Геометрия на XIX век

2023 Автор: Noah Black | [email protected]. Последно модифициран: 2023-08-25 04:38

Навигация за влизане

• Съдържание за участие
• библиография
• Академични инструменти
• Friends PDF Preview
• Информация за автора и цитирането
• Върнете се в началото

Геометрия на XIX век

Публикувана за първи път от 26 юли 1999 г.; съществена ревизия Чт 20 октомври 2016 г.

През XIX век геометрията, подобно на повечето академични дисциплини, преминава през период на растеж, ориентиран към катаклизъм. През този период съдържанието на геометрията и нейното вътрешно многообразие нарастват почти до неузнаваемост; аксиоматичният метод, прочут още от древността от почитателите на геометрията, най-накрая постигна истинска логическа достатъчност и основата беше поставена за заместване при описанието на физическите явления на стандартната геометрия на Евклид от чудесно податливата система на Риман. Съвременните философи с всякакви тенденции - Декарт и Хобс, Спиноза и Лок, Юм и Кант - са разглеждали евклидовата геометрия като парадигма на епистемичната сигурност. Внезапното свиване на евклидовата геометрия до подвид на огромното семейство от математически теории за космоса разби някои илюзии и предизвика важни промени във философската концепция за човешкото познание. Така например, след тези разработки от деветнадесети век, философите, които мечтаят за напълно определени знания за правилното и грешното, обезпечени чрез логически изводи от принципите на самоочевидно, вече не могат да предлагат евклидовата геометрия като пример, в който подобна цел се оказа постижима, Настоящата статия разглежда аспектите на геометрията на деветнадесети век, които са от най-голям интерес за философията и намеква за преминаване, за тяхното философско значение.философите, които мечтаят за напълно определени знания за правилно и грешно, обезпечени с логически изводи от очевидни принципи, вече не могат да предлагат евклидовата геометрия като пример, в който подобна цел се оказа постижима. Настоящата статия разглежда аспектите на геометрията на деветнадесети век, които са от най-голям интерес за философията и намеква за преминаване, за тяхното философско значение.философите, които мечтаят за напълно определени знания за правилно и грешно, обезпечени с логически изводи от очевидни принципи, вече не могат да предлагат евклидовата геометрия като пример, в който подобна цел се оказа постижима. Настоящата статия разглежда аспектите на геометрията на деветнадесети век, които са от най-голям интерес за философията и намеква за преминаване, за тяхното философско значение.

• 1. Лобачевски геометрия
• 2. Проективна геометрия
• 3. Ерланген програма на Клайн
• 4. Аксиоматиката усъвършенствана
• 5. Диференциалната геометрия на Риман

• 6. Лъжи групи

  Допълнение: Модерна формулировка на теорията на Риман

• библиография

  • Първични източници
  • Вторична литература
• Академични инструменти
• Други интернет ресурси
• Свързани записи

1. Лобачевски геометрия

Евклид (ет. 300 г. пр.н.е.) постави начело на своите Елементи поредица от „дефиниции“(напр. „Точка е тази, която няма част“) и „общи понятия“(напр. „Ако се добавят равни към равни,“сумите са равни”) и пет„ искания”. Предполага се, че тези елементи предават цялата информация, необходима за извеждане на теоремите и решаване на задачите по геометрия, но всъщност те не го правят. Въпреки това, исканията (aitemata) - обикновено наричани „постулати“на английски език - трябва по всяко време да бъдат предоставени, или доказателствата на Евклид няма да преминат. Някои от тях са съвсем практични:

1. Начертайте права линия от всяка точка до която и да е точка. 3. Начертайте кръг с всеки център и всеки радиус.

Петият обаче звучи повече като твърдение за факт. Текстът на Евклид може да бъде представен на английски, както следва: „Ако права линия [c], падаща на две прави линии [a и b], прави вътрешните ъгли на една и съща страна по-малко от два прави ъгъла, двете прави линии [a и b], ако са произведени за неопределено време, срещнете се от страната, на която са ъглите, по-малки от двата прави ъгъла”(термини в скоби, добавени за яснота) Това звучи нагледно. И все пак той може лесно да се перифразира като рецепта за конструиране на триъгълници (виж фигура 1.) Всеки триъгълник е формиран от три копланарни прави линии, които се срещат по двойки в три точки. Като се има предвид всеки сегмент PQ, начертайте права линия a до P и права линия b през Q, така че a и b лежат на една и съща равнина;проверете дали ъглите, които a и b правят с PQ от едната от двете страни на PQ, достигат до по-малко от два прави ъгъла; ако това условие е изпълнено, трябва да се допусне, че a и b се срещат в точка R от същата страна на PQ, като по този начин образуват триъгълника PQR. Това искане е известно като „Постулата на Евклид“. Ако заявката е отхвърлена - кажете, защото ние вярваме, че светът е ограничен и няма място в него за настаняване на върха R, ако въпросните вътрешни ъгли достигат до съвсем малко по-малко от два прави ъгъла - тогава голяма част от системата на Евклид геометрията няма да мине.тъй като ние вярваме, че светът е краен и в него няма място за настаняване на върха R, ако въпросните вътрешни ъгли се съберат на много малко по-малко от два прави ъгъла - тогава голяма част от геометричната система на Евклид няма да премине.тъй като ние вярваме, че светът е краен и в него няма място за настаняване на върха R, ако въпросните вътрешни ъгли се съберат на много малко по-малко от два прави ъгъла - тогава голяма част от геометричната система на Евклид няма да премине.

Фигура 1

В по-тъмните епохи, които последваха, чувството на Евклид за математическата свобода се губи и философите и математиците очакваха геометрията да почива на очевидни причини. Сега, ако a е перпендикулярно и b е почти перпендикулярно на PQ, a и b се приближават един към друг много бавно от едната страна на PQ и не е очевидно, че в крайна сметка те трябва да се срещнат някъде от тази страна. В края на краищата хиперболата безкрайно се доближава до своите асимптоти и въпреки това, демонстративно, никога не ги среща. През вековете няколко автори поискаха - и се опитаха - доказателство за постулата на Евклид. Джон Уолис (р. 1616, г. 1703) го извлече от предположението, че има многоъгълници с различни размери, които имат еднаква форма. Но тогава това предположение се нуждае от доказателство от своя страна. Girolamo Saccheri (нар. 1667, бр. 1733) се опита да намали. Той извежда дълга поредица от предложения от отричането на Постулата на Евклид, докато стигне до едно, което той произнася „отвратително към естеството на правата линия“. Но разбирането на Saccheri за тази „природа“се корени в евклидовата геометрия и неговото заключение постави въпроса.

През 1820 г. Николай И. Лобачевски (р. 1793, бр. 1856) и Янош Болай (бр. 1802, д. 1860) независимо се заемат с този въпрос по коренно нов начин. Лобачевски изгради върху отрицанието на Постулата на Евклид алтернативна система от геометрия, която той нарече „въображаема” и се опита неубедително да провери валидността в астрономическия мащаб, като изчисли сумата от вътрешните ъгли на триъгълници, образувани от звезди на небето. Болай изряза постулата от системата на Евклид; останалото гребене е „абсолютната геометрия“, която може да бъде допълнително уточнена чрез добавяне към него или постулата на Евклид или неговото отрицание. От 1790 г. Карл Фридрих Гаус (р. 1777 г., бр. 1855 г.) работи по темата в същата посока, но той се въздържа да публикува поради страх от скандал. Тъй като Лобачевски е първият, който публикува,системата на геометрията, базирана на споменатата „абсолютна геометрия“плюс отрицанието на постулата на Евклид, правилно се нарича геометрия на Лобачевски.

Конструкцията, въведена по-горе, за да обясни постулата на Евклид, също може да се използва за изясняване на отрицанието му. Начертайте права линия през точка P под прав ъгъл със сегмента PQ. Ако Постулатът на Евклид е отказан, има безброй прави линии през Q, копланарни с a, които правят остри ъгли с PQ, но никога не отговарят на a. Помислете за множеството реални числа, които са величините на тези остри ъгли. Нека най-голямата долна граница на това множество е μ. Очевидно, μ> 0. През Q има точно две прави линии, копланарни с a, които правят ъгъл с размер μ с PQ. (Вижте фигура 2.) Наречете ги b ₁ и b ₂. Нито b _1, нито b ₂среща a, но среща всяка линия през Q, която е копланарна с a и прави с PQ ъгъл, по-малък от µ. Гаус, Лобачевски и Боляй - непознати един за друг, съвпадат при извикване на b ₁ и b ₂ паралелите на a до Q. μ се нарича ъгъл на паралелизъм за сегмент PQ. Размерът му зависи от дължината на PQ и намалява с увеличаването на последния.

Фигура 2

Да предположим, че ъгълът на паралелизма за PQ е половината от прав ъгъл. В този случай b ₁ и b ₂ правят прав ъгъл при Q и по този начин имаме две взаимно перпендикулярни прави линии в една и съща равнина като a, които не отговарят на a.

Геометрията на Лобачевски изобилства от изненадващи теореми (голяма част от тях вече са били открити от Сакери). Ето няколко: Трите вътрешни ъгъла на триъгълник съставляват по-малко от два прави ъгъла. Разликата или „дефектът“е пропорционална на площта на триъгълника. Следователно в геометрията на Лобачевски подобни триъгълници са конгруентни. Освен това, ако триъгълник се раздели на по-малки триъгълници, дефектът на цялото се равнява на сумата от дефектите на частите. Тъй като дефектът не може да бъде по-голям от два прави ъгъла, площта на триъгълниците има ограничен максимум. Ако четириъгълникът по конструкция има три прави ъгъла, четвъртият ъгъл е задължително остър. Така в геометрията на Лобачевски няма правоъгълници.

Съществува проста формална съответствие между уравненията на трибалометрията на Лобачевски и тези на стандартната сферична тригонометрия. Въз основа на него Лобачевски твърди, че всяко противоречие, възникващо в неговата геометрия, неизбежно ще бъде съпоставено с противоречие в евклидовата геометрия. Това изглежда е най-ранният пример за предполагаемо доказателство за относителна съгласуваност, с което е показано, че една теория е последователна, ако друга теория - чиято последователност обикновено се приема за даденост - не е последователна.

Лобачевски геометрията получи малко внимание преди края на 1860-те. Когато философите най-накрая го забелязаха, техните мнения бяха разделени. Някои го смятат за формално упражнение за логическо дедуктиране, без никакво физическо или философско значение, което използва обикновени думи - като „прави“и „равнини“- с тайно променено значение. Други го приветстваха като достатъчно доказателство, че противно на влиятелната теза за Кант, евклидовата геометрия не съдържа никакви предпоставки на човешкия опит и че геометричната структура на физическото пространство е отворена за експериментално изследване. Други се съгласяват, че неевклидовите геометрии са легитимни алтернативи, но изтъкват, че проектирането и интерпретацията на физическите експерименти като цяло предполага определена геометрия и тази роля е пределена от системата на Евклид.

Без значение какво биха могли да кажат философите, за математиците Лобачевски геометрията вероятно не би била нищо повече от странно любопитство, ако не беше намерена ниша в рамките на прожекционната и диференциалната геометрия, двете основни течения на геометричните изследвания на XIX век (§ § 2 и 5).

2. Проективна геометрия

Днес проективната геометрия не играе голяма роля в математиката, но в края на деветнадесети век тя стана синоним на съвременната геометрия. Проективни методи са били използвани от Desargues (р. 1591, 1661 г.) и Pascal (р. 1623 г., 1662 г.), но по-късно са били затъмнени по метода на Декарт за координати. Те просперираха, обаче, след като Жан-Виктор Понселет (бр. 1788, д. 1867) показа, че проективните свойства на фигурите са представени като доказателства, които са поне толкова мощни, но със сигурност по-интуитивни и привидно убедителни от декартовата процедура създаване и решаване на уравнения между числа, представляващи точки.

Проективните свойства са тези, запазени от проекции. Вземете например две равнини Γ и H и точка P извън тях. Нека Φ е всяка фигура на Γ. Начертайте прави линии от P през всяка точка на Φ. Фигурата, образувана от точките, където тези линии се срещат с H, е проекцията на Φ върху H от P. Като цяло тази цифра ще се различава от Φ по размер и форма. Но проекцията на произволен брой прави на Γ, които се срещат една в друга в определени точки, обикновено се състои от равен брой прави на H среща, съответно в проекцията на тези точки. Какво се случва обаче, ако правата, свързваща P с някаква точка Q от Γ, никога не отговаря на H, защото PQ се случва да лежи на равнина, успоредна на H? (Вижте фигура 3.)

Фигура 3

За да се избегнат подобни неудобни изключения, проективната геометрия добавя към всяка права линия в пространството идеална точка, споделена от всяка линия, успоредна на нея. След това приемствеността изисква всички идеални точки да лежат на една идеална равнина, която отговаря на всяко семейство от успоредни равнини по различна идеална линия. Фундаменталистите могат да изтръпнат от това на пръв поглед безмислено умножение на образуванията. Въпреки това, тя се е практикувала в аритметиката от векове, тъй като първоначалният запас от естествени числа 1, 2, 3, …, е допълнен с нула, отрицателните цели числа, не интегрални рационали, ирационали и така наречените въображаеми номера.

Точките на права линия стоят във взаимни отношения на съседство и ред. За да видите как идеалната точка се вписва в тези отношения, нека H се върти непрекъснато около правата m, където се пресича Γ. (Вижте фигура 4.) Когато H е успореден на PQ -изискването, по време t -проекцията на Q на H от P е идеалната точка на правата линия през P и Q. Точно преди t споменатата проекция е обикновена точка на Н, много далеч от m. Веднага след t проекцията отново е обикновена точка на Н, много далеч от m, но в противоположния край на равнината. Изучавайки непрекъснатото изместване на проекцията по време на кратък интервал от време, заобикалящ t, се стига до заключението, че ако A и B са всякакви две точки на H, които съответно стоят от двете страни на m, идеалната точка на правия линия през A и B трябва да се поставят между A и B. По този начин,в проективната геометрия точките на права линия са подредени циклично, т.е. като точките на окръжност. В резултат на това съседните отношения между точките в проективното пространство и върху проективните равнини се различават драстично от познатите от стандартната геометрия и са силно противоположни. Справедливо е да се каже, че проективната геометрия означаваше много по-дълбока и мащабна революция в човешката мисъл, отколкото самото отричане на Постулата на Евклид. Справедливо е да се каже, че проективната геометрия означаваше много по-дълбока и мащабна революция в човешката мисъл, отколкото самото отричане на Постулата на Евклид. Справедливо е да се каже, че проективната геометрия означаваше много по-дълбока и мащабна революция в човешката мисъл, отколкото самото отричане на Постулата на Евклид.

Фигура 4

В новата обстановка проективните свойства на фигурите могат да бъдат определени неопределено. картографирането на едно проективно пространство върху себе си е коланизация, ако изпраща всякакви три колинеарни точки A, B и C, до три точки (A), (B) и (C), които също са collinear. Проективните свойства (и отношенията) са тези, които се запазват от колинеи. Ето няколко примера за проективни свойства. От три или повече точки: да лежи на една и съща права линия; да лежи в една и съща равнина. От три или повече прави линии: да се срещнат в една и съща точка; да лежи в една и съща равнина. От три или повече равнини: да се пресичат по една и съща права линия; да споделя една и съща точка. От криви: да бъде коник. От повърхности: да бъде квадрик.

3. Ерланген програма на Клайн

В книжка, издадена, когато се присъедини към факултета в Ерланген (1872 г.), Феликс Клайн (р. 1849 г., 1925 г.) направи равносметка на огромния растеж и разнообразяване на геометрията и предложи гледна точка, от която многобройните й клонове да бъдат организирани в система. От тази гледна точка задачата на клон от геометрия може да бъде заявена по този начин:

Като се има предвид многообразие и група трансформации на многообразието, да се проучат конфигурациите на многообразието по отношение на онези характеристики, които не са променени от трансформациите на групата. (Клайн 1893, с. 67)

В математиката от деветнадесети век „многообразието“често обозначава това, което сега наричаме набор, но Клайн очевидно е имал нещо по-специфично:

Ако са дадени n променливи x ₁,…, x _n,… ценностните системи, които получаваме, ако оставим променливите x независимо да вземат реалните стойности от ∞∞ до + ∞, представляват това, което ще наречем… многообразие от n измерения. Всяка определена стойностна система (x ₁, …, x _n) се нарича елемент от многообразието. (Клайн 1873, с. 116)

Ако S е многообразие в който и да е смисъл, под трансформация на S имаме предвид едно единствено картографиране на S върху себе си. Ясно е, че

1. Ако Т ₁ и Т ₂ са трансформации на S, съставният картографиране T ₂  ○ T ₁, който се състои от Т ₁, последвано от Т ₂, също е трансформация на S;
2. състава на трансформации е асоциативен, така че, ако Т ₁, Т ₂ и Т ₃ са трансформации на S, (T ₃  ○ T ₂) ○ T ₁ = T ₃  ○ (T ₂  ○ T ₁);
3. картографирането на идентичността I, която изпраща всяка точка на S към себе си, е преобразуване на S такова, че за всяко преобразуване T, T ○ I = I ○ T = T;
4. за всяко преобразуване T има трансформация T ⁻¹, обратна на T, така че T ⁻¹  ○ T = I (T ⁻¹ изпраща всяка точка на S обратно, където е донесена от T).

По силата на условия (i) - (iv), трансформациите на S образуват група G _S в точния смисъл, който този термин има в алгебрата. G _S включва подгрупи, т.е. подмножества, които съдържат I и отговарят на условия (i) и (iv). Ако H е подгрупа на G _S и Φ е характеристика на S, или на неговите елементи или части, което не се влияе от трансформациите на Φ, ние казваме, че Φ е H -инвариант. Единственият G _S-инвариант е кардиналността на S (т.е. броят на елементите в многообразието). От друга страна, групата {I}, състояща се само от идентичността, тривиално запазва всяка възможна характеристика. Между тези две крайности може да има много различни подгрупи с всевъзможни интересни инварианти, в зависимост от съответната структура на групата. Ако S не е произволен (безструктурен) набор, а числово многообразие, както е описано от Клайн, то наследява структура от полето на реалното число, което допринася за характеризиране на различните подгрупи на G _S и техните инварианти. По този начин групата на непрекъснатите преобразувания запазва топологичните свойства (съседски отношения), а групата на линейните преобразувания запазва проективните свойства.

Могат ли метричните свойства да бъдат фиксирани по този начин? Традиционно човек определя разстоянието между две точки (x ₁,…, x _n) и (y ₁,…, y _n) на числово многообразие като положителния квадратен корен на (x ₁  - y ₁) ² +… + (x _n  - y _n) ², Групата на изометриите се състои от трансформациите, които запазват тази функция. Това обаче е само конвенция, приета, за да се гарантира, че геометрията е евклидова. Използвайки проективната геометрия, Клайн се сети за нещо по-добро. Нито една реално оценена функция на точковите двойки, дефинирана върху цялото проективно пространство, не е инвариант на проективната група, но има функция на колинеарни четворни четворки, наречени кръстосано съотношение, което е толкова инвариант. Рисувайки върху работата на Артър Кейли (р. 1821, бр. 1895), Клайн (1871, 1873) разглежда кръстосаното съотношение на четворните четворки <P ₁, P ₂, P ₃, P ₄ >. така че P ₃ и P ₄ принадлежат на даден коничен κ на проективна равнина, докато P₁ и Р ₂ диапазон над регион R, която е ограничена от фиксирани или друго κ. Тъй като Р ₃ и P ₄ трябва да бъде точките, където правата линия чрез Р ₁ и Р ₂ отговаря κ, на споменатото напречно съотношение може да се разглежда като функция от точка двойката <P ₁, P ₂ >. Колипликациите, които картографират даден коник върху себе си, образуват група и споменатата функция очевидно е инвариантна на тази група. Клайн показа, че определена функция на тази функция се държи като обикновена дистанционна функция на R, Според естеството на коничния κ, структурата, определена от тази функция, удовлетворява или (i) всички теореми на евклидовата геометрия на равнините, или (ii) всички тези на геометрията на равнината на Лобачевски, или (iii) тези на трета геометрия, която Клайн самият той откри и нарече „елиптичен“. (В елиптичната геометрия всяка права линия се среща с всеки друг, а трите вътрешни ъгъла на триъгълник винаги се съчетават с повече от два прави ъгъла. Имената на Клайн за геометриите на Евклид и Лобачевски са съответно „параболични“и „хиперболични“.)

Ето как работи подходът на Клайн за геометрията на Лобачевски в равнината. Нека κ е истински коник - коник, съдържащ само реални точки - на проективната равнина. Нека G _κ е съвкупността от всички collineations, които картографират κ върху себе си. G _κ е подгрупа на проективната група. Помислете сега напречното съотношение на четворни точки <P ₁, P ₂, P ₃, P ₄ > такова, че P ₃ и P ₄ принадлежат на κ, докато P ₁ и P ₂обхват над вътрешната част Int (κ) на областта на реалната равнина, ограничена от κ. (P ∈ Int (κ), ако и само ако P е истинска точка и няма реална допирателна към κ преминава през P.) Както бе отбелязано по-горе, изборът на точки P ₁ и P ₂ фиксира P ₃ и P ₄, така че кръстосаното съотношение може да се разглежда като функция само на първата двойка точки, да речем, f _κ (P ₁, P ₂). Функцията f _κ е ясно G _κ -инвариантна. Поставете d _κ (P ₁, P ₂) = c log f _κ (P ₁, P ₂), където c е произволна реално оценена константа, различна от 0, а log x означава главната стойност на естествения логаритъм на x. Клайн успя да покаже, че d _{κ се} държи точно като функция на разстояние на Лобачевски на Int (κ). С други думи, всяка теорема за геометрията на Лобачевски важи за подходящи фигури, образувани от точки на Int (κ), ако разстоянието между която и да е от тези две точки е дадено от функцията d _κ. Помислете например четири точки P ₁, P ₂, P ₃ и P ₄ в Int (κ), така че d _κ (P ₁, P ₂) = d _κ (P ₂, P ₃) = d _κ (P ₃, P ₄) = d _κ (P ₄, P ₁). Те са върховете на равностранен четириъгълник Q на Лобачевски, който може да има най-много три прави ъгъла, в този случай четвъртият вътрешен ъгъл на Q трябва да е остър. (Когато „прав ъгъл“означава, както обикновено, ъгъл, равен на съседния ъгъл, и два ъгъла в Int (κ) се казва, че са равни, ако единият е изображението на другия чрез преобразуване на група G _κ).

Ако κ означава различен вид конус, а не обикновен реален, функцията d _κ, получена по горната процедура, се държи в подходящо определени области на проективната равнина като евклидова функция на разстояние или като функция на разстояние на елиптичната геометрия (това зависи относно естеството на конуса κ). По този начин, в зависимост от това дали κ принадлежи към единия или другия от три вида коници, групата на колинеиите, които картографират κ върху себе си, е структурно идентична с една от трите групи на Лобачевски, Евклидов или елиптичен изометрии. Подобни резултати важат за триизмерния случай с κ квадратна повърхност.

Резултатът на Клайн кара Бертран Ръсел (р. 1873, през 1970 г.) да твърди в своята книга за неокантийските основи на геометрията (1897 г.), че общата „форма на външност“ни е разкрита априори в проективната геометрия, т.е. но нейната метрична структура - която може да бъде само Лобачевски, евклидов или елиптична - трябва да бъде определена след това чрез експеримент. Анри Поанкаре (р. 1854 г., 1912 г.) зае по-радикална позиция: Ако геометрията не е нищо друго освен изследване на група,

може да се каже, че истинността на геометрията на Евклид не е несъвместима с истината на геометрията на Лобачевски, тъй като съществуването на група не е несъвместимо с тази на друга група. (Poincaré 1887, стр. 290)

Приложението към физиката е непосредствено: „Сред всички възможни групи сме избрали една по-специално, за да се отнасяме към нея всички физически явления, точно както избираме три координатни оси, за да ги отнесем към геометрична фигура“(пак там, с. 291). Изборът на тази конкретна група е мотивиран от нейната математическа простота, но и от факта, че „в природата съществуват някои забележителни тела, които се наричат твърди тела, а опитът ни показва, че различните възможни движения на тези тела са свързани помежду си много по същия начин като различните операции на избраната група”(пак там). Тези забележки на Поанкаре сигнализират за началото на конвенционализма във философията на науката и осигуряват първоначалната му мотивация.

Групово-теоретичният възглед на Клайн за геометрията се радва на голяма полза сред математиците и философите. Тя постигна голям успех, когато Минковски (1909) показа, че същността на специалната теория на относителността на Айнщайн е (космическата) геометрия на групата Лоренц, съществен резултат, от който Клайн (1911) живее, за да се наслаждава. Това означава, че скорошното разискване относно приоритета на хроногеометрията на Минковски над инвариантността на Лоренц или обратното е крайно бездействащо, тъй като те са логически еквивалентни и по този начин, всъщност, две страни на една и съща монета (както е обяснено от Acuña (2016)). Ерлангенската програма на Клайн обаче не успя да обхване диференциалната геометрия на Риман (§5), която Айнщайн (1915, 1916) постави в основата на своята обща теория на относителността.

4. Аксиоматиката усъвършенствана

Според Аристотел научното знание (епистема) трябва да бъде изразено в изявления, които следват дедуктивно от ограничен списък на очевидните твърдения (аксиоми) и използват само термини, определени от ограничен списък на саморазбраните термини (примитиви). В продължение на повече от две хилядолетия обикновено се приемаше, че идеалът на Аристотел е действително реализиран в Елеклид на Евклид. Всъщност има логична празнина вече в Евклид I.1 (решението на този проблем се опира на нестабилно предположение за приемственост) и не е ясно, че Евклид е считал постулатите си за самоочевидни (като ги нарича „ молби 'той предположи, че не го прави). Идеята за осигуряване на знанието чрез логическо изваждане от безспорни принципи имаше мощно очарование за съвременните учени като Галилео и Нютон, и двамата с удоволствие практикуваха аксиоматика, т.е.във всеки случай като литературна форма, като Спиноза в неговата Етика. И все пак един наистина задоволителен и, ако може да се каже така, сериозен случай на аксиоматизация на клон на знанието е наличен на печат чак през 1882 г., когато Мориц Паш (р. 1843, д. 1930) публикува своите Лекции по съвременна геометрия.

Паш разглежда геометрията като естествена наука, чието успешно използване от други науки и в практическия живот се опира „изключително на факта, че геометричните концепции първоначално са съгласувани точно с емпиричните обекти“(Pasch 1882, p. Iii). Геометрията се отличава от другите природни науки, защото получава само много малко понятия и закони директно от опита и има за цел да получи от тях законите на по-сложни явления чрез чисто дедуктивни средства. Емпиричната основа на геометрията беше капсулирана от Паш в ядро от основни понятия и основни твърдения или аксиоми. Основните понятия се отнасят до формата и размера на телата и техните позиции един спрямо друг. Те не са дефинирани, тъй като никоя дефиниция не може да замени „изложението на подходящи природни обекти“, което е единственият път към разбирането на толкова прости,неприводими понятия (пак там, стр. 16). Всички останали геометрични понятия трябва да бъдат окончателно дефинирани по отношение на основните. Основните понятия са свързани помежду си с аксиомите, които „заявяват това, което е било наблюдавано в определени много прости диаграми“(стр. 43). Всички останали геометрични изявления трябва да се доказват от аксиомите чрез най-строги дедуктивни методи. Всичко, което е необходимо за тяхното доказване, трябва да бъде записано, без изключение, в аксиомите. Следователно те трябва да въплъщават целия емпиричен материал, изработен от геометрията, така че „след като бъдат установени, вече не е необходимо да се прибягва до сетивни възприятия“(стр. 17). „Всяко заключение, което се случва в доказателство, трябва да намери своето потвърждение в диаграмата, но не е оправдано от диаграмата, а от определено по-ранно твърдение (или определение)“(стр. 43). Паш ясно разбираше последиците от своя метод. Той пише (стр. 98):

Ако геометрията трябва да бъде наистина дедуктивна, процесът на извод трябва да бъде независим във всичките си части от значението на геометричните понятия, точно както трябва да е независим от диаграмите. Всичко, което трябва да се вземе предвид, са отношенията между геометричните понятия, записани в изявленията и дефинициите. В процеса на дедукция е разрешено и полезно да се има предвид значението на геометричните понятия, които се срещат в него, но това изобщо не е необходимо. В действителност, когато действително изглежда необходимо, това показва, че има пропаст в доказателството и - ако пропастта не може да бъде отстранена чрез промяна на аргумента - че помещенията са твърде слаби, за да го подкрепят.

Лекциите на Паш по съвременна геометрия се занимаваха с проективната геометрия. Първата аксиоматизация на евклидовата геометрия, която е била в съответствие със стандартите на Паш - Основи на геометрията на Дейвид Хилбърт (р. 1862 г., 1943 г.) - се появява през 1899 г. и упражнява огромно влияние върху математиката и философията на ХХ век. Хилберт приканва читателя да разгледа три произволни колекции от обекти, които нарича „точки“, „прави линии“и „равнини“, и пет неопределени отношения между (i) точка и права линия, (ii) права и равнина, (iii) три точки, (iv) две двойки точки („сегменти“) и (v) два класа на еквивалентност на тройни точки („ъгли“). Условията, предписани в Hilbert 's 20 аксиоми, включително аксиомата на завършеност, добавена във второто издание - са достатъчни за характеризиране на споменатите обекти и отношения до изоморфизъм. Изоморфизмът, т.е. структурна еквивалентност, може да съдържа между различни, интуитивно разграничени системи от обекти. Хилберт се възползва от тази характеристика на аксиоматичните теории за изучаване на независимостта на някои аксиоми от останалите. За да го докаже, той предложи действителни случаи (модели) на структурата, определени от всички аксиоми, но една, плюс отрицанието на пропуснатата. Фреге се оплаква, че запазените в тези упражнения геометрични аксиоми могат да бъдат приложени към надутите модели на Хилберт само чрез подправяне на естественото значение на думите (вж. Разговора на Алиса с Humpty Dumpty). Хилберт отговори на 29 декември 1899 г.:структурна еквивалентност - може да съдържа, обаче, между различни, интуитивно разграничени системи от обекти. Хилберт се възползва от тази характеристика на аксиоматичните теории за изучаване на независимостта на някои аксиоми от останалите. За да го докаже, той предложи действителни случаи (модели) на структурата, определени от всички аксиоми, но една, плюс отрицанието на пропуснатата. Фреге се оплаква, че запазените в тези упражнения геометрични аксиоми могат да бъдат приложени към надутите модели на Хилберт само чрез подправяне на естественото значение на думите (вж. Разговора на Алиса с Humpty Dumpty). Хилберт отговори на 29 декември 1899 г.:структурна еквивалентност - може да съдържа, обаче, между различни, интуитивно разграничени системи от обекти. Хилберт се възползва от тази характеристика на аксиоматичните теории за изучаване на независимостта на някои аксиоми от останалите. За да го докаже, той предложи действителни случаи (модели) на структурата, определени от всички аксиоми, но една, плюс отрицанието на пропуснатата. Фреге се оплаква, че запазените в тези упражнения геометрични аксиоми могат да бъдат приложени към надутите модели на Хилберт само чрез подправяне на естественото значение на думите (вж. Разговора на Алиса с Humpty Dumpty). Хилберт отговори на 29 декември 1899 г.:За да го докаже, той предложи действителни случаи (модели) на структурата, определени от всички аксиоми, но една, плюс отрицанието на пропуснатата. Фреге се оплаква, че запазените в тези упражнения геометрични аксиоми могат да бъдат приложени към надутите модели на Хилберт само чрез подправяне на естественото значение на думите (вж. Разговора на Алиса с Humpty Dumpty). Хилберт отговори на 29 декември 1899 г.:За да го докаже, той предложи действителни случаи (модели) на структурата, определени от всички аксиоми, но една, плюс отрицанието на пропуснатата. Фреге се оплаква, че запазените в тези упражнения геометрични аксиоми могат да бъдат приложени към надутите модели на Хилберт само чрез подправяне на естественото значение на думите (вж. Разговора на Алиса с Humpty Dumpty). Хилберт отговори на 29 декември 1899 г.:

Всяка теория е само скеле или схема на концепции заедно с необходимите им взаимни отношения и основните елементи могат да бъдат осмислени по всякакъв начин, който желаете. Ако вземем за моите точки всяка система от неща, например системата любов, закон, комина,… и просто приемам всичките си аксиоми като отношения между тези неща, моите теореми - например теоремата на Питагор - също задръжте тези неща. … Тази характеристика на теориите никога не може да бъде недостатък и във всеки случай е неизбежна.

Всичко това следва, разбира се, от самата природа на аксиоматиката, както е обяснено в пасажа, цитиран от Pasch. Всъщност подобни семантични пермутации, съхраняващи истината, не са новина в геометрията, след като Гергона (1771–1859) през 1825 г. обърна внимание на следния принцип на двойственост: Всяко истинско изявление на геометрията на проективната равнина поражда друго, също толкова вярно, двойно твърдение, получено от заместване на „точка“с „линия“, „коланеар“на „едновременно“, „среща“на „присъединяване“и обратно, където и да са тези думи в първата. (В геометрията на проективното пространство двойствеността важи за точки и равнини.) Същият резултат е осигурен, разбира се, чрез размяна не на думите, а на техните значения.

5. Диференциалната геометрия на Риман

В лекция „За хипотезите, които лежат в основата на геометрията“, изнесена до Философския факултет в Гьотинген през 1854 г. и публикувана посмъртно през 1867 г., Бернхард Риман (р. 1826, д. 1866) представи някои радикално новаторски възгледи за това значение. Той отбеляза, че измеримите свойства на дискретен колектор могат лесно да бъдат определени чрез преброяване. (Помислете за населението на дадена държава и дяла на новородените християни или на двойките, разведени в рамките на първата година от брака си.) Но непрекъснатите многообразие не признават този подход. По-специално измеримите свойства на физическото пространство, които са предмет на геометрията, зависят от свързващите сили, които действат върху него. Разстоянието между две точки в пространството може да бъде определено с пръчка, лента или с оптични средства,и резултатът зависи основно от физическото поведение на използваните инструменти. Досега измеримите свойства на космоса са успешно описани в съответствие с евклидовата геометрия. Обаче „емпиричните концепции, на които се основават метричните определения на пространството - понятията за твърдо тяло и светлинен лъч, губят своята валидност в безкрайно малкото; Следователно е твърде вероятно, че метричните отношения на пространството в безкрайно малкото не са съгласни с предположенията на геометрията и всъщност човек би трябвало да приеме това, щом явленията могат да бъдат обяснени по-опростен начин”(Риман 1854, с. 149). За да подготви физиците за тази случайност, Риман предложи по-обща концепция за геометрията. Основната схема на Риман дава възможност за много по-голяма общ характер, отколкото той всъщност достига; но,според него трябва да е достатъчно за момента да се характеризира геометрията на непрекъснатите многообразия по такъв начин, че той да бъде съгласуван оптимално с евклидовата геометрия в малък квартал на всяка точка.

Риман разширява до n измерения методите, използвани от Гаус (1828 г.) в своето изследване на вътрешната геометрия на извити повърхности, вградени в евклидово пространство (наречена „вътрешно“, защото описва метричните свойства, които повърхностите показват сами, независимо от начина, по който те лежат в космоса). Поглеждайки назад към работата на Гаус, човек получава по-добро интуитивно усещане за концепциите на Риман (вж. Torretti 1978, стр. 68–82). Въпреки това, с цел сбитост и перспективност, е препоръчително да гледате напред и да се възползвате от някои понятия, въведени от по-късните математици, докато те се опитаха да осмислят предложението на Риман. Помислете за модерното формулиране на теорията на Риман в допълнение A Modern Formulation of the Remann's Theory.

В своето проучване на извити повърхности Гаус въвежда реално оценена функция - кривата на Гаус, която измерва локалното отклонение на повърхността от плоскостта по отношение на вътрешната геометрия на повърхността. Риман разшири тази концепция на кривината до римановите n-многообразия. Използвайки разширената си концепция за кривина, той успя да характеризира с голяма елегантност метричните многообразия, в които всички фигури могат свободно да се движат наоколо, без да променят размера и формата си. Те са римановите многообразие на постоянна кривина. Тази идея може добре да се комбинира с класификацията на метричните геометрии на Клайн. Разгледано като риманови 3-многообразие, евклидовото пространство има постоянна нулева кривина, пространството на Лобачевски има постоянна отрицателна кривина, а елиптичното пространство има постоянна положителна кривина. Съгласно програмата Ерланген,всяка от тези геометрии с постоянна кривина се характеризира със собствена група изометрии. Но концепцията на Клайн е твърде тясна, за да обхване всички риманови геометрии, които включват пространства с променлива кривина. Всъщност в общия случай групата на изометриите на риманов п-многообразие е тривиалната група, състояща се само от идентичността, чиято структура изобщо не предоставя информация за съответната геометрия.

6. Лъжи групи

За един философ най-удовлетворяващата особеност на огромното усложнение, постигнато от математиката на 19 век, е може би бързината, с която новосъздадените (или открити?) Математически структури са намерили път в емпиричната наука, позволявайки интелектуалното схващане и справяне с действителните явления, Ще завършим това проучване на геометрията на 19-ти век с няколко леки забележки относно особено богата и плодотворна структура, която има гордо място в съвременната физика, а именно групите Ли, така наречени след Софу Лий (1842–1899), норвежецът математик, който ги е изучил в дълбочина след 1870 г. Групата на Lie, разбира се, е група в алгебраичния смисъл, която срещнахме в §3, тоест набор G такъв, че (i) всяка подредена двойка <x, y> ∈ G е свързан с уникален елемент x · y ∈ G (известен като произведение или сумата от x и y);(ii) операцията на продукта е асоциативна, т.е. (x · y) · z = x · (y · z), за всеки x, y, z ∈ G; (iii) има един и само един елемент 0 ∈ G, така че за всеки x ∈ G, x · 0 = 0 · x = x (0 е идентичността или неутралният елемент на G); (iv) за всеки x ∈ G има един и само един елемент x⁻¹ ∈ G, така че x · x ⁻¹ = 0 (x ⁻¹ е известен като обратната на x). Но групата на Ли е също гладък многообразие, както е описано в добавката Модерна формулировка на теорията на Риман: множеството G може да бъде представено на кръстовище чрез системи с реално оценени (или алтернативно сложно оценени) координати, взаимно свързани чрез добре дефинирани, диференцирани координатни трансформации, където техните съответни пластири се припокриват. Груповите и многообразните структури на G се свързват заедно при условие, че операцията на продукта е диференцирано картографиране на G × G в G.

Прост, но същевременно важен пример за група на Лие е групата SO (2), инстанцирана от въртенията на равнината около произволна фиксирана точка. Колекторът е топологично компактен и следователно не може да бъде обхванат от един координатен пластир, но са достатъчни три: един включващ, да речем, всички въртене обратно на часовниковата стрелка с повече от три радиана и по-малко от четири, които могат да бъдат естествено координирани, като се използват реалните числа в отворен интервал (3,4); друг пластир, съдържащ инверсите на първия, който може да бъде картографиран на отворения интервал (−4, −3), и трети, покриващ всички въртения срещу часовниковата стрелка с по-малко от два прави ъгъла плюс техните обърнати по посока на часовниковата стрелка, които могат да бъдат картографирани на отворен интервал (−π, π). Всъщност всички групи, които срещнахме в §3,които Клайн използва за характеризиране на евклидовата геометрия на пространството и класическите неевклидови геометрии, са групи от Ли и съответните им гладки многообразни структури позволяват да се получат топологични измислици. По този начин евклидовите изометрии представляват разединено многообразие, като огледалното отражение не е включено в същия компонент като подгрупата на евклидовите движения.

Подобно на всички гладки колектори, група Ли на G има допирателно векторно пространство, прикрепено към всеки елемент. По-специално, допирателното пространство в неутралния елемент 0 на G се превръща в алгебрата на Ли на G по дефиницията на така наречената скоба на Ли, билинейно картографиране на T ₀ G × T ₀ G в T ₀ G, което за всички u, v, w в T ₀ G удовлетворява условието [u, u] = 0 и идентичността на якоби: [u, [v, w] + [v, [w, u] + [w, [u, v] = 0. Алгебрата на Ли на G хвърля много светлина върху структурата на G чрез хомеоморфното („експоненциално”) картографиране на квартал от 0 ∈ T ₀ G в квартал от 0 ∈ G.

В добавката Модерна формулировка на теорията на Риман ние се докосваме до идеята за снопче влакна, образувано от две гладки многообразия F и M, свързани заедно с „проекция“, картографиране π на F върху M, което разделя многообразието F на „влакна”, Картографирано с π към различните точки на М. Снопът от влакна <F, M, π> се превръща в основен сноп от влакна <F, M, π, G> ако група на Lie G, известна като структурна група на снопа, действа върху F по такъв начин, че всяко влакно от F е орбитата на действието и няколко други условия са изпълнени. Например групата на Лоренц е структурна група на основния влакнест сноп от тетради (ортонормални 4-краища на допирателни вектори във всяка точка) във всяко релативистично пространствено време, без значение колко е странно. По такива начиниЛъжевите групи предоставят средство за обединяване на многото модели, позволени от физическата теория и за въвеждане на известна степен на хомогенност сред тях.

През последната третина на 20-ти век сноповете влакна и техните групи Lie практически поеха фундаменталната физика. Това не е мястото да обясняваме как или защо, но неудържимата еволюция на физиката към все по-математически сложни, prima facie по-непрости представяния на нейния предмет, заслужава вниманието на философите. Ясно е, че понятието за определено стабилно нещо, което, поне по принцип, може да бъде държано и манипулирано, вече не е толкова полезно за нас, както беше някога на нашите предци на кремъка.

библиография

Първични източници

• Bolyai, J., 1832. Scientia absoluta spatii. Приложение към Bolyai, F., Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae elementis ac sublimioris, methodo intuitiva, evidentiaque huic propria, Introdundi, Tomus Primus. Maros Vasarhely: J. et S. Kali. (Превод на английски от GB Halsted отпечатан като допълнение към Bonola 1955 г.)
• Кейли, Артър, 1859 г. „Шести мемоар върху количествата“, Философски транзакции на Кралското общество на Лондон, 149: 61–90.
• Ehresmann, Ch., 1957 г. „Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable“, в Colloque de Topologie (Espaces Fibrés), Bruxelles 1950, Париж: Masson, стр. 29–55.
• Айнщайн, А., 1915. „Die Feldgleichungen der Gravitation“, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (1915), стр. 844–847.
• Айнщайн, А., 1916. „Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie“, Анален дер Физик, 49: 769–822.
• Евклиди, Елемента, И. Л. Хайберг (съст.), Лайпциг: БГ Тебнър, 5 тома, 1883–88. (За превод на английски вижте по-долу под Heath).
• Gauss, CF, 1828. Disquisitiones generales circa superficies curvas, Göttingen: Dieterich. (Превод на английски от A. Hiltebietel и J. Morehead: Hewlett, NY, Raven Press, 1965.)
• Hilbert, D., 1899. „Die Grundlagen der Geometrie“, в Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber Denkmals, Лайпциг: BG Teubner, стр. 3–92.
• Hilbert, D., 1968. Grundlagen der Geometrie, mit Supplementen von P. Bernays. Zehnte Auflage. Щутгарт: Teubner. (Десето, преработено издание на Hilbert 1899.)
• Klein, F., 1871. „Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie“, Mathematische Annalen, 4: 573–625.
• Klein, F., 1872. Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Erlangen: A. Duchert.
• Klein, F., 1873. „Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie (Zweiter Aufsatz)“, Mathematische Annalen, 6: 112–145.
• Klein, F., 1893. „Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen“, Mathematische Annalen, 43: 63–100. (Преработена версия на Klein 1872).
• Klein, F., 1911. „Über die geometrischen Grundlagen der Lorentz-Gruppe“, Physikalische Zeitschrift, 12: 17–27.
• Lie, S., 1888–1893. Theorie der Transformationsgruppen (3 тома), Unter Mitwirkung von F. Engel, Лайпциг: Teubner.
• Лобачевски, NI, 1837. „Géométrie imaginaire“, списание für die reine und angewandte Mathematik, 17: 295–320.
• Lobachevsky, NI, 1840. Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, Берлин: F. Fincke. (Превод на английски от GB Halsted отпечатан като допълнение към Bonola 1955 г.)
• Lobachevsky, NI, 1856. Pangéométrie ou précis de géométrie fondée sur une théorie générale et rigoureuse des parallèles, Казан: Университет.
• Locke, J., 1690. Есе относно хуманното разбиране (в четири книги), Лондон: Печатано за Томас Басет и продадено от Едуард Мори. (Публикувано анонимно; името на автора е добавено във второто издание).
• Minkowski, H., 1909. „Raum und Zeit“, Physikalische Zeitschrift, 10: 104–111.
• Pasch, M., 1882. Vorlesungen über neueren Geometrie, Лайпциг: Teubner.
• Poincaré, H., 1887. „Sur les hipothèses fondamentales de la géométrie“, Бюлетин на социалната математика на Франция, 15: 203–216.
• Poncelet, JV, 1822. Traité des propriétés projectives des figure, Paris: Bachelier.
• Ricci, G. и T. Levi-Cività, 1901. „Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications“, Mathematische Annalen, 54: 125–201.
• Riemann, B., 1854. „Über die Hypothesen, Welche der Geometrie zugrunde liegen“, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1867): 133–152. (За превод на английски вижте по-долу под Spivak.)
• Riemann, B., 1861. “Commentatio mathematica, qua respondere tentatur quaestioni ab illustrissima Acad. Parisiensi offersitae “, в Bernhard Riemanns gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass, Лайпциг: Teubner, 1876, стр. 391–404.
• Ръсел, Б., 1897. Есе за основите на геометрията, Кеймбридж: Cambridge University Press. (Непроменен препечат: Ню Йорк, Дувър, 1956 г.)
• Saccheri, G. 1733. Euclides ab omni nævo vindicatus sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima ipsa universæ geometriæ principia, Mediolani: Ex Typographia Pauli Antonii Montani. (Преиздаване, с превод на английски от GB Halsted: Ню Йорк, Челси, 1986.)

Вторична литература

• Акуня, Пабло, 2016. „Пространството на Минковски и инвариантността на Лоренц: Количката и конят или две страни на една монета?“, Изследвания по история и философия на науката (част Б: Изследвания по история и философия на съвременната физика), 55: 1–12.
• Blumenthal, LM, 1961. Съвременен поглед към геометрията, Сан Франциско: Фрийман.
• Boi, Luciano, 1995. Le problème mathématique de l'espace: Une quête de l'intelligible, Berlin: Springer.
• Bonola, R., 1955. Неевклидова геометрия: критично и историческо изследване на нейното развитие. Превод на английски език с допълнителни приложения от HS Carslaw. Ню Йорк: Дувър.
• Фройдентал, Х., 1957. „Zur Geschichte der Grundlagen der Geometrie“, Архив от Nieuw vor Wiskunde, 5: 105–142.
• Freudenthal, H., 1960. „Die Grundlagen der Geometrie um die Wende des 19. Jahrhunderts“, Mathematisch-physikalische Semesterbericht, 7: 2–25.
• Gallot, S., D. Hulin и J. Lafontaine, 2004. Риманова геометрия, Берлин: Спрингер, 3-то издание. (Актуален учебник с решения за упражнения с нечетни числа. Раздел е посветен на „псевдо” -Реманската геометрия, използвана в теорията на относителността.)
• Giedymin, J., 1982. Наука и конвенция: есета за философията на науката на Анри Поанкаре и традицията на конвенционалистите, Оксфорд: Пергамон.
• Greenberg, MJ, 2008. Евклидова и неевклидова геометрия: развитие и история, Ню Йорк: Фрийман, 4-то издание. (Отлично средство за самостоятелно обучение на ниво старши или колежа първокурсник.)
• Heath, TL, 1956. Тринадесетте книги на Евклидовите елементи, преведени от текста на Хайберг с увод и коментар, Ню Йорк: Дувър, 3 тома, 2-ро издание, преработено с допълнения.
• Magnani, L., 2001. Философия и геометрия: теоретични и исторически въпроси, Dordrecht: Kluwer.
• Nagel, E., 1939. „Формирането на съвременни концепции за формална логика в развитието на геометрията“, Озирис, 7: 142–224.
• O'Neill, B., 1983. Полу-риманска геометрия с приложения към относителността, Ню Йорк: Academic Press.
• Nomizu, K., 1956. Лични групи и диференциална геометрия, Токио: Математическото общество на Япония.
• Ронан, М., 2008. „Теория на лъжата“, в T. Gowers (съст.), Принстънската спътница към математиката, Принстън, Ню Джърси: Принстънски университет Прес, стр. 229–234.
• Rosenfeld, BA, 1988. История на неевклидовата геометрия: еволюция на концепцията за геометрично пространство, преведено от Abe Shenitzer, New York: Springer.
• Спивак, М., 1979. Изчерпателно въведение в диференциалната геометрия (5 тома), Беркли: Публикувай или загини, 2-ро издание. (Съдържа отличен превод на английски език с математически коментар на лекцията на Риман „За хипотезите, които лежат в основата на геометрията“; виж т. 2, с. 135 и сл.)
• Torretti, R., 1978. Философия на геометрията от Риман до Поанкаре, Дордрехт: Райдел. (Коригиран препечат: Dordrecht, Reidel, 1984).
• Trudeau, RJ, 1987. Неевклидовата революция, Бостън: Birkhäuser.
• Winnie, JW, 1986. „Инвариантите и обективността: теория с приложения към относителността и геометрията“, в RG Colodny (ed.), От Quarks to Quasars, Pittsburgh: Pittsburgh University Press, стр. 71–180.

Академични инструменти

	Как да цитирам този запис.
	Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
	Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
	Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси

[Моля, свържете се с автора с предложения.]