Фикционализмът във философията на математиката

Съдържание:

Фикционализмът във философията на математиката
Фикционализмът във философията на математиката

Видео: Фикционализмът във философията на математиката

Видео: Фикционализмът във философията на математиката
Видео: "Ил-2 Штурмовик" нового поколения - "Битва за Сталинград" и "Битва за Москву" #13 2023, Октомври
Anonim

Навигация за влизане

  • Съдържание за участие
  • библиография
  • Академични инструменти
  • Friends PDF Preview
  • Информация за автора и цитирането
  • Върнете се в началото

Фикционализмът във философията на математиката

За първи път публикуван вторник, 22 април 2008 г.; съществена ревизия пн юли 23, 2018

Математическият фикционализъм (оттук нататък просто фикционализъм) се мисли най-добре като реакция на математическия платонизъм. Платонизмът е възгледът, че (а) съществуват абстрактни математически обекти (т.е. неспастотемпорални математически обекти), и (б) нашите математически изречения и теории предоставят истински описания на такива обекти. Така например, в платонистичния изглед, изречението „3 е първостепенно“дава ясно описание на определен обект - а именно числото 3 - почти по същия начин, както изречението „Марс е червен“предоставя описание на Марс, Но докато Марс е физически обект, числото 3 е (според платонизма) абстрактен обект. А абстрактните обекти, както ни казват платонистите, са изцяло нефизични, нестационални, непространствени, нетемпорални и неказуални. По този начин, според това, числото 3 съществува независимо от нас и нашето мислене, т.е.но тя не съществува в пространството или времето, не е физически или психически обект и не влиза в причинно-следствени връзки с други обекти. Това мнение е одобрено от Платон, Фреге (1884, 1893–1903, 1919), Гьодел (1964), а в някои техни съчинения - Ръсел (1912) и Куин (1948, 1951), да не говорим за многобройни по-нови философи на математиката, напр. Путнам (1971), Парсънс (1971), Щайнер (1975), Резник (1997), Шапиро (1997), Хейл (1987), Райт (1983), Кац (1998), Залта (1988), Colyvan (2001), McEvoy (2012) и Marcus (2015).да не говорим за многобройни по-нови философи на математиката, например Путнам (1971), Парсънс (1971), Щайнер (1975), Резник (1997), Шапиро (1997), Хейл (1987), Райт (1983), Кац (1998)), Zalta (1988), Colyvan (2001), McEvoy (2012) и Marcus (2015).да не говорим за многобройни по-нови философи на математиката, например Путнам (1971), Парсънс (1971), Щайнер (1975), Резник (1997), Шапиро (1997), Хейл (1987), Райт (1983), Кац (1998)), Zalta (1988), Colyvan (2001), McEvoy (2012) и Marcus (2015).

Фикционализмът, от друга страна, е мнението, че (а) нашите математически изречения и теории предполагат да се отнасят за абстрактни математически обекти, както предполага платонизмът, но (б) няма такива неща като абстрактни обекти и т.н. (c) нашите математически теории не са верни. По този начин идеята е, че изречения като „3 е премиер“са неверни или неверни по същата причина, която, да речем, „Зъбната фея е щедра“, е невярна или невярна - защото точно както няма такъв човек като зъбът феерия, така че също няма такова число като числото 3. Важно е да се отбележи обаче, че въпреки името, измислените възгледи не трябва да включват твърде силни твърдения относно аналогията между математиката и художествената литература. Например, тук няма твърдение, че математическият дискурс е вид измислен дискурс. По този начин,фикционалистите не са ангажирани с тезата, че между математиката и художествената литература няма важни дезаналогии. (Ще се върнем на този въпрос по-долу, в раздел 2.4.) И накрая, трябва да се отбележи още в началото, че фикционализмът е версия на математическия номинализъм, виждането, че няма такива неща като математически обекти.

Фикционализмът е въведен за първи път от Field (1980, 1989, 1998, 2016). Оттогава гледката е разработена - по няколко различни начина - от Balaguer (1996a, 1998a, 2001, 2009), Rosen (2001), Yablo (2002a, 2002b, 2005), Leng (2005a, 2005b, 2010), и Bueno (2009), макар че както ще стане ясно по-долу, може да се постави под въпрос дали Bueno и Yablo са най-добре интерпретирани като измислени. Други, които подкрепят или защитават фикционализма (или възгледите в квартала на фикционализма), включват Дали (2006), Лиггинс (2010), Контеса (2016) и Плебани (2018). И накрая, може да се тълкува и Мелия (2000) като защита на фикционалистическа гледна точка, въпреки че всъщност не се ангажира с това.

Заслужава да се отбележи, че Хофман (2004) също подкрепя възглед, който е вид измислицизъм. Нейният възглед обаче е много различен от фикционалистическия възглед, дефиниран по-горе, защото не включва ангажимент към теза (а). Тя преосмисля математиката в съответствие с Китчър (1984) и след това подкрепя фикционалистичен възглед на тази реинтерпретация; т.е. тя поддържа, че след като математиката се интерпретира по този начин, единствено понятията не се отнасят и нейните изречения не са верни. (Не е ясно доколко този възглед се различава от мнението на Кичър; човек може да тълкува Китчър като одобрение на много подобен възглед.) Във всеки случай е важно да се отбележи, че отхвърлянето на тезата на Хофман (а) прави мнението й коренно различно от по-стандартното измислени възгледи. Както ще стане ясно по-долу, теза (а) е много правдоподобна,и неговата правдоподобност е една от основните причини за популярността на платонизма. По този начин една от основните продажби на фикционализма - т.е. стандартният вид фикционализъм, дефиниран по-горе - е, че той съчетава приемане на теза (а) с антиплатонистична онтология.

Също така си струва да се отбележи, че Лиър (1982) и Коркум (2012) твърдят, че Аристотел е имал версия на математическия фикционализъм; но както отбелязва Коркум, малко вероятно е Аристотел да е държал версията на фикционализъм, дефинирана по-горе.

Когато човек за първи път чуе фикционалистическата хипотеза, може да изглежда малко луд. Наистина ли трябва да вярваме, че изречения като „3 е първостепенно“и „2 + 2 = 4“са неверни? Но апелът на фикционализма започва да се появява, когато осъзнаем какви са алтернативите. Като помислим внимателно за проблемите, свързани с интерпретацията на математическия дискурс, може да започне да изглежда, че фикционализмът всъщност е много правдоподобен и наистина може да е просто най-малко щурият поглед навън.

Раздел 1 предоставя формулировка на това, което може да се смята за централен аргумент за фикционализма. Раздел 2 предоставя дискусия за редица различни възражения срещу фикционализма, както и редица различни версии на фикционализма. Тези две неща се съчетават съвсем естествено, защото различните версии на фикционализма се появиха във връзка с отговорите, които различни философи дадоха на различните възражения срещу фикционализма.

  • 1. Аргументът за фикционализма

    • 1.1 Основният аргумент
    • 1.2 Помещение (1) и номинализъм на парафраза
    • 1.3 Помещение (2) и дефлационно-истински номинализъм
    • 1.4 Помещение (4) и физикализъм и психологизъм
    • 1.5 Помещение (5) и платонизъм

  • 2. Възражения срещу фикционализма и отговорите

    • 2.1 Аргументът за неизменност
    • 2.2 Обективност
    • 2.3 Революционизъм и херменевтика
    • 2.4 Прилика с фантастиката
    • 2.5 Приемане и вярване
    • 2.6 Загадъчно допълнително съдържание
    • 2.7 Други възражения
  • 3. Заключение
  • библиография
  • Академични инструменти
  • Други интернет ресурси
  • Свързани записи

1. Аргументът за фикционализма

1.1 Основният аргумент

Основният аргумент за фикционализма протича по същество, като се опитва да премахне всички алтернативи на фикционализма. Аргументът може да бъде поставен така:

  1. Математическите изречения като „4 е равномерно“трябва да се четат по номинална стойност; това означава, че те трябва да се четат като във формата „F a“и, следователно, като отправят директни твърдения за естеството на определени обекти; напр. „4 е равномерно“трябва да се чете като направо твърдение за естеството на числото 4. Но
  2. Ако изречения като „4 е четно“трябва да се четат по номинална стойност и ако освен това те са верни, тогава в действителност трябва да съществуват обекти от вида, за който се отнасят; например, ако „4 е равномерно“прави пряко твърдение за естеството на числото 4 и ако това изречение е буквално вярно, тогава всъщност трябва да съществува такова нещо като числото 4. Следователно от (1) и (2), от това следва
  3. Ако изречения като „4 е четно“са верни, тогава има такива неща като математически обекти. Но
  4. Ако има такива неща като математически обекти, то те са абстрактни обекти, т.е., неспастио-временни обекти; например, ако има такова нещо като числото 4, то това е абстрактен обект, а не физически или умствен обект. Но
  5. Няма такива неща като абстрактни обекти. Следователно от (4) и (5) от modus tollens следва това
  6. Няма такива неща като математически обекти. И така, от (3) и (6) от modus tollens следва това
  7. Присъдите като „4 е равно“не са верни (всъщност те не са верни по причината, която измислят измислените, и следователно следва, че фикционализмът е верен).

Трите извода в този аргумент са доста ясно валидни и затова единственият въпрос е дали четирите основни предпоставки- (1), (2), (4) и (5) - са верни. И хубавото в начина, по който е настроен този аргумент е, че всяка от тези предпоставки трябва да се отърве от различна алтернатива на фикционализма. Така че аргументът в (1) - (7) всъщност е обвивка на много по-дълъг аргумент, който включва суаргументи в полза на основните предпоставки и, следователно, срещу различните алтернативи на фикционализма.

Като се има предвид това, можем да кажем, че има пет алтернативи (или ако предпочитате, пет категории алтернативи) на фикционализма. Онези, които отхвърлят (1), могат да бъдат наречени номиналисти на перифрази; онези, които отхвърлят (2), могат да бъдат наречени декларативно-истински номиналисти; тези, които отхвърлят (4), са или физици, или психолози; а тези, които отхвърлят (5), са платонисти. За да мотивират мнението си, фикционалистите трябва да предоставят аргументи срещу всички тези възгледи.

Най-лесната част от работата на фикционалиста тук е да спори срещу различните антиплатонистични възгледи. Всички тези възгледи - перифразиран номинализъм, дефлационален номинализъм на истината, физицизъм и психологизъм - могат да бъдат разбрани (както измислиците могат) като реакции към платонизма. Платонизмът е много привлекателна гледка, защото предоставя изключително естествен и приятен отчет на математическата практика и математическия дискурс. Но въпреки това много философи не подкрепят платонизма, защото не могат да се накарат да приемат неговата онтология. С други думи, те просто не вярват, че има такива неща като абстрактни обекти. Поради това голяма част от работата, която е свършена във философията на математиката, е посветена на опити за избягване на платонизъм. По-специално, парафраза номинализъм, дефлационно-истинен номинализъм, физицизъм,и психологизмът може да бъде разбран в тези термини. Всички те се опитват да подкопаят платонистичния възглед за условията на истината на математическите изречения. Както ще стане ясно по-долу, има сериозен проблем с всички тези гледни точки. И тук идва фикционализмът: той дава платоничен поглед върху условията за истинност на математическите изречения, но все пак отрича онтологичната теза на платониста, че съществуват абстрактни обекти. Това прави фикционализмът различен от другите антиплатонистични възгледи по важен начин. Можем да оценим това, като отбележим, че платонизмът включва две различни тези, една семантична и друга онтологична. Семантичната теза е емпирична хипотеза за условията на истинността на обикновените математически изказвания, т.е.а онтологичната теза е дълбоко метафизична хипотеза за съществуването на абстрактни обекти. Всяка версия на антиплатонизма отхвърля онтологичната хипотеза на платониста и всички нефикционалистични версии на антиплатонизма отхвърлят и семантичната теза. Фикционализмът е единственият антиплатонистичен възглед, който не отхвърля семантичната теза. И затова фикционализмът може да изглежда по-привлекателен от другите версии на антиплатонизма - защото семантичната хипотеза на платониста е изключително правдоподобна и добре мотивирана. Така версиите на антиплатонизма, които отхвърлят тази хипотеза, могат да изглеждат неправдоподобни и немотивирани. Фикционализмът е единственият антиплатонистичен възглед, който не отхвърля семантичната теза. И затова фикционализмът може да изглежда по-привлекателен от другите версии на антиплатонизма - защото семантичната хипотеза на платониста е изключително правдоподобна и добре мотивирана. Така версиите на антиплатонизма, които отхвърлят тази хипотеза, могат да изглеждат неправдоподобни и немотивирани. Фикционализмът е единственият антиплатонистичен възглед, който не отхвърля семантичната теза. И затова фикционализмът може да изглежда по-привлекателен от другите версии на антиплатонизма - защото семантичната хипотеза на платониста е изключително правдоподобна и добре мотивирана. Така версиите на антиплатонизма, които отхвърлят тази хипотеза, могат да изглеждат неправдоподобни и немотивирани.

И така, отново лесната част от аргумента за измислицизъм (или във всеки случай по-лесната част) се осъществява чрез предоставяне на аргументи за помещения (1), (2) и (4) - или еквивалентно, като се предоставят аргументи срещу различните нефикционалистични версии на антиплатонизма, т. е. парафраза номинализъм, дефлационален истина номинализъм, физицизъм и психологизъм. Следващите три подраздела (1.2–1.4) обсъждат тези четири гледни точки, както и някои аргументи, които измислените биха могли да подкрепят срещу тях. Раздел 1.5 обхваща по-трудната част от аргументацията на фикционалиста - т. Е. Предпоставката (5) и въпроса как билетристите могат да спорят срещу платонизма.

1.2 Помещение (1) и номинализъм на парафраза

Парафразиращият номинализъм е мнението, че обикновените математически изречения като „3 е първостепенно“не трябва да се четат по номинална стойност или по-конкретно, че не трябва да се четат като във форма „Fa“и да се твърдят за математически обекти. Има няколко различни версии на този изглед. Може би най-известният е if-thenism. На този възглед „3 е просто“най-добре се интерпретира като изразяване на условно искане, като например „Ако имаше числа, то 3 биха били първи“или може би „Задължително, ако има числа, то 3 е първостепенно“. (Версиите на тогавашния процес са разработени от Putnam (1967a, b), Horgan (1984), Hellman (1989), Dorr (2008) и Yablo (2017); освен това, предшественик на тази гледна точка беше одобрен от началото Хилберт (виж неговите 1899 г. и писмата му до Фреге през Frege 1980 г.) Накрая,други версии на парафраза номинализъм са били одобрени от Chihara (1990), Yi (2002), Hofweber (2005), Rayo (2008, 2013) и Moltmann (2013); и човек може също да интерпретира по този начин Къри (1951) и Витгенщайн (1956).)

Проблемът с номиналистичните възгледи на парафразата е много прост: те включват емпирични хипотези за значенията на обикновените математически изказвания, които са крайно неправдоподобни. Например, във връзка с if-thenism, е наистина наистина трудно да се повярва, че най-доброто тълкуване на това, което обикновените говорители на математическия дискурс (обикновените математици и обикновените хора) казват, когато изричат, напр. „3 is prime“е, че ако имаше числа, тогава 3 щяха да бъдат първи. Това просто се обърква какво всъщност имат предвид хората, когато изричат изречения като това. Всъщност изглежда, че тук може да се направи по-обща точка. Има добър интерпретационен принцип, който казва нещо подобно: трябва да тълкуваме изказванията на хората по номинална стойност, освен ако няма доказателства, че имат положителни намерения да бъдат тълкувани нелитерално. Като се има предвид това и като се има предвид (което изглежда очевидно), че обикновените хора нямат положителни намерения математическите им изказвания да се тълкуват нелитерално - напр. Като изразяване на условни предложения - изглежда следва, че трябва да тълкуваме математическите си изказвания по номинална стойност, Но това означава, че трябва да приемем предпоставка (1) и да отхвърлим парафразовия номинализъм.

Парафрази номиналистите могат да се опитат да отговорят на този аргумент, като отричат, че са ангажирани с тезата, че техните парафрази съответстват на намеренията на обикновените математици и обикновените хора. Всъщност твърдения от този вид са отправени както от Chihara (1990, 2004), така и от Hellman (1998). Но перифразираните номиналисти не могат да подкрепят тази позиция, защото ако го направят, възгледът им ще се срине във версия на фикционализъм. Ако номалистите на парафраза признаят, че платонистите и фикционалистите са прави относно значенията на истинските математически изказвания - т.е. изказванията на действителните математици - тогава (тъй като те също искат да твърдят, че няма такива неща като абстрактни обекти), те ще бъдат ангажирани с твърдят, че изказванията на действителните математици не са верни. По този начин,ако парафрази номиналистите не твърдят, че техните парафрази улавят действителните значения на обикновените математически изречения, тогава тяхното виждане няма да предложи истинска алтернатива на фикционализма. Той ще се срине във версия на фикционализъм. По-конкретно, номиналистът на парафраза би бил просто измислен художник, който смята, че трябва да променим математическия си език или какво имаме предвид под математическите си изказвания; или може би твърдението би било просто, че можем да променим математическия си език, ако искаме и че този факт предоставя на фикционалистите начин да реагират на определени възражения.парафраза номиналист би бил просто измислен философ, който смята, че трябва да променим математическия си език или какво имаме предвид под нашите математически изказвания; или може би твърдението би било просто, че можем да променим математическия си език, ако искаме и че този факт предоставя на фикционалистите начин да реагират на определени възражения.парафраза номиналист би бил просто измислен философ, който смята, че трябва да променим математическия си език или какво имаме предвид под нашите математически изказвания; или може би твърдението би било просто, че можем да променим математическия си език, ако искаме и че този факт предоставя на фикционалистите начин да реагират на определени възражения.

1.3 Помещение (2) и дефлационно-истински номинализъм

Номинализмът на дефлационната истина е мнението, че а) като поддържат платонисти и измислени личности, обикновените математически изречения като „3 е първостепенно“трябва да се четат по номинална стойност, т.е. като във формата „F a“и следователно като отправят претенции за математически обекти и (б) няма такива неща като математически обекти, но (в) нашите математически изречения все още са верни. Този вид възгледи са одобрени от Azzouni (1994, 2004, 2010) и Bueno (2005, 2009). Трябва да се отбележи обаче, че Буено в своята (2009 г.) нарича своята версия на номинализма на дефлационната истина версия на фикционализма. Това не е, защото той наистина подкрепя възгледа, който в това есе се нарича фикционализъм; защото той използва термина „фикционализъм“по различен начин от начина, по който се използва в това есе. Но е важно да се отбележи, че използването на Bueno не е толкова различно; тъй като както предстои да видим, номинализмът на дефлационната истина и фикционализмът (както е дефиниран тук) са доста сходни възгледи. (Погледът на Буено също се различава от фикционалистическия възглед, дефиниран тук по втори начин: той подкрепя агностицизма относно абстрактни обекти, а не пълноценния антиреализъм. Но тази разлика е дори по-маловажна от първата; ако префразираме (б) и в) в горното определение на фикционализма, така че те да са в съответствие с агностицизма, почти нищо друго за фикционалистическия възглед не би трябвало да се промени. Така че фикционалистите могат да избират дали искат да бъдат агностици или антиреалистични по отношение на абстрактните обекти и това решение няма да окаже много голямо влияние върху останалата част от тяхната гледна точка. Всъщност, както ще стане ясно в раздел 3,Агностицизмът на Буено може би е повече или по-малко еквивалентен на възгледите на някои измислени.)

Преди да опишем проблемите с номинализма на дефлационната истина, важно е да се отбележи, че централното твърдение зад този възглед е емпирична хипотеза за обикновения дискурс. По-конкретно, това е твърдението за значението на термина „вярно“или за понятието истина. Когато номиналистите на дефлационната истина казват, че напр. „3 е първостепенно“може да е вярно, дори ако не е имало такова нещо като числото 3, те отправят твърдение за обикновената концепция за истината. Те казват, че тази концепция се прилага в определени ситуации, че повечето от нас - платонисти и фикционалисти и почти всички останали - мислят, че тя не се прилага. Ако номиналистите с дефлационна истина се опитват да отрекат, че отправят претенции за обикновената концепция на истината, тогава техният възглед ще се срине във версия на фикционализъм. Защото тъй като те са съгласни с измислените хора, че „3 е премиер“предполага, че става въпрос за определен абстрактен обект и тъй като те също са съгласни, че няма такива неща като абстрактни обекти, следва, че ако са одобрили стандартен поглед на истината - т.е. платонист-фикционалистичен възглед, според който изречение от формата „F a“не може да бъде вярно, освен ако „a“се отнася до действително съществуващ обект - тогава те ще трябва да признаят, че „3 е първостепенно“не е вярно. Сега, те могат да продължат да твърдят, че тези изречения са верни * - където това е дефинирано по такъв начин, че изреченията от формата „F a“могат да бъдат верни * дори ако няма такова нещо като -но, разбира се, измислените биха се съгласили с това. Така че, ако номинализмът на дефлационната истина трябва да бъде истински различен от фикционализма, той трябва да включва теза за значението на обикновената дума „вярно“;по-специално, твърдението трябва да бъде, че изреченията от формата „F a“могат да бъдат верни в обикновения смисъл на понятието, дори ако единственият термин „a“не се отнася до нито един действително съществуващ обект.

Като се има предвид това, повечето измислени хора вероятно биха казали, че проблемът с номинализма на дефлационната истина е, че той емпирично неправдоподобен. С други думи, възражението би било, че номинализмът на дефлационната истина лети лошо в лицето на нашите интуиции за значението на „истината“. И изглежда има някакво оправдание за това твърдение. Например, просто изглежда интуитивно очевидно, че изречението „Марс е планета“не може да бъде буквално вярно, освен ако наистина не съществува такова нещо като Марс. Освен това, интуитивно, изречението „Марс е планета, но не съществува“изглежда като противоречие и тази интуиция изглежда несъвместима с номинализма на дефлационната истина. Ако това е правилно - ако семантичната теза за дефлационната истина противоречи на нашите семантични интуиции - тогава това дава силни доказателства за мисленето, че е невярно.

Но има и втори проблем с декларационния номинализъм на истината: той трябва да ни осигури начин да избегнем платонизма, но всъщност той не го прави. Prima facie, може да изглежда, че номинализмът на дефлационната истина доставя начин за избягване на платонизма, тъй като аргументът за платонизъм може да изглежда да разчита на предпоставка (2) по-горе, т.е. може да изглежда, че разчита на претенцията за анти-дефлационална истина че ако изречения като „4 е четно“трябва да се четат по номинална стойност, т.е. като във формата „F a“, и ако това изречение е буквално вярно, тогава ние сме ангажирани да вярваме в обектите, за които се отнасят например числото 4. Но всъщност платонистите могат да формулират своя аргумент, така че да не разчита на тази предпоставка за анти-дефлационна истина. За да изтъкнем това, нека започнем с въвеждането на два нови термина на изкуството1 "и" вярно 2 "- и постановява, че" вярно 1 "трябва да се приема като израз на платонистично-измислената концепция за истината, така че изречението от формата" F a "не може да бъде вярно 1, освен ако" a "се отнася до действително съществуващ обект, докато „истински 2 “изразява дефлационно понятие за истина, така че изречението от формата „F a“може да бъде вярно 2, дори ако „a“не се отнася до нито един действително съществуващ обект. Като се има предвид това, платонистите могат да кажат следното:

Просто не ни интересува дали думата „true“, както се използва в обикновения английски език, изразява истина 1 или истина 2 (или дали е двусмислена и понякога изразява едното понятие, а понякога и другото). Ние признаваме, че стандартните формулировки на аргумента за платонизъм включват твърдения, че обикновените математически изречения като „3 е първичен“са верни. Но можем също толкова лесно да основаваме аргумента си на твърдението, че изречения като това са верни 1. Правейки това, ние не бихме отслабили аргумента си по никакъв начин. За аргументите, които използваме, за да мотивираме истинността на математиката - най-вече, аргументът на Quine-Putnam за незаменима обсъждана по-долу - вече са аргументи за истината 1на математиката. И това не трябва да е изненадващо; защото, когато казваме, че обикновените математически изречения като „3 е първостепенно“са верни, това, което имаме предвид, е, че са верни 1; така че, разбира се, аргументите, които даваме за истинността на математиката, вече се предполага, че са аргументи за истината 1 на математиката.

Като се има предвид, че платонистите могат да продължат по този начин, изглежда, че въпросът за това дали семантичната теза за дефлационната истина е правилен - т.е. въпросът дали английската дума 'true' изразява понятието истина 1 или истина 2 - просто е червена херинга. Истинският въпрос е дали платонистите имат някакви добри аргументи за истината 1 на математиката (и, разбира се, дали антиплатонистите имат някакви добри аргументи срещу истината 1 на математиката). С други думи, ако приемем, че предположенията (1) и (4) са верни, така че трябва да четем нашите математически твърдения като около (или поне предполагаем да става дума за) абстрактни обекти, тогава истинският въпрос е дали има са някакви добри причини за избор между платонизъм и фикционализъм.

1.4 Помещение (4) и физикализъм и психологизъм

Физикализмът е възгледът, че нашите математически изречения и теории са за обикновени физически обекти. Джон Стюарт Мил (1843) разработи възглед за този вид. Според него математиката е просто много обща естествена наука. Така например, според Мил, изречението „2 + 3 = 5“не е претенция за абстрактни обекти (числата 2, 3 и 5); по-скоро това е твърдение за купчини физически обекти (по-специално, това ни казва, че ако натискаме купчина от два обекта заедно с купчина три предмета, ще получим купчина от пет предмета. (Phillip Kitcher (1984)) и ранната Пенелопа Мади (1990 г.) също са одобрили възгледите с „физически настроения“, но в крайна сметка нито едното, и другото, правдоподобно се тълкува като попадение в този лагер. според това мнение,математиката е за нефизични обекти, които съществуват в пространството и времето; и мнението на Китчър е най-добре мислено като вид перифразиран номинализъм, защото според него математическите изказвания не се отнасят за никакви реално съществуващи обекти.)

Има многобройни проблеми с физикалистичните възгледи на математиката. Да споменем само един от тези проблеми, физикализмът изглежда напълно неспособен да отчита различни видове твърдения за безкрайности, които откриваме в математиката. Например, е теорема на теорията на множествата, че има безкрайно много безкрайни кардинални числа, които продължават да стават все по-големи и по-големи без край. По този начин теорията на множествата се ангажира с съществуването на безкрайни множества, които са толкова огромни, че просто джудже градински разнообразие безкрайни множества, като множеството на всички естествени числа. Просто няма правдоподобен начин да се тълкува този разговор за гигантски безкрайни множества като за физически обекти.

Психологизмът е възгледът, че математическите изречения и теории са за ментални обекти. Вероятно най-разпространената версия на това мнение твърди, че числата са нещо като идеи в нашите глави, а обикновените математически изречения като „3 е премиер“предоставят описания на тези идеи. Тази гледка беше популярна в края на 19 -тиCentury; той е одобрен например от ранния Хусерл (1891), както и от интуиционистите, Брауър (1912, 1948) и Хейтинг (1956). Но Фреж (1884, 1893–1903) представи множество аргументи срещу гледката и по същество я погреба. За да дадем тук само един аргумент, изглежда, че психологизмът е също толкова неспособен, колкото физикализмът да се справи с огромните безкрайности в математиката. Както току-що бе видяно, теориите за стандартния набор водят до това, че всъщност съществуват огромни безкрайности на математическите обекти. Но просто не е за вярване, че в главите ни има толкова много идеи. Всъщност изглежда ясно, че в нашите глави има само крайно много идеи. Следователно не е правдоподобно да се твърди, че твърденията на теорията на множествата се реализират от ментални обекти.

В отговор може да се твърди, че дори да няма безкрайно много идеи в нашите глави, изглежда вероятно да имаме идеи за безкрайности в главите си. Това несъмнено е вярно - има такива идеи в нашите глави, но това не спестява психологизма от горното възражение. За нашите математически теории означава, че всъщност съществуват безкрайно много различни математически обекти. Например, стандартните теории на аритметиката водят до това, че има такова нещо като 1 и че има такова нещо като 2 (и че е различно от 1) и че има такова нещо като 3 (и че е различно от двете 1 и 2) и т.н. Така че нашите математически теории са истински описания на идеи в нашите глави, само ако в действителност съществуват безкрайно много различни идеи в нашите глави. Следователно, тъй като няма толкова много идеи в нашите глави,не можем да твърдим, че нашите математически теории са истински описания на такива неща.

Алтернативно, човек може да отговори на горния аргумент срещу психологизма, като премине към гледка, според която математическите твърдения са за идеи, които бихме могли да конструираме, или възможни ментални обекти, или някакво подобно нещо. Но това не би било психологически възглед, защото при този възглед обектите на математиката нямаше да бъдат действителни ментални обекти; те биха били възможни обекти, които по презумпция са или абстрактни обекти, или обекти от някакъв друг метафизично съмнителен вид.

И накрая, може да се възрази и на двата аргумента в този подраздел - т.е. аргументите срещу физицизма и психологизма - като каже нещо подобно:

Аргументите, дадени тук, трябва да мотивират идеята, че обикновените математически изречения като "4 е дори" не се тълкуват правдоподобно като физически или психически обекти - или по-конкретно, че те са по-добре интерпретирани като около (или поне предполагат да се отнася) абстрактни обекти. Но тук може да се възрази, че като интерпретация на обикновения математически дискурс, платонистичният / фикционалистическият възглед не е по-правдоподобен от физикализма или психологизма. За някой може да се окаже неправдоподобно да се предположи, че когато обикновените хора правят математически твърдения, те възнамеряват да говорят за абстрактни обекти.

Но платонистите и фикционалистите не са ангажирани с тезата, че хората имат положителни намерения да говорят за абстрактни обекти. По-скоро те могат да кажат следното: (i) обикновените математически твърдения се интерпретират най-добре по номинална стойност и следователно като твърдения за предмети, тъй като типичните математици (и всъщност типични примери за обикновени хора) нямат положителни намерения да говорят нелитерално, когато изричат математически изречения; и (ii) има характеристики на намеренията на типичните математици и типичните хора по отношение на техните математически изказвания, които са несъвместими с идеята, че тези изказвания са за физически или умствени обекти;и (iii) няма нищо в намеренията на типичните математици или типичните хора, което да е в противоречие с идеята, че нашите математически изречения са за абстрактни обекти. Така, на този възглед, семантичната теория на платониста / фикционалистите е по-добра от другите семантични теории на математическия дискурс, защото това е единствената теория, която е в съответствие с данните - не защото математиците и обикновените хора имат положителни намерения да говорят за абстрактни обекти, когато изричат математически изречения.семантичната теория на платонистите / фикционалистите е по-добра от другите семантични теории на математическия дискурс, защото това е единствената теория, която е в съответствие с данните, а не защото математиците и обикновените хора имат положителни намерения да говорят за абстрактни обекти, когато изричат математически изречения.семантичната теория на платонистите / фикционалистите е по-добра от другите семантични теории на математическия дискурс, защото това е единствената теория, която е в съответствие с данните, а не защото математиците и обикновените хора имат положителни намерения да говорят за абстрактни обекти, когато изричат математически изречения.

(Заслужава да се отбележи, преди да продължим, че човек може да твърди, че съществуването на математически обекти като числа зависи от нас, без да подкрепя психологически възглед на тези обекти. Защото може да се твърди, че числата са зависими от ума абстрактни обекти - т.е. не -спортивно-временни обекти, възникнали поради дейността на хората. Възгледите от този общ вид са одобрени от Листън (2003–04), Коул (2009) и Буено (2009).)

1.5 Помещение (5) и платонизъм

Ако аргументите, дадени досега, са верни, тогава единствените останали възгледи - единствените философии на математиката, които не са изключени, са платонизмът и фикционализмът. По този начин, за да завършат своя аргумент, измислените трябва просто да предоставят аргумент за предпоставка (5); с други думи, те просто трябва да спорят срещу платонизма. Но това се оказва много по-трудно от спора срещу различните нефикционалистични версии на антиплатонизма, разгледани по-горе. Както видяхме, измислените могат да спорят срещу тези възгледи, просто мотивирайки поредица от емпирични хипотези за обикновения математически дискурс и обикновеното значение на думата „вярно“. По-конкретно, измислените могат да оспорват тези възгледи, като твърдят, че (а) обикновените математически изказвания са най-добре интерпретирани по номинална стойност,и (б) тези изказвания не могат да се тълкуват правдоподобно като физически или психически обекти, и (в) изреченията от формата „Обектът а е F“не могат да бъдат верни в обикновения смисъл на понятието, освен ако наистина няма такова нещо като а. Но измислените хора не могат да спорят срещу платонизма по нещо подобно, защото фикционалистите и платонистите са съгласни относно значенията на обикновените математически изказвания (и думата „вярно“). Всъщност платонистите и фикционалистите не се съгласяват по никакви семантични тези. Тяхното несъгласие е свързана с онтологична теза: платонистите вярват в абстрактни обекти, докато измислените не. По този начин, ако измислените хора ще спорят срещу платонизма, ще им се наложи да използват различен вид аргументи.и (в) изреченията от формата „Обектът a е F“не могат да бъдат верни в обикновения смисъл на понятието, освен ако наистина няма такова нещо като a. Но измислените хора не могат да спорят срещу платонизма по нещо подобно, защото измислените и платонистите са съгласни относно значенията на обикновените математически изказвания (и думата „вярно“). Всъщност платонистите и фикционалистите не се съгласяват по никакви семантични тези. Тяхното несъгласие е свързана с онтологична теза: платонистите вярват в абстрактни обекти, докато измислените не. По този начин, ако измислените хора ще спорят срещу платонизма, ще им се наложи да използват различен вид аргументи.и (в) изреченията от формата „Обектът a е F“не могат да бъдат верни в обикновения смисъл на понятието, освен ако наистина няма такова нещо като a. Но измислените хора не могат да спорят срещу платонизма по нещо подобно, защото фикционалистите и платонистите са съгласни относно значенията на обикновените математически изказвания (и думата „вярно“). Всъщност платонистите и фикционалистите не се съгласяват по никакви семантични тези. Тяхното несъгласие е свързана с онтологична теза: платонистите вярват в абстрактни обекти, докато измислените не. По този начин, ако измислените хора ще спорят срещу платонизма, ще им се наложи да използват различен вид аргументи. Но измислените хора не могат да спорят срещу платонизма по нещо подобно, защото фикционалистите и платонистите са съгласни относно значенията на обикновените математически изказвания (и думата „вярно“). Всъщност платонистите и фикционалистите не се съгласяват по никакви семантични тези. Тяхното несъгласие е свързана с онтологична теза: платонистите вярват в абстрактни обекти, докато измислените не. По този начин, ако измислените хора ще спорят срещу платонизма, ще им се наложи да използват различен вид аргументи. Но измислените хора не могат да спорят срещу платонизма по нещо подобно, защото измислените и платонистите са съгласни относно значенията на обикновените математически изказвания (и думата „вярно“). Всъщност платонистите и фикционалистите не се съгласяват по никакви семантични тези. Тяхното несъгласие е свързана с онтологична теза: платонистите вярват в абстрактни обекти, докато измислените не. По този начин, ако измислените хора ще спорят срещу платонизма, ще им се наложи да използват различен вид аргументи.като има предвид, че измислените не го правят. По този начин, ако измислените хора ще спорят срещу платонизма, ще им се наложи да използват различен вид аргументи.като има предвид, че измислените не го правят. По този начин, ако измислените хора ще спорят срещу платонизма, ще им се наложи да използват различен вид аргументи.

Има няколко различни аргумента, които са повдигнати срещу математическия платонизъм, но най-важният - и най-известният - е това, което е известно като гносеологически аргумент срещу платонизма. Този аргумент се връща поне към Платон. В съвремието тя получи най-класическото си изявление в статия на Пол Бенасераф (1973 г.), въпреки че повечето философи на математиката са съгласни, че формулирането на аргумента на Бенасераф е проблематично поради разчитането му на неправдоподобна причинно-следствена теория на познанието. По-добър начин за формулиране на аргумента е следният:

  1. Човешките същества съществуват изцяло в пространството-времето.
  2. Ако има някакви абстрактни математически обекти, то те съществуват извън пространството-времето. Следователно изглежда вероятно това
  3. Ако има някакви абстрактни математически обекти, тогава човешките същества не биха могли да постигнат знания за тях. Но
  4. Вградено е в платонистичния възглед, че съществуват абстрактни обекти и че човешките същества могат да придобият знания за тях (в края на краищата според платонизма математическото познание просто е знание за абстрактни обекти). Следователно,
  5. Платонизмът е фалшив.

Платонистите са се опитали да отговорят на този аргумент по няколко различни начина, но най-популярният (и може да се твърди, най-правдоподобният) отговор е да се опитат да подкопаят извода от (i) и (ii) до (iii) като обясняваме как (iii) би могло да бъде невярно, дори ако (i) и (ii) са верни - т.е. как хората биха могли да придобият знания за абстрактни обекти, въпреки факта, че са причинно изолирани от такива обекти и, следователно, нямат всеки контакт за прехвърляне на информация с такива обекти. Тази стратегия за отговор е преследвана от Куин (1948, 1951), Щайнер (1975), Кац (1981, 1998), Резник (1982, 1997), Шапиро (1989, 1997), Люис (1986), Лински и Залта (1995), Balaguer (1995, 1998a) и Linnebo (2006). Въпросът дали някой от тези отговори е успешен, е изключително спорен сред философите на математиката. Освен това,антиплатонистите нямат убедителен аргумент за тезата, че платонистите не биха могли да дадат необходимото обяснение тук, т.е. че не биха могли да обяснят как хората могат да придобият знания за абстрактни обекти без помощта на някакъв контакт за прехвърляне на информация с такива обекти. Следователно, за да направим една много дълга история, изглежда справедливо да се каже, че епистемологичният аргумент срещу платонизма е в най-добрия случай противоречив и неубедителен.изглежда справедливо да се каже, че гносеологичният аргумент срещу платонизма е в най-добрия случай противоречив и неубедителен.изглежда справедливо да се каже, че гносеологичният аргумент срещу платонизма е в най-добрия случай противоречив и неубедителен.

(За по-пълно обсъждане на гносеологичния аргумент срещу платонизма, включително обсъждането на различните отговори, които платонистите са опитали, вижте записа на Станфордската енциклопедия на философията, озаглавен „Платонизмът в метафизиката“.)

Като се има предвид, че епистемологичният аргумент не успява да опроверга платонизма, измислените биха могли да се опитат да предложат някакъв друг аргумент срещу платонизма. Един такъв аргумент, който получи значително внимание, е аргументът за многократно намаляване. Класическото твърдение на този аргумент отново е дадено от Benacerraf (1965). Аргументът може да се проведе във връзка с която и да е от нашите математически теории, но въпросът обикновено се прави във връзка с аритметика. Освен това, дори когато сме нулеви по аритметика, все още има много различни начини за формулиране на аргумента. Един от начините за това е следният: (A) ако има последователности от абстрактни обекти, които удовлетворяват нашите аритметични теории, тогава има безкрайно много,и няма нищо „метафизично специално“за която и да е от тези последователности, което да я откроява като последователност от естествени числа; но (Б) платонизмът се ангажира с тезата, че съществува уникална последователност от абстрактни обекти, която е естествените числа. Следователно (С) платонизмът е фалшив.

Платонистите предложиха множество отговори на този аргумент. Вероятно най-разпространената стратегия е била да се отхвърли (A), т.е. да се аргументира, че платонистите всъщност могат да защитят твърдението, че съществува уникална последователност, която се откроява като последователност от естествени числа. Тази стратегия е преследвана по различни начини, например от Резник (1997), Шапиро (1997), Парсънс (1990) и Лински и Залта (1995). Нещо повече, Balaguer (1998a) твърди, че дори ако (A) е вярно, това няма значение, защото (B) е невярно: платонистите могат просто да признаят, че има многобройни последователности, които удовлетворяват нашите аритметични теории и че може би това няма от тях се откроява като единствената последователност от естествени числа. Няма широко разпространено съгласие относно статуса на тези платонистични отговори и така, както е при епистемологичния аргумент, т.е.би било изключително противоречиво, ако не и направо неправдоподобно, да се твърди, че аргументът за многократно намаляване намалява платонизма.

Освен това, единственият аргумент срещу платонизма, получил много внимание във философията на математиката, е аргумент на базата на Окъм и самобръснач. Ще се върнем към този аргумент (съвсем накратко) в раздел 3; засега можем просто да отбележим, че подобно на гносеологичния аргумент и аргумента за множество редукции, аргументът, основан на Окъм, е много противоречив, а твърдението, че този аргумент опровергава платонизма, е (най-малкото) тенденциозно. По този начин, цялостният извод, до който изглежда сме довели до това, е следният: дори ако фикционалистите могат да мотивират платонистката / фикционалистическата семантика на математическия дискурс и по този начин да премахнат всички антиплатонистични алтернативи на фикционализма, те нямат никакъв наистина убедителен аргумент срещу платонизма или за заключението, че фикционализмът превъзхожда платонизма. С други думи,фикционалистите нямат убедителни аргументи за предпоставка (5) и затова положителният аргумент за тяхната гледна точка е в най-добрия случай непълен.

2. Възражения срещу фикционализма и отговорите

Като се има предвид, че няма убедителни аргументи срещу платонизма, следващият въпрос, който може естествено да се зададе, е дали има добри аргументи срещу фикционализма (и следователно, ако платонизмът е единствената правдоподобна алтернатива на фикционализма, в полза на платонизма). Настоящият раздел разглежда няколко такива аргументи. Преглеждайки реакциите на фикционалистите на тези аргументи, ще видим също как различните философи са разработили различни версии на фикционализма.

2.1 Аргументът за неизменност

Досега най-важният и широко обсъждан аргумент срещу фикционализма е това, което е известно като аргумент на Quine-Putnam за незадължимост (виж например Quine (1948, 1951), Putnam (1971), Resnik (1997) и Colyvan (2001)). Този аргумент е формулиран по много различни начини. Една много проста версия на аргумента може да се постави така: (i) математическите изречения представляват неизменна част от нашите емпирични теории за физическия свят - т.е. нашите теории на физиката, химията и т.н.; (ii) имаме основателни причини да мислим, че тези емпирични теории са верни, т.е. че ни дават точни картини на света; следователно (iii) имаме основателни причини да мислим, че нашите математически изречения са верни и следователно, че измислеността е невярна.

Измислиците са разработили два различни отговора на този аргумент. Първият, поради Field (1980, 2016), може да се нарече отговор на номинализацията, а версията на фикционализма, която ни дава, може да се нарече твърд фикционализъм. Вторият отговор, разработен от Balaguer (1996a, 1998a), Melia (2000), Rosen (2001), Yablo (2005), Bueno (2009), и Leng (2010), може да се нарече отговор за номинализиране и версия на фикционализма, която ни дава, може да се нарече лесен път фикционализъм или фикционализъм. Освен това (Имената тук се дължат на Коливан и Мелия; първият говори за „номинализъм на твърди пътища“и „лесен път номинализъм“, а вторият говори за „номализъм на невестулката“).

Трудният отговор на Field се основава на отхвърлянето на предпоставка (i). Той твърди, че математиката всъщност не е задължителна за емпиричната наука. Филд се опитва да утвърди тази теза, като твърди, че нашите емпирични теории могат да бъдат номинализирани, т.е. Това е изключително противоречиво твърдение и е много трудно да се установи, тъй като по всяка вероятност човек би трябвало да извърши номинализацията за всяка една от нашите емпирични теории - следователно наименованието твърд измислицизъм. Фийлд не се опита да направи това за всички наши емпирични теории. По-скоро той се опита да мотивира позицията си, като обясни как номинализацията ще протече за една емпирична теория, а именно Нютонова теория на гравитацията. Сега,някои хора се оплакват, че дори ако стратегията на Фийлд може да работи за тази една теория, тя може да не работи за други теории и по-специално Маламент (1982) твърди, че стратегията му няма да работи във връзка с квантовата механика (но вижте Balaguer (1996b и 1998a) за аргумент, че стратегията на Field може да бъде разширена до случая на квантовата механика и вижте Bueno (2003) за отговор). Освен това има няколко възражения срещу програмата на Фийлд, например Маламен (1982), Шапиро (1983), Резник (1985) и Чихара (1990, глава 8, раздел 5). От друга страна, има и други произведения, които развиват или предоставят мотивация за труднодостъпни номиналистични възгледи; например Arntzenius и Dorr (2012) разработват начин за номинализиране на теорията на диференцируемите многообразия. В момента,статутът на отговор на Фиелди за твърдия път на аргумента на Куине-Путнам остава спорен.

Лесният път на отговора на Балагер започва с предоставяне на предпоставка (i) на аргумента на Куин-Путнам - т.е. чрез предоставяне (в името на аргумента), че съществуват незаменими приложения на математиката в емпиричната наука. Стратегията на Balaguer е просто да отчита тези приложения от фикционалистическа гледна точка. Аргументът му може да се обобщи по следния начин: ако има такива неща като абстрактни обекти, то те са причинно инертни. Но като се има предвид това, следва, че истинността на емпиричната наука зависи от две групи факти, които се държат или не се задържат независимо един от друг. Единият от тези групи факти е чисто платоничен и математически, а другият е чисто физически (или по-точно, чисто антиплатоничен). Тъй като тези две групи факти притежават или не се отнасят независимо един от друг,измислените могат да твърдят, че (а) тук се получава набор от чисто физически факти от вида, необходим тук, т.е. видът, необходим, за да се направи емпиричната наука истинска, но (б) не получава набор от чисто платонистични факти на вид, необходим за истинността на емпиричната наука (защото няма такива неща като абстрактни обекти). Следователно, фикционализмът е в съответствие с един по същество реалистичен поглед върху емпиричната наука, защото измислените хора могат да поддържат, че дори да няма такива неща като математически обекти и, следователно, нашите емпирични теории не са строго верни, тези теории все още рисуват съществено точна картина на физическия свят, защото физическият свят е точно такъв, какъвто трябва да бъде, за да бъде емпиричната наука истинска. С други думи,измислени хора могат да твърдят, че физическият свят „държи края на емпирично-научната сделка“. И накрая, за да се даде представа за това, което математиката прави в емпиричната наука, твърдението е, че тя функционира като описателна или представителна помощ. С други думи, това ни дава лесен начин да отправим претенции за физическия свят. Например, като правим препратки към реални числа - или по-добре, използвайки термини, които се отнасят за реални числа - ние си даваме лесен начин да опишем температурните състояния на физическите системи. И Балагер твърди, че математиката може да успее в ролята си на описателно помагало, дори ако това не е вярно; Всъщност той твърди, че истината просто не е никаква помощ в тази връзка.твърдението е, че функционира като описателно или представително помагало. С други думи, това ни дава лесен начин да отправим претенции за физическия свят. Например, като правим препратки към реални числа - или по-добре, използвайки термини, които се отнасят за реални числа - ние си даваме лесен начин да опишем температурните състояния на физическите системи. И Балагер твърди, че математиката може да успее в ролята си на описателно помагало, дори ако това не е вярно; Всъщност той твърди, че истината просто не е никаква помощ в тази връзка.твърдението е, че функционира като описателно или представително помагало. С други думи, това ни дава лесен начин да отправим претенции за физическия свят. Например, като правим препратки към реални числа - или по-добре, използвайки термини, които се отнасят за реални числа - ние си даваме лесен начин да опишем температурните състояния на физическите системи. И Балагер твърди, че математиката може да успее в ролята си на описателно помагало, дори ако това не е вярно; Всъщност той твърди, че истината просто не е никаква помощ в тази връзка. И Балагер твърди, че математиката може да успее в ролята си на описателно помагало, дори ако това не е вярно; Всъщност той твърди, че истината просто не е никаква помощ в тази връзка. И Балагер твърди, че математиката може да успее в ролята си на описателно помагало, дори ако това не е вярно; Всъщност той твърди, че истината просто не е никаква помощ в тази връзка.

Други са разработили подобни възгледи. Например, Мелия (2000) твърди, че можем да отстояваме нашите емпирични теории и след това просто да вземем обратно платоничните / математическите последици от тези твърдения. И Росен (2001) твърди, че фикционализмът е епистемично допустим, тъй като друга общност от учени би могла да приеме същите тези теории, които правим, докато подкрепя - или, в по-голяма степен, рационално подкрепяща - фикционалистично отношение към математическите компоненти на техните теории. И Буено (2009) твърди, че математиката играе описателна роля в емпиричната наука и поради това тя не трябва да е вярна, за да бъде приложима. И Лъгг (2010) твърди, че аргументът за незаменимост не опровергава фикционализма, защото измислените могат да дадат адекватен отчет за успеха на науката.

Yablo (2005, 2002a, 2002b) също развива подобно мнение (и заслужава да се отбележи, че неговият възглед тук се опира до голяма степен на работата на Walton (1990)). Ябло твърди, че математиката се появява в науката като представително помагало и че не е необходимо тя да е вярна, за да се постигне това добре. Но неговата версия на възгледа е малко по-различна, защото смята, че изреченията на нашите платонистично формулирани емпирични теории - или поне типични изказвания на тези изречения - всъщност са верни, защото тяхното реално съдържание е номиналистично. За да използвате тривиален вид пример, помислете за изречението

(M) Броят на марсианските луни е 2.

Според Ябло типичните изказвания на изречения като (М) са аналогични на обикновените случаи на фигуративна реч, например изречения като

(А) Средната майка има 2,4 деца.

Синтактичната форма на (A) изглежда подсказва, че става дума за действителен обект, известен като средната мама; но, разбира се, не е - да се чете по този начин би било да разберете погрешно какво означават хората, когато изричат изречения като (A). По същия начин, според Yablo, макар че може да изглежда, че (M) отправя искане частично за действителен обект, известен като 2, всъщност не е така. По-скоро истинското съдържание на (М) -ее, какви типични изказвания на това изречение наистина казват - е, че има две марсиански луни. И, разбира се, това твърдение - т.е. твърдението, че има две марсиански луни - не е твърдение за числото 2 или какъвто и да е друг абстрактен обект; тя е номиналистично кошерна. Накратко, идеята тук е, че фикционалистите за чистата математика могат да одобрят парафразиран номиналистичен поглед на смесени математически изречения.

(Струва си да се отбележи, че Ябло също изглежда смята, че поне понякога чистите математически изречения имат реално съдържание - т.е. наистина казват неща - които са номиналистични и верни. Например, той смята, че поне понякога изречения като „ 3 + 2 = 5 'казват неща като, ако има три Fs и два Gs, тогава (бариране припокриване) има пет F-или -G. Освен това, понякога, Yablo изглежда най-малко намеква за гледката, че поне понякога, когато изричаме изречения като „3 е първостепенно“, това, което всъщност казваме, е, че „3 е първостепенно“е вярно или приемливо според теорията (или историята, или играта) на аритметиката. Не е ясно как сериозно обаче Ябло приема тази идея; при всички положения изглежда доста ясно, че ако изобщо я подкрепи, той смята, че е вярна само в някои контексти, т.е. само на някои чисто математически изказвания. Каквото и да е мнението на Yablo, важно е да се отбележи, че възгледите от този общ вид - т.е. мнения, които вземат чисто математически изречения, за да имат истинско съдържание или наистина казват неща, които са номиналистични и верни - изобщо не са версии на фикционализма, както е дефиниран този възглед. Те са по-скоро версии на парафраза номинализъм и затова са обект на аргумента срещу този възглед, даден в раздел 1.2. Ще се върнем (много накратко) към въпроса дали възгледът на Ябло наистина е версия на фикционализма в раздел 2.3.)Те са по-скоро версии на парафраза номинализъм и затова са обект на аргумента срещу този възглед, даден в раздел 1.2. Ще се върнем (много накратко) към въпроса дали възгледът на Ябло наистина е версия на фикционализма в раздел 2.3.)Те са по-скоро версии на парафраза номинализъм и затова са обект на аргумента срещу този възглед, даден в раздел 1.2. Ще се върнем (много накратко) към въпроса дали възгледът на Ябло наистина е версия на фикционализма в раздел 2.3.)

За повече информация относно гледките като Yablo, вижте Plebani (2018) и Berto and Plebani (2015).

Заслужава да се отбележи, че привържениците на лекия път номинализъм не предпочитат възгледа си пред Field просто защото е „по-лесно“или защото не включва ангажимент към противоречивото твърдение, че нашите емпирични теории могат да бъдат номинирани. Мелия, Ябло и Балагер твърдят, че гледката независимо превъзхожда гледката на Филд, защото се вписва по-добре с реалната научна практика.

Също така си струва да се отбележи, че отговорите на лекия път на аргумента на Куин-Путнам са разработени от хора, които не подкрепят фикционализма - напр. Sober (1993), Maddy (1995, 1997), Mortensen (1998) и Azzouni (2004)).

Отговор на лесния път са дадени от Colyvan (2002, 2010) и Baker (2005, 2009). Те твърдят, че математиката не играе само описателна роля в науката. Той също играе обяснителна роля. Например, Бейкър разглежда случай, включващ различни видове периодични цикади, в които стадийът на нимфата е или 13, или 17 години. Защо са стадии на нимфата 13 или 17 години? Според еволюционните биолози отговорът е, че 13 и 17 са прости числа и това свежда до минимум пресечните точки с други периодични видове. Коливан и Бейкър твърдят, че случаи като този - случаи, при които математическите обекти играят незаменима роля в обясненията на физическите явления - ни предоставят по-добра и по-мощна версия на аргумента за незаменимост. Наистина,те твърдят, че ако наистина има случаи, включващи истински математически обяснения на физическите явления, тогава версиите на фикционализма с лесен път не могат да успеят. Това твърдение обаче е отворено за разискване и отговорите на тези обяснителни версии на аргумента за незаменима необходимост са дадени от Мелия (2002), Ленг (2005b), Бангу (2008), Дали и Лангфорд (2009) и Ябло (2012).

2.2 Обективност

Второто възражение срещу фикционализма се основава на идеята, че фикционалистите не могат да отчитат обективността на математиката. Очевиден факт за математическата практика е, че има някаква обективност в работата в тази практика. Има важна разлика в математиката между изречения като „2 + 2 = 4“и „3 е първостепенно“от една страна и „2 + 2 = 5“, а „3 е съставно“, от друга. Очевидно има някакъв смисъл, в който първите две изречения, но не и вторите две, са „правилни“, „правилни“, „добри“или нещо подобно. Най-очевидното нещо, което трябва да кажа тук, е, че първите две изречения са верни, докато последните две са неверни. Но измислените не могат да кажат това; те се ангажират да кажат, че и четирите от тези изречения са неверни. По този начин,възниква въпросът дали фикционалистите имат някаква адекватна сметка за обективността на математиката - т.е. за разликите между тези два вида изречения.

Още веднъж има два различни отговора, които измислиците са дали на този проблем. Тези два отговора ни дават версии за фикционализъм, които поради липса на по-добра двойка термини могат да се нарекат формалистичен фикционализъм и неформалистичен фикционализъм.

Формалистичният възглед е разработен от Field (1980, 1989, 1998). Според него разликата между „3 е първостепенен“и „3 е композитен“е аналогична на разликата между, да речем, „Дядо Коледа носи червен костюм“и „Дядо Коледа носи зелен костюм“. По-конкретно, идеята на Фийлд е, че разликата между изречения като „3 е първостепенен“и „3 е съставно“е, че първото (но не и последното) е част от известна добре известна „история“, а именно историята на математика. Филд поставя това като казва, че докато „3 е първостепенен“и „3 е съставен“, и двете са строго неверни, първото е вярно в историята на математиката, докато второто не е така. Сега по-голямата част от мнението на Фийлд е в съответствие както с формалистичния фикционализъм, така и с неформалистичния фикционализъм. Разликата между тези две възгледи е свързана с това, което измислените хора приемат историята на математиката, за да се състои. За Филд историята на математиката се състои по същество от куп формални системи, а именно тези, които в момента приемаме. По-точно, той казва (1998, с. 391), че математическото изречение е измислено правилно, ако и само ако е „следствие от приети аксиоми [в а]… смисъл на последиците, което малко надхвърля следствието от първия ред, включително логиката на количественото число „само крайно много““. Така че на този възглед разликата между изречения като „3 е първостепенна“и „3 е съставна“- причината първите да са „правилни“, а втората - не е, че първата следва от приетите математически аксиоми. (Този възглед е одобрен и от Ленг (2010);тя казва, че математическата приемливост се свежда до следващите от приетите аксиоми.)

Balaguer (2001, 2009) твърди, че формалистичният възглед на Фийлд не може да бъде правилен и той развива неформалистична алтернатива на него. Аргументът му срещу формалистичния възглед е, че той не може да отчете цялата обективност, която намираме в математиката. Най-важното е, че формалистичният възглед предполага (неправилно), че не може да има обективно правилни отговори на въпроси, които задават въпроса за истинността на математическите изречения, които не могат да се определят в приетите понастоящем математически теории. Най-известният пример тук вероятно е хипотезата на континуума (CH), която е неотносима в приетите понастоящем теории на множеството, например теорията на множествата на Zermelo-Fraenkel (ZF). (С други думи, ZF е съвместим с CH и ~ CH; т.е. ZF + CH и ZF + ~ CH са и двете последователни зададени теории.) Като се има предвид това,от гледната точка на Филд следва, че нито CH, нито CH са част от историята на математиката и следователно, че няма обективно правилен отговор на въпроса за CH. Това обаче изглежда неприемливо, защото може да се окаже, че математиците ще открият обективно правилен отговор на въпроса за СН. Например, да предположим, че някой математик излезе с нов кандидат за аксиома AX, така че (i) всички математици се съгласиха, че AX е интуитивно очевидно твърдение за множествата и (ii) ZF + AX води до CH. Ако това се случи, тогава математиците биха казали, че са доказали СН и че са открили, че СН е правилен и т.н. Гледката на Field би ни принудила да кажем, че ако подкрепим AX, CH ще стане вярно в историята на математиката. Но това изглежда ще обърка нещата. Предвид интуитивната очевидност на AX,изглежда много естествено да се каже, че при този сценарий математиците откриха, че СН е бил верен (или „правилен“, или истина в историята на математиката, или каквото искаме да го наречем) през цялото време, т.е. т просто измислете това, като одобрите нова теория. И отново, изглежда, че това биха казали математиците. И така, твърди Балагер, формалистичният възглед на Фийлд за обективността на математиката е неприемлив.

Неформалистичната версия на фикционализма на Балагер запазва тезата на Филд, че математическата „коректност“има общо с това, че е вярна в историята на математиката, но тя изоставя виждането на Филди, че историята на математиката се състои в приетите понастоящем аксиоми. Според Балагер, така наречената „история на математиката“се състои в тезата, че всъщност съществуват абстрактни математически обекти от видовете, които платонистите имат предвид, т.е. видовете, за които се предполага, че нашите математически теории трябва да се отнасят. По този начин, според това, математическото изречение е измислено правилно, ако и само ако би било вярно, ако действително са съществували абстрактни математически обекти от вида, които платонистите имат предвид. Балагер твърди, че ако измислените хора възприемат това мнение, те могат да избегнат горния проблем с гледката на Фийлд и по-общо,те могат напълно да решат проблема с обективността, защото могат да имитират всичко, което платонистите казват за обективността.

2.3 Революционизъм и херменевтика

Друго възражение срещу измислеността е изказано от Burgess (2004) - и трябва да се отбележи, че аргументът тук има корени в Burgess (1983) и Burgess and Rosen (1997). Аргументът може да бъде поставен така:

Измислените са изправени пред дилема: те трябва да подкрепят или херменевтичния фикционализъм, или революционния фикционализъм, но нито едното не е правдоподобно. Можем да определим херменевтичния фикционализъм като мнението, че математиците (и може би обикновеният народ) възнамеряват математическите си беседи да се приемат като форма на измислица; по-конкретно, мнението тук е, че според обикновените математически намерения единични термини като „3“не трябва да се отнасят, а изреченията като „3 е първостепенно“не трябва да са верни. Но херменевтичният фикционализъм е неправдоподобен и немотивиран; като емпирична хипотеза за това, което математиците възнамеряват, просто няма добри доказателства за това и изглежда очевидно невярно. От друга страна, революционният фикционализъм е мнението, че (а) математиците не възнамеряват изявленията си да се приемат като измислица,или като нелитерален по друг начин; и така (б) трябва да тълкуваме математиците като наистина отстояване на това, което изреченията им казват, т.е. като твърдения, които се отнасят за (или тази цел е) математически обекти; но в) тъй като няма такива неща като математически обекти, твърденията на математиците са просто неверни твърдения. Но революционният фикционализъм също е неправдоподобен; като се имат предвид историята на философите и математиците, би било „комично нескромно“философите да приемат, че са открили проблем с математиката (Burgess, 2004, p. 30).твърденията на математиците са просто неверни твърдения. Но революционният фикционализъм също е неправдоподобен; като се имат предвид показателите на философи и математици, би било „комично нескромно“философите да приемат, че са открили проблем с математиката (Burgess, 2004, p. 30).твърденията на математиците са просто неверни твърдения. Но революционният фикционализъм също е неправдоподобен; като се имат предвид историята на философите и математиците, би било „комично нескромно“философите да приемат, че са открили проблем с математиката (Burgess, 2004, p. 30).

Никой никога не е защитавал херменевтичния фикционализъм, както е дефиниран по-горе. Ябло (2002a) твърди, че неговият възглед е версия на херменевтичен измислицизъм - и Плебани (2018) го следва в този начин на говорене, но възгледът, който тези философи имат предвид, е малко по-различен от описания по-горе херменевтичен фикционалист. Ябло не твърди, че математиците възнамеряват изреченията си на изречения като „3 е първостепенно“да се приемат като измислени твърдения. По-скоро той смята, че тези изказвания са (поне понякога или може би обикновено) аналогични на обикновените примери на фигуративна реч, например изречения като „Задната горелка е мястото, където поставяте нещата, за да ги оставите да къпят“. Това изречение съдържа единствено понятие „гръб горене“, което изглежда (синтактично) като обозначаващ израз;но всъщност не е обозначаващ израз (поне в типични случаи) и да го тълкуваме като истински обозначаващ израз в изречения като горното, би било лошо неразбиране на това, което типичните говорители на изречения като това възнамеряват да казват. Ябло смята, че нещо подобно е вярно във връзка с типичните изказвания на (чисти и смесени) математически изречения, например изречения като „3 е първостепенно“и „Броят на марсианските луни е 2.“Така че Ябло със сигурност предлага херменевтичен номиналистичен възглед, но не е ясно, че неговият възглед е най-добре мислен като вид херменевтичен фикционализъм. Както бе отбелязано по-горе (раздел 2.1), възгледът може да бъде по-добре класифициран като нещо като парафразиран номинализъм. Ябло нарича своя възглед фигурализъм и той говори така, сякаш е версия на фикционализма. Но той изглежда използва термина „фикционализъм“по различен начин от начина, по който е дефиниран тук. Това, което той вероятно има предвид, е следното: при буквално четене математическите изречения са неверни, както казва фикционализмът, но има алтернативно четиво, на което те излизат истински (и номиналистично кошерни). Но това, което прави неудобно да възприема възгледа на Ябло като версия на фикционализма, е че той смята, че това, което (чисти и смесени) математически изречения наистина казват - или по-точно, какви типични изказвания на тези изречения наистина казват - е вярно и номиналистично по съдържание. Това звучи по-скоро като перифразиран номинализъм, отколкото измислицизъм.но има алтернативен прочит, на който те излизат истински (и номиналистично кошерни). Но това, което прави неудобно да възприема възгледа на Ябло като версия на фикционализма, е че той смята, че това, което (чисти и смесени) математически изречения наистина казват - или по-точно, какви типични изказвания на тези изречения наистина казват - е вярно и номиналистично по съдържание. Това звучи по-скоро като перифразиран номинализъм, отколкото измислицизъм.но има алтернативен прочит, на който те излизат истински (и номиналистично кошерни). Но това, което прави неудобно да възприема възгледа на Ябло като версия на фикционализма, е че той смята, че това, което (чисти и смесени) математически изречения наистина казват - или по-точно, какви типични изказвания на тези изречения наистина казват - е вярно и номиналистично по съдържание. Това звучи по-скоро като перифразиран номинализъм, отколкото измислени.

Стенли (2001) изложи няколко аргумента срещу херменевтичния фикционализъм. Отговори на неговите аргументи дават Yablo (2002a) и Liggins (2010).

За разлика от Ябло, Ленг (2005a, 2010), Дали (2006) и Балагер (2009) отговарят на аргументацията на Бърджис, защитавайки революционния фикционализъм. Версията на отговора на Ленг се основава на твърдението, че е приемливо философите да оценяват и критикуват работата на математиците. Разбира се, Ленг признава, че математиката е много успешна практика и че философите трябва да спазват това, но нейното твърдение е, че можем да отчитаме успеха на математиката, без да предполагаме, че това е вярно. И като се има предвид това, твърди тя, можем рационално да оценим и критикуваме математическата практика отвън, от философска гледна точка.

Но има и друг вид революционен фикционализъм, който не включва никаква критика на математиката. Както е формулирано по-горе, революционният фикционализъм е просто мнението, че (i) трябва да тълкуваме математиците като отстояване на изреченията им, така че (ii) техните изказвания са неверни твърдения за абстрактни обекти. Но от това не следва, че в математиката има нещо нередно - нещо, достойно за критика. Това предполага, че „революционният фикционализъм“не е много добро име за гледката. „Утвърдителен фикционализъм“би било по-добро име. Ако говорихме по този начин, тогава бихме могли да кажем, че съществуват както революционни, така и нереволюционни видове твърдения фикционализъм. Революционните твърдения измислени биха казали, че трябва да променим това, което правим в математиката, така че вече да не отправяме неверни твърдения; например, ние трябва да започнем да възнамеряваме нашите математически твърдения да се приемат като измислици, или трябва да започнем да използваме математическите си изречения, за да означаваме какво означава, ако тогавашните хора смятат, че означават, или нещо подобно. От друга страна, нереволюционните твърдящи белетристи биха казали, че няма нищо лошо в математиката, както се практикува в момента; те биха признали, че математическите изречения като „4 е равномерно“не са верни; но те биха поддържали, че в това няма нищо лошо, защото белегът на добротата в математиката не е истина - това е истина в историята на математиката или нещо подобно.или би трябвало да започнем да използваме математическите си изречения, за да имаме предвид какво означава, ако тогавашните хора смятат, че означават, или нещо подобно. От друга страна, нереволюционните твърдящи белетристи биха казали, че няма нищо лошо в математиката, както се практикува в момента; те биха признали, че математическите изречения като „4 е равномерно“не са верни; но те биха поддържали, че в това няма нищо лошо, защото белегът на добротата в математиката не е истина - това е истина в историята на математиката или нещо подобно.или би трябвало да започнем да използваме математическите си изречения, за да имаме предвид какво означава, ако тогавашните хора смятат, че означават, или нещо подобно. От друга страна, нереволюционните твърдящи белетристи биха казали, че няма нищо лошо в математиката, както се практикува в момента; те биха признали, че математическите изречения като „4 е равномерно“не са верни; но те биха поддържали, че в това няма нищо лошо, защото белегът на добротата в математиката не е истина - това е истина в историята на математиката или нещо подобно.но те биха поддържали, че в това няма нищо лошо, защото белегът на добротата в математиката не е истина - това е истина в историята на математиката или нещо подобно.но те биха поддържали, че в това няма нищо лошо, защото белегът на добротата в математиката не е истина - това е истина в историята на математиката или нещо подобно.

Изглежда, Фийлд подкрепя някои гледни точки в съседство с този нереволюционизъм. Обсъждайки аргументацията на Бърджис в предговора към второто издание на Science Without Numbers, той казва това: „Според мен това е фалшива дихотомия. Със сигурност не мислех, че акаунтът, който предоставях, беше „херменевтичен“, но също не беше „революционен“: аз приех това, което правя, по-скоро като предоставяне на сметка, която обяснява защо обикновената математическа практика е напълно добра. (Поле, 2016, стр. 4.)

И накрая, Balaguer (2009) твърди, че има измислени начини за измислиците да избегнат както херменевтика, така и асерционализъм, и следователно, че те могат да избегнат дилемата на Бърджис изобщо. Освен това, Field (2016) изглежда също подкрепя подобна гледка. Но Armor-Garb (2011) твърди, че версията на (нехерменевтицистичен, неасертивен) фикционализъм, която Балагер предлага тук, е несъстоятелна.

2.4 Прилика с фантастиката

Няколко души - напр. Кац (1998), Томас (2000 и 2002), Хофман (2004), Бърджис (2004) и Томас (2013) - възразиха срещу фикционализма с мотива, че съществуват очевидни несъответствия между математика и художествена литература, (В какво точно се отличават дисанологиите в различните версии на възражението. Например, Кац твърди, че последователността е важен критерий за доброта в математиката, но не и в художествената литература. И Бърджис твърди, че въпросът дали съществуват математически обекти не е емпирично смислен, докато въпросът дали съществуват (неабстрактивни) обекти в нашите измислени истории е емпирично значим.)

Един от начините, които измислените могат да отговорят на това възражение, е да твърдят, че това е просто без значение, тъй като фикционализмът не включва твърдението, че между математиката и художествената литература няма важни несъответствия. Както беше дефинирано по-горе, фикционализмът е мнението, че (а) нашите математически изречения и теории предполагат да се отнасят за абстрактни математически обекти, както предполага платонизмът, но (б) няма такива неща като абстрактни обекти и т.н. (c) нашите математически теории не са верни. Тук изобщо няма претенции за измислен дискурс и затова фикционалистите могат просто да отрекат, че възгледът им води до това, че между математиката и художествената литература няма важни несъответствия.

Това не означава, че измислените хора не могат да твърдят, че има някои аналогии между математиката и художествената литература. Те, разбира се, могат да твърдят, че има; например, те биха могли да искат да кажат, че както е в математиката, няма такива неща като измислени обекти и поради това типичните измислени изречения не са буквално верни. Но като отправят подобни твърдения, измислените не се ангажират с по-силни твърдения за аналогията между математиката и фикцията - например, че математическият дискурс е вид измислен дискурс - и те със сигурност не се ангажират с твърдението, че няма важни дезалогии между двете предприятия. Накратко, фикционализмът е напълно съвместим с твърдението, че има много важни дисанологии между математика и художествена литература.

И накрая, трябва да се отбележи, че има някои измислени хора, които изглежда искат да направят някои по-силни твърдения относно аналогията между математиката и художествената литература. Такива хора може би трябва да приемат възраженията от горепосочения вид по-сериозно. Но никой от белетристите, обсъдени в това есе, не подкрепя много силни твърдения от този вид; по-специално, никой от тях не казва нищо, което води до това, че между математиката и художествената литература няма важни дезаналогии. От друга страна, трябва да се отбележи, че Ябло и Буено са отправили някои твърдения в тази връзка, които надхвърлят това, което трябва да кажат измислените. Например, Буено (2009) казва, че математическите обекти са подобни на измислените герои, тъй като те са абстрактни артефакти (казвайки това, той следва погледа на Томассън (1999) на измислените герои). И Ябло направи някои сравнително твърди твърдения относно аналогия, която според него има между математически изказвания и метафорични изказвания или образни изказвания. По този начин конкретната версия на измислиците на Ябло е отворена за възражения, че математическите изказвания всъщност не са сходни или аналогични на метафоричните изказвания. Някои възражения от този вид са повдигнати от Стенли (2001), а Ябло отговаря на тях в своята (2002a). Но тъй като Ябло не твърди, че математическите изказвания са аналогични на измислените изказвания, той не трябва да отговаря на възражения от типа, споменат в началото на настоящия подраздел. Конкретната версия на фикционализма на Yablo е отворена за възражения, че математическите изказвания всъщност не са подобни или аналогични на метафоричните изказвания. Някои възражения от този вид са повдигнати от Стенли (2001), а Ябло отговаря на тях в своята (2002a). Но тъй като Ябло не твърди, че математическите изказвания са аналогични на измислените изказвания, той не трябва да отговаря на възражения от типа, споменат в началото на настоящия подраздел. Конкретната версия на фикционализма на Yablo е отворена за възражения, че математическите изказвания всъщност не са подобни или аналогични на метафоричните изказвания. Някои възражения от този вид са повдигнати от Стенли (2001), а Ябло отговаря на тях в своята (2002a). Но тъй като Ябло не твърди, че математическите изказвания са аналогични на измислените изказвания, той не трябва да отговаря на възражения от типа, споменат в началото на настоящия подраздел.той не трябва да отговаря на възражения от вида, споменат в началото на настоящия подраздел.той не трябва да отговаря на възражения от вида, споменат в началото на настоящия подраздел.

2.5 Приемане и вярване

Както стана ясно в раздел 2.2, докато фикционалистите смятат, че изреченията като „2 + 2 = 4“са строго говорещи неверни, въпреки това смятат, че са „правилни“в някакъв смисъл на термина. Какво е отношението на фикционалиста към тези изречения? Следвайки Бас ван Фраасен (1980), който подкрепя подобна гледна точка по отношение на емпиричната наука, стандартната измислена линия тук е, че те приемат изречения като „2 + 2 = 4“, без да им вярват. Как точно трябва да се определи приемането е въпрос на известен спор, но един очевиден начин да се продължи тук е да се твърди, че измислените приемат чисто математическо изречение S, ако и само ако вярват, че S е вярно в историята на математиката.

Някои хора възразяват срещу разликата между вяра и приемане. Horwich (1991), O'Leary-Hawthorne (1997) и Burgess and Rosen (1997) представят аргументи за твърдението, че няма реална разлика между приемането и вярата, защото, грубо, (а) да вярваме в нещо, просто трябва да бъде разположени да се държат по определени начини и (б) онези, които вярват, че 2 + 2 = 4, и тези, които твърдят, че само приемат, че 2 + 2 = 4, се предполага, че са разположени да се държат по същите начини.

Daly (2008) и Leng (2010) предоставят редица отговори на този аргумент. Един от точките на Дали е, че фикционалистите всъщност не са склонни да се държат по същия начин, както са платонистите. Те са склонни да се държат много различно в отговор на въпроси като: „Има ли всъщност такива неща като числа?“

2.6 Загадъчно допълнително съдържание

Thomasson (2013) отправя възражение срещу специфичната версия на Yablo за измислицизъм. Както видяхме по-горе, Yablo (2005, 2002a, 2002b) прави разлика между буквалното съдържание и реалното съдържание на изречения като

(M) Броят на марсианските луни е 2.

Томассън твърди, че Ябло се ангажира с твърдението, че за истинността на буквалното съдържание на изречения като (М) е необходимо нещо повече, отколкото е необходимо за истинността на истинското съдържание на тези изречения. Но какво може да бъде това допълнително нещо? Според Томассън това е неясно и ако Ябло не може да каже нещо повече за това, не би трябвало да приемаме неговото мнение.

Един отговор на това, дадено от Contessa (2016, стр. 771) - е, че е очевидно какво е необходимо повече; трябва да е така, че съществуват „независими от ума, непространствено-временно разположени, причинно инертни абстрактни обекти“.

Различен отговор дава Plebani (2018). Той твърди, че независимо от това дали ябловските белетристи могат да формулират две различни условия за истина за изречения като (М), реалното и буквалното съдържание на тези изречения могат да бъдат разграничени, тъй като те имат различни теми.

2.7 Други възражения

Разбира се, има и други възражения срещу фикционализма. Вероятно най-широко обсъжданото се основава на твърдението, че фикционализмът не е истински номиналистичен възглед, тъй като самата формулация на фикционализма включва твърдения, които включват онтологични ангажименти към абстрактни обекти. Тук би било трудно да се обърне внимание на това възражение, тъй като то има различна форма във връзка с всяка различна версия на фикционализма и както става ясно от горната дискусия, има много различни версии на фикционализма (например, човек може да подкрепи или трудно - фикционализъм на пътя или лесен измислици; и двете тези гледни точки могат да бъдат комбинирани или с формалистичен фикционализъм, или с неформалистичен фикционализъм;и всеки от тези възгледи може да бъде комбиниран с херменевтичен фикционализъм или революционен асертивен фикционализъм или нереволюционен асертивен фикционализъм; и така нататък). Трябва да се отбележи обаче, че няколко различни защитници на фикционализма са отговорили на тревогите за номиналистичния статус на техните собствени конкретни версии на фикционализма. По-специално, Фийлд (1989) защитава своята версия на фикционализъм срещу обвинението, че тя се ангажира с съществуването на точки от космическото време, които може да се мисли, че не са номиналистично кошерни; и Balaguer (1998a) защитава своята версия срещу обвинението, че тя (и наистина версията на Field) се ангажира с съществуването на истории, които вероятно биха били абстрактни обекти, ако съществуват; и накрая,Росен (2001) защитава мнението си срещу обвинението, което обвързва с теориите и възможните светове. И Балагер, и Росен са загрижени от притеснението, че фикционалистите са ангажирани с съществуването на типове изречения, които вероятно биха били абстрактни обекти. Дали представя версия на това притеснение в своя (2008) и предлага противодействие на отговора на Балагер на тревогата. Той също така дава противодействие на отговора, който Росен е дал по-рано, в своето (1990).

Szabo (2001) повдига друго възражение срещу фикционализма (или по-точно - за лесния път). Нека S е някакво математическо изречение като „4 е равномерно“. Сабо спори срещу лесните измислици с мотива, че ако те отричат, че S е вярно, но продължават да го използват по начини, които изглеждат неразличими от начините, по които платонистите го използват, те по същество са ангажирани да казват неща като „4 е дори, но не вярвам в това - което, според Сабо, им създава проблеми по отношение на парадокса на Мур.

Накрая, Chihara (2010) повдига възражения срещу фикционалистичните възгледи както на Field, така и на Balaguer.

3. Заключение

Така че има няколко различни възражения срещу фикционализма, но измислените хора имат отговори на всички тях и изобщо не е очевидно, че някое от възраженията успява да опровергае фикционализма. Понастоящем изглежда поне prima facie правдоподобно да предположим, че фикционализмът може да бъде защитен. От друга страна, ако твърденията на раздел 1 са верни, тогава измислените хора нямат убедителен положителен аргумент в полза на своето мнение. Аргументите на раздели 1.2–1.4 предполагат, че има основателни причини за отхвърляне на различните антиплатонистични алтернативи на фикционализма и, следователно, за мисленето, че платонизмът и фикционализмът са двата най-добри гледни точки на математиката, но изглежда няма добра аргумент за предпочитане на фикционализма над платонизма или обратното. Сега,повечето измислени хора вероятно биха казали - а някои са казали (виж, например, Leng, 2010) - че тази ситуация сама по себе си ни дава основателна причина да предпочитаме фикционализма пред платонизма. Защото, ако вземем твърдението, че няма добър положителен аргумент за платонизма и го комбинираме с бръснача на Окъм (т.е. принципът, който ни казва, че ако две теории отчитат едни и същи факти, тогава, ceteris parabis, трябва да подкрепим колкото по-онтологично парсимоничен от двете), тогава изглежда ни води до резултата, че фикционализмът превъзхожда платонизма. Трябва да се отбележи обаче, че този аргумент е изрично отхвърлен от поне двама защитници на фикционализма, обсъдени по-горе. Розен (виж например Burgess and Rosen, 1997) се съмнява, че има някаква основателна причина да приемем бръснача на Окъм, а Balaguer (1998a) твърди, че дори и да го приемем, т.е.има основания да се смята, че това не е приложимо в настоящия случай. По този начин и Росен, и Балагер считат, че в момента нямаме основателна причина да подкрепим платонизма или фикционализма. Освен това, както бе отбелязано в раздел 1.3, Буено (2009) смята, че измислените би трябвало да са агностични относно съществуването на абстрактни обекти; това изглежда е повече или по-малко еквивалентно на мнението на Росен; Гледната точка на Балагер е малко по-различна, защото той всъщност смята, че няма никакъв факт дали абстрактни обекти съществуват.това изглежда е повече или по-малко еквивалентно на мнението на Росен; Гледната точка на Балагер е малко по-различна, защото той всъщност смята, че няма никакъв факт дали абстрактни обекти съществуват.това изглежда е повече или по-малко еквивалентно на мнението на Росен; Гледната точка на Балагер е малко по-различна, защото той всъщност смята, че няма никакъв факт дали абстрактни обекти съществуват.

библиография

  • Броня-Гарб, Б., 2011, „Разбиране на математическия фикционализъм“, Философия Математика, 19: 335–44.
  • Arnzenius, F. and C. Dorr, 2012, „Изчисляване като геометрия“, в пространството, времето и нещата, F. Arntzenius, Oxford: Oxford University Press, стр. 213–78.
  • Azzouni, J., 1994, Метафизични митове, Математическа практика, Кеймбридж: Cambridge University Press.
  • –––, 2004 г., Опровергавайки екзистенциалната последица: случай за номинализъм, Оксфорд: University of Oxford.
  • –––, 2010 г., като говорим за нищо: числа, халюцинации и измислици, Оксфорд: Оксфордски университет прес.
  • Бейкър, А., 2005, „Има ли истински математически обяснения на физическите явления?“, Мислене, 114: 223–38.
  • –––, 2009, „Математическо обяснение в науката“, Британско списание за философия на науката, 60: 611–633.
  • Балагер, М., 1995, „Платонистка епистемология“, Синтез, 103: 303–25.
  • –––, 1996а, „Измислица на фикционалистите за задължителните приложения на математиката“, Философски изследвания, 83: 291–314.
  • –––, 1996b, „Към номинализацията на квантовата механика“, Mind, 105: 209–26.
  • –––, 1998a, Платонизъм и антиплатонизъм в математиката, Оксфорд: University of Oxford.
  • –––, 1998b, „Нагласи без предложения“, Философия и феноменологични изследвания, 58: 805–26.
  • –––, 2001, „Теория на математическата коректност и математическата истина“, Тихоокеанският философски квартал, 82: 87–114.
  • –––, 2009, „Измислицизъм, кражба и историята на математиката“, Философия Математика, 17: 131–62.
  • Бангу, С., 2008, „Резултат за най-доброто обяснение и математическия реализъм“, Синтез, 160: 13–20.
  • Benacerraf, P., 1965, „Какви числа не могат да бъдат“, препечатани в Benacerraf and Putnam (1983), стр. 272–94.
  • –––, 1973 г., „Математическа истина“, сп. „Философия“, 70: 661–79.
  • Benacerraf, P. and Putnam, H. (ред.), 1983, Философия на математиката, Кеймбридж: Cambridge University Press.
  • Берто, Ф. и М. Плебани, 2015, Онтология и метаонтология: Съвременен наръчник, Лондон: Bloomsbury Academic.
  • Brouwer, LEJ, 1912 г., „Интуиционизъм и формализъм“, препечатани в Benacerraf and Putnam (1983), 77–89.
  • –––, 1948, „Съзнание, философия и математика“, препечатани в Benacerraf and Putnam (1983), 90–96.
  • Буено, О., 2003, „Възможно ли е да се номинира квантовата механика?“, Философия на науката, 70: 1424–36.
  • –––, 2005 г., „Дирак и способността за получаване на математика“, Изследвания по история и философия на съвременната физика, 36: 465–90.
  • –––, 2009, „Математически измислицизъм”, в „Нови вълни” във Философията на математиката, О. Буено и Ø. Линебо (ред.), Хемпшир: Палгрейв Макмилан, стр. 59–79.
  • Burgess, J., 1983, „Защо не съм номиналист”, списание Notre Dame of Formal Logic, 24: 93–105.
  • –––, 2004 г., „Математика и мрачна къща“, Философия Математика, 12: 18–36.
  • Burgess, J. and G. Rosen, 1997, Subject With No Object, New York: Oxford University Press.
  • Chihara, C., 1990, Constructibility and Mathematical Existence, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2004, Структуристка структура на математиката, Оксфорд: Oxford University Press.
  • –––, 2010 г., „Нови направления за номиналистичните философи на математиката“, Синтез, 176: 153–75.
  • Cole, J., 2009, „Творчество, свобода и авторитет: нова перспектива в метафизиката на математиката“, Australasian Journal of Philosophy, 87: 589–608.
  • Colyvan, M., 2001, The Imispensability of Mathematics, New York: Oxford University Press.
  • –––, 2002, „Математика и естетически съображения в науката“, Ум, 111: 69–74.
  • –––, 2010 г., „Няма лесен път към номинализма“, Ум, 119: 285–306.
  • Контеса, Г., 2016, „Не е лесно: фикционализъм, дефлационизъм и лесни аргументи в онтологията“, Ум, 125: 1057–73.
  • Corkum, P., 2012, „Аристотел върху математическата истина“, Британско списание за история на философията, 20: 763–76.
  • Curry, HB, 1951, Очертания на формалистичната философия на математиката, Амстердам: Северна Холандия.
  • Дали, С., 2006, „Математически фикционализъм - без комедия на грешките“, Анализ, 66: 208–16.
  • –––, 2008, „Измислицизъм и нагласи“, Философски изследвания, 139: 423–40.
  • Дали, К. и С. Лангфорд, 2009, „Математическо обяснение и аргументи за неизменност“, Философски квартал, 59: 641–58.
  • Dorr, C., 2008, "Няма абстрактни обекти", в Contemporary Debates in Metaphysics, T. Sider, J. Hawthorne и D. Zimmerman (ред.), Oxford: Blackwell Publishing, стр. 12–64.
  • Field, H., 1980, Science Without Numbers, Princeton, NJ: Princeton University Press.
  • –––, 1989, Реализъм, математика и модалност, Ню Йорк: Базил Блакуел.
  • –––, 1998, „Математическа обективност и математически обекти”, в „Съвременни четения в основите на метафизиката”, C. MacDonald и S. Laurence (ред.), Oxford: Basil Blackwell, стр. 387–403.
  • –––, 2016, Science Without Numbers,, второ издание, Oxford: Oxford University Press.
  • Frege, G., 1884, Der Grundlagen die Arithmetik. Преведено от Дж. Л. Остин като основите на аритметиката, Оксфорд: Базил Блакуел, 1953 г.
  • –––, 1893–1903, Grundgesetze der Arithmetik. Преведено (отчасти) от М. Фърт като основни закони на аритметиката, Бъркли, Калифорния: University of California Press, 1964.
  • –––, 1919, „Мисълта: логическо проучване“, препечатано в „Есета на Фреге“, Е. Д. Клемке (съст.), Урбана, Илинойс: Университет на Илинойс Прес, 1968, 507–35.
  • Gödel, K., 1964, „Какво е проблемът на Кантор за непрекъснатост?“, Препечатан в Benacerraf and Putnam (1983), 470–85.
  • Хейл, Р., 1987, Абстрактни обекти, Оксфорд: Базил Блакуел.
  • Hellman, G., 1989, Mathematics Without Numbers, Oxford: Clarendon Press.
  • –––, 1998, „Маоистка математика?“, Философия Математика, 6: 334–45.
  • Хейтинг, А., 1956, Интуиционизъм, Амстердам: Северна Холандия.
  • Hilbert, D., 1899, Grundlagen der Geometrie. Преведено от Е. Таунсенд като основи на геометрията, La Salle, IL: Отворен съд, 1959 г.
  • Хофман, С., 2004, „Китчър, идеални агенти и фикционализъм“, Философия Математика, 12: 3–17.
  • Hofweber, T., 2005, „Определители на числа, числа и аритметика“, Философският преглед, 114: 179-225.
  • Хорган, Т., 1984, „Науката номинализирана“, Философия на науката, 51: 529–49.
  • Хорвич, П., 1991, „За природата и нормите на теоретичната ангажираност“, Философия на науката, 58: 1–14.
  • Husserl, E., 1891, Philosophie der Arithmetik, Leipzig: CEM Pfeffer.
  • Katz, J., 1981, Език и други абстрактни обекти. Totowa, NJ: Rowman & Littlefield, и Oxford: Blackwell.
  • –––, 1998, Реалистичен рационализъм, Кеймбридж, МА: MIT Press.
  • Китчър, П., 1984, Природата на математическите знания, Оксфорд: Университет Оксфорд.
  • Lear, J., 1982, „Философия на математиката на Аристотел“, Философският преглед, 91: 161–92.
  • Ленг, М., 2005a, „Революционният фикционализъм: призив към оръжие“, Философия Математика, 13: 277–93.
  • –––, 2005b, „Математическо обяснение”, в „Математическо разсъждение и евристика”, C. Cellucci и D. Gillies (ред.), Лондон: Публикации на King's College, стр. 167–89.
  • –––, 2010, Математика и реалност, Оксфорд: Университет Оксфорд.
  • Лиггинс, Д., 2010, „Противопоставянето на аутизма срещу теорията на преструвките“, „Философски квартал“, 60: 764–82.
  • Линебо, Ø., 2006, „Епистемологични предизвикателства пред математическия платонизъм“, Философски изследвания, 129: 545–74.
  • Лински, Б. и Е. Залта, „Натурализиран платонизъм и платонизиран натурализъм“, сп. „Философия“, 92: 525–55.
  • Листън, М., 2003–04, „Тънко- и пълнокръвен платонизъм“, Прегледът на съвременната логика, 9: 129–61.
  • Maddy, P., 1990, Реализъм в математиката, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 1995, „Натурализъм и онтология“, Philosophia Mathematica, 3: 248–70.
  • –––, 1997, Натурализъм в математиката, Оксфорд: Клеръндън Прес.
  • Маламент, Д., 1982, Преглед на полето, Наука без числа, сп. „Философия“, 79: 523–34.
  • Маркус, Р., 2015, автономия платонизъм и аргументът за неизменност, Lanham, MD: Rowman and Littlefield.
  • McEvoy, M., 2012, „Платонизмът и„ пъзелът на епистемичните роли “,„ Philosophia Mathematica, 20: 289–304.
  • Melia, J., 2000, „Weaseling Away the Nugebility Argument“, Mind, 109: 455–79.
  • –––, 2002, „Отговор на Коливан“, Ум, 111: 75–79.
  • Moltmann, F., 2013, “Позоваване на числата в естествения език”, Философски изследвания, 162: 499–536.
  • Mortensen, C., 1998, „За възможността за наука без числа“, Australasian Journal of Philosophy, 76: 182–97.
  • O'Leary-Hawthorne, J., 1994, "Какво показва критика на научния реализъм на Ван Фраасен?", The Monist, 77: 128–45.
  • Парсънс, С., 1971, „Онтология и математика“, Философски преглед, 80: 151–76.
  • –––, 1990, „Структуристът на математическите обекти“, Синтез, 84: 303–46.
  • Plebani, M., 2018, „Фикционализмът срещу дефлационизма: нов поглед“, Философски изследвания, 175: 301–16.
  • Putnam, H., 1967a, „Математика без основи”, препечатана в Benacerraf and Putnam (1983), 295–311.
  • –––, 1967b, „Тезата, че математиката е логика“, в Бертран Ръсел, Философ на века, Р. Шьоман (ред.), Лондон: Алън и Унвин.
  • –––, 1971 г., Философия на логиката, Ню Йорк: Харпър и Роу.
  • Куин, WVO, 1948 г., „Какво има”, препечатано в Куин (1961 г.), 1–19.
  • –––, 1951 г., „Две догми за емпиризма“, препечатани в Quine (1961), 20–46.
  • --- 1961 г. От логическа гледна точка, 2 -ро изд., Ню Йорк: Харпър и Роу.
  • Райо, А., 2008, „За определяне на истинните условия“, Философски изследвания, 47: 163–181.
  • –––, 2013, The Construction of Logical Space, Oxford: Oxford University Press.
  • Резник, М., 1985, „Как номиналистът е номинализмът на Хартри Фийлд?“Философският преглед, 117: 385–443.
  • –––, 1997, Математиката като наука за шарките, Оксфорд: Оксфордски университет.
  • Росен, Г., 1990, „Модален фикционализъм“, Ум, 99: 327–54.
  • –––, 2001, „Номинализъм, натурализъм, епистемичен релативизъм“, във Философски теми, 15: 60–91.
  • Ръсел, Б., 1912, Проблемите на философията. Препечатано 1959 г., Оксфорд: University Oxford University Press.
  • Шапиро, С., 1983, „Консервативност и непълнота“, сп. „Философия“, 80: 521–31.
  • –––, 1997, Философия на математиката: структура и онтология, Ню Йорк: Oxford University Press.
  • Sober, E., 1993, „Математика и незаменима способност”, The Philosophical Review, 102: 35–57.
  • Stanley, J., 2001, „Херменевтичен фикционализъм“, Среднозападни изследвания във философията, 25 (1): 36–71.
  • Щайнер, М., 1975, Математически знания, Итака, Ню Йорк: Cornell University Press.
  • Сабо, Z., 2001, „Измислицизъм и парадокс на Мур“, Канадско списание за философия, 31: 293–307.
  • Thomas, R., 2000, „Математика и фантастика I: Идентификация“, Logique et Analyze, 43: 301–40.
  • –––, 2002, „Математика и фантастика II: Аналогия“, Logique et Analyze, 45: 185–228.
  • Thomasson, A., 1999, фантастика и метафизика, Cambridge: Cambridge University Press.
  • –––, 2013, „Фикционализмът срещу дефлационизма“, Ум, 122: 1023–51.
  • van Fraassen, B., 1980, The Scientific Image, Oxford: Clarendon Press.
  • Walton, K., 1990, Mimesis as Make-Believe, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Wittgenstein, L., 1956 г., Забележки за основите на математиката, Оксфорд: Базил Блакуел.
  • Райт, C., 1983, Концепцията на Фреге за числата като обекти, Абърдийн, Шотландия: Aberdeen University Press.
  • Yablo, S., 2002a, „Отиди фигура: Път през фикционализма“, Среднозападни изследвания във философията, 25: 72–102.
  • –––, 2002b, „Абстрактни обекти: Проучване на казуса“, Noûs, 36 (Допълнителен том 1): 220–240.
  • –––, 2005, „Митът за седемте“, в „Измислици в метафизиката“, М. Калдерон (съст.), Ню Йорк: Oxford University Press, стр. 88–115.
  • –––, 2012, „Обяснение, екстраполация и съществуване“, Ум, 121: 1007–29.
  • –––, 2017, „Ако-тотализъм“, австралийски философски преглед, 1: 115–33.
  • Yi, B., 2002, Разбиране на мнозина, Ню Йорк и Лондон: Routledge.
  • Zalta, E., 1988, Intensional Logic and the Metaphysics of Intentionality, Cambridge, MA: Bradford / MIT Press.

Академични инструменти

сеп човек икона
сеп човек икона
 Как да цитирам този запис.
сеп човек икона
сеп човек икона
 Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
inpho икона
inpho икона
 Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
Фил хартия икона
Фил хартия икона
 Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси

[Моля, свържете се с автора с предложения.]

Препоръчано:

Формализъм във философията на математиката

Формализъм във философията на математиката

Навигация за влизане Съдържание за участие библиография Академични инструменти Friends PDF Preview Информация за автора и цитирането Върнете се в началото Формализъм във философията на математиката За първи път публикувано сря 12 януари 2011 г.

Интуиционизъм във философията на математиката

Интуиционизъм във философията на математиката

Навигация за влизане Съдържание за участие библиография Академични инструменти Friends PDF Preview Информация за автора и цитирането Върнете се в началото Интуиционизъм във философията на математиката За първи път публикуван на 4 септември 2008 г.

Аргументи за неизменност във философията на математиката

Аргументи за неизменност във философията на математиката

Навигация за влизане Съдържание за участие библиография Академични инструменти Friends PDF Preview Информация за автора и цитирането Върнете се в началото Аргументи за неизменност във философията на математиката Публикувана за първи път на 21 декември 1998 г.

Платонизмът във философията на математиката

Платонизмът във философията на математиката

Навигация за влизане Съдържание за участие библиография Академични инструменти Friends PDF Preview Информация за автора и цитирането Върнете се в началото Платонизмът във философията на математиката Публикувана за първи път Sat Jul 18, 2009;

Натурализъм във философията на математиката

Натурализъм във философията на математиката

Навигация за влизане Съдържание за участие библиография Академични инструменти Friends PDF Preview Информация за автора и цитирането Върнете се в началото Натурализъм във философията на математиката За първи път публикувано на Sun Aug 24, 2008;

Популярни за деня

Републикански убеждения

Републикански убеждения

Ричард Софистър

Ричард Софистър

Заключителното заключение

Заключителното заключение

Революция

Революция

Пол Рикьор

Пол Рикьор

Ричард Рорти

Ричард Рорти