Обобщени квантори

2023 Автор: Noah Black | [email protected]. Последно модифициран: 2023-08-25 04:38

Навигация за влизане

• Съдържание за участие
• библиография
• Академични инструменти
• Friends PDF Preview
• Информация за автора и цитирането
• Върнете се в началото

Обобщени квантори

Публикувана за първи път на 5 декември 2005 г. съществена ревизия Fri Fri 26, 2019

Обобщените квантори вече са стандартно оборудване в инструментариумите както на логици, така и на езиковеди. Целта на този запис е да опише тези инструменти: откъде идват, как работят и за какво могат да се използват. Описанието е по необходимост схематично, но в литературата съществуват няколко по-обстойни проучвания и ще бъдат посочени, когато е подходящо. За да оцените напълно текста по-долу, ще бъде полезно основното запознаване с теоретичната терминология на елементарната система и с езика на логиката от първи ред.

• 1. Предварителни
• 2. Аристотел
• 3. Фреге
• 4. Обобщаване на универсалния и екзистенциален количествен показател
• 5. Обобщени квантори на произволни типове
• 6. Неутралност на темата
• 7. Релативизация
• 8. Изразителна сила
• 9. Обобщени квантори и изчисления
• 10. Обобщени квантори и естествен език
• 11. Консервативност
• 12. Удължаване
• 13. Симетрия и монотонност
• 14. Определители, които не са ISOM
• 15. Постоянство
• 16. Полиадни количествени характеристики на естествен език
• 17. Теория и лингвистика на GQ
• 18. Количествено определяне и познание
• библиография
• Академични инструменти
• Други интернет ресурси
• Свързани записи

1. Предварителни

Терминът "обобщен количествен показател" отразява, че тези единици са въведени в логиката като обобщения на стандартните количествени характеристики на съвременната логика (forall) и (съществува). ^[1] В ретроспекция може да се каже, че (forall) и (съществува) са намерени само два случая на много по-общо понятие за количествен показател, което прави термина „обобщен“излишен. Днес също е обичайно да се използва само „количествен показател“за общото понятие, но „обобщен квантор“все още е често по исторически причини. Тази статия използва и двата термина, с тенденция да се вмъква „обобщено“в логически контексти и да се пуска в езиков контекст.

Разграничаваме изразите на количеството от това, което означават или обозначават, самите (обобщени) квантори. В логическите езици количествените изрази са оператори с променлива връзка. По този начин, (съществува) е познатият оператор, така че във формула (съществува x / f), ^[2] (съществува х) обвързва всички свободни събития на x в (f), Означава количественото число „съществува” - скоро ще видим какво точно представлява този обект. По същия начин символът (Q_0) често се използва като оператор за свързване на променлива, обозначаващ „има безкрайно много“.

В естествените езици различни изрази са били разглеждани като изрази на количествени характеристики, например всеки от следните английски изрази:

всичко, нищо, три книги, десетте професори, Йоан, Йоан и Мария, само Йоан, пожарникари, всеки, най-малко пет, повечето, всички освен десет, по-малко от половината от тези на Йоан, студент, не … с изключение на Мария, повече мъже, отколкото жени, обикновено, никога, един друг. ^[3]

Какви са тогава обобщени квантори? Преди да отговорите на този въпрос, е полезна кратка историческа прелюдия.

2. Аристотел

Силогистиката на Аристотел може да се разглежда като формално изследване на значението на четирите основни израза на количествените всички, не, някои, не всички и на техните свойства. Например, валидността, според Аристотел, на силогизма

всички (A, B) всички (B, C) някои (A, C)

показва, че той за разлика от съвременното логическо използване всички е имал екзистенциален внос, така че All A са B означава, че A не е празен термин. По същия начин и валидността на силогизма

някои (A, B) всички (B, C) всички (A, C)

изразява, че някои монотонно се увеличават (както сега го казваме) във втория аргумент. Всеки валиден силогизъм формализира част от значението на тези изрази в количественото отношение, но проучването на Аристотел за техните свойства надхвърля силогистиката. Той забеляза например, че някои и не са конвертируеми или, както бихме могли да кажем сега, симетрични, тъй като те отговарят на схемата

Q (A, B) Q (B, A)

за разлика от всички и не всички. По-нататък той изучава как различните форми на отрицание се комбинират с изрази на количественици в (наречения по-късно) площад на опозицията. ^[4]Средновековните логици продължиха в традицията на Аристотел, но разшириха и силогистични разсъждения до случаи, при които A, B самите те биха могли да бъдат количествено изразени, като по този начин се занимават с предпоставки и заключения, като някои магарета на всеки човек не бягат (пример от Йоан Буридан, 14 век). Въпреки че аристотеловата логика отстъпва на експресивността и прецизността на съвременната логика, силогистиката със сигурност е била решаващ принос за изследването на количественото определяне. Всъщност, наскоро са изучени силогистични системи с различна експресивна сила в математическата логика именно поради техния афинитет към естествените разсъждения и техните прости изчислителни свойства; вижте раздел 18 по-долу.

Особено интересно в настоящия контекст е фактът, че тези количествени изрази вземат два аргумента или термина и по този начин могат да се разглеждат като бинарни отношения, както синтактично (както Аристотел без съмнение ги е видял), така и семантично: като се има предвид, че термините означават набори от индивиди, Изразът някои могат да се вземат за означаване на отношението на припокриване, т.е. на непразно пресичане, между две множества, и всички означава отношение на включване. Обърнете внимание, че това не са отношения между индивидите, а между групи от индивиди от втори ред. Всъщност те са точно обобщените квантори, някои и всички, съответно (в дадена вселена).

Тази нишка - която изразява количествените означения означават отношения от втори ред - не е била подбрана от никой от средновековните последователи на Аристотел (доколкото знаем). Вместо това те се заеха с факта, че двата термина имат различен статус: първият се комбинира с израза на количеството, за да образува съществителна фраза (както сега казваме), която е предмет на изречението, докато втората е глаголна фраза съставляващ предиката. Това ги накара да се съсредоточат върху това, което обектът - всички мъже, някои кучета, няма моряци, което концептуално изглежда по-труден въпрос. Човек може да предположи, че всички мъже означават всеки човек (или набор от мъже) и че някои кучета означават определено куче, но какво да кажем за никакви моряци? Всъщност може да се покаже, че подходи като тези са обречени на провал. ^[5] Съвременното „решение“е, че съществителните фрази означават набори от групи от индивиди, така че, например, някои кучета означават набора от групи, съдържащи поне едно куче, но изглежда, че това изисква по-абстрактно и математически подход към семантиката, отколкото идеята, което е най-малкото имплицитно от Аристотел, че количествените фрази означават отношения между (обозначенията на) термини.

3. Фреге

Вторият основен исторически принос за теорията на обобщените количествени характеристики идва от "изобретателя" на съвременната логика Готлоб Фреге през 1870-те. Всъщност приносът на Фреге е двоен. Както всеки студент по философия знае, той е въвел езика на предиката логика, със сентенционни съединители, идентичност и променлив свързващ оператор (forall) (макар че неговата двуизмерна логическа нотация вече не се използва). Това са квантовете, които логистите през 50-те години на миналия век започват да „обобщават“. Но Фрег изрично формулира и абстрактното понятие за количествен показател като отношение от втори ред или, както той го нарече, концепция от второ ниво („Begriff zweiter Stufe“). Добре осъзнаваше, че четирите аристотелови квантори са главни примери, но искаше да избегне фокуса върху субект-предикатната форма,което той (с много оправдание) вижда като основна пречка за развитието на логиката след Аристотел. Следователно беше важно откритие, че всички тези количествени характеристики могат да бъдат дефинирани по отношение на (forall) и сентенционни оператори (заменящи всички ((A, B)) с (forall x (A (x) rightarrow) B (x))), някои ((A, B)) от (neg / forall x (A (x) rightarrow / neg B (x))) и т.н.).

Всъщност единствената съществена разлика между представата на Фрег за концепция от второ ниво и съвременната представа за обобщен количествен показател е, че Фреге не е имал идеята за интерпретация или модел, която ние сега (от появата на теорията на модела в 1950-те години) разглеждат като вселена, над която се преобладават квантовете, плюс приписване на подходящи семантични обекти към нелогичните символи. Всички символи на Фреге имаха фиксирани значения и единствената вселена, която той считаше, е съвкупността от всичко. Но освен това, може да се каже, че именно Фреж е открил обобщени квантори. Този аспект на логиката на Фреге обаче дълго остава на заден план, а теоретиците на моделите през 50-те и 60-те години изглежда не са го осъзнавали.

4. Обобщаване на универсалния и екзистенциален количествен показател

Съвременната логика на предиката фиксира значението на (forall) и (съществува) със съответните клаузи в дефиницията на истината, която индуктивно индуцира условията, при които формула (f (x_1, / ldots, x_n)) (с най-много (x_1, / ldots, x_n) безплатно) се удовлетворява от съответните елементи (a_1, / ldots, a_n) в модел (M = (M, I)) (където M е Вселената, а аз функцията на интерпретация, приписваща подходящи разширения на нелогични символи): (M / models / f (a_1, / ldots, a_n)). Клаузите са (където „iff“както обикновено означава „ако и само ако“)

• (1) (M / модели / forall x / p (x, a_1, / ldots, a_n)) iff за всеки (a / в M), (M / модели / p (a, a_1 / ldots, a_n))
• (2) (M / модели / съществува x / p (x, a_1, / ldots, a_n)) ако има някои (a / в M) st (M / модели / p (a, a_1 / ldots, a_n))

За да се въведат други количествени характеристики, трябва да се оцени какви са изразите (forall) и (съществува). Синтактично те са оператори, свързващи една променлива в една формула. За да видите как работят семантично е полезно да пренапишете (1) и (2) леко. Първо, всяка формула (p (x)) с една свободна променлива обозначава в модел (M) подмножество от M; множеството от индивиди в M, удовлетворяващи (p (x)). По-общо, ако (p (x, x_1, / ldots, x_n) = / p (x, / xbar)) има най-много показаните безплатни променливи и (abar = a_1, / ldots, a_n) са елементи на M, нека

) p (x, / abar) ^ { M, x} = {a / в M: / M / модели / p (a, / abar) })

бъде разширението на (p (x, / xbar)) в (M) спрямо (a_1, / ldots, a_n). Тогава можем да преформулираме (1) и (2), както следва:

• (3) (M / модели / forall x / p (x, / abar)) iff (p (x, / abar) ^ { M, x} = M)
• (4) (M / модели / съществува x / p (x, / abar)) iff (p (x, / abar) ^ { M, x} neq / emp)

Така условията от дясната страна се очертават като свойства на множествата (p (x, / abar)). Всъщност можем да мислим, че (forall) и (съществува) обозначават тези свойства, т.е. свойството да са идентични на Вселената и съответно да са непразни. И сега е лесно да се мисли за други свойства на множествата, които също могат да бъдат третирани като количествени характеристики, например свойството да съдържат поне 5, или точно 3 елемента, или да са безкрайни. ^[6]

Обърнете внимание, че тези свойства зависят само от Вселената М, не и от останалата част от модела. Разширено те са просто множество от подмножества на M. Това води до следното определение. по същество от Mostowski (1957):

Определение 1

Обобщен количествен Q от тип ({ langle} 1 { rangle}) е

• (5) a. синтактично, променлив свързващ оператор такъв, че когато (f) е формула, така е (Qx / f), и (Qx) обвързва всички свободни събития на x в (f);
• б. семантично, картографиране от произволни вселени (непразни множества) M до набор (Q_M) от подмножества на M, който интерпретира формулите на формата (Qx / f) според клаузата) tag {i } M / модели Q x / p (x, / abar) текст {iff} p (x, / abar) ^ { M, x} в Q_M)

Тук използваме един и същ символ за израза на количеството и картографирането, което той означава или обозначава. По този начин (forall) сега се приема за обозначаване на универсалния количествен показател, също написан (forall), което е картографирането, дадено от

) forall_M = {M })

за всички М. По същия начин (съществува) обозначава картографирането, дефинирано от

) съществува_M = {A / subseteq M: A / neq / emp })

Ето и някои други обобщени количествени характеристики:

) tag {6} етикет {ex-qlist1} започнем {alignat} {2} (съществува _ { geq 5}) _ M & = {A / subseteq M: | A | / geq 5 } & (| X | / textrm {е размерът или} && / textrm {сърдечност на} X) (съществува _ {= 3}) _ M & = {A / subseteq M: | A | = 3 } (Q_0) _M & = {A / subseteq M: A / текст {е безкраен} } (Q ^ R) _M & = {A / subseteq M: | A | > | MA | } & / textrm {("Rescher} && / textrm {количествен показател")} (Q _ { текст {even}}) _ M & = {A / subseteq M: | A | / text {е равномерно} } край {alignat})

Сега имаме точно понятие за обобщен количествен показател, от които (forall) и (съществува) са случаи, заедно с безкрайно много други. Освен това виждаме как да разширим логиката FO от първи ред до логика (FO (Q)), като добавим клаузата (5a) към правилата за образуване и клаузата (5b-i) към дефиницията на истината. По същия начин, ако добавим повече от един обобщен количествен показател: (FO (Q_1, / ldots, Q_n)).

По такава логика човек може да е в състояние да каже неща, които не са изразими във FO. Например, добре е известно, че в FO понятието за крайност не може да бъде изразено. Следователно няма как да се каже за отношение на поръчка (<), че всеки елемент има само крайно много предшественици, например. Но това е само нещо, което човек може да изрази в (FO (Q_0)):

) маркер {7} forall x / neg Q_0 y (y <x))

По същия начин във FO не може да се каже, че (ограничен) набор A съдържа точно половината от елементите на Вселената M, но това е изразимо в (FO (Q ^ R)):

) етикет {8} нег ^ ^ RxA (x) клин / neg Q ^ Rx / neg A (x))

(Първият конюнкт казва, че (| A | / leq | MA |), а вторият, че (| MA | / leq | A |).)

5. Обобщени квантори на произволни типове

Възможно е по-нататъшно обобщение. Първо, можем да оставим Q да свързва една променлива в две или повече формули. Второ, можем да му позволим едновременно да обвързва две или повече променливи в (някои от) тези формули. Въвеждането на Q показва това: Q е от типа ({ langle} n_1, / ldots, n_k { rangle}) (където всеки (n_i) е естествено число (geq 1)), ако тя се прилага за k формули и свързва (n_i) променливи във i-тата формула. Това обяснява защо се казва, че количествените характеристики в предишния раздел са от тип ({ langle} 1 { rangle}).

В общия случай човек обикновено избира различни променливи (x_ {i1},) …, (x_ {in_i} = / xbar_i) за (1 / leq i / leq k), така че формулата, започваща с Q има формата

[Q / xbar_1, / ldots, / xbar_k (f_1, / ldots, / f_k))

където всички свободни събития на (x_ {i1}, / ldots, x_ {in_i}) в (f_i) стават обвързани. Сега Q се асоциира с всяка Вселенова M ак-арна връзка (Q_M) между отношенията над М, където i-ият аргумент е (n_i) - ary отношение между индивиди. Съответната клауза в дефиницията за истината става

) маркер {9} M / модели Q / xbar_1, / ldots, / xbar_k (p_1 (xbar_1, / abar), / ldots, / p_k (xbar_k, / abar)) textrm {iff} / Q_M (p_1 (xbar_1, / abar) ^ { M, / xbar_1}, / ldots, / p_k (xbar_k, / abar) ^ { M, / xbar_k}))

Тук (p_i (xbar_i, / ybar)) е формула с най-много показани безплатни променливи, (abar) е поредица от елементи на M, съответстващи на (ybar), и (p_i (xbar_i, / abar) ^ { M, / xbar_i}) е разширението на (p_i (xbar_i, / ybar)) в (M) спрямо (ab)), т. е. множеството от (n_i) - кортежи (bbar_i), така че (M / модели / p_i (bbar_i, / abar)).

Това е официалната концепция за обобщен количествен показател в тази статия. Въведен е от Lindström (1966) и тези количествени характеристики понякога се наричат „Lindström quantifiers“. ^[7] Ако поправим М към Вселената, съдържаща „всичко“, ние по същество имаме представата на Фреж за концепция от второ ниво. ^[8]

Q е монадичен, ако за всяка вселена M е отношение между подмножества на M, т.е. ако неговият тип е ({ langle} 1, / ldots, 1 { rangle}); в противен случай е полиадично. Например споменатите по-рано аристотелски квантори са от тип ({ langle} 1,1 { rangle}): ^[9]

) tag {10} етикет {ex-qlist2} начало {подравняване} textit {всички} _M (A, B) & / iff A / subseteq B \\ / textit {някои} _M (A, B) & / iff A / cap B / neq / emp \\ / textit {не} _M (A, B) & / iff A / cap B = / emp \\ / textit {не всички} _M (A, B) & / iff A / not / subseteq B / end {align})

Ето още няколко типа ({ langle} 1,1 { rangle}) количествени характеристики: ^[10]

) tag {11} етикет {ex-qlist3} започнем {alignat} {2} (textit {поне пет}) _ M (A, B) & / iff | A / cap B | / geq 5 (textit {точно три}) _ M (A, B) & / iff | A / cap B | = 3 \(textit {безкрайно много}) _ M (A, B) & / iff A / cap B / текст {е безкраен} / \ textit {most} _M (A, B) & / iff | A / cap B |> | AB | \(textit {четен брой от}) _ M (A, B) & / iff | A / cap B | / текст {е равно}} / \ textit {MO} _M (A, B) & / iff | A | > B | \\ / textit {I} _M (A, B) & / iff | A | = | B | & / textrm {("Härtig} && / textrm {количествен показател")} end {alignat})

С монадични квантори е удобно да се използва само една променлива, и нека Q обвързва същата променлива във всяка от формулите. Така, за да кажем, че повечето A s не са B, например, човек може да пише

) textit {most}: x (A (x), / neg B (x)))

на съответния логически език, а не (textit {most}: x, y (A (x), / neg B (y))).

Ето няколко полиадични количествени характеристики:

) tag {12} етикет {ex-qlist4} начало {alignat} {2} W_M (R) & / iff R / text {е добре подредена на} M & / textrm {type} { langle } 2 { rangle} (Q_0 ^ n) _M (R) & / iff / текст {има безкрайност} & / hphantom { iff } A / subseteq M / ST A ^ n / subseteq R & / textrm {type} { langle} n { rangle} / Res ^ k (textit {most}) _ M (R, S) & / iff | R / cap S | > | RS | & / textrm {type} { langle} k, k { rangle} / \ textit {RECIP} _M (A, R) & / iff / textrm {за всички отделни} a, b / в A \& / hphantom { iff } textrm {има} n / geq 1 \& / hphantom { iff } textrm {и} c_0, / ldots, c_n / ST c_0 = a \& / hphantom { iff } {} amp c_n = b / amp c_iRc_ {i + 1} textrm {for} i <n / quad & / textrm {type} { langle} 1,2 { rangle} end {alignat}]

W и (Q_0 ^ n) идват от теорията на логиката и множествата. (Res ^ k (textit {most})) е възобновяването на повечето до k -tuples. Възобновяването може да бъде приложено към всеки количествен показател (в синтаксиса това означава заместване на всяка отделна променлива със съответна k -купност от променливи); той има логически приложения, но също като RECIP използва при тълкуването на определени изречения на естествени езици; вижте раздел 16 по-долу.

6. Неутралност на темата

И Mostowski, и Lindström имаха още едно условие в дефинициите си от обобщени количествени характеристики: те не трябва да разграничават изоморфните модели. Неофициално те са „неутрални по темата“: истинността на изявление на формата (f = Qx, yz (A (x), R (y, z))), да речем, в модел (M) не зависи от конкретните личности, от които M се състои. Ако индивидите на M са картографирани по един начин върху индивидите от друга вселена (M ') и ако A и R са съответно картографирани, човек получава изоморфен модел (M'). Закриването на изоморфизма казва, че (M / модели / f) iff (M '\ модели / f).

По-формално, ако (M = (M, I)) и (M '= (M', I ')) са модели за една и съща лексика V на нелогични символи, f е изоморфизъм от (M) до (M '), iff

• f е биекция (функция едно към едно) от M до (M ');
• винаги, когато P е n -ариен предикатен символ във V и (a_1, / ldots, a_n / в M), [(a_1, / ldots, a_n) в I (P) textrm {iff} (f (a_1), / ldots, f (a_n)) в I '(P);)
• винаги, когато c е индивидуална константа във V, (I '(c) = f (I (c))).

(M) и (M ') са изоморфни, в символи,) M / cong / M ')

ако има изоморфизъм от един към друг. Сега, ако Q е обобщен количествен номер от тип ({ langle} n_1, / ldots, n_k { rangle}), (P_i) е (n_i) - символ на предикат за (1 / leq i / leq k), (M = (M, I)) е модел за речника ({P_1, / ldots, P_k }) и (R_i = I (P_i)), също пишем

) M = (M, R_1, / ldots, R_k))

Тогава Q удовлетворява изоморфизма затваряне, или просто Isom, ако се отнася за следното:

) tag {13} етикет {ex-isom} textrm {Ако} (M, R_1, / ldots, R_k) cong (M ', R'_1, / ldots, R'_k), / textrm { след това} / Q_M (R_1, / ldots, R_k) Leftrightarrow Q_ {M '} (R'_1, / ldots, R'_k).)

Човек лесно проверява дали всички обобщени количествени показатели досега са наистина Isom. Ние обаче не включихме това изискване в дефиницията на обобщени количествени характеристики, тъй като има естествени езикови квантори, които не го удовлетворяват; виж отдолу. Но логиката трябва да е неутрална по темата, така че Isom почти винаги се налага. Тогава следват две важни неща. Първо, както е посочено по-горе, изреченията на логическите езици не различават изоморфните модели. По-точно имаме следното

Факт 2

Ако (L = / FO (Q_1, / ldots, Q_n)), всеки (Q_i) е Isom, (f) е L-изречение и (M / cong / M '), след това (M / models / f / Leftrightarrow / M '\ models / f).

Второ, Isom приема особено интересна форма за монадични квантори. Ако (M = (M, A_1, / ldots, A_k)), където (A_i / subseteq M) за всеки i, тогава (A_1, / ldots, A_k) дял M в (2 ^ k) двойки разединени подмножества (някои от които може да са празни); нека ги наречем частите на (M). Илюстрираме с (k = 2) и (M = (M, A, B)):

Фигура 1

Сега не е трудно да се види, че само размерите на частите определят дали два модела от този вид са изоморфни или не:

Факт 3

((M, A_1, / ldots, A_k) cong (M ', A'_1, / ldots, A'_k)) ако кардиналностите на съответните части са еднакви.

Това показва, че монадичните и изономните генерализирани количествени характеристики наистина се справят само с количествата, т.е. с размера на множествата, а не самите множества. Списъкът / eqref {ex-qlist3} от тип ({ langle} 1,1 { rangle}) обобщени количествени характеристики ясно илюстрира това, но също така аристотеловите квантори могат да бъдат формулирани по отношение на кардиналности,) начало {подравняване} textit {всички} _M (A, B) & / iff | AB | = 0 \\ / textit {някои} _M (A, B) & / iff | A / cap B |> 0 / end {align})

и т.н., и по подобен начин за примерите тип ({ langle} 1 { rangle}), които дадохме.

По-общо, под Isom монадичните квантори могат да се разглеждат като отношения между (кардинални) числа. Например, ако Q е от типа ({ langle} 1 { rangle}), тогава дефинирайте (използвайки същия символ Q за връзката между числата)

[Q (kappa, / lambda) iff / текст {има} (M, A) ST | M \! - \! A | = / kappa / amp | A | = / lambda / amp Q_M (A))

Isom гарантира, че това е добре дефинирано и ние имаме

[Q_M (A) iff Q (| M \! - \! A |, | A |))

7. Релативизация

Всяко изявление, включващо обобщен количествен Q, се осъществява в рамките на някаква вселена М. Понякога е полезно да можем да отразяваме тази релативизация към вселената вътре в M. Това означава дефиниране на нов количествен показател с един допълнителен аргумент, който казва, че Q се държи във Вселената, ограничена до този аргумент точно както се държи на M. По този начин, ако Q е от тип ({ langle} n_1, / ldots, n_k { rangle}), ние определяме (Q {^ { текст {rel}}}}) от тип ({ langle } 1, n_1, / ldots, n_k { rangle}), както следва:

) маркер {14} (Q {^ { текст {rel}}}) _ M (A, R_1, / ldots, R_ {n_k}) mathbin { Longleftrightarrow _ { text {def}}} Q_A (R_1 \! / ограничение \! a, / ldots, R_ {n_k} ! / ограничение \! a))

където (R_i / subseteq M ^ {n_i}) и (R_i \! / ограничение \! A) е ограничението на (R_i) до A, т.е. множеството от (n_i) - кортежи в (R_i / cap A ^ {n_i}).

Всъщност вече видяхме няколко примера за релативизация: тъй като човек лесно проверява (вижте списъците / eqref {ex-qlist1} и / eqref {ex-qlist3}), че

) tag {15} започнем {подравнявам} textit {всички} & = / forall {^ { текст {rel}}} / \ textit {някои} & = / съществува {^ { текст {rel} }} / \ textit {поне пет} & = (съществува _ { geq 5}) {^ { текст {rel}}} / \ textit {точно три} & = (съществува _ {= 3}) {^ { text {rel}}}} / \ textit {безкрайно много} & = (Q_o) {^ { текст {rel}}} / \ textit {most} & = (Q ^ R) {^ { текст {rel}}} / \ textit {четен брой} & = (Q _ { текст {дори}}) {^ { текст {rel}}}} край {подравняване})

8. Изразителна сила

Ние описахме как могат да се добавят генерализирани квантори към FO, което води до по-изразителна логика. Логиката в този смисъл се състои приблизително от набор от изречения, клас модели и отношение на истината (или отношение на удовлетворение) между изреченията и моделите. Подобна логика често се нарича моделно-теоретична логика, тъй като те са дефинирани семантично по отношение на модели и истина, а не теоретично по отношение на дедуктивна система за извеждане на теореми. ^[11] Тук ограничаваме вниманието към логиката на формата (FO (Q_1, Q_2, / ldots)), образувана чрез добавяне на обобщени количествени характеристики към FO, където всеки количествен показател идва с правило за образуване и семантична клауза за истината определение, както е описано в раздел 5 по-горе.

Има очевиден начин за сравняване на изразителната сила на моделно-теоретичната логика. (L_2) е поне толкова изразителен, колкото (L_1), в символи, [L_1 / leq L_2)

ако всяко (L_1) - изречение (f) е логически еквивалентно на някои (L_2) - изречение (p), т.е. (f) и (p) са вярно в същите модели. Също така, (L_1) и (L_2) имат една и съща изразителна сила, (L_1 / equiv L_2), ако (L_1 / leq L_2) и (L_2 / leq L_1), и (L_2) е по-силен от (L_1), (L_1 <L_2), ако (L_1 / leq L_2), но (L_2 / не / leq L_1). Така, (L_1 <L_2) ако всичко, което може да се каже в (L_1), може да се каже и в (L_2), но има някакво (L_2) - изречение, което не е еквивалентно на нито едно изречение в (L_1).

Как се установяват факти за изразителната сила? Изглежда, че за да се покаже (L_1 / leq L_2) човек трябва да премине през всички безкрайно много изречения в (L_1) и за всяко от тях да се намери еквивалент в (L_2). Но на практика е достатъчно да се покаже, че обобщените количествени характеристики в (L_1) са дефинируеми в (L_2). Ако Q е от типа ({ langle} 1,2 { rangle}), да речем, Q е определим в (L_2), ако има (L_2) - изречение (p), чийто нелогичната лексика се състои точно от един унарен и един двоичен предикатен символ, така че за всички модели (M = (M, A, R)), [Q_M (A, R) iff (M, A, R) модели / p)

Подобно е и при други видове. Например, количественият коефициент всичко може да се определи във FO, тъй като следното е валидно:

) textit {всички} _M (A, B) iff (M, A, B) модели / forall x (A (x) rightarrow B (x)))

По същия начин (Q ^ R) е дефинируем в (FO (textit {most})), тъй като

[(Q ^ R) _M (A) iff (M, A, B) модели / textit {повечето}: x (x = x, A (x)))

(имайте предвид, че всички наши логики съдържат логическия апарат на FO, така че всички те са разширения на FO). Последното е пример за следното наблюдение:

(16) За всеки обобщен квантор Q, Q е дефинируем в (FO (Q {^ { текст {rel}}}))

Такива факти за дефинируемостта могат да бъдат лесни или трудни за установяване ^[12], но те са достатъчни за установяване на положителни факти за експресивността, тъй като имаме:

Факт 4

(FO (Q_1, / ldots, Q_n) leq L), ако и само ако всеки (Q_i) е дефинируем в L.

От друга страна, да се докаже неизразимост, т.е. че някое изречение не е еквивалентно на L-присъдата, е по-трудно. Един от начините, по които понякога работи е да се установи, че (L_1) има някакво свойство, което (L_2) липсва; тогава може да може да се заключи, че (L_1 / не / leq L_2). Някои свойства, които са типични за FO, но се провалят при повечето по-силни логики, са:

• Свойството на Löwenheim: Ако едно изречение е вярно в някакъв безкраен модел, то е вярно и в някой счетлив модел.
• Свойството на Тарски: Ако едно изречение е вярно в някакъв счетно безкраен модел, то е вярно и в някакъв неизчислим модел.
• Свойството за компактност: Ако никой модел не прави всеки елемент от множеството изречения (Phi) истински, тогава има ограничен подмножество (Psi) от (Phi), така че никой модел не прави всяко изречение в (Psi) вярно.
• Свойството за пълнота: Наборът от валидни изречения е рекурсивно изброяващ (т.е. може да бъде генериран от някаква формална система).

Например, (FO (Q_0)) няма свойството за компактност. ^[13] Това може да се види, като разгледате множеството изречения

) Phi \: = \: { neg Q_0x (x = x) cup { theta_n: n = 1,2, / ldots })

където (theta_n) е FO -разсъждение, казващо, че във Вселената има поне n елемента. Ако вземете някакъв краен подмножество (Phi ') от (Phi), а M е вселена, чиято кардиналност е най-голямата n такава, че (theta_n) принадлежи на (Phi'), тогава всички изречения в (Phi ') са верни в M. Но никоя вселена не може да направи всички изречения в (Phi) верни. И това показва, че (Q_0) не е дефинируем във FO, т.е. че (FO (Q_0) не / leq / FO), тъй като в противен случай бихме могли да заменим (Phi) с еквивалентен набор от FO - изрази, но FO има свойството компактност, така че това е невъзможно.

Този начин на доказване на неизразимост обаче работи само за логики със свойства като тези по-горе. Освен това, те работят само ако са разрешени безкрайни вселени, но интересни факти за неизразимост са валидни и за крайните модели, например факта, че (Q ^ R) и (Q _ { текст {дори}}) не могат да се определят във FO, или че повечето = ((Q ^ R) {^ { text {rel}}}) не може да бъде определено в (FO (Q ^ R)). Логиците са разработили много по-директни и ефикасни методи за показване на резултати от неопределяемост, които работят и за ограничени модели. ^[14]

Горните свойства всъщност характеризират FO, в смисъл, че нито едно правилно разширение на FO не може да ги има (определени комбинации). Това е съдържанието на една знаменита теорема за моделно-теоретичната логика, теорема на Линдстрем, версия на която е дадена по-долу. За достъпно доказателство вижте например Ebbinghaus, Flum и Thomas (1994). Казваме, че логика (L = / FO (Q_1, / ldots, Q_n)) се релативира, ако „обратната” стойност на (16) е валидна за всеки (Q_i), т.е. ако всеки ((Q_i) { ^ { text {rel}}}) е дефинируем в L.

Теорема 5 (Lindström) Ако L е компактен и има свойството на Löwenheim, тогава (L / equiv / FO). Също така, при условие, че L се релативизира, ако L е пълен и има свойството Löwenheim, или ако L има както свойства Löwenheim, така и Tarski, тогава (L / equiv / FO).

9. Обобщени квантори и изчисления

В допълнение към условията за истинност, свързани с обобщени количествени характеристики, може да се проучат изчисленията, необходими за установяване на истинността на количествено изявление в модел. Всъщност обобщените квантори се появяват на различни места в частта от компютърните науки, която изучава изчислителната сложност. В този контекст ние ограничаваме вниманието до крайните вселени и приемаме Isom навсякъде. Така че количественият показател по същество е набор от ограничени модели; от Isom можем да приемем, че всички модели на кардиналност m имат една и съща област (M = {1, / ldots, m }). Такива модели могат да бъдат кодирани като думи, т.е. крайни низове от символи. Например модел ((M, A)) от тип ({ langle} 1 { rangle}) може да се разглежда като двоична дума (a_1 / ldots a_m), където (a_i) е 1, ако (i / в A) и 0 в противен случай. Така (| A |) е числото на 1 и (| M \! - \! A |) числото на 0's; от Isom,редът в низа няма значение. Така Q се превръща в набор (W_Q) от думи, тоест формален език: подмножество от множеството от всички крайни низове на кодиращи символи.^[15]

Вече можем да попитаме какво е необходимо, за да разпознаем, че една дума принадлежи към (W_Q). Абстрактното понятие за автомат дава отговор; автоматите са машини, които приемат или отхвърлят думи и се класифицират според сложността на операциите, които извършват. Езикът, разпознат от автомати, е набор от думи, които приема. ^[16]

Крайният автомат има ограничен брой състояния, включително стартово състояние и поне едно приемащо състояние. Той започва сканиране на дума в най-левия символ в стартовото състояние и на всяка стъпка премества по един символ вдясно и влиза в (възможно) ново състояние, в съответствие с дадена функция на прехода. Ако може да се движи по цялата дума, завършваща в приемащо състояние, думата се приема. Прилагането на теорията на автоматите за генерализирани квантори е инициирано във ван Бентхем (1986) (гл. 7, „Семантични автомати“). Лесно е да се изгради краен автоматик, разпознаващ (forall) (или (forall {^ { text {rel}}} =) всички), т.е. проверява дали w се състои само от 1: просто останете в стартовото състояние = приемане на състояние, докато се срещат 1, но преминете в отхвърлящо състояние, веднага щом се сканира 0, и останете там каквото и да срещнете след това. Малко по-сложен автоматик разпознава (Q _ { текст {дори}}): отново има две състояния, начално състояние = приемащо състояние и отхвърлящо състояние и този път остават в същото състояние, когато се сканират 0, но преминете в другото състояние, когато 1 се сканира. За да завършите в приемащото състояние, тогава е необходимо и достатъчно, че има четно число от 1. Тази машина използва по същество цикли с дължина 2, докато първият пример има само 1-цикли. Обадете се на автомат от последния вид ацикличен. Ван Бентхем показа, че определящите FO количествени средства са точно онези, приети от крайни автомати, които са ациклични и затворени с пермутация.и този път остават в същото състояние, когато се сканират 0, но преминете в друго състояние, когато се сканира 1. За да завършите в приемащото състояние, тогава е необходимо и достатъчно, че има четно число 1. Тази машина използва по същество цикли с дължина 2, докато първият пример има само 1-цикли. Обадете се на автомат от последния вид ацикличен. Ван Бентхем показа, че определящите FO количествени средства са точно онези, приети от крайни автомати, които са ациклични и затворени с пермутация.и този път остават в същото състояние, когато се сканират 0, но преминете в друго състояние, когато се сканира 1. За да завършите в приемащото състояние, тогава е необходимо и достатъчно, че има четно число от 1. Тази машина използва по същество цикли с дължина 2, докато първият пример има само 1-цикли. Обадете се на автомат от последния вид ацикличен. Ван Бентхем показа, че определящите FO количествени средства са точно онези, приети от крайни автомати, които са ациклични и затворени с пермутация. Ван Бентхем показа, че определящите FO количествени средства са точно онези, приети от крайни автомати, които са ациклични и затворени с пермутация. Ван Бентхем показа, че определящите FO количествени средства са точно онези, приети от крайни автомати, които са ациклични и затворени с пермутация.^[17]

Малко по-сложният автомат, pushdown automaton, има рудиментарни ресурси на паметта под формата на куп символи, които могат да бъдат избутани или изскачани от върха, което му позволява да проследява до известна степен това, което се е случило в по-ранните стъпки. Друг резултат от ван Бентхем е, че квантовете тип ({ langle} 1 { rangle}), приети от автоматите за избутване, са именно онези, за които съответната двоична връзка между числата може да бъде определена (със средства от първи ред) в адитивна аритметика, т.е. в модела ((N, +)), където (N = {0,1,2, / ldots }). Пример е (Q ^ R) (или най-релативизацията му най-много): имаме (Q ^ R (m, n) лява светлина m <n), а дясната страна се определя в ((N, +)) от (съществува x (x / neq 0 / клин m + x = n)). ^[18]

Така една алгоритмична характеристика е съчетана с логическа. Това е едно видно направление в изучаването на алгоритмичната сложност. Помислете сега за най-общите абстрактни автомати или изчислителни устройства, т.е. машини на Тюринг. Един (от много) интересни класове на сложност е PTIME: проблем, идентифициран със съответстващия му набор от думи, е PTIME, ако има полином (p (x)) и машина на Тюринг, приемаща W така, че когато (w / в W) има дължина n, изчисляването на приемане предприема най-много (p (n)) стъпки. Проблемите с PTIME обикновено се считат за „проследими“, докато по-сложните проблеми са „неразрешими“, като EXPTIME, при които броят на необходимите стъпки може да нараства експоненциално. Един ранен резултат от Immerman и Vardi е, че наборите PTIME от (кодиращи думи) крайни модели са точно тези, които могат да бъдат описани с единични изречения в (FO (LFP)), което е логика на FO с добавен механизъм за формиране на най-малко фиксиран -точки^[19] Тук трябва да представим не само монадични модели, но и произволни. Например, бинарна връзка във Вселената ({1, / ldots, m }) може да бъде представена с дума (w_ {11} cdots w_ {1m} # / ldots / #w_ {m1 } cdots w_ {mm}), където връзката има ((i, j)) iff (w_ {ij} = 1). Но този път поръчката изглежда има значение и всъщност току-що споменатият резултат от Immerman и Vardi важи само за модели с даден линеен ред и двоичен предикатен символ, стоящ за този ред.

Логиката като (FO (LFP)) може да бъде преработена като логика на формата (FO (Q_1, Q_2, / ldots)). Тук може да са необходими безкрайно много количествени характеристики, но в някои случаи е достатъчен един. Що се отнася до (FO (LFP)), достатъчно е да добавите всички възобновявания (вижте края на раздел 5 по-горе) на един единствен количествен показател. По-общо нека (FO ^ * (Q_1, Q_2, / ldots)) да е като (FO (Q_1, Q_2, / ldots)), но с механизми за извършване на релативизации (раздел 7) и за възобновяване на всяка (Q_i) до k - двойки за всеки k. Тогава има единичен количествен елемент Q такъв, че (FO (LFP) = / FO ^ * (Q)).

Така генерализираните квантори остават прост и универсален начин за добавяне на изразителна сила към FO. Един естествен въпрос беше дали логическата характеристика на PTIME, спомената по-горе, може да се подобри с използване на обобщени количествени характеристики, по-специално ако по този начин може да се премахне ограничението за подредени структури. Отговорът обаче се оказа отрицателен, тъй като Hella (1989) доказа, че изчислимите свойства на PTIME на произволни крайни структури не могат да бъдат характеризирани чрез добавяне на ограничен брой обобщени количествени характеристики към FO, или дори към (FO (LFP)). Въпросът дали PTIME може да се характеризира с логика на формата (FO ^ * (Q)), обаче остава отворен (наистина, решаването му би било основен пробив в теорията на сложността).

10. Обобщени квантори и естествен език

В края на 60-те години на миналия век Ричард Монтег показа как семантиката на значителни части от естествените езици може да се обработва с логически инструменти. ^[20] Едно от основните му прозрения беше, че съществителните фрази (NP) могат да се тълкуват като набори от подмножества на домейна, т.е. като (това, което сега наричаме) тип ({ langle} 1 { rangle}) количествени характеристики, Монтаг работи в теорията на типа, но около 1980 г. редица лингвисти и логици започват да прилагат моделно-теоретичната рамка на логиката с обобщени количествени характеристики към естествената езикова семантика. ^[21] Помислете за структурата на просто английско изречение, чийто предмет е количествено определено NP: ^[22]

• (17)

  

NP (субект) се състои от детерминатор и съществително (N). И съществителното, и глаголната фраза (VP) имат множества като разширения, така че определящият естествено се приема за обозначаване на двоична връзка между множествата, т.е., количествен количествен тип ({ langle} 1,1 { rangle}), Изказването на (17) има (дискурс) вселена на заден план (да речем, набора от хора в определен университет), но значението на повечето, най-малко пет и подобни изрази не е обвързано с конкретни вселени. Например значението на всичко в

• (18) a. Всички котки обичат мляко.
• б. Всички електрони имат отрицателен заряд.
• ° С. Всички естествени числа имат приемник.
• д. Всички близнаци се харесват един друг.
• д. Всички компактни подмножества от пространства Hausdorff са затворени.

няма нищо общо с котки или електрони, номера или близнаци или пространства на Хаусдорф, нито с дискурсните вселени, които могат да бъдат свързани с горните примери. Той просто означава връзката за включване, независимо от това за какво се случва да говорим. Следователно, обобщеният количествен показател всички, който с всяка вселена М свързва връзката на включване над М, е изключително подходящ за интерпретиране на всички и по подобен начин за други детерминанти.

За изреченията от формата (17) обаче е характерно, че съществителният аргумент и аргументът VP не са наравно. Съществителното се комбинира с детерминатора, за да образува NP, отделна съставна част и тази съставка също може да се приеме за означаване на обобщен количествен номер, този път от тип ({ langle} 1 { rangle}). По този начин, най-малко петима ученици означава набор от подмножества на Вселената, които съдържат най-малко петима ученици. Този количествен показател е резултат от замразяване на първия аргумент от типа ({ langle} 1,1 { rangle}) три към множеството ученици; пишем тези три (^ { textit {студент}}). Като цяло, ако A е фиксиран набор и Q a тип ({ langle} 1,1 { rangle}) количествен номер, човек може да определи типа ({ langle} 1 { rangle}) количествен номер (Q ^ A) от

) етикет {19} етикет {QA} (Q ^ A) _M (B); / Longleftrightarrow _ { text {def}}; Q_ {M / чаша A} (A, B))

за всеки М и всеки (B / подсектор M). В композиционната семантика е естествено всяка съставна част на изречението да има отделно означение или значение, а значенията по подразбиране на съществителните фрази са квантори тип ({ langle} 1 { rangle}).

Това важи и за някои НП, на които липсват определящи фактори, като например собствени имена. Докато на лексикалната единица John е присвоено някакво отделно j чрез интерпретация, NP John може да се приеме за обозначаване на количественото число (I_j), определено за всяко М от

[(I_j) _M = {B / subseteq M / !: j / в B })

Това всъщност е добре мотивирано, не само защото интерпретацията на НП става по-равномерна, но и защото Джон може да се комбинира с количествено определени НП:

(20) Джон и трима професори дойдоха на срещата

Тук е удобно, ако Джон и трима професори имат една и съща семантична категория. Обърнете внимание, че обобщените количествени характеристики - за разлика от индивидите! - имат ясна булева структура; дефинирайте (тук във типа ({ langle} 1 { rangle}), но подобно на всеки друг тип)

) начало {подравняване} (Q_1 / клин Q_2) _M (A) & / iff (Q_1) _M (A) textrm {и} (Q_2) _M (A) (neg Q) _M (A) & / iff / textrm {not} Q_M (A) end {align})

Тогава можем да вземем сложния детерминатор в (20), за да обозначим (I_j / wedge / textit {три} ^ { textit {професор}}). По същия начин сложният НП в

(21) Йоан и Мария дойдоха на срещата

означава (I_j / клин I_m).

Първият аргумент (идва от съществителното) на детерминацията на детерминатор на тип ({ langle} 1,1 { rangle}) често се нарича негово ограничение, а вторият - обхватът му. Разликата в синтактичния статус между тези два аргумента се оказва ясен семантичен контрагент.

11. Консервативност

Наблюдавано е рано на този тип ({ langle} 1,1 { rangle}) количествени характеристики, обозначени с детерминатори на естествени езици, имат следното свойство:

• (22) Консервативност (Conserv):

  За всички M и всички (A, B / подсектор M), [Q_M (A, B) iff Q_M (A, A / cap B).)

Това може да се види от двойки изречения като следващите, където е ясно, че второто изречение е просто неудобен начин за изразяване на първото:

• (23) a. Повечето студенти пушат.
• б. Повечето студенти са студенти, които пушат.
• (24) a. Поне петима професори отсъстваха.
• б. Поне петима професори отсъстваха.
• (25) a. Повече от една трета от завършилите студенти са чужденци.
• б. Повече от една трета от аспирантите са чуждестранни специализанти.

Conserv казва, че само частта от B, която е обща за A, има значение за истинността на (Q_M (A, B)). Тоест, част (BA) на фигура 1 няма значение. Изглежда, че това важи за всички детерминации на детерминантите, но не успява за напълно естествени логически количествени характеристики, като MO и I от списъка / eqref {ex-qlist3} по-горе. Причината е, че за обозначенията на детерминатора е характерно, че аргументът за ограничение ограничава областта на количествено определяне до този аргумент.

12. Удължаване

Всъщност идеята за ограничаване на домейна има още една съставка. Ограничаването на домейна на количествено определяне до подмножество A от M означава не само, че (BA) е без значение, но цялата част на M, която лежи извън A, и следователно и частта (M- (A / cup B)) на фигура 1. Това от своя страна представлява екземпляр от по-общо свойство, приложимо за произволни обобщени количествени характеристики:

• (26) Разширение (Ext):

  Ако Q е от тип ({ langle} n_1, / ldots, n_k { rangle}), (R_i / subseteq M ^ {n_i}) за (1 / leq i / leq k), и (M / subseteq M '), тогава [Q_M (R_1, / ldots, R_k) iff Q_ {M'} (R_1, / ldots, R_k).)

Тоест, нищо не се случва, когато Вселената е разширена или свита, стига аргументите да не бъдат променени. Сега припомнете, че за квантовете тип ({ langle} 1 { rangle}) ние вече предоставихме логичен механизъм за ограничаване на количествения домейн до субуниверс, по отношение на релативизацията (раздел 7). Вече можем да видим (в (б) по-долу), че комбинацията от Conserv и Ext е абсолютно едно и също нещо:

Факт 6

1. За всеки квантификатор Q (Q {^ { текст {rel}}}) отговаря на Ext.
2. Количествен тип ({ langle} 1,1 { rangle}) е Conserv и Ext, ако и само ако това е релативизацията на тип ({ langle} 1 { rangle}) количествен показател. ^[23]

Отново всички детерминации на детерминаторите изглежда отговарят на Ext. На пръв поглед нищо по принцип не изглежда да попречи на езика да съдържа детерминатор, да речем evso, което означаваше всеки на вселените с по-малко от 10 елемента и някои на по-големи вселени. Но не само че всъщност няма такъв детерминатор на нито един език - не би могло да има, ако съществителният аргумент на детерминатора е да ограничи областта на количествено определяне до обозначаването на това съществително име.

Количественият показател като evso интуитивно не е постоянен, в смисъл, че не означава същото или не се интерпретира по едно и също правило във всяка вселена. Ext може да се разглежда като силно изискване за постоянство: правилото, интерпретиращо Q, дори не споменава вселената. Всъщност много квантори от езика и логиката са Ext. Както видяхме, всички релативизирани квантори са Ext, а всички останали квантори в списъците / eqref {ex-qlist2} - / eqref {ex-qlist4}, освен W. ^[24] Всъщност изглежда, че всички квантори, които вземат повече от един аргумент, които се появяват в естествен езиков контекст, са Ext. И много квантори ({ langle} 1 { rangle}) също са Ext, например (съществува), (I_j), (Q ^ A) (когато Q е Ext; вижте / eqref {QA} по-горе) и всички в списъка / eqref {ex-qlist1} с изключение на (Q ^ R).

Но (forall) и (Q ^ R) не са Ext. И все пак човек е склонен да каже и за тях, че те означават същото във всяка вселена. Случаят с (forall) е особено интересен, тъй като може да се твърди, че той интерпретира NP като всичко или всяко нещо. Основното тук е нещо. Ако този израз се разглежда като логическа константа, която винаги обозначава Вселената, тогава тези НП обозначават (forall): за всички M и всички (B / subseteq M),) начало {подравняване} (textit {всеки} ^ { textit {нещо}}) _ M (B) & / iff / textit {всеки} _M (M, B) & / iff M / subseteq B & / iff M = B \& / iff / forall_M (B) end {align})

Когато Ext задържа, обикновено можем да изпуснем подпис M и да пишем например, [Q (А, В))

а не (Q_M (A, B)). Тоест, подходяща вселена може да се предположи, но да се остави на заден план.

13. Симетрия и монотонност

Други свойства не се споделят от всички количествени характеристики на естествен език, но отделят важни подкласове. Споменахме две вече в раздел 2 по-горе: симетрия и монотонност. Типичните симетрични квантори са някои, не, най-малко пет, точно три, четен брой, безкрайно много, докато всички, повечето, най-много една трета от несиметрични. Друг начин за изразяване на симетрия е да се каже, че стойността на истинността на (Q (A, B)) зависи само от множеството (A / cap B). По-точно, обадете се на Q интерсектив, ако за всички M и всички (A, A ', B, B' / subseteq M):

(27) Ако (A / cap B = A '\ cap B'), тогава (Q_M (A, B) Leftrightarrow Q_M (A ', B'))

Човек лесно проверява:

Факт 7

За консервативния тип ({ langle} 1,1 { rangle}) количествените характеристики, симетрията и интерсесивността са еквивалентни. ^[25]

Отбелязахме, че някои от силогизмите изразяват свойства на монотонност. В по-кратки нотации, тип ({ langle} 1,1 { rangle}) количествено число Q е

увеличаване надясно (намаляващо надясно) iff за всички M и всички (A, B / subseteq B '\ subseteq M) (всички (A, B' / subseteq B / subseteq M)), (Q_M (A, Б)) означава (Q_M (A, B ')).

Аналогично за увеличаване или намаляване на ляво и наистина за монотонност във всяко дадено аргументирано място на обобщен количествен показател. По-конкретно е ясно какво означава даден количествен количествен номер ({ langle} 1 { rangle}) да бъде монотонен. Монотонността е повсеместна сред количествените характеристики на естествения език. Изглежда, че синтактично прости английски НП обозначават монотонни (увеличаващи се или намаляващи) тип ({ langle} 1 { rangle}) квантори и почти всички синтактично прости английски детерминатори означават правилни монотонни количествени характеристики. ^[26] Ние също имаме:

• (28) a. Квантовете (I_j) (собствени имена) се увеличават
• б. (Q ^ A) се увеличава (намалява) iff Q правилно се увеличава (намалява).

Аристотеловите всички, някои, не, са монотонни и в двата аргумента (напр. Всичко е правилно се увеличава и наляво намалява), както са поне пет, не повече от десет, безкрайно много, докато повечето, поне две трети от правилните се увеличават но нито увеличава, нито намалява в левия аргумент. Точно три, между две и седем са немонотонни, въпреки че и двете са съединения на (дясно и ляво) увеличаване и намаляващ количествен показател (напр. Поне три и най-много три), за разлика от четен брой, който не е (крайна) булева комбинация от монотонни квантори.

И симетрията, и монотонността имат важна обяснителна роля за определени езикови явления. Симетрията е характеристика на (по-голямата част от) количествата, разрешени в така наречените екзистенциални изречения (напр. В градината има поне петима мъже е добре, но в градината има най-много мъже). Монотонността е от решаващо значение за обясняване на разпределението на полярните елементи (Никой никога няма да успее е добре, но някой някога ще успее не е: отрицателните елементи на полярността, каквито някога изискват намаляваща среда). ^[27] Освен това монотонността е от съществено значение за естествените форми на разсъждения; вижте раздел 18.

14. Определители, които не са ISOM

Обмисли

• (29) Книгите на Джон бяха откраднати.
• (30) Някои учебни книги не са върнати.
• (31) На срещата не дойде нито един професор, освен Мери.
• (32) Всички плажове, с изключение на няколко ентусиазирани плувци, бяха напълно облечени.
• (33) Пушат повече мъжки, отколкото студентки.

Израженията на Джон, на някои ученици, без _ освен Мери, всички _ с изключение на няколко ентусиазирани плувци, по-мъжки от женски, съвсем естествено се разглеждат като определящи: когато се комбинират с съществителни, те образуват фрази, които се държат като обикновени НП. Също така, количествените числа ({ langle} 1,1 { rangle}), които означават, са Conserv и Ext. Например изреченията в следната двойка са тривиално еквивалентни:

• (34) а. Книгите на Джон бяха откраднати.
• б. Книгите на Джон са книги, които са били откраднати.

Но за разлика от предишните примери, те не са Isom, тъй като те включват някакъв фиксиран индивид или имот: ако книгите на Джон са били откраднати, а броят на откраднатите книги е същият като броя на червените моливи (в някаква дискурсна вселена), а броят на откраднатите книги е същият като броя на моливите, които не са червени, не следва, че моливите на Джон са червени, както би го имал Изом.

Въпреки това, точно както неизомовият количествен три (^ { textit {студент}}) води до замразяване на аргумента за ограничение на Ext количествения три, количествата не-Isom по-горе водят до замразяване на аргументи в по-абстрактни отношения, които са Isom. Илюстрираме това с принудителния определител Джон. ^[28]

Като се има предвид, че Джон обозначава отделно j, детерминаторът на Джон може да бъде определен за всички М и всички (A, B / подсектор M) чрез ^[29]

) texttt {John's} _M (A, B) iff / emp / neq A / cap R_j / subseteq B)

където (R_j = {b / в M / !: R (j, b) }) и R е някакво отношение "притежател"; всеизвестно е, че тази връзка се различава много от обстоятелствата - може да се говори за книгите, които Джон притежава, или е написал, или взел назаем, или купил като подарък на Мери и др. Да предположим, че R е собственост. Тогава (29) казва, че Джон притежава поне една книга и че всички книги, които притежава, са откраднати. Сега помислете за по-общия дефиниран „количествен номер“за (a / в M), (R / subseteq M ^ 2) и (A, B / subseteq M) от

) mathbf {P} _M (a, R, A, B) iff / emp / neq A / cap R_a / subseteq B)

Бихме могли да кажем, че това е обобщен количествен номер от тип ({ langle} 0,2,1,1 { rangle}), като оставим 0 да стои за индивиди. (mathbf {P}) е Isom (разширяваща дефиниция / eqref {ex-isom} по очевидния начин до количествените данни от този тип), а резултатите на Джон чрез замразяване на първите два аргумента до подходящи стойности.

Подобни конструкции работят за други случаи на изрази на количествени характеристики на естествени езици, които означават неизомни квантори. Например определящият номер _ с изключение на Мария обозначава (като се има предвид, че Мария се отнася до m)

[(texttt {не _ с изключение на Мери}) _ M (A, B) iff A / cap B = {m })

Тоест (31) казва, че Мери е професор, че е дошла на срещата и че никой друг професор не го е правил. Отново, лесно се дефинира съответният Isom количествен номер от тип ({ langle} 0,1,1 { rangle}). Така че по този начин Isom може да бъде извлечен за количествени количествени характеристики на естествен език. От друга страна, асоциирането на квантовете тип ({ langle} 1,1 { rangle}) с детерминатори се съгласува по-добре със синтаксиса и позволява много обобщения относно детерминаторите на детерминаторите да се задържат и в случая, който не е Isom.

15. Постоянство

Изомът, т.е. неутралитетът на темата, се разглежда обикновено като поне необходимо условие за логична константа. ^[30]Възможно е да се разграничи логичността от постоянството в споменатия по-рано смисъл на една и съща за различните вселени. От една страна, логичността е свойство, което трябва да бъде затворено при дефинируемост, докато изобщо не е ясно, че постоянството трябва да бъде подобно затворено. Забележете например, че класът на квантовете на Ext не е затворен при дефиниране от първи ред. По-точно, той е затворен при обичайните булеви операции, но не под вътрешно отрицание и следователно не под възприемане на дуали, където вътрешното отрицание на тип ({ langle} 1 { rangle}) количествено число Q се определя от ((Q / neg) _M (A) Leftrightarrow Q_M (M \! - \! A)), а двойното по (Q ^ d = / neg (Q / neg)). Например, (съществува ^ d = / forall).

Една интуиция може да е, че Ext е достатъчен за постоянство. Но различна интуиция е, че количественият елемент, който означава едно и също във всички вселени, по-специално трябва да удовлетворява Isom, което принуждава Q да бъде „едно и също“във всички вселени на една и съща кардиналност. Тези две идеи са несъвместими, тъй като заедно биха предполагали, че Ext предполага Isom, което е явно невярно. Ясно е, че неясната представа за смисъла на едно и също за различните вселени допуска различни прецизификации. При по-внимателно разглеждане изглежда малко вероятно да има една прецизна версия, която да побере всички интуиции относно еднаквостта.

В тази ситуация би било предложение просто да се определи, че постоянството възлиза на Ext + Isom. Това би било карнапийско обяснение за постоянство. Квантификаторите с тази комбинация от свойства изглежда сигурно означават едно и също във всички вселени. От друга страна, Ext, но не-Isom количествени фактори като три (^ { textit {студент}}) или някои професори не биха имали едно и също значение в различни области, което, както видяхме, се съгласява с една интуиция. Освен това няколкото естествени неекстентни квантори, които срещнахме, могат да се определят от квантовете Ext + Isom. ^[31]

16. Полиадни количествени характеристики на естествен език

Помислете за типично английско изречение, в което обектът и обектът са количествено определени:

(35) Повечето филми бяха прегледани от двама критици

Условията за истинност на (36) могат да бъдат дадени по отношение на многоадресния количествен номер от тип ({ langle} 1,1,2 { rangle}) (пропускане на M):

[Q (A, B, R) iff / textit {most} (A, {a / !: / textit {two} (B, R_a) }))

(Това е четенето с „тесен обхват“; вместо това четенето с „широк обхват“ще бъде (textit {two} (B, {b / !: / textit {most} (A, (R ^ {- 1}) _b))).) Но този полиадичен количествен резултат се получава от два типа квантори ({ langle} 1,1 { rangle}) от повсеместна конструкция, която наричаме итерация. Ако (Q, Q ') са от тип ({ langle} 1 { rangle}), дефинира типа ({ langle} 2 { rangle}) количествен номер (Q / cdot Q') от

) етикет {36} Q / cdot Q '(R) iff Q ({a / !: Q' (R_a) }))

Тогава получаваме итерацията на два типа квантори ({ langle} 1,1 { rangle}) (Q_1, Q_2) както по-горе с (Q_1 ^ A / cdot Q_2 ^ B). Свойствата на итерациите са проучени във van Benthem (1989), Keenan (1992), Westerståhl (1994) и Steinert-Threlkeld и Icard (2013).

Кинан мисли за итерацията като за граница на Фреге. Както той и други посочиха, изглежда, че има много естествени езикови количествени средства отвъд тази граница, т.е. не могат да се определят като повторения. Тук даваме няколко примера; много повече могат да бъдат намерени в направените справки. Следващото изречение може да изглежда като изразяване на повторение, но всъщност не.

(37) Различните студенти отговориха на различни въпроси на изпита

Пример (37) вероятно има различни интерпретации, например една използваща следния тип ({ langle} 1,1,2 { rangle}) количествен показател:

[Q (A, B, R) iff / forall a, b / в A (a / neq b / Righttarrow B / cap R_a / neq B / cap R_b))

Този количествен показател все още може да се определи от първи ред, но не е повторение. ^{[32] По-} нататък, помислете

• (38) a. Хората обикновено са благодарни на пожарникарите, които ги спасяват.
• б. Мъжете рядко правят пропуск при момичета, които носят очила. (Дороти Паркър)

Прислови като обикновено, рядко, винаги, никога не могат да се приемат за обозначаване на обобщени количествени характеристики (наблюдение, първоначално направено в Lewis (1975)). Например, Кучетата, които никога не меят, е грубо синоним на Noow meow. Но за (38) може да се твърди, че има четене, при което количественият показател се прилага за двойки: сред двойките, състоящи се от човек и пожарникар, който спасява това лице, мнозинството са такива, че човекът е благодарен. Това е просто възобновяването на повечето на двойки, което сме дефинирали в / eqref {ex-qlist4}:

[Res ^ 2 (textit {most}) (R, S) iff | R / cap S | > | RS |)

Така че в (38b), (R (a, b)) iff (a / in / textit {person}) и (b / in / textit {fireman}) и (a \: / textit {спасен} b), и (S (a, b)) iff a е благодарен на b. Може да се покаже, че за много квантори, особено за повечето, (Res ^ n (Q)) не може да се определи в (FO (Q)). Всъщност, (Res ^ 2 (textit {most})) не може да се определи от който и да е краен брой монадни квантори, така че е пример за непринудимо полиадичен количествен показател. ^[33]

Следващия:

• (39) a. Пет бостънски стомна седяха един до друг.
• б. Повечето от членовете на парламента се отнасят косвено.

Тук (39а) може да има условия за истинност

) съществува X / subseteq / textit {Boston pitcher} [| X | = 5 / amp / textit {RECIP} (X, / textit {седна до})])

където RECIP е тип ({ langle} 1,2 { rangle}) количествен номер, определен в / eqref {ex-qlist4}. Тоест, има набор от пет стомани в Бостън, така че ако вземете някой от тези, те седят един до друг, или има един стомна, или два, или най-много три (всичките в избрания комплект), между тях. Подобно на (39b). Това е само една от няколко конструкции на полиадични квантори, които се срещат в реципрочни изречения. ^[34]

Накрая, помислете за изречението

(40) Повечето момчета от вашия клас и повечето момичета от моя клас са се срещали помежду си

(40) е представен като пример за количествено определяне на разклонения, което може да бъде записано в двуизмерен логически формат като

• (41)

  

където предвиденото четене е, че има подмножество X от A, съдържащо повечето елементи на A, и подобно голямо подмножество Y от B, така че всяка двойка ((a, b)) където (a / в X) и (b / в Y) принадлежи към отношението R. По-общо, имаме полиадичен количествен номер от тип ({ langle} 1,1,2 { rangle}), дефиниран за всеки (Q_1, Q_2) от тип ({ langle} 1,1 { rangle}) от

) етикет {42} етикет {ex-br} Br (Q_1, Q_2) (A, B, R) iff \\ / съществува X / subseteq A \: / съществува Y / subseteq B \, [Q_1 (A, X) amp Q_2 (B, Y) amp X / пъти Y / subseteq R])

Доста правдоподобно, това дава прочит на (40). Имайте предвид, че x и y тук са независими един от друг. Ако човек вместо това ще използва някое от линейните изречения

) textit {most}: x (A (x), / textit {most}: y (B (y), R (x, y))) / \ textit {most}: y (B (y), / textit {most}: x (A (x), R (x, y))))

тогава или y зависи от x или обратно. Двуизмерният синтаксис в (41) отразява тази семантична независимост. ^[35]

Може да се покаже, че (Br (textit {most}, / textit {most})) не може да се изрази само в (FO (textit {most})); наистина не е с някакъв ограничен брой монадични количествени характеристики (за доказателство вижте Hella, Väänänen и Westerståhl (1997)). От друга страна, квантовете за разклоняване се получават с операция "повдигане", прилагана към монадични квантори и подобно за възобновяване. В действителност, въпреки че естественият език има многобройни полиадични квантори много отвъд границата на Фреге, все пак може да се обоснове твърдението, че всички те се получават от монадни квантори по систематичен начин.

17. Теория и лингвистика на GQ

Появата на обобщени квантори е оказало огромно влияние върху лингвистичната семантика чрез работата на Монтег в края на 60-те години, подсилена от прилагането на моделно-теоретични методи в началото на 80-те години от Барауд и Купър, Кинан и Стави и други (виж бележка 21). В почти всички примери в тези произведения естественият език беше английският. Оттогава лингвистите прилагат и тестват инструментите и методите на „теорията на GQ“на други езици. Колекцията Bach et al. (1995) има, наред с други неща, седем казуса за количествено определяне на други езици. Той също така подчертава разликата между D-количественото и A-количественото определяне. При D-количествено определяне, което повечето от нашите примери досега показват, изразът на квантора е (обикновено) детерминатор, който се прилага за съществително. Определянето на количеството се извършва по други начини-A означава за наречия, помощни средства,корекции и коректори на структурата на аргументите. Много езици предпочитат A-количествено определяне, някои изключително. Английският има и двата вида; припомнете наречията за количествено определяне в (38).^[36]

Съвсем наскоро томовете Keenan и Paperno (2012) и Paperno и Keenan (2017) имат отделна глава, отговаряща на фиксиран набор от въпроси за изразяване на количествено определяне за всеки от 34 различни езика (различен също от споменатите по-горе), за да се направи обширен опис на техните изразителни ресурси. ^[37]Подходът е семантичен: въпросите са във формата „Може ли човек да изрази X на вашия език, и ако да, по какви начини?“, Което позволява точни въпроси за консервативността, монотонността, полярността, монадиката спрямо полиадичното количествено определяне и т.н. до да бъдат поставени на всеки език. Обобщението в последната глава показва, че много от обобщенията, които се отнасят за английския език, касаещи съществуването на изрази, обозначаващи определени количествени характеристики и свойствата на тези, се отнасят също така към всички или повечето от другите изучени езици (Keenan и Paperno list 25 такива обобщения).

От друга страна, в началото на 90-те някои езиковеди твърдят, че теорията на GQ не е в състояние да отчете редица важни семантични явления - в английския и други езици, свързани с количественото определяне. Szabolcsi (2010) дава подробна информация за това развитие. Един от въпросите е, че теорията на GQ изглежда няма какво да каже за композиционното значение на сложните детерминатори. Например, как значението на повече от пет произлиза от значенията на неговите части? Или помислете за повечето, което често се третира като обикновен детерминатор, въпреки че значението му трябва някак да идва от това, че е превъзходна на повече.

Друго проблематично явление е обхватът. Макар че теорията на GQ по принцип изглежда позволява всички теоретично възможни изгледи на вложени изрази в количествено отношение, естествените езици имат ограничения, регулиращи кои от тях всъщност са разрешени. Всъщност обхватът е основна тема в езиковия синтаксис и семантика и сложна. Проблемът е и методологически: как да се определи дали дадено изречение S може всъщност да означава Y (където Y съответства на определен обхват)? Първо, трябва да се филтрират случаите, когато недостъпността на Y зависи от фактите за света, а не от езика. Второ, чиито интуиции трябва да се броят: лингвистичните или тези на родни езици в тестова ситуация или може би статистическите доказателства трябва да играят роля? Все още,макар да е вярно, че много четения, които на пръв поглед изглеждат невъзможни, всъщност са достъпни в достатъчно специфичен контекст, вероятно е езиците да имат ограничения за обхвата извън обхвата на теорията на GQ.^[38]

Теоретикът на GQ може да отговори, че инструментите й никога не са били предназначени да обяснят напълно обхвата или да позволят композиционни анализи на всеки сложен израз. Модел-теоретичната рамка е на първо място описателна: тя предоставя математически обекти, които могат да служат като (модели на) значение, и да формулират свойствата на и отношенията между тези обекти. Понякога фактите за математическите обекти разкриват прозрения за нещата, които те моделират, както в случая на монотонност и полярност, или случай на значението на съединени съществителни фрази. Но няма причина да очакваме това да се случва във всеки случай.

Това са позиции в непрекъснат дебат относно ролята на формалните методи и в частност на моделно-теоретичните инструменти в семантиката; дебат, който в никакъв случай не е уреден. Изглежда ясно, че феномените, свързани с количественото определяне на естествените езици, продължават да дават отличен материал за това обсъждане.

18. Количествено определяне и познание

През последните години се наблюдава експлозия на работа, свързваща семантиката, разсъжденията и познанието, голяма част от тях са свързани с това как ораторите разбират и учат и разсъждават с количествено изразени изрази. Основна направление на изследване се отнася до монотонността (раздел 13). Вече Barwise and Cooper (1981) отбелязват повсеместността на монотонните квантори в естествените езици и предлагат начин да се покаже, че монотонните квантори се обработват по-лесно от немонотонните и че увеличаването на количествените характеристики е по-лесно от намаляването. Те също така предполагат, че психологическите експерименти могат да бъдат използвани за тестване на тяхната хипотеза. Техническото им предложение е разработено по-нататък във Ван Бентхем (1986), който въвежда понятие за сложност на броя и показва, че при някои предположения,квантовете с минимална сложност на броене са именно тези с определено силно свойство на монотонност.^[39]

Монотонността също е замесена в това, което ван Бентхем нарече „едноетапно” разсъждение, което изглежда е лесно достъпно за оратори. Поведението на монотонността на основните детерминанти вече показва как се разсъждава такова разсъждение. Маркиране надясно увеличаващ (намаляващ) тип ({ langle} 1,1 { rangle}) количествени характеристики с + (a (-)) вдясно, и подобно за лявата монотонност, имаме например:

(- / textit {всеки} +) (+ / textit {някои} +) (- / textit {не} -) (cdot \, / textit {повечето} +) (cdot \, / textit {точно три}, / cdot)

където (cdot) означава, че позицията нито намалява, нито се увеличава. Хубав пример е следният извод (от Icard and Moss (2014), адаптиране на пример в Geurts and Slik (2005)):

(43) Повечето американци, които знаят чужд език, го говорят у дома Повечето американци, които знаят чужд език, го говорят у дома или на работа

Предположението е „магарешко изречение“с повечето и е известно трудно да се определят точните условия на истината за тях. Всъщност са възможни няколко показания. ^[40] Въпреки това, ораторите изглежда нямат проблем да направят това заключение, очевидно, тъй като повечето се увеличават правилно (VP аргументът го говори у дома, е разширен, за да го говори у дома или на работното място), независимо от това какво съществително съществително фраза (една и съща и в двете изречения) точно означава.

Много други изрази и фрази, освен детерминантите, показват фиксирани модели на монотонност. Започвайки с ван Бентхем (1986), това доведе до алгоритми за това как маркерите за полярност се присвояват на възлите на дърветата за анализ на изреченията (по отношение на дадена граматика) или как да се включат такива маркери директно в нотация на типа; вижте Icard and Moss (2014) за преглед и допълнителни справки. Освен ролята им в извода, подобно маркиране може също да обясни, а понякога дори и да предвиди, разпределението на елементите с отрицателна полярност на езици (края на раздел 13). Нещо повече, в много случаи не е необходим синтактичен анализ: изводите могат да се правят директно в повърхностна форма и в този смисъл биха били достъпни „в движение“за ораторите; сравнение (43). Току-що споменатият документ представя и цялостна аксиоматизация на формално смятане за монотонност,в които могат да се изразят много разновидности на разсъждения с монотонност.^[41]

Донякъде паралелно развитие беше официалното изследване на различни силогистични фрагменти; в раздел 2 отбелязахме, че много силогизми изразяват свойства на монотонност. Тези фрагменти, повечето от които са изследвани от Ian Pratt-Hartmann и най-вече от Лари Мос, варират от тези, съдържащи само прости изречения като allXY или someXY, до такива, позволяващи допълнения, относителни клаузи, преходни глаголи, количествени характеристики от първия ред, и други функции. Ето един пример (Moss pc) за извод в такъв фрагмент:

Всеки харесва всеки, който харесва Пат Пат харесва всеки кларнетист

Това илюстрира как доста замесените разсъждения могат да бъдат изразени на прост силогистичен език. Изводът е валиден, но човек трябва да помисли малко, за да види това. ^[42] Основна характеристика на повечето от тези фрагменти е, че освен че имат явни пълни аксиоматизации, валидността в тях е определяема, за разлика от логиката от първи ред. Това важи и за някои фрагменти с квантори, които не могат да се определят от FO. Подобно на изчислението за монотонност, изучаването на силогистични фрагменти е част от начинанието, донякъде свободно наречено естествена логика, което води до добре поддържани подсистеми от по-познати логики, в смисъл да са едновременно по-близки до естествения език и изчислително по-проследими; вижте Moss (2015) за проучване. ^[43]

От когнитивна страна, въпросите за разбиране и учене, свързани с количественото определяне и монотонността, са изучени както в психологията, така и в невронауката. Geurts и Slik (2005) попитаха субектите дали някои изводи, включващи монотонност, са валидни или не; резултатите до голяма степен потвърждават по-ранните хипотези на Barwise и Cooper. Значението на отделните детерминанти също е проучено емпирично; Pietroski et al. (2009) разгледа най-много, където методът беше да се покаже на субектите картина с жълти и сини точки за много кратко време (за да се елиминира броенето) и да попитат, ако е вярно или невярно, че повечето точки са жълти. Вариации на този вид експерименти са често срещани в литературата; скорошен пример е Odic et al. (2018), който изучава разграничението на масата / броя в познанието и семантиката. И двете проучвания включват чувството за човешкото число и връзката му с разбирането на количествения език. Човек може да се забавлява с „хорфска“хипотеза, че последната е предпоставка за първата. Това е тествано с невробиологични методи (методи за сканиране на мозъка, комбинирани с психологически тестове с пациенти, страдащи от различни мозъчни разстройства) в Clark and Grossman (2007). Те не намериха никаква емпирична подкрепа за тази хипотеза; вижте също Clark (2011a) за описание на експеримента и повече за изследванията за количествено определяне и смисъл на числата. Това е тествано с невробиологични методи (методи за сканиране на мозъка, комбинирани с психологически тестове с пациенти, страдащи от различни мозъчни разстройства) в Clark and Grossman (2007). Те не намериха никаква емпирична подкрепа за тази хипотеза; вижте също Clark (2011a) за описание на експеримента и повече за изследванията за количествено определяне и смисъл на числата. Това е тествано с невробиологични методи (методи за сканиране на мозъка, комбинирани с психологически тестове с пациенти, страдащи от различни мозъчни разстройства) в Clark and Grossman (2007). Те не намериха никаква емпирична подкрепа за тази хипотеза; вижте също Clark (2011a) за описание на експеримента и повече за изследванията за количествено определяне и смисъл на числата.

Към момента има доста голям брой емпирични проучвания за това как различните класове квантори, идентифицирани чрез логически или изчислителни средства, се отразяват по отношение на учене, разбиране, когнитивно натоварване и др. Обратно, езиковите и познавателните факти подсказват нови теоретични въпроси. Например, що се отнася до изчислителната сложност, Sevenster (2006) показа, че разклоняването на повечето, както в (40) в раздел 9, е невъзможно. ^[44]Впоследствие Szymanik забеляза, че ако операциите по възобновяване и итерация (както съответно в (38) и (36)) се прилагат към PTIME квантовете, резултатът отново е в PTIME, за разлика от разклоняването. По подобен начин, някои форми на реципрочни конструкции запазват PTIME изчислимост, докато други не: "повдигане" точно пет с RECIP, както в (39a), но подобно повдигане повечето като в (39b) не.

В настройката на семантичните автомати на Ван Бентхем (раздел 9), Steinert-Threlkeld и Icard (2013) доказват, че границата на Frege (раздел 16) е здрава в смисъл, че ако два типа Conserv и Ext ({ langle} 1,1 { rangle}) квантовете са разпознаваеми чрез ограничени (или натискащи) автомати, тогава това е итерацията им. Нещо повече, Steinert-Threlkeld (2016) показа, че за големи класове квантори на тип ({ langle} 1,1,2 { rangle}) е решаващо дали те са повторения от тип ({ langle} 1, 1 { rangle}) количествени характеристики или не. Скорошно представяне както на теоретични, така и на емпирични резултати около когнитивните аспекти на разпознаването на количествата е Szymanik (2016).

Дадени са изчислителни модели за усвояване на значението на количествените характеристики; например от Clark (2011a) в настройката на семантичните автомати. В скорошна разработка Steinert-Threlkeld и Szymanik (предстоящи) изучават изучаемостта с технологията на невронните мрежи, като тестват дали определени количествени характеристики, отговарящи на три често предложени универсали - че обикновените детерминатори са съответно монотонни, Isom и Conserv - по-лесно се научават отколкото квантори, които нямат тези свойства. За всеки универсален периодът отнема на мрежата, за да усвои квантора, който го удовлетворява, се сравнява с времето, необходимо за усвояване на количествен показател, който не го прави. Оказва се, че монотонните и Isom са по-лесни от немонотонните и не-Isom, докато за Conserv няма откриваема разлика. ^[45]

Това са само проблясъци на текущи изследвания. Изследването на това как ораторите обработват количествено изразени изрази, комбинирайки основния моделно-теоретичен анализ с методи от психологията, невронауката и компютърните науки, понастоящем е богата област в изследването на обобщените количествени характеристики.

библиография

• Бах, Емон, Елоаза Йелинек, Анжелика Крацер и Барбара Х. Партей (ред.), 1995, Количествено определяне на естествените езици, (Изследвания по лингвистика и философия 54), Дордрехт: Спрингер Холандия. DOI: 10.1007 / 978-94-017-2817-1
• Barwise, Jon, 1979, “On Branching Quantifiers in English”, Journal of Philosophical Logic, 8 (1): 47–80. Дой: 10.1007 / BF00258419
• Barwise, Jon and Robin Cooper, 1981, „Обобщени квантори и естествен език“, лингвистика и философия, 4 (2): 159–219. Дой: 10.1007 / BF00350139
• Barwise, Jon and Solomon Feferman (eds.), 1985, Model Theoretic Logics, (Перспективи в математическата логика), Ню Йорк: Springer-Verlag.
• van Benthem, Johan, 1986, Есета в логическата семантика, (Изследвания по лингвистика и философия, 29), Dordrecht: D. Reidel.
• –––, 1989, „Полиадични квантори“, лингвистика и философия, 12 (4): 437–464. Дой: 10.1007 / BF00632472
• van Benthem, Johan FAK и Alice ter Meulen (ред.), 2011 г., Наръчник по логика и език, второ издание, Амстердам: Elsevier.
• Bonnay, Denis, 2008, „Логичност и инвариантност“, Бюлетин на символичната логика, 14 (1): 29–68. DOI: 10.2178 / BSL / 1208358843
• Cartwright, Richard L., 1994, „Като говорим за всичко“, Noûs, 28 (1): 1–20. DOI: 10.2307 / 2215917
• Кларк, Робин, 2011a, „Обобщени квантори и смислово число“, Философски компас, 6 (9): 611–621. DOI: 10.1111 / j.1747-9991.2011.00419.x
• –––, 2011b, „За обучението на квантовете“, в Van Benthem и ter Meulen 2011: 911–923.
• Кларк, Робин и Мъри Гросман, 2007, „Интерпретация на числения смисъл и количествен показател“, Топои, 26 (1): 51–62. Дой: 10.1007 / s11245-006-9008-2
• Dalrymple, Mary, Makoto Kanazawa, Yookyung Kim, Sam McHombo и Stanley Peters, 1998, „Реципрочни изрази и концепция за реципрочност“, лингвистика и философия, 21 (2): 159-210. Doi: 10.1023 / A: 1005330227480
• Ебингхаус, Хайнц-Дитер и Йорг Флум, 1995, Теория на крайните модели, (Спрингерски монографии по математика), Берлин: Спрингер Берлин Хайделберг. DOI: 10.1007 / 3-540-28788-4
• Ебингхаус, Хайнц-Дитер, Йорг Флум и Волфганг Томас, 1994 г., Математическа логика (Einführung in die mathematische Logik), второ издание, Ню Йорк: Springer-Verlag. DOI: 10.1007 / 978-1-4757-2355-7
• Филин Карлсон, Мартин, 2017, „Всичко, което съществува: относно семантиката на количественото определяне на абсолютно всичко“, д-р. Теза, Университет в Гьотеборг, (Acta Philosophica Gothoburgensia 31). [Karlsson 2017 на разположение онлайн]
• Geurts, Bart и Frans van der Slik, 2005, „Монотонност и обработка на натоварването“, Journal of Semantics, 22 (1): 97–117. DOI: 10.1093 / Джос / ffh018
• Glanzberg, Michael, 2004, „Количествено определяне и реализъм“, Философия и феноменологични изследвания, 69 (3): 541–572. DOI: 10.1111 / j.1933-1592.2004.tb00518.x
• Hackl, Martin, 2000, "Сравнителни количествени характеристики", докторска дисертация, Масачузетски технологичен институт. [Hackl 2000 на разположение онлайн]
• Hella, Lauri, 1989, „Йерархии на дефинираността на обобщените квантори“, Анали на чистата и приложна логика, 43 (3): 235–271. DOI: 10,1016 / 0168-0072 (89) 90070-5
• Hella, Lauri, Jouko Väänänen, and Dag Westerståhl, 1997, „Определяемост на полиадичните повдигания на обобщени количествени характеристики“, Journal of Logic, Language and Information, 6 (3): 305–335. Doi: 10.1023 / A: 1008215718090
• Хенкин, Леон, 1961 г., „Някои забележки за безкрайно дълги формули“, в „Безкрайни методи: Събития на симпозиума за основите на математиката“, Варшава, 2–9 септември 1959 г., Оксфорд: Пергамон Прес, 167–183.
• Хигинботам, Джеймс и Робърт Мей, 1981, „Въпроси, квантори и кръстосване“, Лингвистичен преглед, 1 (1): 41–79. Дой: 10.1515 / tlir.1981.1.1.41
• Hintikka, Jaakko, 1973, „Квантори за теория на количественото измерване“, Диалектика, 27 (3–4): 329–358. DOI: 10.1111 / j.1746-8361.1973.tb00624.x
• Хопкрофт, Джон Е. и Джефри Д. Улман, 1979 г., Въведение в теорията на автоматите, езици и изчисления (Серия на Аддисън-Уесли в областта на компютърните науки), Рединг, МА: Аддисън-Уесли.
• Icard III, Thomas F., 2014, „Syllogistics на по-висок ред“, във формална граматика 2014, Glyn Morrill, Reinhard Muskens, Rainer Osswald и Frank Richter (ред.), (Бележки от лекции в компютърните науки 8612), Берлин, Хайделберг: Springer Berlin Heidelberg, 1–14. DOI: 10.1007 / 978-3-662-44121-3_1
• Икар III, Томас Икард и Лорънс С. Мос, 2014, „Скорошен напредък в монотонността“, в перспективите на семантичните представи за текстово заключение (LiLT 9), Stanford, CA: CSLI Publications, 167–194. [Icard and Moss 2014 достъпна онлайн]
• Икард, Томас, Лорънс Мос и Уилям Туйн, 2017, „Изчисляване на монотонността и нейната пълнота“, в сборник от 15-та среща по математика на езика, Лондон, Великобритания: Асоциация по компютърна лингвистика, 75–87. DOI: 10.18653 / v1 / W17-3408
• Кинан, Едуард Л., 1992, „Отвъд границата на Фреж“, лингвистика и философия, 15 (2): 199-221. Дой: 10.1007 / BF00635807
• Кинан, Едуард Л. и Леонард М. Фалц, 1984, Булева семантика за естествен език, Дордрехт: Спрингер Холандия. DOI: 10.1007 / 978-94-009-6404-4
• Кинан, Едуард Л. и Лорънс Мос, 1985, „Обобщени квантори и изразителната сила на естествения език“, в Обобщени квантори в естествен език, Алис тер Меулен и Йохан ван Бентхем (ред.), Берлин, Бостън: Де Грютер, 73–124. DOI: 10.1515 / 9,783,110,867,909.73
• Keenan, Edward L. и Denis Paperno (ред.), 2012 г., Наръчник на квантовете в естествения език, (Изследвания по лингвистика и философия 90), Dordrecht: Springer Netherlands. DOI: 10.1007 / 978-94-007-2681-9
• Кинан, Едуард Л. и Джонатан Стави, 1986, „Семантична характеристика на определящите естествения език“, лингвистика и философия, 9 (3): 253–326. Дой: 10.1007 / BF00630273
• Keenan, Edward L. и Dag Westerståhl, 2011, „Обобщени квантори в лингвистиката и логиката“, в Van Benthem and ter Meulen 2011: 859–910.
• Lewis, David, 1975, „Прислови за количествено определяне“, в „Формална семантика на естествения език“, Edward L. Keenan (ed.), Cambridge: Cambridge University Press, 3–15. Дой: 10.1017 / CBO9780511897696.003
• Lindström, Per, 1966, „Логика на предикатите от първи ред с обобщени квантори“, Теория, 32 (3): 186–195. DOI: 10.1111 / j.1755-2567.1966.tb00600.x
• Linnebo, Øystein, 2006, „Набори, свойства и неограничено количествено определяне“, в Rayo и Uzquiano 2006: 149–178.
• Луосто, Керко, 2000, „Йерархии на монадични генерализирани квантори“, сп. „Символична логика“, 65 (3): 1241–1263. DOI: 10.2307 / 2586699
• Монтег, Ричард, 1974, Формална философия: Избрани доклади на Ричард Монтег, Ричмънд Х. Томасън (съст.), Ню Хейвън, CT: Yale University Press.
• Мос, Лорънс С., 2015, „Естествена логика”, в Наръчника на съвременната семантична теория, Шалом Лапин и Крис Фокс (ред.), Второ издание, John Wiley & Sons, 646–681.
• Mostowski, Andrzej, 1957, „За обобщаването на количествените характеристики“, Fundamenta Mathematicae, 44 (1): 12–36. Doi: 10.4064 / FM-44-1-12-36
• Mostowski, Marcin, 1998, „Изчислителна семантика за монадични квантори“, Списание за приложна некласическа логика, 8 (1–2): 107–121. DOI: 10.1080 / 11663081.1998.10510934
• Одик, Дарко, Пол Пиетроски, Тим Хънтър, Джъстин Халберда и Джефри Лидц, 2018, „Индивиди и не-индивиди в познанието и семантиката: Представяне на масите / броя и количественото представяне“, Glossa: Списание за обща лингвистика, 3 (1): 61. doi: 10.5334 / gjgl.409
• Paperno, Denis и Edward L. Keenan (ред.), 2017, Наръчник на квантовете в естествения език: том II, (Изследвания по лингвистика и философия 97), Cham: Springer International Publishing. DOI: 10.1007 / 978-3-319-44330-0
• Парсънс, Теренс, 1997 [2017], „Традиционният площад на опозицията“, Енциклопедия на философията на Станфорд, (лято 2017), Едуард Н. Залта (съст.). URL =
• Питърс, Стенли и Даг Вестерстол, 2002, „Дали английският наистина има постоянна количествена оценка?“, В „Конструкцията на смисъла“, Дейвид I. Бийвър, Луис Д. Касилас Мартинес, Брейди З. Кларк и Стефан Кауфман (ред.), Станфорд, CA: Публикации на CSLI, 181–195.
• –––, 2006 г., Квантори в езика и логиката, Оксфорд: Университет Оксфорд. DOI: 10.1093 / acprof: ОСО / 9780199291267.001.0001
• –––, 2013, „Семантика на владетелите”, Език, 89 (4): 713–759. Дой: 10.1353 / lan.2013.0065
• Pietroski, Paul, Jeffrey Lidz, Tim Hunter и Justin Halberda, 2009, „Значението на„ повечето “: семантика, численост и психология“, Mind & Language, 24 (5): 554–585. DOI: 10.1111 / j.1468-0017.2009.01374.x
• Райо, Августин, 2012, „Преосмислена абсолютна генералност“, в „Оксфордски изследвания по метафизика“, том 7, Карън Бенет и Дийн У. Цимерман (ред.), Оксфорд: Университет Оксфорд прес, 93–126. DOI: 10.1093 / acprof: ОСО / 9780199659081.003.0004
• Rayo, Agustín и Gabriel Uzquiano (ред.), 2006 г., Абсолютна генералитет, Оксфорд: Clarendon Press.
• Шер, Гила Й., 1997, „Частично подредени (разклоняващи се) обобщени квантори: Обща дефиниция“, сп. „Философска логика“, 26 (1): 1–43. Doi: 10.1023 / A: 1017944808396
• Steinert-Threlkeld, Shane, 2016, „Някои свойства на итеративните езици“, сп. „Логика, език и информация“, 25 (2): 191–213. Дой: 10.1007 / s10849-016-9239-6
• Steinert-Threlkeld, Shane и Thomas F. Icard III, 2013, “Iterating Semantic Automata”, Лингвистика и философия, 36 (2): 151–173. Дой: 10.1007 / s10988-013-9132-6
• Steinert-Threlkeld, Shane и Jakub Szymanik, предстоящи „Учебни и семантични университети“, Семантика и Прагматика. [Steinert-Threlkeld и Szymanik предстоящи достъпни онлайн]
• Szabolcsi, Anna, 2010, количествено определяне, Cambridge: Cambridge University Press. Дой: 10.1017 / CBO9780511781681
• Szymanik, Jakub, 2016, Квантори и познание: Логически и изчислителни перспективи, (Изследвания по лингвистика и философия 96), Cham: Springer International Publishing. DOI: 10.1007 / 978-3-319-28749-2
• Westerståhl, Dag, 1987, „Разклоняване на обобщени квантори и естествен език“, в „Обобщени квантори“, Peter Gärdenfors (ed.) (Изследвания по лингвистика и философия 31), Dordrecht: Springer Netherlands, 269–298. DOI: 10.1007 / 978-94-009-3381-1_10
• –––, 1989 г., „Квантори в официалните и естествените езици“, в Наръчника по философска логика, Дов М. Габай и Франц Гюнтнер (ред.), Дордрехт: Спрингер Холандия, 4: 1–131. Препечатано, 2007 г., Наръчник по философска логика, Дов М. Габай и Франц Гюентнер (ред.), Дордрехт: Спрингер Холандия, 14: 223–338. DOI: 10.1007 / 978-1-4020-6324-4_4
• –––, 1994, „Итерационни квантори“, в областта на динамиката, полярността и количественото определяне, Макото Каназава и Кристофър Дж. Пиньон (ред.), (Бележки към лекциите на CSLI 48), Станфорд, Калифорния: Публикации на CSLI, 173–209.
• –––, 2012, „Класически срещу модерни квадрати на опозиция и отвъд нея“, в „Площадът на опозицията: Обща рамка за познание“, Жан-Ив Безио и Гилман Пайет (ред.), Берн: П. Ланг, 195 -229.
• –––, 2017, „Същото“, във Feferman on Foundation, Герхард Ягер и Уилфрид Зиг (ред.), (Изключителен принос към логиката 13), Cham: Springer International Publishing, 449–467. DOI: 10.1007 / 978-3-319-63334-3_16
• Уилямсън, Тимоти, 2003, „Всичко“, Философски перспективи, 17 (1): 415–465. DOI: 10.1111 / j.1520-8583.2003.00017.x

Академични инструменти

	Как да цитирам този запис.
	Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
	Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
	Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси

[Моля, свържете се с автора с предложения.]