Философия на математиката на Кант

2023 Автор: Noah Black | [email protected]. Последно модифициран: 2023-08-25 04:38

Навигация за влизане

Съдържание за участие
библиография
Академични инструменти
Friends PDF Preview
Информация за автора и цитирането
Върнете се в началото

Философия на математиката на Кант

Публикувана за първи път пет юли 19, 2013

Кант беше ученик и учител по математика през цялата си кариера и неговите размисли върху математиката и математическата практика оказаха дълбоко влияние върху неговата философска мисъл. Той разработва разгледани философски възгледи за състоянието на математическата преценка, естеството на математическите определения, аксиомите и доказателството и връзката между чистата математика и естествения свят. Освен това подходът му към общия въпрос „как априори са възможни синтетичните преценки?“е оформен от концепцията му за математика и нейните постижения като добре обоснована наука.

Философията на математиката на Кант представлява интерес за различни учени по множество причини. Първо, мислите му за математиката са ключов и централен компонент на неговата критична философска система и затова те осветяват историка на философията, който работи върху всеки аспект на корпуса на Кант. Освен това, въпроси от съвременен интерес и уместност възникват от разсъжденията на Кант за най-фундаменталните и елементарни математически дисциплини, въпроси, които продължават да информират важни въпроси в метафизиката и епистемологията на математиката. И накрая, разногласията за това как да се интерпретира математическата философия на Кант са породили плодородна област на настоящите изследвания и дебати.

1. Предкритичната философия на математиката на Кант
2. Критическата философия на математиката на Кант
- 2.1 Теорията на Кант за изграждането на математически понятия в „Дисциплината на чистия разум в догматичната употреба“
- 2.2 Отговорът на Кант на въпроса му „Как е възможна чистата математика?“
- 2.3 Концепцията на Кант за ролята на математиката в трансценденталния идеализъм
3. Дебат за коментар и тълкуване
библиография
Академични инструменти
Други интернет ресурси
Свързани записи

1. Предкритичната философия на математиката на Кант

През 1763 г. Кант влиза в конкурс за есе за награди, засягащ въпроса дали първите принципи на метафизиката и морала могат да бъдат доказани и по този начин да постигне същата степен на сигурност като математическите истини. Въпреки че есето му е удостоено с втора награда от Кралската академия на науките в Берлин (губейки от „За доказателствата в метафизичните науки“на Моис Менделсон), той все пак е известен като „Есе на наградата“на Кант. Нарисът „Награда“е публикуван от Академията през 1764 г. под заглавие „Запитване относно различимостта на принципите на естественото богословие и морал“и представлява ключов текст в предкритичната философия на математиката на Кант.

В Нарисово есе Кант се ангажира да сравнява методите на математиката и метафизиката (Carson 1999; Sutherland 2010). Той твърди, че „бизнесът на математиката… е обединяването и сравняването на дадени понятия от величини, които са ясни и сигурни с оглед установяване на това, което може да се направи от тях“(2: 278). Освен това той заяви, че този бизнес се осъществява чрез изследване на фигури или „видими знаци“, които дават конкретни представи за универсални понятия, които са синтетично определени. Например, човек дефинира математическото понятие чрез произволна комбинация от други понятия („четири прави линии, ограничаващи плоска повърхност, така че противоположните страни да не са успоредни една на друга“^[1]), придружен от „разумен знак“, който показва отношенията между частите на всички така дефинирани обекти. Дефинициите, както и основните математически предложения, например, че пространството може да има само три измерения, трябва да бъдат „изследвани конкретно, така че те да се познават интуитивно“, но такива твърдения никога не могат да бъдат доказани, тъй като не са изведени от други предложения (2: 281). Теоремите се установяват, когато прости познания се комбинират „чрез синтез“(2: 282), както когато например се докаже, че произведенията на сегментите, образувани от два хорда, пресичащи се в кръг, са равни. В последния случай,човек доказва теорема за всички и всички двойки линии, които се пресичат вътре в кръг, а не чрез „начертаване на всички възможни линии, които биха могли да се пресичат помежду си в [кръга]“, а по-скоро чрез начертаване само на две линии и идентифициране на връзката между тях (2: 278). „Универсалното правило“, което дава резултат, се извежда чрез синтез между показаните знаци, които се показват, и в резултат на това между понятията, които чувствителните знаци илюстрират.

Кант заключава, че математическият метод не може да бъде приложен за постигане на философски (и по-специално метафизични) резултати, поради основната причина, че „геометрите придобиват своите понятия чрез синтез, докато философите могат да придобият своите понятия само чрез анализ - и което напълно променя метода на мисълта”(2: 289). И все пак на този предкритичен етап той също заключава, че макар да липсват синтетични дефиниции на неговите основни понятия, „метафизиката е толкова способна на сигурността, която е необходима, за да произведе убеждение, колкото математиката“(2: 296). (По-късно, в критичния период, Кант ще разшири понятието синтез, за да опише не само генезиса и комбинацията от математически понятия, но и акта на обединяване на многообразните представи. Той, разбира се, щеизползвайте термините „синтетичен“и „аналитичен“, за да разграничите два взаимно изключващи се начина, по които субектните и предикатните понятия се свързват помежду си в различни преценки от всякакъв вид и той ще подчертае разширен смисъл на това разграничение, който обхваща методологичен контраст между два режима на аргументация, един синтетичен или прогресивен, а другият аналитичен или регресивен. Тези различни сетива на аналитичното / синтетичното разграничение ще бъдат разгледани накратко, по-долу.)Тези различни сетива на аналитичното / синтетичното разграничение ще бъдат разгледани накратко, по-долу.)Тези различни сетива на аналитичното / синтетичното разграничение ще бъдат разгледани накратко, по-долу.)

В есетата „Относно крайната основа на диференциацията на посоките в Космоса“и „За формата и принципите на разумния и разбираемия свят [инавгурационна дисертация]“от 1768 г. и 1770 г. започват съответно мислите на Кант за математиката и нейните резултати да се развива в посока на своята критична философия, тъй като той започва да разпознава ролята, която отделна способност за чувствителност ще играе в сметка на математическото познание (Carson 2004). В тези есе той приписва успеха на математическите разсъждения за достъпа му до „принципите на чувствителната форма“и „първичните данни на интуицията“, което води до „закони на интуитивното познание“и „интуитивни преценки“относно величината и разширяването. Една такава преценка служи за установяване на възможността за обект, който е „точно равен и подобен на друг,но която не може да бъде затворена в същите граници като тази друга, нейната несъответстваща колега”(2: 382) (Buroker 1981; Van Cleve and Frederick 1991; Van Cleve 1999). Кант се позовава на такива „несъответстващи колеги“в „Посоки в космоса“, за да установи ориентираността и актуалността на абсолютно пространство в стил Нютонов, обект на геометрия, както той го разбира. Той се позовава на същия пример в „Първоначалната дисертация“, за да установи, че пространствените отношения „могат да бъдат възприети само от определена чиста интуиция“и така показват, че „геометрията използва принципи, които са не само непроницаеми и дискурсивни, но също попадат под погледа на ума. " Като такива математическите доказателства са „парадигмата и средствата на всички доказателства в другите науки“(2: 403). (По-късно, в Пролегомена на критичния период,той ще се позове на несъответстващи колеги за установяване на трансценденталната идеалност на пространството, като по този начин дезактивира по-ранния си аргумент в подкрепа на абсолютното пространство.)

2. Критическата философия на математиката на Кант

2.1 Теорията на Кант за изграждането на математически понятия в „Дисциплината на чистия разум в догматичната употреба“

Критическата философия на Кант намира математика най-пълно в раздела на Критиката на чистия разум, озаглавен „Дисциплината на чистия разум в догматичната употреба“, който започва второто от двете основни разделения на критиката, „Трансценденталната доктрина на метода“. В предишните раздели на Критиката Кант е подлагал чиста причина „в своята трансцендентална употреба в съответствие с просто понятия“на критика, за да „ограничи склонността си към разширяване извън тесните граници на възможното преживяване“(A711 / B739). Но Кант ни казва, че не е излишно да подлагаме математиката на такава критика, защото използването на чист разум в математиката се поддържа до „видима следа“чрез интуицията: „[математическите] понятия трябва незабавно да се излагат в бетон в чиста интуиция,чрез което всичко неоснователно и произволно моментално става очевидно”(A711 / B739). Независимо от това, практиката и дисциплината на математиката наистина изискват обяснение, за да се отчете както успехът й в демонстрирането на съществени и необходими истини, така и да се лицензира нейното призоваване като модел на разсъждение. По този начин Кант насочва себе си, както и в предкритичния период, на въпроса за това, което е причината за "щастливия и добре обоснован" математически метод, а също и дали той е полезен във всяка друга дисциплина, различна от математиката. За да отговори на последния отрицателен въпрос, Кант трябва да обясни уникалността на математическите разсъждения.с цел както да отчете успеха си в доказването на съществени и необходими истини, така и да лицензира призоваването си като модел на разсъждения. По този начин Кант насочва себе си, както и в предкритичния период, на въпроса за това, което е причината за "щастливия и добре обоснован" математически метод, а също и дали той е полезен във всяка друга дисциплина, различна от математиката. За да отговори на последния отрицателен въпрос, Кант трябва да обясни уникалността на математическите разсъждения.с цел както да отчете успеха си в доказването на съществени и необходими истини, така и да лицензира призоваването си като модел на разсъждения. По този начин Кант насочва себе си, както и в предкритичния период, на въпроса за това, което е причината за "щастливия и добре обоснован" математически метод, а също и дали той е полезен във всяка друга дисциплина, различна от математиката. За да отговори на последния отрицателен въпрос, Кант трябва да обясни уникалността на математическите разсъждения. Кант трябва да обясни уникалността на математическите разсъждения. Кант трябва да обясни уникалността на математическите разсъждения.

Централната теза на разказа на Кант за уникалността на математическите разсъждения е твърдението му, че математическото познание произтича от „конструкцията“на неговите концепции: „да се конструира понятие означава да проявяваме априори интуицията, съответстваща на него”(A713 / B741) (Friedman 1992, Friedman 2010). Например, докато понятието може да бъде дискурсивно дефинирано като праволинейна фигура, съдържаща се от три прави линии (както е направено в Елеклид Елементи), концепцията е конструирана в техническия смисъл на Кант на термина, само когато такова определение е сдвоено с съответстваща интуиция, тоест с единствено и веднага очевидно представяне на тристранна фигура. Кант твърди, че когато човек така направи триъгълник за целите на изпълнението на помощните конструктивни стъпки, необходими за геометрично доказване, човек прави това априори, независимо дали триъгълникът се произвежда на хартия или само във въображението. Това е така, защото в нито един от случаите показаният обект не заимства своя модел от опит (A713 / B741). Освен това,може да се извлекат универсални истини за всички триъгълници от такъв единствен дисплей на отделен триъгълник, тъй като конкретните определения на показания обект, например величината на неговите страни и ъгли, са „напълно безразлични“към способността на представения триъгълник да се проявява общата концепция (A714 / B742). Следователно разказът на Кант трябва да се защитава от общоприеманата позиция, че универсалните истини не могат да бъдат извлечени от разсъждения, които зависят от конкретни представи. (Подобно, по-малко от идеално прави страни на емпирично направен триъгълник също са „безразлични“и затова такава емпирична интуиция се счита за адекватна за геометрично доказателство. Това повдига въпроси как човек може да бъде сигурен, че интуицията показва адекватно съдържанието на концепция, връзката между чистата и емпирична интуиция и,по-специално коя от интуитивно показаните функции може безопасно да бъде игнорирана (Friedman 2010, Friedman 2012).)

В крайна сметка Кант твърди, че "само понятието величини" (количества) може да бъде конструирано в чиста интуиция, тъй като "качествата не могат да се проявят в нищо, освен в емпирична интуиция" (A714 / B742) (Sutherland 2004a; 2004b, 2005a), Това води до принципно разграничение между математическото и философското познание: докато философското познание е ограничено до резултатите от абстрактния концептуален анализ, математическото познание е резултат от „верига от изводи, която винаги се ръководи от интуицията“, т.е. конкретно представяне на обектите му (Hintikka 1967, Parsons 1969, Friedman 1992). Кант се напряга донякъде, за да обясни как математикът конструира аритметични и алгебраични величини, които се различават от пространствените фигури, които са обект на геометрични разсъждения. Правейки разграничение между „остенична“и „символична“конструкция, той идентифицира остенизационната конструкция с практиката на геометрията да показва или показва пространствени фигури, докато символичната конструкция корелира с акта на съчетаване на аритметични или алгебраични символи (като например, например „един величината трябва да бъде разделена на друга, [математиката] поставя символите си заедно в съответствие с формата на нотация за разделяне …”) (A717 / B745) (Бритън 1992, Шабел 1998).[математиката] поставя своите символи заедно в съответствие с формата на нотация за разделяне …”) (A717 / B745) (Бриттан 1992, Шабел 1998).[математиката] поставя своите символи заедно в съответствие с формата на нотация за разделяне …”) (A717 / B745) (Бриттан 1992, Шабел 1998).

Кант също така твърди, че чистата концепция за величината е подходяща за изграждане, тъй като, за разлика от други чисти понятия, тя не представлява синтез на възможни интуиции, но „вече съдържа чиста интуиция в себе си“. Но тъй като единствените кандидати за такива „чисти интуиции“са пространството и времето („простата форма на изяви“), от това следва, че само пространствени и времеви величини могат да се проявяват в чиста интуиция, т.е. конструирани. Такива пространствени и времеви величини могат да бъдат показани качествено чрез показване на формите на нещата, например правоъгълността на стъклата на прозореца, или те могат да бъдат изложени просто количествено, като се покаже броят на частите на нещата, например броя на панелите че прозорецът се състои. И в двата случая показаното се счита за чиста и „формална интуиция“,проверка на която дава преценки, които „надхвърлят“съдържанието на оригиналната концепция, с която се свързва интуицията. Такива преценки са парадигматично синтетични априорни преценки (които ще бъдат обсъждани по-дълги по-долу), тъй като са амплифициращи истини, които са обосновани независимо от опита (Shabel 2006).

Кант твърди, че математическото разсъждение не може да бъде използвано извън сферата на математиката, която е подходяща за такива разсъждения, тъй като той го разбира, е непременно насочен към обекти, които са „определено дадени в чиста интуиция априори и без емпирични данни“(A724 / B752). Тъй като могат да бъдат дадени само формални математически обекти (т.е. пространствени и времеви величини), математическите разсъждения са безполезни по отношение на материално дадено съдържание (макар че истините, произтичащи от математическите разсъждения за формалните математически обекти, ползотворно се прилагат към такова материално съдържание, което е да кажем, че математиката е априори вярна на изявите.) Следователно „задълбоченото основание“, което математиката намира в своите определения, аксиоми и демонстрации, не може да бъде „постигнато или имитирано“от философията или физическите науки (A727 / B755).

Докато теорията на Кант за изграждането на математическа концепция може да се мисли като дава обяснение на математическата практика, както я разбира Кант ^[2], теорията е преплетена с по-широките ангажименти на Кант към строгите разграничения между интуициите и понятията, като начини на представяне; между умствените способности на чувствителност и разбиране; между синтетични и аналитични преценки; и между априори и последващо доказателство и разсъждения. В крайна сметка картината на математиката, разработена в Дисциплината на чистия разум при догматичната употреба, зависи от пълната теория на преценката, която Критиката има за цел да предостави, и най-вече от теорията на чувствителността, която Кант предлага в „Трансценденталната естетика“(Парсънс 1992, Карсън 1997), както и в съответните пасажи в основния трансцендентален въпрос на Пролегомена, първа част, където той изследва „произхода“на чисто разумните понятия на математиката и „обхвата на тяхната валидност“(A725 / B753).^[3]

2.2 Отговорът на Кант на въпроса му „Как е възможна чистата математика?“

Кант задава два свързани водещи въпроса на своята критическа философия: (1) Как са възможни синтетични преценки априори ?; и (2) Как е възможна метафизиката като наука (B19; B23)? Математиката предоставя специален път за подпомагане на отговорите на тези въпроси, като предоставя модел на кодифицирана научна дисциплина, възможността за която е ясна и освен това гарантирана от собственото й постижение на познанието, което е едновременно синтетично и априорно. С други думи, обяснение за това как синтетичните априорни съждения се утвърждават в математически контексти, заедно с полученото и свързано с това обяснение как систематично тяло с доказани знания включва такива преценки, позволяват математическата истина да се използва като парадигма на същественото все още необходими и универсални истини, които метафизиката се надява да постигне. Кант Теорията на конструирането на математическа концепция (обсъдена по-горе) може да бъде оценена изцяло само във връзка с третирането на такива по-широки въпроси относно самата същност и възможността за математическото и метафизичното познание.

Както в Преамбюла на Пролегомена към всяка бъдеща метафизика, така и в Б-Въведение в критиката на чистия разум, Кант въвежда аналитично / синтетичното разграничение, което разграничава преценките, чиито предикати принадлежат или се съдържат в предметната концепция и преценките предикатите от които са свързани, но надхвърлят съответно предметната концепция. Във всеки текст той следва представянето на това разграничение с обсъждане на твърдението си, че всички математически преценки са синтетични и априорни. ^[4]Там той първо твърди, че „правилно математическите преценки винаги са априорни преценки“на основанието, че са необходими и затова не могат да бъдат извлечени от опит (B14). Той следва това с обяснение как такива неемпирични преценки все още могат да бъдат синтетични, тоест как те могат да служат за синтезиране на субект и предикатна концепция, а не просто да експлицират или анализират понятие предмет в съставните му логически части. Тук той по известен начин се позовава на предложението "7 + 5 = 12" и отрича отрицателно, твърдейки, че "колкото и да анализирам концепцията си за такава възможна сума [от седем и пет], все още няма да намеря дванадесет в нея", и също така положително, твърдейки, че „Човек трябва да надхвърля тези понятия [от седем и пет], търсейки помощ в интуицията, която съответства на един от двата, нечии пет пръста,кажете … и една след друга добавете единиците от петте, дадени в интуицията, към концепцията за седем … и по този начин виждайте, че числото 12 възниква “(B15). От него следва, че необходимата истина на аритметично предложение като „7 + 5 = 12“не може да бъде установена по никакъв метод на логически или концептуален анализ (Anderson 2004), но може да бъде установена чрез интуитивен синтез (Parsons 1969). Той следва това обсъждане на аритметичните разсъждения и истината със съответните твърдения за евклидовата геометрия, според които принципите на геометрията изразяват синтетични отношения между понятия (като например между концепцията за правия ред между две точки и концепцията за най-късата линия между тези същите две точки), нито една от които не може да бъде аналитично „извлечена” от другата. По този начин принципите на геометрията изразяват отношения между основните геометрични понятия, доколкото те могат да бъдат „изложени в интуиция“(Shabel 2003, Sutherland 2005a).

На други места Кант също включва геометрични теореми като видове предложения (в допълнение към геометричните принципи), които се считат за синтетични (Friedman 1992, Friedman 2010). Но разказът на Кант за синтетичността на такива теореми не е прозрачен. Отричайки, че принципите (Grundsätze) биха могли да бъдат познати аналитично от принципа на противоречие, той признава, че математическото заключение от вида, необходимо за установяване на геометрични теореми, протича „в съответствие с принципа на противоречие“, както и че „синтетично предложение разбира се, може да бъде разбран в съответствие с принципа на противоречие ", макар че" само доколкото е предположено друго синтетично предложение, от което може да бъде изведено, никога само по себе си "(B14). И така, докато той е ясен, че всички математически преценки, включително геометрични теореми,са синтетични, той е по-малко ясен какво точно означава това за такива предположения или изводите, които ги подкрепят да „съгласуват“принципа на противоречие, производността, от която той приема, че е парадигменният тест за аналитичност. Това води до интерпретационно несъгласие по отношение на това дали демонстрируемите математически преценки следват от синтетичните принципи чрез строго логично или концептуално заключение - и така в стриктно съответствие само с принципа на противоречие - или дали са изведени чрез заключения, които самите са зависими от интуицията, т.е. но които не нарушават закона за противоречие. Следователно има разногласия дали Кант се ангажира само със синтетичността на аксиомите на математиката (които предават синтетичност на демонстрируеми теореми чрез логически изводи),или също се ангажира със синтетичността на самото математическо заключение. Бившата интерпретационна позиция е свързана с Ернст Касирер и Люис Уайт Бек; последната позиция с Бертран Ръсел (предстоящ Хоган). Гордън Бретан (Brittan 2006) представя и двете такива позиции като „доказателствени“, което е неговият етикет за всяка интерпретация, според която интуициите дават незаменими доказателства за истинността на математиката, независимо дали тези доказателства са предоставени в подкрепа на аксиоми или изводи, или и двете. Според алтернативното му „обективистично“положение интуициите не предоставят доказателства, а са по-скоро семантични носители на единична справка и „обективна реалност“(Бриттан, 2006).последната позиция с Бертран Ръсел (предстоящ Хоган). Гордън Бретан (Brittan 2006) представя и двете такива позиции като „доказателствени“, което е неговият етикет за всяка интерпретация, според която интуициите дават незаменими доказателства за истинността на математиката, независимо дали тези доказателства са предоставени в подкрепа на аксиоми или изводи, или и двете. Според алтернативното му „обективистично“положение интуициите не предоставят доказателства, а са по-скоро семантични носители на единична справка и „обективна реалност“(Бриттан, 2006).последната позиция с Бертран Ръсел (предстоящ Хоган). Гордън Бретан (Brittan 2006) представя и двете такива позиции като „доказателствени“, което е неговият етикет за всяка интерпретация, според която интуициите дават незаменими доказателства за истинността на математиката, независимо дали тези доказателства са предоставени в подкрепа на аксиоми или изводи, или и двете. Според алтернативното му „обективистично“положение интуициите не предоставят доказателства, а са по-скоро семантични носители на единична справка и „обективна реалност“(Бриттан, 2006). Според алтернативното му „обективистично“положение интуициите не предоставят доказателства, а са по-скоро семантични носители на единична справка и „обективна реалност“(Бриттан, 2006). Според алтернативното му „обективистично“положение интуициите не предоставят доказателства, а са по-скоро семантични носители на единична справка и „обективна реалност“(Бриттан, 2006).

Вниманието към този интерпретационен въпрос във философията на математиката на Кант е жизненоважно за светлината, която се хвърля върху по-общия въпрос за това, което прави възможно синтетичното априорно познание, централният въпрос на Критиката на Чистия разум на Кант. По отношение на този по-общ въпрос е важно да се разграничи използването на Кант от термините „аналитичен“и „синтетичен“, за да се маркира логико-семантично разграничение между типове преценки - което Кант използва за защита на отличителната теза, че математическото познание е синтетично a priori - от използването на едни и същи термини за отбелязване на традиционно математическо разграничение между аналитични и синтетични методи (Beaney 2012). Той разгръща последното разграничение, за да идентифицира две различни аргументативни стратегии за отговор на въпроса за „възможността за чиста математика.„Аналитичният метод се характеризира с разсъждения, които проследяват дадено тяло на познание, като математика, до неговия произход или източници в ума. За разлика от това, синтетичният метод има за цел да извлече реално познание директно от такива оригинални когнитивни източници, кои източници или сили първо се експлицират независимо от всеки конкретен орган на познание (включително математика), който силите могат в крайна сметка да произведат. Кант възприема бившия метод в своята Prolegomena, като се аргументира от синтетичния и априорния характер на математическата преценка до твърдението, че пространството и времето са формите на човешката чувствителност; той възприема последния метод в „Критика на чистия разум“, като твърди, че формите на човешката чувствителност, пространство и време дават основа за извличане на синтетични и априорни математически преценки (Shabel 2004). Тези аргументи,заедно с подробностите от неговия разказ за синтетичния и априорния характер на цялата математическа преценка, дават отговор на въпроса за възможността за математика: практиките, които дават парадигматично синтетични и априорни преценки на математическата наука са обосновани в и се обяснява със самата природа на човешката чувствителност и по-специално с пространствено-времевата форма на всички (и единствени) обекти на човешкия опит (Van Cleve 1999).чрез пространствено-времевата форма на всички (и единствени) обекти на човешкия опит (Van Cleve 1999).чрез пространствено-времевата форма на всички (и единствени) обекти на човешкия опит (Van Cleve 1999).

2.3 Концепцията на Кант за ролята на математиката в трансценденталния идеализъм

Теорията на математическата практика на Кант се свързва не само с неговата теория за чувствителност (както е описано по-горе), но и с други аспекти на учението за трансценденталния идеализъм, както е артикулирано в критичните произведения на Кант.

В трансценденталния аналитик Кант извежда таблицата с дванадесет категории, или чисти понятия на разбирането, първите шест от които той описва като „математически“(за разлика от „динамичните“) категории поради загрижеността им към обектите на интуицията (B110). Понятието число се третира като „принадлежност“към категорията „цялост“или цялост, за което се смята, че произтича от комбинацията от понятия за единство и множествено число (Parsons 1984). Но Кант също така твърди, че трудностите, които възникват при представянето на безкрайностите - в които човек твърди, че представлява единство и множествено число без произтичащо от това представяне на числото, разкриват, че понятието число трябва да изисква посредничеството на „специален акт на разбирането“(B111).(Този специален акт, вероятно, е синтезът, който Кант описва като функция както на въображението, така и на разбирането, и който трябва да обясни пълната теория на преценката, включително Трансценденталната дедукция и схематизма (Longuenesse 1998).), въпреки че той също твърди, че аритметиката „формира своите понятия за числа чрез последователно добавяне на единици във времето“(4: 283), е подвеждащо да се заключи, че аритметиката е на времето, тъй като геометрията е на пространството, тъй като формалната интуиция на времето е недостатъчен за обяснение на общата и абстрактната наука за числото.въпреки че той също твърди, че аритметиката „формира своите понятия за числа чрез последователно добавяне на единици във времето“(4: 283), е подвеждащо да се заключи, че аритметиката е във времето, тъй като геометрията е в пространството, тъй като формалната интуиция на времето е недостатъчна да обясни общата и абстрактната наука за числото.въпреки че той също твърди, че аритметиката „формира своите понятия за числа чрез последователно добавяне на единици във времето“(4: 283), е подвеждащо да се заключи, че аритметиката е във времето, тъй като геометрията е в пространството, тъй като формалната интуиция на времето е недостатъчна да обясни общата и абстрактната наука за числото.^[5] (Всъщност Кант декларира, че механиката е математическата наука, която е на времето каква геометрия е в космоса.)

В схематизма Кант се задължава да идентифицира конкретния механизъм, който позволява на чистите концепции на разбирането да се подчиняват на разумните интуиции, с които те са разнородни. Категориите трябва да бъдат „схематизирани“, тъй като техният неемпиричен произход в чисто разбиране пречи да имат вид на разумно съдържание, което би ги свързало веднага с обектите на опит; трансценденталните схеми са медииращи представи, които имат за цел да установят връзката между чистите понятия и изяви по правилен начин. Математическите понятия се обсъждат в този контекст, тъй като те са уникални по това, че са чисти, но и разумни понятия: те са чисти, защото са строго априори по произход и въпреки това са разумни, тъй като са конструирани в конкретно.(Кант допълнително усложнява този въпрос, като идентифицира номера като чистата схема на категорията на величината (Longuenesse 1998).) Възниква интерпретационен въпрос дали математическите понятия, чието концептуално съдържание е дадено разумно, изискват схематизиране чрез разграничимо „трето нещо И, ако е така, какво представлява (Young 1984). По-общо, възниква въпросът как трансценденталното въображение, способността, отговорна за схематизма, действа в математически контексти (Домски 2010).възниква въпросът как трансценденталното въображение, факултетът, отговорен за схематизма, действа в математически контексти (Домски 2010).възниква въпросът как трансценденталното въображение, способността, отговорна за схематизма, действа в математически контексти (Домски 2010).

И накрая, в „Аналитика на принципите“Кант извлича синтетичните преценки, които „априори произтичат от чистите понятия на разбирането“и които обосноват всички други априорни познания, включително тези от математиката (A136 / B175). Принципите на чистото разбиране, които са свързани с категориите на количеството (т.е. единство, множествено число и съвкупност), са аксиомите на интуицията. Докато правилните математически принципи са „извлечени само от интуицията“и така не представляват никаква част от системата от принципи на чисто разбиране, обяснението за възможността на такива математически принципи (описано по-горе) трябва да бъде допълнено от най-високата възможна сметка трансцендентални принципи (A148–9 / B188–9). Съответно аксиомите на интуицията осигуряват мета-принцип или принцип на математическите принципи на количеството, т.е.а именно, че „Всички интуиции са големи величини“(A161 / B202). Повечето коментатори тълкуват Кант тук, за да посочат защо принципите на математиката, свързани с чистото пространство и време, са приложими за изявите: изявите могат да бъдат представени само „чрез същия синтез като този, чрез който пространството и времето като цяло. се определят”(A161 / B202). И така, всички интуиции, били те чисти или емпирични, са "широки величини", които се управляват от принципите на математиката. Изразявайки алтернативно мнение, Даниел Съдърланд вижда в аксиомите на интуицията „не само приложимостта на математиката, но и възможността за всякакви математически познания, чисти или приложени, общи или специфични“и така да имат по-голямо значение, отколкото е оценено (Съдърланд 2005b).

(Забележимо е също, че ключовите пасажи в „Критиката на силата на съда“се занимават с математиката и „математическото възвишение“(Breitenbach 2015). Вижте особено [5: 248ff].)

3. Дебат за коментар и тълкуване

Концепцията на математиката за математика е дискутирана от неговите съвременници; повлияли и провокирали Фреге, Ръсел и Хусерл; и даде вдъхновение за брюверския интуиционизъм. Концепцията му за математика е подмладена като достойна за близко историческо проучване от монографията на Готфрид Мартин от 1938 г. Arithmetik und Kombinatoric bei Kant (Martin 1985). Въпреки много различни позиции, които съвременните коментатори развиват по отношение на това как най-добре да разберат мисълта на Кант, те са широко обединени в противопоставянето на дълго стандартна история (може би първоначално популяризирана от Бертран Ръсел в неговите принципи на математиката и от Рудолф Карнап в неговите философски основания на физика), според която развитието на съвременната логика в 19 ^-ти и 20 ^-тивекове, откриването на неевклидовите геометрии и формализирането на математиката прави основана на интуицията теория на математиката и свързаните с нея философски ангажименти остаряли или без значение. Съвременните коментатори се стремят да реконструират философията на математиката на Кант от предимството на собствения исторически контекст на Кант и също така да идентифицират елементите от математическата философия на Кант, които представляват вечен философски интерес.

В последно време науката за математическата философия на Кант беше повлияна най-силно от непрекъснатия дебат между Яакко Хинтика и Чарлз Парсънс относно това, което стана известно като „логичните” и „феноменологичните” интерпретации на Кант; от семенната книга на Майкъл Фридман „Кант и точните науки“(Фридман 1992), както и неговите сега класически статии „Теория на геометрията на Кант“и „Геометрия, строителство и интуиция в Кант и неговите приемници“(Friedman 1985, 2000); и от документите, събрани в тома на Карл Пози „Философия на математиката на Кант“(който включва приноси на Хинтика, Парсънс и Фридман, както и от Стивън Баркър, Гордън Бритън, Уилям Харпър, Филип Китчър, Артур Мелник, Карл Пози, Манли Томпсън и Дж. Майкъл Йънг,всички те са публикувани преди повече от двадесет години (Posy 1992).)^[6] Новите поколения учени допринасят за оживена, плодородна и продължаваща дискусия относно тълкуването и наследството на философията на математиката на Кант, възникнала с тази литература.

Интерпретационният дебат за това как да разберем възгледа на Кант за ролята на интуицията в математическите разсъждения оказа най-силно влияние върху формата на науката във философията на математиката на Кант; този дебат е пряко свързан с въпроса (описан по-горе) за синтетичността на математическите аксиоми, теореми и изводи. В общото си обсъждане на мисловното представяне Кант предполага, че непосредствеността и сингулярността са едновременно критерии за неконцептуално, интуитивно представяне, видът на представяне, който основава синтетичната преценка. В поредица от документи Чарлз Парсънс (Parsons 1964, 1969, 1984) твърди, че синтетичността на математическите преценки зависи от това, че математическите интуиции са фундаментално непосредствени и той обяснява непосредствеността на подобни представи по възприемащ начин, като пряк, т.е.феноменологично присъствие на ума. Jaakko Hintikka (Hintikka 1965, 1967, 1969), разработвайки идея от по-ранната работа на EW Beth, контрира, че синтетичността на математическите преценки вместо това зависи само от особеността на техните интуитивни съставки. Hintikka присвоява математическите интуиции към единични термини или подробности и обяснява използването на интуицията в математически контекст по аналогия с логическия ход на екзистенциалната инстанция. Тези две позиции стават известни съответно като „феноменологични“и „логически“интерпретации. Hintikka присвоява математическите интуиции към единични термини или подробности и обяснява използването на интуицията в математически контекст по аналогия с логическия ход на екзистенциалната инстанция. Тези две позиции стават известни съответно като „феноменологични“и „логически“интерпретации. Hintikka присвоява математическите интуиции към единични термини или подробности и обяснява използването на интуицията в математически контекст по аналогия с логическия ход на екзистенциалната инстанция. Тези две позиции стават известни съответно като „феноменологични“и „логически“интерпретации.

Първоначалната позиция на Майкъл Фридман (Friedman 1985, 1992) по отношение на ролята на интуицията в математическите разсъждения произхожда от тези на Бет и Хинтика, макар че съществено се различава от тяхната и е изменена в най-новите му писания. В своя Кант и точните науки (Фридман 1992) Фридман заема позицията, че съвременната ни концепция за логиката трябва да се използва като инструмент за интерпретация (а не за критикуване) на Кант, отбелязвайки, че изричното представяне на безкрайността на математическите обекти, които може да се генерира от полиадичната логика на съвременната теория за количествено определяне, концептуално е недостъпна за математика и логика от времето на Кант. В резултат на неадекватността на монадичната логика да представлява безкрайност на обектите,математикът от осемнадесети век разчита на интуицията, за да представи представи, необходими за математическите разсъждения. Фридман обяснява детайлите на философията на Кант на математиката въз основа на това историческо прозрение.

Фридман е променил първоначалната си позиция в отговор на критиката от Емили Карсън (Карсън 1997), която е разработила интерпретация на теорията на Геометрията на Кант, която е Парсонсиан в своя антиформалистичен акцент върху епистемологичното и феноменологичното над логическата роля за интуицията в математиката, В неотдавнашна работа (Фридман 2000, 2010) Фридман твърди, че интуицията, основана на геометрията, е фундаментално кинематична и се обяснява най-добре с преводите и ротациите, които описват както конструктивното действие на евклидовия геометър, така и възприемащата гледна точка на обикновения, пространствено ориентиран наблюдател. Този нов акаунт осигурява синтез между логическите и феноменологичните интерпретационни сметки,в голяма степен чрез свързване на геометричното пространство, което се изследва от въображението чрез евклидовите конструкции, към перспективното пространство, което според Кант е формата на цялата външна чувствителност. По-конкретно, той съвместява логичното с феноменологичното, като „[вгражда] чисто логическото разбиране на геометричните конструкции (като Сколем функции) в пространството като чистата форма на нашата външна разумна интуиция (както е описано в Трансценденталната естетика)“(Friedman 2012, n.17).той съгласува логичното с феноменологичното, като „[вгражда] чисто логическото разбиране на геометричните конструкции (като Сколем функции) в пространството като чистата форма на нашата външна разумна интуиция (както е описано в Трансценденталната естетика)“(Friedman 2012, n. 17).той съгласува логичното с феноменологичното, като „[вгражда] чисто логическото разбиране на геометричните конструкции (като Сколем функции) в пространството като чистата форма на нашата външна разумна интуиция (както е описано в Трансценденталната естетика)“(Friedman 2012, n. 17).

библиография

Препратките към текстовете на Кант следват пагинацията на изданието на Академията (Gesammelte Schriften, Akademie der Wissenschaften (ed.), Берлин: Reimer / DeGruyter, 1910ff.) Позоваванията на Критиката на чистия разум използват обичайната конвенция A / B. Преводите са от изданието на Кеймбридж на произведенията на Имануел Кант.

Anderson, RL, 2004, „Той добавя след всичко: Философията на Аритметика на Кант в светлината на традиционната логика“, Философия и феноменологични изследвания, 69 (3): 501–540.
Barker, S., 1992, "Гледката на Кант за геометрията: частична защита", в Posy 1992, стр. 221–244.
Брейтенбах, А., 2015, „Красотата в доказателства: Кант по естетика в математиката“, Европейско философско списание, 23: 955–977; за първи път публикуван онлайн 2013, doi: 10.1111 / ejop.12021
Британ, Г., 1992, „Алгебра и интуиция“в Пози 1992, с. 315–340.
–––, 2006, „Философия на математиката на Кант“в G. Bird (съст.), Спътник на Кант, Малден, МА: Блеквел, с. 222-235.
Buroker, JV, 1981, Космос и непоколебимост: Произходът на идеализма на Кант, Dordrecht: D. Reidel.
Бътс, Р., 1981, „Правила, примери и конструкции Теория на математиката на Кант“, Синтез, 47 (2): 257–288.
Карсън, Е., 1997, „Кант за интуицията в геометрията“, Канадско списание за философия, 27 (4): 489–512.
–––, 1999, „Кант за метода на математиката“, сп. „История на философията“, 37 (4): 629–652.
–––, 2002, „Сметка на Лок за някои и поучителни знания“, Британско списание за история на философията, 10 (3): 359–378.
–––, 2004, „Метафизика, математика и разграничението между разумното и разумното в уводната дисертация на Кант“, сп. „История на философията“, 42 (2): 165–194.
Домски, М., 2010, „Кант за въображението и геометричната сигурност“, Перспективи на науката, 18 (4): 409–431.
–––, 2012, „Кант и Нютон за априорната необходимост на геометрията“, Изследвания по история и философия на науката (част А), 44 (3): 438–447.
Домски, М. и Диксън, М. (ред.), 2010 г., Дискурс по нов метод: засилване на брака на историята и философията на науката, Чикаго: Публикуване на отворен съд.
Dunlop, K., 2012, „Кант и Стросон относно съдържанието на геометричните понятия“, Noûs, 46 (1): 86–126.
Фридман, М., 1985, „Теория на геометрията на Кант“, Философски преглед, 94 (4): 455–506.
–––, 1992, Кант и точните науки, Кеймбридж: Harvard University Press.
–––, 2000, „Геометрия, строителство и интуиция в Кант и неговите наследници”, в G. Scher и R. Tieszen (ред.), Между логиката и интуицията: есета в чест на Чарлз Парсънс, Кеймбридж: Cambridge University Press, стр. 186–218.
–––, 2010, „Синтетична история, преразгледана“, в Домски и Диксън 2010, стр. 573–813.
–––, 2012, „Кант за геометрията и пространствената интуиция“, Синтеза, 186: 231–255.
Guyer, P. (ed.), 1992, The Cambridge Companion to Kant, Cambridge: Cambridge University Press.
Guyer, P. (ed.), 2006, The Cambridge Companion to Kant and Modern Philosophy, Cambridge: Cambridge University Press.
Хагар, А., 2008, „Кант и неевклидова геометрия“, Кант-Студиен, 99 (1): 80–98.
Хана, Р., 2002, „Математика за хората: Философия на Аритметиката на Кант, преразгледана“, Европейско списание за философия, 10 (3): 328–352.
Harper, W., 1984, „Кант за космоса, емпиричен реализъм и основите на геометрията“, Топои, 3 (2): 143–161. [Препечатано в Posy 1992.]
Hatfield, G., 2006, „Кант за възприемането на пространството (и времето)“, в Guyer 2006, стр. 61–93.
Хайс, Дж., Предстоящо, „Кант на паралелни линии“, в „Пози и Рехтер“, предстоящо.
Hintikka, J., 1965, „Новият метод на мисълта на Кант и неговите теории на математиката“, Ajatus, 27: 37–47.
–––, 1967, „Кант по математическия метод“, The Monist, 51 (3): 352–375. [Препечатано в Posy 1992]
–––, 1969, „За понятието на интуицията на Кант (Anschauung)“, в T. Penelhum и JJ MacIntosh (ред.), Първата критика, Белмонт, Калифорния: Wadsworth Publishing.
–––, 1984, „Трансценденталният метод на Кант и неговата теория на математиката“, Топои, 3 (2): 99–108. [Препечатано в Posy 1992]
Hogan, D., предстоящо, „Кант и характера на математическите изводи“, в предстоящите Posy and Rechter.
Horstmann, RP, 1976, „Пространството като интуиция и геометрия“, съотношение, 18: 17–30.
Jauernig, A., 2013, „Синтетичната природа на геометрията и ролята на конструкцията в интуицията“, в S. Bacin, A. Ferrarin, C. La Rocca и M. Ruffing (ред.), Akten des XI. Internationalen Kant Kongresses 2010, Берлин / Ню Йорк: Уолтър де Гройтер.
Kim, J., 2006, „Концепции и интуиции във Философията на геометрията на Кант“, Kant-Studien, 97 (2): 138–162.
Китчър, П., 1975, „Кант и основите на математиката”, Философски преглед, 84 (1): 23–50. [Препечатано в Posy 1992]
Laywine, A., 1993, Ранната метафизика на Кант и произхода на критическата философия, Atascadero, CA: Риджвю.
–––, 2010, „Кант и Ламберт за геометричните постулати в реформата на метафизиката“, в Домски и Диксон 2010, с. 113–133.
Longuenesse, B., 1998, Кант и способността да се съди. Принстън: Princeton University Press.
Martin, G., 1985, Aithmetic and Combinatorics: Kant and his Contemporaries, J. Wubnig, (trans.), Carbondale and Edwardsville: Southern Illinois University Press.
Мелник, А., 1984, „Геометрията на форма на интуиция“, Топои, 3 (2): 163–168. [Препечатано в Posy 1992]
Парсънс, С., 1964, „Безкрайността и концепцията на Кант за„ възможността за опит “, Философски преглед, 73 (2): 182–197. [Препечатано в Парсънс 1983]
–––, 1969, „Философия на аритметиката на Кант“, в S. Morgenbesser, P. Suppes и M. White (ред.), „Философия, наука и метод: есета в чест на Ърнест Нагел, Ню Йорк: St. Martin's Натиснете. [Препечатано в Парсънс 1983 и в Пози 1992]
–––, 1983, Математика във философията: Избрани есета. Итака: Cornell University Press.
–––, 1984, „Аритметика и категориите“, Топои, 3 (2): 109–121. [Препечатано в Posy 1992.]
–––, 1992, „Трансценденталната естетика“, в Guyer 1992, с. 62–100.
–––, 2010 г., „Две изследвания в приемането на аритметичната философия на Кант“, в Домски и Диксън 2010, с. 135–153.
–––, 2012, От Кант до Хусерл: Избрани есета, Кеймбридж: Харвардския университет.
Posy, C., 1984, „Математическият реализъм на Кант“, The Monist, 67: 115–134. [Препечатано в Posy 1992.]
––– (съст.), 1992 г., Философия на математиката на Кант: Съвременни есета, Дордрехт: Академични издателства на Kluwer.
–––, 2008 г., „Интуиция и безкрайност: Теза на Кантиан с ехо в основите на математиката“, Допълнение на Кралския институт за философия, 63: 165–193.
Posy, C. and Rechter, O. (ред.), Предстоящо, Философия на математиката на Кант, 2 тома, Cambridge: Cambridge University Press.
Rechter, O., 2006, „Гледката от 1763: Кант за аритметичния метод преди интуицията“, в Е. Карсън и Р. Хубер (ред.), Интуиция и аксиоматичен метод, Дордрехт: Спрингер.
Risjord, M., 1990, „The Sensible Foundation for Mathematics: The Defense of Kant View”, Изследвания по история и философия на науката, 21 (1): 123–143.
Rusnock, P., 2004, „Философията на математиката на Кант ли беше подходяща за времето си?“, Kant-Studien, 95 (4): 426–442.
Шьонфелд, М., 2000, Философията на младия Кант: предкритичният проект, Ню Йорк: Oxford University Press.
Шабел, Л., 1998, „Кант за„ символичната конструкция “на математическите понятия“, Изследвания по история и философия на науката, 29 (4): 589–621.
–––, 2003, Математика в критическата философия на Кант: Размисли върху математическата практика, Ню Йорк: Routledge.
–––, 2004, „Аргументът на Кант от геометрията“, сп. „История на философията“42 (2): 195–215.
–––, 2006, „Философия на математиката на Кант“, в Guyer 2006, стр. 94–128.
Strawson, PF, 1966, The Bounds of Sense, London: Methuen, Част пета.
Sutherland, D., 2004a, „Философията на математиката на Кант и гръцката математическа традиция“, The Philosophical Review, 113 (2): 157–201.
–––, 2004b, „Ролята на величината в критическата философия на Кант“, Канадско списание за философия, 34 (3): 411–441.
–––, 2005a, „Кант за основните геометрични отношения“, Archiv für Geschichte der Philosophie, 87 (2): 117–158.
–––, 2005b, „Точката на аксиомите на интуицията на Кант“, Тихоокеански философски квартал, 86 (1): 135–159.
–––, 2006, „Кант по аритметика, алгебра и теория на пропорциите“, сп. „История на философията“, 44 (4): 533–558.
–––, 2010, „Философия, геометрия и логика в Лайбниц, Уолф и ранния Кант“, в Домски и Диксън 2010, с. 155–192.
Томпсън, М., 1972, „Сингулярни термини и интуиции в епистемологията на Кант“, Преглед на метафизиката, 26 (2): 314–343. [Препечатано в Posy 1992]
ван Клив, Дж. и Фредерик, Р. (ред.), 1991 г., Философията на дясното и лявото: Несъвместими колеги и природата на Космоса, Дордрехт, Бостън: Kluwer Academic Publishers.
van Cleve, J., 1999, Problems From Kant, Oxford: Oxford University Press.
Young, JM, 1984, „Конструкция, схематизъм и въображение“, Топои, 3 (2): 123–131. [Препечатано в Posy 1992]

Академични инструменти

сеп човек икона	Как да цитирам този запис.
сеп човек икона	Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
inpho икона	Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
Фил хартия икона	Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.