Интуиционизъм във философията на математиката

2023 Автор: Noah Black | [email protected]. Последно модифициран: 2023-08-25 04:38

Навигация за влизане

• Съдържание за участие
• библиография
• Академични инструменти
• Friends PDF Preview
• Информация за автора и цитирането
• Върнете се в началото

Интуиционизъм във философията на математиката

За първи път публикуван на 4 септември 2008 г.; съществена ревизия вт. юни 11, 2019

Интуиционизмът е философия на математиката, която е въведена от холандския математик LEJ Brouwer (1881-1966). Интуиционизмът се основава на идеята, че математиката е творение на ума. Истинността на математическото изявление може да бъде представена само чрез умствена конструкция, която доказва, че е истина, а комуникацията между математиците служи само като средство за създаване на един и същ умствен процес в различни умове.

Този възглед за математиката има далечни последици за ежедневната практика на математиката, като едно от последствията от нея е, че принципът на изключената средна ((A / vee / neg A)) вече не е валиден. Всъщност има предположения, като хипотезата на Риман, за които в момента няма нито доказателство за твърдението, нито неговото отричане. Тъй като познаването на отрицанието на изказване в интуиционизма означава, че човек може да докаже, че твърдението не е вярно, това означава, че и двете (A) и (neg A) не се държат интуитивно, поне не в този момент. Зависимостта на интуиционизма от времето е от съществено значение: изявленията могат да станат доказуеми с течение на времето и следователно могат да станат интуиционистично валидни, докато преди това не е било така.

Освен отхвърлянето на принципа на изключената средна, интуиционизмът силно се отклонява от класическата математика при схващането на континуума, който в предишната обстановка има свойството, че всички общи функции върху него са непрекъснати. Така, за разлика от няколко други теории за конструктивната математика, интуиционизмът не е ограничение на класическите разсъждения; тя противоречи на класическата математика по фундаментален начин.

Брауер посвети голяма част от живота си на развитието на математиката на тази нова основа. Въпреки че интуиционизмът никога не е замествал класическата математика като стандартния възглед върху математиката, той винаги е привличал голямо внимание и все още се изучава широко.

В този запис се концентрираме върху аспектите на интуиционизма, които го отличават от другите клонове на конструктивната математика, а частта, която споделя с други форми на конструктивизъм, като основополагащи теории и модели, се обсъжда само накратко.

• 1. Brouwer

• 2. Интуиционизъм

  • 2.1 Двата акта на интуиционизма
  • 2.2 Създаващата тема

• 3. Математика

  • 3.1 Интерпретацията на BHK
  • 3.2 Интуиционистка логика
  • 3.3 Естествените числа
  • 3.4 Континуумът
  • 3.5 Аксиоми за непрекъснатост
  • 3.6 Теоремата на лентата
  • 3.7 Аксиоми за избор
  • 3.8 Описателна теория на множествата, топология и теория на топосите
• 4. Конструктивизъм

• 5. Мета-математика

  • 5.1 Аритметика
  • 5.2 Анализ
  • 5.3 Беззаконни последователности
  • 5.4 Формализиране на Създаващия предмет
  • 5.5 Основи и модели
  • 5.6 Обратна математика

• 6. Философия

  • 6.1 Феноменология
  • 6.2 Витгенщайн
  • 6.3 Dummett
  • 6.4 Финитизъм
• библиография
• Академични инструменти
• Други интернет ресурси
• Свързани записи

1. Brouwer

Луицен Егбертус Ян Брауер е роден в Оверши, Холандия. Учи математика и физика в Амстердамския университет, където получава докторска степен през 1907 г. През 1909 г. става преподавател в същия университет, където през 1912 г. е назначен за редовен професор, длъжност, която заема до пенсионирането му през 1951 г. Брауър беше блестящ математик, който вършеше новаторски работи по топологията и стана известен още в млада възраст. През целия си живот той беше независим ум, който преследваше нещата, в които вярваше, с пламенна сила, което го доведе в конфликт с много колега, най-вече с Дейвид Хилберт. Той също имаше почитатели и в къщата си „хижата” в Бларикум посрещна много известни математици на своето време. До края на живота си той става по-изолиран, но вярата му в истинността на неговата философия никога не се разклаща. Той загива в автомобилна катастрофа на 85-годишна възраст в Бларикум, седем години след смъртта на съпругата си Лизе Брауър.

На 24-годишна възраст Брауър написа книгата Живот, изкуство и мистика (Brouwer 1905), чието солипсистично съдържание предвещава неговата философия на математиката. В дисертацията му основите на интуиционизма са формулирани за първи път, макар че все още не са под това име и не са в окончателния си вид. В първите години след дисертацията си по-голямата част от научния живот на Брауър е посветена на топологията, област, в която той все още е известен със своята теория на измерението и своята теорема с фиксирана точка. Тази работа е част от класическата математика; според по-късния възглед на Броувър, неговата теорема с фиксирана точка не е в сила, въпреки че може да се докаже, че аналоговият състав по отношение на приближенията е в съответствие с неговите принципи.

От 1913 г. Броуер все повече се посвещава на развитието на идеите, формулирани в дисертацията му, в пълна философия на математиката. Той не само усъвършенства философията на интуиционизма, но и преработва математиката, особено теорията на континуума и теорията на множествата, в съответствие с тези принципи. Дотогава Браувър е известен математик, който изнасяше влиятелни лекции по интуиционизъм в научните мекици от онова време, Кеймбридж, Виена и Гьотинген. Неговата философия беше смятана за неудобна от мнозина, но третирана като сериозна алтернатива на класическите разсъждения от някои от най-известните математици на неговото време, дори когато те имаха различен възглед по въпроса. Курт Гьодел, който през целия си живот беше платонист, беше един от тях. В един момент Херман Вейл пише „Така че gebe ich също е mten meinen eigenen Versuch Preis und schließe mich Brouwer an“(Weyl 1921, 56). И въпреки че рядко практикува интуиционистична математика по-късно в живота, Вейл никога не спира да се възхищава на Брауър и неговата интуиционистка философия на математиката.

Животът на Брауър е бил натоварен с конфликти, като най-известният е конфликтът с Дейвид Хилбърт, който в крайна сметка е довел до експулсирането на Брауър от борда на Mathematische Annalen. Този конфликт беше част от Grundlagenstreit, който разтърси математическото общество в началото на 20 век и възникна в резултат на появата на парадокси и силно неконструктивни доказателства в математиката. Философите и математиците бяха принудени да признаят липсата на гносеологична и онтологична основа за математиката. Интуиционизмът на Брауер е философия на математиката, която има за цел да осигури такава основа.

2. Интуиционизъм

2.1 Двата акта на интуиционизма

Според Брауър математиката е без езиково творение на ума. Времето е единственото априорно понятие в кантински смисъл. Брауер разграничава два акта на интуиционизма:

Първият акт на интуиционизма е:

Пълно отделяне на математиката от математическия език, а оттам и от явленията на езика, описани от теоретичната логика, като се признава, че интуиционистичната математика е по същество без езикова дейност на ума, която има своя произход при възприемането на движение на времето. Това възприятие за движение на времето може да бъде описано като разпадане на жизнения момент на две различни неща, едното от които отстъпва на другото, но се запазва от паметта. Ако така родената двойственост се освободи от всякакво качество, тя преминава в празната форма на общия субстрат на всички две. И именно този общ субстрат, тази празна форма, която е основната интуиция на математиката. (Brouwer 1981, 4–5)

Както ще бъде разгледано в раздела за математиката, първият акт на интуиционизъм поражда естествените числа, но предполага строго ограничение на разрешените принципи на разсъждения, най-вече отхвърлянето на принципа на изключената средна. Поради отхвърлянето на този принцип и изчезването на логическата основа за континуума, може да се каже, че по думите на Брууър „страхът, че интуиционистичната математика трябва непременно да е лоша и анемична и по-специално да няма място за анализ“(Brouwer 1952, 142). Вторият акт обаче установява съществуването на континуума, континуум със свойства, които не са споделени от класическия му колега. Възстановяването на континуума се основава на понятието последователност на избор, предвидено във втория акт, т.е. на съществуването на безкрайни последователности, породени от свободния избор,които следователно не са предварително определени.

Вторият акт на интуиционизма е:

Приемане на два начина за създаване на нови математически образувания: първо във формата на повече или по-малко свободно протичащи безкрайни последователности на математически образувания, придобити преди това …; второ, във формата на математически видове, т.е. свойства, допустими за математически образувания, придобити по-рано, отговарящи на условието, че ако притежават за определено математическо образувание, те притежават и за всички математически образувания, които са определени като „равни“на него…. (Brouwer 1981, 8)

Двата акта на интуиционизма са в основата на философията на Брауър; само от тези два акта Brouwer създава сферата на интуиционистичната математика, както ще бъде обяснено по-долу. Вече от тези основни принципи може да се заключи, че интуиционизмът се различава от платонизма и формализма, защото нито предполага математическа реалност извън нас, нито твърди, че математиката е игра със символи според определени фиксирани правила. Според Брауър езикът се използва за обмен на математически идеи, но съществуването на последната не зависи от първата. Разграничението между интуиционизма и другите конструктивни възгледи за математиката, според които математическите обекти и аргументи трябва да се изчисляват, се крие в свободата, която вторият акт позволява при изграждането на безкрайни последователности. Наистина,както ще бъде обяснено по-долу, математическите последици от втория акт на интуиционизма противоречат на класическата математика и следователно не задържат в повечето конструктивни теории, тъй като те като цяло са част от класическата математика.

По този начин интуиционизмът на Брауер стои отделно от другите философии на математиката; тя се основава на осъзнаването на времето и убеждението, че математиката е творение на свободния ум и следователно не е нито платонизъм, нито формализъм. Това е форма на конструктивизъм, но само така в по-широкия смисъл, тъй като много конструктивисти не приемат всички принципи, за които Броуер е вярвал, че са истина.

2.2 Създаващата тема

Двата акта на интуиционизма сами по себе си не изключват психологическа интерпретация на математиката. Въпреки че Браувър само от време на време се е занимавал с това, от неговите писания става ясно, че той смята интуиционизма за независим от психологията. Въвеждането на Броуер на Създаващия предмет (Brouwer 1948) като идеализиран ум, в който се осъществява математиката, вече се абстрахира от несъществени аспекти на човешкото разсъждение като ограничения на пространството и времето и възможността за грешни аргументи. Така проблемът с интерсубективността, който изисква обяснение на факта, че човешките същества са в състояние да общуват, престава да съществува, тъй като съществува само един Създаващ Субект. В литературата също името Creative Subject се използва за създаване на тема, но тук се използва терминологията на Brouwer. В (Niekus 2010),твърди се, че Създаващият предмет на Броувър не включва идеализиран математик. За феноменологичен анализ на Създаващия Субект като трансцендентален субект в смисъла на Хусерл вижте (van Atten 2007).

Brouwer използва аргументи, които включват Creating Subject, за да конструира контрапримери за определени интуиционистично неприемливи изявления. Когато слабите контрапримери, които ще бъдат разгледани по-долу, показват само, че някои твърдения понастоящем не могат да бъдат приети интуитивно, понятието на идеализирания ум доказва, че някои класически принципи са неверни. Пример е даден в раздел 5.4 относно формализирането на понятието Създаващ субект. Там също е обяснено, че следният принцип, известен като Схема на Крипке, може да се аргументира по отношение на Създаващата тема:

) маркер {({ bf KS})} съществува / алфа (A / лява светлина / съществува n \, / alpha (n) = 1).)

В KS, (A) варира над формули и (alpha) диапазони над последователности на избор, които са последователности от естествени числа, произведени от Създаващия субект, който избира елементите си един по един. Последователностите за избор и схемата на Крипке са разгледани по-нататък в раздел 3.4.

В повечето философии на математиката, например в платонизма, математическите изявления не са напрегнати. В интуиционизма истината и лъжливостта имат времеви аспект; установен факт ще остане такъв, но твърдението, което се докаже в определен момент, няма стойност на истината преди тази точка. В споменатата формализация на понятието „Създаване на субект“, което не е формулирано от Брауър, а едва по-късно от други, очевидно присъства времевият аспект на интуиционизма.

Важни, тъй като аргументите, използващи понятието „Създаване на субект“, биха могли да бъдат за по-нататъшното разбиране на интуиционизма като философия на математиката, ролята му в развитието на полето е била по-малко влиятелна от тази на двата акта на интуиционизма, които пряко водят до математически истини Броуър и тези, които идват след него, бяха готови да приемат.

3. Математика

Въпреки че развитието на интуиционизма на Брауър играе важна роля в основополагащия дебат сред математиците в началото на 20-ти век, далечните последици от неговата философия за математиката стават очевидни само след много години проучвания. Двете най-характерни свойства на интуиционизма са логическите принципи на разсъжденията, които той допуска в доказателствата и пълното схващане на интуиционистичния континуум. Само що се отнася до последното, интуиционизмът става несравним с класическата математика. В този запис акцентът е върху онези принципи на интуиционизма, които го отличават от другите математически дисциплини и затова другите му конструктивни аспекти ще бъдат разгледани по-малко подробно.

3.1 Интерпретацията на BHK

При интуиционизма да знаеш, че едно твърдение А е вярно, означава да имаш доказателство за това. През 1934 г. Аренд Хейтинг, който е бил студент на Брууър, въвежда форма на т. Нар. По-късно известна като интерпретация на Brouwer-Heyting-Kolmogorov, която отразява значението на логическите символи в интуиционизма, както и в конструктивизма като цяло. Той дефинира по неформален начин от какво трябва да се състои интуиционистичното доказателство, като посочва как трябва да се тълкуват съединителите и количествените характеристики.

• (bot) не може да се докаже.
• Доказателство за (A / клин B) се състои от доказателство за (A) и доказателство за (B).
• Доказателство за (A / vee B) се състои от доказателство за (A) или доказателство за (B).
• Доказателство за (A / правна B) е конструкция, която трансформира всяко доказателство за (A) в доказателство за (B).
• Доказателство за (съществува x A (x)) се представя чрез представяне на елемент (d) на домейна и доказателство за (A (d)).
• Доказателство за (forall x A (x)) е конструкция, която превръща всяко доказателство, че (d) принадлежи на домейна, в доказателство за (A (d)).

Отрицанието (neg A) на формула (A) е доказано, след като е доказано, че не може да има доказателство за (A), което означава да се осигури конструкция, която извлича фалш от всяко възможно доказателство за (А). Така (neg A) е еквивалентно на (A / rightarrow / bot). Интерпретацията на BHK не е формално определение, тъй като понятието конструкция не е дефинирано и следователно е отворено за различни интерпретации. Въпреки това, вече на това неформално ниво човек е принуден да отхвърли един от логичните принципи, присъствали винаги в класическата логика: принципът на изключената средна ((A / vee / neg A)). Според интерпретацията на BHK това твърдение се държи интуитивно, ако Създаващият субект знае доказателство за (A) или доказателство, че (A) не може да бъде доказано. В случай, че нито за (A), нито за неговото отрицание не е известно доказателство,изявлението ((A / vee / neg A)) не важи. Наличието на открити проблеми, като хипотезата на Goldbach или хипотезата на Риман, илюстрира този факт. Но след като се намери доказателство за (A) или доказателство за неговото отрицание, ситуацията се променя и за този конкретен (A) принципът ((A / vee / neg A)) е верен от това момент нататък.

3.2 Интуиционистка логика

Брауър отхвърли принципа на изключената средна основа на неговата философия, но Аренд Хейтинг е първият, който формулира цялостна логика на принципите, приемливи от интуиционистична гледна точка. Интуиционистичната логика, която е логиката и на повечето други форми на конструктивизъм, често се нарича „класическа логика без принципа на изключената среда“. Тя е обозначена с IQC, което означава интуиционистична количествена логика, но в литературата се срещат и други имена. Възможна аксиоматизация в стил Хилберт се състои от принципите

(A / клин B / правда A)	(A / клин B / правда B)	(A / правда A / vee B)	(B / правда A / vee B)
(A / правда (B / правда A))	(forall x A (x) rightarrow A (t))	(A (t) rightarrow / съществува x A (x))	(bot / rightarrow A)
((A / rightarrow (B / rightarrow C)) rightarrow ((A / rightarrow B) rightarrow (A / rightarrow C)))
(A / правда (B / правда A / клин Б))
((A / rightarrow C) rightarrow ((B / rightarrow C) rightarrow (A / vee B / rightarrow C)))
(forall x (B / rightarrow A (x)) rightarrow (B / rightarrow / forall x A (x)))		(forall x (A (x) rightarrow B) rightarrow (съществува x A (x) rightarrow B))

с обичайните странични условия за последните две аксиоми и правилото Modus Ponens,

) текст {от (A) и ((A / права пратка B)) извода (B)},)

като единствено правило за извод. Интуиционистичната логика е обект на разследване още от момента, когато Хейтинг я формулира. Вече на предложено ниво той има много свойства, които го отличават от класическата логика, като например свойството на разединението:

) етикет {({ bf DP})} { bf IQC} vdash A / vee B / текст {предполага} { bf IQC} vdash A / текст {или} { bf IQC} vdash B.)

Този принцип е ясно нарушен в класическата логика, тъй като класическата логика доказва ((A / vee / neg A)) също и за формули, независими от логиката, т.е. за които и (A), и (neg A) не са тавтология. Включването на принципа Ex Falso Sequitur Quodlibet ((bot / rightarrow A)) в интуиционистичната логика е въпрос на дискусия за тези, които изучават забележките на Brouwer по темата; във Van Atten 2008 се твърди, че принципът не е валиден в интуиционизма и че логическите принципи, валидни според възгледите на Brouwer, са тези от релевантната логика. Вижте van Dalen 2004 за повече информация за Brouwer и Ex Falso Sequitur Quodlibet.

Въпреки че до днес цялата логика, използвана в интуиционистичните разсъждения, се съдържа в IQC, по принцип е възможно да се намери принцип, приемлив от интуиционистичната гледна точка, който да не е обхванат от тази логика. За повечето форми на конструктивизма широко приетото мнение е, че това никога няма да бъде така и затова IQC се счита за логика на конструктивизма. За интуиционизма ситуацията е по-малко ясна, защото не може да се изключи, че в даден момент нашето интуиционистично разбиране може да ни доведе до нови логически принципи, които не бяхме схванали преди.

Една от причините за широкото използване на интуиционистичната логика е, че тя се държи добре както от доказателствено-теоретичната, така и от модерно-теоретичната гледна точка. За него съществуват множество системи за доказателство, като например изчисления на Gentzen и системи за естествено дедуктиране, както и различни форми на семантика, като модели на Kripke, модели на Beth, алгебри на Heyting, топологична семантика и категорични модели. Няколко от тези семантики обаче са само класически средства за изучаване на интуиционистичната логика, тъй като може да се покаже, че доказателството за интуиционистична пълнота по отношение на тях не може да съществува (Kreisel 1962). Доказано е обаче, че съществуват алтернативни, но малко по-малко естествени модели, по отношение на които завършеността гради конструктивно (Veldman 1976). Конструктивният характер на интуиционистичната логика става особено ясен в изоморфизма на Къри-Хоуърд, който установява съответствие между производни в логиката и термини в просто набран (lambda) - смятане, тоест между доказателства и изчисления. Структурата на кореспонденцията запазва, че намаляването на сроковете съответства на нормализирането на доказателствата.

3.3 Естествените числа

Съществуването на естествените числа се дава от първия акт на интуиционизма, тоест от възприемането на движението на времето и разпадането на жизнения момент на две различни неща: какво е било, 1 и какво е заедно с това, което е било, 2, а оттам до 3, 4,… За разлика от класическата математика, в интуиционизма цялата безкрайност се счита за потенциална безкрайност. По-специално това е така за безкрайността на естествените числа. Следователно към изявленията, които количествено определят този набор, трябва да се подхождат с повишено внимание. От друга страна, принципът на индукция е напълно приемлив от интуиционистична гледна точка.

Поради ограничеността на естественото число, за разлика от, например, истинското число, много аритметични изявления с ограничен характер, които са верни в класическата математика, също са в интуиционизма. Например, в интуиционизма всяко естествено число има основна факторизация; съществуват преброими множества, които не са изчислими; ((A / vee / neg A)) важи за всички безплатни изявления за количествени характеристики (A). За по-сложни твърдения, като теоремата на ван дер Ваерден или теоремата на Крускал, интуиционистичната валидност не е толкова проста. Всъщност интуиционистичните доказателства и на двете твърдения са сложни и се отклоняват от класическите доказателства (Coquand 1995, Veldman 2004).

Така в контекста на естествените числа интуиционизмът и класическата математика имат много общо. Едва когато се считат други безкрайни множества като реалните числа, интуиционизмът започва да се различава по-драматично от класическата математика и от повечето други форми на конструктивизъм.

3.4 Континуумът

В интуиционизма континуумът е едновременно разширение и ограничение на класическия си колега. В пълния си вид и двете понятия са несравними, тъй като интуиционистичните реални числа притежават свойства, каквито класическите реални числа нямат. Известен пример, който ще бъде разгледан по-долу, е теоремата, че при интуиционизма всяка обща функция върху континуума е непрекъсната. Че интуиционистичният континуум не удовлетворява определени класически свойства, може лесно да се види чрез слаби контрапримери. Това, че съдържа също свойства, които класическите реалности не притежават, произтича от съществуването на интуиционизъм на последователности на избор.

Слаби контрапримери

Слабите контрапримери, въведени от Брауър през 1908 г., са първите примери, които Браувър използва, за да покаже, че преминаването от класическо към интуиционистично схващане на математиката не е без последствие за математическите истини, които могат да бъдат установени според тези философии. Те показват, че определени класически твърдения понастоящем са неприемливи от интуиционистична гледна точка. Като пример, помислете за последователността на реалните числа, дадени от следното определение:

[r_n = / започнем {случаи} 2 ^ {- n} текст {ако} forall m / leq n A (m) / 2 ^ {- m} текст {ако} neg A (m) клин m / leq n / wedge / forall k / lt m A (k). / край {случаи})

Тук (A (n)) е решаващо свойство, за което (forall n A (n)) не е известно, че е вярно или невярно. Решимостта означава, че понастоящем за всеки даден (n) съществува (може да бъде конструиран) доказателство за (A (n)) или за (neg A (n)). По време на това писане можем например да позволим (A (n)) да изрази, че (n), ако е по-голяма от 2, е сумата от три прайма; (forall n A (n)) след това изразява (оригиналната) хипотеза на Goldbach, че всяко число, по-голямо от 2, е сумата от три прайса. Последователността (langle r_n / rangle) определя реално число (r), за което операторът (r = 0) е еквивалентен на израза (forall n A (n)). От това следва, че операторът ((r = 0 / vee r / neq 0)) не важи и следователно законът за трихотомията (forall x (x / lt y / vee x = y / vee x / gt y)) не е вярно в интуиционистичния континуум.

Обърнете внимание, че фината разлика между „(A) не е интуиционистично вярна“и „(A) е интуитивно настроена“: в първия случай знаем, че (A) не може да има интуиционистично доказателство, второто твърдение изразява че имаме доказателство за ¬ A, т.е. конструкция, която извлича фалш от всяко възможно доказателство на (A). За закона за трихотомията току-що показахме, че той не е интуиционистично верен. По-долу ще бъде показано, че дори втората по-силна форма, казваща, че законът е опровержима, се държи интуитивно. Това обаче не е вярно за всички твърдения, за които има слаби контрапримери. Например, предположението на Goldbach е слаб контрапример към принципа на изключената средна, тъй като (forall n A (n)) по-горе понастоящем не е известно, че е вярно или невярно,и по този начин не можем да твърдим (forall n A (n) vee / neg / forall n A (n)) интуитивно, поне не в този момент. Но опровержението на това твърдение (neg (forall n A (n) vee / neg / forall n A (n))) не е вярно в интуиционизма, тъй като може да се покаже, че за всяко твърдение (B) противоречие може да се извлече от предположението, че (neg B) и (neg / neg B) имат (и следователно също от (B) и (neg B)). С други думи, (neg / neg (B / vee / neg B)) е интуиционистично вярно и по този начин, въпреки че съществуват слаби контрапримери към принципа на изключената среда, нейното отрицание е невярно в интуиционизма, т.е. той е интуиционистично опровержим.тъй като може да се покаже, че за всяко твърдение (B) противоречие може да се извлече от предположението, че (neg B) и (neg / neg B) имат (и следователно също от (B) и (neg B)). С други думи, (neg / neg (B / vee / neg B)) е интуиционистично вярно и по този начин, въпреки че съществуват слаби контрапримери към принципа на изключената среда, нейното отрицание е невярно в интуиционизма, т.е. той е интуиционистично опровержим.тъй като може да се покаже, че за всяко твърдение (B) противоречие може да се извлече от предположението, че (neg B) и (neg / neg B) имат (и следователно също от (B) и (neg B)). С други думи, (neg / neg (B / vee / neg B)) е интуиционистично вярно и по този начин, въпреки че съществуват слаби контрапримери към принципа на изключената среда, нейното отрицание е невярно в интуиционизма, т.е. той е интуиционистично опровержим.

Наличието на реални числа (r), за които интуиционистът не може да реши дали те са положителни или не, показва, че определени класически тотални функции престават да бъдат такива в интуиционистична обстановка, като например частично постоянната функция

[f (r) = / начало {случаи} 0 / текст {ако} r / geq 0 \\ 1 / текст {ако} r / lt 0. / край {случаи})

Съществуват слаби контрапримери за много класически валидни изявления. Изграждането на тези слаби контрапримери често следва същия модел като примера по-горе. Например аргументът, който показва, че теоремата за междинната стойност не е валидна за интуиционистката, работи както следва. Нека (r) е реално число в [−1,1], за което ((r / leq 0 / vee 0 / lt r)) не е решено, както в горния пример. Определете равномерно непрекъснатата функция (f) на ([0,3]) от

[f (x) = / текст {min} (x-1,0) + / текст {max} (0, x-2) + r.)

Ясно е, че (f (0) = -1 + r) и (f (3) = 1 + r), откъдето (f) приема стойността 0 в някакъв момент (x) в [0, 3]. Ако такъв (x) може да бъде определен, или (1 / leq x), или (x / leq 2). Тъй като (f) е равно (r) на ([1,2]), в първия случай (r / leq 0) и във втория случай (0 / leq r), противоречащи неопределяемостта на израза ((r / leq 0 / vee 0 / leq r)).

Тези примери показват, че при преминаването от класическа към интуиционистична математика човек губи няколко основни теореми на анализа. Това обаче не е така, тъй като в много случаи интуиционизмът възвръща подобни теореми под формата на аналог, в който екзистенциалните твърдения се заменят с твърдения за съществуването на приближения в произволна точност, както в тази класически еквивалентна форма на теоремата за междинната стойност, която е конструктивно валиден:

Теорема. За всяка непрекъсната функция с реална стойност (f) на интервал ([a, b]) с (a / lt b), за всеки (c) между (f (a)) и (f (b)) са следните:

) forall n / съществува x / в [a, b], | f (x) -c | / lt 2 ^ {- n}.)

Слабите контрапримери са средство да се покаже, че определени математически изявления не се държат интуитивно, но все още не разкриват богатството на интуиционистичния континуум. Едва след въвеждането на последователностите за избор на Брауър, интуиционизмът придобива своя особен вкус и става несравним с класическата математика.

Избор на последователности

Изборните последователности бяха въведени от Brouwer, за да уловят интуицията на континуума. Тъй като за интуициониста цялата безкрайност е потенциална, безкрайните обекти могат да се схващат само чрез процес, който ги генерира стъпка по стъпка. Следователно това, което ще бъде разрешено като законна конструкция, решава кои безкрайни обекти да бъдат приети. Например, в повечето други форми на конструктивизъм са разрешени само изчислими правила за генериране на такива обекти, докато в платонизма безкрайностите се считат за завършени съвкупности, чието съществуване е прието дори в случаите, когато не са известни правила за генериране.

Вторият акт на интуиционизма на Броувър поражда последователност на избор, които осигуряват определени безкрайни множества със свойства, които са неприемливи от класическа гледна точка. Последователност на избор е безкрайна последователност от числа (или ограничени обекти), създадени от свободната воля. Последователността може да бъде определена чрез закон или алгоритъм, като например последователността, състояща се само от нули или от прости числа в увеличаващ се ред; в този случай говорим за законосъобразна последователност или тя не може да бъде подчинена на нито един закон, в такъв случай се нарича беззаконие. Беззаконните последователности могат например да бъдат създадени чрез многократно хвърляне на монета или чрез искане на Създаващия субект да избира последователно числата на последователността едно по едно, което му позволява да избере всяко число по свой вкус. По този начин една беззаконна последователност винаги е незавършена,и единствената налична информация за него на всеки етап от времето е първоначалният сегмент от създадената досега последователност. Ясно е, че по самата природа на беззаконието никога не можем да решим дали неговите стойности ще съвпадат с последователност, която е законосъобразна. Също така, свободната воля е в състояние да създаде последователности, които започват като законосъобразни, но за които в определен момент законът може да бъде отменен и процесът на свободен избор поема за генериране на следващите числа, или обратното.но за който в определен момент законът може да бъде отменен и процесът на свободен избор поема за генериране на следващите числа или обратно.но за който в определен момент законът може да бъде отменен и процесът на свободен избор поема за генериране на следващите числа или обратно.

Според Brouwer всяко реално число е представено от последователност на избор и последователностите на избор му позволяват да улови интуиционистичния континуум чрез противоречивите аксиоми за приемственост. Брауър първо говори за изборни последователности в своя встъпителен адрес (Brouwer 1912), но по това време той все още не ги разглежда като основна част от своята математика. Постепенно те стават по-важни и от 1918 г. Brouwer започва да ги използва по начин, обяснен в следващия раздел.

3.5 Аксиоми за непрекъснатост

Приемането на понятието последователност на избор има далечни последици. Това оправдава за интуициониста използването на аксиомите за приемственост, от които могат да се извлекат класически невалидни изявления. Най-слабата от тези аксиоми е слабата аксиома за приемственост:

) таг {({ bf WC / mbox {-} N})} forall / alpha / съществува n A (alpha, n) rightarrow / forall / alpha / съществува m / съществува n / forall / бета / в / алфа (Номера {т}) А (р, п).)

Тук (n) и (m) варират над естествените числа, (alpha) и (beta) над последователностите на избор и (beta / in / alpha (overline {m})) означава, че първите (m) елементи на (alpha) и (beta) са равни. Въпреки че досега никога не е дадена напълно задоволителна обосновка на повечето аксиоми за непрекъснатост на произволни последователности на избор, дори и от Брауър, когато се ограничава до класа беззаконни последователности аргументи, подкрепящи валидността на слабата аксиома за непрекъснатост, както следва. Кога може да бъде установено от интуициониста изявление на формата (forall / alpha / съществува n A (alpha, n))? По самата природа на понятието за беззаконна последователност, изборът на числото (n), за което има значение (A (alpha, n)), трябва да се направи само след краен начален сегмент от (alpha) е известно. Защото не знаем как (alpha) ще продължи във времето,и следователно трябва да основаваме избора на (n) на началния сегмент от (alpha), който е известен в този момент, в който искаме да поправим (n). Това означава, че за всяка беззаконна последователност (beta) със същия начален сегмент като (alpha), също така се задържа (A (beta, n)).

Аксиомата на слабата непрекъснатост е доказана като последователна и често се прилага във форма, която може да бъде оправдана, а именно в случая, когато предикатът (A) се отнася само до стойностите на (alpha), и не към свойствата от по-висок ред, които евентуално притежава. Подробностите на аргумента ще бъдат пропуснати тук, но той съдържа същите съставки като оправданието на принципа за беззаконни последователности и може да се намери в Van Atten и van Dalen 2002.

Слабата приемственост не изчерпва интуицията на интуиционистите за континуума, тъй като предвид слабата аксиома за непрекъснатост изглежда разумно да се предположи, че изборът на числото (m) такъв, че (forall / beta / in / alpha (overline {m}) A (beta, n)), може да бъде изрично изрично. Така (forall / alpha / съществува n A (alpha, n)) предполага съществуването на непрекъснат функционал (Phi), който за всеки (alpha) произвежда (m), който коригира дължината на (alpha), въз основа на която се избира (n). По-формално, нека (mathcal {CF}) е класът на непрекъснатите функционали (Phi), които присвояват естествените числа на безкрайните последователности, т.е.

) forall / alpha / съществува m / forall / beta / in / alpha (overline {m}) Phi (alpha) = / Phi (beta).)

Пълната аксиома на приемствеността, която е удължаване на слабата аксиома за приемственост, може след това да се изрази като:

) маркер {({ bf C / mbox {-} N})} forall / alpha / съществува n A (alpha, n) rightarrow / съществува / Phi / in / mathcal {CF}, / forall / alpha A (alpha, / Phi (alpha)).)

Чрез аксиома за приемственост някои слаби контрапримери могат да бъдат трансформирани в истински опровержения на класически приети принципи. Например, това означава, че количествената версия на принципа на изключената средна е невярна:

) neg / forall / alpha (forall n / alpha (n) = 0 / vee / neg / forall n / alpha (n) = 0).)

Тук (alpha (n)) обозначава (n) - елемента на (alpha). За да видите, че тези отрицания има, предположим, аргументирайки противоречие, че (neg / forall / alpha (forall n / alpha (n) = 0 / vee / neg / forall n / alpha (n) = 0)) притежава. Това предполага това

) forall / alpha / съществува k ((forall n / alpha (n) = 0 / клин k = 0) vee (neg / forall n / alpha (n) = 0 / клин k = 1)).)

По слабата аксиома за непрекъснатост, за (alpha), състояща се само от нули, съществува число (m), което фиксира избора на (k), което означава, че за всички (beta / in / alpha (overline {m})), (k = 0). Но съществуването на последователности, чиито първи (m) елементи са 0 и съдържат 1, показват, че това не може да бъде.

Този пример, показващ, че принципът на изключената средна част не само не е в сила, но всъщност е фалшив в интуиционизма, води до опровержение на много основни свойства на континуума. Помислете например реалното число (r_ / alpha), което е границата на последователността, състояща се от числата (r_n), както е дадено в раздела за слаби контрапримери, където (A (m)) в определението се приема като оператор (alpha (m) = 0). Тогава опровержението по-горе означава, че (neg / forall / alpha (r_ / alpha = 0 / vee r_ / alpha / neq 0)), и по този начин опровергава закона за трихотомията:

) forall x (x / lt y / vee x = y / vee y / lt x).)

Следващата теорема е друг пример за начина, по който аксиомата за приемственост опровергава определени класически принципи.

Теорема ({ bf (C / mbox {-} N)}) Всяка обща действителна функция е непрекъсната.

Всъщност, класически контрапример на тази теорема, никъде непрекъснатата функция [f (x) = / начало {случаи} 0 / текст {ако (x) е рационално число} / 1 / текст {ако (x) е нерационално число} end {случаи}) не е легитимна функция от интуиционистичната гледна точка, тъй като свойството да бъдеш рационално не може да бъде решавано върху реалните числа. По-горе теоремата предполага, че континуумът не може да бъде разложим и във van Dalen 1997 е показано, че това важи дори за множеството ирационални числа.

Двата примера по-горе са характерни за начина, по който аксиомите за приемственост се прилагат в интуиционистичната математика. Те са единствените аксиоми в интуиционизма, които противоречат на класическите разсъждения и по този начин представляват най-колоритната, както и най-противоречивата част от философията на Брауър.

Функции на съседство

Има удобно представяне на непрекъснати функционалности, които са широко използвани в литературата, макар и не от самия Броувър. Непрекъснатите функционални функции, които присвояват числа на безкрайните последователности, могат да бъдат представени чрез функции на съседство, където функция за съседство (f) е функция на естествените числа, удовлетворяващи следните две свойства ((cdot) означава конкатенация и (f (alpha (overline {n}))) обозначава стойността на (f) на кода на крайната последователност (alpha (overline {n}))).

) alpha / съществува nf (alpha (overline {n})) gt 0 / \ / \ / forall n / forall m (f (n) gt 0 / rightarrow f (n / cdot m) = f (н)).)

Интуитивно, ако (f) представлява (Phi), тогава (f (alpha (overline {n})) = 0) означава, че (alpha (overline {n})) е не е достатъчно дълго, за да изчисли (Phi (alpha)), а (f (alpha (overline {n})) = m + 1) означава, че (alpha (overline {n})) е достатъчно дълго, за да изчисли (Phi (alpha)) и че стойността на (Phi (alpha)) е (m). Ако (mathcal {K}) обозначава класа на съседните функции, тогава аксиомата за непрекъснатост ({ bf C / mbox {-} N}) може да се префразира като) forall / alpha / съществува n A (alpha, n) rightarrow / съществува f / in / mathcal {K}, / forall m (f (m) gt 0 / rightarrow / forall / beta / in m A (beta, f (m-1))),)

където (beta / в m) означава, че кодът на първоначалния сегмент на (beta) е (m).

3.6 Теоремата на лентата

Броувър представи последователности на избор и аксиомите за приемственост, за да улови интуиционистичния континуум, но тези принципи сами по себе си не са достатъчни, за да възстановят онази част от традиционния анализ, която Броуър счита за интуиционистично здрава, като теоремата, че всяка непрекъсната реална функция в затворен интервал е равномерно непрекъсната, Поради тази причина Брауър доказа т. Нар. Теорема на бара. Това е класически валидно твърдение, но доказателството, което Броувър предостави, от мнозина се счита за никакво доказателство, тъй като използва предположение за формата на доказателства, за които не се представя строг аргумент. Това е причината, че теорията на баровете е посочена и като принципа на лентата.

Най-известното следствие от баровата теорема е теоремата на вентилатора, която е достатъчна за доказване на гореспоменатата теорема за еднаква непрекъснатост и която ще се третира първо. Както вентилаторът, така и лентовата теорема позволяват на интуициониста да използва индукция по определени добре обосновани набори от обекти, наречени спредове. Разпространението е интуиционистичният аналог на набор и улавя идеята за безкрайните предмети като постоянно растящи и никога завършени. Разпространението е по същество дърво с разклоняващо се разклонение, обозначено с естествени числа или други крайни обекти и съдържащо само безкрайни пътеки.

Вентилаторът е крайно разклоняващ се разпространение и принципът на вентилатора изразява форма на компактност, класически еквивалентна на леммата на Кьониг, класическото доказателство за което е неприемливо от интуиционистична гледна точка. Принципът гласи, че за всеки вентилатор (T), в който всеки клон в даден момент удовлетворява свойството (A), има еднаква граница на дълбочината, на която това свойство е изпълнено. Такова свойство се нарича лента за (T).

) tag {({ bf FAN})} forall / alpha / в T / съществува n A (alpha (overline {n})) rightarrow / съществува m / forall / alpha / в T / съществува n / leq m A (alpha (overline {n})).)

Тук (alpha / в T) означава, че (alpha) е клон на (T). Принципът FAN е достатъчен за доказване на споменатата по-горе теорема:

Теорема (FAN) Всяка непрекъсната реална функция в затворен интервал е равномерно непрекъсната.

Оправданието на Брауър за теоремата на вентилатора е неговият принципен принцип за универсалното разпространение:

) маркер {({ bf BI})} започне {подравняване} &) forall / alpha / forall n / big (A (alpha (overline {n})) vee / neg A (alpha (overline {n})) big) wedge / forall / alpha / съществува n A (alpha (overline {n})) / wedge \& / quad / forall / alpha / forall n / big (A (alpha (overline {n})) rightarrow B (alpha (overline {n})) big) / wedge \& / quad / forall / alpha / forall n / big (forall mB (alpha (overline {n}) cdot m) rightarrow B (alpha (overline {n})) big)] rightarrow B (varepsilon). / end {align})

Тук (varepsilon) означава празна последователност, (cdot) за конкатенация, BI за Bar индукция, а индексът D се отнася до разрешимостта на предиката (A). Принципът на лентата осигурява интуиционизма с принцип на индукция за дърветата; той изразява основателен принцип за разпространения по отношение на свойства, които могат да се определят. Разширенията на този принцип, при които изискването за решимост е отслабено, могат да бъдат извлечени от работата на Brouwer, но тук ще бъдат пропуснати. Непрекъснатостта и принципът на лентите понякога се улавят в една аксиома, наречена аксиома на непрекъснатостта на лентата.

Съществува тясна връзка между принципа на лентата и съседните функции, споменати в раздела за аксиомите за приемственост. Нека (mathcal {IK}) е индуктивно дефинираният клас съседни функции, състоящ се от всички постоянни ненулеви последователности (lambda m.n + 1) и такъв, че ако (f (0) = 0) и (lambda mf (x / cdot m) в / mathcal {IK}) за всички (x), след това (f / in / mathcal {IK}). Твърдението (mathcal {K} = / mathcal {IK}), който е твърдението, че функциите на съседните могат да бъдат генерирани индуктивно, е еквивалентно на BI _D.

Доказателството на Броуър за баровата теорема е забележително с това, че използва добре подредени свойства на хипотетични доказателства. Тя се основава на предположението, че всяко доказателство, че свойството A на последователности е лента, може да бъде разложено на канонично доказателство, което е добре подредено. Въпреки че е класически валидно, доказателството на Брауър за принципа показва, че причината за приемането му като валиден принцип в интуиционизма се различава коренно от аргумента, подкрепящ неговата приемливост в класическата математика.

3.7 Аксиоми за избор

Аксиомата на избора в пълната й форма е неприемлива от конструктивна гледна точка, поне при наличието на някои други централни аксиоми от теорията на множествата, като например екстензионалността (Diaconescu 1975). За нека (A) е изявление, за което не се знае, че е вярно или невярно. Тогава членството в следващите два набора не може да се определи.

) начало {подравняване} X & = {x / в {0,1 } средата x = 0 / vee (x = 1 / клин A) } / Y & = {y / в {0,1 } средата y = 1 / vee (y = 0 / клин А) } край {подравняване})

Наличието на функция за избор (f: {X, Y } rightarrow {0,1 }) избор на елемент от (X) и (Y) би означавало ((A / vee / neg A)). Защото ако (f (X) neq f (Y)) следва, че (X / neq Y), и следователно (neg A), докато (f (X) = f (Y)) означава (A). Следователно функция за избор на ({X, Y }) не може да съществува.

Съществуват обаче някои ограничения на аксиомата, които са приемливи за интуициониста, например аксиомата на изброимия избор, приета също като легитимен принцип от полуинтуиционистите, които ще бъдат обсъдени по-долу:

) етикет {({ bf AC / mbox {-} N})} forall R / subseteq / mathbb {N} times / mathbb {N} big (forall m / съществува n \, mRn / rightarrow / съществува / alpha / в / mathbb {N} ^ / mathbb {N} forall m \, mR / alpha (m) big).)

Тази схема може да бъде обоснована по следния начин. Доказателството за предпоставката трябва да предоставя метод, който дава (m) число, което (n), такова, че (mRn). По този начин функцията (alpha) в естествените числа (mathbb {N}) може да бъде построена поетапно: първо се избира елемент (m_0), така че (0Rm_0), който ще бъде стойността на (alpha (0)). Тогава се избира елемент (m_1) такъв, че (1Rm_1), което ще бъде стойността на (alpha (1)) и т.н.

Няколко други аксиоми за избор могат да бъдат оправдани по подобен начин. Тук ще бъде споменат само още един, аксиомата на зависимия избор:

) маркер {({ bf DC / mbox {-} N})} начало {подравняване} forall R / subseteq / mathbb {N} times / mathbb {N} big (forall m / съществува n \, mRn / rightarrow & / forall k / съществува / alpha / в / mathbb {N} ^ / mathbb {N} big (alpha (0) = k / \ klin \& / forall i / geq 0 \, / alpha (i) R / alpha (i + 1) big) big). / Край {подравняване})

Също така в класическата математика аксиомите за избор се третират внимателно и често изрично се споменава колко избор е необходим в доказателството. Тъй като аксиомата на зависимия избор е в съответствие с важна аксиома в класическата теория на множествата (аксиомата на детерминираността), докато пълната аксиома на избор не е, специално внимание се обръща на тази аксиома и като цяло се опитва да намали размера на избора в доказателство, ако изборът изобщо присъства, на зависимия избор.

3.8 Описателна теория на множествата, топология и теория на топосите

Брауър не беше сам в съмненията си относно някои класически форми на разсъждения. Това е особено видимо в описателната теория на множествата, която се появи като реакция на силно неконструктивните представи, възникващи в теорията на множествата на Канориан. Бащите-основатели на областта, включително Емил Борел и Анри Лебег, като две от основните фигури, бяха наречени полуинтуиционисти и конструктивното им третиране на континуума доведе до определянето на Бореловата йерархия. От тяхна гледна точка понятие като набора от всички набори от реални числа е безсмислено и затова трябва да бъде заменено с йерархия от подмножества, които имат ясно описание.

Във Veldman 1999 е формулиран интуиционистичен еквивалент на понятието Borel и е показано, че класически еквивалентните дефиниции на множествата на Борел пораждат различни интуиционистично обособени класове, ситуация, която често се среща при интуиционизма. За интуиционистичния Борел задава аналог на теоремата на Бореловата йерархия е валиден за интуиционистката. Доказателството за този факт използва съществено описаните по-горе аксиоми за приемственост и по този начин показва как класическата математика може да ръководи търсенето на интуиционистични аналози, които обаче трябва да бъдат доказани по съвсем различен начин, понякога използвайки принципи, неприемливи от класическа гледна точка на видите.

Друг подход към изследването на подмножества на континуума или на топологичното пространство като цяло се появява чрез развитието на формална или абстрактна топология (Fourman 1982, Martin-Löf 1970, Sambin 1987). В тази конструктивна топология ролята на отворените множества и точки е обърната; в класическата топология отвореният набор е определен като определен набор от точки, в конструктивния случай отворените множества са основното понятие и точките се дефинират по отношение на тях. Следователно този подход понякога се нарича без точкова топология.

Интуиционистичният функционален анализ е разработен далеч и широко от мнозина след Брауър, но тъй като повечето подходи не са строго интуиционистични, но и конструктивни в по-широк смисъл, това изследване няма да бъде разглеждано повече тук.

4. Конструктивизъм

Интуиционизмът споделя основна част с повечето други форми на конструктивизъм. Като цяло конструктивизмът се занимава с конструктивни математически обекти и разсъждения. От конструктивните доказателства може, поне по принцип, да се извлекат алгоритми, които изчисляват елементите и симулират конструкциите, чието съществуване е установено в доказателството. Повечето форми на конструктивизъм са съвместими с класическата математика, тъй като като цяло те се основават на по-строга интерпретация на квантовете и съединителите и конструкциите, които са позволени, без да се правят допълнителни предположения. Логиката, приета от почти всички конструктивни общности, е една и съща, а именно интуиционистичната логика.

Много екзистенциални теореми в класическата математика имат конструктивен аналог, в който екзистенциалното твърдение се заменя с твърдение за приближения. Видяхме пример за това, теоремата за междинната стойност, в раздела за слабите контрапримери по-горе. Големи части от математиката могат да бъдат възстановени конструктивно по подобен начин. Причината да не се третира повече тук е, че акцентът в този запис е върху онези аспекти на интуиционизма, които го отличават от другите конструктивни клонове на математиката. За задълбочено третиране на конструктивизма читателят е насочен към съответния запис в тази енциклопедия.

5. Мета-математика

Въпреки че Брауер разработва математиката си по прецизен и фундаментален начин, формализацията в смисъла, какъвто го познаваме днес, е осъществена само по-късно от други. Всъщност според мнението на Брауър, че математиката се разгръща вътрешно, формализацията, макар и неприемлива, е ненужна. Други след него са мислили друго, а формализирането на интуиционистичната математика и изучаването на нейните мета-математически свойства, по-специално на аритметиката и анализа, са привлекли много изследователи. Официализацията на интуиционистичната логика, на която се основават всички формализации, вече е разгледана по-горе.

5.1 Аритметика

Хейтинг аритметична ХА, формулирана от Аренд Хейтинг, е формализация на интуиционистичната теория за естествените числа (Heyting 1956). Той има същите нелогични аксиоми като Peano Arithmetic PA, но се основава на интуиционистичната логика. Следователно това е ограничение на класическата аритметика и е приетата теория за естествените числа в почти всички области на конструктивната математика. Heyting Arithmetic има много свойства, които отразяват нейния конструктивен характер, например свойството на Disjunction, което се отнася и за интуиционистичната логика. Друго свойство на HA, което PA не споделя, е свойството за числово съществуване: ((overline {n}) е числото, съответстващо на естественото число (n))

) маркер {({ bf NEP})} { bf HA} vdash / съществува x A (x) Rightarrow / съществува n / в { mathbb N}, { bf HA} vdash А (Номера {N}).)

Това, че това свойство не притежава в PA, следва от факта, че PA доказва (съществува x (A (x) vee / forall y / neg A (y))). Помислете например за случая, че (A (x)) е формулата (T (e, e, x)), където (T) е решаващият предикат на Kleene, изразяващ това (x) е код на приключващо изчисление на програмата с код (e) на вход (e). Ако за всеки (e) ще съществува число (n) такова, че ({ bf PA} vdash T (e, e, n) vee / forall y / neg T (e, e, y)), след като проверим дали (T (e, e, n)) има, ще се реши дали програма (e) се прекратява при въвеждане (e). Това, обаче, като цяло е неопределимо.

Правилото на Марков е принцип, който се държи както класически, така и интуиционистично, но само за ХА доказателството за този факт е нетривиално:

) етикет {({ bf MR})} { bf HA} vdash / forall x (A (x) vee / neg A (x)) wedge / neg / neg / съществува x A (x) Righttarrow { bf HA} vdash / съществува x A (x).)

Тъй като HA доказва закона на изключената средна за всеки примитивен рекурсивен предикат, от това следва, че за такъв (A) производността на (neg / neg / съществува x A (x)) в HA предполага производността на (съществува х A (x)). От това следва, че PA е (Pi ^ 0_2) - консервативен за HA. Тоест, за примитивния рекурсивен (A): [{ bf PA} vdash / forall x / съществува y A (x, y) Rightarrow { bf HA} vdash / forall x / съществува y A (х, у).) По този начин класът на доказано рекурсивните функции на HA съвпада с класа на доказано рекурсивните функции на PA, свойство, което въз основа на идеите, залегнали в основата на конструктивизма и интуиционизма, може да не бъде изненада.

5.2 Анализ

Официализацията на интуиционистичната математика обхваща повече от аритметика. Големи части от анализа са аксиоматизирани от конструктивна гледна точка (Kleene 1965, Troelstra 1973). Конструктивността на тези системи може да бъде установена с помощта на функционални, теоретични или теоретични интерпретации от типа, повечето от които се основават на или разширения на интерпретацията на Гьодел Диалектика (Gödel 1958, Kreisel 1959), реализируемостта на Kleene (Kleene 1965) или теории на типа (Martin- Löf 1984). В тези интерпретации функциите, които са в основата на конструктивните изрази, като например функцията, присвояваща (y) на всеки (x) в (forall x / съществува y A (x, y)), се правят изрично по различни начини.

В (Скот 1968 и 1970) е представен топологичен модел за интуиционистичната теория на анализацията от втори ред, където реалитите се интерпретират като непрекъснати функции от пространството на Байер в класическите реали. В този модел има схема на Крипке, както и някои аксиоми за приемственост. В (Moschovakis 1973) този метод е адаптиран за конструиране на модел на теориите на интуиционистичния анализ по отношение на последователностите на избор. Също така в този модел има схема на Крипке и някои аксиоми за приемственост. Във (Van Dalen 1978) моделите на Бет се използват за осигуряване на модел от аритметични и последователности на избор, които удовлетворяват схемите за избор, случаи на слаба приемственост и схема на Крипке. В този модел домейните на всеки възел са естествените числа, така че човек не трябва да използва нестандартни модели, както в случая с крипке модели. Освен това аксиомите CS1–3 на създаващия обект може да бъде интерпретиран в него, като по този начин покаже, че тази теория е последователна.

5.3 Беззаконни последователности

Съществуват аксиоматизации на беззаконните последователности и всички те съдържат разширения на аксиомите за приемственост (Kreisel 1968, Troelstra 1977). По-специално под формата на аксиома на отворени данни, посочваща, че за (A (alpha)), които не съдържат други незаконосъобразни параметри, освен (alpha):

[A (alpha) rightarrow / съществува n / forall / beta / in / alpha (overline {n}) A (beta).)

В (Troelstra 1977) е разработена (и обоснована) теория за беззаконните последователности в контекста на интуиционистичния анализ. Освен аксиоми за елементарен анализ, той съдържа, за беззаконни последователности, подсилени форми на аксиомите на отворени данни, приемственост, разрешимост и плътност (плътността казва, че всяка крайна последователност е началният сегмент на беззаконна последователност). Особено интересното е, че в тези теории могат да бъдат елиминирани количествени стойности над беззаконни последователности, резултат, който може да се разглежда като предоставяне на модел на законосъобразни последователности за такива теории. Други класически модели на теорията за беззаконните последователности са конструирани в категорията теория под формата на модели на снопове (van der Hoeven и Moerdijk 1984). В (Moschovakis 1986) се въвежда теория за последователностите на избор по отношение на определен набор от правни елементи, т.е.заедно с класически модел, в който беззаконните последователности се оказват точно родовите.

5.4 Формализиране на Създаващия предмет

Темата за създаване, въведена в раздел 2.2, може да генерира последователности на избор, които са едни от най-важните и сложни математически същества от интуиционизма на Брууър. Няколко философи и математици са се опитали да развият теорията на Създаващия предмет по-нататък математически, както и философски.

При формализирането на понятието Създаващ Субект неговият времеви аспект се формализира с помощта на нотацията (Box_n A), което означава, че Създаващият Субект има доказателство за A в момент n (в някои други формулировки: изпитва истината за (A) по време (n)). Георг Kreisel (1967) въведе следните три аксиоми за Създаващия субект, които взети заедно са обозначени с CS:

) начало {подравняване} маркер {({ bf CS1})} & / Box_n A / vee / neg / Box_n A \& / mbox {(по време (n), може да се реши дали създаващата тема} & / mbox {има доказателство за A)} / \ маркер {({ bf CS2})} & / Box_m A / rightarrow / Box_ {m + n} A \& / mbox {(Създаващият субект никога не забравя това, което е доказал)} / \ tag {({ bf CS3})} & (съществува n / Box_n A / rightarrow A) wedge (A / rightarrow / neg / neg / съществува n / Box_n A) & / mbox {(Създаващата тема само доказва какво е вярно и не} & / mbox {истинското изявление не може да бъде доказано за} & / mbox {Създаване Тема)} / \ край {подравняване})

Във версията на Anne Troelstra (1969) последната аксиома е засилена до

) начало {подравняване} маркер {({ bf CS3} ^ +)} & / съществува n / Box_n A / leftrightarrow A \& / mbox {(Създаващият предмет само доказва какво е истина и какво} & / mbox {е вярно, ще се докаже от Създаващия обект в някакъв} & / mbox {point)} end {align})

Първата аксиома CS1 е непротиворечива: във всеки един момент може да се установи дали Създаващият субект има доказателство за дадено твърдение или не. Втората аксиома CS2 ясно използва факта, че Създаващата тема е идеализация, тъй като тя изразява, че доказателствата винаги ще бъдат запомнени. Последната аксиома CS3 е най-оспорваната част от формализацията на Създаващия Субект или, по-добре, неговият втори конюкт ((A / rightarrow / neg / neg / съществува n / Box_n A)) е, на който е дадено името Аксиома на християнската благотворителност от Kreisel. Göran Sundholm (2014), например, твърди, че Axiom of Christian Charity не е приемлив от конструктивна гледна точка. А теоремата на Гьодел за непълнота дори предполага, че принципът е невярен, когато (Box_n A) би се интерпретирал като доказаем в достатъчно силна доказателствена система, което обаче със сигурност не е тълкуването, което Броувър е имал предвид.

Като се има предвид изявление (A), което не съдържа позоваване на времето, т.е. няма поява на (Box_n), може да се определи последователност на избор съгласно следното правило (Brouwer 1953):

) alpha (n) = / наляво { започнем {масив} {ll} 0 & / mbox {ако (neg / Box_n A)} / 1 & / mbox {ако (Box_n A). } end {масив} вдясно.)

От това следва принципът, известен като Схема на KS на Крипке, въведен в раздел 2.2, принцип, който за разлика от аксиомите на теорията на Създаващия Субект, не съдържа изрично позоваване на времето: (съществува / alpha (A / leftrightarrow / съществува n / alpha (n) = 1)).

Използвайки схемата на Kripke, аргументите за слаб пример на контра могат да бъдат изразени формално, без никакво позоваване на създаващия субект. Следният пример е взет от (van Atten 2018). Нека A е изявление, за което в момента (neg A / vee / neg / neg A) не е известно. С помощта на KS се получават последователности на избор (alpha_1) и (alpha_2) такива

) neg A / leftrightarrow / съществува n / alpha_1 (n) = 1 / \ / \ / neg / neg A / leftrightarrow / съществува n / alpha_2 (n) = 1.)

Свържете с тези две последователности действителните числа (r_0) и (r_1), където за (i = 0,1):

[r_i (n) = / започнем {случаи} 0 & / текст {if (alpha_i (n) neq 1)} (-1) ^ i2 ^ {- m} & / start {align} & / текст {ако за някои (m / leq n), (alpha_i (m) = 1) и} & / текст {за не (k / lt m), (alpha_i (k) = 1.)} край {подравняване} край {случаи})

Тогава за (r = r_0 + r_1), оператор (neg A / vee / neg / neg A) се подразбира от ((r / gt 0 / vee r / lt 0)), което показва, че ((r / gt 0 / vee r / lt 0)) не може да бъде доказано.

Във (van Dalen 1978) е изграден модел от аксиомите за Създаващия Субект в контекста на аритметични и избирателни последователности, като по този начин се доказва, че те съответстват на интуиционистичната аритметика и някои части от анализа. Във (van Dalen 1982) CS е доказано консервативен по отношение на Heyting Aithmetic. Математическите последици от схемата на Крипке могат да бъдат открити в (van Dalen 1997), където е показано, че KS и аксиомите за приемственост отхвърлят принципа на Марков, докато KS заедно с принципа на Марков предполага принципа на изключената средна.

Крипке показа, че KS предполага наличието на нерекурсивни функции, резултат не публикуван от него, а от Kreisel (1970). Ясно е, че това предполага, че теорията CS също предполага наличието на нерекурсивна функция. Възможният аргумент за CS работи както следва. Да предположим, че (X) е неизчислим, но изчислимо изброяващ набор и дефинира функцията (f), както следва:

[f (m, n) = / започнем {случаи} 0 & / текст {ако не (Box_m (n / не / в X))} / 1 & / текст {ако (Box_m (n / не / в X)).} край {случаи})

Тогава следва, че (n / не / в X), ако и само ако (f (m, n) = 1) за някакво естествено число (m), което означава, че (f) не може да бъде изчислима. Защото, ако е така, допълването на (X) би било изчислимо изброяващо, което предполага изчислимостта на (X). Тъй като (f) е функция от интуиционистична гледна точка, това установява, че в интуиционизма не всички функции са изчислими.

5.5 Основи

Формализациите, които са предназначени да служат като основа за конструктивна математика, са или от теоретично множествена теория (Aczel 1978, Myhill 1975), или от тип теоретична (Martin-Löf 1984) характер. Бившите теории са адаптиране на теорията на множествата на Zermelo-Fraenkel към конструктивна настройка, докато в теорията на типовите конструкции, подразбиращи се в конструктивните изявления, се правят изрично в системата. Теорията на множествата може да се разглежда като разширяваща основа на математиката, докато теорията на типовете като цяло е интензивна.

През последните години се появиха много модели на части от такива основополагащи теории за интуиционистична математика, някои от тях бяха споменати по-горе. Особено в теорията на топоса (van Oosten 2008) има много модели, които улавят определени характеристики на интуиционизма. Има например топои, в които всички общи реални функции са непрекъснати. Функционални интерпретации като осъществимост, както и интерпретации в теорията на типовете също могат да се разглеждат като модели на интуиционистична математика и повечето други конструктивни теории.

5.6 Обратна математика

При обратната математика човек се опитва да установи за математическите теореми кои аксиоми са необходими, за да ги докажат. В интуиционистичната обратна математика човек има подобна цел, но след това по отношение на интуиционистичните теореми: работата над слаба интуиционистка теория, аксиомите и теоремите се сравняват една с друга. Типичните аксиоми, с които човек желае теоремите да се сравняват, са принципът на вентилатора и принципа на лентата, схемата на Крипке и аксиомите за приемственост.

В (Veldman 2011) се изучават еквиваленти на принципа на вентилатора върху основна теория, наречена Основна интуиционистка математика. Показано е, че вентилаторният принцип е еквивалентен на твърдението, че единичният интервал [0,1] има свойството Heine-Borel и от това се извличат много други еквиваленти. В (Veldman 2009) е показано, че принципът на вентилатора е еквивалентен на приблизителната теорема с фиксирана точка на Brouwer. В (Lubarsky et al. 2012) обратната математика се прилага към форма на схема на Крипке, която е показана като еквивалентна на определени топологични твърдения.

Има още много такива примери от интуиционистичната обратна математика. Особено в по-широкото поле на конструктивна обратна математика има много резултати от този характер, които са от значение и от интуиционистичната гледна точка.

6. Философия

Брауър изгражда своя интуиционизъм от самото начало и не коментира много връзката между интуиционизма и други съществуващи философии, но други след него го направиха. Някои от тези връзки са разгледани в този раздел, по-специално начинът, по който интуиционистичните принципи могат да бъдат оправдани по отношение на други философии.

6.1 Феноменология

Връзката между интуиционизма и феноменологията, философията, разработена от Едмунд Хусерл, е изследвана от няколко автори по време на живота на Брууер, както и десетилетия по-късно. Херман Вейл беше сред първите, които обсъдиха връзката между идеите на Броуер и феноменологичния възглед върху математиката. Подобно на Брауър, Вейл говори в книгата си Das Kontinuum (глава 2) за интуитивния континуум, но идеята на Вейл се основава на феноменологията на (съзнанието на) времето. По-късно Уейл смята, че развитието на Брауър на истинския анализ е по-верен на идеята за интуитивния континуум, отколкото неговия собствен (Weyl 1921) и затова се поставя на страната на Brouwer, поне по отношение на този аспект (van Atten 2002).

Van Atten (2003 en 2007) използва феноменологията, за да оправдае последователностите на избора като математически обекти. Авторът (2002) е критичен към оправданието на Броувър за избор на последователности, което е мотивът да се търси философско оправдание другаде. Изборните последователности се срещат в работата на Бекер (1927) и Уейл, но те се различават от представата на Броувър и Хусерл никога не е обсъждал избирателните последователности публично. Ван Атън обяснява как хомогенността на континуума отчита неговата неизчерпаемост и неатомичност, две ключови свойства на интуитивния континуум според Броуър. Използвайки факта, че тези две основни свойства присъстват в дефиницията на последователностите на избор, човек стига до феноменологичното обосноваване на тях.

6.2 Витгенщайн

На 10 март 1928 г. Брауър изнася лекции във Виена относно своите интуиционистични основи на математиката. Лудвиг Витгенщайн присъства на тази лекция, убедена от Хърбърт Фейгл, който впоследствие пише за часовете, прекарани с Витгенщайн и други след лекцията: стана голямо събитие. Внезапно и много волно Витгенщайн започна да говори философия - с голяма дължина. Може би това е повратна точка, тъй като от онова време, 1929 г., когато се премества в университета в Кеймбридж, Витгенщайн отново е философ и започва да оказва огромно влияние.

Други оспорват, че лекцията на Броувър е повлияла върху мисленето на Витгенщайн (Hacker 1986, Hintikka 1992, Marion 2003). Доколко, ако изобщо Витгенщайн е бил повлиян от идеите на Брауър, не е напълно ясно, но със сигурност има интересни споразумения и разногласия между техните възгледи. Marion (2003) твърди, че схващането на Витгенщайн за математиката, описано в Tractatus, е много близко до това на Brouwer и че Витгенщайн е съгласен с отхвърлянето на Закона за изключения среден (ръкопис от 1929 г., стр. 155–156 в Wittgenstein 1994), но не е съгласен с аргументите на Броувър срещу него. Марион (2003) твърди, че позицията на Витгенщайн е по-радикална от тази на Брауър, тъй като според първоначалната липса на валидност на Закона за изключения среден в математиката е отличителна черта на всички математически предложения (за разлика от емпиричните предложения), а не само на особеност на математиката на безкрайността, както е за Броувър.

Велдман (предстоящо) обсъжда няколко точки на (не) съгласие между Брууер и Витгенщайн, като например опасността от логиката, която според двете може да доведе до конструкции без математическо съдържание. Едно от разногласията, повдигнати в документа, се отнася до мнението на Витгенщайн, че математиката е общо начинание, което е в пълен контраст с Създаващия предмет на Броувър и неговото мнение, че математиката е без езикова дейност.

6.3 Dummett

Британският философ Майкъл Дамет (1975) разработи философска основа за интуиционизма, по-специално за интуиционистичната логика. Дъммет изрично заявява, че неговата теория не е екзегеза на работата на Броуер, а възможна философска теория за (по думите му) отхвърляне на класическите разсъждения в математиката в полза на интуиционистичните разсъждения.

Подходът на Дъммет започва с идеята, че изборът за една логика над друга трябва непременно да лежи в смисъла, който се придава на логическите твърдения. В теорията за значението, която използва Дамет, която се основава на идеите на Витгенщайн за езика и в частност на неговата идея, че смисълът е употреба, значението на изречението се определя от начина, по който се използва изречението. Значението на математическото изявление се проявява в употребата, направена от него, а разбирането за него е познаването на способността да се използва изявлението. Това мнение се подкрепя от начина, по който придобиваме математически знания. Когато научим математическо понятие, ние се научаваме как да го използваме: как да го изчислим, да го докажем или да заключим от него. И единственият начин да се установи, че сме схванали значението на математическото изявление, се крие в умението ни да правим правилното използване на израза.

Като се има предвид това виждане за смисъла, централното понятие в теорията на значението за математиката не е, както в платонизма, истина, а доказателство; разбирането на математическо изявление се състои в способността да се разпознае доказателство за това, когато човек е представен с такъв. Това тогава, както твърди Дъммет, води до приемането на интуиционистичната логика като логика на математическите разсъждения.

Интересното е, че както отбелязва сам Дъммет (1975), неговата теория на смисъла е далеч от идеите на Броувър за математиката като по същество без езикова дейност. Така че има поне две доста различни мисли, водещи до възприемането на интуиционистичната логика над класическата логика, тази, разработена от Броуер, и тази, за която се твърди от Дамет. Работата на Дамет върху интуиционизма е коментирана от различни философи като Даг Правиц (1977), Парсънс (1986) и Ричард Тизен (1994, 2000).

6.4 Финитизъм

Различните форми на финитизъм се основават на подобен възглед като този, изразен от Дъммет, но в който конструкциите, на които е разрешено да доказват математически твърдения, се изискват да съществуват не само по принцип, но и на практика. В зависимост от прецизното изпълнение на последната идея се стига до различни форми на финитизъм, като ултраинтуиционизма, разработен от Александър Йесенин-Волпин (1970) и Строгият финитизъм, разработен от Криспин Райт (1982).

библиография

• Aczel, P., 1978, „Типово-теоретичното тълкуване на теорията на конструктивните множества“в A. Macintyre, L. Pacholski, J. Paris (ред.), Logic Colloquium '77, специален брой на „Изследвания в логиката и основите“по математика, 96: 55–66.
• van Atten, M., 2004, On Brouwer, Belmont: Wadsworth / Thomson Learning.
• –––, 2007 г., Брауър се среща с Хусерл: относно феноменологията на последователностите на избор, Dordrecht: Springer.
• –––, 2008, „За хипотетичната преценка в историята на интуиционистичната логика“, в C. Glymour, W. Wang и D. Westerståhl (ред.), Материали от Международния конгрес в Пекин (Логика, Методология и Философия на науката: Том XIII), Лондон: Публикации на King's College, 122–136.
• van Atten, M. and D. van Dalen, 2002, „Аргументи за принципа на приемственост“, Бюлетин на символичната логика, 8 (3): 329–374.
• Beth, EW, 1956, „Семантична конструкция на интуиционистична логика“, Mededeelingen der Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen, Afdeeling Letterkunde (Nieuwe Serie), 19 (11): 357–388.
• Brouwer, LEJ, 1975 г., Събрани произведения I, A. Heyting (ed.), Амстердам: Северна Холандия.
• –––, 1976 г., Събрани произведения II, Х. Фройдентал (съст.), Амстердам: Северна Холандия.
• –––, 1905, Левен, kunst en mystiek, Делфт: Уолтман.
• –––, 1907, Over de grondslagen der wiskunde, Ph. D. Теза, Университет в Амстердам, Катедра по физика и математика.
• –––, 1912, „Intuïtionisme en formalisme“, встъпителен адрес в Амстердамския университет, 1912. Също в Wiskundig tijdschrift, 9, 1913.
• –––, 1925 г., „Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik I“, „Mathematische Annalen, 93: 244–257.
• –––, 1925, „Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik II“, „Mathematische Annalen, 95: 453–472.
• –––, 1948, „По същество отрицателни свойства“, Indagationes Mathematicae, 10: 322–323.
• –––, 1952 г., „Исторически произход, принципи и методи на интуиционизма“, Южноафрикански журнал на науката, 49 (октомври-ноември): 139–146.
• –––, 1953 г., „Точки и пространства“, Канадско списание по математика, 6: 1–17.
• –––, 1981 г., Брууър в Кеймбридж лекции за интуиционизма, Д. ван Дален (съст.), Кеймбридж: Cambridge University Press, Cambridge.
• –––, 1992, Intuitionismus, D. van Dalen (съст.), Mannhein: Wissenschaftsverlag.
• Brouwer, LEJ и CS Adama van Scheltema, 1984, Droeve snaar, vriend van mij - Brieven, D. van Dalen (съст.), Амстердам: Uitgeverij de Arbeiderspers.
• Coquand, T., 1995, „Конструктивно топологично доказателство за теоремата на ван дер Ваерден“, Journal of Pure and Apple Algebra, 105: 251–259.
• van Dalen, D., 1978, „Интерпретация на интуиционистичния анализ“, Annals of Mathematical Logic, 13: 1–43.
• –––, 1997, „Колко свързан е интуиционистичният континуум?“, Сп. „Символична логика“, 62 (4): 1147–1150.
• –––, 1999/2005, Мистик, геометър и интуиционист, Томове I (1999) и II (2005), Oxford: Clarendon Press.
• –––, 2001, LEJ Brouwer (een biografie), Амстердам: Uitgeverij Bert Bakker.
• –––, 2004, „Колмогоров и Брауер относно конструктивното значение и правилото Ex Falso“Руски математически проучвания, 59: 247–257.
• van Dalen, D. (ed.), 2001, LEJ Brouwer en de grondslagen van de wiskunde, Utrecht: Epsilon Uitgaven.
• Diaconescu, R., 1975, „Аксиома на избор и допълване“, в Proceedings of the American Mathematical Society, 51: 176–178.
• Dummett, М., 1975, „Философските основи на интуиционистичната логика“, в Н. Е. Роуз и Й. К. Шепърдсън (ред.), Събития на Колоквиума на логиката '73, специален брой на „Изследвания по логика и основите на математиката“, 80: 5 -40.
• Fourman, M. и R. Grayson, 1982, "Формални пространства", в AS Troelstra и D. van Dalen (ред.), Столичният симпозиум на BROWER от LEJ, Амстердам: Северна Холандия.
• Gentzen, G., 1934, „Untersuchungen über das logische Schließen I, II,“Mathematische Zeitschrift, 39: 176–210, 405–431.
• Gödel, K., 1958, „Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes“, Диалектика, 12: 280–287.
• Hacker, PMS, 1986, Insight & Illusion. Теми във философията на Витгенщайн, преработено издание, Clarendon Press, Oxford.
• Heyting, A., 1930, „Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik“, „Sitzungsberichte der Preussischen Akademie von Wissenschaften. Physikalisch-mathematische Klasse, 42–56.
• –––, 1956 г., Интуиционизъм, увод, Амстердам: Северна Холандия.
• van der Hoeven, G. and I. Moerdijk, 1984, 'Модели на снопове за последователности на избор,' Annals of Pure and Applied Logic, 27: 63–107.
• Kleene, SC и RE Vesley, 1965, Основите на интуиционистичната математика, Амстердам: Северна Холандия.
• Kreisel, G., 1959, „Интерпретация на анализа чрез конструктивни функционалности от краен тип“, в A. Heyting (ed.), Constructivity in Mathematics, Amsterdam: North-Holland.
• –––, 1962, „За слабата пълнота на интуиционистичната предикатна логика“, Journal of Symbolic Logic, 27: 139–158.
• –––, 1968, „Беззаконни последователности от естествени числа“, Compositio Mathematica, 20: 222–248.
• Kripke, SA, 1965, „Семантичен анализ на интуиционистичната логика“, в J. Crossley и M. Dummett (ред.), Формални системи и рекурсивни функции, Амстердам: Северна Холандия.
• Лубарски, Р., Ф. Ричман и П. Шустер 2012, „Схемата на Крипке в метричната топология“, Математическа логика, квартал, 58 (6): 498–501.
• Maietti, ME и G. Sambin, 2007, „Към минималистична основа за конструктивна математика“, в Л. Crosilla и P. Schuster (ред.), От множества и видове до топология и анализ: към минималистична основа за конструктивна математика, Оксфорд: Oxford University Press.
• Марион, М., 2003, „Витгенщайн и Брауър“, Синтеза 137: 103–127.
• Martin-Löf, P., 1970, Бележки за конструктивната математика, Стокхолм: Almqvist & Wiskell.
• –––, 1984 г., теория на интуиционистичния тип, Наполи: Библиополис.
• Moschovakis, JR, 1973, "Топологична интерпретация на интуиционистичната аритметика от втори ред", Compositio Mathematica, 26 (3): 261-275.
• –––, 1986, „Относително беззаконие в интуиционистичния анализ“, Journal of Symbolic Logic, 52 (1): 68–87.
• Myhill, J., 1975, „Конструктивна теория на множествата“, Journal of Symbolic Logic, 40: 347–382.
• Niekus, J., 2010, „Непълни обекти на Brouwer“История и философия на логиката, 31: 31–46.
• van Oosten, J., 2008, Реализируемост: Въведение в категоричната му страна (Изследвания в логиката и основите на математиката: том 152), Амстердам: Elsevier.
• Правиц, Д., 1977, „Значение и доказателства: относно конфликта между класическата и интуиционистичната логика“, Теория, 43 (1): 2–40.
• Парсънс, С., 1986, „Интуиция в конструктивната математика“, в езика, ума и логиката, J. Butter (съст.), Cambridge: Cambridge University Press.
• Самбин, Г., 1987, „Интуиционистични формални пространства“, в Математическата логика и нейните приложения, Д. Скордев (съст.), Ню Йорк: Пленум.
• Скот, Д., 1968, "Разширяване на топологичната интерпретация до интуиционистичния анализ", Compositio Mathematica, 20: 194-210.
• –––, 1970, „Разширяване на топологичното тълкуване до интуиционистичен анализ II“, в теорията за интуиционизма и доказателствата, Дж. Майхил, А. Кино и Р. Весли (ред.), Амстердам: Северна Холандия.
• Sundholm, BG, „Конструктивни рекурсивни функции, теза на Църквата и теорията на Брауър за създаването на тема: Замислите върху Парижната съвместна сесия“, в Jacque Dubucs & Michel Bordeau (ред.), Конструктивност и изчислимост в историческа и философска перспектива (логика, Епистемология и единството на науката: том 34), Dordrecht: Springer: 1–35.
• Tarski, A., 1938, „Der Aussagenkalkül und die Topologie,“Fundamenta Mathematicae, 31: 103–134.
• Tieszen, R., 1994, "Каква е философската основа на интуиционистичната математика?", В D. Prawitz, B. Skyrms и D. Westerstahl (ред.), Логика, методология и философия на науката, IX: 579–594.
• –––, 2000, „Интуиционизъм, теория на значението и познание“, История и философия на логиката, 21: 179–194.
• Troelstra, AS, 1973 г., Метаматематически изследвания на интуиционистичната аритметика и анализ, (Бележки от лекции по математика: том 344), Берлин: Springer.
• –––, 1977, Choice последователности (Оксфордски логически справочници), Oxford: Clarendon Press.
• Troelstra, AS и D. van Dalen, 1988, Конструктивизъм I и II, Амстердам: Северна Холандия.
• Veldman, W., 1976, „Интуиционистична теорема за пълнота на интуиционистичната логика на предиката“, Journal of Symbolic Logic, 41 (1): 159–166.
• –––, 1999, „Йерархията на Борел и проективната йерархия в интуиционистката математика“, Доклад номер 0103, Катедра по математика, Университета в Неймеген. [достъпно онлайн]
• –––, 2004 г., „Интуиционистично доказателство за теоремата на Крускал“, Архив за математическа логика, 43 (2): 215-264.
• –––, 2009 г., „Приблизителната теория на Брууър с фиксирана точка е еквивалентна на теоремата на вентилатора на Брауър“, в С. Линдстрем, Е. Палмгрен, К. Сегерберг, В. Столтенберг-Хансен (ред.), Логиката, интуиционизма и формализма (Синтезна библиотека: том 341), Dordrecht: Springer, 277-299.
• –––, 2014, „Теоремата на вентилатора на Брауър като аксиома и като контраст с алтернативата на Клайн“, в Архив за математическа логика, 53 (5–6): 621–693.
• –––, предстоящо, „Интуиционизмът е всичко нагло, изцяло. Освен ако не е вдъхновение “, в Г. Албертс, Л. Бергманс и Ф. Мюлер, (ред.), Значимости и Виенския кръг: Пресечки, Дордрехт: Спрингер. [предпечатът е достъпен онлайн]
• Weyl, H., 1921, „Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik,“Mathematische Zeitschrift, 10: 39–70.
• Wittgenstein, L., 1994, Wiener Ausgabe, Band 1, Philosophische Bemerkungen, Виена, Ню Йорк: Springer Verlag.
• Райт, С., 1982, „Строг финитизъм“, Синтеза 51 (2): 203–282.
• Йесенин-Волпин, А. С., 1970, „Свръхинтуиционистичната критика и антитрадиционната програма за основите на математиката“, в А. Кино, Дж. Майхил и Р. Весли (ред.), Интуиционизъм и теория на доказателствата, Амстердам: Север -Holland Publishing, 3–45.

Академични инструменти

	Как да цитирам този запис.
	Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
	Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
	Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси