добре, при наличието на скрити стойности, защо (2) е. Фон Нойман очевидно е смятал, че привърженикът на HV се ангажира с това обяснение, но това изглежда неправдоподобно ограничение.

Теоремата на KS отстранява този дефект и по този начин засилва делото срещу HV теориите, доколкото предполага (3) само за набори от наблюдателни {A, B, C}, които са взаимно съвместими. Теоремата изисква, че само за съвместими наблюдения предположение (3) трябва да има.

Втората, независима мисловна линия, водеща към теоремата на KS, е предоставена от теоремата на Глисън (Gleason 1957). Теоремата гласи, че в пространството на Хилберт с размер, по-голям или равен на 3, единствените възможни мерки за вероятност са мерките μ (P _α) = Tr (P _α W), където P _α е проекционен оператор, W е статистическият оператор, характеризиращ действителното състояние на системата и Tr е операцията на проследяване. ^[4] P _αможе да се разбира, че представлява наблюдение да, не, т.е. въпроси за това дали една QM система, „живееща“в такова Хилбертово пространство, има свойство α или не и всяко възможно свойство α е свързано уникално с вектор | α> в пространството - така, задачата е да се присвоят недвусмислено вероятностите на всички вектори в пространството. Сега мярката QM μ е непрекъсната, така че в действителност теоремата на Gleason доказва, че всяко вероятностно присвояване на всички възможни свойства в триизмерното хилбертово пространство трябва да е непрекъснато, т.е. трябва непрекъснато да преброява всички вектори в пространството в интервала [0, 1]. От друга страна, HV теорията (ако се характеризира с VD + NC) би предполагала тази на всяко свойство, можем да кажем дали системата го има или не. Това дава тривиална вероятностна функция, която картографира всички P _αдо 1 или 0 и при условие, че и двете стойности 1 и 0 се появяват (което тривиално следва от интерпретирането на числата като вероятности), тази функция трябва ясно да бъде прекъсната (срв. Redhead 1987: 28).

Доказателството за теоремата на Глисън е прословуто сложно. Забележително е обаче, че тази последица от теоремата на Глисън може да бъде получена по-директно чрез средства, много по-елементарни от тези, използвани в доказателството на Глисън. Бел (1982: 994, 1987: 164) кредитира Дж. М. Яуч, като привлече вниманието му (през 1963 г.) към теоремата на Глисън и изтъква, че тя предполага засилване на резултата на фон Нойман, като изискването за прибавка е само за извеждане на наблюдаеми. След това Бел продължава да доказва резултата по елементарен начин, без да използва доказателството на Глисън (Бел 1966). Непознат за Бел, Specker вече беше стигнал до този резултат, като се споменава (но не е представен) в Specker (1960), като ein elementargeometrisches Argument. ^[5]Аргументът е представен в Kochen and Specker (1967). Доказателството на Бел и доказателството на Кохен-Спекер използват подобни конструкции в триизмерното хилбертово пространство, макар и да се различават по детайлите си. Kochen и Specker продължават да изрично изграждат ограничен набор от проекции, на които не могат да бъдат присвоени стойности, подчинени на ограничението, което изискването за добавка (3) има, когато A и B комутират. Въпреки че Бел не прави това, човек може лесно да получи от конструкцията на Бел също така и ограничен набор от наблюдения, които не могат да бъдат присвоени стойности, подчинени на ограничението на добавката за коммутиране на наблюдаеми (виж Mermin 1993).

След като предложи своя вариант на аргумента срещу теориите на HV от теоремата на Глисън, Бел пристъпва към критиката си. Стратегията му е успоредна на тази срещу фон Нойман. Бел посочва, че неговият собствен аргумент от типа на Глисън срещу произволна близост на две точки с противоположна стойност предполага нетривиални отношения между стойности на незаменяеми наблюдения, които са обосновани само при предположение за неконтекстуалност (NC). Той предлага като анализ на това, което се е объркало, че собственият му аргумент „мълчаливо приема, че измерването на наблюдаемо трябва да даде същата стойност, независимо от това какви други измервания могат да бъдат направени едновременно“(1966: 9). В противовес на фон Нойман, аргументът от типа на Глисън произвежда ограничения за присвояване на стойности като (3) само за набори от съвместими наблюдения;но все пак един и същ наблюдаван може да бъде член на различни набори за комутиране и е важно за аргументите, че наблюдаваното получава една и съща стойност и в двата набора, т.е., че присвояването на стойност не е чувствително към контекст.

3. Изявление и доказателство на теоремата на KS

3.1 Изявление на теоремата на KS

Изричното изявление на теоремата на KS работи така:

Нека H е хилбертово пространство на векторите на състоянието на QM с размерност x ≥ 3. На Н има множество M от наблюдателни елементи, съдържащи y елементи, така че следните две предположения са противоречиви:

(KS1) Всички y членове на M едновременно имат стойности, т.е. недвусмислено се картографират в реални числа (обозначени, за наблюдаеми A, B, C,…, чрез v (A), v (B), v (C),…), (KS2) Стойностите на всички наблюдавани в M съответстват на следните ограничения:

(a) Ако A, B, C са всички съвместими и C = A + B, тогава v (C) = v (A) + v (B);

(б) ако A, B, C са всички съвместими и C = A · B, тогава v (C) = v (A) · v (B).

Предполагането KS1 на теоремата очевидно е еквивалент на VD. Предположенията KS2 (a) и (b) в литературата се наричат съответно Правилото на сумата и Правилото на продукта. (Читателят отново трябва да отбележи, че в противовес на имплицитната предпоставка на фон Нойман, тези правила нетривиално свързват стойностите само на съвместими наблюдателни елементи.) И двете са последици от по-дълбок принцип, наречен принцип на функционалната композиция (FUNC), който от своя страна е следствие от (сред другите предположения) НК. Връзката между NC, FUNC, Правило за суми и Правило за продуктите ще бъде изрично посочена в Раздел 4.

Теоремата на KS твърди съществуването на множество M с определено свойство (т.е. са такива, че KS1 и KS2 са противоречиви) ^[6]и доказателството продължава чрез изрично представяне на такъв набор за различни избори на x и y. В оригиналното KS доказателство x = 3 и y = 117. Съвсем наскоро доказателства, включващи по-малко наблюдаеми, са дадени (между много други) Peres (1991, 1995) за x = 3 и y = 33, от Kernaghan (1994) за x = 4 и y = 20 и от Cabello et al. (1996) за x = 4 и y = 18. Доказателството за KS е прословуто сложно и ще го скицираме само в раздел 3.4. Доказателството за Peres установява резултата на KS в пълна сила, с голяма простота и освен това по интуитивно достъпен начин, тъй като работи в три измерения; насочваме читателя към Перес (1995: 197–99). Доказателствата от Kernaghan и Cabello et al. всеки установява противоречие в четири измерения. Това са, разбира се, по-слаби резултати,отколкото теоремата на KS (тъй като всяко противоречие в 3 измерения също е противоречие в по-високи измерения, но не и обратното). Тези други доказателства обаче са много прости и поучителни. Освен това може да се покаже (Pavičić et al. 2005), че y = 18 е най-ниското число, за което теоремата на KS е вярна, така че започваме с представянето на доказателството на Кабело и неговите колеги в раздел 3.2. И накрая, в раздел 3.5, ние обясняваме аргумент от Клифтън (1993), където x = 3 и y = 8 и допълнително статистическо предположение дава лесен и поучителен аргумент на KS.така че започваме с представянето на доказателството за Кабело и неговите колеги в раздел 3.2. И накрая, в раздел 3.5, ние обясняваме аргумент от Клифтън (1993), където x = 3 и y = 8 и допълнително статистическо предположение дава лесен и поучителен аргумент на KS.така че започваме с представянето на доказателството за Кабело и неговите колеги в раздел 3.2. И накрая, в раздел 3.5, ние обясняваме аргумент от Клифтън (1993), където x = 3 и y = 8 и допълнително статистическо предположение дава лесен и поучителен аргумент на KS.

3.2 Бърз аргумент на KS в четири измерения (Cabello et al.)

Особено лесен аргумент на KS протича в четириизмерно пространство на Хилберт H ₄. Ще използваме следното, което ще бъде доказано в следващия раздел:

(1) От KS2 можем да извлечем ограничение за присвояване на стойности на проекционните оператори, а именно, че за всеки набор от проекционни оператори P ₁, P ₂, P ₃, P ₄, съответстващи на четирите различни собствени стойности q ₁, q ₂, q ₃, q ₄ от наблюдаван Q на H4, има следните стойности:

(VC1 ') v (P ₁) + v (P ₂) + v (P ₃) + v (P ₄) = 1, където v (P _i) = 1 или 0, за i = 1, 2, 3, 4.

((VC1 ') е вариант на (VC1), който изрично доказваме в следващия раздел.) Това означава, че на всеки набор от четири ортогонални лъча в Н4 точно на един е присвоено числото 1, на останалите 0.

(2) Въпреки че споменатото в теоремата пространство на Хилберт, за да е подходящо за QM, трябва да е сложно, достатъчно е, за да се покаже несъответствието на претенциите KS1 и KS2, да се разгледа истинско хилбертово пространство със същото измерение, Така че вместо H4 считаме истинско хилбертово пространство R4 и превеждаме VC1 'в изискването: На всеки набор от ортогонални лъчи в R4 точно на един е присвоено число 1, а на останалите 0. Както обикновено в литературата, превеждаме всички това е следният проблем с оцветяването: От всеки набор от ортогонални лъчи в R4 точно един трябва да бъде оцветен в бяло, а останалите в черен цвят. Това обаче е невъзможно, както е показано веднага от следната таблица (Cabello et al. 1996):

0,0, 0,1	0,0, 0,1	1, -1, 1, −1	1, -1, 1, −1	0,0, 1,0	1, −1, −1,1	1,1, -1,1	1,1, -1,1	1,1, 1, -1
0,0, 1,0	0,1, 0,0	1, −1, −1,1	1,1, 1,1,	0,1, 0,0	1,1, 1,1	1,1, 1, -1	-1,1, 1,1	-1,1, 1,1
1,1, 0,0	1,0, 1,0	1,1, 0,0	1,0, -1,0	1,0, 0,1	1,0, 0, −1	1, -1, 0,0	1,0, 1,0	1,0, 0,1
1, -1, 0,0	1,0, -1,0	0,0, 1,1	0,1, 0, −1	1,0, 0, −1	0,1, -1,0	0,0, 1,1	0,1, 0, −1	0,1, -1,0

В тази таблица има 4 x 9 = 36 записа. Тези записи са взети от набор от 18 лъча и всеки лъч се появява два пъти. Лесно е да се провери дали всяка колона в таблицата представлява набор от четири ортогонални лъча. Тъй като има 9 колони, трябва да завършим с нечетен брой записи на таблицата, оцветени в бяло. Но тъй като всеки лъч се появява два пъти всеки път, когато оцветим един от тях в бяло, ние се ангажираме да оцветим четен брой от записите в бяло. От това следва, че общият брой на записите в таблицата, оцветени в бяло, трябва да бъде четен, а не нечетен. По този начин, оцветяване на тези 18 лъча в съответствие с VC1 'е невъзможно. (Забележете за бъдеща справка, че първата част на аргумента - аргументът за „странно“- използва само VC1 “, докато втората - аргументът за„ четно “- основно разчита на NC,като приемем, че при поява на един и същ лъч в различни колони е присвоен един и същ номер!)

3.3 Оригиналният аргумент на KS. Технически предварителни предложения

Оригиналното KS доказателство работи върху триизмерно сложно хилбертово пространство H ₃. Това изисква две неща: (1) набор от тройни лъчи, които са ортогонални в H ₃; (2) ограничение за ефекта, че на всеки ортогонален тройно един лъч получава номер 1, а на другите два 0. И двете могат да бъдат постигнати, както следва:

Ние считаме произволен оператор Q на H ₃ с три различни собствени стойности q ₁, q ₂, q ₃, неговите собствени вектори | q ₁ >, | q ₂ >, | q ₃ > и оператори на проекция P ₁, P ₂, P _3, изпъкнали върху лъчите, обхванати от тези вектори. Сега P ₁, P ₂, P ₃ са наблюдателни (а именно P _i е „да-не-наблюдаема“, съответстваща на въпроса „Системата има стойност q _i за Q?“). Освен това, P ₁, P ₂, P₃ са взаимно съвместими, така че можем да приложим правилото за сумиране и правилото на продукта и по този начин да създадем ограничение при назначаването на стойности (доказателство):

(VC1) v (P ₁) + v (P ₂) + v (P ₃) = 1, където v (P _i) = 1 или 0, за i = 1, 2, 3.

Произволният избор на наблюдаван Q определя нови наблюдаеми P ₁, P ₂, P _3, които от своя страна селектират лъчи в H ₃. Така че, да наложи че наблюдаеми P ₁, P ₂, Р ₃ всички имат стойности средства назначаване на номер на лъчи в Н ₃, и VC1, по-специално означава, че на произволна тройна на ортогонални лъчи, посочено по избор на произволен Q (накратко: ортогонална тройка в H ₃), точно на един от лъчите й е присвоено 1, на останалите 0. Сега, ако въведем различни несъвместими наблюдателни Q, Q ', Q ″, … тези наблюдателни елементи избират различни ортогонални тройки в H ₃, Предполагането (1) на теоремата на KS (което на практика е VD) ни казва, че всяка една от тези тройки има три стойности, а VC1 ни казва, че тези стойности трябва да са за всяка тройка, точно {1, 0, 0}, Това, което KS сега показва, е, че за конкретен краен набор от ортогонални тройки в H ₃, присвояване на числа {1, 0, 0} на всеки от тях (съвпадение в общи лъчи) е невъзможно. По-нататъшното отражение води до това, че докато H ₃ е сложен, всъщност е достатъчно да се разгледа истинско триизмерно хилбертово пространство R ₃. Защото можем да покажем, че ако възлагането на стойности съгласно VC1 е възможно на H ₃, то е възможно на R ₃. Противоположно, ако възлагането е невъзможно на R ₃, тогава на H ₃ е невъзможно. Така че можем да изпълним необходимите условия за стартиране на доказателството за KS и в същото време да намалим проблема до един на R ₃. Сега, еквивалент на R ₃ от произволно ортогонална тройна в Н ₃, е, отново, произволно тройна на ортогонални лъчи (накратко: ортогонална тройна в R ₃). Така че, ако KS искат да покажат, че за конкретен набор от n ортогонални тройки в H ₃ (където n е естествено число), присвояване на числа {1, 0, 0} на всеки един от тях е невъзможно, е достатъчно, за да покажат, че за конкретен набор от n ортогонални тройки в R ₃, присвояване на числа {1, 0, 0} към всеки от тях е невъзможно. И точно това правят.

Трябва да се подчертае, че в този момент няма пряка връзка между R ₃ и физическото пространство. KS желаят да покажат, че за произволна QM система, изискваща представяне в хилбертово пространство с най-малко три измерения, приписването на стойности във връзка с условие (KS2) (Правило на сумата и правило на продукта) е невъзможно и за да се направи това достатъчно е да се разгледа пространството R ₃. Това пространство R ₃, обаче, не представлява физическото пространство за системата на квантовата под въпрос. По-специално, ортогоналност в R ₃ не трябва да се бърка с ортогоналност във физическото пространство. Това става очевидно, ако преминем към пример за QM система, седнала във физическо пространство и в същото време изисква QM представяне в H ₃, напр. степен на свобода на въртене на едночастична система спин-1. Предвид произволна посока α във физическото пространство и S оператор _α представляващ наблюдавани на компонент завъртане в посока α, H ₃ се калибрира от собствени вектори на S _α, а именно | S _α = 1>, | S _α = 0>, | S _α = −1>, които са взаимно ортогонални в H ₃. Фактът, че тези три вектора, съответстващи на три възможни резултата на измерване в една пространствена посока, са взаимно ортогонални, илюстрира различните сетива на ортогоналност в H ₃и във физическото пространство. (Причината, разбира се, се крие в структурата на QM, която представлява различни стойности на наблюдаемо от различни направления в H _3.)

Самите KS в резюмето действат по същия начин, но те илюстрират с пример, който установява пряка връзка с физическото пространство. Важно е да се види тази връзка, но и да се разбере, че тя е произведена по примера на KS и не е присъща на техния математически резултат. KS предлагат да се разгледа система с частици спин-1 и измерването на квадратните компоненти на ортогонални направления на спин във физическо пространство S _x ², S _y ², S _z ², които са съвместими (докато S _x, S _y, Самите S _z не са). ^[7]Измерването на квадратен компонент на въртене определя само неговата абсолютна стойност. Тук те извеждат малко по-различно ограничение при задаването на стойности, като отново използват правилото за суми и правилото за продукта (доказателство):

(VC2) v (S _x ²) + v (S _y ²) + v (S _z ²) = 2, където v (S _α ²) = 1 или 0, за α = x, y, z.

Сега, тъй като S _x ², S _y ², S _z ² са съвместими, има наблюдаемо O такова, че S _x ², S _y ², S _z ² са всички функции на O. Така че, изборът на произволен такъв O фиксира S _x ², S _y ², S _z ² и, тъй като последният може да бъде пряко свързан с взаимно ортогонални лъчи в H ₃, отново фиксира избора на ортогонална тройка в H ₃. Полученият проблем тук е да се присвоят числа {1, 1, 0} на ортогонална тройка в Н ₃зададени от избора на O или по-директно от S _x ², S _y ², S _z ². Това, разбира се, е огледалният образ на предишния ни проблем с приписването на числа {1, 0, 0} към такъв тройник и не е необходимо да го разглеждаме отделно.

Изборът на специфичен O, който едновременно избира наблюдаеми S _x ², S _y ², S _z ^2, избира три ортогонални лъча във физическо пространство, а именно чрез фиксиране на координатна система ± x, ± y, ± z (която определя по протежение на кои ортогонални лъчи трябва да се измерват квадратните компоненти на спина във физическото пространство. Така че сега, чрез избора на наблюдаван O, има пряка връзка на направления в пространството с направления в H ₃: ортогоналността в H ₃ сега съответства на ортогоналността във физическото пространство. Същото важи и за R ₃, ако, за да се даде аргумент за H ₃, ние смятаме, R ₃. Ортогоналността в R₃ сега съответства на ортогоналност във физическото пространство. Важно е да се отбележи, че тази кореспонденция не е необходима, за да се даде аргумент, дори и да настояваме, че чистите математически факти трябва да бъдат допълнени с физическа интерпретация - тъй като малко преди това сме виждали пример без никаква кореспонденция. Въпросът е само, че можем да измислим такъв пример, че да има кореспонденция. По-конкретно, сега можем да следваме доказателството в R ₃ и заедно да си представим система, седнала във физическо пространство, а именно частица на спин-1, връщаща три стойности при измерване на три физически величини, свързани директно с ортогонални направления във физическото пространство, а именно v (S _x ²), v (S _y ²), v (S _z ²), за произволен избор на x, y, z. След това доказателството за KS показва, че е невъзможно (предвид неговите помещения, разбира се) да се присвоят стойностите на частиците на спин-1 за всички тези произволни избори. Тоест, аргументът KS показва, че (предвид помещенията) спин 1 частица не може да притежава всички свойства наведнъж, които показва в различни схеми на измерване.

Трябва да се споменат още три характеристики, които са станали обичайни в аргументите на KS:

(1) Очевидно е, че ние можем да недвусмислено посочва всяко лъч в R ₃ през началото, като просто дава една точка, съдържаща се в него. По този начин KS идентифицира лъчите с точки на единичната сфера E. KS не е необходимо да се отнасят до конкретни координати на определена точка, тъй като аргументът им е „без координати“. За илюстрация, обаче, понякога споменаваме конкретни точки и след това (а) използваме декартови координати, за да проверите отношенията на ортогоналност и (б) посочваме лъчи по точки, които не лежат на Е. (Така например тройката на точките (0, 0, 1), (4, 1, 0), (1, -4, 0) се използва за определяне на тройка ортогонални лъчи.) И двете употреби съответстват на най-новата литература (виж например Peres (1991) и Clifton (1993)), (2) Превеждаме ограниченията (VC1) и (VC2) върху надписите на стойности в ограничения за оцветяване на точките. Можем, работещи под (VC1), да оцветим точките бял (за „1“) и черен (за „0“) или, работещ под (VC2), да оцветим точките бял (за „0“) и черен (за „1 ). И в двата случая ограниченията се превръщат в един и същ проблем с оцветяването.

(3) KS илюстрират отношенията на ортогоналност на лъчите чрез графики, които се наричат диаграми на KS. В такава диаграма всеки лъч (или точка, определяща лъч) е представен от върха. Върховете, съединени с права линия, представляват ортогонални лъчи. Проблемът с оцветяването след това се превръща в проблема за оцветяване на върховете на диаграмата в бяло или черно, така че съединените върхове не могат да бъдат както бели, така и триъгълниците имат точно една бяла върха.

3.4 Оригиналният аргумент на KS. Скица на доказателството

KS продължават на два етапа.

(1) В първата (и решаваща) стъпка те показват, че два лъча с противоположни цветове не могат да бъдат произволно затворени. Те първо показват, че диаграмата Γ _1, изобразена на фиг. 1 (където засега игнорираме цветовете, посочени на фигурата), може да бъде изградена, само ако ₀ и ₉ са разделени под ъгъл θ с 0 ≤ θ ≤ sin ⁻¹ (1/3) (доказателство).

Фигура 1: Десетточкова KS графика Γ ₁ с непоследователно оцветяване.

Помислете сега (за редукция ad absurdum), че ₀ и ₉ имат различни цветове. Ние произволно оцветяваме ₀ бяло и ₉ черно. Ограниченията за оцветяване след това ни принуждават да оцветим останалата част от диаграмата, както е направено на фиг. 1, но това изисква ₅ и _{6 да} са ортогонални и двете бели - което е забранено. Следователно, две точки по-близо от sin ⁻¹ (1/3) не могат да имат различни цветове. Противоположно две точки с различен цвят не могат да бъдат по-близки от sin ⁻¹ (1/3).

(2) KS сега изгражда друга доста сложна диаграма на KS Γ ₂ по следния начин. Те считат реализация на Γ ₁ за ъгъл θ = 18 ° <sin ⁻¹ (1/3). Сега те избират три ортогонални точки p ₀, q ₀, r ₀ и междублокови копия на Γ ₁ между тях, така че всеки екземпляр от точка ₉ от едно копие на Γ ₁ се идентифицира с инстанцията на ₀ на следващото копие. По този начин пет заключващи се копия на Γ ₁ са разположени между p ₀ и q ₀ и всичките пет екземпляра от ₈са идентифицирани с r ₀ (също така пет такива заключващи се копия са разположени между q ₀ и r ₀, идентифицирайки всички копия на ₈ с p ₀, и между p ₀ и r ₀, идентифицирайки всички копия на ₈ с q ₀). Това, че Γ ₂ е конструируемо, се носи директно от самата конструкция. Разстоянието между пет копия от Γ ₁ с ъгли θ = 18 ° между екземплярите от ₀ ще постави ъгъл от 5x18 ° = 90 °, което е точно това, което се изисква. Освен това се скита от едно копие на Γ ₁ до следващото между, да речем, стр ₀и q ₀ е еквивалентно на въртене на 18 ° на копието около оста през началото и r ₀, което очевидно запазва ортогоналността между точките ₀ и ₉ от копието и r ₀.

Фигура 2: 117-точкова графика на KS Γ ₂

(From Kochen and Specker 1967, 69; с разрешение на University of Indiana Mathematics Journal)

Въпреки че Γ ₂ е конструируем, той не е постоянно оцветен. От първата стъпка знаем, че копие на Γ ₁ с θ = 18 ° изисква точки ₀ и _{9 да} имат равен цвят. Сега, тъй като ₉ в едно копие на Γ ₁ е идентично с ₀ в следващото копие, ₉ във второто копие трябва да има същия цвят като ₀ в първото. Всъщност чрез повторение на този аргумент всички случаи на ₀ трябва да имат същия цвят. Сега p ₀, q ₀, r ₀ се идентифицират с точки a ₀, така че те трябва да са или всички бели, или всички черни - и двете не са в съответствие с ограничението за оцветяване, че точно един от тях е бял.

Ако от 15-те копия на used _1, използвани в процеса на конструиране на Γ ₂, изваждаме онези точки, които са били идентифицирани помежду си, в крайна сметка имаме 117 различни точки. И така, това, което KS показа, е, че набор от 117 наблюдения „да-не“не може последователно да се определят стойности в съответствие с VC1 (или, еквивалентно, VC2).

Обърнете внимание, че при изграждането на Γ ₁, т.е. набора от 10 точки, образуващи 22 заключващи се тройки, всички точки с изключение на _{9 се} появяват в повече от една тройка. При Γ ₂ всяка точка се появява в множество тройки. Именно тук неконтекстуалната предпоставка е от решаващо значение за аргумента: приемаме, че произволна точка запазва стойността си 1 или 0, докато преминаваме от една ортогонална тройка към следваща (т.е. от един максимален набор от съвместими наблюдателни към други).

3.5 A Статистически аргумент на KS в три измерения (Clifton)

Спомнете си първата стъпка на KS, която установява, че две точки с противоположен цвят не могат да бъдат произволно затворени. Именно тази първа стъпка носи цялата сила на спора. Бел го е установил по различен начин и тогава е твърдял, че в неконтекстуална интерпретация на HV точки с противоположен цвят трябва да бъдат произволно близки. Именно тази първа стъпка Клифтън използва в аргумент, който съчетава идеите на Бел и KS.

Фигура 3: 8-точкова графика KS-Clifton Γ ₃ с непоследователно оцветяване.

Помислете KS диаграмата Γ _3, показана на фигура 3, която очевидно е част от KS's ₁, но има допълнителни конкретни задачи от осем точки, удовлетворяващи отношенията на ортогоналност (и по този начин директно доказва, че Γ ₃ е конструируем). От предишните ни ограничения за оцветяване (съединените точки не са както бели, а триъгълникът има точно една бяла точка), виждаме веднага, че Γ ₃ е оцветен само ако най-външните точки не са и двете бели (което би изисквало, както е показано на фиг. 3, че две съединени точки са бели - противно на ограниченията). Освен това лесно изчисляваме ъгъла между двете най-външни точки, който е cos ⁻¹ (1/3). ^[8]Така заключаваме, че ако човек иска да оцвети всичките осем точки и иска да оцвети бяло една от външните, тогава другият трябва да е черен. Имайки предвид, че можем да вмъкнем диаграма между всяка две точки в R _3, които са разделени с точно ъгъла cos ⁻¹ (1/3) и превеждаме проблема си от проблем с оцветяване в примера на KS (ограничение VC2), приключваме с ограничение VC2 ':

(VC2 ') Ако за система spin-1 определена посока x на въртене в пространството е присвоена стойност 0, тогава всяка друга посока x', която се намира далеч от x под ъгъл cos ⁻¹ (1/3), трябва да бъде зададена стойност 1 или в символи: Ако v (S _x) = 0, тогава v (S _{x '}) = 1.

Досега аргументът използваше първоначалните условия KS KS1 и KS2. Освен това сега предполагаме, че всяко ограничение при разпределението на стойностите ще се покаже в статистическите данни за измерванията. По-специално:

(3) Ако prob [v (A) = a] = 1 и v (A) = a предполага v (B) = b, тогава prob [v (B) = b] = 1.

Въпреки използването на статистически данни, това разсъждение съществено се различава от аргумента на фон Нойман. Фон Нойман твърди, че алгебраичните връзки между стойностите трябва да се прехвърлят в статистиката на измерените стойности, следователно ограниченията на QM върху тези статистически данни трябва да имат стойностни ограничения като техните точни огледални изображения - което разсъждения ни кара да извлечем стойностни ограничения от статистически ограничения (за произволни наблюдаеми). Тук, напротив, ние извличаме ограничение на стойността независимо от всяко статистическо разсъждение и след това заключаваме, че това ограничение трябва да се прехвърли в статистическите данни за измерванията. ^[9]

Сега VC2 'и статистическото състояние (3) водят до: Ако prob [v (S _x) = 0] = 1, тогава prob [v (S _x') = 1] = 1. Това обаче противоречи на статистиката, получена от QM за състояние, при което prob [v (S _x) = 0] = 1. ^[10] Всъщност има вероятност 1/17, че v (S _{x '} = 0), Така че при дългосрочен тест 1/17 от частиците на спин-1 ще нарушат ограничението.

Ако приемем статистическите разсъждения на Клифтън, имаме напълно валиден аргумент на KS, установяващ противоречие между HV интерпретация на QM и самите прогнози на QM. Клифтън представя и малко по-сложен набор от 13 наблюдения, които дават, по същите линии, статистическо противоречие от 1/3.

Аргументът на Clifton използва 8 (или 13) наблюдаеми, фиксира стойност на един от тях (S _x) и извежда HV предсказание при разлика с QM прогноза за втори (S _{x '}). Следователно, ако може да се създаде състояние, при което QM системата определено има стойност v (S _x) = 0, прогнозите могат да бъдат тествани емпирично. Но да се оправи подобно състояние експериментално не е лесен въпрос. Така че аргументът на Клифтън зависи от състояние, което може да е трудно за производство или изолиране. Наскоро бе открита конструкция от 13 наблюдателни данни, която дава възможност за независим от държавата статистически аргумент (Ю и О 2012).

4. Принципът на функционалния състав

Ключовите съставки на теоремата на KS са ограниченията на стойностите, посочени в (2): Правилото на сумата и правилото на продукта. Те могат да бъдат извлечени от по-общ принцип, наречен Принцип на функционалния състав (FUNC). ^[11] Принципът търгува на математическия факт, че за самостоятелно прилежащ оператор A, работещ на пространство на Хилберт, и произволна функция f: R → R (където R е множеството на реалните числа), можем да определим f (A) и покажете, че тя също е самоприсъединителен оператор (следователно, пишем f (A)). Ако по-нататък приемем, че на всеки самоприсъединителен оператор отговаря QM, който може да се наблюдава, тогава принципът може да бъде формулиран така:

FUNC: Нека A е самоприсъединителен оператор, свързан с наблюдаем A, нека f: R → R е произволна функция, така че f (A) е друг самоприсъединителен оператор, и | | φ> е произволно състояние; тогава f (A) се свързва уникално с наблюдаем f (A), така че:

v (f (A)) ^{| φ>} = f (v (A)) ^{| φ>}

(Ние въвеждаме горния индекс на състоянието по-горе, за да позволим евентуална зависимост на стойностите от конкретното квантово състояние, в което е подготвена системата.) Правилото за сумата и правилото за продукта са прями последици от FUNC [Доказателство]. Самият FUNC не може да се извлече от формализма на QM, но статистическа версия на него (наречена STAT FUNC) е [доказателство]:

STAT FUNC: Като се има предвид A, f, | φ> както е дефинирано във FUNC, тогава за произволно реално число b:

prob [v (f (A)) ^{| φ>} = b] = prob [f (v (A)) ^{| φ>} = b]

Но STAT FUNC не може да се извлече само от QM формализма; това също следва от FUNC [Доказателство]. Това може да се разглежда като предоставяне на „аргумент за правдоподобност за FUNC“(Redhead 1987: 132): STAT FUNC е вярно, като въпрос на математиката на QM. Сега, ако FUNC беше вярно, бихме могли да извлечем STAT FUNC и по този начин да разберем част от математиката на QM като следствие от FUNC. ^[12]

Но как можем да извлечем самия FUNC, ако не от STAT FUNC? Това е пряко следствие от STAT FUNC и три предположения (две от които са запознати от въвеждането):

Стойностен реализъм (VR): Ако има оперативно дефинирано реално число α, свързано със самостоятелно прилежащ оператор A и ако за дадено състояние статистическият алгоритъм на QM за A дава реално число β с β = prob (v (A) = α), тогава съществува наблюдаема A със стойност α.

Определеност на стойността (VD): Всички наблюдаеми дефинирани за QM система имат определени стойности по всяко време.

Неконтекстуалност (NC): Ако QM система притежава свойство (стойност на наблюдаемо), то това прави независимо от всеки контекст на измерване.

VR и NC изискват допълнително обяснение. Първо, трябва да обясним съдържанието на VR. Статистическият алгоритъм на QM ни казва как да изчислим вероятност от дадено състояние, дадено наблюдаемо и неговата възможна стойност. Тук ние го разбираме като просто математическо устройство без никаква физическа интерпретация: Като се има предвид пространствения вектор на Хилберт, оператор и неговите собствени стойности, алгоритъмът ни казва как да изчислим нови числа (които имат свойствата на вероятностите). Освен това под „оперативно дефинирано“тук просто имаме предвид „съставен от число, което знаем, че обозначава истинска собственост“. И така, VR, в действителност, казва, че ако имаме действително свойство Γ (стойност an на наблюдаем G) и можем да построим от Γ ново число α и да намерим оператор A, такъв, че α е собствено значение на А, тогава (изпълнихме всичко необходимо за прилагане на статистическия алгоритъм; по този начин A представлява наблюдаем A и неговата стойност α е реално свойство.

Второ, провалът на NC може да се разбере по два начина. Или стойността на наблюдаваното може да зависи от контекста, въпреки че самото наблюдаемо не е; или стойността на наблюдаваното може да зависи от контекста, защото самото наблюдаемо е. И в двата случая независимостта от контекст на наблюдаемо означава, че съществува съответствие между наблюдателни и оператори. Това значение на NC е това, което ще използваме понастоящем при извличането на FUNC. Наистина ще приемем, че ако NC е в сила, това означава, че наблюдаваното - и следователно и неговата стойност - не зависи от контекста на измерване, т.е. не зависи от начина на измерване. По-специално, независимостта от контекст на наблюдаемо означава, че има 1: 1 кореспонденция на наблюдателни и оператори. Това значение на NC е това, което ще използваме понастоящем при извличането на FUNC. Обратно, отказът на NC ще се тълкува единствено като провал на 1: 1 кореспонденцията.

От VR, VD, NC и STAT FUNC можем да извлечем FUNC по следния начин. Помислете за произволно състояние на система и произволно наблюдаемо Q. По VD Q има стойност v (Q) = a. Така можем да образуваме числото f (v (Q)) = b за произволна функция f. За това число, от STAT FUNC, prob [f (v (Q)) = b] = prob [v (f (Q)) = b]. Следователно, чрез преобразуване на вероятностите според STAT FUNC създадохме нов самоприсъединителен оператор f (Q) и го свързахме с двата реални числа b и prob [f (v (Q)) = b]. По този начин, чрез VR, има наблюдение, съответстващо на f (Q) със стойност b, следователно f (v (Q)) = v (f (Q)). От NC това наблюдаемо е уникално, следователно FUNC следва.

5. Бягство от аргумента на KS

В предходния раздел се изясняват кои възможности HV теоретикът трябва да избяга от аргумента на KS: отричайки едно от трите предпоставки, които заедно включват FUNC (оттук правилото за сумата и правилото за продукта).

5.1 Няма определена обща стойност

VD, припомняме, беше основната предпоставка за пълноценна интерпретация на HV. Така че, за да се избегне мощен аргумент срещу възможността за HV интерпретации, тези интерпретации отпадат своята основна предпоставка, това изглежда няма много смисъл. Но някои интерпретатори посочват, че между това, че само тези наблюдения, които QM предписва, имат стойности ^[13]и като приемем, че всички те имат стойности, има някаква свобода на действие, а именно да се предложи набор от наблюдаеми, различни от предписаните в QM (но, общо взето, нито повече от тези, нито, разбира се, всички) стойности. Тази опция се нарича „частична определеност на стойността“. Един от начините за това е да се избере веднъж завинаги набор от наблюдения, на които могат да бъдат зададени определени стойности, без да се изпълняват задачи от теоремата на KS. Най-известният пример за това е теорията на пилотната вълна на де Бройл-Бом, на която позицията и функциите на позицията винаги имат определени стойности. Друг подход е да се позволи набора от определени наблюдения да варира в зависимост от състоянието; това е подходът на различни модални интерпретации. Вариант на този подход е този на Bub (1997), при който избран R е избран да бъде винаги определен;наборът от определени наблюдателни данни след това се разширява до максималния набор, който избягва KS препятствие.

Скалите и плитките на модалните интерпретации са извън обхвата на тази статия (вижте вписването за модалните интерпретации). Просто отбелязваме, че в никакъв случай не е ясно как тези интерпретации могат да управляват винаги да избират правилния набор от наблюдаеми, за които се предполага, че имат стойности. Тук „правилно зададено“минимално означава, че наблюденията, които възприемаме като имащи стойности (т.е. тези, които съответстват на позицията на показалеца на измервателния апарат), трябва винаги да бъдат включени и трябва винаги да възпроизвеждат статистиката за QM. Споменаваме и два важни резултата, които поставят под съмнение възможността за модални интерпретации: Първо, може да се покаже, че или частичната дефиниция на стойността се срива в тотална стойностна дефиниция (т.е. VD), или класическите разсъждения за физическите свойства трябва да бъдат изоставени (Clifton 1995), На второ място,възможно е да се извлекат теореми на KS дори в определени модални интерпретации (Bacciagaluppi 1995, Clifton 1996).

Наскоро се спори, че отказът на VD е в противоречие със самия QM (Held 2008, 2012a, 2012b). Аргументът се опитва да покаже, че VD е следствие от самата теория (QM → VD). Ако това наистина е така - ние припомняме, че KS установяват, че QM & VD & NC предполага противоречие - аргумент за твърдението, че QM само предполага контекстуалност. Тъй като в този случай QM също предполага VD, получаваме, като цяло, аргумент за твърдението, че QM трябва да се интерпретира от контекстуални скрити променливи.

5.2 Отказ от ценностен реализъм

Производството на FUNC се състои основно в изграждането на наблюдаем (т.е. f (Q)) чрез оператор (т.е. f (Q)) от разпределението на вероятността на променлива (т.е. f (v (Q)), чието число от своя страна е изградена от друга променлива (т.е. v (Q)). Сега, вместо да отричаме, че v (Q) съществува във всички случаи (както би имала първата опция (5.1)), можем да отхвърлим, че съществуването на число α и изграждането на f (Q) автоматично водят до наблюдение, т.е. отхвърляме VR. Това означава, че отхвърляме, че за всеки самостоятелно прилежащ оператор има добре дефинирана наблюдаема.

Сега, за да формулираме VR трябваше да дадем намалено отчитане на статистическия алгоритъм, т.е. че това е просто математическо устройство за изчисляване на числа от вектори, оператори и числа. Това четене е много изкуствено и предполага, че минимален интерпретационен апарат, необходим за физически смисъл на някои оператори (като Q), може да бъде отказан за други (като f (Q)).

Нещо повече, изглежда напълно неправдоподобно да се предположи, че някои оператори - суми и продукти на оператори, които са свързани с добре дефинирани наблюдаеми, сами по себе си не са свързани с добре дефинирани наблюдателни данни, дори ако математически наследяват точни стойности от своите суми или фактори. В груб пример това би означавало да се каже, че да искаме енергията на системата е добре дефиниран въпрос, докато да искаме квадратурата на енергията на системата не е, дори ако от нашия отговор на първия въпрос е тривиално математика, имаме добре определен отговор. Изглежда няма априорна причина, която да оправдае това ограничение. Така че, за да стане отхвърлянето на VR изобщо правдоподобно, се прави допълнително предложение: От съществено значение за аргумента на KS е, че един и същ оператор е конструиран от различни максимални, които са несъвместими: f (Q) е идентичен с g (P), където PQ - QP ≠ 0. Сега приемаме, че само конструкцията на f (Q) чрез Q, но не и тази през P, води до добре дефинирана наблюдаема в a определен контекст. ^[14]

Този ход обаче автоматично прави някои наблюдаеми контекстно чувствителни. И така, този начин на мотивиране на отказ от VR представлява вид контекстуализъм, до който може да дойдем по-евтино, чрез директно отхвърляне на NC и без никакво подправяне на статистическия алгоритъм. (Този факт обяснява защо ние не споменахме отричането на VR като отделна опция във въвеждането.)

5.3 Контекстуалност

И накрая, можем да приемем VD и VR, но отричаме, че нашата конструкция на наблюдаемо f (Q) е недвусмислена. Следователно, макар f (Q) и g (P) са математически идентични, бихме могли да предположим, че те съответстват на различни наблюдаеми аргументи, че действителното определяне на v (f (Q)) трябва да протича чрез измерване на Q, но определянето на v (g (P)) включва измерване на P, което е несъвместимо с Q. Тъй като v (f (Q)) и v (g (P)) са резултат от различни ситуации на измерване, няма причина да се предполага, че v (f (Q)) = v (g (P)). По този начин за блокиране на доказателството за KS идва разбирането на f (Q) и g (P) като различни наблюдателни (поради чувствителност към контекста), като по този начин се равнява на отхвърляне на NC. В литературата има главно два начина за по-нататъшно мотивиране на тази стъпка. Съответно има две важни марки на контекстуалността, които трябва да се обсъждат - причинно-следствената и онтологичната контекстуалност.

Аргументът KS е представен за притежавани стойности на QM система - независимо от съображенията за измерване. В действителност, в измерването на аргумента беше споменато само веднъж, а в отрицателното - в NC. Но тъй като сега считаме за отхвърляне на NC, трябва да вземем предвид и измерването и неговите усложнения. За тази цел е добре да се обясни още един принцип, който проявява безобидния ни реализъм (вж. Въвеждането по-горе), т.е. принцип на вярно измерване:

Вярно измерване (FM): QM измерването на наблюдаемо вярно предоставя стойността, която този наблюдаван е имал непосредствено преди взаимодействието с измерването.

FM също е изключително правдоподобна презумпция на естествознанието като цяло. (Обърнете внимание, че FM включва VD, следователно бихме могли да дадем аргумент на KS за възможни резултати от измерванията, използвайки FM). Помислете сега за мотивацията на привърженика на HV да отхвърли NC. Очевидно целта е да се спестят други предпоставки, особено VD. Сега VD и NC са независими реалистични убеждения, но NC и FM не са толкова независими. Всъщност ще видим, че отхвърлянето на NC води до отхвърляне на FM в едната версия на контекстуалността и силно го предполага в другата. (Това прави по-прецизно донякъде криптичната забележка от въвеждането, че не е очевидно каква трябва да изглежда интерпретация, подкрепяща реалистичния принцип VD, но отхвърляща реалистичния принцип NC. Подобно тълкуване би трябвало да наруши трети реалистичен принцип, т.е. FM.)

Причинна контекстуалност

Свойство (стойност на наблюдаемо) може да е причинно-зависимо от контекста в смисъл, че е причинно чувствително към начина, по който се измерва. Основната идея е, че наблюдаваната стойност се получава като ефект от взаимодействието система-апарат. Следователно измерването на система чрез взаимодействие с P-измерващ апарат може да даде стойност v (g (P)), измерването на една и съща система чрез взаимодействие с Q-измерващ апарат различна стойност v (f (Q)), въпреки че и двете наблюдаемите са представени от същия оператор f (Q) = g (P). Разликата в стойностите се обяснява по отношение на контекстната зависимост на наблюдаваните: Последните са зависими от контекста, тъй като различните начини за физическото им реализиране причиняват въздействие върху системата по различни начини и по този начин променят наблюдаваните стойности.

Ако преводачът искаше да защити причинно-следствената контекстуалност, това би довело до изоставяне на FM, поне за наблюдаеми от типа f (Q) (не-максимални наблюдаеми): Тъй като техните стойности причинно зависят от наличието на определени мерки за измерване, тези схеми са причинно-следствени необходими за възникване на стойностите, следователно стойностите не могат да присъстват преди взаимодействието система-апарат и FM е нарушен. Като предимство на причинно-следствения контекстуализъм може да се посочи следното. Това не означава, че онтологичното състояние на съответните физически свойства трябва да се промени, т.е. не означава, че те стават релационни. Ако свойството в даден обект е породено чрез взаимодействие с друг, то все още може да бъде такова, което обектът има за себе си след взаимодействието. Въпреки това,идеята за причинно-следствената контекстуалност понякога се обсъжда критично, тъй като има основание да се мисли, че тя може да бъде емпирично неадекватна (вж. Shimin 1984, Стълби 1992).

Онтологична контекстуалност

Едно свойство (стойност на наблюдаемо) може да бъде онтологично зависимо от контекста в смисъл, че за да бъде добре дефинирано, е необходимо спецификацията на наблюдаваното, от която „идва“. По този начин, за да изградим добре дефинируем наблюдаем от оператор f (Q) = g (P), трябва да знаем дали той е реализиран физически чрез наблюдаем P или наблюдаем Q. Този начин на излизане от проблема с КС е забелязан за първи път (но не е застъпен) от Ван Фраасен (1973). Тогава има толкова много наблюдателни и физически свойства за оператор f (Q), колкото има начини за конструиране на f (Q) от максимални оператори. Без допълнително обяснение обаче тази идея просто представлява ad hoc разпространение на физически величини. Защитникът на онтологичната контекстуалност със сигурност ни дължи по-ясен разказ за зависимостта на наблюдаемото f (Q) от наблюдаем Q. Има две възможности:

(а) Можем да мислим, че v (f (Q)) просто не е самоустойчиво физическо свойство, а такова, което онтологично зависи от наличието на друго свойство v (Q). (Спомнете си, че в доказателството на FUNC v (f (Q)) е изградено от v (Q).) Но тъй като позицията не отхвърля въпросите за стойностите на f (Q) в P-измерващата ситуация като нелегитимна (защото тя не търгува с понятие за наблюдаемото, което е добре дефинирано само в един контекст!), това най-малкото води до нови и належащи въпроси. Като опит да защити контекстуалистична интерпретация на скрити променливи, тази позиция трябва да признае, че системата не само в ситуацията на Q-измерване има стойност v (Q), но и в P-измервателна ситуация има стойност v '(Q), въпреки че може би v' (Q) ≠ v (Q). Сега,въпросите за стойностите на f (Q) в тази ситуация поне са легитимни. Подразбира ли v '(Q) друго v' (f (Q)) ≠ v (f (Q))? Или v '(Q), в противовес на v (Q), изобщо не води до стойност на f (Q)? Нито един вариант не изглежда правдоподобен, защото не бихме могли, просто като превключите за определена подготвена система между P - и Q-ситуация на измерване или превключете v (f (Q)) в и извън съществуването, или превключете между v (f (Q)) и v '(f (Q))? (б) Може да мислим, че за да бъде добре дефиниран f (Q), е необходимо едно подреждане на измерванията, а не другото. Идеята силно напомня на аргумента на Бор от 1935 г. срещу EPR и наистина може да се разглежда като подходящо разширяване на възгледите на Бор за QM към съвременната дискусия за HV (виж Held 1998, ch.7). В тази версия на онтологичния контекстуализъм свойството v (f (Q)), а не в зависимост от наличието на друго свойство v (Q), зависи от наличието на Q-измерващ апарат. Това представлява холистично положение: За някои свойства има смисъл да се говори само за тях като за система, ако тази система е част от определено цялостно устройство-система. Тук въпросът за стойности на f (Q) в P-измервателна ситуация става нелегитимен, тъй като f (Q), който е добре дефиниран, е обвързан със ситуация на измерване на Q. Но отново е необходимо допълнително изясняване. Дали позицията поддържа, че в противовес на f (Q), Q самият е добре дефиниран в P-измервателна ситуация? Ако това не стане, Q трудно може да има стойност (тъй като не е добре дефинирана е причината да се откаже f (Q) стойност),което означава, че вече не обмисляме интерпретация на HV от дадения тип и изобщо няма нужда да блокираме аргумента на KS. Ако е така, какво обяснява, че в P-измерващата ситуация Q остава добре дефиниран, но f (Q) губи този статус?

Какво става с ФМ в двете версии на онтологичния контекстуализъм? Е, ако останем агресивни по отношение на това как позицията би могла да стане правдоподобна, можем да спасим FM, докато, ако изберем версия (а) или (б), за да стане правдоподобна, я губим. Първо помислете за отказ от агностик на NC. FM казва, че всяка наблюдавана QM се измерва вярно. Сега контекстуализмът разделя оператор, който може да бъде конструиран от два различни некомутируеми оператора на две наблюдателни и онтологичният контекстуализъм не се опитва да ни даде причинно-следствена история, която би разрушила причинно-следствената независимост на измерената стойност от взаимодействието на измерване, въплътено в FM. Ние просто въвеждаме по-фина концепция за наблюденията, но все пак можем да наложим FM за тези нови контекстуални наблюдения.

Конкретните версии на онтологичния контекстуализъм обаче, опитвайки се да мотивират контекстуалната функция, съсипват ФМ. Версия (a) позволява f (Q) да бъде включен и изключен или да превключва между различни стойности при промяна между P - и Q-измерващите ситуации - което е грубо нарушение на FM. Версия (б) тарифи не по-добре. Той въвежда онтологичната зависимост от устройството за измерване. Трудно е да се разбере какво друго трябва да бъде това, но същата причинно-следствена зависимост е изтласкана към по-висок, „онтологичен“ключ. Отново, не бихме ли могли, просто като прелистваме напред и назад устройството за измерване, да променяме напред и назад дали f (Q) е добре дефиниран, като по този начин обърнете v (f (Q)) в и извън съществуването?

И накрая, отбелязваме, че и двата типа онтологичен контекстуализъм, в противовес на причинно-следствената версия, водят до това, че системните свойства, които по-рано сметнахме за присъщи, стават релационни в смисъл, че една система може да притежава тези свойства само ако има определени други, т.е. или ако е свързано с определена схема на измерване.

6. Въпросът за емпиричното тестване

Известно е, че нарушението на неравенствата на Бел, предписано от QM, е потвърдено експериментално. Възможно ли е нещо подобно за теоремата на KS? Трябва да разграничим три въпроса: (1) Възможно ли е да се реализира експериментът, предложен от KS, като мотивация на тяхната теорема? (2) Възможно ли е да се тестват принципите, водещи до теоремата: Правилото за сумата и правилото на продукта, FUNC или NC? (3) Възможно ли е да се тества самата теорема?

(1) Самите KS описват конкретна експериментална схема за измерване на S _x ², S _y ², S _z ² в едночастична система spin-1 като функции на една максимално наблюдаема. Ортохелиев атом в най-ниското триплетно състояние е поставен в малко електрическо поле Е от ромбична симетрия. След това трите разглеждани наблюдения могат да бъдат измерени като функции на един-единствен наблюдаем, смущаващия хамилтонов H _s. H _s, чрез геометрията на E, има три възможни различни стойности, измерването на които разкрива кои две от S _x ², S _y ², S _z ²имат стойност 1 и коя от тях има стойност 0 (виж Kochen и Specker 1967: 72/311). Това, разбира се, е предложение за реализиране на експеримент, илюстриращ горното ни ограничение на стойността (VC2). Можем ли също да реализираме (VC1) експеримент, т.е. да измерим набор от пътуващи проектори, проектиращи върху собствени станове с един максимален наблюдаем? Peres (1995: 200) отговаря утвърдително на въпроса, обсъжда такъв експеримент и се обръща към Swift and Wright (1980) за подробности относно техническата осъществимост. Експерименталното предложение на Кохен и Спекер обаче не е преследвано по-нататък, тъй като не предоставя пряк тест на NC. Очевидно е, че измерването на H _S измерва само един ортогонален тройник. Привърженик на HV може да приеме, че скритото състояние се променя от едно измерване на _HS до следващото (дори ако подготвим отново същото състояние на QM) и по този начин поддържаме NC.

(2) Във връзка с прояви на FUNC, т.е. правило за суми и правило за продукта, QM води до ограничения като VC1 или VC2, които противоречат на VD. Така че предоставянето на конкретни физически примери, които биха могли, предвид правилото за сумата и правилото за продукта, да създадат екземпляр VC1 или VC2, както току-що очертани, не е достатъчно. Трябва да попитаме дали самите тези правила могат да бъдат емпирично подкрепени. В началото на 80-те години имаше сериозно обсъждане на този въпрос - изрично дали Правилото за сумите е емпирично проверимо - и имаше общо съгласие, че не е така. ^[15]

Причината е следната. Спомнете си, че производното на FUNC установи уникалност на новото наблюдаемо f (Q) само в последната му стъпка (чрез NC). Именно тази уникалност гарантира, че един оператор представлява точно един наблюдаем, така че наблюдаемите (и по този начин техните стойности) в различни контексти могат да бъдат приравнени. Това позволява да се установят косвени връзки между различни несъвместими наблюдения. Без тази последна стъпка, FUNC трябва да се разглежда като задържане спрямо различни контексти, връзката е прекъсната и FUNC е ограничен до един набор от наблюдаеми, които са взаимно съвместими. Тогава наистина FUNC, сумарното правило и правилото за продукта стават тривиални и емпиричното тестване в тези случаи би било безсмислен въпрос. ^[16]NC е тази, която върши цялата работа и заслужава да бъде тествана чрез проверка дали за несъвместима P, Q такава, че f (Q) = g (P) е вярно, че v (f (Q)) = v (g (P)). Въпреки това, въпреки че QM и неконтекстуалната теория за HV си противоречат взаимно за една система, това противоречие включва несъвместими наблюдаеми и по този начин е несъстоятелно (както току-що видяхме от собственото предложение на Kochen и Specker). Физиците обаче са направили гениални предложения за преодоляване на това препятствие. Известно е, че разглеждането на системи с две частици и продукти на компоненти за въртене води до много прости доказателства за тип KS (Mermin 1990b). Cabello и Garcìa-Alcaine (1998) показаха, че за такива системи QM и неконтекстуална теория за HV правят различни прогнози за всеки отделен случай. Техните разсъждения не се позовават на съображения за местността,но тъй като се изискват две частици, подобни съображения могат да промъкнат. Simon et al. (2000), са начертали схемата Кабело / Гарсиа-Алкаин в комбинация от наблюдателни позиции и въртене за една частица. Техният експеримент е осъществен и потвърди прогнозите за QM (Huang et al. 2003; вижте също по-скоро Huang et al. 2013). Всички споменати автори смятат техните експериментални предложения за емпирични опровержения на NC, но това е под съмнение (Barrett and Kent 2004), поради причини, разгледани в следващия параграф.виж също наскоро Huang et al. 2013). Всички споменати автори смятат техните експериментални предложения за емпирични опровержения на NC, но това е под съмнение (Barrett and Kent 2004), поради причини, разгледани в следващия параграф.виж също наскоро Huang et al. 2013). Всички споменати автори смятат техните експериментални предложения за емпирични опровержения на NC, но това е под съмнение (Barrett and Kent 2004), поради причини, разгледани в следващия параграф.

(3) Теоремата на KS, по своя математически характер, не може да се провери емпирично. Въпреки това бихме могли да се опитаме да измерим подмножество от подходящ несменящ се от KS набор. По-специално, трябва да е възможно да се произвеждат случаи по примера на Клифтън (3.5), където QM и неконтекстуалната теория за HV дават измеримо различни прогнози. Изглежда, че такива случаи биха могли да предоставят емпирични тестове за това дали Природата е контекстуална (макар и не дали такава контекстуалност е от причинно-следствения или онтологичния тип) (За последна версия на такъв подход вижте Танг и Ю. 2017.) От 80-те години нататък, твърдеше се, че подобно тестване е невъзможно. Теоремата на KS, твърди се, оставя достатъчно вратички за HV теория в разрез с QM, но е в състояние да възпроизведе емпиричните прогнози на теорията. Питовски (1983,1985) твърди, че е възможно да се ограничи вниманието до подмножество от направления в R_3, които са оцветяващи. Аргументът му обаче се опира на нестандартна версия на теорията на вероятностите, която се счита за физически неправдоподобна. Meyer (1999) е използвал математическия факт, че множество D _M от направления в R _3, приблизително приближаващи KS до множеството, но с рационални координати, е KS-оцветяващо. Майер твърди, че реални измервания имат краен прецизност и по този начин никога не може да се прави разлика между посока в R ₃ и синхронизирането му от D _M. Кент (1999) обобщи резултата за всички пространства на Хилберт, а Клифтън и Кент (2000) показаха, че също така набор от направления D _CKтака че всяка една посока е член на само една ортогонална тройка, сближава произволно от всяка посока. В D _CK няма взаимосвързващи се тройки, въпросът за контекстуалността не възниква и D _CK тривиално е оцветен в KS. Освен това Клифтън и Кент изрично показаха, че D _CKе достатъчно голям, за да позволи разпределението на вероятността над заданията на стойност произволно близо до всички QM разпределения. Майер, Кент и Клифтън (MKC) могат да бъдат разбрани по този начин, като твърдят, че дори емпиричен тест на несменяеми KS насоки, потвърждаващи прогнозите на QM, не може да докаже контекстуалността на природата. Поради крайната точност на теста е невъзможно да се опровергае твърдението, че неволно сме тествали близки членове на KS-оцветителен набор. Едно доста очевидно възражение срещу този тип аргументи е, че оригиналният аргумент KS работи за притежавани стойности, а не за измерени стойности, така че аргументът MKC, който се занимава с ограничена точност на измерването, пропуска маркировката. Възможно е да не успеем да тестваме наблюдения, които са точно ортогонални или точно еднакви при различни тестове,но би било странно тълкуване на HV, което твърди, че такива компоненти не съществуват (вж. Cabello 1999 в Други интернет ресурси). Разбира се, такова неконтекстуално предложение за HV би било имунизирано срещу аргумента на KS, но би било принудено или да приеме, че не за всяко едно от непрекъснато много направления във физическото пространство има наблюдение, или друго, че няма непрекъснато много направления във физическото пространство. Нито едно предположение не изглежда много привлекателно. Нито едно предположение не изглежда много привлекателно. Нито едно предположение не изглежда много привлекателно.

В допълнение аргументът MKC е недоволен дори за измерените стойности, тъй като той използва крайната точност на реалните измервания само в едно от горните сетива, но предполага безкрайна точност в другото. За измервани наблюдателни стойности MKC приемат, че има ограничена прецизност при избора на различни ортогонални тройки, така че по принцип не можем да имаме точно същите наблюдателни два пъти като член на две различни тройки. MKC все пак приемат безкрайна точност, т.е. точна ортогоналност, в рамките на тройката (в противен случай ограниченията за оцветяване изобщо не могат да намерят приложение). Твърди се, че тази функция може да бъде използвана за опровержение на аргумента и за повторно инсталиране на контекстуализъм (виж Mermin 1999 и Appleby 2000, както в Други интернет ресурси, така и в Appleby 2005).

И накрая, изглежда правдоподобно да приемем, че вероятностите варират непрекъснато, докато променяме посоките в R ₃, така че малките несъвършенства на подбор на наблюдателни елементи, които блокират аргумента (но само за измерените стойности!) В единичния случай, ще се измият в дългосрочен план (вижте Mermin 1999, в Други интернет ресурси). Това само по себе си не представлява аргумент, тъй като в оцветяващите набори от наблюдаеми в конструкциите на MKC вероятностите също варират (в известен смисъл) непрекъснато. ^[17] Можем обаче да използваме разсъжденията на Мермин по следния начин. Преразгледайте набор от осем посоки на Клифтон (на фигура 3), водещ до ограничение за оцветяване на най-отдалечените точки, което статистически противоречи на статистиката за QM с част от 1/17. Използване на оцветен набор от направления D на Clifton и Kent D_CK ние не можем да извлечем ограничението за осемте точки, тъй като тези осем точки не се намират в D _CK; а именно, докато се движим, в оцветяващото подмножество, от една взаимно ортогонална тройка лъчи към следващата, ние никога повече не попадаме на абсолютно същия лъч, а само върху един, който го приближава произволно отблизо. Да предположим набор от S системи, където наблюдателни, съответстващи на членове на D _CKи приблизително доближавайки осемте направления на фиг. 3, всички имат стойности - в съответствие с предпоставката за HV. Тогава можем да извлечем ограничението на Клифтън за най-отдалечените точки в следния смисъл. Помислете за подмножеството S '⊂ S на системи, където всяка посока, приближаваща точка (1, 1, 1), получава стойност 1 (или цвят бял). За да се изпълнят прогнозите на QM, в S 'всички посоки, приближаващи се (1, 0, -1) и (1, -1, 0), трябва да получат стойности, така че вероятността от стойност 0 (или цвят в черно) да е изключително близка до 1. Аналогично, в друго подмножество S ″ ⊂ S на системи с направления, приближаващи (−1, 1, 1), че имат стойност 1 (цвят бял) всички посоки, приближаващи се (1, 0, 1) и (1, 1, 0) трябва да получава стойности, така че вероятността от стойност 0 (цвят черно) да е изключително близка до 1. Помислете сега за членове на S '∩ S ″. Във всеки от тях за всяко приближение до (1, 0, -1) със стойност 0 (цвят черен) ще има точно ортогонална точка, която се приближава (1, 0, 1) и също има стойност 0 (цвят черно) така че има трета ортогонална точка, приблизителна (0, 1, 0) и имаща стойност 1 (цвят бял). По същия начин за (0, 0, 1). Но (0, 1, 0) и (0, 0, 1) са ортогонални и за всички членове на S '∩ S ″ направленията, приближаващи ги, имат стойност 1 (цвят бял), докато QM прогнозира, че вероятността за стойности 1 за приблизителните стойности на посоките е 0. За да се гарантира, че това прогнозиране е изпълнено, S '∩ S ″ трябва да бъде изключително малък подмножество от S, което означава, че вероятността и за двете (1, 1, 1) и (-1, 1, 1) (най-лявата и дясната точка на фиг. 3) трябва да е близо до 0 и приблизително 0 да е по-добре и по-добре с растежа на S. QM,напротив, прогнозира вероятност 1/17. (Спомнете си също, че този номер може да бъде избутан до 1/3, като изберете набор от 13 посоки!)

Cabello (2002), използвайки много сходни разсъждения, показа, че моделите на MKC водят до прогнози, които очевидно се различават от тези на QM. За D _CK той ефективно използва стратегията, начертана по-горе: QM дава вероятности за направления в набора Clifton-Kent, които техният модел трябва да съвпада, за да възпроизвежда прогнози за QM. Тъй като тези упътвания са произволно близки до упътвания от KS безцветен набор (или упътвания, водещи до ограничението на Клифтон), това води до ограничения за тези близки точки, които измеримо се нарушават от прогнозите на QM. За D Майер _МСлучаят на Кабело е още по-силен. Той изрично представя набор от девет рационални вектора, водещи до прогнози, различни от QM (за три от тези направления). Следователно аргументът на Майер е фактически опроверган (без да се прибягва до изискването на Мермин): Дори и да има наблюдения, съответстващи на рационалните направления в R ₃ (което само по себе си е неправдоподобно предположение) теория, която предполага, че всички те имат неконтекстуални стойности, вярно разкрити чрез измерване ще бъде измеримо в съответствие с QM. Да приемем сега, че направленията на Cabello са били тествани и прогнозите на QM са надеждно потвърдени, тогава това би довело до (надеждността на тестовете) доказателство, че Nature е контекстуален.

И така, накратко изглежда, че ако приемем, че има непрекъснато много наблюдения на QM (съответстващи на континуума от направления във физическото пространство), се изграждат статистически тестове, например на Clifton 1993 или Cabello / Garcìa-Alcaine 1998 предложението остава изцяло валидно като емпирични потвърждения на QM и чрез теоремата на KS за контекстуалността. Тъй като тези статистически нарушения на програмата HV възникват като противоречия на резултатите от QM, VD, VR и NC от една страна, и QM и експеримент от друга, експерименталните данни все още ни налагат трилемата да се откажем или от VD или VR или NC. Както видяхме, отказът от ценностния реализъм в крайна сметка става идентичен с един вид контекстуализъм, следователно наистина имаме само две възможности: (1) Предаване на VD,или за всички наблюдаеми, които са забранени да имат стойности в ортодоксалната интерпретация (като по този начин се отказват от програмата HV, както е дефинирано по-горе), или за подмножество от тези наблюдения (както правят модалните интерпретации). (2) Одобряване на един вид контекстуализъм. Освен това, както стоят нещата в момента, изборът между тези два варианта изглежда не е въпрос на емпирично тестване, а на чист философски аргумент.

библиография

• Appleby, DM, 2005, „Теоремата на Кохен-Спекер“, Изследвания по история и философия на съвременната физика, 36: 1–28.
• Bacciagaluppi, G., 1995, “Теорема на Кохен-Спекер в модалното тълкуване”, International Journal of Theoretical Physics, 34: 1205–15.
• Barrett, J. and Kent, A., 2004, „Неконтекстуалност, измерване на крайната точност и теоремата на Кохен-Спекер“, Изследвания по история и философия на съвременната физика, 35: 151–76. [Предпечатът е достъпен онлайн.]
• Бел, Дж. Дж., 1966, „По проблема на скритите променливи в квантовата механика“, Рецензии на съвременната физика, 38: 447–52; препечатано в неговото (1987) (препратките на страниците са към преизданието).
• –––, 1987, Говорещо и неизказано в квантовата механика, Кеймбридж: Cambridge University Press
• Бор, Н., 1935, „Може ли квантовото механично описание на физическата реалност да се счита за завършено?“Физически преглед, 48: 696–702; препечатано в J. Kalckar (съст.), Niels Bohr. Събрани съчинения (том 7), Амстердам: Elsevier, 1996, 292–98.
• Bub, J., 1997. Тълкуване на квантовия свят. Cambridge University Press.
• Cabello, A., 2002, „Измерването с крайна точност не анулира теоремата на Кохен-Спекер“, Физически преглед, A 65: 05201. [Предпечатът е достъпен онлайн.]
• Cabello, A., Estebaranz, J. и Garcìa-Alcaine, G., 1996, “Теорема на Бел-Кохен-Спекер: Доказателство с 18 вектора”, Писма по физика, A 212: 183–87. [Предпечатът е достъпен онлайн.]
• Cabello, A. и Garcìa-Alcaine, G., 1998, "Предложен експериментален тест на теоремата на Бел-Кохен-Спекер", Писма за физически преглед, 80: 1797–99. [Предпечатът е достъпен онлайн.]
• Clifton, RK, 1993, „Превръщането на контекстуални и нелокални елементи на реалността по лесен начин“, American Journal of Physics, 61: 443–47.
• –––, 1995, „Защо модалните интерпретации на квантовата механика трябва да се откажат от класическите разсъждения за физическите свойства“, Международен журнал за теоретична физика, 34, 1303–1312.
• –––, 1996, „Свойствата на модалните интерпретации на квантовата механика“, Британско списание за философия на науката, 47: 371–98.
• Клифтън, Р. К. и Кент, А., 2000 г., „Симулиране на квантовата механика от неконтекстуални скрити променливи“, Известия на Кралското общество в Лондон A, 456: 2101–14. [Предпечатът е достъпен онлайн.]
• Cooke, RM, Keane, M., и Moran, W., 1985, „Елементарно доказателство за теоремата на Глисън“, Математически трудове на Философското общество в Кеймбридж, 98: 117–28; препечатано в Хюз 1989, 321–46.
• Fine, A., 1973, „Вероятност и тълкуване на квантовата механика“, Британско списание за философия на науката, 24: 1–37.
• –––, 1974 г., „За пълнотата на квантовата механика“, Синтеза, 29: 257–89; препечатано в P. Suppes (съст.), Логика и вероятност в квантовата механика, Dordrecht: Reidel, 1976, 249–81.
• Fine, A. и Teller, P., 1978, „Алгебраични ограничения на скритите променливи“, Основи на физиката, 8: 629–36.
• Gleason, AM, 1957, „Мерки за затворените подразделения на Хилбертово пространство“, сп. „Математика и механика“, 6: 885–93; препечатано в Хукер 1975, 123–34.
• Held, C., 1998, Die Bohr-Ainstein-Debatte. Quantenmechanik und physikalische Wirklichkeit, Paderborn: Schöningh.
• –––, 2008, „Аксиоматична квантова механика и пълнота“, Основи на физиката, 38: 707–732. [Достъпно онлайн.]
• –––, 2012a, „Проблемът за квантовата пълнота“, в MR Pahlavani (ed.), Измервания в квантовата механика, Риека; InTech, 175–196. [Достъпно онлайн.]
• –––, 2012b, „Несъвместимост на стандартната пълнота и квантовата механика“, Международно списание за теоретична физика, 51 (9): 2974–2984. [Предпечатът е достъпен онлайн.]
• Hermann, Grete, 1935, „Die naturphilosophischen Grundlagen der Quantenmechanik” Abhandlungen der Fries'schen Schule, 6. [Превод на английски език от съответната секция, от М. П. Зевинк е достъпен онлайн.]
• Hooker, C. (ed.), 1975, Логико-алгебраичният подход към квантовата механика, Dordrecht: Reidel.
• Huang, Y.-F., Li, C.-F., Zhang, Y.-S., Pan, J.-W. и Guo, G.-C., 2003, „Експериментален тест на Кочен- Теорема на Specker с единични фотони”, Физически рецензионни писма, 90 (25): 250401-1 - 250401-4. [Предпечатът е достъпен онлайн.]
• Huang Y.-F., Li, M., Cao, D.-Y., Zhang, C., Zhang, Y.-S., Liu, B.-H., Li, C.-F. и, Гоо, G.-C., 2013, „Експериментален тест за квантова контентност на независимост от държавата на неделима квантова система“, Физически преглед A, 87: 052133-1 - 052133-10.
• Хюз, RIG, 1989, Структурата и интерпретацията на квантовата механика, Кеймбридж, Масачузетс: Harvard University Press.

• Кент, А., 1999, „Неконтекстуални скрити променливи и физически измервания“, Писма за физически преглед, 83: 3755–57.

  [Предпечатът е достъпен онлайн.]

• Kernaghan, М., 1994, „Теорема на Бел-Кохен-Спекер за 20 вектора“, Journal of Physics, A 27: L829–30.
• Kochen, S. and Specker, E., 1967, „Проблемът на скритите променливи в квантовата механика“, сп. „Математика и механика“, 17: 59–87; препечатано в Hooker 1975, 293–328 (препратки на страници към оригинал и препечатване).
• Майер, DA, 1999, „Измерването на крайната точност анулира теоремата на Кохен-Спекер“, Писма за физически преглед, 83: 3751–54. [Предпечатът е достъпен онлайн.]
• Mermin, ND, 1990a, „Quantum Mysteries Revisited“, American Journal of Physics, 58: 731–34.
• –––, 1990b, „Проста унифицирана форма на основните теории за скрити променливи“, Физически рецензионни писма, 65: 3373–76.
• –––, 1993, „Скрити променливи и двете теореми на Джон Бел“, Рецензии на съвременната физика, 65: 803–815.
• Pavičić, M., Merlet, J.-P., McKay, B., and McGill, ND, 2005, „Kochen-Specker Vectors“, Journal of Physics, A 38: 1577–92. [Предпечатът е достъпен онлайн.]
• Перес, А., 1991, „Две прости доказателства от теорията на Кохен-Спекер“, сп. „Физика“, A 24: L175–8.
• –––, 1995, Квантова теория: концепции и методи, Dordrecht: Kluwer.
• Pitowsky, I., 1983, “Детерминиран модел на завъртане и статистика”, Physical Review, D 27: 2316–26.
• –––, 1985, „Квантова механика и ценностна дефиниция“, Философия на науката, 52: 154–56.
• Redhead, М., 1987, Непълноти, Нелоялност и Реализъм. Пролегомен на философията на квантовата механика, Оксфорд: Кларъндън Прес.
• –––, 1995, От физика до метафизика, Кеймбридж: Cambridge University Press.
• Шимон, А., 1984, „Контекстуални теории за скрити променливи и неравенства на Бел“, Британски журнал за философия на науката, 35: 25–45.
• –––, 1993, Търсене на натуралистичен мироглед, том II: Природознание и метафизика, Кеймбридж: Cambridge University Press.
• Simon, Christoph, Zukowski, M., Weinfurter, H., Zeilinger, A., 2000, „Осъществим експеримент на Кохен-Спекер с единични частици“, Писма за физически преглед, 85: 1783–86. [Предпечатът е достъпен онлайн.]
• Specker, E., 1960, “Die Logik nicht gleichzeitig entscheidbarer Aussagen”, Dialectica, 14: 239–46.
• Стълби, А., 1992, „Определяща стойност и контекстуализъм: Изрязване и залепване с пространството на Хилберт“, PSA 1992, 1: 91–103.
• Swift, AR и Wright, R., 1980, „Генерализирани експерименти на Щерн-Герлах и наблюдението на произволни спинови оператори“, Journal of Mathematical Physics, 21: 77–82.
• Tang, W. and Yu, S., 2017, „Изграждане на независими от държавата доказателства за квантовата контекстуалност“, Физически преглед A, 96: 062126-1–062126-9.
• van Fraassen, BC, 1973, „Семантичен анализ на квантовата логика“, в CA Hooker (съст.), Съвременни изследвания в основите и философията на квантовата теория, Dordrecht: Reidel, 80–113.
• фон Нойман, Дж., 1955, Математически основи на квантовата механика (немско издание 1932), Принстън: Принстънски университетски печат.
• Yu, S. и Oh, CH, 2012, „Независими от държавата доказателства за теоремата на Кохен-Спекер с 13 лъча“, Писма за физически преглед, 108: 030402-1–030402-5.

Академични инструменти

	Как да цитирам този запис.
	Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
	Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
	Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси

• Appleby, DM, 2000, „Контекстуалност на приблизителните измервания“. [Предпечатът е достъпен онлайн.]
• Cabello, A., 1999, „Коментар към„ Неконтекстуални скрити променливи и физически измервания ““. [Предпечатът е достъпен онлайн.]
• Мермин, ND, 1999, „Теорема на Кохен-Спекер за точно определени измервания“. [Предпечатът е достъпен онлайн.]
• Раджан, Д. и Висер, М., 2017, „Теоремата на Кохен-Спекер преразгледана“. [Предпечатът е достъпен онлайн.]
• Теорема на Кохен Спекер на arxiv.org