Байесова епистемология

2023 Автор: Noah Black | [email protected]. Последно модифициран: 2023-08-25 04:38

Навигация за влизане

• Съдържание за участие
• библиография
• Академични инструменти
• Friends PDF Preview
• Информация за автора и цитирането
• Върнете се в началото

Байесова епистемология

За първи път публикуван на 12 юли 2001 г.; съществена ревизия сря 26 март 2008 г.

„Байесова епистемология“се превръща в епистемологично движение през 20 ^-ти век, макар че двете му основни черти могат да бъдат проследени до едноименния преподобни Томас Байес (ок. 1701–61). Тези две характеристики са: (1) въвеждането на формален апарат за индуктивна логика; (2) въвеждането на прагматичен тест за самоубийство (както е илюстрирано от холандските книжни аргументи) за епистемична рационалност като начин за разширяване на обосновката на законите на дедуктивната логика, за да се включи обосновка за законите на индуктивната логика. Самият формален апарат има два основни елемента: използването на законите на вероятността като кохерентност, ограничаващи рационалните степени на вяра (или степени на увереност) и въвеждането на правило на вероятностно изводство, правило или принцип на обусловеност.

Бейс епистемология не се появяват като философска програма, докато първите официални axiomatizations от теорията на вероятностите в първата половина на 20- ^ти век. Едно важно приложение на байесовската епистемология е в анализа на научната практика в Байесовата теория за потвърждение. Освен това основен клон на статистиката, байесовската статистика, се основава на байесовски принципи. В психологията важен клон на теорията на обучението, байесовската теория на обучението, също се основава на байесовски принципи. И накрая, идеята за анализ на рационалните степени на вяра по отношение на рационалното поведение на залаганията доведе до 20 ^-тавек разработване на нов вид теория на решенията, Байесова теория на решенията, която сега е доминиращият теоретичен модел както за описателния, така и за нормативния анализ на решенията. Комбинацията от конкретната формален апарат и неговата нова прагматична тест саморазрушение за оправдание прави Бейс епистемология един от най-важните събития в епистемологията в 20 ^-ти век, както и един от най-обещаващите възможности за по-нататъшен напредък в епистемологията в 21 ^-ви век.

• 1. Дедуктивна и вероятностна съгласуваност и дедуктивни и вероятностни правила на извода
• 2. Прост принцип на кондициониране
• 3. Аргументи на холандските книги

• 4. Теорема на Байес и теория за потвърждение на Байес

  • Теорема на Байес и следствие
  • Байесова теория за потвърждение
• 5. Байесова социална епистемология

• 6. Потенциални проблеми

  • 6.1 Възражения срещу законите за вероятността като стандарти за синхронна съгласуваност
  • 6.2 Възражения срещу простия принцип на кондиционирането като правило на извода и други възражения срещу теорията за потвърждение на Байес
• 7. Други принципи на байесова епистемология
• библиография
• Академични инструменти
• Други интернет ресурси
• Свързани записи

1. Дедуктивна и вероятностна съгласуваност и дедуктивни и вероятностни правила на извода

Има два начина, по които се смята, че законите на дедуктивната логика осигуряват рационални ограничения на вярата: (1) Синхронно законите на дедуктивната логика могат да бъдат използвани за определяне на понятието дедуктивна последователност и несъответствие. Така дефинираната дедуктивна несъответствие определя един вид несъгласуваност на убежденията, който наричам дедуктивна несъгласуваност. (2) Диахронично законите на дедуктивната логика могат да ограничат допустимите промени в убеждението, като предоставят дедуктивните правила на извода. Например, modus ponens е дедуктивно правило на извода, което изисква извеждането на Q от помещения P и P → Q.

Байесите предлагат допълнителни стандарти за синхронна съгласуваност - стандарти на вероятностната съгласуваност - и допълнителни правила за извод - вероятностни правила за извод - и в двата случая да се прилагат не за вярвания, а степени на вяра (степени на увереност). За байесите най-важните стандарти на вероятностната съгласуваност са законите на вероятността. За повече информация относно законите на вероятността вижте следната допълнителна статия:

Допълнение относно законите на вероятностите

За байесите най-важното вероятностно правило за извод се дава от принципа на условност.

2. Прост принцип на кондициониране

Ако безусловните вероятности (напр. P (S)) се приемат за примитивни, условната вероятност на S на T може да се определи, както следва:

Условна вероятност:

P (S / T) = P (S & T) / P (T).

Самото определение на условната вероятност е с малко гносеологично значение. Той придобива гносеологично значение само във връзка с допълнително епистемологично предположение:

Прост принцип на условност:

Ако човек започне с първоначални или предходни вероятности P _i и придобие нови доказателства, които могат да се представят като станали известни на доказателствено изявление Е (приема се, че се посочва съвкупността от новите доказателства и да има първоначална вероятност по-голяма от нула), тогава рационалността изисква систематично да трансформира първоначалните си вероятности за генериране на окончателни или задни вероятности P _f чрез кондициониране на E - тоест: където S е всяко твърдение, P _f (S) = P _i (S / E). ^[1]

В епистемологичен план този прост принцип на кондиционирането изисква ефектите на доказателствата върху рационалните степени да бъдат анализирани на два етапа: Първият е неинфекциозен. Това е промяната на вероятността на доказателственото изявление E от P _i (E), за което се приема, че е по-голямо от нула и по-малко от едно, към P _f (E) = 1. Второто е вероятностно заключение за обуславянето на E от първоначални вероятности (напр. P _i (S)) до крайни вероятности (напр. P _f (S) = P _i (S / E)).

Проблемите с простия принцип (който ще бъде разгледан по-долу) накараха много байези да класифицират простия принцип, като ограничат обхвата му. Освен това някои байези следват Джефри при обобщаването на простия принцип, за да се прилагат за случаи, при които едно от новите доказателства е по-малко от сигурно (обсъдено също по-долу). Това, което обединява байесовската епистемология, е убеждението, че кондиционирането (може би от обобщен вид) е рационално необходимо в някои важни контексти - тоест, че някакъв принцип на условно усвояване е важен принцип, управляващ рационалните промени в степените на вяра.

3. Аргументи на холандските книги

Бяха дадени много аргументи за това, че законите на вероятността като условия за съгласуваност се определят по степен на вяра и за приемането на някакъв принцип на обусловеността като правило на вероятностното извеждане. Най-отличителните байески са тези, посочени като холандски книжни аргументи. Холандските книжни аргументи представляват възможността за нов вид обосновка на епистемологичните принципи.

Аргументът на холандската книга разчита на някои описателни или нормативни предположения за свързване на степени на вяра с готовността да залагате - например, човек със степен на вяра p в изречение S се приема, че е готов да плати до и включително $ p за единица залог на S (т.е. залог, който плаща $ 1, ако S е вярно) и е готов да продаде такъв залог за всяка цена, равна или по-голяма от $ p (предполага се, че е еднакво готов да купи или продаде такъв залог, когато цената е точно $ p). ^[2]Холандска книга е комбинация от залози, които само въз основа на дедуктивната логика могат да покажат, че водят до сигурна загуба. Синхронната книга на холандски език е комбинация от заложници на холандска книга, която човек би приел всички едновременно. Диахронната холандска книга е комбинация от заложни книги, която ще бъде мотивирана да влезе в различни моменти.

Рамзи и де Финети за първи път използваха синхронни аргументи за холандски книги в подкрепа на законите за вероятността като стандарти за синхронна съгласуваност за степени на вяра. Първият диахроничен холандски книжен аргумент в подкрепа на принципа на кондиционирането беше докладван от Телър, който кредитира Дейвид Люис. Аргументът на Lewis / Teller зависи от допълнително описателно или нормативно предположение за условни вероятности поради de Finetti: Агент с условна вероятност P (S / T) = p се приема, че е готов да плати всяка цена до и включително $ p за единична залога на S, условна на T. (Залогът за единица на S, условен за T, е извикан, като покупната цена се връща на купувача, ако Т не е вярна. Ако T е вярно, залогът не се отменя и залогът плаща $ 1, ако S е също вярно.) При това тълкуване на условните вероятности Люис, както съобщава Телър, успя да покаже как да конструира диахронична холандска книга срещу всеки, който, научавайки само това Т, предсказуемо ще промени степента си на вяра в S на P_f (S)> P _i (S / T); и как да се изгради диахронична холандска книга срещу всеки, който, научавайки само това Т, предсказуемо би променил степента си на вяра в S към P _f (S) <P _i (S / T). За илюстрации на стратегията на Ramsey / de Finetti и аргументите на Lewis / Teller вижте следната допълнителна статия:

Допълнение за аргументите на холандските книги

Има много дискусии за това какво точно трябва да показват холандските книжни аргументи. За буквално възприетата интерпретация тяхното значение е, че те показват, че онези, чиито степени на убеждение нарушават законите за вероятността или тези, чиито вероятностни изводи предсказуемо нарушават принципа на условност, могат да влязат в залози, в които те със сигурност губят. За буквално мислещото тълкуване може да се каже много малко, защото няма основание да се твърди, че рационалността изисква човек да е готов да залага в съответствие с описаните по-горе поведенчески предположения. Агент може просто да откаже да приеме комбинации от залози на холандски книги.

Една от основните мотивации за новия подход на Джефри към основите на теорията на решенията в „Логика на решението“е неговото недоволство от идентифицирането на субективната вероятност със съотношенията на залаганията. Например, независимо от степента на вяра в твърдението, че целият човешки живот ще бъде унищожен в рамките на следващите десет години, не би било разумно да се предлага да се купи залог на неговата истина. Уилямсън разширява холандския книжен аргумент на Де Финети за ограничаване на ограничената добавка към рационалните степени на вяра, за да създаде аргумент за ограничителна ограничителна зависимост към степени на вяра, но аргументът се интерпретира по-добре като редукция на буквално размисленото тълкуване на холандските книжни аргументи отколкото като аргумент за рационалността на ограничителното ограничение на адитивността. Рационалният отговор на офертите да се заложи на предположението, че целият живот ще бъде унищожен в рамките на следващите десет години или да се заложи на един възможен резултат в безкрайно безкраен набор от евентуални вероятни резултати, просто не е за цел.

По-правдоподобно тълкуване на холандските книжни аргументи е, че те трябва да се разбират хипотетично, като симптоматика на това, което е наречено прагматично самоубийство. В тази интерпретация Холандските книжни аргументи са един вид евристични за определяне кога степента на вяра може да бъде прагматично самоубиваща се. Проблемът не е, че човек, който нарушава байесовските ограничения, вероятно ще влезе в комбинация от залагания, които представляват холандска книга, но че при всеки разумен начин да се превърне степента на вяра в действие, има потенциал за нечии степени на вяра да мотивира човек да действа по начини, които влошават нещата, отколкото биха могли да бъдат, когато, само по логика, може да се определи, че алтернативните действия биха направили нещата по-добри (при еднособствени оценки на по-добри и по-лоши).

Друг начин за разбиране на проблема с податливостта на холандска книга се дължи на Рамзи: Някой, който е податлив на холандска книга, оценява идентичните залози по различен начин въз основа на начина, по който са описани. По този начин прави чувствителност към холандските книги звучи ирационално. Но този стандарт на рационалност би направил ирационалното да не се признават всички логически последици от това, в което човек вярва. Това е предположението за логично всезнание (разгледано по-долу).

При успех холандските книжни аргументи биха намалили обосновката на принципите на байесовската епистемология до два елемента: (1) отчитане на подходящата връзка между степени на вяра и избор; и (2) законите на дедуктивната логика. Тъй като изглежда, че истината за подходящата връзка между степените на вярата и избора е независима от епистемологията, Холандските книжни аргументи притежават потенциала за оправдаване на принципите на байесовската епистемология по начин, който не изисква други епистемологични ресурси освен законите на дедуктивна логика. Поради тази причина има смисъл да мислим за холандските книжни аргументи като за косвени, прагматични аргументи за принципите на байесовската епистемология, с почти същия епистемологичен статус като законите на дедуктивната логика. Холандските книжни аргументи са наистина отличителен принос на байесите в методологията на гносеологията.

Трябва също да се спомене, че някои байези са защитавали принципите си по-директно, с непрагматични аргументи. В допълнение към докладването на Холандския аргумент за книги на Луис, Телър предлага непрагматична защита на Conditionalization. Има много предложени непрагматични защити на законите за вероятността (напр. Van Fraassen; Shimin). Най-завладяващото се дължи на Джойс. Всички такива защити, били те прагматични или непрагматични, създават пъзел за байесовската епистемология: Принципите на байесовската епистемология обикновено се предлагат като принципи на индуктивно разсъждение. Но ако принципите на байесовската епистемология зависят в крайна сметка за тяхното оправдание единствено от законите на дедуктивната логика, каква причина е да мислим, че имат някакво индуктивно съдържание? Тоест,каква причина е да се вярва, че те правят нещо повече от разширяване на законите на дедуктивната логика от вярванията до степени на вяра? Трябва да се отбележи обаче, че дори ако байесовската епистемология само разширява законите на дедуктивната логика до степени на вяра, това само ще представлява изключително важен напредък в гносеологията.

4. Теорема на Байес и теория за потвърждение на Байес

Този раздел разглежда някои от най-важните резултати в байесовския анализ на научната практика - Байесова теория за потвърждение. Приема се, че всички твърдения, които трябва да бъдат оценени, имат предварителна вероятност, по-голяма от нула и по-малка от една.

4.1 Теорема на Байес и следствие

Теоремата на Байес е пряка последица от вероятните аксиоми и дефиницията на условната вероятност:

Теорема на Байес:

P (S / T) = P (T / S) × P (S) / P (T) [където P (T) се приема за по-голям от нула]

Епистемологичното значение на теоремата на Байес е, че тя осигурява пряко следствие от простия принцип на кондиционирането. Когато крайната вероятност на хипотеза H се генерира чрез обуславянето на доказателства E, теоремата на Байес предоставя формула за окончателната вероятност на H по отношение на предварителната или първоначалната вероятност от H за E (P _i (E / H)) и предишните или първоначалните вероятности на H и E:

Следствие на простия принцип на кондиционирането:

P _f (H) = P _i (H / E) = P _i (E / H) × P _i (H) / P _i (E).

Поради влиянието на байезианството, вероятността вече е технически термин на изкуството в теорията за потвърждение. Както се използва в този технически смисъл, вероятностите могат да бъдат много полезни. Често, когато условната вероятност от H за E е под въпрос, вероятността за H на E може да бъде изчислена от теоретичните предположения на H.

4.2 Байесова теория за потвърждение

А. Потвърждение и потвърждение. В теорията на потвърждението на Байес се казва, че доказателствата потвърждават (или биха потвърдили) хипотеза Н (поне до известна степен) само в случай, че предварителната вероятност на Н, обусловена от Е, е по-голяма от предишната безусловна вероятност от Н: P _i (H / E)> P _i (H). E потвърждава (или би отхвърлил) H, ако предварителната вероятност на H, която е условна на E, е по-малка от предходната безусловна вероятност от H.

Това е качествена концепция за потвърждение. В литературата няма общо съгласие за количествена мярка на степента на потвърждение или степен на доказателствена подкрепа. Earman (глава 5) и Fitelson предоставят добър преглед на различните предложения. Може да се мисли, че степента, в която доказателствата E подкрепят (или биха подкрепили) хипотезата H, може да бъде определена като P _i (H / E) - P _i(Н). Един от потенциалните проблеми на това предложение е, че то води до това, че никакви доказателства не могат да осигурят много доказателства в подкрепа на хипотеза, която предсказуемо е много вероятна, тъй като с вероятността H се приближава до една, разликата отива до нула. Eells и Fitelson твърдят, че това очевидно контраинтуитивно последствие може да бъде избегнато чрез разграничаване на историческия въпрос за това колко доказателство Е всъщност е допринесло за потвърждаването на H (което, разбира се, би трябвало да бъде малко, ако H беше предсказано с голяма вероятност) от въпроса за степента на доказателствена подкрепа Е предвижда Н, отговорът на който, те предлагат, е свързан с основната информация. Така че дори ако H е много вероятно по времето, когато е придобито доказателство E,можем да попитаме колко доказателствена подкрепа би предоставила Е, ако нямахме други доказателства, подкрепящи Н. Eells и Fitelson също са предоставили полезна рамка за оценка на различните предложения в литературата, рамка, в която повечето от тях се оказват желаещи.

Б. Потвърждение и непотвърждаване чрез привличане. Всеки път, когато една хипотеза Н логично включва доказателства Е, Е потвърждава Н. Това следва от факта, че да се определи истинността на Е означава да се изключи възможност, за която се предполага, че има ненулева предварителна вероятност, която е несъвместима с Н - възможността ~ Е. Следствие е, че когато H води до E, ~ E би потвърдил H, като намали вероятността му до нула. Най-влиятелният модел на обяснение в науката е хипотетико-дедуктивният модел (напр. Хемпел). По този начин, един от най-важните източници на подкрепа за Байесова теория за потвърждение е, че тя може да обясни ролята на хипотетико-дедуктивното обяснение в потвърждението.

В. Потвърждение на логически еквиваленти. Ако две хипотези H1 и H2 са логически еквивалентни, тогава доказателствата E ще потвърдят и двете еднакво. Това следва от факта, че на логически еквивалентни изявления винаги е назначена една и съща вероятност.

Г. Потвърждаващият ефект на изненадващи или разнообразни доказателства. От следствието по-горе следва, че дали E потвърждава (или не потвърждава) H зависи от това дали E е по-вероятна (или по-малко вероятна) от H, отколкото безусловно - тоест от това дали:

(b1) P (E / H) / P (E)> 1.

Интуитивен начин на разбиране (b1) е да се каже, че той заявява, че E би било по-очаквано (или по-малко изненадващо), ако беше известно, че H е истина. Така че, ако Е е изненадващо, но не би било изненадващо, ако знаехме, че H е вярно, тогава E значително ще потвърди H. Така байесите обясняват тенденцията на изненадващи доказателства за потвърждаване на хипотези, за които доказателствата ще се очакват.

По подобен начин, тъй като е разумно да се мисли, че доказателство Е ₁ прави други доказателства от същия вид много по-вероятни, след като Е ₁ е определено за истина, други доказателства от същия вид Е ₂ обикновено не потвърждават хипотеза Н толкова, колкото други различни доказателства E ₃, дори ако H е еднакво вероятно както за E _{2, така} и за E ₃. Обяснението е, че там, където E ₁ прави E ₂ много по-вероятно, отколкото E ₃ (P _аз (Е ₂ / E ₁) >> P _аз (Е ₃ / E ₁), има по-малък потенциал за откритието, че Е ₂ е вярно, за да повиши вероятността от Н, отколкото има за откритието, че Е ₃ е вярно да го направи.

Д. Относителни коефициенти за потвърждение и вероятност. Често е важно да можем да сравним ефекта на доказателства Е върху две конкуриращи се хипотези, H _j и H _k, без да се налага да се отчита и неговият ефект върху други хипотези, които може да не са толкова лесни за формулиране или да се сравняват с H _j и Н _к. От първата следствие по-горе, съотношението на крайните вероятности на H _j и H _k ще бъде дадено от:

Формула на съотношение:

P _f (H _j) / P _f (H _k) = [P _i (E / H _j) × P _i (H _j)] / [P _i (E / H _k) × P _i (H _k)]

Ако коефициентите на H _j спрямо H _k се дефинират като съотношение на техните вероятности, тогава от формулата на съотношението следва, че в случай, при който изменението на степента на вярване е резултат от обуславянето на E, крайните коефициенти (P _f (H _j) / P _f (H _k)) е резултат от умножаването на първоначалните коефициенти (P _i (H _j) / P _i (H _k)) по коефициента на вероятност (P _i (E / H _j) / P _i (E / Н _к)). По този начин, при двойно сравнение на коефициентите на хипотезите, коефициентът на вероятност е решаващият фактор за влиянието на доказателствата върху коефициентите.

Е. Субективно и обективно байезианство. Има ли ограничения за предходни вероятности, различни от законите за вероятността? Помислете за ситуация, в която трябва да нарисувате топка от урна, пълна с червени и черни топки. Да предположим, че нямате друга информация за урната. Каква е предварителната вероятност (преди да нарисувате топка), че при положение, че топка е изтеглена от урната, че изтеглената топка ще бъде черна? Въпросът разделя байезите на два лагера:

а) Субективните байези наблягат на относителната липса на рационални ограничения върху предишни вероятности. В примера на урната те биха позволили всяка предварителна вероятност между 0 и 1 да бъде рационална (макар някои субективни байези (напр. Джефри) да изключат двете крайни стойности, 0 и 1). Най-крайните субективни байези (напр. Де Финети) приемат, че единственото рационално ограничение на предходните вероятности е вероятностната съгласуваност. Други (напр. Джефри) се класифицират като субективисти, въпреки че допускат някои относително малък брой допълнителни рационални ограничения върху предходните вероятности. Тъй като субективистите могат да не са съгласни по отношение на определени ограничения, това, което ги обединява, е, че ограниченията им изключват много малко. За субективните байези,нашите реални предварителни задачи за вероятност са до голяма степен резултат от нерационални фактори - например нашият собствен неограничен, свободен избор или еволюция или социализация.

(б) Обективните байези (напр. Джейнс и Розенкранц) подчертават степента, в която предишните вероятности са ограничени рационално. В горния пример те биха приели, че рационалността изисква присвояване на предварителна вероятност 1/2 за извличане на черна топка от урната. Те биха спорили, че всяка друга вероятност би провалила следния тест: Тъй като нямате никаква информация кои топки са червени и кои са топки черни, трябва да изберете предварителни вероятности, които са инвариантни с промяна в етикета („червен“или „ черен ). Но единственото предварително присвояване на вероятност, което е инвариантно по този начин, е присвояването на предварителна вероятност от 1/2 на всяка от двете възможности (т.е. че изтеглената топка е черна или че е червена).

Като ограничение, обективният Байесиан би приел, че рационалните ограничения еднозначно определят предварителните вероятности при всяко обстоятелство. Това би направило предишните вероятности логическите вероятности да се определят чисто априори. Никой от онези, които се идентифицират като Обективни байези, не държи на тази крайна форма на възглед. Освен това всички те не се споразумяват точно какви са рационалните ограничения за степените на вяра. Например, Уилямсън не приема Conditionalization под каквато и да е форма като рационално ограничение на степените на вяра. Това, което обединява всички Обективни байези, е убеждението им, че при много обстоятелства съображенията на симетрията еднозначно определят съответните предишни вероятности и че дори когато не определят еднозначно предишните вероятности,те често ограничават обхвата на рационално допустимите предходни вероятности, за да осигурят сближаване на съответните задни вероятности. Джейнс идентифицира четири общи принципа, които ограничават предишните вероятности, груповата инвариантност, максималната ентропия, маргинализацията и теорията на кодирането, но той не смята списъка за изчерпателен. Той очаква допълнителни принципи да бъдат добавени в бъдеще. Обаче нито един обектив Байезиан не твърди, че има принципи, които еднозначно определят рационалните предходни вероятности във всички случаи. Той очаква допълнителни принципи да бъдат добавени в бъдеще. Обаче нито един обектив Байезиан не твърди, че има принципи, които еднозначно определят рационалните предходни вероятности във всички случаи. Той очаква допълнителни принципи да бъдат добавени в бъдеще. Обаче нито един обектив Байезиан не твърди, че има принципи, които еднозначно определят рационалните предходни вероятности във всички случаи.

Като въвеждат ограничения на симетрията върху предходните вероятности, обективните байези наследяват трудностите на класическия принцип на безразличие, така наречен от Кейнс, но обикновено приписван на Лаплас. Простият пример на урната илюстрира как съображенията за инвариантността могат да се използват за даване на съдържание на принципа на безразличието. Там обективистът е в състояние еднозначно да определи предишните вероятности от изискването рационалните предходни вероятности да бъдат инвариантни при превключване на етикетите, използвани за класифициране на топките в урната.

Въпреки това е общо съгласие както от обективисти, така и от субективисти, че самото невежество не може да бъде основа за определяне на предварителни вероятности. Причината е, че във всеки конкретен случай трябва да има някаква информация, за да се избере кои параметри или кои трансформации са тези, между които човек трябва да е безразличен. Без такава информация съображенията за безразличие водят до парадокс. Обективните байезийци са били доста креативни в намирането на начини за разрешаване на много от парадоксите (напр. Решението на Джефрис на Бертранд Пардокс, решението на Джейнс към Парадокса на Иглата на Буфон или решението на Микелсън към парадокса на Мизес). Но винаги има повече парадокси. Чарлз, Хьокер, Лакер, Льо Дибердер и Т 'Jampens (Други интернет ресурси) предоставят действителен пример от физиката, при която максималната ентропия дава противоречиви резултати в зависимост от параметризацията и когато честият подход изглежда превъзхожда всеки обективен байесовски подход, който използва всяка форма на кондициониране.

G. Типичният диференциален ефект на положителните доказателства и отрицателните доказателства. Първият Хемпел посочи, че обикновено очакваме хипотезата, че всички гарвани са черни, да бъде потвърдена до известна степен чрез наблюдението на черен гарван, но не и чрез наблюдението на нечерен, без гарван. Нека H е хипотезата, че всички гарвани са черни. Нека E ₁ описва наблюдението на нечерен, не гарван. Нека Е ₂ описва наблюдението на черен гарван. Байесовата теория за потвърждение всъщност твърди, че и E _1, и E ₂ могат да дадат някакво потвърждение за H. Спомнете си, че E ₁ поддържа H само в случай, че P _i (E ₁ / H) / P _i (E₁)> 1. Вероятно е да се мисли, че това съотношение винаги е малко по-голямо от едно. От друга страна, изглежда, че E ₂ предоставя много по-голямо потвърждение на H, тъй като в този пример би се очаква P _i (E ₂ / H) / P _i (E ₂) >> P _i (E ₁ / H) / P _i (E ₁).

Това са само извадка от резултатите, които предоставят подкрепа за Байесовата теория за потвърждение като теория за рационално извод за науката. За допълнителни примери вижте Хоусън и Урбах. Трябва също да се отбележи, че важен отрасъл на статистиката, байесовската статистика се основава на принципите на байесовската епистемология.

5. Байесова социална епистемология

Едно от важните развития в байесовската епистемология е изследването на социалното измерение за изследване. Очевидният пример е научното проучване, тъй като именно общността на учените, а не всеки отделен учен, определя това, което е или не е прието в дисциплината. В допълнение, учените обикновено работят в изследователски групи и дори тези, които работят самостоятелно, разчитат на докладите на други учени, за да могат да проектират и извършват собствена работа. Други важни примери за социалното измерение на знанието включват използването на съдебни заседатели за извършване на фактически определения в правната система и децентрализацията на знанията по Интернет.

Има два начина, по които байесовската епистемология може да се приложи към социалното проучване:

(1) Байесова епистемология на свидетелските показания (разбира се като цяло, за да включва не само лични показания, но и всички медийни източници на информация). Голдман е разработил байесова епистемология на свидетелските показания и го прилага в социални субекти като науката и правната система. При всеки подобен подход ключов въпрос е как да се оцени надеждността на получените отчети. Подходът на Goldman е да се съсредоточи върху институционалния дизайн, за да мотивира изготвянето на надеждни доклади. Bovens и Hartmann вместо това се опитват да моделират как, когато има доклади от множество източници, агент на Байес може да използва вероятни разсъждения, за да прецени надеждността на докладите и по този начин колко достоверност да има в тях. Идеята, че при оценяването на вероятността за доклад, имплицитно оценяваме надеждността на репортера, е разработена от Барнс като потенциално обяснение на асиметрията на прогнозата / акомодацията, обсъдена в следващия раздел.

(2) Съвкупно байезианство. Ако научните знания или обсъжданията на журито произвеждат групов продукт, е естествено да се обмисли дали знанията на групата могат да бъдат представени в обобщен вид. По отношение на байесовски въпросът е дали вероятностните задачи на лицата могат да бъдат полезно обобщени в едно единствено вероятностно задание, което отразява познанията на групата. Въпреки че Seidenfeld, Kadane и Schervish са показали, че по принцип няма начин да се определи агрегиран байесовски максимизатор на полезната програма, който да представя предпочитанията на Pareto на група от две или повече индивидуални байесовски очаквани полезни максимизатори, няма резултат от невъзможност, който да изключи агрегирането на индивидуални вероятностни назначения в групова вероятностна задача. Въпреки това, няма общо договорено правило за това. Ако група от байески индивиди всички бяха започнали от едни и същи първоначални вероятности, простото споделяне на техните доказателства би довело всички до същите окончателни вероятности. Може да изглежда жалко, че единодушие в науката и други социални начинания не може да се постигне толкова лесно, но Китчър твърди, че това е грешка, тъй като когнитивното разнообразие играе важна роля в научния прогрес.

Плодността на байесовската социална епистемология може в крайна сметка да зависи от това дали идеализациите на байесовската теория са твърде нереалистични или не. Например, ако един от важните ефекти на обсъжданията на съдебните заседатели е, че те са склонни да предоставят начин на групата да коригира ирационалността на отделните членове, тогава никой модел съдебни заседатели като идеални байезианци вероятно няма да може да обясни тази особеност на системата на съдебните заседатели.

6. Потенциални проблеми

Този раздел разглежда някои от най-важните потенциални проблеми за Байесова теория за потвърждение и за Байесова епистемология като цяло. Тук не се прави опит да се оцени тяхната сериозност, въпреки че няма общо съгласувано байесовско решение за нито един от тях.

6.1 Възражения срещу законите за вероятността като стандарти за синхронна съгласуваност

А. Предположението за логично всезнание. Предположението, че степените на вяра удовлетворяват законите на вероятността, предполага всезнание относно дедуктивната логика, тъй като законите за вероятността изискват всички дедуктивни логически истини да имат вероятност една, всички дедуктивни несъответствия имат вероятност нула, а вероятността за всяко съединение на изреченията да не е по-голяма от която и да е от дедуктивните му последици. Това изглежда е нереалистичен стандарт за човешките същества. Хакер и Гарбер направиха предложения, за да облекчат предположението за логично всезнание. Тъй като облекчаването на това предположение би блокирало извеждането на почти всички важни резултати в байесовската епистемология, повечето байези поддържат предположението за логическо всезнание и го третират като идеал, до който човешките същества могат само повече или по-малко да се сближат.

Б. Специалният епистемологичен статус на законите на класическата логика. Дори ако предположението за логическото всезнание не е прекалено голямо идеализиране, за да предостави полезен модел за разсъжденията на човека, то има и друго потенциално тревожно последствие. Той обвързва байесовската епистемология с някакво разграничение априори / астериори, тъй като не може да има байесовски разказ за това как емпиричните доказателства биха могли да направят разумното да се възприеме теория с некласическа логика. В това отношение Байесовата епистемология поема презумпцията от традиционната епистемология, че законите на логиката са имунизирани към ревизия въз основа на емпирични доказателства.

Байезиецът е отворен да се опита да омаловажи значението на това последствие, като артикулира априорно / астериорично разграничение, което цели да бъде прагматично, а не метафизично (напр. Аналитичното / синтетичното разграничение на Карнап). Въпреки това, всяка такава сметка трябва да се справи с добре познатото холистично предизвикателство на Quine към аналитично-синтетичното разграничение.

6.2 Възражения срещу простия принцип на кондиционирането като правило на извода и други възражения срещу теорията за потвърждение на Байес

А. Проблемът с несигурните доказателства. Простият принцип на обусловеност изисква придобиването на доказателства да бъде представимо като промяна на степента на вяра в изявление Е на едно - тоест, за сигурност. Но много философи биха възразявали срещу приписването на вероятност от едно на което и да е контингентно изявление, дори доказателствено твърдение, защото например е добре известно, че учените понякога се отказват от предварително приети доказателства. Джефри предложи обобщение на принципа на кондиционирането, което дава този принцип като специален случай. Идеята на Джефри е, че най-важното за наблюдението не е, че тя дава сигурност,но че той генерира неинфекциозна промяна на вероятността от доказателствено изявление Е и отрицанието му ~ E (предполага се, че е локусът на всички неинфекциозни промени в вероятността) от първоначалните вероятности между нула и едно до P_f (E) и P _f (~ E) = [1 - P _f (E)]. След това за сметка на Джефри, след наблюдението, рационалната степен на вяра, която трябва да бъде поставена в хипотеза Н, би била дадена по следния принцип:

Принцип на кондиционирането на Джефри:

P _f (H) = P _i (H / E) × P _f (E) + P _i (H / ~ E) × P _f (~ E) [където се предполага, че и E и H предишни вероятности между нула и едно]

Отчитането в полза на принципа на Джефри е неговата теоретична елегантност. Като се брои срещу него, това е практическият проблем, който изисква човек да може да уточни напълно преките неинфекциозни ефекти от наблюдението, нещо, което е съмнително, че някой някога е правил. Skyrms му предостави защита на холандската книга.

Б. Проблемът със старите доказателства. В байесовски разказ ефектът от доказателствата Е при потвърждаване (или потвърждаване) на хипотеза е единствено функция на увеличението на вероятността, което се натрупва на Е, когато за първи път се определи, че е истина. Това повдига следния пъзел за теорията за потвърждение на Байесов, обсъдена широко от Глимор: Да предположим, че Е е доказателствено твърдение, известно от известно време - тоест, че е старо доказателство; и да предположим, че Н е научна теория, която се разглежда от известно време. Един ден се открива, че Н означава Е. В научната практика откритието, че H означава Е, обикновено се приема за осигуряване на известна степен на потвърждаваща подкрепа за H. Но теорията на потвърждението на Байесов изглежда не е в състояние да обясни как известно досега доказателствено изявление Е би могло да осигури всякаква нова подкрепа за З. За да влезе в сила кондиционирането, трябва да има промяна в вероятността на доказателството E. Където Е е старо доказателство, няма промяна в неговата вероятност. Някои байези, които са се опитали да разрешат този проблем (напр. Гарбер), обикновено се опитват да отслабят предположението за логично всезнание, за да позволят възможността за откриване на логически отношения (например, че Н и подходящи спомагателни предположения предполагат E). Както бе споменато по-горе, отпускането на предположението за логично всезнание заплашва да блокира извеждането на почти всички важни резултати в байесовската епистемология. Други байези (напр. Ланге) използват байесовския формализъм като инструмент за рационално възстановяване на доказателствената подкрепа за научна хипотеза,където за рационалната реконструкция е без значение дали доказателствата са открити преди или след като теорията е била първоначално формулирана. Джойс и Кристенсен са единодушни, че откриването на нови логически отношения между по-рано приети доказателства и теория не може да повиши вероятността на теорията. Те обаче предполагат, че използването на P_i (H / E) - P _i (H / -E) като мярка за подкрепа може поне да обясни как доказателства, които имат вероятност, все още биха могли да подкрепят теорията. Eells и Fitelson критикуват това предложение и твърдят, че проблемът е по-добре разрешен, като се разграничат две мерки, историческата мярка за степента, до която доказателство E всъщност потвърждава хипотеза H, и ахисторическата мярка за това колко доказателство E би подкрепил хипотеза Н, относно предоставена основна информация Б. Втората мярка ни позволява да зададем историческия въпрос доколко E би подкрепил H, ако нямахме други доказателства, подкрепящи Н.

В. Проблемът с твърдите условни вероятности. Когато човек условно се използва, човек прилага първоначалните условни вероятности, за да определи крайните безусловни вероятности. През цялото време самите условни вероятности не се променят; те остават твърди. Примерите на проблема със старите доказателства са само един от различни случаи, в които изглежда, че може да бъде рационално да променим първоначалните си условни вероятности. По този начин много байези отхвърлят простия принцип на кондиционирането в полза на квалифициран принцип, ограничен до ситуации, при които човек не променя първоначалните си условни вероятности. Няма общоприета сметка за това кога е рационално да се поддържат твърди първоначални условни вероятности и кога не е така.

Г. Проблемът с прогнозата спрямо настаняването. Свързан с проблема със Старите доказателства е следният потенциален проблем: Обмислете два различни сценария. В първия, теорията Н е разработена отчасти, за да побере (т.е. да предполага) някои известни досега доказателства Е. Във втория, теорията Н е разработена във време, когато Е не е известно. Тъй като Е беше изведен като прогноза от Н, беше направен тест и Е беше установено, че е истина. Изглежда, че истинността на Е ще осигури по-голяма степен на потвърждение за Н, ако истината на Е беше предсказана от Н, отколкото ако Н беше разработена така, че да отговаря на истината на Е. Между байезите няма общо съгласие как да се реши този проблем. Някои (напр. Хорвич) твърдят, че байезианството предполага, че няма важна разлика между прогнозирането и настаняването и се опитват да защитят това значение. Други (напр. Махер) твърдят, че има начин да се разбере байезианството, така че да се обясни защо има важна разлика между прогнозата и настаняването.

Д. Проблемът на новите теории. Да предположим, че има една теория H _1, която обикновено се счита за силно потвърдена от наличните доказателства E. Възможно е просто въвеждане на алтернативна теория Н ₂ може да доведе до ерозия на Н ₁подкрепа. Вероятно е да се мисли, че въвеждането на Коперник на хелиоцентричната хипотеза е повлияло на преди това неоспорената Птолемейска земноцентрична астрономия. Този вид промяна не може да се обясни с условност. Именно поради тази причина много байези предпочитат да се съсредоточат върху коефициентите на вероятността от хипотези (виж формулата на съотношението по-горе), а не върху абсолютната им вероятност; но е ясно, че въвеждането на нова теория би могло също да промени коефициента на вероятност на две хипотези - например, ако предполага една от тях като специален случай.

Е. Проблемът на приорите. Има ли ограничения за предходни вероятности, различни от законите за вероятността? Това е въпросът, който разделя Субективът от Обективните байези, както беше обсъдено по-горе. Помислете за „новата загадка на индукцията“на Гудман: В миналото всички наблюдавани изумруди са били зелени. Дават ли тези наблюдения по-голяма подкрепа за обобщението, че всички изумруди са зелени, отколкото за обобщението, че всички изумруди са сиви (зелени, ако се наблюдават преди; синьо, ако се наблюдават по-късно); или осигуряват ли по-голяма подкрепа за прогнозата, че следващият наблюдаван изумруд ще бъде зелен, отколкото за прогнозата, че следващият наблюдаван изумруд ще бъде grue (т.е. син)? Почти всички са съгласни, че би било ирационално да има предишни вероятности, които да са безразлични между зелено и груй,и по този начин направи прогнозите за зеленина не по-вероятни от прогнозите за грубост. Но няма общо съгласувано обяснение на това ограничение.

Проблемът на приорите идентифицира важен въпрос между субективните и обективните байези. Ако ограниченията за рационален извод са толкова слаби, че позволяват всяка или почти всяка вероятностно съгласувана предишни вероятности, тогава няма да има какво да прави изводите в науките по-рационални от изводите в астрологията или френологията или в конспиративните разсъждения на параноичен шизофреник, защото всички те могат да бъдат реконструирани като изводи от вероятностно съгласувани предишни вероятности. Някои субективни байезийци смятат, че позицията им не е обективно обективна, поради резултати (напр. Doob или Gaifman и Snir), доказващи, че дори субектите, започващи с много различни предишни вероятности, ще са склонни да се сближат в своите окончателни вероятности, предвид подходящо дълга поредица от споделени наблюдения. Тези резултати за конвергенция обаче не са напълно успокояващи, тъй като те се прилагат само за агенти, които вече имат значително съгласие в своите приори и не гарантират конвергенция в разумен период от време. Освен това те обикновено гарантират конвергенция само на вероятността от прогнози, а не на вероятността от теоретични хипотези. Например, Carnap предпочита предишни вероятности, които никога не биха повишили над нулата вероятността от генерализиране върху потенциално безкраен брой случаи (например, че всички врани са черни), без значение колко наблюдения на положителни случаи (например, черни врани) един може да се направи, без да се намерят отрицателни случаи (т.е. не черни врани). В допълнение,резултатите от конвергенцията зависят от предположението, че единствените промени в вероятностите, които настъпват, са тези, които са неинфекциозни резултати от наблюдението върху доказателствените изявления и тези, които са резултат от обусловеността на такива доказателствени изявления. Но почти всички субективисти допускат, че понякога може да бъде рационално да се променят предходните задачи за вероятност.

Тъй като няма общо съгласувано решение на проблема на Приорите, отворен е въпросът дали Байесовата теория за потвърждение има индуктивно съдържание или дали тя просто превежда рамката за рационална вяра, предоставена от дедуктивната логика, в съответна рамка за рационални степени на убеждения.

7. Други принципи на байесова епистемология

Предложени са други принципи на байесовската епистемология, но никой не е получил никъде близо до голяма част от подкрепата на байесите. Тук се споменават само най-важните предложения. Извън обхвата на този запис е да ги обсъждаме подробно.

А. Други принципи на синхронна съгласуваност. Законите за вероятността са единствените стандарти за синхронна съгласуваност за степени на вяра? Van Fraassen предложи допълнителен принцип (Reflection или Special Reflection), който сега разглежда като специален случай на още по-общ принцип (General Reflection). ^[3]

Б. Други вероятни правила за извод. Изглежда има поне две различни концепции за вероятността: вероятността, която е замесена в степени на вяра (епистемична или субективна вероятност) и вероятността, която е замесена в случайни събития, като хвърляне на монета (случайност). Де Финети смята, че това е грешка и че има само един вид вероятност, субективна вероятност. За байесите, които вярват в двата вида вероятност, важен въпрос е: Какво е (или трябва да бъде) връзката между тях? Отговорът може да се намери в различните предложения за принципи на пряко заключение в литературата. Обикновено се предлагат принципи на прякото заключение като принципи за извеждане на субективни или епистемични вероятности от убеждения за обективен шанс (напр. Поллок). Люис обръща посоката на извода,и предлага да се направи заключение за обективен шанс от субективни или епистемични вероятности, чрез неговия (преформулиран) главен принцип.^[4] Strevens твърди, че именно основният принцип на Люис придава на байесианството неговото индуктивно съдържание.

В. Принципи на рационалното приемане. Каква е връзката между вярванията и степените на вярата? Джефри предлага да се откаже от идеята за вяра (поне за емпирични твърдения) и да направи само със степен на вяра. Други автори (напр. Леви, Махер, Каплан) предлагат принципи за рационално приемане като част от сметките, когато е разумно да се приеме изявление като вярно, а не просто да се счита за вероятно.

библиография

• Барнс, Ерик Крисчън, 2005, „Прогностицизъм за плюралисти“, Британски журнал за философия на науката 56: 421–450.
• Bayes, Thomas, 1764, „Есе за решаване на проблем в учението за шансовете“, Философски транзакции на Лондонското кралско общество, 53: 37–418, препечатани в ES Pearson и MG Kendall, eds. на статистиката и вероятността (London: Charles Griffin, 1970).
• Bovens, Luc и Stephan Hartmann, 2003, Bayesian Epistemology, Oxford: Clarendon Press.
• Карнап, Рудолф, 1950, Логически основания на вероятността, Чикаго: University of Chicago Press.
• –––, 1952 г., Продължителността на индуктивните методи, Чикаго: University of Chicago Press.
• –––, 1956, „Значение на постулатите“, в „Значение и необходимост“, Чикаго: книги „Феникс“, 222-222.
• Кристенсен, Дейвид, 2004 г., поставяйки логиката на мястото си: формални ограничения върху рационалната вяра, Оксфорд: Clarendon Press.
• –––, 1999, „Измерване на потвърждение“, сп. „Философия“, 96: 437–461.
• de Finetti, Bruno, 1937, „La Prevision: ses lois logiques, se източници субективи“, Annales de l’Institut Анри Поанкаре, 7: 1–68; t Преведено на английски език и препечатано в Кибург и Смоклер, Изследвания в субективната вероятност, Хънтингтън, Ню Йорк: Krieger, 1980.
• Doob, JL, 1971, „Какво е Мартингейл?“, Американски математически месечен, 78: 451–462.
• Earman, John, 1991, Bayes или Bust? Критичен анализ на теорията за потвърждение на Байес, Кеймбридж, МА: MIT Press.
• Eells, Ellery и Branden Fitelson, 2000, "Измерване на потвърждение и доказателства", Journal of Philosophy, 97: 663–672.
• –––, 2002, „Симетрии и асиметрии в доказателствена подкрепа”, Философски изследвания, 107: 129–142.
• Fitelson, Branden, 1999, „Множеството на байесовите мерки за потвърждение и проблемът за чувствителността към измерваните мерки“, Философия на науката (Допълнение на материалите), 66: S362–378.
• –––, 2003, „Преглед на Джеймс Джойс, основите на теорията на причинно-следствените решения“, Ум, 112: 545–551.
• Гайфман, Х. и Снир, М., 1982, „Вероятности над богатите езици“, сп. „Символична логика“, 47: 495–548.
• Гарбер, Даниел, 1983, „Старите доказателства и логическото всезнание в теорията на потвърждението на Бейс“, в J. Earman, ed., Тестване на научни теории (Midwest Studies in the Philosophy of Science, Vol. X), Минеаполис: Университет на Минесота Преса, 99-131.
• Голдман, Алвин И., 1999, Знание в социален свят, Оксфорд: Клеръндън Прес.
• Goodman, Nelson, 1983, факти, фантастика и прогноза, Cambridge: Harvard University Press.
• Glymour, Clark, 1980, Теория и доказателства, Принстън: Princeton University Press.
• Хакер, Ian, 1967, „Малко по-реалистична лична вероятност“, Философия на науката, 34: 311–325.
• Хемпел, Карл Г., 1965, Аспекти на научното обяснение, Ню Йорк: Свободна преса.
• Horwich, Paul, 1982, Вероятност и доказателства, Cambridge: Cambridge University Press.
• Хоусън, Колин и Питър Урбах, 1993, Научна обосновка: Байесовският подход, 2-ро издание, Чикаго: Отворен съд.
• Jaynes, ET, 1968, „Предварителни вероятности“, Институт за транзакции на електрически и електронни инженери по системна наука и кибернетика, SSC-4: 227–241.
• –––, 2003, Теория на вероятностите: Логиката на науката, G. Larry Bretthorst (съст.), Cambridge: Cambridge University Press.
• Джефри, Ричард, 1983, Логиката на решението, второ издание, Чикаго: University of Chicago Press.
• –––, 1992, Вероятност и изкуството на съда, Кеймбридж: Cambridge University Press.
• Джефрис, Харолд, 1948 [1961], Теория на вероятността, 3d издание, Оксфорд: Клеръндън Прес.
• Джойс, Джеймс М., 1998, „Непрагматично обосноваване на вероятността“, Философия на науката, 65: 575–603.
• –––, 1999, Основите на теорията за причинно-следствените решения, Кеймбридж: Cambridge University Press.
• Kaplan, Mark, 1996, Теория на решенията като философия, Cambridge: Cambridge University Press.
• Кейнс, Джон Мейнард, 1921 г., Трактат за вероятността, Лондон: Макмилан.
• Китчър, Филип, 1990, „Разделението на когнитивния труд“, сп. „Философия“, 87: 5–22.
• Ланге, Марк, 1999, „Калибриране и епистемологична роля на байесовата кондиционизация“, сп. „Философия“, 96: 294–324.
• Laplace, PS Marquis de, 1820 [1886], Théorie Analytique des Probabilitis, 3d ed., Paris: Gauthier-Villars.
• Леви, Исак, 1980, Предприятието на знанието, Кеймбридж, Массачусетс: MIT Press.
• –––, 1991 г., „Фиксирането на вярата и нейното унищожаване“, Кеймбридж: Cambridge University Press.
• Люис, Дейвид, 1980, „Ръководство за субективист към обективния шанс“, в Ричард К. Джефри (съст.), Изследвания по индуктивна логика и вероятност (том 2), Бъркли: University of California Press, 263–293.
• Maher, Patrick, 1988, „Предсказване, настаняване и логиката на откритието“, PSA, 1: 273–285.
• Maher, Patrick, 1993, Залагания на теории, Cambridge: Cambridge University Press.
• Mikkelson, Jeffrey M., 2004, „Разтваряне на парадокса за вино / вода“, Британско списание за философия на науката, 55: 137–145.
• Pollock, John L., 1990, Nomic вероятност и основите на индукцията, Oxford: Oxford University Press.
• Попър, Карл, 1968, „Логиката на научните открития“, 3 ^-то издание, Лондон: Хътчинсън.
• Куин, WVO, 1966, „Карнап върху логическата истина“, в „Пътищата на Парадокс“, Ню Йорк: Случайна къща: 100–125.
• Ramsey, Frank P., 1926, „Истина и вероятност“, в Richard B. Braithwaite (ed.), Основи на математиката и други логически есета, Лондон: Routledge и Kegan Paul, 1931, стр. 156–198.
• Réyni, A., 1955, „На новата аксиоматична теория на вероятността“, Acta Mathematica Academiae Scientiarium Hungaricae, 6: 285–385.
• Rosenkrantz, RD, 1981, Основи и приложения на индуктивната вероятност, Atascadero, Калифорния: Ridgeview Publishing.
• Савидж, Леонард, 1972, Основите на статистиката, 2-ро издание, Ню Йорк: Дувър.
• Сейденфелд, Теди, Джоузеф Б. Кадане и Марк Дж. Шервиш, 1989 г., „За споделените предпочитания на двама байесовски вземащи решения“, сп. „Философия“, 86: 225–244.
• Shimin, Abner, 1988, „Адамово извличане на вероятния смятане“, в JH Fetzer (съст.), Вероятност и причинност, Dordrecht: Reidel.
• Skyrms, Brian, 1984, Прагматика и емпиризъм, Ню Хейвън: Yale University Press.
• –––, 1990, Динамиката на рационалното разсъждение, Кеймбридж, Масачузет: Harvard University Press.
• Sober, Elliott, 2002, „Байезианството - неговият обхват и граници“, в Ричард Суинбърн (съст.), Теорема на Байес, Оксфорд: Оксфордския университет прес, 21–38.
• Strevens, Michael, 2004, „Байесова теория за потвърждение: индуктивна логика или просто индуктивна рамка?“, Синтез, 141: 365–379.
• Teller, Paul, 1976, „Кондиционализация, наблюдение и промяна на предпочитанията“, в W. Harper и CA Hooker (ред.), Основи на теорията на вероятностите, статистически изводи и статистически теории на науката, Dordrecht: D. Reidel.
• Van Fraassen, Bas C., 1983, „Калибриране: Честота обосновка за лична вероятност“, в РС Коен и Л. Лодан (редакции), физика, философия и психоанализа: есета в чест на Адолф Грунбаум, Дордрехт: Райдел.
• –––, 1984, „Вяра и воля“, сп. „Философия“, 81: 235–256.
• –––, 1995, „Вяра и проблемът на Улис и Сирените“, Философски изследвания, 77: 7–37.
• Уилямсън, Джон, 1999 г., „Противоречива добавка и субективна вероятност“, Британски журнал за философия на науката, 50: 401–416.
• –––, 2007, „Мотивиране на обективното байезианство: от емпиричните ограничения до обективните вероятности“, в WE Harper и GR Wheeler (eds.), Вероятност и извод: Есета в чест на Хенри Е. Кибург, младши, Амстердам: Elsevier.
• Zynda, Lyle, 1995, „Стари доказателства и нови теории“, Философски изследвания, 77: 67–95.

Академични инструменти

	Как да цитирам този запис.
	Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
	Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
	Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси