Епистемология на геометрията

2023 Автор: Noah Black | [email protected]. Последно модифициран: 2023-08-25 04:38

Навигация за влизане

• Съдържание за участие
• библиография
• Академични инструменти
• Friends PDF Preview
• Информация за автора и цитирането
• Върнете се в началото

Епистемология на геометрията

Публикувана за първи път от Mon Oct 14, 2013; съществена ревизия пн 31 юли 2017 г.

Геометричното познание обикновено се отнася до два вида неща: теоретични или абстрактни знания, съдържащи се в определенията, теоремите и доказателствата в система от геометрия; и известни познания за външния свят, като например това се изразява в термини, взети от система на геометрия. Трябва да се вземе предвид и естеството на връзката между абстрактната геометрия и нейното практическо изразяване.

Това есе разглежда различни теории за геометрия, техните основания за разбираемост, за валидност, както и за физически interpretability в периода до голяма степен преди появата на теориите на специалната и общата теория на относителността през 20 ^-ти век. Оказва се, че сложно взаимодействие между най-кратките и най-правите работи на много етапи.

Преди 19 ^-ти век само една геометрия е изучавана във всяка дълбочина или се смята, че е точно или правилно описание на физическото пространство и това е евклидовата геометрия. Самият 19 ^-ти век видя изобилие от нови геометрии, от които най-важни бяха проективната геометрия и неевклидната или хиперболичната геометрия. Проективната геометрия може да се мисли като задълбочаване на неметричните и формалните страни на евклидовата геометрия; неевклидова геометрия като предизвикателство към нейните метрични аспекти и последици. До годините на откриване на 20 ^-тавек са предложени разнообразие от Риманова диференциална геометрия, което придобива строг смисъл от неевклидова геометрия. Имаше и значителен напредък в областта на абстрактните геометрии, като тези, предложени от Дейвид Хилберт. От това следва, че термините "геометрия" и "физическо пространство" не разполагат с прости значения през 19 ^-ти век, както и промяна на концепции на тези условия не следват един прост модел на изисканост. Техните взаимоотношения имат и сложна история.

• 1. Епистемологични въпроси в геометрията на Евклид

• 2. Епистемологични въпроси в приложната геометрия

  2.1 Последствия от механиката

• 3. Проективна геометрия

  • 3.1 Координатни трансформации; Клеинова геометрия
  • 3.2 Хилберт и други по аксиоматична проективна геометрия
• 4. Неевклидова геометрия

• 5. Риманова геометрия

  • 5.1 Геодезия и връзки
  • 5.2 Риман и Белтрами и строга неевклидова геометрия

• 6. Разбираемостта на неевклидовата геометрия

  • 6.1 Философия на Хербарт
  • 6.2 Хелмхолц и Поанкаре
  • 6.3 Поанкаре срещу Ръсел
• 7. Заключителни бележки
• библиография
• Академични инструменти
• Други интернет ресурси
• Свързани записи

1. Епистемологични въпроси в геометрията на Евклид

Подробно изследване на геометрията, както го представи Евклид, разкрива редица проблеми. Струва си да се има предвид тези в някои подробности, защото епистемологично убедителни състоянието на елементи на Евклид е неоспорено от почти всички, докато по-късните десетилетия на 19 ^-ти век. Основни сред тези проблеми са липсата на яснота в дефинициите на права и равнина и объркване между най-краткото и най-правилното като или основното геометрично свойство. (Вижте многото коментари, събрани в изданието на Хийт на Евклидовите елементи.) Последиците от паралелния постулат ще се разглеждат отделно, вижте раздел за неевклидовата геометрия.

Първите четири книги на Евклидовите елементи са за прави линии и кръгове, но е добре известно, че понятието за права линия получава само най-незадоволително определение. Казват се, че една линия е "без ширина", а права е линия, "която лежи равномерно с точките върху себе си". Това може да помогне на убеждаването на читателите, че споделят общо схващане за правата линия, но няма полза, ако възникнат неочаквани трудности при създаването на теория - както ще видим.

За тези, които решиха да прочетат внимателно Елементите и да видят как се използват решаващите термини, стана ясно, че акаунтът е едновременно забележително скрупулен и в други недостатък. Правите линии възникват почти винаги като крайни сегменти, които могат да бъдат безкрайно разширени, но, както отбелязаха много коментатори, въпреки че Евклид заяви, че има сегмент, присъединяващ се към две точки, той не каза изрично, че този сегмент е уникален. Това е недостатък в доказателството на първата теорема за конгруденция (I.4), която казва, че ако два триъгълника имат две двойки страни равни и включеният ъгъл е равен, тогава останалите страни на триъгълниците са равни.

Теорема I.4 е интересна по друг начин. Теорема I.2 съдържа стриктно и в никакъв случай не очевидно доказателство, че даден отсечен ред в равнина може да бъде копиран точно с една от крайните му точки във всяка предписана точка в равнината. Теорема I.4 правилно изисква доказателство, че ъгъл може също да бъде копиран точно в произволна точка, но този Евклид не може да осигури на този етап (единият е даден в I.23, който обаче се основава на тези по-ранни резултати). Следователно той даде плешиво твърдение, че един триъгълник може да бъде копиран точно в произволна позиция, което прави въпроса защо са полагани подобни грижи на I.2. Всъщност цялата концепция за движение на фигурите трябваше да се превърне в продължителна тема на дискусия в арабско / ислямско време. (относно приспадането в Евклид, вж. Mueller 1981).

Вероятно четене на Елемента книга I е, че права линия може да се разбира като посока, така че във всяка посока има права линия и само една права в дадена точка в дадена посока. Тогава паралелният постулат казва, че линиите, които пресичат дадена линия под равни ъгли, сочат в една и съща посока и не се срещат. Но това трябва да се разглежда като интерпретация и такава, която изисква доста малко работа, за да бъде прецизна.

Въпреки това посоката е по-правдоподобен кандидат от дистанцията; Евклид не започна с идеята, че правата линия, свързваща две различни точки, е най-късата крива, която ги съединява. Съответната примитивна концепция в Елементите е тази за равенството на сегментите, като всички радиуси на даден кръг. Евклид заяви като общо понятие 4, че ако могат да се направят два сегмента, за да съвпаднат, тогава те са равни, и (в проблемния I.4) той използва обратното, че ако два сегмента са равни, тогава те могат да бъдат направени да съвпадат. Отсечките са такива, че или единият е по-малък от другия, или са равни, а в I.20 Евклид показа, че „във всеки триъгълник двете страни, взети заедно по какъвто и да е начин, са по-големи от останалите“. Този резултат стана известен като неравенство на триъгълника,и стига до дълъг път до доказване, че линеен сегмент, свързващ всякакви две отделни точки, е най-късата крива през тези точки. След въвеждането на паралелния постулат Евклид показа, че противоположните страни на паралелограм са равни и затова разстоянието между двойка успоредни линии е константа.

Но има още една слабост в Елементите, която също си струва да се отбележи, въпреки че тя привлече по-малко внимание и това е естеството на самолета. Самолетът има друга подстандартна дефиниция, очевидно моделирана върху тази на линията: „равнинна повърхност е повърхност, която лежи равномерно с правите линии върху себе си“(и, изненадващо, „повърхност е тази, която има само дължина и широчина. ). След това думата „равнина“не се споменава в първите четири книги, въпреки че те се занимават единствено с геометрията на равнината. Когато Евклид се обърна към твърда геометрия в Книга IX, той започна с три теореми, за да покаже последователно, че права линия не може да лежи отчасти в равнина, а отчасти не, че ако две прави линии се режат една на друга, те лежат в равнина и всеки триъгълник лежи в самолет и ако две равнини се срещнат, те го правят по линия. Въпреки това,може само да се каже, че твърди тези резултати и ги прави правдоподобни, тъй като той не може да използва своето определение за самолет, за да докаже някой от тях. Те обаче формират основата за следващите теореми: във всяка точка на равнината има перпендикуляр на равнина и всички линии, перпендикулярни на дадена права в дадена точка, образуват равнина.

Още веднъж I.4 е проблематично. Помислете, за целите на намаляване на абсурда, че човек има два триъгълника, (ABC) и (A'BC) от една и съща страна на общата им база (BC), и такъв, че (BA = BA ') и (CA = CA'). Целта е да се покаже, че следователно върховете (A) и (A ') съвпадат и за това трябва, както отбеляза Гаус (в непубликувани забележки, вж. Gauss Werke 8, 193), да използва факта, че триъгълници лежат в една и съща равнина. Необходима е добра дефиниция на равнина, която позволява да се докаже този резултат.

Нека да кажем, че чисто синтетична геометрия е тази, която се занимава с примитивни понятия като прави линии и равнини по нещо като горната мода. Тоест, тя счита за фундаментална праволинейността на правата линия и плоскостта на равнината и апелира към току-що описаните свойства на падане. Той е устойчив на идеята за отдалечаване като основна концепция или на идеята за замяна на изрази в геометрията с изявления за числа (да речем, като координати), въпреки че не е враждебно да се издига геометрията на координатите, издигната върху нея.

Нека да кажем и за настоящите цели, че метричната геометрия е тази, в която разстоянието е примитивно понятие, така че линейните сегменти могат да се твърдят, че имат еднаква дължина, конгруентните фигури имат съответните страни, равни по дължина, а геометричните преобразувания запазват дължини. Можем също да допуснем, че приликите са позволени: това са трансформации, които произвеждат мащабни копия на фигури. (Никаква теорема в елементите на Евклид не зависи от действителния размер на фигурата: всяка теорема, която се прилага за една фигура, се прилага за всички нейни копия на мащаба.)

Елементарната геометрия в съвременния Запад се движи по объркан начин към отдалечаване на основната примитивна концепция, като често поддържа евклидовия акцент върху правотата, като по този начин често заблуждава последиците от различните понятия. Забележителен пример за това е все пак продуктивен е аргументът на Джон Уолис в защита на паралелния постулат (изнесен като лекция през 1665 г. и публикуван в Wallis 1693). Както той осъзна, той се опираше на способността да прави произволни мащабни копия на триъгълник и това изглежда е първият път, когато еквивалентността беше призната между тези две системи:

1. Елементи на Евклид
2. Елементи на Евклид с отстранен паралелен постулат и добавено предположението, че съществуват произволни подобни фигури.

В Encylopédie Méthodique (1784: том 2, 132), д'Аламбер определя геометрията като наука, която ни учи да знаем степента, положението и здравината на телата. Нейните принципи се основават, продължи той, на толкова очевидни истини, че не е възможно да ги оспорваме. Линия (в смисъл на крива) е едномерна, а най-късата линия, свързваща две точки, е правата. Паралелните линии са линии, които, колкото и да са удължени, никога няма да се срещнат, защото навсякъде са на еднакво разстояние.

Джоузеф Фурие в дискусия с Монж също прие концепцията за дистанцията като основна, но той започна с триизмерното пространство. След това той последователно дефинира сферата, равнината (като точки, равнопоставени от две дадени точки) и линията (като точки, равнопоставени от три дадени точки). Това поне му даде определения за тези по-рано тревожни концепции (вж. Bonola 1912, 54).

Адриен-Мари Легендър беше математик, симпатичен на дидактическите цели на Елементите, но не и на първоначалните му формулировки. Той пише няколко различни версии на своя Éléments de géométrie (1794) с оглед възстановяване на евклидовата строгост в учението по геометрия, което според него е разяждано от текстове, например един от Clairaut (1741), които разчитат на представите за очевидност. Те се различават до голяма степен, както той трябваше да признае, в техните неуспешни опити за извеждане на паралелния постулат.

Във всички тези издания Легенда заема твърда метрична гледна точка. Встъпителното му определение на първото издание обяви, че „Геометрията е наука, която има за цел мярката на степента“. Обхватът, обясни той, има три измерения, дължина, ширина и височина; линия е дължина без широчина, нейните крайници се наричат точки и следователно точка няма степен. Правата линия е най-краткият път от една точка до друга; повърхностите имат дължина и широчина, но без височина или дълбочина; и равнина е повърхност, в която ако две произволни точки са съединени с права линия, тази линия лежи изцяло в повърхността.

Легендър след това се опитва да докаже теоремите на Елементите заедно с някои резултати, които Евклид е предпочел да предположи, като (първият резултат на Легендър): всеки два прави ъгъла са равни. Неговата теорема 3 доказа, че линията, свързваща две отделни точки, е уникална (нейното съществуване е мълчаливо се предполага, че е следствие от дефинирането на права линия). Познатите теореми за конгруенция следват във всяко издание, докато паралелният постулат вече не може да бъде игнориран. След като се увери съществуването на успоредни линии, Legendre показа, че те са на еднакво разстояние.

Всъщност опитите на Легендър да възстанови строгостта при обработката на елементарната геометрия не бяха по-добри от тези на Евклид и в някои отношения по-лоши, не само защото опитите му да докаже паралелния постулат неизбежно се провалят, а защото той контрабандира повече в сметката си, отколкото осъзнава, Но основното му значение за настоящите цели е, че дава пример за опит за заземяване на елементарна геометрия върху концепция за разстояние, или по-точно и по-точно, на идеята, че права линия е кривата на най-малкото разстояние между която и да е от точките. Самото разстояние не е определено.

В заключение: разумен възглед по онова време би бил, че метричната геометрия е необходима, за да приведе къщата си в ред, и вероятно не би могла да направи това, като присади концепцията за разстояние върху структура, изградена по Елеклид Елементи. Това е неудобно положение за традиционната геометрия и може би е отворило съзнанието на хората за възможностите за алтернативи. Със сигурност трябваше да бъдат произведени две. Една, проективна геометрия, усили и подобри синтетичната страна на геометрията. Другата, неевклидова геометрия, беше нова и предизвикателна метрична геометрия. Но преди да ги разгледаме, се обръщаме към съвременните философски дискусии за геометрията.

2. Епистемологични въпроси в приложната геометрия

Полезно е опростяването да се каже, че около 1800 г. възгледът е бил, че има едно физическо пространство (Вселената) и че това пространство е описано от геометрията в Елеклид Евклид, който е единственият кандидат за подобна задача. Споровете засягаха строгото представяне на тази геометрия и нейното прецизно приложение във физическия свят. Характерът на знанията, които геометрията предоставя, също беше въпрос на някаква дискусия.

Лок (вж. Вписването на Лок) взе от аристотеловата традиция идеята, че евклидовата геометрия и рационална теология са образци на научното познание, но се стреми да основава философията си на интуитивно, демонстративно и чувствително видове знания. Интуитивното знание е това, което се схваща веднага; демонстративното познание се възползва от междинните стъпки на доказателство, както в геометрията. И двете тези форми на познание са сигурни. Чувствителното познание не е сигурно: това е, което научаваме чрез сетивата си, то представя ефекти, но не и причини, в най-добрия случай е частично и може да е измамно. Но тъй като Лок е основал определени знания на знанието за същностите, които той смяташе завинаги скрити от нас, той беше принуден да защитава тази по-слаба форма на познание, както е подходящо за човешкото познание. Космосът може да се мисли като съставен от всички (действителни и възможни) позиции на обекти; чистото пространство е пространство с отстранени всички твърди тела и разстояние от примитивната концепция, която използваме за обсъждане на раздялата между телата.

В своето „Есе за човешкото разбиране“(1690 г.) Лок твърди това

Когато се притежаваме с най-голяма сигурност на демонстрацията, че трите ъгъла на триъгълник са равни на две правилни, какво повече, но възприемаме, че равенството на две правилни задължително се съгласява и е неделимо от три ъгъла на триъгълник? (Есе IV.i.2)

и по-късно това

… идеята за правоъгълен триъгълник задължително носи със себе си равенство на ъглите на два десни. Нито можем да си представим тази връзка, тази връзка на тези две идеи да бъде евентуално изменяема или да зависи от всяка произволна сила, кой от изборите я е направил по този начин, или би могъл да я направи по друг начин. (Есе IV.iii.29, стр. 559–560)

Чувствителните познания за съответните обекти обаче никога не биха могли да имат тази степен на сигурност и тъй като нашето знание произтича от познанието ни за обекти, изглежда, че научното познание за космоса е от различен вид от нашето познание по геометрия. Така за Лок евклидовата геометрия предоставя един вид знания, а опит и научен експеримент - друг. Всъщност може да се каже, че епистемологичната празнина остава и до днес във философията под формата на разграничение между емпиричното и априорното знание, което все още е широко признато.

Ситуацията с Хюм е по-сложна, но и спорно по-ясна, защото разликата е адресирана директно. В своя „Трактат за човешката природа“(1739–1740) той защитава сигурността на аритметиката и алгебрата, но я отказва от геометрията с мотива, че познанието ни за точки и линии е присъщо неточно. Истините на евклидовата геометрия не са истини за света, а за абстрактна система и биха останали верни, ако в света няма фигури, които да съответстват на техните евклидови еквиваленти. Трябва да се разбере теоремата за равнобедрен триъгълник, която утвърждава равенството на две страни на триъгълник с два еднакви ъгъла, предположи Хюм, като твърдението, че при дадените обстоятелства две страни на триъгълник са приблизително равни - и се тълкуват по този начин твърдението е сигурно (виж Badici 2011 и de Pierris 2012).

В метафизиката на Кант (виж неговата Критика на чистия разум (1781/1787) и въвеждането на възгледите на Кант за пространството и времето) ситуацията отново е по-сложна или сложна. Кант въвежда понятието априорно знание за разлика от астериори, а синтетичното знание за разлика от аналитичните знания, за да позволи съществуването на знание, което не разчита на опита (и по този начин е априорно), но не е с тавтологичен характер (и следователно синтетичен и не аналитичен). Аналитичните изявления са априори, спорният клас на априорните неаналитични твърдения съдържа тези, които не биха могли да бъдат по друг начин и така дават определени знания. Сред тях са изявленията на евклидовата геометрия; Кант приписва синтетичния априори статус на познанието за космоса. Той също приписва сигурност на евклидовата геометрия. Но, пише Кант,не философът е този, който знае, че сборът на ъглите на триъгълник е два прави ъгъла, той е математикът, защото математикът прави определена конструкция, която прави истинността на твърдението доказуема (вж. Критика, A 716, B 744).

Сред френските философи доминиращото положение през 1770-те години е било декартово, което, както е показано от „Élémens de géométrie“(1741) на Clairaut, може би е било прекалено наивно в настояването си за ясни и непосредствени идеи. Позицията на д'Аламбер в неговите статии в Encylopédie Méthodique (1784) беше по-сложна. Обектите на геометрията трябва да се разбират чрез абстрахиране на телата от всякакво качество, с изключение на това, че са проникващи, делими и фигурни разширения. Сред тези обекти са линии, които нямат широчина, и повърхности, които нямат дълбочина. Истините, установени за предметите на геометрията, са чисто абстрактни и хипотетични, защото няма такова нещо, например, като перфектен кръг. Демонстрираните свойства могат да притежават действителни кръгове само доколкото действителният обект се доближава до състоянието на перфектен кръг,

В известен смисъл те са граница и, ако човек може да се каже по този начин, асимптота на физическите истини, терминът за онези обекти, които се приближават толкова близо, колкото човек желае, без изобщо да се стигне до него точно. (виж Encylopédie Méthodique II, 132)

Ако обаче математическите теореми не са точно в природата, тези теореми служат с достатъчна точност на практика. За да бъдат демонстрирани с пълна строгост, те трябва да се разглеждат като държане на тела в състояние на абстрактно съвършенство, което всъщност не притежават.

Кривите, изучавани в геометрията, не са перфектно прави, нито перфектно извити, повърхностите не са идеално плоски, нито перфектно извити, но колкото повече са почти толкова, толкова повече се доближават до състоянието на притежаване на тези свойства, които човек доказва за линиите точно прави или извити и с повърхности, точно плоски или извити.

Тези рефлексии, продължи д'Аламберт, ще бъдат достатъчни, за да опровергаят скептиците, които се оплакват, че геометричните обекти всъщност не съществуват, и други, които не знаят математиката, които я смятат за безполезна и безсмислена игра.

Следователно изглежда, че философите не са намерили проблеми в Елеклид на Евклид, но Хюм, д'Аламберт и други с емпирично убеждение оспорват приложимостта на теоремите с мотива, че обектите на геометрията може да нямат съответните обекти в света, Философите, по-отворени към идеята за широк спектър от определени знания (като, например, Кант), биха могли да предоставят на геометричните теореми статуса на априорни истини, които не биха могли да бъдат други, отколкото са.

2.1 Последствия от механиката

Физическото пространство беше наивната, триизмерна версия на пространството на Евклидовите елементи и на декартовата координирана триизмерна геометрия и така Нютон го разглеждаше в своята Principia Mathematica (1687). Той е бил замислен като неутрална арена без собствени свойства, която е била просмукана от различни видове сили, които са създадени от и от своя страна повлияни от физически тела. Главна сред тях беше силата на гравитацията, която математиците в декартовата традиция считаха за мистериозна, дори неприемлива концепция, когато беше въведена, но която до началото на 19 ^-тивек беше показано от Лаплас, че е способен да се справи добре с всички известни движения на Слънчевата система. В резултат на това гравитацията се е превърнала в естествена, примитивна концепция, която вече не се нуждае от допълнително обяснение и след 1800 г. е разумно хората, които са работили върху новите теории за магнетизма и електричеството, да ги считат за сили и да ги моделират, където е подходящо, върху нютоновата гравитация.

Физическото пространство, както е описано от Нютон в неговото Принципие, трябва да се изучава, като се преминава от наблюдения на движещи се тела един спрямо друг и се присвоява от произволен часовник до съответното истинско движение в абсолютно пространство и време. Тъй като Нютон го каза в края на първия си Scholium, целта на неговия трактат беше да покаже

как да се определят истинските движения от техните причини, последици и очевидни различия и, обратно, как да се определят от движенията, верни или явни, техните причини и последици.

В Нютон очевидно нямаше никакво съмнение относно евклидовата природа на физическото пространство и наистина изглежда, че астрономите през 17 ^-ти век не са имали съмнения, че пространството е описано в термините, използвани в Елеклид Елементи. Вероятно е също така, че нарастващото признание на достойнствата на физиката на Нютон циментира убеждението, че пространството е триизмерно, хомогенно, изотропно и да се опише така, сякаш е безкрайна координатна решетка, като по този начин се илюстрират теоремите - ако не точно определения-на Елементите.

Сред геометричните аспекти на физическото пространство, които Нютон е установил, е изявлението на първия му закон:

Всяко тяло запазва в своето състояние да е в покой или да се движи равномерно право напред, освен доколкото е принудено да промени състоянието си със силите, впечатлени.

Резултатът е също така, че хомогенно сферично твърдо вещество оказва същият гравитационен ефект върху други тела, както при равна маса, концентрирана в центъра на тялото. Тоест, такива тела се държат по начин, който е доказано, а не просто приблизително същият като точковите маси. По този начин точките и линиите придобиват физическо значение в неговата теория за динамиката.

Именно Лаплас даде най-силния аргумент за това, че физическото пространство се подчинява на евклидовата геометрия. В своето Exposition du système du monde от 1796 г. (вж. Книга V, Ch. V, стр. 472) той добави интересна бележка (цитирана в Bonola 1912: 54), за да каже, че

Опитите на геометрите да докажат постулата на Евклид върху паралели досега са безрезултатни. Никой обаче не може да се усъмни в този постулат и теоремите, които Евклид извежда от него. По този начин понятието пространство включва специално свойство, очевидно, без което свойствата на паралелите не могат да бъдат установени строго. Идеята за ограничен регион, например, кръга, не съдържа нищо, което зависи от неговата абсолютна величина. Но ако си представим радиусът му да намалее, ние сме приведени без провал до умалението в същото съотношение на неговата обиколка и страните на всички надписани фигури. Тази пропорционалност ми се струва по-естествен постулат от този на Евклид и заслужава да се отбележи, че е открита отново в резултатите от теорията на универсалната гравитация.

Това е поразително подобно на възгледа на Уолис доста повече от век преди, въпреки че Лаплас не споменава Уолис и може би не е знаел за дискусията си относно паралелния постулат.

Следователно около 1800 г. общо взето е вярно, че проблемите с твърденията за истината на евклидовата геометрия са били разположени сред общите проблеми за познанието ни за външния свят. Увереността във философските и научните среди във валидността на евклидовата геометрия сама по себе си беше висока.

3. Проективна геометрия

По мнението на мнозина през 19 ^-ти век, евклидовата геометрия загуби своя основен статут на геометрия, която се считаше за по-обща: проективна геометрия. (За въведение в геометрията през 19 ^-тавек, виж сиво 2011 г. Проективната геометрия е описана във вписването „Геометрия на деветнадесети век“, вижте също есетата на различни автори в „Биосмат-Мартагон 2011.“. засяга концепцията за кръстосано съотношение и трябва да следваме ходовете за създаване на проективна геометрия като независим предмет, да определим кръстосано съотношение в тази обстановка и да разрешим повдигнатите епистемологични проблеми (постижение, свързано с програмата на Ерланген на Клайн)). Ще видим също, че растежът на прожекционната геометрия създава арената за аксиоматизация на геометрията на Хилберт.

Самолетната проективна геометрия взе особен тласък от книгата на Жан Виктор Понселет от 1822 г. Traité des propriétés projectives des figure, където той показа силата на проективните методи при провокативното формулиране на неметричната геометрия. Основният характер на новата геометрия се състои в начина, по който може да се мисли, че улавя най-простите свойства на правата линия - две отделни точки определят уникална линия, две отделни линии се срещат най-много в една точка, докато изхвърля метричните концепции на разстояние и ъгъл.

Твърденията на Понселет за преобразуване на равнината, която съпоставя линиите към линии, са пренаписани от Chasles (1837) по по-строг начин, който подчертава инвариантността на кръстосаното съотношение. Кръстосаното съотношение на четири точки (A), (B), (C), (D) на линия се определя като (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB), и ако точките са картографирани съответно на (A '), (B'), (C '), (D'), тогава

[AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = A'B '{.} C'D' / mathbin {/} A'D '{.} C'B'.)

Това обаче остави обекта в неудобно положение да изглежда по-общо от евклидовата геометрия, защото евклидовите, метричните трансформации са проекционни преобразувания, но не и обратното, докато все още изглежда да разчитат на метрична концепция при определянето на своя основен инвариант.

Този въпрос беше решен през 1840-те и 1850-те години от Георг Карл Кристиян фон Щадт. Двете му книги (1847, 1856–1860) се опитват да дадат основи на проективната геометрия, което я прави самостоятелен предмет, независим от геометрията на Евклид. Те бяха трудни за четене и несъвършени по много начини, но задачата за създаване на строга теория можеше да се разглежда за първи път като въпрос на изпълнение на вече започнала задача. Фон Стауд твърди, че преобразуванията на геометрията на проекцията на равнината могат да съпоставят всяка тройка от колинеарни точки към всяка друга и всяка четворна точка (нито една от тях не е колинеарна) към която и да е друга, но не и четворна от колинеарните точки към която и да е друга. След това направи подробно проучване на колинеарните четворки. Той направи и кратки бележки за това как евклидовата геометрия може да бъде получена от проективната геометрия,и от тях може да се види, че теорията му за колинеарни четворки се свежда до познатата теория на кръстосаното съотношение, веднага щом концепцията за дистанцията на Евклид се добави към проективната геометрия. Това разбиране е ясно и ясно от Клайн в редица документи в началото на 1870-те. Първият читаем учебник по проективна геометрия и този, който му е дал името, е Elementi di geometria projettiva на Кремона от 1873 г., а след това темата бързо се издига, за да се превърне в основна класическа геометрия.и този, който го е кръстил, е Elementi di geometria projettiva на Кремона от 1873 г. и след това темата бързо се издига, за да се превърне в основна класическа геометрия.и този, който го е кръстил, е Elementi di geometria projettiva на Кремона от 1873 г. и след това темата бързо се издига, за да се превърне в основна класическа геометрия.

Основните му понятия бяха точките, линиите и равнините на пространство, което беше (mathbb {R} ^ 3) обогатено с това, което често се нарича равнина в безкрайност, така че да се срещат всякакви две копланарни линии. Преди axiomatisations на теорията в края на 19-те ^-ти век, точка, линия и равнина са неопределени понятия, с интуитивен интерпретация, която позволява за готов проход между проективна и евклидовата геометрия. Разрешените преобразувания на геометричната карта сочат точки, линии към линии и равнини към равнини и запазват напречното съотношение. Те действат транзитивно върху пространството, така че нито една точка, права или равнина не е специална и следователно линиите, които са успоредни във всяка крайна част от пространството, не могат да бъдат преобразувани в пресичащи се линии и обратно.

В своята синтетична форма успехите на прожекционната геометрия бяха до голяма степен ограничени до опростяването, което доведе до изучаването на коники - всички неразрождени коници (кръгът, елипсата, параболата и хиперболата) са проективно еквивалентни. В своята алгебраична форма проективната геометрия се оказа почти съществена при изучаването на равнинни алгебраични криви от всякаква степен и, разширена до проективните пространства с по-големи размери, за изучаването на алгебраични повърхности. Всичко това допринесе за централното значение, което се придава на неметрична геометрия, основаваща се на малко повече от концепцията за правата линия и на свойствата на падане на линии и равнини.

Проективната геометрия също притежаваше една стряскаща характеристика, наречена двойственост и считана от Кремона като закон на логиката. В равнинната проективна геометрия е възможно да се разменят термините „точка“и „линия“, „съвпадение“и „едновременно“и по този начин да се обменят валидни изявления. В резултат на това всички определения, теореми и доказателства в проективната геометрия имат двоен характер. Двойствеността на твърдението на теоремата на Дезарг и нейното доказателство например е обратното на теоремата и нейното доказателство. В три измерения термините „точка“и „равнина“могат да се заменят по един и същи начин, а линиите се разменят с други линии. Това повдига интригуващ епистемологичен въпрос: лесно е да се представи пространството като съставено от точки, но е невъзможно да се разглежда интуитивно като съставено от линии. Да влошиш нещата,пространството е триизмерно, когато се разглежда като съставено от точки, но четиримерно, когато е съставено от линии.

3.1 Координатни трансформации; Клеинова геометрия

Ерлангенската програма на Клайн и това, което стана известно като клейнианският изглед на геометрията, е описано в записа „Геометрия на деветнадесети век“. Стана основен източник на възгледа, че геометрията може да бъде определена като група, действаща върху дадено пространство, а геометричното свойство е всяко свойство, инвариантно при всички трансформации на съответната група.

Клайн подкрепя това мнение в памфлет, публикуван, когато става професор в Университета в Ерланген през 1872 г., и други публикации в списания през 1870 г., за да се обедини геометрията. Той представи начин да покаже, че метричните геометрии, като евклидова и неевклидова геометрия, както и други геометрии, като инверсивна геометрия и бирационална геометрия, могат да се разглеждат като специални случаи на проективна геометрия (както може да бъде афинирана геометрията, която той не направи знам за през 1872 г.).

Основната геометрия беше истинска проективна геометрия, да речем в две измерения. В тази геометрия пространството е реално проективно пространство, а групата е групата на всички проекционни трансформации. Тази група картографира точки, линии към линии, криви на степен (n) към криви на степен (n) и, което е важно, кръстосаното съотношение на четири колинеарни точки се оставя непроменено от всяко проективно преобразуване. В гледна точка на Клайниан това установява, че точки, линии, криви на степен (n) и напречното съотношение на четири колинеарни точки са свойства на геометрията.

Проективната геометрия включваше другите геометрии по различни начини. Клайн посочи, че човек може да се стреми да добави към списъка с конфигурации, в този случай групата, която ги поддържа инвариантни, обикновено ще бъде по-малка от основната група, или може да се стреми да разшири групата, в този случай класът на инвариантните конфигурации ще като цяло се свиват. Клайн едва наскоро успя да покаже, че неевклидовата геометрия възниква като подгеометрия, като обръща внимание на вътрешността на коник в проективно пространство и на подгрупата, която картографира вътрешността на този коник към себе си (виж Klein 1871, 1873), Епистемологичният характер на програмата на Ерланген на Клайн става по-ясен, когато се разгледа как е разрешен добре познатото заяждащо съмнение относно дефиницията на кръстосаното съотношение в проективната геометрия. Отговорът на Клайн протече по аналогия с дължини в евклидовата или неевклидова геометрия. В тези геометрии съответната група запазва прави линии и всяка точка може да бъде картографирана към която и да е друга точка, но няма преобразуване в групата, която да преобразува линеен сегмент в правилен подсегмент от самия себе си. Всеки произволен, но фиксиран линеен ред може следователно да бъде взет като единица дължина и да се използва за измерване на линейни сегменти, като се конструират произволни кратни и подмножества от него и се подреждат като един линий. Сега за измерване на дължината на сегмент (AB),човек просто поставя точката (A) в единия край на владетеля и вижда къде точката (B) пада върху владетеля.

Прозрението на Клайн, след фон Стауд, беше, че точно подобен аргумент, включващ четворки от колинеарни точки, може да бъде използван за определяне на кръстосано съотношение в проективната геометрия. Проективната група запазва прави линии и всяка подредена тройка от колинеарни точки може да бъде картографирана към всяка подредена тройка от колинеарни точки, а картата, която изпраща дадена подредена тройка от отличителни точки към друга подредена тройка от различни точки, е уникална, но има няма трансформация в групата, която може да картографира четворка от четири колинеарни точки върху произволна такава четворка. Всяка произволна, но фиксирана колинейна четворка може да се приеме като единица с "размер" и сложният, но не труден аргумент позволява да се произведат произволни кратни и подмножества от нея, които могат да бъдат използвани за измерване на кръстосани съотношения, като се подредят като едно би ли владетел. Вместо да давате подробности, по-добре е да дадете тази внушителна илюстрация за това, което може да се направи. Нека напречното съотношение на четирите колинеарни точки (P), (Q), (R), (S) се измерва чрез картографиране на точките върху точките (A), (B), (C), (D) на реалната линия, където (A) е в началото, (C) при (infty) и (D) при 1, така че позицията на (B) определя кръстосаното съотношение. Това е еднозначно определено и ако дължината на (AB) е (x), намираме, че (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).така че положението на (B) определя кръстосаното съотношение. Това е еднозначно определено и ако дължината на (AB) е (x), намираме, че (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).така че положението на (B) определя кръстосаното съотношение. Това е еднозначно определено и ако дължината на (AB) е (x), намираме, че (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).

На езика на времето дължината е двуточков инвариант на евклидовата или неевклидова група, а кръстосаното съотношение е четириточков инвариант на проективната група.

3.2 Хилберт и други по аксиоматична проективна геометрия

Проблеми с някои технически проблеми в проективна геометрия, както и повишаването на стандартите на строгост в края на 19 ^-ти век, провокирани опити да axiomatise темата. Задачата се поема най-енергично от Pieri, Peano, както и редица други италиански geometers през втората половина на 19-те ^-ти век, и те успяха да даде строга сметка за реална и сложна проективната геометрия в две и три измерения (виж Маркисото и Смит 2007). Но в същото време те успяха да сведат темата до строго обучение за учители по геометрия и не оцениха пътя, които бяха открили. На Дейвид Хилберт беше оставено да съживи аксиоматичния подход към геометрията (виж Hallett and Majer 2004).

Хилберт беше запознат с редица спорове относно елементарната проективна геометрия, които се отнасяха до това какво води до това, какви настройки предполагат какви други резултати. Най-забележимата касаеше теоремата на Дезарг. В триизмерната проективна геометрия теоремата на Десарг е следствие само от аксиомите на инцидента, но е теорема за точки и линии в проективна равнина (и така в двуизмерната геометрия), но все още никой не е могъл да я изведе от аксиомите на инцидентността на двуизмерната проективна геометрия. Беше подозирано, че не може да се разбере само от тези аксиоми и Джузепе Пеано беше в състояние да покаже, че наистина не може да бъде изведен без някои допълнителни предположения. Независимо,Хилберт също даде пример за геометрия, отговаряща на всички аксиоми на инцидентността на двуизмерната проективна геометрия, но в която теоремата на Десарг е невярна. По-късно е заменен от по-простия пример, открит от американския математик и астроном Ф. Р. Моултън във всички по-късни издания на „Грюндлаген дер Геометрий“на Хилберт (1899 г.).

В аксиоматичните геометрии, които Хилберт изложи, основните обекти (точки, линии, равнини) не са дефинирани. Вместо това Хилберт уточни как могат да бъдат използвани и какво може да се каже за тях. Той представи пет семейства аксиоми, подредени според концепциите, които те използват или кодифицират. След това той създава разнообразие от геометрии, подчинявайки се на различни системи от аксиоми, и установява съгласуваността им, като им дава координати над подходящи пръстени и полета - често неговите геометрии допускат много тълкувания или модели. Това даде на тези геометрии цялата последователност на аритметиката и доведе до интереса на Хилберт към опитите за заземяване на аритметиката в някаква форма на теория на множеството и логика.

Подходът на Хилберт процъфтява, защото той беше разбрал, че има математика на аксиомите, изследване на различни, но взаимосвързани схеми на аксиоми и тяхното значение. Поанкаре в рецензията си (1902 г.) на книгата на Хилберт прие новите геометрии като валидни, но изрази съжаление, че те, както той каза, са непълни, защото им липсва психологически компонент. По този начин той имал предвид, че те не могат да бъдат настанени в обяснението му за това, как имаме някои познания за геометрията на физическото пространство, защото те не могат да бъдат придобити вътрешно.

4. Неевклидова геометрия

Разследванията на паралелния постулат започват в гръцко време, продължават в ислямския свят и са предприети в ранния модерен Запад. Но поради причини, които все още са неясни, след около 1800 г. за хората стана по-лесно да си представят, че Елеклид на Евклид може да не е единствената възможна система на метрична геометрия. Сред факторите, които могат да помогнат да се обясни как немислимото става изтъняващо дори извън общността на математиците, е натрупването на теореми, основани на предположения, различни от паралелния постулат. Изглежда, че създаването на нови, последователни последици от такова радикално предположение и неуспехът да се намери противоречие, наклониха някои хора да помислят, че наистина може да има цяла геометрия, различна от тази на Евклид.

Сигналният пример за тази промяна е професорът по право Ф. К. Швейкарт, който през 1818 г. изпраща Гаус чрез Герлинг, негов негов колега в Марбургския университет, сметка за геометрия, доста различна от тази на Евклид. Геометрията на Швейкарт беше приета от Гаус, който отговори, че всички свойства на новата геометрия могат да бъдат получени, след като се даде стойност за константа, която се появи в сметката на Швейкарт. Но какво е приел Гаус и на какво основание е по-малко ясно. Гаус вече беше с грешка в няколко защити на Евклидовите Елементи и с напредването на годините той беше напълно уверен, че има нова, двуизмерна геометрия, различна от равнината на Евклидова геометрия. Тази геометрия може да бъде описана с формули, които той би видял, че са сходни с тези на сферичната геометрия. Но той не описа триизмерна геометрия от този вид, оставяйки отворена възможността двуизмерната геометрия да е някаква формална, безсмислена странност. От друга страна, в кореспонденция с Бесел той даде да се разбере, че той не може да приписва на евклидовата геометрия сигурността, която той дава на аритметика, което е априори, и той и Бесел държат отворена възможността астрономическите райони на Космоса да не успеят бъде Евклидов.

Следователно заслугата за първите напълно математически описания на космоса в други термини, различни от тези на Евклид, трябва да отиде независимо от Янос Болай в Унгария и Николай Иванович Лобачевски в Русия. Боляй в „Appendix scientiam spatii абсолютни експонати на верам“(1832), а Лобачевски в „Neue Anfangsgrunde der Geometrie“(1835) и отново в своя Geometrische Untersuchungen (1840) заменя паралелния постулат с предположението, че дава ред и точка не на тази права, има много линии през точката, които лежат в равнината, дефинирана от дадената точка и дадената права и които не отговарят на дадената права. От тях, както показаха тогава, една линия във всяка посока е асимптотична към дадената линия и тези асимптотични линии разделят семейството на всички останали линии в дадената равнина и през дадената точка на две семейства:тези, които отговарят на дадената линия, и тези, които не. След това последва много работа, известна по подобие във всеки отделен случай, по-специално за да се покаже, че в триизмерното пространство, описано от техните предположения, има повърхност, върху която се държи евклидовата геометрия, и да се изведе съществуването на тригонометрични формули, описващи триъгълници в равнината. Тези формули наподобяват съответните формули за триъгълници на сферата.

Всичко това убеди и Боляй, и Лобачевски, че новата геометрия може да бъде описание на физическото пространство и оттук нататък е емпирична задача да реши дали евклидовата геометрия или неевклидовата геометрия е вярна. Лобачевски дори се опита да определи въпроса с астрономически средства, но резултатите му бяха крайно неубедителни.

Разбира се, вярно е, че никой от последователните изводи в новата геометрия не изключва възможността да съществува противоречие, но интригуващото отношение на новата геометрия към сферичната геометрия и наличието на тригонометрични формули за триъгълници силно се предполага че новата геометрия е била поне последователна. Онези, които го приеха, а те бяха много малко преди 1860-те, въпреки това може би са посрещнали по-добра сметка от тази, която Болай и Лобачевски предоставят. Но преди да се обърнем към това, което включва, струва си да спрем да оценим формулите, защото много геометри трябваше да ги намерят убедителни доказателства за валидността на новата геометрия дори след преформулирането на Риман и Белтрами (например Енрике в главното си есе (1907) на принципите на геометрията).

Не само, че има формули, но и те намекват за алтернативна формула на геометрията, такава, в която геометрията, описана в Елементи на Евклид, може да се окаже, но е специален случай. Ако би могъл да има друг начин за определяне на геометрията, такъв, който да доведе до тези формули в различни случаи, начинът ще бъде отворен за преосмисляне на всички въпроси за геометрията, които критическото изследване беше отворено. Лицето, което е най-подходящо да направи това през 1830-те и 1840-те, е Гаус. Той знаеше много добре какво са направили Болай и Лобачевски, а диференциалната му геометрия му даваше средства да продължи, но, любопитно, той не го направи. В началото на 40-те години той пише някои бележки, които показват, че той може да свърже новата двуизмерна геометрия с геометрия върху повърхност с постоянна отрицателна кривина, но с това наблюдение не направи нищо.

От друга страна, самото съществуване на формули не би било достатъчно, за да ги направи геометрични по характер. Това трябва да им даде геометрично заземяване беше признато от Лобачевски в най-ранните му публикации, но тъй като бяха на руски език, те не бяха четени извън Русия (нито бяха оценени от руските математици). Той отхвърли своите съображения от този вид в памфлета си от 1840 г., от който голяма част от репутацията му зависи до ден днешен, но ги върна в последното си представяне - Pangéométrie (1856), което обаче не се справи по-добре от по-ранните версии, Лобачевски твърди първо, че геометрията е наука за телата в космоса и че пространството е триизмерно. Най-примитивната концепция беше тази за контакт и нейната противоположност, разрез, разделящ две тела. Две тела, които не са в контакт, са разделени и подходящо трето тяло в контакт с двете измерва разстоянието между тях, концепция, която иначе не беше определена. Следователно той би могъл да определи сфера с нейния център в дадена точка като събиране на всички точки, на еднакво разстояние от дадена точка. След това той показа как да дефинираме равнина, като улавя интуицията, която дава две отделни точки равнина, е събирането на точки в пространството, които са на едно и също разстояние от всяка от двете дадени точки. Според него, предвид две точки равнина е съвкупността от точки, общи за две сфери с равен радиус,едната е съсредоточена върху едната от точките, а другата - върху другата. Линия може да бъде определена по подобен начин.

С интуицията, че разстоянието е примитивното понятие, идва по-голямо оценяване на движението или поне резултатите от възможността да се движат обекти наоколо, без да ги променят. Човек може да си представи транспортиране на твърдо тяло наоколо, да кажем куб със страни с дължина на единица, и да използва една от страните му, за да маркира дължини. -Късно ще видим, че възможностите, заложени в този процес, породени пиле или яйцето дебат между Бертран Ръсел и Анри Поанкаре в края на 19 ^-ти век.

Новата геометрия представляваше радикално предизвикателство пред евклидовата геометрия, тъй като отричаше традиционната геометрия от най-доброто си твърдение за сигурност, с остроумие, че това е единствената логическа система за обсъждане на геометрията изобщо. Той също така използва напрежението, известно на експертите, между концепциите за най-правилно и кратко. Но по други начини това беше конвенционално. Не предлагаше нови дефиниции на познати понятия като правота или разстояние, тя се съгласи с евклидовата геометрия над ъгли, просто предлагаше различна интуиция за паралелни линии, базирана на различна интуиция за дистанционното поведение на прави линии. Привържениците му не предложиха скептично заключение. Боляй и Лобачевски не казаха: „Вижте, има две логични, но несъвместими геометрии, така че никога не можем да знаем какво е истина.“Вместо,те изразяваха надеждата, че експериментите и наблюденията ще решат Епистемологичната цена, която хората би трябвало да платят, ако астрономическите наблюдения се спуснаха в полза на новата геометрия, в известен смисъл биха били незначителни: би било необходимо да се каже, че правите линии имат в крайна сметка неочаквано свойство, но само едно откриваем на дълги разстояния или със забележителни микроскопи. За да бъдем сигурни, много от теоремите на евклидовата геометрия ще трябва да бъдат преработени и техните познати евклидови колеги ще изглеждат само като много добри приближения. Но това до голяма степен е сравнимо със ситуацията, в която Нютоновата механика се оказа след появата на специална относителност.в известен смисъл, те са леки: би трябвало да се каже, че правите линии имат неочаквано свойство в края на краищата, но един за откриване само на големи разстояния или със забележителни микроскопи. За да бъдем сигурни, много от теоремите на евклидовата геометрия ще трябва да бъдат преработени и техните познати евклидови колеги ще изглеждат само като много добри приближения. Но това до голяма степен е сравнимо със ситуацията, в която Нютоновата механика се оказа след появата на специална относителност.в известен смисъл, те са леки: би трябвало да се каже, че правите линии имат неочаквано свойство в края на краищата, но един за откриване само на големи разстояния или със забележителни микроскопи. За да бъдем сигурни, много от теоремите на евклидовата геометрия ще трябва да бъдат преработени и техните познати евклидови колеги ще изглеждат само като много добри приближения. Но това до голяма степен е сравнимо със ситуацията, в която Нютоновата механика се оказа след появата на специална относителност.и познатите им евклидови колеги биха изглеждали само като много добри приближения. Но това до голяма степен е сравнимо със ситуацията, в която Нютоновата механика се оказа след появата на специална относителност.и познатите им евклидови колеги биха изглеждали само като много добри приближения. Но това до голяма степен е сравнимо със ситуацията, в която Нютоновата механика се оказа след появата на специална относителност.

5. Риманова геометрия

Много по-значителната промяна дойде с идването на голямото разширяване на Бернхард Риман на гауссова диференциална геометрия. Много от гносеологичните въпроси вече са повдигнати с работата на Гаус (1828 г.), така че първо се обръщаме към него.

Гаус се замисли дълбоко за това какво е да се определи повърхността и той откри, че са възможни три дефиниции за последователна общност. Може да се предположи, че поне локално повърхността може да бъде дадена във формата, (z = f (x, y)) за някаква функция (f) от (x) и (y). Това важи за регионите от сферата, но не и за всички от тях наведнъж. По-общо може да се предположи, че повърхността е съставена от онези точки ((x, y, z)), които отговарят на уравнение на формата (f (x, y, z) = 0), като сфера е. Още по-общо, каза Гаус, може да се окаже, че повърхността е дадена локално от три функции, всяка от две променливи (u) и (v). Тези две променливи трябва да се разглеждат като координати на точки в една равнина и функциите (x (u, v), y (u, v)) и (z (u, v)) заедно дайте координатите на точките на повърхността в пространството. В тази настройкавсяка точка на парче от повърхността има (u) и (v) координати в равнината. Разстоянието между две точки на повърхността, съответстващо на ((u, v)) и ((u + du, v + dv)) в равнината, се дава чрез версия на теоремата на Питагора чрез формула на форма

) tag {*} ds ^ 2 = E (u, v) du ^ 2 + 2F (u, v) dudv + G (u, v) dv ^ 2)

където (E, F) и (G) се определят от функциите (x, y), и (z) и удовлетворяват (EG - F ^ 2 / gt 0).

Гаус успя да определи мярка на кривината на повърхността в дадена точка и той намери нещо забележително в нея: мярката на кривината зависи само от (E, F) и (G) и техните производни с по отношение на (u) и (v), но не и върху функциите (x (u, v), y (u, v)) и (z (u, v)) директно. Прецизният израз е дълъг и сложен, но последицата е, както Гаус посочи, че неговата мярка за кривината на повърхността в дадена точка е присъща: тя се определя изцяло от измервания в повърхността и не включва въпрос за трето измерение под прав ъгъл спрямо повърхността. Като се има предвид показател, формула (*) за разстояние, кривината може да бъде намерена. Ако например формулата за разстояние е тази за карта на сферата в равнината,кривината ще бъде реципрочна на квадрата на радиуса на сферата.

Гаус също изследва, когато една повърхност може да бъде нанесена на друга по такъв начин, че разстоянията да не се променят: ако две точки (P) и (Q) на едната повърхност са разстояние (d) една от друга, тогава така са и техните изображения на другата повърхност. Гаус успя да покаже, че необходимо условие това да се случи е кривините в съответните точки да са еднакви. Например цилиндърът и равнината са локално изометрични; макар и извит, цилиндърът има нулева кривина в смисъл на Гаус, точно както и самолета, поради което е възможен печат от въртящ се барабан.

Това означава, че има геометрични свойства, които може да се заключи от карта на повърхността, която не зависи от детайлите на картата и се отнася до самата повърхност. Известна е неговата гаусска кривина във всяка точка и има и други свойства, които може да се заключи от познаването на (ds ^ 2), например, кривата с най-малка дължина между две точки (при определени условия).

Не беше веднага оценено, че подходът на Гаус позволява на математиците да определят повърхностите като области на равнината с конкретна метрика, която не трябва да бъде получена от повърхности в 3-мерното пространство на Евклид. Разбира се, ако човек дефинира повърхност като изображение на карта от парче от (mathbb {R} ^ 2) до (mathbb {R} ^ 3), тогава разбира се, че е в (mathbb {R} ^ 3). Но ако човек дефинира повърхност като област от (mathbb {R} ^ 2) с определен метрик, тогава може да няма повърхност в (mathbb {R} ^ 3), на която тя съответства. Първият човек, който оцени това, изглежда е Риман, който също разшири тази идея до произволен брой измерения.

Идеите на Риман бяха едновременно дълбоки и наивни и поради тази причина се оказаха трудни за прецизиране, но можем да се задоволим с това, че сме наивни. Предполагаше, че му е предоставено пространство (нарече го „многообразие“), в което човек може във всеки момент да наложи координатна система поне на всички точки, близки до произволна начална точка, и ако, когато го прави, всяка точка е свързан с началната точка чрез списък на (n) числа, той каза, че пространството е (n) - размерно. Можем да мислим за този процес като предоставяне на карта на поне тази част от пространството в близост до началната точка върху (mathbb {R} ^ n). Засега това се различава от повърхностния случай само по това, че две измерения са заменени с (n).

Тогава той предположи, че има начин да каже какво е разстоянието безкрайно, като обобщи формулата за (ds ^ 2) от 2 до (n) променливи. (Той дори позволи да се използват изцяло различни формули, но няма да описваме онази част от неговата теория, която лежи в продължение на много години).

По-нататък той провери дали това присъщо свойство на кривината се запазва в по-високи измерения, което прави. Това е по същество, защото (n) - мерният обект има много двумерни повърхности, към които се прилага теорията на Гаус, така че понятието за кривина на (n) - размерния обект в дадена точка може да бъде извлечено от a разглеждане на двумерните повърхности, които преминават през точката.

Сега той попита, какво повече искаме да можем да правим геометрия? Има свойства на пространството, които са независими от координатната система. Ако две различни координатни системи дават различни координати, но го правят по такъв начин, че разстоянието между точките да се запази, тогава всяка от системите ни позволява да правим геометрия, а когато установим, че двете координатни системи са съгласни по кривините във всяка точка, на разстоянията между точките и т.н.

Тъй като формулата за (ds ^ 2) е записана при спазване на само няколко ограничения, няма причина да се смята, че риманова геометрия е дефинирана по отношение на предшестващата евклидова геометрия. Няма твърдение, че (n) - размерна риманова геометрия трябва да бъде получена чрез карта от (n) - размерно подмножество на някакво евклидово (N) - мерно евклидово пространство. Това означава, че геометрията може да бъде направена без позоваване на която и да евклидова геометрия: Евклидовата геометрия вече не е гносеологично преди всяко изследване на други геометрии. Управлението на Евклид беше теоретично приключило.

5.1 Геодезия и връзки

Като се има предвид концепция за разстояние на многообразието, може да се говори за геодезика - геодезиката, обединяваща две точки, е крива с най-малка дължина между тези две точки. Въпросите за съществуването и уникалността могат да се повдигат и често да се отговаря. Значителен напредък е направен независимо от Тулио Леви-Чивита през 1917 г. и Херман Вейл през 1918 г., вдъхновен от теорията на Айнщайн за обща относителност, когато те показват как да дефинират паралелизма на извит многообразие (за приноса на Леви-Чивита, виж Bottazzini 1999 и на Приносът на Вейл виж Scholz 2001). Грубо казано, във представянето на Вейл (1918), два вектора в различни точки са успоредни, ако принадлежат към семейство вектори по крива, които не варират по кривата. Ефект на кривината е, че това определение не зависи от фамилията вектори, но зависи от кривата, освен ако кривината е нула; векторите на типичен колектор могат да се твърдят, че са успоредни само по крива.

Концепцията за далечен паралелизъм позволява да се движи вектор по произволна крива по начин, който го поддържа успореден на себе си във всяка точка. Това се посочва като начин за установяване на връзка между различни точки, а теорията се нарича теория на връзките върху многообразията. По-специално е възможно да се попита дали семейството на допирателните вектори към кривата е съставено от вектори, успоредни на допиращия вектор в началната точка. Ако е така, кривата е естествен кандидат, който трябва да се счита за най-правта крива между нейните крайни точки, тъй като допиращият вектор никога не се ускорява по кривата.

Връзките могат да бъдат дефинирани независимо от показателя, но ако метриката и връзката са съвместими, може да се покаже, че всяко малко парче от тази крива е най-късата крива, свързваща нейните крайни точки, така че най-правите криви на колектора са геодезиците. В съвременната диференциална геометрия геодезиката се определя чрез връзки.

5.2 Риман и Белтрами и строга неевклидова геометрия

„Ueber die Hypothesen“на Риман (даден като лекция през 1854 г., публикувана посмъртно през 1867 г.) и „Saggio“(1868 г.) на Beltrami даде различни, но еквивалентни сведения за двуизмерна неевклидова геометрия, описвайки я като геометрията на вътрешността на диск с роман метрика. Сметката на Риман, която беше посочена в (n) измерения, е съгласна с тази, която Поанкаре е трябвало да използва в много кратки публикации през 1880 и 1881 г., но описва само изрично в своята основна статия (Poincaré 1882). В тази метрика геодезиците са дъги на окръжности, перпендикулярни на границата на диска и ъглите са представени правилно. Във версията на Beltrami геодезиката е представена от права сегменти, които са акорди на диска. Дисковете Риман и Белтрами бързо убеждават математиците, че неевклидовата геометрия на Болай и Лобачевски прави,в края на краищата направете строг математически смисъл. Приносът на Поанкаре десетилетие по-късно беше да направи неевклидовата геометрия естествената геометрия за определени теми другаде в математиката, главно развиващия и важен предмет на Римановите повърхности.

Не бива да се пренебрегва значението на строг отчет на която и да е част от математиката, но приемането на римановата геометрия в обстановката на неевклидова геометрия надхвърли представянето на последователен формализъм. Той отбелязва приемането на възгледа, че геометрията е всичко, което може да бъде описано в римановия формализъм. Вратата се отваря с оглед, че има много геометрии, всяка от които трябва да е последователна и нито една от тях не трябва да се отнася до евклидовата геометрия. Броят на измеренията на обсъжданото „пространство“, топологичният характер на това „пространство“и точната метрика са всички въпроси на безразличие. Има двуизмерна геометрия от такъв и такъв вид, защото може да се намери подходящ показател; защото има карта, както изглежда,не защото е намерена повърхност в (mathbb {R} ^ 3) с правилните свойства. Всъщност по-късно беше показано (Hilbert 1901), че няма повърхност в (mathbb {R} ^ 3), съответстваща точно на неевклидово 2-мерно пространство.

Риман беше категоричен, че гносеологичните последици от този начин на правене на геометрия са огромни. Математиците вече не трябва да абстрахират някои основни интуиции от това, в което вярват във физическото пространство, като природата и свойствата на прави линии или кръгове, и да се стремят да изградят истинска геометрия въз основа на някакъв аксиоматичен израз на тези интуиции. По-скоро посоката на мисълта трябва да върви в обратна посока: математиците бяха свободни да конструират безкрайно много геометрии и да видят коя се прилага към физическото пространство. В тази връзка скоро беше показано, че е възможно да се прави теоретична механика в настройката на неевклидова геометрия.

6. Разбираемостта на неевклидовата геометрия

Епистемологичното значение на проективната геометрия се основава на нейните последици за природата и строгостта на класическата геометрия. Епистемологичното значение на неевклидовата геометрия се опира повече на възможността тя да е вярна по какъвто и да е начин, че евклидовата геометрия би могла да бъде истина. Затова ние се обръщаме към 19 ^-ти изследвания на разбираемостта на геометрията век.

6.1 Философия на Хербарт

Йохан Фридрих Хербарт става наследник на Кант в Кьонигсберг през 1808 г., където остава до заминаването за Гьотинген през 1833 г., където умира през 1841 г., но не е православен Кантиан. Основната му работа - двутомната Psychologie als Wissenschaft neu gegrundet auf Erfahrung, Metaphysik, und Mathematik от 1824–1825 г., се стреми да обоснове психологията във философията и третира опитът и метафизиката еднакво. Използвайки някои доста причудливи математики, той се опита да покаже как работи паметта и как многократните стимули от определени видове карат мозъка да се научи да възприема например линии, успоредни линии, пресичащи се линии и повърхности. Според Хербарт няма вродени идеи; визуалното пространство е изградено от опит, най-съществено чрез концептуалния акт на извеждането на приемственост в пространствените процеси. И понятията се генерират от клъстери от спомени, върху които след това логиката действа независимо от техния произход. Това беше начинът на Хербарт да избегне заземяващата логика в психологията.

Идеите на Хербарт повлияли на Риман (виж Scholz 1982). Риман разглежда естествената наука като опит за разбиране на природата чрез използването на точни понятия, които трябва да бъдат модифицирани в светлината на нашия опит с тях. Той очакваше най-успешните концепции да бъдат доста абстрактни и се съгласи с Хербарт, че те не могат да бъдат априори по мода на Кантиан. Нещо повече, именно техният произход във възприятието е дал на тези понятия своето значение за науката. В бележки, които пише за себе си (вж. Riemann Werke 1990: 539) Риман казва, че е съгласен с Хербарт по въпросите на психологията и епистемологията, но не и онтологията или с идеите му за изграждането на концепциите за пространство, време и движение. Несъгласието маскира по-дълбоко съчувствие. Хербарт се застъпваше за триизмерен реален свят на причинно-следствените, но дискретни монади,която разумът третира чрез концепцията за континуум, която доставя, като по този начин превръща дискретните си преживявания в спектри от възможности. Риман не вижда причина да ограничава вниманието към три измерения и премества непрекъснатия спектър от възможности в съвсем общите геометрични концепции, които създава.

Това намали или може би остави след себе си ролята на опита, която Хербарт беше подчертал. Риман осъзнаваше, че Хърбарт е казал, че се е случило естествено: ако опитът генерира концепции, с които изграждаме света, тогава, каза Риман, оставете математиката да генерира по-точни и гъвкави концепции, с които да провежда науката.

6.2 Хелмхолц и Поанкаре

Идеите на Риман от своя страна повлияха на Херман фон Хелмхолц, който публикува няколко влиятелни есета за това как са възможни нашите познания по геометрия. В своята „Über die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie“(1868) той се стреми да покаже как може да се изгради само ограничен брой риманови геометрии, в които има концепция за движение на твърдо тяло. Той твърди, че именно опитът ни с твърди тела ни учи какво е пространството и в частност какво е разстоянието. Освен това той твърди, че двуизмерното пространство, което допуска твърди движения на тялото, ще бъде или евклидовата равнина, или сферата. Белтрами му пише, за да посочи, че е пренебрегнал възможността за неевклидова геометрия и Хелмхолц не само се съгласи,но написа допълнително есе (1870), в което обясни как би било възможно да имаме познания за тази геометрия в кантиански смисъл (синтетичен априори). Много кантийци отказаха да бъдат убедени, най-вероятно от усещането, че Кант със сигурност е вярвал, че ние имаме безупречни познания от този вид за евклидовата геометрия, но един човек, на който тези идеи е повлиял много вероятно, е Анри Поанкаре (виж Gray 2012).

Щом Поанкаре започна да пише популярните си философски есета за геометрията, той даде да се разбере, че основната му грижа е как изобщо можем да разчитаме на всяка геометрия. Той беше добре запознат с големия обхват на римановите геометрии и сключването на спекулациите на Хелмхолц, станали по-строги в работата на Софъс Лей, че много ограничен брой геометрии допускат твърди движения на тялото. Неговата загриженост в неговия „На основите на геометрията” (1898 г.) е свързана с гносеологията.

Поанкаре твърди, че умът бързо осъзнава, че може да компенсира определени видове движения, които вижда. Ако чаша идва към вас, можете да вървите назад по такъв начин, че чашата да изглежда непроменена. Можете да направите същото, ако се накланя или завърта. Умът идва да съдържа магазин от тези компенсиращи движения и той осъзнава, че може да следва едно с друго и резултатът ще бъде трето компенсиращо движение. Тези умствени актове образуват математически обект, наречен група. Умът обаче не може да генерира компенсиращи движения за други движения, които вижда, като например движението на виното в чашата, докато се върти наоколо. По този начин умът идва да формира концепцията за твърдо движение на тялото, това е точно движението, за което умът може да формира компенсиращо движение.

Тогава Поанкаре разгледа каква група може да бъде групата на компенсиращи движения и установи, че както предполагаше Хелмхолц и Лий след това доказа, че съществува строго ограничена колекция от такива групи. Главни сред тях бяха групите, произхождащи от евклидова и неевклидова геометрия, а като абстрактни групи те са различни. Но кое от тях беше правилно?

Спорното мнение на Поанкаре беше, че човек никога не може да знае. Човешките същества, чрез еволюцията и чрез нашия опит като бебета, избират евклидовата група и така казват, че пространството е евклидово. Но друг вид, използвайки различни преживявания, би могъл да избере неевклидовата група и така да каже, че пространството е било неевклидово. Ако срещнахме такъв вид, нямаше да има експеримент, който да реши проблема.

Човек би могъл да си представи, казва той, като прави големи триъгълници и измерва ъглите. Страните на триъгълника, да кажем, са направени от светлинни лъчи. Нека предположим, че в границите на експерименталната грешка резултатът от експеримента е, че сборът на ъгъла на триъгълника е по-малък от (pi), резултат, съответстващ на неевклидовата геометрия, но несъвместим с евклидовата геометрия. Единственият извод, който може да се направи, каза Поанкаре, е, че или светлинните лъчи пътуват по прави линии, а пространството е неевклидово или пространството е евклидово и светлинните лъчи се движат по криви.

Можем да обобщим неговия аргумент по този начин. Нашите знания за геометрията на външния свят се основават на умствената ни способност да се справяме с група твърди движения на тялото. Има много ограничен магазин от тези групи, но никой експеримент не може да реши между тях. Всичко, което можем да направим, е да направим избор и ще изберем най-простия. Както се случва, това беше евклидовата група, защото, каза Поанкаре, ние установихме, че едно от свойствата му, което не е споделено с групата, което не евклидово, е особено просто. Но човешкият вид беше направен избор и този избор сега беше вроден в човешкия ум. Поради начина на придобиване на знанието и факта, че има повече от една подходяща група, ние никога не можем да разберем дали пространството е евклидово или неевклидово, само че ние го конструираме като евклидов.

Този обрат на кантската доктрина за непознаваемостта на Ding a sich (нещото само по себе си) и нашето задържане към света на изявите, беше вродено за Poincaré като работещ физик, но има важно разграничение. Току-що обяснената гледна точка е философията на Поанкаре на геометричния конвенционализъм. Той се застъпва за конвенционализма в други области на науката, като твърди, че това, което наричаме законите на природата (законите на Нютон, опазването на енергията и т.н.), не са нито емпирични въпроси, отворени за ревизия, нито абсолютни истини, но са добре установени резултати, които са били издигнати за ролята на аксиомите в съвременните научни теории. Те биха могли да бъдат оспорвани, но само ако се оспорва цяла научна теория, а не бездействащо, когато се правят някои неудобни наблюдения. Изправен пред спътник, който изглежда не се подчинява на законите на Нютон, човек би трябвало, каза Поанкаре, да смята някои за все още незабелязана сила на работа и да не се стреми да пренапише Нютон. Но може да се предложи нова теория, основана на различни предположения, които пренаписват закон на природата, защото тези закони не са вечни истини - ние никога не бихме могли да знаем такива неща. И ако трябва да бъде предложена нова теория, човек може да избира само новото и старото само на базата на удобство.човек може да избира между новото и старото само поради удобството.човек може да избира между новото и старото само поради удобството.

Ключовото отличие тук е, че научният конвенционализъм действа на високо ниво. Изборите се правят съзнателно и интелектуално, дебатът е отворен само за хора със значително количество специализирано образование. Геометричният конвенционализъм действа върху ума, преди той да е способен на всякакъв вид официални инструкции и ако не е работил, злощастният предмет би бил неспособен на каквито и да било познания за външния свят.

6.3 Поанкаре срещу Ръсел

Възгледите на Поанкаре го довеждат до сблъсък с Бертран Ръсел през 1890-те, когато той излиза от кратката си хегелска фаза и навлиза в фазата си на Кантиан. Ръсел се опитваше да утвърди антрианите на Кантиан, като твърди, че има една основна геометрия, която е прожекционна геометрия, и ние имаме синтетични априорни познания за нея (виж Griffin 1991 за Russell и Nabonnand 2000 за противоречието).

Не може да има малко съмнение, че Поанкаре с много по-голямото си владеене на математиката спечели голяма част от дебата, тъй като Ръсел с характерното си желание да признае грешките си беше готов да признае. Но съществена разлика между подхода между тях никога не е била разрешена. Анализът на Поанкаре започна с идеята за твърди тела, от които се създава концепция за разстояние. Ръсел аргументира обратното, че каквото и да открием, понятието за разстояние трябва да бъде известно, преди да започнем, че разстоянието от Лондон до Париж е повече от метър. Това Поанкаре отрича в своята „Des favor me de de géométrie: à offers d'un livre de M. Russell“(1899).

Според Поанкаре ние знаем само какво е разстоянието от една точка до друга, когато разберем какво правят твърдите тела и това знание е станало вродено в нас. Според Ръсел никакво обсъждане на концепцията за разстояние не би могло дори да обмисли, че разстоянието от Лондон до Париж е по-малко от метър - щяхме да знаем, че не говорим за разстояние, ако кажем нещо подобно. Поанкаре настояваше да говорим за това, което знаем, винаги да зависи от това как го знаем; без такъв анализ твърденията изобщо не са твърдения за знания. Ръсел искаше дистанцията да се разглежда като основна интуиция.

Математическата илюстрация може да освети несъгласието. За Поанкаре говорим за това, което бихме могли да наречем обикновена геометрия, усещането за пространство, което имаме преди напреднала инструкция, е наистина за способността, която трябва да измерваме. Можем да носим твърдо тяло наоколо и да го използваме като владетел. Именно защото можем да направим това, можем да говорим за разстоянието между местата. Ако искате да направите настройката по-абстрактна, трябва да има интервал и група, която действа върху пространството и движи точки в пространството наоколо. Ако тази група има свойството, че колкото и да е област от това пространство да бъде преместена около нея, тя никога не е картографирана върху подходяща подгрупа от себе си, тогава човек може да конструира твърди тела и да говори за разстояние.

За Ръсел човек е свободен да отделя интервал и да назначи „разстояние“на всяка двойка точки (при спазване на някои прости правила, които пропускам). Сравнително с това чувство на разстояние може да се каже, че ако регионът се движи наоколо, точките в него остават на едно и също разстояние или не. Направихме това за нашето усещане за разстояние по повърхността на Земята и можем да направим това независимо дали имаме и не някакви твърди движения на тялото. В математически план Ръсел би бил доволен от това, което се нарича метрично пространство. Въпросът не е, че човек може да наложи метрика на повърхността на Земята, в която определена двойка точки, да речем в Кеймбридж, бяха на метър разстояние, а Лондон и Париж бяха само на половин метър един - можеше, но този може говорете за дистанция, без да предполагате действието на група. Някои метрични пространства допускат действието на групи, които запазват дистанцията,други не, но разстоянието може да бъде определено без да се говори за група. Поанкаре никога не се е сблъсквал с точно този аргумент-метрични пространства са изобретение на 20-те^-ти век, но ние знаем какво би казал. Той би казал, че това е валидна математика, но изцяло формална и не може да се счита за истинско знание, защото липсва психологическо измерение. Знаем това, защото това беше неговата критика към аксиоматичните геометрии, построени от Хилберт (виж по-долу).

Аргументите на Поанкаре също срещнаха възражения от италианския математик Федериго Енрикес. Поанкаре твърдеше, че един от начините да види валидността на геометричния конвенционалистичен аргумент е да се разгледа диск, в който всичко е направено от един и същ материал, който се разширява при нагряване и в който температурата е особена функция на разстоянието на център на диска. Тази функция, посочена от Поанкаре, гарантира, че метриката в диска, измерена чрез пръчки, направени от същия материал като диска, е тази на неевклидовата геометрия. Животните, които живеят в диска, биха съобщили, че тяхното пространство е неевклидово; бихме отговорили, че там пространството е евклидово, но подложено на изкривяващия ефект на температурното поле. Очевидно всяка страна може да поддържа позицията си свободна от противоречие.

Енрике твърди, че в своите Проблеми дела Scienza (1906), че това е неразумно. Съществата би било правилно да приписват геометрия на своето пространство (и всъщност неевклидова геометрия), защото изкривяващата сила е извън техния контрол. Геодезиката им е вградена в пространството и би било неразумно от тях да приписват пътищата на геодезиката на действието на „сила“, защото тази „сила“не е нещо, с което дори могат по принцип да манипулират. Топлината, гравитационният ефект на масивните предмети, всички тези изкривяващи влияния са неща, които могат да бъдат разрешени, защото могат да бъдат променени. Ако в експеримента по-горе трябваше да се твърди, че пространството е евклидово, но нашите кандидати за прави линии са деформирани, трябва да е възможно да се променя степента на деформация. Човек би могъл да проведе експеримента по-далеч от всякакви масивни предмети, в по-пусти райони на космоса. Ако различни експерименти дават дори малко по-различни резултати, човек би трябвало, в съответствие със собствените критерии на Поанкаре за промяна на научните конвенции, да търси нещо в обстоятелствата, които са отговорни за отклонението на светлинните лъчи от праволинейността. Но ако всички експерименти се съгласиха, Енрике твърди, че би било разумно да се заключи, че светлинните лъчи пътуват по геодезика, а геометрията на космоса е неевклидова. Но ако всички експерименти се съгласиха, Енрике твърди, че би било разумно да се заключи, че светлинните лъчи пътуват по геодезика, а геометрията на космоса е неевклидова. Но ако всички експерименти се съгласиха, Енрике твърди, че би било разумно да се заключи, че светлинните лъчи пътуват по геодезика, а геометрията на космоса е неевклидова.

Също така си струва да се отбележи, че нарастващата сложност на идеите за това как теоретичната геометрия се свързва с практическия опит и за естеството на знанията, които геометрията предоставя, принадлежат към семейство от промени в цялата математика до 1900 г. Появи се автономна дисциплина на математиката. които поставят все по-голям акцент върху формалните аспекти на темата и предлагат сложна и често отдалечена връзка със света на опита. Този модернистичен обрат в математиката се обсъжда на различни места (виж Грей 2008 и цитираната там литература).

7. Заключителни бележки

Това есе разгледа основните отрасли в развитието на геометрията до ранните години на 20 ^-ти век, в рубриките на теоретичен или абстрактно знание, емпирични и други анализи на разбираемостта на такива знания и дедуктивен характер на това знание.

Състоянието на правата линия в елементарната евклидова геометрия, тъй като най-късата крива, свързваща всяка две от нейните точки, и като кривата, която сочи винаги в една и съща посока, беше разединена. Единият ред на изследване доведе до геометриите, които подчертават правотата като основно свойство (обикновено проективна геометрия), а другият - към геометриите, които подчертават най-краткия аспект. Бившият подход се разглежда от самото начало като неметричен и се превръща в предпочитана арена за формални, дори аксиоматични изследвания на геометрията като дедуктивно начинание. Цената имаше все по-малко да се каже за физическото пространство (както отбеляза Поанкаре). Концепцията за геометрията беше радикално разширена, но по начини, които не бяха предназначени да бъдат сметки за разбираемо пространство.

Метричният разказ доведе до прогресивно изясняване на съществена неясност в Елементите на Евклид: паралелният постулат. През по-голямата част от 19 ^-ти век това беше единствената алтернатива на тази на Евклид, която беше предложена като разбираема геометрия, въпреки че общо взето се съгласи, че само най-деликатните експерименти могат да се надяват да решат въпроса. Оспорваното мнение на Поанкаре беше, че нито един експеримент не може да реши така и това повдигна важни въпроси относно начина, по който трябва да се тълкуват абстрактни термини.

Отвъд привличащата вниманието идея за една алтернатива на геометричната система на Евклид, която стоеше две хиляди години, имаше панорамата от метрични геометрии, загатнати в работата на Гаус върху диференциалната геометрия и разработена от Риман. Тук най-накрая се оказа възможно да се обясни връзката между най-правилното и краткото в подходящо обща обстановка. Също така стана възможно да се обсъжда геометрията като съвкупност от идеи, израснали от наивни идеи за дължина, ъгъл, форма и размер, и да се направи това по сложен и строг начин, без да се харесва на аксиомите, независимо дали тези аксиоми са били предназначени или не като дестилации на разбираем опит. По този начин стана възможно прилагането на геометрични идеи в нови настройки и по нови начини.

До края на първото десетилетие на 20 ^-ти век, беше ясно, че евклидовата геометрия е загубил своята първостепенна грижа. Имаше по-добри формални, аксиоматични системи (като тези, предложени от Хилберт и някои математици в училището около Пеано). Имаше богати системи, които бяха по-фундаментални, в смисъл на използване на по-малко свойства на фигурите на традиционната геометрия, като правата линия (многото версии на проективната геометрия). И имаше изобилие от метрични геометрии с по-естествени изходни точки и по-дълбоки теории.

В резултат на това идеите за това как теоретичната геометрия от какъвто и да е вид се свързва с пространството около нас, станаха много по-сложни. Истината на геометрията вече не трябваше да се приема за даденост, но беше станала в известна степен емпирична, а философските идеи за разбираемостта на геометрията също се задълбочиха.

библиография

• d'Alembert, J. le Rond, 1784, Encylopédie Méthodique: Mathématique.
• Badici, E., 2011, „Стандарти за равенство и оглед на Хюм за геометрията“, Pacific Philosophical Quarterly, 92 (4): 448–467.
• Beltrami, E., 1868, “Saggio di interpretazione della geometria non Euclidea”, Giornale di Matematiche, 6: 284–312, в Opere matematiche I: 374–405. Превод на английски в J. Stillwell, 1996, Източници на хиперболична геометрия (История на математиката 10), Американски и Лондонски математически дружества, стр. 7-34.
• Bioesmat-Martagon, L., 2011, Éléments d'une biographie de l'espace projectif, Nancy: Presses Universitaires de Nancy, History of geometries of geometries, 2.
• Bolyai, J., 1832, „Appendix scientiam spatii абсолютни експонати на veram“, в W. Bolyai и J. Bolyai, 1832, Tentamen juventutem studiosam in Elementa Matheosis purae и др., Maros-Vásérhely, 2 том. Превод на английски от Г. Б. Халстед, „Научният абсолют на космоса“, приложение в Bonola 1912 и в JJ Grey, 2004, János Bolyai, Неевклидова геометрия и природата на Космоса, Бирманска библиотека, MIT.
• Bonola, R., 1906, La geometria non-Euclidea, Bologna: Zanichelli, английски превод HS Carslaw, предговор от Ф. Енрикес, 1912, История на неевклидовата геометрия, Чикаго: Отворен съд; преиздание, Ню Йорк: Дувър, 1955г.
• Bottazzini, U., 1999, „Ричи и Леви-Чивита: от диференциални инварианти до обща относителност“, в Дж. Дж. Грей (съст.) Символичната вселена: геометрия и физика 1890–1930, Оксфорд: Оксфордския университет прес.
• Chasles, M., 1837, Aperçu historyque sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie … suivi d'un Mémoire de géométrie и др. Том. 11, Брюксел.
• Clairaut, AC, 1741, Elémens de géométrie, Париж: David Fils. Препечатано 1920 г., Париж: Готие-Вилърс.
• Cremona, L., 1873, Elementi di geometria projettiva, Торино. Превод на английски от C. Leudesdorf, 1885, Елементи на проективната геометрия, Оксфорд: Clarendon Press.
• Enriques, F., 1906, Problemi della Scienza. Превод на английски от К. Ройс, 1914 г., Проблеми на науката, Чикаго: Отворен съд.
• Enriques, F., 1907, “Prinzipien der Geometrie”, Encylopädie der Mathematischen Wissenschaften, III. I.1,1–129, Лайпциг, Тебнер.
• Евклид, Тринадесетте книги на елементите на Евклид, превод и коментари от сър TL Heath, Ню Йорк: Публикации на Дувър, 1956 г.
• Gauss, CF, 1828, “Disquisitiones generales circa superficies curvas”, Commentationes društvotatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores. Препечатано през 1870 г., Карл Фридрих Гаус Верке, 4: 217–258; и в П. Домбровски (съст.), 1978 г., 150 години след Гаус „Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas“, латински оригинал, с препечатка на английския превод от А. Хилтебейтел и Дж. Морахед, 1902 г., Astérisque 62, Париж: Société mathématique de France; и в P. Pesic, (съст.), 2005 г., Общи изследвания на извити повърхности, Ню Йорк: Dover Books.
• Гаус, CF, 1900 Werke 8, Лайпциг: Teubner.
• Грей, Дж. Дж., 2008, Призракът на Платон: Модернистката трансформация на математиката, Принстън: Принстънски университетски печат.
• –––, 2011, Светове от нищо; курс по история на геометрията на 19 ^-ти век, 2-ро изд ревизирана, Лондон. Спрингър.
• –––, 2012, Анри Поанкаре: научна биография, Принстън: Princeton University Press.
• Грифин, Н., 1991, идеалистическото чиракуване на Ръсел, Оксфорд: Кларъндън Прес.
• Hallett, M. and U. Majer (eds), 2004 г., лекциите на Дейвид Хилбърт за основите на геометрията, 1891-1902 г., Берлин: Springer.
• Helmholtz, H. von, 1868, “Über die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie”, Nachrichten K. Ges. Wissenschaften zu Göttingen, 9. Превод на английски език от М. Ф. Лоу, 1921 г., „За фактите, залегнали в основата на геометрията“, Епистемологични писания, Р. С Коен и Й. Елкана (ред.), Бостънски изследвания във философията на науката, Бостън: Райдел, том 37, 39-57.
• –––, 1870, „Über den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome“, Vorträge und Reden, vol. 2, 1–31. Превод на английски език „За произхода и значението на аксиомите на геометрията“, в Епистемологичните писания, стр. 1–25.
• –––, 1921 г., Schriften zur Erkenntnistheorie, Берлин: Спрингер, П. Херц и М. Шлик (редакции), 1977 г., преведени от М. Ф. Лоу като Епистемологични съчинения, Р. С. Коен и Ю. Елкана (редакции), Рейдел.
• Herbart, JF, 1824–1825, Psychologie als Wissenschaft neu gegründet auf Erfahrung, Metaphysik, und Mathematik, 2 тома, Кьонигсберг: AW Unzer.
• Hilbert, D., 1899, Grundlagen der Geometrie, Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals в Гьотинген, Лайпциг: Teubner, много последващи издания. Английски превод на десето издание от Л. Унгер, 1971, Основи на геометрията, Чикаго: Отворен съд.
• –––, 1901 г., „Über Flächen von konstanter Gaussscher Krümmung“, сделки на Американското математическо дружество 2: 87–99. В Gesammelte Abhandlungen, 2: 437–448.
• Хюм, Д., 1739–1740, Трактат за човешката природа, Лондон. Търсещ текст в „Трактат за човешката природа“от Дейвид Хюм, препечатан от оригиналното издание в три тома и редактиран, с аналитичен индекс, от LA Selby-Bigge, MA (Oxford: Clarendon Press, 1896). [онлайн търсене Hume 1739]
• Kant, I., 1781, 1787, Kritik der reinen Vernunft; преводач Норман Кемп Смит, 1929 г., Критика на чистия разум на Имануел Кант, 2-ро изд. представител. 1970, Лондон: Макмилан.
• Клайн, CF, 1871, “Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie”, Mathematische Annalen, 4: 573–625. Също в Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, (№ XVI): 254–305, Берлин: Springer.
• –––, 1872 г., Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Programm zum Eintritt in die philosophische Facultät und den Senat der Universität zu Erlangen, Deichert, Erlangen, в Gesammelte Mathematische Abhandlungen, VH, No 4, 7), 7 (1), 7). Превод на английски език от MW Haskell, 1892–1893, Бюлетин на Нюйоркското математическо общество 2: 215–249, Берлин, Спрингер.
• –––, 1873, „Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. (Zweiter Aufsatz)”, Mathematische Annalen, 6: 112–145, в Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, (no. XVIII): 311–343, Берлин: Springer.
• Лаплас, П.-С., 1796 г., „Изложение на сисеме на монде“, Париж: Крейп, в Евров VI, Париж, Готие-Вилерс, 1884 г.
• Legendre, A.-M., 1794, Éléments de géométrie, Париж: Fermin Didot Frères, няколко издания.
• Леви-Чивита, Т., 1917, „Nozione de paralisismo in una varietà qualunque“, Rendiconto del Circolo Matematico di Palermo, 42: 173–205.
• Lobachevskii, NI, 1835, “Neue Anfangsgrunde der Geometrie mit einer vollständigen Theorie der parallellinien”, немски превод на Lobachetschefskij, NI 1899 Zwei geometrische Abhandlungen, tr. Ф. Енгел, Лайпциг, Тебнер.
• –––, 1840, Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, Берлин, респ. Mayer & Müller, 1887, английски tr. Г. Б. Халстед, Геометрични изследвания в теорията на паралелите, Приложение в (Bonola 1912).
• –––, 1856, Pangéométrie, ou précis de géométrie fondée sur une théorie générale des paraleles, Kasan. Превод на английски с коментар, Pangeometry, A. Papadopoulos (ed.), Европейско математическо дружество, 2010 г.
• Лок, Дж., 1690, Есе за човешкото разбиране, Лондон. [Лок 1690 на разположение онлайн]
• Marchisotto, E. и JT Smith, 2007, Наследството на Марио Пиери в геометрията и аритметиката, Бостън: Биркхаузер.
• Мюлер, I., 1981, Философия на математиката и дедуктивна структура в елементите на Евклид, Кеймбридж: MIT Press.
• Nabonnand, P., 2000, „La polémique entre Poincaré et Russell au sujet du statut des axiomes de la géométrie“, Revue d'histoire des mathématiques, 6: 219–269.
• Нютон, сър I., 1687 г., Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. Английски превод The Principia: Математически принципи на естествената философия, tr. IB Cohen, A. Whitman, J. Budenz, University of California Press, 1999.
• de Pierris, G., 2012, „Хюм за пространството, геометрията и диагностичните разсъждения“, Синтеза, 186 (1): 169–189.
• Poincaré, H., 1882e. Théorie des groupes fuchsiens. Acta Mathematica 1, 1–62 в Oeuvres 2, 108–168.
• Poincaré, H., 1898, “На основите на геометрията” (превод TJ McCormack) Monist 9: 1–43. Препечатано в Евалд, 1996 г., от Кант до Хилберт: Книга с източници в основите на математиката, Оксфорд: Университет Оксфорд, 2: 982–1012.
• –––, 1899 г., „Des militions de la géométrie: à offers d'un livre de M. Russell“, Revue de métaphysique et de moralle 7: 251–279.
• –––, 1902 г., „Les fondances de la géométrie“, Journal des savants, 252–271. Английски превод от Е. В. Хънтингтън, 1903 г., „Преглед на Поанкаре на„ основите на геометрията на Хилберт “, Бюлетин на Американското математическо дружество, 10 (1): 1–23. [Poincaré 1902 (английски) на разположение онлайн]
• Poncelet, JV, 1822, Traité des Propriétées Projectives des Figures, Paris: Gauthier-Villars.
• Riemann, GBF, 1867 [1854], „Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13: 1–20. Публикувана в Gesammelte Mathematische Werke, Wissenschaftliche Nachlass und Nachträge. Събрани доклади: Nach der Ausgabe von Heinrich Weber und Richard Dedekind, 1990, R. Narasimhan, (ed.) Berlin: Springer, стр. 304–319. Бернхард Риман, Събрани документи, преведени от Роджър Бейкър, Чарлз Кристенсън и Хенри Орде, Кендрик Прес, 2005 г.
• Ръсел, Б., 1899, „Sur Les Axiomes de la Géométrie“, Revue de méetaphysique et de morale, 684–706, преведен и препечатан като „На аксиомите на геометрията“, в N. Griffin и AC Lewis, (eds), 1990, Събраните доклади на Бертран Ръсел, 2, Лондон: Hyman Unwin, 394–415.
• Scholz, E., 1982, „Влиянието на Хербарт върху Бернхард Риман“, Historia Mathematica, 9 (4): 413–440.
• –––, 2001 г., „Weyl's Infinitesimalgeometrie“, в „Raum – Zeit – materiae“на Херман Вейл и общо въведение към научната му работа, Е. Шолц (изд.) Базел, Биркяузер.
• Schweikart, FK, 1818, „Notiz“, в Карл Фридрих Гаус Верке, 8: 180–181.
• von Staudt, GKC, 1847, Geometrie der Lage, Нюрнберг.
• –––, 1856–1860 г., Beiträge zur Geometrie der Lage, 3 тома, Нюрнберг.
• Виляджо, П., 2006, „За основите на механиката на Енрике“, в К. Уилямс (съст.) Две култури: Есета в чест на Дейвид Шпизер, Биркюсер, 133–138.
• Wallis, J., 1693, „De postulato quinto et definitione lib. 6 Euclidis deceptatio geometrica”, в Operum Mathematicorum, 2: 665–678.
• Weyl, H., 1918, Raum – Zeit – Materie, Springer. Превод на английски език на третото издание (1920 г.) Пространство-време-материя, Лондон: Methuen.

Академични инструменти

	Как да цитирам този запис.
	Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
	Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
	Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси

• Динамична версия на елементите на Евклид, от DE Joyce, University of Clark
• Английски превод на Гаус (1828), в Интернет архива.