Предлагаща функция

2023 Автор: Noah Black | [email protected]. Последно модифициран: 2023-08-25 04:38

Навигация за влизане

• Съдържание за участие
• библиография
• Академични инструменти
• Friends PDF Preview
• Информация за автора и цитирането
• Върнете се в началото

Предлагаща функция

За първи път публикувано сря 20 юли 2011 г.

Както подсказва името, функциите на предложение са функции, които имат своите предложения като стойности. Пропозиционните функции са изиграли важна роля в съвременната логика, от тяхното начало в теорията на концепциите на Фреге и техните анализи в работата на Ръсел, до появата им в много общ вид в съвременната теория на типа и категориалната граматика.

В тази статия давам исторически преглед на използването на предложения на функции в логическата теория и на възгледите за тяхната същност и онтологичен статус.

• 1. Предистория
• 2. Логиката на роднините
• 3. Пропозиционни функции и раждането на математическата логика
• 4. Фрегейски функции и понятия
• 5. Възникване на предложения за функции
• 6. Предлагащи функции в теорията на простия тип
• 7. Предлагащи функции в теорията на рамифицирания тип
• 8. Какво е предложение за функция в Ръсел?
• 9. Възможни светове и предложения за функции
• 10. Семантика на Монтегей
• 11. Категорична граматика
• 12. Заключение

• библиография

  • Важни произведения, в които предложенията за функции играят ключова роля
  • Учебници, в които функциите на предложението присъстват на видно място
  • Други основни източници:
  • Други цитирани произведения
• Академични инструменти
• Други интернет ресурси
• Свързани записи

1. Предистория

Преди да започнем обсъждането на предложенията, ще бъде полезно да отбележим какво е имало преди въвеждането им. В традиционната логика ролята на предлагащите функции е приблизително задържана от термини. В традиционната логика изявленията като „кучетата са бозайници“се третират като постулираща връзка между термините „кучета“и „бозайници“.

Терминът се третира или разширено като клас от обекти или интензивно като набор от свойства. „Намерението“на термина „куче“включва всички свойства, които са включени в намерението за „бозайник“. Интензивното третиране на „кучетата са бозайници“тълкува това изречение като вярно, защото семантичната интерпретация на субекта е суперсет от интерпретацията на предиката. По отношение на разширеното третиране на изречението обаче изречението е вярно, тъй като тълкуването на предмета (класа на кучетата) е подмножество на интерпретацията на предиката (набора от бозайници).

Тези две обработки на предиката са характерни за двете традиции в традиционната логика - интензивната и екстензионалната традиции. Логиците, които могат да бъдат отчетени сред интензивните логици, са Готфрид Лайбниц, Йохан Ламберт, Уилям Хамилтън, Стенли Джевънс и Хю Маккол. Сред разширените логици са Джордж Бул, Август Де Морган, Чарлз Пърс и Джон Вен.

Третирането на термини в свойството на интензивната логическа традиция на определени изречения може да изглежда странно за съвременните читатели. Желанието да предикат, в 20 ^-ти философия век, включва само тези свойства, които всеки компетентен говорител на език ще свързваме с този предикат. Тези свойства не са достатъчни, за да направя истински обикновени твърдения като „всяко куче в къщата ми спи“. Но можем да осмислим интензивния възглед на термините, като вземем предвид неговия произход. Един от основателите на интензивната логическа традиция е Лайбниц, който смята, че всички истини са обосновани в природата на индивидите. Пълната концепция на индивида съдържа всичко, което е вярно за него. Изхождайки от това, можем да видим, че пълната концепция на термин ще включва достатъчно, за да обоснове всяка истина за него.

Както в интензивната, така и в екстензионалната логическа традиция виждаме теории на сложни термини. В разширителната традиция дизъюнктивните и конюнктивни термини се тълкуват чрез обединяване и пресичане на класове. Конюнктивният термин AB се интерпретира като пресечната точка на клас A и клас B, а разширението на дизъюнктивния термин A + B се разбира като обединение на разширенията на A и B.

В интензивната традиция, обратното важи. Терминът AB се интерпретира като обединение на свойствата в намерението на A, а намерението на B и A + B се интерпретира като пресичане на свойствата в A и B. Това обръщане има смисъл, тъй като повече неща отговарят на по-малък брой свойства, а по-малко неща отговарят на по-голям брой свойства.

Въпреки че някои от логиците, работещи в терминовата логика, имат много сложно лечение на отрицанието, можем да видим произхода на съвременната концепция и в разширената традиция. В Бул и повечето негови последователи отричането на термин се разбира като множеството теоретично допълнение на класа, представен от този термин. Поради тази причина отричането на класическата логика на предложенията често се нарича „булева отрицание“.

2. Логиката на роднините

В „Логиката на роднините“(1883) на Чарлз Пърс виждаме ход към разбирането на термините като функции. Един от проблемите с традиционната термин логика е, че тя няма способността да се справя с отношения. Логиката на роднините на Пърс е предназначена да коригира това. Той добавя термини към булева алгебра, които представляват отношения, и дава разширителна интерпретация на тях. Те не са предложни функции в пълния смисъл. Роднините на Пърс са „общи имена“, които представляват класове от двойки предмети (1883, 328). Така логиката на роднините представлява обобщение на традиционната логика, а не отклонение от нея.

Пърс разширява алгебрата от термини, за да се справи с конкретни особености на отношенията. Подобно на други термини, ние можем да имаме конюнктивни, дизюнктивни и отрицателни термини. Когато f и g са роднини, тогава fg представлява класа на двойки (I, J), така че аз нося и f, и g до J. По същия начин, дизюнктивният роднина, f + g е такъв, че представлява (I, J), ако нося или f или g до J и f '- отрицанието на термина f-представлява класа на двойки (I, J) такъв че f не се държи между тях. Пърс също има оператор за композиция;, такъв, че f; g имена (I, J), ако има някакво образувание K такова, че f имена (I, K) и g имена (K, J).

В „Критиката на аргументите“(1892 г.) Пърс възприема идея, която е още по-близка до тази на предложениевата функция. Там той развива концепцията за „ремата“. Той казва, че ремата е като относително понятие, но не е термин. Тя съдържа копула, тоест когато се присъедини към правилния брой аргументи, тя създава твърдение. Например „_ се купува от _ от _ за _“е рема на четири места. Прилагането му към четири обекта a, b, c и d поражда твърдението, че a се купува от b от c за d (пак там. 420).

Един особено интересен момент относно ремата на Пърс е, че той използва същата химическа аналогия като Фреге, когато обсъждат връзката между отношенията и техните аргументи. И двете сравняват отношенията (и свойствата) с „атомите или радикалите с ненаситени връзки“. Какво точно казва тази аналогия за отношенията или свойствата, или във Фреге, или в Пърс, е някак неясно.

Вижте записа по логиката на Пърс за по-пълно изложение на работата му.

3. Пропозиционни функции и раждането на математическата логика

В творчеството на Джузепе Пеано (1858-1932) откриваме друга важна стъпка към съвременната представа за предлагаща функция. Въпреки че работата му не е толкова сложна като тази на Фреге (виж по-долу), тя е важна, тъй като влияе особено върху Бертран Ръсел.

В своите „Принципи на аритметиката, представени с нов метод“(1889), Пеано въвежда предложения за съединителни съединения в съвременния смисъл (импликация, отрицание, конюнкция, дизъюнция и двусмислени константи) и предложни константи (verum и falsum).

По-важно за нас е лечението му на количествено определяне. Peano позволява предложенията да съдържат променливи, тоест той използва отворени формули. Той не дава интерпретация на открити формули. Той не ни казва какво представляват. Но те се използват в неговата теория за количествено определяне. Peano има само универсален количествен показател. Той не определя екзистенциален количествен показател в „Принципите“. Количественият показател винаги е прикрепен към условен или бикондиционален. Количествените предложения винаги са от формата

A ⊃ _{x, y,…} B

или

A = _{x, y,…} B

Peano чете „A ⊃ _{x, y,…} B“като казва „каквото и да е x, y,… може да бъде, от предложението A извежда B“, а „=“е двустранното, което той определя по обичайния начин от условното и връзка. Но той ни предоставя не повече интерпретация от това. Той се отнася до променливите като „неопределени обекти“, но не обсъжда каква е тази или каква може да бъде предложението (или предложението функция), което съдържа предложни обекти

4. Фрегейски функции и понятия

Във Frege имаме доста общо тълкуване на изреченията като изразителни функции, приложими към аргументите. Гледката, която изследвам тук, е тази, която той развива през 1890-те.

Обмислете изречението

Кучето ми спи на пода.

Това изречение, както всички езикови изрази, има както смисъл, така и референт. Смисълът му е абстрактен предмет-мисъл. Референтът е неговата стойност на истинността (която в момента е Истинската). Ще обсъдим скоро анализа на Фреге на мисълта, но точно сега да разгледаме референтите на изразите, съставляващи това изречение.

Изразът „моето куче“, според Фреге, е единствено понятие. Избира предмет (моето куче, Цермела). Изразът „спи на пода“се отнася до понятие. Концепциите са функции. В този случай концепцията е функция от обекти до стойности на истината (които също са обекти). Така че, можем да третираме горното изречение като представяне на концепцията _ спи на пода, като приложим към обекта моето куче.

Концепциите на Фреге са почти почти предложения за функции в съвременния смисъл. Frege ги изрично разпознава като функции. Подобно на ремата на Пърс, понятие е ненаситено. В известен смисъл те са непълни. Въпреки че Фреж никога не надхвърля метафоричното в своето описание на непълнотата на понятията и други функции, едно е ясно: разграничението между обекти и функции е основното разделение в неговата метафизика. Има нещо специално във функциите, което ги прави много различни от обектите.

Нека отново помислим „кучето ми спи на пода“. Фреж смята, че това изречение може да се анализира по различни различни начини. Вместо да го третираме като изразяване на приложението на _ спи на пода на моето куче, можем да мислим за това като израз на приложението на концепцията

кучето ми спи на _

към обекта

подът

(виж Frege 1919). Фреж разпознава това, което сега е често срещано в логическия анализ на естествения език. Можем да припишем повече от една логическа форма на едно изречение. Нека наречем това принципа на множество анализи. Фреж не твърди, че принципът винаги е валиден, но както ще видим, съвременната теория на типа твърди това.

По отношение на смисъла на изреченията те са резултат и от прилагане на функции към обекти. Чувството за „моето куче“е абстрактна цел. Усещането за „спи на пода“е функция от отделните сетива, като това на „моето куче“, до мислите (вж. Frege 1891). Усещането за „спи на пода“е концептуален смисъл. Изглежда, че принципът на множество анализи важи толкова за сетивата, колкото за референтните. Фреге обаче понякога говори така, сякаш сетивата на съставните изрази на изречение всъщност се съдържат някак в мисълта. Трудно е да се разбере как биха могли да се намират всички подобни сетива в мисълта, ако има различни начини, по които изречението може да се анализира в съставни изрази.

В допълнение към понятията и концептуалните сетива, Фреге счита, че има разширения на понятията. Фреге нарича разширение на понятието „курс на ценностите“. Курсът на стойностите се определя от стойността, която концепцията има за всеки свой аргумент. По този начин курсът на стойности за концепцията _ е куче записва, че стойността му за аргумента Цермела е Истинното, а за Сократ е Лъжливото и т.н. Ако две понятия имат еднакви стойности за всеки аргумент, тогава техните стойности са еднакви. По този начин курсовете на ценностите са екстензивни.

За повече информация относно теорията на концепциите на Фреге и връзката му с неговата логика, вижте записа на теоремата и основите на Фреге за аритметика.

5. Възникване на предложения за функции

Терминът „предложение за функция“се появява на печат за първи път в „Принципи на математиката“на Бертран Ръсел (1903). Ръсел въвежда понятието чрез обсъждане на видове предложения. Обмислете предложения от типа, който казва за нещо, че е куче. Това е видът „х е куче“. Този вид е предложение за функция, която отвежда всеки предмет o към твърдението, че o е куче.

В този период Ръсел твърди, че предложенията са субекти, които имат индивиди и свойства и отношения като съставни. Твърдението, че Сократ е човек, има Сократ и свойството да бъде човек като съставна част. В сложните предложения връзката между предложениевата функция и предложението е по-малко ясна. Подобно на Frege, Russell позволява абстракция на предложениевата функция от всяко пропускане на субект от предложение. Така можем да разгледаме предложението

ако Сократ пие кокошка, той ще умре

като представлява приложението на функцията

х пие кокошка ⊃ х ще умре

на Сократ или функцията

Сократ ще пие х ⊃ Сократ ще умре

до подгъва и т.н. С други думи, Ръсел приема принципа на множество анализи.

В Принципите количественият показател „всички“се анализира като част от препращащи фрази, които избират класове (1903, 72). Това, можем да видим, е задържане от разширените логици от 19 ^-ти век (виж раздел 1). Но в малко по-късни произведения, като например „За обозначаване“(1905 г.), предложенията за функции се твърдят като съставни части на универсалните предложения. Според този анализ, предложението, изразено с изречения като „Всички кучета лаят“се състои от предложението функция x е куче ⊃ x лае и функция (от предложения функции), която е представена от количествената фраза „всички“. Количествените предложения са интересни за нас, тъй като съдържат предложения на функции като съставни елементи.

Не е ясно дали Ръсел смята, че предлаганите функции също се изпълняват като съставни части в единствено предложение, като например, ако Сократ пие кокошарник, той ще умре. Тези предложения съдържат свойства, като щанци и връзки, като напитки, но противоречиво е дали Ръсел смята, че това са предложения на функции (вж. Linsky 1999 и Landini 1998).

6. Предлагащи функции в теорията на простия тип

Докато пише Принципите на математиката, Ръсел откри парадокса, който сега носи неговото име. Преди да стигнем до парадокса на Ръсел, нека обсъдим някакъв метод за диагонализация, чрез който се генерират този и много други парадокси.

Комплектът мощност на набор S, ℘ S съдържа всички подмножества на S. Георг Кантор (1845–1918) използва метода на диагонализация, за да покаже, че за всеки набор S ℘ S е по-голям от S.

Ето доказателството на Кантор. Да предположим, че ℘ S и S са еднакви по размер. След това, в рамките на регламентирания теорията определението за "същия размер" (по-правилно ", същото кардиналност ') има едно-към-едно surjection между S и S ℘. Това означава, че има функция, която свързва всеки член на S с уникален член от ℘ S, така че да няма останали членове на ℘ S. Нека да наречем тази функция, f. Тогава, ако x е член на S, f (x) е в ℘ S. Сега, тъй като ℘ S е множеството на мощността на S, може да е, че x е във f (x) или може да не е в f (x). Нека сега определим набор С:

C = {x ∈ S: x ∉ f (x)}

Ясно е, че C е подмножество на S, така че е в ℘ S. По хипотеза, f е върху -за всеки член y на ℘ S, има x ∈ S такъв, че f (x) = y. Следователно трябва да има някои c ∈ S, така че

f (c) = С

Сега или

c ∈ C

или

c ∉ C.

Да предположим, че c е в C. Тогава, по дефиницията на C, c не е в f (c). Тоест, c ∉ C. Но, ако c не е в C, тогава c ∉ f (c). И така, по дефиницията на C, c е в C. По този начин,

c е в C, ако и само ако c не е в C.

Следователно предположението, че даден набор е със същия размер като неговия набор от мощност, води до парадокс и затова това предположение трябва да е невярно.

Теоремата на Кантор има важни последици за теорията на предложенията функции. Помислете за модел на логически език (от първи ред), който има домейн D. Променливите на езиковия диапазон спрямо членове на D. Сега нека добавим предикатни променливи към езика. Те представляват предложения за функции. Как да ги интерпретираме в модела? Стандартният начин на правене, който е наследен от логиката на разширението, е да има предикативни променливи в подмножество на домейна. Модел, в който предикативните променливи варират във всички подмножества на домейна, се нарича „стандартен модел“за логика от втори ред. Теоремата на Кантор ни казва, че домейнът за предикатните променливи в стандартния модел е по-голям от този за отделни променливи. Ако имаме предикати на предикати,тогава домейнът за предикатите от трети ред е още по-голям. И така нататък.

Парадоксът на Ръсел е тясно свързан с теоремата на Кантор. Има две версии на парадокса: (1) версията на класа; (2) версия на предложението за функция. Обсъждам само вариантната версия на парадокса.

В ранните си писания Ръсел иска логиката да бъде универсална наука. Тя трябва да ни позволи да говорим за свойствата на всичко. По този начин той означава, че променливите в логиката трябва да се приемат за обхват над всички единици. Но предложенията, поне в Принципите, са субекти. Така че променливите трябва да варират над тях. Сега помислете предиката R такъв,

(∀ x) (Rx = ¬ xx)

(Предикатът на Ръсел R е много подобен на множеството на Cantor C.) Ако създадем инстанция и заместим R на x, получаваме

RR ≡ ¬ RR

Тогава изглежда, че третирането на променливи като напълно общо, заедно със свободата да се определят предложенията функции чрез всяка добре оформена формула, ни позволява да изведем противоречие.

Ръсел блокира противоречието в Принципите чрез въвеждането на теория за типовете. Това е проста теория на типовете, която разграничава само типовете различни предложения (или, в своята класова форма, на класове). Нека се отклоним от собственото изложение на Ръсел на теорията на типовете, за да дадем по-строга и по-модерна версия на теорията. Това ще улесни представянето ми на разгалената теория на типовете и на по-модерните версии на теорията на типовете.

Ще използваме един основен тип, i (типът индивиди) и ще дефинираме типовете както следва:

1. i е тип;
2. ако t ₁,…, t _n са типове, тогава така е <t ₁,…, t _n >, където n ≥ 0.
3. Нищо друго не е тип, освен при многократни приложения на (1) и (2).

Типът <t ₁, …, t _n > е типът на отношение между образувания от типове t ₁, …, t _n. Но за простота ще интерпретираме това като вида на функция, която отвежда тези субекти към предложение. (Обърнете внимание, че когато n = 0, тогава празният тип, е типът за предложения.) Това определение включва идеята за добре обоснована структура. Тук няма цикли. Не можем да имаме функция, която приема като аргумент функция от същия или по-висок тип. По този начин простата теория на типа забранява вида на самоприлагането, което поражда парадокса на Ръсел.

Типовата йерархия коректно съответства на йерархията на домейните, която видяхме при обсъждането на теоремата на Кантор. Унарният предикат има типа <i>; нейният домейн е D - набор от хора. Унарният предикат на предикати има тип << i >> и това съответства на домейна от подмножества на D. И така нататък.

За повече информация вижте статията за парадокса на Ръсел.

7. Предлагащи функции в теорията на рамифицирания тип

След принципите обаче Ръсел смята, че простата теория на типовете е недостатъчна. Причината за това е свързана с парадокса на лъжците. Да предположим, че „L“е име за предложението:

L е невярно.

Това твърдение е невярно, ако и само ако е вярно. Проблемът тук има нещо общо със самонасочването, но това не може да бъде избегнато само от простата теория за типовете. Само за прости типове ни дават йерархия от типове предложения за функции. В теорията на простия тип всички предложения имат един и същи тип.

Идеята на теорията за разклонен тип е да се въведе и йерархия на предложенията. На този възглед предложенията и функциите на предложение имат ред. Ако една предложениева функция се прилага към предложение на определен ред, тогава тя дава предложение на по-висок ред. И всяка функция трябва да има по-висок ред от своите аргументи. По този начин, ние избягваме парадокса на лъжците, като забраняваме предложението да се проявява в себе си. Ако предложение p се появи в рамките на друго предложение, тъй като аргументът на функция като x е невярно, полученото предложение е от по-висок ред от p.

За съжаление, Ръсел никога не дава точна формулировка на теорията за разклонен тип. Може би най-добрата формулировка се дължи на Alonzo Church (1976). ^[1]

Почти по едно и също време, докато приема разгалената теория за типовете, Ръсел изоставя предложенията. От около 1908 г. до 1918 г., въпреки че Ръсел запазва идеята, че има истински предложения, той отрича, че има неверни. Когато мислим за нещо, което е невярно, да речем, Цермела е котка, ние не мислим за невярно предложение, а по-скоро обектите на нашата мисъл са просто Цермела и свойството да бъдем котка. Може да изглежда странно да има йерархия, специално създадена да стратифицира предложенията и след това да твърди, че няма предложения. Някои преводачи обаче твърдят, че отричането на Ръсел за съществуването на предложения не трябва да се приема на сериозно и че има много добри причини да се чете Principia като до голяма степен теория на предложенията (вж. Church 1984).

Една от причините да се възприема сериозно разгалената теория на типовете (дори без да се приемат предложения) е, че тя може да бъде полезно включена в заместващата теория за количествено определяне. По отношение на заместващата интерпретация на квантовете, универсално количествената формула като (∀ x) Fx е вярна, ако и само ако всички нейни случаи Fa ₁, Fa ₂, Fa ₃, … са верни. По същия начин (∀ x) Fa е вярно, ако и само ако поне един от неговите случаи е истина.

Помислете за заместваща интерпретация на квантификатори с променливи, вариращи по предикати, както е във формулата, (∀ P) Pa. Тази формула е вярна, ако и само ако всички нейни инстанции са верни. В проста теория на типовете, типът на променливата P е <i>, тъй като нейните аргументи са всички индивиди (или единични термини). Но простият тип на функцията, (∀ P) Px също е. Така че екземпляр от (∀ P) Pa е (∀ P) Pa сам по себе си. Заместващата интерпретация на квантовете изисква инстанциите да са по-прости от формулите, на които са инстанции. В този случай откриваме само, че определена формула е вярна само ако е истина. Това е неинформативно и изглежда порочно кръгово.

За да блокираме този вид кръгообразност, можем да се обърнем към разклонената теория на типовете. В развъдената теория, предлагащата функция (∀ P) Px е от порядък 2, поради наличието на количествения елемент, обвързващ променлива от ред 1. По този начин разклонената теория принуждава формулите да бъдат по-прости (поне от гледна точка на ред), отколкото формулите, от които те са инстанции (вж. Hazen и Davoren 2000).

8. Какво е предложение за функция в Ръсел?

След 1905 г. виждаме в Ръсел парсимоничен наклон. Той иска да елиминира субектите от своята онтология. Известно време между 1908 и 1910 г. той започва да отрича съществуването на предложения и това отричане продължава, докато през 1918 г. не разработи теория на предложенията като структури на образи или думи. Каква е съдбата на предложенията? Може да ви се стори трудно да се разбере какво представлява предложението без наличието на предложения, но мнението на Ръсел не е толкова сложно. Ръсел отхвърля само неверни предложения. Той запазва факти в своята онтология. Пропозиционните функции в Principia са това, което сега наричаме „частични функции“. Тоест, те не винаги имат ценности. Например предложението функция _ е куче няма стойност за операта в Сидни, взета като аргумент,но той има стойност, когато моето куче се приема за свой аргумент. И така, отхвърлянето на фалшиви предложения не създава сериозен проблем за теорията на предложенията функции в Ръсел.

След като се справим с този проблем, нека продължим да видим какви са Уайтхед и Ръсел, според които е естеството на предложенията. В Принципия казват:

Под „предлагаща функция“имаме предвид нещо, което съдържа променлива x, и изразява предложение веднага щом стойността е присвоена на x. Тоест, тя се различава от предложение единствено по това, че е двусмислена: тя съдържа променлива, чиято стойност не е присвоена. (1910, 38).

В този пасаж изглежда сякаш те казват, че предложението функция е двусмислено предложение. В светлината на отхвърлянето на предложенията този възглед е особено труден за разбиране. Urquhart (2003) казва, че за Уайтхед и Ръсел предложениевата функция е нещо по-скоро като формула. Това изглежда правилно, тъй като предлагащите функции съдържат променливи.

Но какви точно са предложения за функции в Principia? Това е въпрос на разгорещен дебат сред учени от Ръсел. Може би най-влиятелната интерпретация е конструктивната интерпретация, поради Курт Гьодел (1944). В това тълкуване, предложенията функции са човешки конструкции от някакъв вид. Те зависят от способността ни да мислим за тях или да се отнасяме към тях. Версия на конструктивното тълкуване може да се намери и в Linsky (1999). Има и по-номиналистична интерпретация в Landini (1998). От страна на реалността са интерпретациите, дадени от Alonzo Church (1984) и Warren Goldfarb (1989). Голдфарб смята, че логическата теория на Принципията е мотивирана от опита на Ръсел да намери истинската същност на предлаганите функции и че тази природа не зависи от нашето мислене за нея. Goldfarb има добра точка,тъй като предполага, че логиката на Ръсел е осезаемо представяне на нещата. Но Ръсел често изглежда отрича, че предлаганите функции са реални образувания.

9. Възможни светове и предложения за функции

Прескачането напред няколко десетилетия, добавянето на възможни светове заедно с теорията на множествата към инструментариума на логиците им осигури много мощна и гъвкава рамка за правене на семантика.

Първо, нека припомним съвременното понятие за функция. Функцията е набор от подредени двойки. Ако <a, b> е във функция f, това означава, че стойността на f за аргумента a е b или, по-кратко, f (a) = b. Чрез математическото определение на функция, за всеки аргумент на функция има една и само една стойност. Така че, ако подредената двойка <a, b> е във функция f и така е <a, c>, тогава b е същото нещо като c.

Изграждането на предложения за функции започва с възможни светове и предположението, че има множество. Нека наречем множеството от възможни светове W. Предложението е набор от възможни светове. Твърдението, че Зермела лае например, са всички набори от светове, в които Цермела лае. Трябва също така да приемем, че има набор от възможни индивиди (т.е. индивидите, които съществуват в поне един възможен свят). Вече разполагаме с всички материали за изграждане на проста типово-теоретична йерархия на функциите.

Обичайното третиране на значението на предикатите се различава малко от начина, по който описах тук. Обикновено намерението на предикат се приема като функция от възможни светове към множества от индивиди (или набори от подредени двойки индивиди за бинарни отношения, подредени тройки за отношения на три места и т.н.) Строго погледнато, тези функции не са предложни функции, защото не приемат предложенията като стойности. Но за всяка такава функция можем да конструираме „еквивалентни“предложения за функции, използвайки процес, наречен „Currying“след логика Haskell Curry. Да започнем с функция f от световете до множествата от индивиди. Тогава можем да изградим съответната предложена функция g, както следва. За всеки свят w и индивидуалното i, ние изграждаме g, така че

w е в g (i), ако и само ако i е във f (w).

И така, по-стандартното третиране на значенията на предикати наистина е еквивалентно на използването на предложения на функции.

10. Семантика на Монтегей

Сега, когато имаме цяла йерархия на предложенията, трябва да намерим някаква работа за тях. Една теория, в която предложенията за функции вършат добра работа, е семантика на Монтег, разработена в края на 60-те години от Ричард Монтег.

За да разберем метода на Монтег, трябва да разберем абстракцията на лямбда. За формулата A (x) четем израза λ x [A (x)] като предикатен израз. То разширение (в даден възможен свят) е съвкупността от неща, които отговарят на формулата A (x). Ламбда абстракторите се управляват от две правила, известни като α-конверсия и β-редукция:

(α-con) A (a) (формула със свободен за x) може да бъде заменен с λ x [A (x)] a.

(β-червено) λ x [A (x)] a може да бъде заменено с A (a) (където x е свободен за a в A (x)).

Поради еквивалентността между формула A (x) и λ x [A (x)] a, може да се чуди защо да добавим ламбда абстрактори към нашия език. В семантиката на Монтег, отговорът има връзка с много директния начин, по който той превежда изразите от естествените езици на своя логичен език. Ще обсъдим това скоро, но първо нека научим малко за интензивната логика на Монтег.

Монтаг добавя още два нота към своя език: ^∧ и ^∨. Изразът ^∧ λ x [Fx] представлява функция от световете към множествата от индивиди. Като се има предвид възможен свят w, ^∧ λ x [Fx] представлява функция, която отвежда w към разширението на λ x [Fx]. Операторът ^∨ извежда изрази от формата ^∧ λ x [Fx] „надолу“към техните разширения в света, в който изразът се оценява. Например, удължението на ^{∨ ∧} λ x [Fx] при w е точно същото като разширението на λ x [Fx] при w.

Това, което е толкова специално за семантиката на Монтег е, че тя може да се използва по много директен начин като семантика за големи фрагменти от естествени езици. Помислете следното изречение:

Зермела лае.

Значението на това изречение се разбира в семантиката на Монтег като структура на значенията на съставните му изрази. Монтаг представлява значенията на изразите, използващи правила за превод. Тук използваме следните правила за превод:

Zermela се превежда на λ P [(^∨ P) z]

barks се превежда на ^∧ B

Сега можем да изградим формула, която придава значението на „Zermela barks“:

λ P [(^∨ P) z] ^∧ B

Забележете, че при конструирането на изречението поставяме изразите в същия ред, в който се срещат на английски. Използването на ламбда резюмета ни позволява да обърнем реда на два израза от начина, по който те ще се появят в обикновените изявления на формален логически език (който няма ламбда). Сега можем да използваме β-редукция, за да получим:

(^∨∧B) z

И сега прилагаме правилото на ^Монтег за премахване ^∨∧:

Б з

В този процес започваме с израз, който има същия ред изрази като оригиналното английско изречение и след това го свеждаме до съвсем стандартна логическа формула. Това ни казва, че условието за истинност на изречението „Zermela barks“е множеството светове, което е твърдението, изразено от Bz. Разбира се, ние знаехме, че независимо от работата на Монтег, но въпросът е, че намалението на Монтаг ни показва как можем да свържем повърхностната граматика на английските изречения с формулата на нашия логичен език. Формулата на стандартната логика, освен това, показва нейните условия за истинност по много проницателен начин. И така, намалението от Монтаг ни показва връзката между изреченията на естествените езици с техните условия за истинност.

11. Категорична граматика

Категоричните граматики са създадени за първи път през 30-те години от Казамир Айдукевич (1890–1963), а разработени от Йешушу Бар Хилел (1915–1975) и Йоахим Ламбек (1922–) през 50-те и 60-те години на миналия век. Категоричните граматики са логически инструменти за представяне на синтаксиса на езиците.

В категоричната граматика синтаксисът на езиците е представен, като се използва различен вид обобщение на функционалната нотация, отколкото в семантиката на Монтег. В Montague Semantics ламбда абстрактора се използва за преместване на значението на израза до мястото, което изразът заема в изречение. В категоричната граматика предикатите и много други видове изрази се приемат като функции от сортове. Но има разлика в категоричната граматика между два вида прилагане на функция към нейните аргументи.

Нека да видим как работи това. Да започнем с примитивните типове CN (общо съществително) и NP (съществителна фраза). Неопределената статия „a“взема общо съществително (отдясно) и връща NP. Така той има тип NP / CN. Общото съществително „куче“, разбира се, има тип CN. Пишем „A има тип T“като „A ⊢ T“. Така че имаме,

a ⊢ NP / CN

и

куче ⊢ CN

За да съберем тези две последователности, можем да използваме форма на правило modus ponens, която казва, че от последователност X ⊢ A / B и последователност Y ⊢ B, можем да извлечем последователността X. Y ⊢ A. Можем да използваме това правило за извличане:

а. куче ⊢ НП

Освен това, непреходният глагол има типа NP / S, където S е типът на изреченията. Обратната черта в NP / S означава, че изразът взема аргумент от тип NP от лявата страна и връща израз от тип S. Глаголът 'barks' е нечувствителен, т.е.

лае ⊢ NP / S

Версията на modus ponens, която използваме с обратната черта, е малко по-различна. Това ни казва, че от X ⊢ A / B и Y ⊢ A можем да извлечем Y. X ⊢ B. Така че сега можем да получим,

(С. Куче). лае ⊢ S

Това казва, че „куче лае“е изречение.

Логиките, използвани за описание на граматиките по този начин, са субструктурни логики.

Това, което ни интересува тук, е, че в категоричните граматики детерминантите като „a“и глаголите се мислят като функции, но те могат да се различават един от друг по отношение на това дали вземат аргументи отдясно или отляво. В зададената теоретична концепция за функцията като съвкупност от подредени двойки, функциите се мислят само по отношение на техните съпоставящи аргументи със стойности. Функцията, както се разбира в категоричната граматика, има повече структура от тази. Това е интересно обобщение на понятието функция, тъй като се използва в логиката. Можем да видим, че той също има важни връзки с концепцията на предложениевата функция, особено като се използва в семантиката на Монтег.

В категоричната граматика можем да припишем повече от един тип на един израз в даден език. Нека наречем това принципа на множество типове. Ето пример, който се дължи на Марк Стивман. Обмислете изречението

Не харесвам, а Мери се радва на мюзикъли.

Преходните глаголи ‘не харесвам’ и ‘радва се’ имат типа (NP / S) / NP, тоест те вземат съществителна фраза вдясно и връщат глаголна фраза. Но в случай на „Не ми харесва и Мария се радва на мюзикъли“глаголите се отделят от обекта им и се присъединяват към обектите им. Steadman се занимава с това, като повдига вида на предметите „Аз“и „Мери“. Обикновено ние разглеждаме тези думи като тип NP, но тук те имат типа S / (NP / S). Това е типът на израз, който взема глаголна фраза от дясната си страна и връща изречение. След това Steadman използва правило, което прави обратната наклонена черта транзитивна и извежда, че „I.dislike“има тип S / NP, който приема съществителна фраза (като „мюзикъли“) вдясно и връща изречение.

Можем да видим, че принципът на множество типове също е валиден, ако анализираме изречения други теории от типа, като простата теория на типовете. За разглеждане на изречението

Мери яде хамбургер.

При тълкуване на това изречение можем да приемем, че „Мария“е от тип i, но можем също така да приемем, че е от тип <>, тоест тип на предлагаща функция върху предложения на функции на индивиди. Можем също да повишим типа „яде хамбургер“до << >>, предложение за функция на предложения за функции върху предложения за функции на индивидите. И така нататък. Принципът на множество типове и принципът на множество анализи заедно показват, че един израз или изречение може да се тълкува като имащ много голям брой логически форми.

12. Заключение

Тази кратка история на предложенията показва, че те са полезни същества и че те са изиграли централна роля в логиката, тъй като тя се използва във философията и лингвистиката. Пропуснах по-математическите приложения на предложенията, например в конструкциите на класове на Ръсел и Рамзи и в лечението на общи модели за логика от по-висок ред. Но темата за предлаганите функции е голяма и не можем да я обхванем в една и съща енциклопедична статия.

библиография

Важни произведения, в които предложенията за функции играят ключова роля

• Църква, Алонцо, предстояща, Логиката на смисъла и обозначението на църквата Алонцо, Кеймбридж: Университетска преса в Кеймбридж. (Това има документи на Църквата, в които той развива интензивна логика. В тази логика йерархията на предложенията играе важна роля в справянето с парадокси, отнасящи се до докладите за предложено отношение - т.е., твърдения за това, което хората вярват, мислят, отричат и т.н.)
• Cresswell, MJ, 1973, Логика и езици, Лондон: Methuen. (Това представя по-прост братовчед на семантиката на Монтег. Изгледът се използва като семантика за доклади за предложено отношение в М. Кресуел, Структурирани значения, Кеймбридж, МА: MIT Press, 1985.)
• Frege, Gottlob, 1892, „За концепцията и обекта“, в Collected Papers, Oxford: Blackwell, 1991, 182–194. (Това е класическото представяне на понятието на Фреге за концепция.)
• Goldblatt, Robert, 2011, Quantifers, Proposition and Identity, Cambridge: Cambridge University Press. (Това представя нова семантика за модалната логика на предикатите, която използва предложенията, както и светове. Глава 4 изследва някои формални причини за добавяне на предложения на функции към семантиката.)
• Монтег, Ричард, 1973, Формална философия, Ню Хейвън: Йейлски университет. (Последната половина на книгата е за интензивната логика на Монтег и неговата семантика за естествен език.)
• Ramsey, Frank, 1925, "Основи на математиката", в Ramsey, Основи: есета по философия, логика, математика и икономика, Atlantic Highlands, NJ: Humanities Press, 1978, 152–212. (Това представя теория на предложенията функции като ключов елемент от философията на математиката на Рамзи.)
• Ръсел, Бертран, 1903, Принципите на математиката, Ню Йорк: Нортън и Нортън. (Това е първата продължителна дискусия на Ръсел относно предложенията.)
• Уайтхед, Алфред Норт и Бертран Ръсел, 1910–1913 [1925], Principia Mathematica, Cambridge: Cambridge University Press. (Това е устойчиво, но изключително трудно представяне на теорията за разклонен тип.)

Учебници, в които функциите на предложението присъстват на видно място

• Dowty, David R., Robert E. Wall и Stanley Peters, 1981, Introduction to Montague Semantics, Dordrecht: Reidel, 1981. (Това е много ясен учебник по семантиката на Монтег.)
• Gamut, LTF, 1991, Логика, език и значение, Чикаго: University of Chicago Press. (Много добър и ясно написан учебник, който обхваща модалната логика, категоричната граматика и семантиката на Монтег, наред с други теми.)
• Хилтън, Питър, 1990, Ръсел, идеализмът и появата на аналитичната философия, Oxford: Oxford University Press, 1990.
• Hylton, Peter, 2005, Предложения, функции и анализ: Избрани есета за философията на Ръсел, Оксфорд: University of Oxford. (Този труд и Hylton 1990 са важни текстове за интерпретацията на логиката на Ръсел. Хилтън твърди, че представата на Ръсел за предлагаща функция не съответства на останалата му метафизика.)
• Moortgat, Michael, 1988, Категорични изследвания: Логически и лингвистични аспекти на изчислението на Lambek, Dordrecht: Публикации на Foris. (Това е датирана, но отлична книга за категоричната граматика.)

Други основни източници:

• Бул, Джордж, 1854, Изследване на законите на мисълта, върху които се основават математическите теории на логиката и вероятностите, Ню Йорк: Дувър, 1958.
• Frege, Gottlob, 1891, Писмо до Едмунд Хусерл, от 24 май 1891 г., във Frege, Философска и математическа кореспонденция, Чикаго: University of Chicago Press, 1980, 61–64.
• Frege, Gottlob, 1919, „Записки за Лудвиг Дармстаедър“, в Frege, Posthumous Writings, Chicago: University of Chicago Press, 1979, 253–257.
• Frege, Gottlob, Събрани доклади по математика, логика и философия, Оксфорд: Блеквел, 1991.
• Jevons, WS, 1890, Pure Logic и други второстепенни произведения, Whitefish, MT: Kessinger Publishing, 2009.
• Пеано, Джузепе, 1889, "Принципите на аритметиката, представена по нов метод", в J. van Heijenoort (ed.), От Frege to Gödel: Справочник по математическа логика, 1879-1931, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1981, 83–97.
• Peirce, CS, 1883, "Логиката на роднините", в Събрани документи на Чарлз Сандърс Пърс (том III: Точна логика), Кеймбридж, МА: Harvard University Press, 1933, 195–209.
• Пърс, CS, 1892, „Критиката на аргументите“, в Събраните трудове на Чарлз Сандърс Пърс (том III: Точна логика), Кеймбридж, МА: Harvard University Press, 1933, 250-264.

Други цитирани произведения

• Church, Alonzo, 1976, „Сравнение на резолюцията на Russell на семантичните антиноми с тази на Tarski“, The Journal of Symbolic Logic, 41: 747–760.
• Church, Alonzo, 1984, „Теорията на Russell за идентичност на предложенията“Philosophia Naturalis, 21: 513–22.
• Gödel, Kurt, 1944, „Математическата логика на Ръсел“, в PA Schilpp (съст.), Философията на Бертран Ръсел, Ню Йорк: Tudor Publishing Co., 123–144.
• Голдфарб, Уорън, 1989, „Причините на Ръсел за рамификация“, в CW Savage и CA Anderson (редакции), Rereading Russell: Essays on Bertrand Russell Metaphysics and Epistemology, Minneapolis: University of Minnesota Press, 24–40.
• Hazen, AP и JM Davoren, 2000, „Russell's 19 Logic“Australsian Journal of Philosophy, 78: 534–556.
• Kneale, William and Martha Kneale, 1984, The Development of Logic, Oxford: Oxford University Press.
• Landini, Gregory, 1998, Скритата заместваща теория на Russell, Oxford: Oxford University Press.
• Lewis, CI, 1918, Проучване на символичната логика, Беркли: University of California Press.
• Linsky, Bernard, 1999, Russell's Metaphysical Logic, Stanford: CSLI.
• Steadman, Mark, 1991, „Повишаване на типа и насоченост в комбинираната граматика“Университет на Пенсилвания Катедра „Компютърни и информационни науки“Технически доклад MS-CIS-91-11.
• Urquhart, Alasdair, 2003, „Теорията на видовете“, в Н. Грифин (съст.), Cambridge Companion to Russell, Cambridge University Press, 286–309.

Академични инструменти

	Как да цитирам този запис.
	Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
	Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
	Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси

[Моля, свържете се с автора с предложения.]