Програма на Хилберт

Съдържание:

Програма на Хилберт
Програма на Хилберт

Видео: Програма на Хилберт

Видео: Програма на Хилберт
Видео: 1001364 2023, Септември
Anonim

Навигация за влизане

  • Съдържание за участие
  • библиография
  • Академични инструменти
  • Friends PDF Preview
  • Информация за автора и цитирането
  • Върнете се в началото

Програма на Хилберт

За първи път публикуван на 31 юли 2003 г.; съществена ревизия пт 24 май 2019 г.

В началото на 20-те години на миналия век немският математик Дейвид Хилберт (1862–1943 г.) предлага ново предложение за основата на класическата математика, което стана известно като програма на Хилберт. Той призовава за формализиране на цялата математика в аксиоматична форма, заедно с доказателство, че тази аксиоматизация на математиката е последователна. Самото доказателство за консистенция трябваше да се извърши, като се използва само онова, което Хилберт нарече „финални“методи. След това специалният епистемологичен характер на финиталните разсъждения дава необходимата обосновка на класическата математика. Въпреки че Хилберт предлага програмата си под тази форма едва през 1921 г., различни аспекти от нея се коренят в основополагащата работа на неговото завръщане до около 1900 г., когато за пръв път посочва необходимостта да се даде пряко доказателство за последователност на анализа. Работата по програмата значително напредва през 20-те години на миналия век с приноси на логици като Пол Бернайс, Вилхелм Акерман, Джон фон Нойман и Жак Хербранд. Това оказа голямо влияние и на Курт Гьодел, чиято работа върху теоремите за непълноти беше мотивирана от програмата на Хилберт. По принцип работата на Гьодел показва, че програмата на Хилберт не може да бъде изпълнена. Въпреки това тя продължава да бъде влиятелна позиция във философията на математиката и, започвайки от работата на Герхард Гентцен през 30-те години, работата по така наречените релативизирани програми на Хилберт е била централна за развитието на теорията на доказателствата.чиято работа върху теоремите за непълноти е мотивирана от Програмата на Хилберт. По принцип работата на Гьодел показва, че програмата на Хилберт не може да бъде изпълнена. Въпреки това тя продължава да бъде влиятелна позиция във философията на математиката и, започвайки от работата на Герхард Гентцен през 30-те години, работата по така наречените релативизирани програми на Хилберт е била централна за развитието на теорията на доказателствата.чиято работа върху теоремите за непълноти е мотивирана от Програмата на Хилберт. По принцип работата на Гьодел показва, че програмата на Хилберт не може да бъде изпълнена. Въпреки това тя продължава да бъде влиятелна позиция във философията на математиката и, започвайки от работата на Герхард Гентцен през 30-те години, работата по така наречените релативизирани програми на Хилберт е била централна за развитието на теорията на доказателствата.

  • 1. Историческо развитие на програмата на Хилберт

    • 1.1 Ранна работа по основи
    • 1.2 Влиянието на Principia Mathematica
    • 1.3 Финитизъм и стремеж към доказателства за последователност
    • 1.4 Въздействието на теоремите за непълнота на Гьодел
  • 2. Финалната гледна точка

    • 2.1 Финални предмети и финистична епистемология
    • 2.2 Изключително значими предложения и финални разсъждения
    • 2.3 Финални операции и окончателно доказателство
  • 3. Формализъм, редукционизъм и инструментализъм
  • 4. Програмата на Хилберт и теоремите за непълнота на Гьолд
  • 5. Преработени програми на Хилберт
  • библиография
  • Академични инструменти
  • Други интернет ресурси
  • Свързани записи

1. Историческо развитие на програмата на Хилберт

1.1 Ранна работа по основи

Работата на Хилберт върху основите на математиката има своите корени в работата му по геометрията на 1890-те, като кулминацията е във влиятелния му учебник "Основи на геометрията" (1899) (виж Геометрията на XIX век). Хилберт смяташе, че правилният начин за строго разработване на всеки научен предмет изисква аксиоматичен подход. При осигуряването на аксиоматично лечение теорията би била разработена независимо от всяка необходимост от интуиция и би улеснила анализа на логическите връзки между основните понятия и аксиомите. От основно значение за аксиоматичното третиране са, така че Хилберт, изследване на независимостта и най-вече на последователността на аксиомите. За аксиомите на геометрията последователността може да бъде доказана чрез предоставяне на интерпретация на системата в реалната равнина и по този начин,консистенцията на геометрията се свежда до последователността на анализа. Разбира се, основата на анализа изисква аксиотизация и доказателство за последователност. Хилберт предоставя такава аксиоматизация през (1900b), но много бързо става ясно, че последователността на анализа е изправена пред значителни затруднения, по-специално защото предпочитаният начин за осигуряване на основа за анализ в работата на Dedekind разчита на съмнителни предположения, близки до тези, които водят към парадоксите на теорията на множествата и парадокса на Ръсел в основата на аритметиката на Фреге.по-специално защото предпочитаният начин за осигуряване на основа за анализ в работата на Дедекинд разчита на съмнителни предположения, сходни с тези, които водят до парадоксите на теорията на множествата и парадокса на Ръсел в основата на аритметиката на Frege.по-специално защото предпочитаният начин за осигуряване на основа за анализ в работата на Дедекинд разчита на съмнителни предположения, сходни с тези, които водят до парадоксите на теорията на множествата и парадокса на Ръсел в основата на аритметиката на Frege.

По този начин Хилберт осъзна, че е необходимо пряко доказателство за последователност на анализа, т.е. такъв, който не се основава на редукция до друга теория. Той предложи проблемът с намирането на такова доказателство като втория от 23-те му математически проблема в обръщението си до Международния конгрес на математиците през 1900 г. (1900а) и представи скица на такова доказателство в беседата си за Хайделберг (1905 г.). Няколко фактора забавиха по-нататъшното развитие на основополагащата програма на Хилберт. Една от тях е може би критиката на Поанкаре (1906) срещу това, което той вижда като злобно кръгово използване на индукция в очертаното от Хилберт доказателство за консистенция (вж. Steiner 1975, Приложение). Хилберт също осъзна, че аксиоматичните изследвания изискват добре разработен логически формализъм. По онова време той разчита на концепция за логиката, основана на алгебраичната традиция, по-специално на работата на Шредер, т.е.което не беше особено подходящо като формализъм за аксиоматизацията на математиката. (Вижте Peckhaus 1990 за ранното развитие на програмата на Hilbert.)

1.2 Влиянието на Principia Mathematica

Публикацията на Ръсел и Уайтхед на Principia Mathematica предостави необходимата логическа основа за подновена атака по основополагащи въпроси. В началото на 1914 г. ученикът на Хилберт Хайнрих Беман и други изучават системата на Принципия (вж. Mancosu 1999 за ролята на Беман в училището на Хилберт). Самият Хилберт се завръща на работа по основополагащи въпроси през 1917 г. През септември 1917 г. той отправя обръщение към Швейцарското математическо дружество, озаглавено „Аксиоматична мисъл“(1918a). Това е първият му публикуван принос към математическите основи от 1905 г. В него той отново подчертава изискването за доказателства за консистенция за аксиоматичните системи: „Главното изискване на теорията за аксиомите трябва да отиде по-далеч [отколкото просто да се избягват известни парадокси], а именно,да покажем, че във всяка област на познанието противоречията, основани на основата на аксиомната система, са абсолютно невъзможни. " Той поставя доказателството за последователността на аритметиката (и на теорията на множествата) като основни открити проблеми. И в двата случая изглежда, че няма нищо по-фундаментално, за което последователността да бъде намалена, освен самата логика. Тогава Хилберт помисли, че проблемът е решен по същество от работата на Ръсел в Принципия. Въпреки това, други основни проблеми на аксиоматиката останаха нерешени, включително проблемът с „разрешимостта на всеки математически въпрос“, който също се отнася до адреса на Хилберт от 1900 г.изглежда няма нищо по-фундаментално на разположение, на което последователността да бъде намалена, освен самата логика. Тогава Хилберт помисли, че проблемът е решен по същество от работата на Ръсел в Принципия. Въпреки това, други основни проблеми на аксиоматиката останаха нерешени, включително проблемът с „разрешимостта на всеки математически въпрос“, който също се отнася до адреса на Хилберт от 1900 г.изглежда няма нищо по-фундаментално на разположение, на което последователността да бъде намалена, освен самата логика. Тогава Хилберт помисли, че проблемът е решен по същество от работата на Ръсел в Принципия. Въпреки това, други основни проблеми на аксиоматиката останаха нерешени, включително проблемът с „разрешимостта на всеки математически въпрос“, който също се отнася до адреса на Хилберт от 1900 г.

Тези нерешени проблеми на аксиоматиката накараха Хилберт да положи значителни усилия да работи върху логиката в следващите години. През 1917 г. Пол Бернейс се присъединява към него като асистент в Гьотинген. В поредица от курсове от 1917-1921 г. Хилберт, със съдействието на Бернайс и Беман, направи значителен нов принос във формалната логика. Курсът от 1917 г. (Hilbert, 1918b), по-специално, съдържа сложно развитие на логиката от първи ред и представлява основата на учебника на Хилберт и Акерман Принципи на теоретичната логика (1928 г.) (вж. Ewald и Sieg 2013, Sieg 1999, и Зак 1999, 2003).

1.3 Финитизъм и стремеж към доказателства за последователност

В рамките на следващите няколко години обаче Хилберт дойде да отхвърли логичното решение на Ръсел на проблема за последователност за аритметика. В същото време интуиционистичната математика на Броуер спечели валута. По-специално бившият ученик на Хилберт Херман Вейл се насочи към интуиционизма. Докладът на Уейл „Новата основополагаща криза в математиката“(1921 г.) е отговорен от Хилберт в три беседи в Хамбург през лятото на 1921 г. (1922b). Тук Хилберт представи собствено предложение за решение на проблема с основата на математиката. Това предложение включва идеите на Хилберт от 1904 г. относно доказателствата за директна съвместимост, концепцията му за аксиоматични системи, както и техническите разработки в аксиоматизацията на математиката в работата на Ръсел, както и по-нататъшните разработки, извършени от него и неговите сътрудници. Новото беше начинът, по който Хилберт искаше да обвърже проекта си за съгласуваност с философското значение, необходимо за да отговори на критиките на Брууър и Уейл: финална гледна точка.

Според Хилберт има привилегирована част от математиката, съдържателната теория на елементарните числа, която се опира само на „чисто интуитивна основа на конкретни знаци“. Докато работата с абстрактни понятия се считаше за „неадекватна и несигурна“, съществува една област от това

екстра-логични дискретни обекти, които съществуват интуитивно като непосредствено преживяване преди всяка мисъл. Ако логичното заключение е сигурно, тогава тези обекти трябва да бъдат способни да бъдат изследвани изцяло във всичките им части и тяхното представяне, разликата им, тяхната последователност (като самите обекти) трябва да съществуват за нас незабавно, интуитивно, като нещо, което не може бъдете сведени до нещо друго. (Hilbert 1922b, 202; пасажът се повтаря почти дословно в Hilbert 1926, 376, Hilbert 1928, 464 и Hilbert 1931b, 267)

За Хилберт тези обекти бяха знаци. Областта на теорията на съдържателните числа се състои в финални цифри, т.е. последователности от щрихи. Те нямат никакво значение, т.е. не представляват абстрактни обекти, но могат да бъдат експлоатирани (например, свързани) и да се сравняват. Познаването на техните свойства и взаимоотношения е интуитивно и не се мекотира от логически изводи. Разработената по този начин теория на съдържателните числа е сигурна, според Хилберт: не могат да възникнат противоречия, просто защото няма логическа структура в предложенията на теорията на съдържателните числа.

Интуитивно-съдържателните операции със знаци са в основата на метаматематиката на Хилберт. Точно както теорията на съдържателното число оперира с последователности на удари, така и метаматематиката оперира с последователности от символи (формули, доказателства). Формулите и доказателствата могат да се манипулират синтактично, а свойствата и връзките на формулите и доказателствата по подобен начин се основават на интуитивен капацитет без логика, който гарантира сигурност на знанията за формулите и доказателствата, получени от такива синтактични операции. Самата математика обаче оперира с абстрактни понятия, например квантори, групи, функции и използва логически изводи, основани на принципи като математическа индукция или принцип на изключената средна. Тези „формиране на концепции“и начини на разсъждение бяха критикувани от Брууър и други с мотива, че те предполагат безкрайните съвкупности, както са дадени, или че включват непредсказуеми дефиниции (които бяха считани от критиците за порочно кръгови). Целта на Хилберт беше да оправдае използването им. За тази цел той посочи, че те могат да бъдат формализирани в аксиоматични системи (като тази на Principia или тези, разработени от самия Хилберт), а математическите предложения и доказателства по този начин се превръщат във формули и производни от аксиоми според строго описаните правила на производно. Математиката, така Хилберт, „се превръща в опис на подлежащи на формули формули. По този начин доказателствата на математиката са обект на метаматематическо, съдържателно изследване. Целта на програмата на Хилберт е да даде съдържателно, т.е.метаматематично доказателство, че не може да се изведе противоречие, т.е. няма формални производни на формула (A) и нейното отрицание (neg A).

Тази скица на целите на програмата беше очертана от Хилберт и неговите сътрудници през следващите 10 години. От концептуална страна, крайната гледна точка и стратегията за доказателство за последователност са разработени от Хилберт (1928 г.); Хилберт (1923); Хилберт (1926) и Бернайс (1928b); Бернайс (1922); Bernays (1930), от които статията на Хилберт „За безкрайността“(1926) предоставя най-подробно разглеждане на окончателната гледна точка. Освен Хилберт и Бернайс, редица други хора бяха включени в техническата работа по програмата. В лекции, изнесени в Гьотинген (Хилберт и Бернайс, 1923; Хилберт, 1922а), Хилберт и Бернайс разработиха изчислението (varepsilon) - като техния окончателен формализъм за аксиомните системи за аритметика и анализ. Там Хилберт също представи своя подход за предоставяне на доказателства за съгласуваност, използвайки така наречения метод (varepsilon) - заместване. Акерман (1924) се опита да разшири идеята на Хилберт до система от анализи. Доказателството обаче беше погрешно (вж. Zach 2003). Джон фон Нойман, след това посещава Гьотинген, даде коригирано доказателство за консистенция за система от (varepsilon) - формализъм (който обаче не включва индукционната аксиома) през 1925 г. (публикувана през 1927 г.). Въз основа на работата на фон Нойман, Акерман създава нова (varepsilon) - процедура за заместване, която той съобщава на Бернайс (виж Bernays 1928b). В своето обръщение „Проблеми на заземяването на математиката“към Международния конгрес на математиците в Болоня през 1928 г. (1929 г.),Хилберт оптимистично твърди, че работата на Акерман и фон Нойман е установила последователността на теорията на числата и че доказателството за анализ вече е извършено от Акерман „дотолкова, доколкото единствената останала задача се състои в доказването на теорема за елементарна ограниченост, е чисто аритметична."

1.4 Въздействието на теоремите за непълнота на Гьодел

Теоремите за непълнота на Гьодел показаха, че оптимизмът на Хилберт е неоправдан. През септември 1930 г. Курт Гьодел обяви първата си теорема за непълнота на конференция в Кьонигсберг. Фон Нойман, който беше сред публиката, веднага разпознава значението на резултата на Гьодел за програмата на Хилберт. Малко след конференцията той пише на Гьодел, като му казва, че е намерил следствие от резултата на Гьодел. Гьодел бе открил същия резултат вече самостоятелно: втората теорема за непълнота, твърдейки, че системата на Principia не доказва формализацията на твърдението, че системата на Principia е последователна (при условие че е). Всички методи за финални разсъждения, използвани в досегашните доказателства за консистенция, обаче се смятаха, че могат да се формализират в Principia. Следователно,ако последователността на Principia е доказана чрез методите, използвани в доказателствата на Ackermann, би трябвало да е възможно да се формализира това доказателство в Principia; но това твърди втората теорема за непълнота е невъзможно. Бернайс също осъзнава важността на резултатите на Гьодел веднага след като изучава книгата на Гьодел през януари 1931 г., като пише на Гьодел, че (при предположението, че финални разсъждения могат да бъдат формализирани в Принципия), теоремата за непълнота показва, че доказването на окончателна последователност на Принципия е невъзможно. Малко след това фон Нойман показа, че доказателството за консистенция на Акерман е погрешно и даде контрапример на предложената процедура ((varepsilon) - за заместване (виж Zach 2003).но това твърди втората теорема за непълнота е невъзможно. Бернайс също осъзнава важността на резултатите на Гьодел веднага след като изучава книгата на Гьодел през януари 1931 г., като пише на Гьодел, че (при предположението, че финални разсъждения могат да бъдат формализирани в Принципия), теоремата за непълнота показва, че доказването на окончателна последователност на Принципия е невъзможно. Малко след това фон Нойман показа, че доказателството за консистенция на Акерман е погрешно и даде контрапример на предложената процедура ((varepsilon) - за заместване (виж Zach 2003).но това твърди втората теорема за непълнота е невъзможно. Бернайс също осъзнава важността на резултатите на Гьодел веднага след като изучава книгата на Гьодел през януари 1931 г., като пише на Гьодел, че (при предположението, че финални разсъждения могат да бъдат формализирани в Принципия), теоремата за непълнота показва, че доказването на окончателна последователност на Принципия е невъзможно. Малко след това фон Нойман показа, че доказателството за консистенция на Акерман е погрешно и даде контрапример на предложената процедура ((varepsilon) - за заместване (виж Zach 2003).писане на Гьодел, че (при предположението, че финални разсъждения могат да бъдат формализирани в Principia), теоремата за непълнота показва, че доказването на окончателна съгласуваност на Principia е невъзможно. Малко след това фон Нойман показа, че доказателството за консистенция на Акерман е погрешно и даде контрапример на предложената процедура ((varepsilon) - за заместване (виж Zach 2003).писане на Гьодел, че (при предположението, че финални разсъждения могат да бъдат формализирани в Principia), теоремата за непълнота показва, че доказването на окончателна съгласуваност на Principia е невъзможно. Малко след това фон Нойман показа, че доказателството за консистенция на Акерман е погрешно и даде контрапример на предложената процедура ((varepsilon) - за заместване (виж Zach 2003).

През (1936 г.) Gentzen публикува доказателство за съответствие на Peano Aithmetic от първи ред ((PA)). Тъй като Gödel показа, че е необходимо, доказателството на Gentzen използва методи, които не могат да бъдат формализирани в самия (PA), а именно трансфинитна индукция по протежение на порядъчната (varepsilon_0). Работата на Гентцен бележи началото на теорията за доказване след Гьодел и работа върху релативизираните програми на Хилберт. Теорията на доказателствата в традицията на Gentzen е анализирала аксиоматичните системи според това какви разширения на крайната гледна точка са необходими, за да се докаже тяхната последователност. Обикновено силата на съгласуваност на системите се измерва от доказателствената теоретична порядъчна система, т.е. ординарната трансфинитна индукция, по която е достатъчно да се докаже съгласуваност. В случай на (PA) тази порядъчна стойност е (varepsilon_0). (За допълнителна дискусия,вижте записа за развитието на теорията на доказването.)

2. Финалната гледна точка

Крайъгълният камък на философията на Хилберт от математиката и съществено новият аспект на основополагащата му мисъл от 1922b нататък се състоеше в това, което той нарече финална гледна точка. Тази методологична гледна точка се състои в ограничаване на математическата мисъл до онези обекти, които „интуитивно присъстват като непосредствен опит преди всяка мисъл“, и до онези операции и методи за разсъждение за такива обекти, които не изискват въвеждане на абстрактни понятия, по-специално, без апел към завършени безкрайни съвкупности.

Има няколко основни и взаимосвързани въпроса в разбирането на окончателната гледна точка на Хилберт:

  1. Какви са обектите на финални разсъждения?
  2. Какви са крайно смислените предложения?
  3. Какви са крайно приемливите методи за изграждане и разсъждения?

2.1 Финални предмети и финистична епистемология

Хилберт характеризира областта на финални разсъждения в добре известен параграф, който се появява приблизително в една и съща формулировка във всички по-философски трудове на Хилберт от 1920-те години (1931b; 1922b; 1928; 1926):

[A] условие за използването на логически изводи и изпълнението на логически операции, вече трябва да се даде нещо на нашия факултет на представителство, определени екстралогични конкретни обекти, които са интуитивно представени като непосредствен опит преди всяка мисъл. Ако логичният извод трябва да бъде надежден, трябва да е възможно да се изследват напълно тези обекти във всичките им части и фактът, че те се появяват, че се различават един от друг и че те следват един друг или са свързани, веднага се дава интуитивно, заедно с обектите, като нещо, което нито може да бъде сведено до нищо друго, нито изисква намаляване. Това е основната философска позиция, която считам за необходима за математиката и като цяло за цялото научно мислене, разбиране и комуникация. (Хилберт, 1926, 376)

За Хилберт тези обекти са знаците. За областта на теорията на съдържателните числа въпросните знаци са цифри като

1, 11, 111, 11111

На въпроса как точно Хилберт е разбрал цифрите, е трудно да се отговори. Те не са физически обекти (например действителни удари върху хартия), тъй като винаги трябва да е възможно да се разшири числото чрез добавяне на друг щрих (и както Хилберт също твърди в „На безкрайността“(1926), е съмнително, че физическата вселена е безкрайна). Според Хилберт (1922b, 202) тяхната „форма може да бъде общо и сигурно разпозната от нас - независимо от пространството и времето, от специалните условия на производство на знака и от незначителните разлики в крайния продукт“. Те не са умствени конструкции, тъй като техните свойства са обективни, но въпреки това съществуването им зависи от интуитивното им изграждане (виж Bernays 1923, 226). Това, което е ясно във всеки случай е, че те са логически примитивни, т.е.те не са нито понятия (каквито са числата на Фреге), нито множества. Важното тук е не преди всичко техният метафизичен статус (абстрактно спрямо конкретно в сегашния смисъл на тези термини), а това, че те не влизат в логически отношения, например, не могат да бъдат предсказани от нищо. В най-зрелите представяния на финитизма на Бернайс (Hilbert and Bernays, 1939; Bernays, 1930), предметите на финитизма се характеризират като формални обекти, които се генерират рекурсивно от процес на повторение; символите на удара след това са конкретни изображения на тези формални обекти. В най-зрелите представяния на финитизма на Бернайс (Hilbert and Bernays, 1939; Bernays, 1930), предметите на финитизма се характеризират като формални обекти, които се генерират рекурсивно от процес на повторение; символите на удара след това са конкретни изображения на тези формални обекти. В най-зрелите представяния на финитизма на Бернайс (Hilbert and Bernays, 1939; Bernays, 1930), предметите на финитизма се характеризират като формални обекти, които се генерират рекурсивно от процес на повторение; символите на удара след това са конкретни изображения на тези формални обекти.

Въпросът какво е смятал Хилберт за епистемологичното състояние на обектите на финитизма е също толкова труден. За да се изпълни задачата да се осигури сигурна основа за безкрайна математика, достъпът до финални обекти трябва да бъде незабавен и сигурен. Философският произход на Хилберт беше като Кантиан, както и Бернайс, който беше тясно свързан с неокантийската школа по философия около Леонард Нелсън в Гьотинген. Характеристиката на Хилберт за финитизъм често се отнася до кантиевата интуиция, а предметите на финитизма - като обекти, дадени интуитивно. В действителност в епистемологията на Кант непосредствеността е определяща характеристика на интуитивното познание. Въпросът е каква интуиция се играе? Mancosu (1998b) идентифицира промяна в това отношение. Той твърди, че докато интуицията, включена в ранните трудове на Хилберт, е била своеобразна интуиция, в по-късните писания (напр. Bernays 1928a) тя е идентифицирана като форма на чиста интуиция в кантински смисъл. Въпреки това, приблизително по същото време Хилберт (1928, 469) все още идентифицира вида на интуицията при игра като перцептивен. В (1931b, 266-267) Хилберт вижда крайния начин на мислене като отделен източник на априорно знание в допълнение към чистата интуиция (например за космоса) и разума, твърдейки, че е „разпознал и характеризирал третия източник на знания, които съпътстват опита и логиката. И Бернайс, и Хилберт оправдават крайните знания в общо казански смисъл (без обаче да стигат дотам, че да осигурят трансцендентална дедукция), характеризирайки финални разсъждения като вид разсъждения, които са в основата на всички математически, т.е.и наистина научно, мислещо и без което подобна мисъл би била невъзможна. (Вижте Китчър 1976 и Парсънс 1998 за епистемологията на финитизма и Патън 2014 за исторически и философски контекст на теорията на знаците на Хилберт.)

2.2 Изключително значими предложения и финални разсъждения

Най-основните преценки за окончателните цифри са тези за равенство и неравенство. В допълнение, ограничената позиция позволява операции върху финални обекти. Тук най-основното е това на конкатенацията. Съединението на цифрите 11 и 111 се съобщава като „(2 + 3)“, а изявлението, че 11, свързано с 111, води до същото число като 111, свързано с 11 от „(2 + 3 = 3 + 2). " В действителната доказателствено-теоретична практика, както и изрично в (Hilbert and Bernays, 1934; Bernays, 1930), тези основни операции се обобщават на операции, дефинирани чрез рекурсия, парадигматично, примитивна рекурсия, например, умножение и експоненция (виж Parsons 1998 за философски затруднения във връзка с експоненцията и 2007 г. за разширено обсъждане на интуитивна математика и финитизъм). По същия начин,окончателните преценки могат да включват не само равенство или неравенство, но и основни свойства, които могат да се решават, като „е първостепенно“. Това е окончателно приемливо, стига характерната функция на такова свойство сама по себе си да е финална: Например операцията, която преобразува числото в 1, ако е първоначално, а 11 в противен случай може да се определи чрез примитивна рекурсия и следователно е финална. Такива финални предложения могат да бъдат комбинирани от обичайните логически операции на съединение, дисюнкция, отрицание, но също така и ограничено количествено определяне. (Хилберт, 1926 г.) дава примера с твърдението, че "има просто число между (p + 1) и (p! + 1)", където (p) е известен голям премиер. Това твърдение е окончателно приемливо, тъй като "служи само за съкращаване на предложението", че или (p + 1), или (p + 2), или (p + 3) или … или (p! + 1) е премиер.

Проблемните финални предложения са тези, които изразяват общи факти за цифри като това за всяко дадено число (n, 1 + n = n + 1). Проблемно е, защото както Хилберт казва, „от финистична гледна точка е неспособен да бъде отричан“(1926, 378). Това означава, че противоречивото твърдение, че има число (n), за което (1 + n / ne n + 1) няма финално значение. „В крайна сметка човек не може да изпробва всички числа“(1928, 470). По същата причина окончателното общо предложение не трябва да се разбира като безкраен конюнкция, а „само като хипотетична преценка, която идва да се твърди нещо, когато е дадено число“(пак там). Въпреки че са проблемни в този смисъл, общите финални изявления са от особено значение за теорията на Хилберт за доказване, т.е.тъй като изявлението за съответствие на формална система (S) е с такава обща форма: за всяка дадена последователност от формули (P, P) не е производно на противоречие в (S).

2.3 Финални операции и окончателно доказателство

От решаващо значение както за разбирането на финитизма, така и за теорията на доказателствата на Хилберт е въпросът какви операции и какви принципи на доказване трябва да бъдат разрешени от финистичната гледна точка. Това, че е необходим общ отговор е ясно от исканията на доказателствената теория на Хилберт, т.е. не може да се очаква, че при формална математическа система (или дори в една последователност от формули) човек може да „види“, че е последователен (или че не може да бъде истинско извличане на несъответствие), както можем да видим, например, че (11 + 111 = 111 + 11). Това, което се изисква за доказателство за съгласуваност, е операция, която при формално извличане трансформира такава деривация в една специална форма плюс доказателства, че операцията всъщност прави това и че доказателствата от специалния вид не могат да бъдат доказателства за несъответствие.,За да се счита за доказателство за финална консистенция, самата операция трябва да бъде приемлива от гледна точка на финитите, а необходимите доказателства трябва да използват само крайно приемливи принципи.

Хилберт никога не е дал обща информация кои операции и методи за доказване са приемливи от финистичната гледна точка, а само примери за операции и методи за извод в съдържателната теория на крайните числа, които той приема за финални. Съдържателната индукция беше приета в нейното приложение към финални изказвания от хипотетичен, общ вид изрично в Hilbert (1922b). Той (1923, 1139) казва, че интуитивната мисъл „включва рекурсия и интуитивна индукция за крайни съществуващи съвкупности“и използва експонация в пример през 1928 г. Bernays (1930) обяснява как експоненцията може да се разбира като финална операция върху цифрите. Хилберт и Бернайс (1934) дават единственото общо описание на теорията на крайните съдържателни числа; според него,операции, дефинирани от примитивна рекурсия и доказателства, използващи индукция, са окончателно приемливи. Всички тези методи могат да бъдат формализирани в система, известна като примитивна рекурсивна аритметика ((PRA)), която позволява дефиниции на функциите чрез примитивна рекурсия и индукция по формули, свободни от количествата (пак там). Въпреки това, нито Хилберт, нито Бернайс никога не са твърдели, че само примитивните рекурсивни операции се считат за окончателни и те в действителност са използвали някои непримитивни рекурсивни методи в явно финални доказателства за консистенция още през 1923 г. (виж Tait 2002 и Zach 2003).нито Хилберт, нито Бернайс никога не са твърдели, че само примитивните рекурсивни операции се считат за окончателни и те в действителност са използвали някои непримитивни рекурсивни методи в привидно финални доказателства за консистенция още през 1923 г. (виж Tait 2002 и Zach 2003).нито Хилберт, нито Бернайс никога не са твърдели, че само примитивните рекурсивни операции се считат за окончателни и те в действителност са използвали някои непримитивни рекурсивни методи в привидно финални доказателства за консистенция още през 1923 г. (виж Tait 2002 и Zach 2003).

По-интересният концептуален въпрос е кои операции да се считат за финални. Тъй като Хилберт не беше достатъчно ясен в какво се състои финалната гледна точка, има някаква свобода за определяне на ограниченията, епистемологични и по друг начин, анализът на финистичната работа и доказателството трябва да бъде изпълнен. Хилберт характеризира (виж по-горе) обектите от теорията на финалните числа като „интуитивно дадени“, като „проучваеми във всичките им части“, и каза, че техните притежаващи основни свойства трябва „да съществуват интуитивно“за нас. Bernays (1922, 216) предполага, че във финалната математика влизат в игра само „примитивни интуитивни познания“и използва термина „гледна точка на интуитивното доказателство“във връзка с финитизма 1930, 250. Тази характеристика на финитизма като основно свързана с интуицията и интуитивното знание е подчертана по-специално от (Парсънс, 1998), който твърди, че онова, което може да се счита за окончателно в това разбиране, не е повече от онези аритметични операции, които могат да бъдат определени от добавяне и умножение използване на ограничена рекурсия. По-конкретно, според него експоненцията и общата примитивна рекурсия не са окончателно приемливи.

Тезата, че финитизмът съвпада с примитивните рекурсивни разсъждения, получи силна защита от (Tait 1981; вж. Също 2002 и 2005b). Тейт, за разлика от Парсънс, отхвърля аспекта на представителността в интуицията като отличителен белег на финалното; вместо това той взема финални разсъждения като „минимален вид разсъждение, предполаган от всички нетривиални математически разсъждения за числата“. и анализира финални операции и методи за доказване като такива, които са имплицитни в самото понятие за число като форма на крайна последователност. Този анализ на финитизъм се подкрепя от твърдението на Хилберт, че финитарните разсъждения са предпоставка за логическото и математическото, наистина всяко научно мислене Хилберт (1931b, 267). Тъй като окончателното разсъждение е онази част от математиката, която се предполага от всички нетривиални разсъждения за числата, то е,така че Тейт, „неразрешим“в декартов смисъл, и тази неустойчивост, както всичко, което се изисква от финални разсъждения, за да се осигури епистемологичното основание на математиката, за което Хилберт го е предвидил.

Друг интересен анализ на финални доказателства, който обаче не предоставя толкова подробно философско обосноване, е предложен от Kreisel (1960). Това дава резултат, че точно тези функции са финални, за които може да се докаже, че са аритметични от първи ред (PA). Той се основава на доказателствено-теоретичната концепция на принципа на размисъл; вижте Zach (2006) за повече подробности и Dean (2015) за анализ. Kreisel (1970, раздел 3.5) предоставя друг анализ, като се фокусира върху това, което е „визуализируемо“. Резултатът е един и същ: финарисната доказуемост се оказва съпътстваща с доказателствеността в (PA).

Техническият анализ на Тайт дава, че финитистичните функции са точно примитивните рекурсивни, а финистичните теоретични числа-теории са точно онези, които се доказват в теорията за примитивната рекурсивна аритметика (PRA). Важно е да се подчертае, че този анализ не се извършва от самата финитистка гледна точка. Тъй като общите понятия за „функция“и „доказателство“сами по себе си не са окончателни, финитистът не е в състояние да осмисли тезата на Тайт, че всичко, което може да се докаже в (PRA), е финистично вярно. Според Тайт, правилният анализ на финистичната доказуемост не трябва да предполага, че самият финитизъм има достъп до такива нефинитистични представи. Подходът на Kreisel и някои критики на Tait, които разчитат на принципите на размисъл или (omega) - правилата отговарят на това изискване (виж Tait 2002, 2005b). От друга страна,би могло да се твърди, че (PRA) е твърде силна теория, за да се счита за формализация на това, което е „предположено от всички нетривиални математически разсъждения за числата“: има по-слаби, но нетривиални теории, които са свързани с по-малките класове на функции, отколкото примитивните рекурсивни, като (PV) и (EA), свързани с функциите полиномиално време и елементарно на Калмар (виж Avigad 2003 за това колко математика може да се извърши в (EA)). Използвайки анализ по същите линии като този на Tait, Ganea (2010) стигна до съответния клас от елементарни функции на Калмар като тези, които са финистични.има по-слаби, но нетривиални теории, които са свързани с по-малки класове функции, отколкото примитивните рекурсивни такива, като (PV) и (EA), свързани с полиномиално време и функции на Калмар-елементарни (вижте Avigad 2003 за това колко математика може да се извърши в (EA)). Използвайки анализ по същите линии като този на Tait, Ganea (2010) стигна до съответния клас от елементарни функции на Калмар като тези, които са финистични.има по-слаби, но нетривиални теории, които са свързани с по-малки класове функции, отколкото примитивните рекурсивни такива, като (PV) и (EA), свързани с полиномиално време и функции на Калмар-елементарни (вижте Avigad 2003 за това колко математика може да се извърши в (EA)). Използвайки анализ по същите линии като този на Tait, Ganea (2010) стигна до съответния клас от елементарни функции на Калмар като тези, които са финистични. Ганеа (2010) е стигнал до съответния клас на елементарните функции на Калмар като тези, които са финистични. Ганеа (2010) е стигнал до съответния клас на елементарните функции на Калмар като тези, които са финистични.

3. Формализъм, редукционизъм и инструментализъм

Вейл (1925 г.) беше примирителна реакция на предложението на Хилберт през 1922 г. и 1923 г., което въпреки това съдържаше някои важни критики. Вейл описа проекта на Хилберт като замести съдържателната математика с безсмислена игра на формули. Той отбеляза, че Хилберт иска да „гарантира не истината, а последователността на анализа“и предложи критика, която озвучава по-ранна от Фреге: Защо трябва да приемаме последователността на формалната система на математиката като причина да вярваме в истинността на предформална математика, която кодифицира? Дали безсмисленият опис на формулите на Хилберт не е само „безкръвният призрак на анализ“? Вейл предложи решение:

[I] Ако математиката трябва да остане сериозна културна грижа, тогава трябва да се придаде някакъв смисъл на играта на Хилберт с формули и виждам само една възможност да я приписвам (включително нейните трансфинитни компоненти) независимо интелектуално значение. В теоретичната физика имаме пред себе си страхотният пример за [вид] познание с напълно различен характер от общото или феноменално знание, което изразява чисто това, което е дадено в интуицията. Докато в случая всеки преценка има свой собствен смисъл, който е напълно осъществим в рамките на интуицията, това в никакъв случай не е така за твърденията на теоретичната физика. В този случай въпросът на системата е като въпрос, ако се сблъска с опита. (Weyl, 1925, 140)

Аналогията с физиката е поразителна и човек може да намери подобни идеи в собственото писане на Хилберт - може би Хилберт е бил повлиян в това от Вейл. Въпреки че първите предложения на Хилберт се фокусират изключително върху последователността, в мисленето на Хилберт се забелязва значително развитие в посока на общ редукционистки проект от един вид, доста често срещан по онова време във философията на науката (както бе посочено от Giaquinto 1983). През втората половина на 20-те години Хилберт заменя програмата за съгласуваност с програма за консервативност: Формализираната математика трябва да се разглежда по аналогия с теоретичната физика. Крайното оправдание за теоретичната част се крие в нейната консервативност спрямо „истинската” математика: винаги, когато теоретичната, „идеалната” математика докаже „истинско” предложение, това предложение също е интуитивно вярно. Това оправдава използването на трансфинитна математика: тя е не само вътрешно последователна, но доказва само истински интуитивни предложения (и наистина всички, тъй като формализацията на интуитивната математика е част от формализацията на цялата математика).

През 1926 г. Хилберт въвежда разграничение между реални и идеални формули. Това разграничение не е имало през 1922b и е намекнало едва през 1923 г. В последното, Хилберт представя първо формална система от теория на числата без количествени показатели, за която той казва, че „Доказамите формули, които придобиваме по този начин, имат характер на краен”(1139). Тогава се добавят трансфинитните аксиоми (т.е. квантори), за да се опрости и завърши теорията (1144). Тук той извежда аналогията с метода на идеалните елементи за първи път: „В моята теория на доказване трансфинитните аксиоми и формули са прилепени към крайните аксиоми, точно както в теорията на сложните променливи въображаемите елементи са прилепени към реалните и точно както в геометрията, идеалните конструкции са прилепени към действителното”(пак там). Когато Хилберт,през 1926 г. изрично въвежда понятието идеално предложение, а през 1928 г., когато за пръв път говори за реални предложения в допълнение към идеалното, е напълно ясно, че истинската част на теорията се състои само от разрешими, без променливи формули. Предполага се, че те са „пряко способни да се проверяват” - съответстват на предложения, произтичащи от природни закони, които могат да бъдат проверени чрез експеримент (1928, 475). Новата картина на програмата беше следната: Класическата математика трябва да бъде формализирана в система, която включва формализации на всички директно проверяеми (чрез изчисление) предложения на съдържателната теория на крайните числа. Доказателството за последователност трябва да показва, че всички реални предложения, които могат да бъдат доказани с идеални методи, са верни, т.е. могат да бъдат пряко проверени чрез ограничено изчисление.(Действителните доказателства като замяната (varepsilon) - винаги са били от подобен вид: осигуряват финални процедури, които елиминират трансфинитни елементи от доказателства за реални изявления, по-специално за (0 = 1).) Всъщност, Хилберт видя, че нещо по-силно е истина: не само доказателството за последователност установява истинността на реални формули, доказуеми чрез идеални методи, но дава окончателни доказателства за финални общи предложения, ако съответната свободна променлива формула се извлича по идеални методи (1928, 474),но той дава окончателни доказателства за окончателни общи предложения, ако съответната свободна променлива формула може да бъде извлечена чрез идеални методи (1928, 474).но той дава окончателни доказателства за окончателни общи предложения, ако съответната свободна променлива формула може да бъде извлечена чрез идеални методи (1928, 474).

Хилберт предложи допълнителни ограничения на теорията в допълнение към консервативността: простота, краткост на доказателствата, „икономия на мисълта“и математическа производителност. Официалната система на трансфинитната логика не е произволна: „Тази формула игра се провежда според определени определени правила, в които се изразява техниката на нашето мислене. […] Основната идея на моята теория за доказване не е нищо друго, освен да опиша дейността на нашето разбиране, да направим протокол от правилата, според който нашето мислене всъщност протича”(Hilbert, 1928, 475). Когато Вейл (1928) в крайна сметка се отклони от интуиционизма (за причините, вижте Mancosu and Ryckman, 2002), той подчерта тази мотивация на доказателствената теория на Хилберт: да не превръща математиката в безсмислена игра на символи, т.е.но да го превърнем в теоретична наука, която кодифицира научната (математическата) практика.

Следователно формализмът на Хилберт беше доста усъвършенстван: Той избягва две основни възражения: (1) Ако формулите на системата са безсмислени, как може да се получи производна в системата някаква вяра? (2) Защо да приемаме системата от (PA), а не друга последователна система? И двете възражения са запознати от Frege; и двата въпроса отговарят (отчасти) с доказателство за консервативност за реални твърдения. За (2) освен това Хилберт има натуралистичен критерий за приемане: ние сме ограничени в избора на системи от съображения за простота, плодовитост, еднообразие и от това, което математиците всъщност правят; Вейл би добавил, че крайният тест на една теория ще бъде нейната полезност във физиката.

Повечето философи по математика, пишещи на Хилберт, са го чели като инструменталист (включително Kitcher 1976, Resnik 1980, Giaquinto 1983, Sieg 1990, и по-специално Detlefsen 1986), като четат обяснението на Хилберт, че идеалните предложения „нямат смисъл сами по себе си“(Хилберт, 1926, 381), като твърди, че класическата математика е просто инструмент и че изявленията на трансграничната математика нямат стойност за истината. Доколкото това е точно, трябва да се разбира като методологически инструментализъм: Успешното изпълнение на доказателствено-теоретичната програма би показало, че човек може да се преструва, сякаш математиката е безсмислена. Следователно аналогията с физиката не е: трансграничните предложения нямат смисъл, както предложенията, включващи теоретични термини, нямат смисъл, но:трансфинитните предложения не изискват пряко интуитивно значение, както човек не трябва да вижда директно електрони, за да теоретизира за тях. Hallett (1990), като взема предвид математическия произход от 19 век, от който идва Хилберт, както и публикувани и непубликувани източници от цялата кариера на Hilbert (в частност Хилберт 1992, най-обширната дискусия за метода на идеалните елементи) стига до следното заключение:

[Лечението на Хилберт с философски въпроси] не се разбира като вид инструменталистичен агностицизъм относно съществуването и истината и т.н. Напротив, има за цел да предостави не скептично и позитивно решение на подобни проблеми, решение, прикачено в познавателно достъпни условия. И, изглежда, същото решение важи и за математическите, и за физическите теории. След като бъдат приети нови понятия или „идеални елементи“или нови теоретични термини, те съществуват в смисъла, в който съществуват всякакви теоретични образувания. (Hallett, 1990, 239)

4. Програмата на Хилберт и теоремите за непълнота на Гьолд

Имаше известен дебат относно въздействието на теоремите на Гьодел за непълнота върху Програмата на Хилберт и дали първата или втората теорема за непълноти е довела до държавния преврат. Несъмнено мнението на онези, които са най-пряко замесени в разработките, бяха убедени, че теоремите имат решаващо влияние. Гьодел обяви втората теорема за непълнота в резюме, публикувано през октомври 1930 г.: не са възможни доказателства за консистенция на системи като Principia, теория на множествата на Zermelo-Fraenkel или системите, изследвани от Ackermann и von Neumann, чрез методи, които могат да бъдат формулирани в тези системи. В пълната версия на своя документ Gödel (1931) остави отворена възможността да има финални методи, които не могат да се формализират в тези системи и които да дадат необходимите доказателства за консистенция. Първата реакция на Бернайс в писмо до Гьодел през януари 1931 г. беше също така, че „ако, както прави фон Нойман, човек го приеме за сигурно, че всяка финална преценка може да бъде официализирана в системата (P) - като вас, считам че по никакъв начин не е установено - човек стига до извода, че финална демонстрация на последователността на (P) е невъзможна”(Gödel, 2003a, 87).

Как влияят теоремите на Гьодел върху програмата на Хилберт? Чрез внимателно ("Gödel" -) кодиране на последователности от символи (формули, доказателства), Гьодел показа, че в теориите (T), които съдържат достатъчно количество аритметика, е възможно да се получи формула (Pr (x, y)) което "казва", че (x) е (кодът) доказателство за (формулата с код) (y). По-конкретно, ако (ulcorner 0 = 1 / urcorner) е кодът на формулата (0 = 1), тогава (Con_T = / forall x / neg Pr (x, / ulcorner 0 = 1 / urcorner)) може да се приеме, че "казва", че (T) е последователен (нито един номер не е код на производно в (T) на (0 = 1)). Втората теорема за непълнота (G2) казва, че според определени предположения за (T) и кодиращия апарат (T) не доказва (Con_T). Сега да предположим, че имаше доказателство за финална консистенция на (T). Методите, използвани в такова доказателство, вероятно биха могли да се формализират в (T). („Формируем“означава, че приблизително, ако доказателството използва финална операция (f) върху производни, която трансформира всяко производно (D) в производно (f (D)) на проста форма; тогава има е формула (F (x, y)), така че за всички производни (D, T / vdash F (ulcorner D / urcorner, / ulcorner f (D) urcorner)).) Съгласуваността на (T) ще бъде финално изразена като общата хипотетична, че ако (D) е дадена последователност от символи, (D) не е производно в (T) на формулата (0 = 1). Официализацията на това предложение е формулата (neg Pr (x, / ulcorner 0 = 1 / urcorner)), в която променливата (x) се появява свободна. Ако имаше окончателно доказателство за последователността на (T), неговото формализиране би довело до извличане в (T) на (neg Pr_T (x,\ ulcorner 0 = 1 / urcorner)), от която (Con_T) може да се извлече в (T) чрез просто универсално обобщение на (x). И все пак, производно на (Con_T) в (T) се изключва от G2.

Както бе споменато по-горе, първоначално Гьодел и Бернайс смятаха, че трудността за доказателството за консистенция на (PA) може да бъде преодоляна чрез използване на методи, които въпреки че не могат да се формализират в (PA), все пак са окончателни. Дали подобни методи биха се считали за окончателни според първоначалната концепция за финитизъм или представляват разширение на първоначалната финитистка гледна точка е въпрос на дебат. Новите разгледани методи включват финална версия на правилото (omega), предложено от Хилберт (1931b; 1931a). Честно е да се каже обаче, че след около 1934 г. беше почти общоприето, че методите за доказване, приети като окончателни преди резултатите на Гьодел, всички могат да се формализират в (PA). Разширенията на първоначалната финистична гледна точка са предложени и защитавани на общо финални основания, напр. Gentzen (1936) защити използването на трансфинитна индукция до (varepsilon_0) в своето доказателство за консистенция за (PA) като „безспорен“, Takeuti (1987) даде друга защита. Гьодел (1958) представи друго разширение на финистичната гледна точка; работата на Крейсел, спомената по-горе, може да се разглежда като друг опит за разширяване на финитизма, като същевременно запазва духа на първоначалната концепция на Хилберт.

Детлефсен (1986; 2001; 1979) е предложен различен опит за предоставяне на път около втората теорема на Гьодел за програмата на Хилберт. Детлефсен представя няколко защитни линии, една от които е подобна на току-що описаната: аргументирайки, че версия на правилото (omega) - е окончателно приемлива, макар и да не може да бъде официализирана (виж Ignjatovic 1994). Другият аргумент на Детлефсен срещу общоприетото тълкуване на втората теорема на Гьодел се фокусира върху понятието за формализация: че конкретната формализация на „(T) е съгласувана“по формулата на Гьодел (Con_T) не е доказана, не означава, че не може да се не са други формули, които могат да бъдат доказани в (T) и които имат толкова право да бъдат наречени „формализации на консистенцията на (T).„Те разчитат на различни формализации на предиката за доказателство (Pr_T) от стандартните. Известно е, че официализираните твърдения за консистенция са недоказуеми винаги, когато предикатът на доказателствеността отговаря на определени общи условия за извличане. Детлефсен твърди, че тези условия не са необходими, за да може предикатът да се счита за истински предикатен доказателствен материал и наистина има предикативни предикати, които нарушават условията за доказване и които пораждат формули за консистенция, които могат да бъдат доказани в съответните им теории. Те обаче зависят от нестандартните схващания за измеримост, които вероятно не биха били приети от Хилберт (виж също Resnik 1974, Auerbach 1992 и Steiner 1991). Известно е, че официализираните твърдения за консистенция са недоказуеми винаги, когато предикатът на доказателствеността отговаря на определени общи условия за извличане. Детлефсен твърди, че тези условия не са необходими, за да може предикатът да се счита за истински предикатен доказателствен материал и наистина има предикативни предикати, които нарушават условията за доказване и които пораждат формули за консистенция, които могат да бъдат доказани в съответните им теории. Те обаче зависят от нестандартните схващания за измеримост, които вероятно не биха били приети от Хилберт (виж също Resnik 1974, Auerbach 1992 и Steiner 1991). Известно е, че официализираните твърдения за консистенция са недоказуеми винаги, когато предикатът на доказателствеността отговаря на определени общи условия за извличане. Детлефсен твърди, че тези условия не са необходими, за да може предикатът да се счита за истински предикатен доказателствен материал и наистина има предикативни предикати, които нарушават условията за доказване и които пораждат формули за консистенция, които могат да бъдат доказани в съответните им теории. Те обаче зависят от нестандартните схващания за измеримост, които вероятно не биха били приети от Хилберт (виж също Resnik 1974, Auerbach 1992 и Steiner 1991).и наистина има предикати за доказване, които нарушават условията за доказване и които пораждат формули за консистенция, които могат да бъдат доказани в съответните им теории. Те обаче зависят от нестандартните схващания за измеримост, които вероятно не биха били приети от Хилберт (виж също Resnik 1974, Auerbach 1992 и Steiner 1991).и наистина има предикати за доказване, които нарушават условията за доказване и които пораждат формули за консистенция, които могат да бъдат доказани в съответните им теории. Те обаче зависят от нестандартните схващания за измеримост, които вероятно не биха били приети от Хилберт (виж също Resnik 1974, Auerbach 1992 и Steiner 1991).

Сморински (1977) твърди, че вече първата теорема за непълнота побеждава Програмата на Хилберт. Целта на Хилберт не беше просто да покаже, че формализираната математика е последователна, но да направи това по специфичен начин, като покаже, че идеалната математика никога не може да доведе до заключения, които не са в съответствие с реалната математика. По този начин, за да успее, идеалната математика трябва да бъде консервативна спрямо истинската част: винаги, когато формализирана идеална математика докаже истинска формула (P, P), самата (или крайното предложение, което тя изразява), трябва да бъде окончателно доказана. За Сморински истинските формули включват не само числови равенства и комбинации от тях, но и общи формули с безплатни променливи, но без неограничени квантори.

Сега първата теорема на Гьодел за непълнота (G1) гласи, че за всяка достатъчно силна, последователна формална теория (S) има изречение (G_S), което е вярно, но не може да се изведе в (S). (G_S) е истинско изречение според определението на Сморински. Сега помислете за теория (T), която формализира идеалната математика и нейната подтеория (S), която формализира реалната математика. (S) удовлетворява условията на G1 и следователно (S) не извлича (G_S). И все пак, (T), бидейки формализация на цялата математика (включително това, което се изисква, за да се види, че (G_S) е вярно), произлиза (G_S). Следователно имаме реално твърдение, което е доказано в идеалната математика, а не в реалната математика.

Detlefsen (1986, Приложение; вж. Също 1990) защитава Програмата на Hilbert и срещу този аргумент. Детлефсен твърди, че „хилбертианският” инструментализъм избягва от спора от G1, като отрича, че идеалната математика трябва да бъде консервативна спрямо реалната част; всичко, което се изисква, е реална стабилност. Хилбертианският инструментализъм изисква само идеалната теория да не доказва нищо, което е в конфликт с реалната теория; не се изисква тя да доказва само реални твърдения, които реалната теория също доказва. (Вижте Zach 2006 за повече по въпроса за консервативността и последователността, съответния раздел в записа на Гьодел за допълнително обсъждане, Franks 2009 за свързана защита и преоценка на проекта на Хилберт и McCarthy 2016 за алтернативен подход за доказване на консистенция и G2 дължи на самия Гьодел.)

5. Преработени програми на Хилберт

Дори и да не може да се даде доказателство за аритметичност с финална съгласуваност, въпросът за намирането на доказателства за съгласуваност все пак е от значение: методите, използвани в такива доказателства, въпреки че трябва да надхвърлят първоначалното чувство за финитизъм на Хилберт, могат да осигурят истински поглед върху конструктивното съдържание на аритметични и по-силни теории. Резултатът на Гьодел показа, че не може да има абсолютно доказателство за последователност на цялата математика; следователно работата в теорията на доказателствата след Гьодел се концентрира върху относителни резултати, както по отношение на системата, за която е дадено доказателство за съответствие, така и по отношение на използваните методи за доказване.

Теорията на редукционното доказателство в този смисъл е следвала две традиции: първата, проведена главно от теоретици на доказателството след Генцен и Шют, е предприела програма от това, което се нарича ординарен анализ, и е пример за първото доказателство за съвместимост на Гентцен на (PA) чрез индукция до (varepsilon_0. / varepsilon_0) е известна трансфинитна (макар и счетлива) порядъчна, обаче, "индукция до (varepsilon_0)" в смисъла, използван тук, не е действително безкрайна процедура. Обикновеният анализ не оперира с безкрайни порядъчни числа, а по-скоро със систематични нотационни системи, които сами по себе си могат да бъдат формализирани в много слаби (по същество финални) системи. Даден е порядъчен анализ на система (T), ако:(а) човек може да създаде система за порядъчни нотации, която имитира ординалите по-малко от някои порядъчни (alpha_T), така че (б) може да се докаже окончателно, че формализацията (TI (alpha_T)) на принципа на индукция до (alpha_T) предполага последователност на (T) (т.е. (S / vdash TI (alpha_T) rightarrow Con_T)) и (c) (T) доказва (TI (beta)) за всички (beta / lt / alpha_T) ((S) е теория, формализираща финална метаматематика и като цяло е слаба под-теория на (T)). За да има някакво основополагащо значение, е необходимо също така да се даде конструктивен аргумент за трансфинитна индукция до (alpha_T). Както беше споменато по-горе, това беше направено от Gentzen и Takeuti за (varepsilon_0), теоретичната теоретична порядъчна единица на (PA),но става по-трудно и с прогресивно съмнително философско значение за по-силни теории.

Философски по-задоволителното продължение на Програмата на Хилберт в доказателство теоретично е предложено от Kreisel (1983; 1968) и Feferman (Feferman, 1988; Feferman, 1993a). Тази работа изхожда от по-широкото схващане на програмата на Хилберт като опит да се оправдае идеалната математика с ограничени средства. В тази концепция целта на доказателствената теория на Хилберт беше да покаже, че поне що се отнася до определен клас реални предложения, идеалната математика не надхвърля реалната математика. Доказателство за финална съгласуваност от вида, предвиден от Хилберт, би постигнало това: ако идеалната математика докаже истинско предложение, то това предложение вече е доказуемо чрез реални (т.е. финални) методи. В известен смисъл това свежда идеалната математика до реалната математика. Теоретично редуциране на теория (T) до теория (S) показва, че що се отнася до определен клас предложения, ако (T) докаже предложение, тогава (S) също го доказва и самото доказателство за този факт е окончателно. След това теоретичната програма на Хилберт за доказване може да се разглежда като търсене на доказателно теоретично свеждане на цялата математика до финална математика; в релативизирана програма се търси намаляване на теориите по-слаби от всички класически математически до теории, често по-силни от финална математика. Теоретиците на доказателствата са получили редица такива резултати, включително редуциране на теории, които от своя страна изискват значителен обем идеална математика за обосноваването им (напр. Подсистеми за анализ) до финални системи. (Feferman,1993b) е използвал такива резултати в комбинация с други резултати, които показват, че повечето, ако не и всички научно приложими математики могат да бъдат проведени в системи, за които има такива намаления, за да се аргументира срещу аргумента за незаменимост във философията на математиката. Философската значимост на подобни теоретични теоретични намаления понастоящем е обект на дебати (Hofweber, 2000; Feferman, 2000).

Програмата на така наречената обратна математика, разработена по-специално от Фридман и Симпсън, е друго продължение на програмата на Хилберт. Предвид резултатите на Гьодел, показващи, че не всички класически математики могат да бъдат сведени до финал, те се стремят да отговорят на въпроса: колко от класическата математика може да бъде толкова намалена? Обратната математика се стреми да даде точен отговор на този въпрос, като изследва кои теореми от класическата математика са доказуеми в слаби подсистеми за анализ, които са сведени до финална математика (в смисъла, обсъден в предходния параграф). Типичен резултат е, че теоремата на Хан-Банах за функционален анализ е доказана в теория, известна като (WKL_0) (за „слаба лемма на Кьониг“); (WKL_0) е консервативен за (PRA) за (Pi ^ {0} _2) изречения (т.е.изречения от формата (forall x / съществува yA (x, y)). (Вижте Simpson 1988 за преглед и Simpson 1999 за техническа обработка.)

библиография

Разширена версия на първата редакция на този запис може да бъде намерена в Zach (2006).

  • Ackermann, Wilhelm, 1924, “Begründung des” tertium non datur “mittels der Hilbertschen Theorie der Widerspruchsfreiheit”, Mathematische Annalen, 93: 1–36.
  • Auerbach, David, 1992, „Как да кажем нещата с формализми“, в Proof, Logic and Formalization, Michael Detlefsen, ed., London: Routledge, 77–93.
  • Avigad, Jeremy, 2003, “Теория на числата и елементарна аритметика”, Philosophia Mathematica, 11: 257–284. [Предпечатът е достъпен онлайн]
  • Bernays, Paul, 1922, “Über Hilberts Gedanken zur Grundlegung der Arithmetik”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 31: 10–19. Превод от английски на Манкосу (1998a, 215–222).
  • –––, 1923 г., „Erwiderung auf die Note von Herrn Aloys Müller: Über Zahlen als Zeichen“, Mathematische Annalen, 90: 159–63. Превод от английски на Манкосу (1998a, 223–226).
  • –––, 1928a, „Über Nelsons Stellungnahme in der Philosophie der Mathematik“, Die Naturwissenschaften, 16: 142–45.
  • –––, 1928b, „Zusatz zu Hilberts Vortrag über„ Die Grundlagen der Mathematik ““, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 6: 88–92. Превод на английски език: van Heijenoort (1967, 485–489).
  • –––, 1930, „Die Philosophie der Mathematik und die Hilbertsche Beweistheorie“, Blätter für deutsche Philosophie, 4: 326–67. Препечатано в Bernays (1976, 17–61). Превод на английски на Манкосу (1998a, 234–265).
  • –––, 1976, Abhandlungen zur Philosophie der Mathematik, Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.
  • Дийн, Уолтър, 2015, „Аритметично отражение и измеримост на здравината”, Philosophia Mathematica, 23: 31–64, doi: 10.1093 / philmat / nku026
  • Детлефсен, Майкъл, 1979, „За интерпретирането на втората теорема на Гьодел“, сп. „Философска логика“, 8: 297–313. Препечатано с постскрипт в Shanker (1988, 131–154).
  • –––, 1986 г., Програма на Хилберт, Дордрехт: Райдел.
  • –––, 1990, „За предполагаемо опровержение на програмата на Хилберт, използвайки първата теорема за непълнота на Гьодел“, Journal of Philosophial Logic, 19: 343–377.
  • –––, 2001 г., „Какво казва втората теорема на Гьодел?“, Philosophia Mathematica, 9: 37–71.
  • Ewald, William Bragg (ed.), 1996, От Кант до Хилберт. Източник в основите на математиката, кн. 2, Oxford: Oxford University Press.
  • Евалд, Уилям Брег и Уилфрид Зиг (ред.), 2013 г., Лекциите на Дейвид Хилберт за основите на аритметиката и логиката 1917–1933 г., Берлин и Хайделберг: Спрингер.
  • Feferman, Solomon, 1988, „Програмата на Хилберт релативизирана: доказателствено-теоретични и фундаментални редукции“, Journal of Symbolic Logic, 53 (2): 364–284.
  • –––, 1993а, „Какво зависи от какво? Теоретично-теоретичният анализ на математиката “, по Философия на математиката. Трудове на Петнадесетия международен симпозиум на Витгенщайн, част 1, Йоханес Чермак, изд., Виена: Hölder-Pichler-Tempsky, 147–171. Препечатано във Feferman (1998, Ch. 10, 187–208). [Предпечатът е достъпен онлайн].
  • –––, 1993b, „Защо малко минава дълъг път: Логически основи на научно приложимата математика“, PSA 1992, 2: 442–455. Препечатано във Feferman (1998, Ch. 14, 284–298). [Предпечатът е достъпен онлайн].
  • –––, 1998 г., в светлината на логиката, Оксфорд: Университет Оксфорд.
  • –––, 2000 г., „Теорията на редуктивните доказателства има ли обосновано обосноваване?“, Erkenntnis, 53: 63–96. [Предпечатът е достъпен онлайн].
  • Франкс, Къртис, 2009 г., Автономията на математическите знания: Програмата на Хилберт е преразгледана, Кеймбридж: Cambridge University Press.
  • Ganea, Mihai, 2010, „Две (или три) понятия за финитизъм“, Преглед на символичната логика, 3: 119–144.
  • Gentzen, Gerhard, 1936, „Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie“, Mathematische Annalen, 112: 493–565. Превод на английски в Гентцен (1969, 132–213).
  • –––, 1969 г., Събраните трудове на Герхард Генцен, Амстердам: Северна Холандия.
  • Джакинто, Маркъс, 1983, „Философията на математиката на Хилберт“, Британско списание за философия на науката, 34: 119–132.
  • Gödel, Kurt, 1931, „Über formal undenscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I“, Monatshefte für Mathematik und Physik, 38: 173–198. Препечатано и преведено в Gödel (1986, 144–195).
  • –––, 1958 г., „Über eine bisher noch nicht benütze Erweiterung des finiten standpunktes“, Диалектика, 280–287. Препечатано и преведено в Gödel (1990, 217–251).
  • –––, 1986, Събрани съчинения, кн. 1, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 1990, Събрани произведения, кн. 2, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2003, Събрани произведения, кн. 4, Oxford: Oxford University Press.
  • Халлет, Майкъл, 1990, „Физикализъм, редукционизъм и Хилберт“, в „Физикализъм по математика“, Андрю Д. Ирвайн, изд., Дордрехт: Рейдел, 183–257.
  • Hilbert, David, 1899, „Grundlagen der Geometrie”, в Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals в Гьотинген, Лайпциг: Teubner, 1–92, 1-во издание.
  • –––, 1900a, „Mathematische Probleme”, Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Math.-Phys. Klasse, 253-297. Лекция, изнесена на Международния конгрес на математиците, Париж, 1900 г. Частичен превод на английски език в Евалд (1996, 1096–1105).
  • –––, 1900b, „Über den Zahlbegriff“, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 8: 180-184. Превод на английски език в Евалд (1996, 1089–1096).
  • –––, 1905, „Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik“, във Verhandlungen des dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses в Хайделберг vom 8. bis 13. август 1904, A. Krazer, ed., Лайпциг: Teubner, 174–85, Английски превод на ван Хееноорт (1967, 129–138).
  • –––, 1918a, „Axiomatisches Denken“, Mathematische Annalen, 78: 405–15. Лекция в Швейцарското дружество на математиците на 11 септември 1917 г. Препечатано в Хилберт (1935, 146–156). Превод на английски език в Евалд (1996, 1105–1115).
  • –––, 1918b, „Prinzipien der Mathematik”, Бележки от лекции на Пол Бернайс. Зимно-семестър 1917/18. Пишеща машина. Bibliothek, Mathematisches Institut, Universität Göttingen. Редактирано в Ewald and Sieg (2013, 59–221)..
  • –––, 1922а, „Grundlagen der Mathematik”, Vorlesung, Winter-Semester 1921/22. Бележки от лекции от Пол Бернейс. Пишеща машина. Bibliothek, Mathematisches Institut, Universität Göttingen. Редактирано в Ewald and Sieg (2013, 431–527).
  • –––, 1922b, „Neubegründung der Mathematik: Erste Mitteilung“, Abhandlungen aus dem Seminar der Hamburgischen Universität, 1: 157–177. Поредица от беседи, проведени в Хамбургския университет, 25–27 юли 1921 г. Препечатани с бележки на Бернайс в Хилберт (1935, 157–177). Превод на английски в Манкосу (1998а, 198–214) и Евалд (1996, 1115–1134).
  • –––, 1923 г., „Die logischen Grundlagen der Mathematik“, Mathematische Annalen, 88: 151–165. Лекция, изнесена в Deutsche Naturforscher-Gesellschaft, септември 1922 г. Препечатана в Хилберт (1935, 178–191). Превод на английски език в Евалд (1996, 1134–1148).
  • –––, 1926, „Über das Unendliche“, Mathematische Annalen, 95: 161–190. Лекция, изнесена от Мюнстер, 4 юни 1925 г. Превод на английски език на van Heijenoort (1967, 367–392).
  • –––, 1928, „Die Grundlagen der Mathematik“, Abhandlungen aus dem Seminar der Hamburgischen Universität, 6: 65–85. Препечатано в Ewald and Sieg (2013, 917–942). Английски превод на ван Хееноорт (1967, 464–479).
  • –––, 1929, „Проблеми на Grundlegung der Mathematik“, Mathematische Annalen, 102: 1–9. Лекция, изнесена на Международния конгрес на математиците, 3 септември 1928 г. Препечатана в Ewald и Sieg (2013, 954–966). Превод на английски на Манкосу (1998a, 227–233).
  • –––, 1931a, „Beweis des Tertium non datur“, Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Math.-физ. Klasse, 120-125. Препечатано в Ewald and Sieg (2013, 967–982).
  • –––, 1931b, „Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre“, Mathematische Annalen, 104: 485–494. Препечатано в Hilbert (1935, 192–195) и Ewald and Sieg (2013, 983–990). Превод на английски език в Евалд (1996, 1148–1157).
  • –––, 1935, Gesammelte Abhandlungen, кн. 3, Берлин: Спрингер.
  • –––, 1992, Natur und mathematisches Erkennen, Базел: Birkhäuser. Vorlesungen, 1919–20.
  • Хилберт, Дейвид и Акерман, Вилхелм, 1928 г., Grundzüge der teoretischen Logik, Berlin: Springer.
  • Hilbert, David and Bernays, Paul, 1923, „Logische Grundlagen der Mathematik“, Vorlesung, Winter-Semester 1922-23. Бележки от лекции на Пол Бернейс, с ръкописни бележки от Хилберт. Hilbert-Nachlaß, Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Cod. Г-жа Хилберт 567.
  • –––, 1934, Grundlagen der Mathematik, кн. 1, Берлин: Спрингер.
  • –––, 1939, Grundlagen der Mathematik, кн. 2, Берлин: Спрингер.
  • Hofweber, Thomas, 2000, „Теоретично редуциране като доказателство за философа“, Erkenntnis, 53: 127–146.
  • Игнятович, Александър, 1994, „Програмата на Хилберт и правилото за омега“, сп. „Символична логика“, 59: 322–343.
  • Китчър, Филип, 1976, „Епистемология на Хилберт“, Философия на науката, 43: 99–115.
  • Kreisel, Georg, 1960, „Обикновена логика и характеристика на неформални представи за доказателство“, в Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Edinburgh, 14–21 август 1958 г., JA Todd, ed., Cambridge: Cambridge University Press, 289–299.
  • –––, 1968, „Проучване на теорията на доказателствата“, Journal of Symbolic Logic, 33: 321–388.
  • –––, 1970, „Принципи на доказване и наредби, имплицитни в дадените понятия“, в интуиционизма и теорията на доказателствата, А. Кино, Дж. Майхил и Р. Е. Веселей, ред., Амстердам: Северна Холандия.
  • –––, 1983, „Програма на Хилберт“, по „Философия на математиката“, Пол Бенасераф и Хилари Путнам, ред., Cambridge: Cambridge University Press, 207–238, 2-ро изд.
  • Манкосу, Паоло (съст.), 1998а, От Брауър до Хилберт. Дебатът за основите на математиката през 20-те години на миналия век, Оксфорд: Oxford University Press.
  • Mancosu, Paolo, 1998b, “Хилберт и Бернайс по метаматематика”, в (Mancosu, 1998a), 149–188. Препечатано в Mancosu (2010).
  • –––, 1999, „Между Ръсел и Хилберт: Беман върху основите на математиката“, Бюлетин на символичната логика, 5 (3): 303–330. Препечатано в Mancosu (2010).
  • –––, 2010 г., „Приключението на разума: взаимодействие между философията на математиката и математическата логика“, 1900–1940 г., Оксфорд: University of Oxford.
  • Манкосу, Паоло и Рикман, Томас, 2002, „Математика и феноменология: Кореспонденцията между О. Бекер и Х. Уейл“, Philosophia Mathematica, 10: 130–202. Препечатано в Mancosu (2010).
  • Маккарти, Т., 2016, „Третата теорема за непълнота на Гьодел“, Диалектика 70: 87–112.
  • Парсънс, Чарлз, 1998, „Финитизъм и интуитивно знание“, в „Философия на математиката днес“, Матиас Ширн, изд., Оксфорд: Оксфордския университет прес, 249-270.
  • –––, 2007, Математическа мисъл и нейните обекти, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Патън, Лидия, 2014 г., „Обективност на Хилберт“, Historia Mathematica, 41 (2): 188–203.
  • Peckhaus, Volker, 1990, Hilbertprogramm und Kritische Philosophie, Göttingen: Vandenhoeck und Ruprecht.
  • Poincaré, Henri, 1906, „Les mathématiques et la logique“, Revue de métaphysique et de moralle, 14: 294–317. Превод на английски език в Евалд (1996, 1038–1052).
  • Резник, Майкъл Д., 1974, „За философското значение на доказателствата за последователност“, сп. „Философска логика“, 3: 133–47.
  • –––, 1980, Frege and the Philosophy of Mathematics, Ithaca: Cornell University Press.
  • Shanker, Stuart G., 1988, теорема на Гьодел във фокус, Лондон: Routledge.
  • Зиг, Уилфрид, 1990, „Размисли върху програмата на Хилберт“, в „Актьорство и размисъл“, Уилфрид Зиг, изд., Dordrecht: Kluwer, 171–82. Препечатано в Sieg (2013).
  • –––, 1999 г., „Хилбертовите програми: 1917–1922 г.“, Бюлетин на символичната логика, 5 (1): 1–44. Препечатано в Sieg (2013).
  • –––, 2013, Hilbert's Programs and Beyond, New York: Oxford University Press.
  • Симпсън, Стивън Г., 1988, „Частични реализации на програмата на Хилберт“, Journal of Symbolic Logic, 53 (2): 349–363.
  • –––, 1999, Подсистеми от аритметика от втори ред, Берлин: Спрингер.
  • Сморински, Крейг, 1977, „Теореми за непълноти”, в Наръчник по математическа логика, Джон Барауид, изд., Амстердам: Северна Холандия, 821–865.
  • Щайнер, Марк, 1975, Математически знания, Итака: Cornell University Press.
  • –––, 1991, „Преглед на програмата на Хилберт: Есе за математическия инструментализъм (Detlefsen, 1986)“, Journal of Philosophy, 88 (6): 331–336.
  • Tait, WW, 1981, „Финитизъм“, сп. „Философия“, 78: 524–546. Препечатано в Tait (2005a, 21–42).
  • –––, 2002 г., „Забележки за финитизма“, в размисли за основите на математиката. Есета в чест на Соломон Феферман, Уилфрид Зиг, Ричард Сомър и Каролин Талкот, изд., Асоциация за символична логика, LNL 15. Препечатано в Tait (2005a, 43–53). [Предпечатът е достъпен онлайн]
  • –––, 2005a, Произходът на чистата причина: есета във философията на математиката и нейната история, Ню Йорк: Oxford University Press.
  • –––, 2005b, „Приложение към глави 1 и 2“, в Tait (2005a, 54–60)
  • Takeuti, Gaisi, 1987, Теория на доказателствата (изследвания по логика: 81), Амстердам: Северна Холандия, 2-ро издание
  • van Heijenoort, Жан (съст.), 1967 г., от Frege до Gödel. Източник книга по математическа логика, 1897-1931 г., Кеймбридж, Масачузет: Harvard University Press.
  • фон Нойман, Йохан, 1927, „Zur Hilbertschen Beweistheorie“, Mathematische Zeitschrift, 26: 1–46.
  • Weyl, Hermann, 1921, “Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik”, Mathematische Zeitschrift, 10: 37–79. Препечатано във Weyl (1968, 143–180). Превод на английски на Манкосу (1998a, 86–118).
  • –––, 1925 г., „Die heutige Erkenntnislage in der Mathematik“, Symposion, 1: 1–23. Препечатано във: Weyl (1968, 511–42). Превод на английски език: Манкосу (1998a, 123–42).
  • –––, 1928 г., „Diskussionsbemerkungen zu dem zweiten Hilbertschen Vortrag über die Grundlagen der Mathematik“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 6: 86–88. Английски превод на ван Хееноорт (1967, 480–484).
  • –––, 1968, Gesammelte Abhandlungen, кн. 1, Берлин: Springer Verlag.
  • Зак, Ричард, 1999, „Завършеност преди публикацията: Бернайс, Хилберт и развитието на логиката на предложенията“, Бюлетин на символичната логика, 5 (3): 331–366. [Предпечатът е достъпен онлайн]
  • –––, 2003, „Практиката на финитизма. Изчисляване на епсилон и доказателства за съответствие в програмата на Хилберт”, Синтез, 137: 211–259. [Предпечатът е достъпен онлайн]
  • –––, 2004 г., „Verunglückter Beweis“на Хилберт, първата теория на епсилона и доказателства за последователност “, История и философия на логиката, 25: 79–94. [Предпечатът е достъпен онлайн]
  • –––, 2006 г., „Програма на Хилберт тогава и сега“, в: Дейл Жакет, изд., Философия на логиката. Наръчник на философията на науката, кн. 5. Амстердам: Elsevier, 411–447. [Предпечатът е достъпен онлайн]

Академични инструменти

сеп човек икона
сеп човек икона
Как да цитирам този запис.
сеп човек икона
сеп човек икона
Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
inpho икона
inpho икона
Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
Фил хартия икона
Фил хартия икона
Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси

[Моля, свържете се с автора с предложения.]