Определения

2023 Автор: Noah Black | [email protected]. Последно модифициран: 2023-08-25 04:38

Навигация за влизане

• Съдържание за участие
• библиография
• Академични инструменти
• Friends PDF Preview
• Информация за автора и цитирането
• Върнете се в началото

Определения

Публикувана за първи път на 10 април 2008 г.; съществена ревизия пн април 20, 2015

Определенията са заинтересували философите от древни времена. Ранните диалози на Платон изобразяват Сократ, повдигащ въпроси относно определенията (напр. В Евтифро, „Какво е благочестие?“) - въпроси, които изглеждат едновременно дълбоки и неуловими. Ключовата стъпка в „Онтологичното доказателство“на Анселм за съществуването на Бог е дефиницията на „Бог“и същите предимства на версията на Декарт на аргумента в неговата Медитация V. Съвсем наскоро дефиницията на числото на Фреж-Ръсел и дефиницията на Тарски за истината оказваше формиращо влияние върху широк спектър от съвременни философски дебати. Във всички тези случаи - и много други могат да бъдат цитирани - не само са били обсъждани конкретни определения; естеството и исканията за дефиниции също бяха обсъдени. Някои от тези дебати могат да бъдат уредени, като направят необходимите разграничения,определенията не са всички от един вид: дефинициите обслужват различни функции, а общият им характер варира в зависимост от функцията. Някои други дебати обаче не се уреждат толкова лесно, тъй като те включват спорни философски идеи като същност, концепция и смисъл.

• 1. Някои разновидности на определението

  • 1.1 Реални и номинални дефиниции
  • 1.2 Определения на речника
  • 1.3 Стимулативни определения
  • 1.4 Описателни определения
  • 1.5 Обяснителни дефиниции
  • 1.6 Обширни определения
  • 1.7 Забележка

• 2. Логиката на дефинициите

  • 2.1 Два критерия
  • 2.2 Основи на традиционната сметка
  • 2.3 Консервативност и елиминируемост
  • 2.4 Определения в нормална форма
  • 2.5 имплицитни определения
  • 2.6 Принцип на порочен кръг
  • 2.7 Кръгови дефиниции
• библиография
• Академични инструменти
• Други интернет ресурси
• Свързани записи

1. Някои разновидности на определението

Обикновеният дискурс разпознава няколко различни вида неща като възможни обекти на дефиниция и той разпознава няколко вида дейност като определящи нещо. За да дадем няколко примера, ние говорим за комисия като определяща границата между две нации; на Върховния съд като определя чрез своите решения „лице“и „гражданин“; на химик, който открива определението на златото, а на лексикографа - на „готино“; на участник в дебат като определящ въпроса; и на математик като определя определението на „група“. Тук са дефинирани различни видове неща: граница, правен статус, субстанция, дума, теза и абстрактен вид. Освен това различните определения нямат една и съща цел: граничната комисия може да има за цел да постигне точност; Върховният съд, справедливост;химикът и лексикографът, точност; дискусията, яснотата; и математикът, плодородие. Следователно стандартите, по които се оценяват определенията, могат да варират в отделни случаи. Различните определения може би могат да бъдат включени в аристотеловата формула, че определението дава същността на нещо. Но това само подчертава факта, че „да се даде същността на дадено нещо“не е унитарен вид дейност.

Във философията също често се играят няколко различни определения и определенията могат да служат за различни функции (например, за да се увеличи точността и яснотата). Но във философията определенията също са призвани да играят изключително отличителна роля: тази за решаване на гносеологични проблеми. Например, гносеологичният статус на математическите истини създава проблем. Имануел Кант смята, че тези истини са априорни синтетични и за да отчете състоянието си, той предложи теория за пространството и времето, а именно за пространството и времето като форми на, съответно, външен и вътрешен смисъл. Готлоб Фреге и Бертран Ръсел се стремяха да подкопаят теорията на Кант, като твърдят, че аритметичните истини са аналитични. По-точно, те се опитаха да конструират деривация на аритметични принципи от дефиниции на аритметични понятия, т.е.използвайки само логически закони. За да успее проектът Frege-Russell, използваните определения трябва да имат специален характер. Те трябва да са концептуални или обясняващи смисъла; те не могат да бъдат синтетични. Именно този вид дефиниция е предизвикала през миналия век или така, най-голям интерес и най-много противоречия. И именно този вид определение ще бъде нашата основна грижа. Нека започнем с отбелязването на някои предварителни, но важни разграничения. Нека започнем с отбелязването на някои предварителни, но важни разграничения. Нека започнем с отбелязването на някои предварителни, но важни разграничения.

1.1 Реални и номинални дефиниции

В своето Есе Джон Лок разграничи „истинската същност“от „номиналната същност“. Номиналната същност, според Лок, е „абстрактната идея, към която е приложено Името (III.vi.2).“По този начин, номиналната същност на името "злато", казва Лок, "е онази сложна идея, за която се отнася думата Злато, нека бъде например тяло жълто, с определена тежест, ковък, разтопяем и неподвижен." За разлика от тях, истинската същност на златото е „състава на неразривните части на това Тяло, от които зависят тези качества (споменати в номиналната същност] и всички други свойства на златото (III.vi.2).“Груб начин за маркиране на разграничението между реално и номинално определение е да се каже, следвайки Лок, че първите твърдят истинска същност, докато втората заявява номинална същност. Химикът цели реално определение,като има предвид, че лексикографът цели номинално определение.

Тази характеристика на разграничението е груба, тъй като дефиницията на зоолог за „тигър“трябва да се счита за реална дефиниция, въпреки че може да не успее да предостави „състава на нечувствителните части“на тигъра. Освен това, отчитането на значението на дадена дума трябва да се счита за номинално определение, въпреки че може да не приема локската форма на излагане на „абстрактната идея, към която е приложено името“. Може би е полезно да се посочи разграничението между реални и номинални дефиниции по този начин: за да се открие реалната дефиниция на термин (X) човек трябва да изследва нещата или нещата, обозначени с (X); за да се открие номиналната дефиниция, трябва да се проучи значението и употребата на (X). Дали търсенето на отговор на сократическия въпрос „Какво е добродетел?“е търсене на реална дефиниция или едно за номинално определение зависи от представата на човека за тази конкретна философска дейност. Когато преследваме въпроса на Сократ, опитваме ли се да добием по-ясен поглед върху нашите употреби на думата „добродетел“или се опитваме да дадем сметка за идеал, който до известна степен е независим от тези употреби? Според предишната концепция ние се стремим към номинално определение; под последните, при реално определение.ние се стремим към номинално определение; под последните, при реално определение.ние се стремим към номинално определение; под последните, при реално определение.

За критично обсъждане на различните дейности, които са били включени в "реалната дефиниция", вижте Робинсън 1950. За древни възгледи за определенията вижте есетата от Чарлз 2010.

1.2 Определения на речника

Номинални определения - дефиниции, които обясняват значението на термин - не са всички от един вид. Речник обяснява значението на термин, в един смисъл на тази фраза. Речниците имат за цел да предоставят определения, които съдържат достатъчно информация, за да даде разбиране на термина. Факт е за нас, езиковите потребители, че по някакъв начин разбираме и използваме потенциална безкрайност на изреченията, съдържащи термин, след като ни бъде предоставена определена малка информация за термина. Как точно се случва това е голяма мистерия. Но това се случва и речниците използват този факт. Имайте предвид, че записите в речника не са уникални. Различните речници могат да дават различни битове информация и същевременно да са еднакво ефективни при обяснението на значенията на термините.

Определенията, търсени от философите, не са от типа, открит в речник. Определението на числото на Frege (1884) и дефиницията на Алфред Тарски за истината (1983, ch. 8) не се предлагат като кандидати за вписвания в речника. Когато гносеологът търси определение за „знание“, тя не търси добър запис в речника за думата „знам“. Философският стремеж към дефиниция понякога може плодотворно да се характеризира като търсене на обяснение на смисъла. Но смисълът на „обяснение на значението“тук е много различен от смисъла, в който речник обяснява значението на дадена дума.

1.3 Стимулативни определения

Определителното определение придава значение на определения термин и не включва ангажимент, че присвоеното значение е съгласувано с предишни употреби (ако има такива) на термина. Стимулативните определения са гносеологично специални. Те дават преценки с гносеологични характеристики, които озадачават другаде. Ако някой декларира определено „raimex“като, да речем, рационален, въображаем, изпитващ битие, тогава преценката „raimexes са рационални“е сигурна, че е необходима, определена и априори. Философите намериха за изкушаващо да обяснят озадачаващите случаи на напр. Априорност чрез обръщение към декларативни определения.

Саул Крипке (1980 г.) обърна внимание на специален вид декларативно определение. Можем условно да въведем ново име (напр. „Джак Изкормвачът“) чрез описание (напр. „Човекът, убил (X, Y) и (Z)“). В такава уговорка, посочи Крипке, описанието служи само за фиксиране на препратката към новото име; името не е синоним на описанието. Защото решението

(1) Джак Изкормвачът е човекът, убил (X, Y) и (Z), ако уникален човек извърши убийствата

е условен, въпреки че решението

Джак Изкормвача е Джак Изкормвача, ако уникален човек извърши убийствата

необходимо е. Име от рода на „Джак Изкормвачът“, твърди Крипке, е твърдо: той избира един и същ индивид във възможните светове; описанието, от друга страна, не е твърдо. Kripke използва такива разпоредби за определяне на референции, за да аргументира съществуването на контингент априорни истини (1) като пример. Условни дефиниции за определяне на референции могат да се дадат не само за имена, но и за термини в други категории, например общи имена.

Вижте Frege 1914 за защита на строгите възгледи, че поне в математиката трябва да се противопоставят само деклариращи дефиниции. ^[1]

1.4 Описателни определения

Дескриптивните дефиниции, като условни, изписват смисъл, но също така целят да бъдат адекватни на съществуващата употреба. Когато философите предлагат дефиниции като например „знам“и „свободно“, те не са регламентиращи: липсата на съответствие с съществуващата употреба е възражение за тях.

Полезно е да се разграничат три степени на описателна адекватност на определението: разширителна, интензивна и смислова. Дефиницията е адекватна в пълна степен, ако няма действителни контрапримери към нея; тя е интензивно адекватна, ако няма възможни контрапримери към нея; и е смислен адекватен (или аналитичен), ако той дава определения термин с правилния смисъл. (Последният клас на адекватност сам по себе си се разделя на различни понятия, тъй като „смисълът“може да бъде изписан по няколко различни начина.) Определението „Водата е H ₂ O“, например, е интензивно адекватно, тъй като идентичността на водата и H ₂О е необходимо (ако приемем мнението на Крипке-Путнам за твърдостта на естествените термини); следователно дефиницията е адекватна и в екстензионален план. Но не е смислово адекватно, защото усещането за „вода“изобщо не е същото като това на „H ₂ O“. Определението „Джордж Вашингтон е първият президент на Съединените щати“е адекватно само разширително, но не и в другите две степени, докато „човекът е смеещо се животно“не е подходящо и в трите степени. Когато определенията са поставени за гносеологична употреба, интензивната адекватност по принцип е недостатъчна. За такива дефиниции не може да се подпише рационалността или априорността на проблематичен предмет.

Вижте Quine 1951 & 1960 за скептицизъм относно аналитичните дефиниции; виж също записа на аналитичното / синтетичното разграничение. Horty 2007 предлага някои начини за мислене на сетивата на дефинираните изрази, особено в рамките на фригейската семантична теория.

1.5 Обяснителни дефиниции

Понякога определение не се предлага нито описателно, нито условно, но като, обяснение на Рудолф Карнап (1956, §2). Експликацията има за цел да уважава някои централни употреби на даден термин, но е съобразителна за други. Изяснението може да бъде предложено като абсолютно подобрение на съществуваща, несъвършена концепция. Или може да се предложи като „добро нещо да се разбира“от термина в конкретен контекст за определена цел. (Цитираната фраза се дължи на Алън Рос Андерсън; виж Belnap 1993, 117.)

Проста илюстрация на обяснението се предоставя от дефиницията на подредена двойка в теорията на множествата. Тук двойката (langle x, y / rangle) се определя като множеството ({ {x }, {x, y } }). Разгледана като обяснение, това определение не цели да обхване всички аспекти на предишните употреби на „подредена двойка“в математиката (и в обикновения живот); вместо това, той цели да обхване основните приложения. Основният факт за използването на „подредена двойка“е, че тя се управлява от принципа, че двойките са идентични, ако съответните им компоненти са идентични:

) langle x, y / rangle = / langle u, v / rangle / text {iff} x = u / amp y = v.)

И може да се провери дали горното определение удовлетворява принципа. Определението има някои последици, които не съответстват на обикновената представа. Например, определението предполага, че обект (x) е член на член на двойката (langle x, y / rangle) и това импликация не е част от обикновената представа. Но несъответствието не е възражение срещу обяснението. Това, което е важно за експликацията, е не предходното значение, а функцията. Докато последната се запази, първата може да бъде пусната. Именно тази особеност на експликацията накара WVO Quine (1960, §53) да възхвалява своите добродетели и да поддържа определението на „подредена двойка“като философска парадигма.

Функционалността на истината условно предоставя друга илюстрация на обяснението. Това условно се различава от обикновеното условно в някои съществени аспекти. Независимо от това, функционалността на истината условно може да бъде представена като обяснение на обикновеното условно за определени цели в определени контексти. Дали предложението е адекватно зависи от важните цели и контексти. Това, че двете условия се различават по важни, дори съществени съображения, автоматично не дисквалифицира предложението.

1.6 Обширни определения

Острите дефиниции обикновено зависят от контекста и от опита. Да предположим, че разговорният контекст прави едно куче ясно сред няколкото, които са видими. Тогава човек може да въведе името „Фреди“чрез уговорката „нека Фреди е това куче“. Друг пример, да предположим, че гледате клон на храст и с условие въведете името „Чарли“по този начин: „нека Чарли да бъде насекомото на този клон.“Това определение може да прикачи референт на „Чарли“, дори ако на клона има много насекоми. Ако визуалният ви опит ви представя само едно от тези насекоми (да речем, защото другите са твърде малки, за да бъдат видими), тогава това насекомо е обозначаването на вашето използване на описанието „насекомото на този клон“. Можем да мислим за опита като представяне на темата с ограничена част от света. Тази част може да служи като точка за оценка на изразите в остенично определение.^[2] Следователно определението може с помощта на опит да насочи референт към определения термин, когато без тази помощ не би направил това. В настоящия пример описанието „насекомото на този клон“не може да бъде обозначено, когато е оценено в света като цяло, но е обозначаващо, когато е оценено в тази част от него, което е представено във вашето визуално преживяване. Вижте Gupta 2019 за преглед на приноса на опита към значението на остенично определен термин.

Острият дефиниция може да доведе до съществено обогатяване на един език. Острото определение на „Чарли“обогатява езика с име на конкретно насекомо и е възможно преди обогатяването на езика да липсват ресурси, които да обозначават това конкретно насекомо. За разлика от други познати дефиниции, остните дефиниции могат да въведат неминуеми термини. (И така, остните дефиниции не могат да отговорят на критерия за премахване, обяснен по-долу; не могат да изпълнят и критерия за консервативност, също обяснен по-долу.)

Способността на остеничните дефиниции да въвеждат по същество нов речник накара някои мислители да ги разглеждат като източник на всички примитивни понятия. По този начин Ръсел поддържа в Човешкото знание това

всички номинални дефиниции, ако бъдат изтласкани достатъчно назад, в крайна сметка трябва да доведат до термини, които имат само остенични дефиниции, а в случая на емпирична наука емпиричните термини трябва да зависят от термините, на които остеничното определение е дадено във възприятието. (стр. 242)

В „Значение и остезивна дефиниция“Ч. Уайтли го приема като предпоставка, че остните дефиниции са „средствата, чрез които мъжете научават значенията на повечето, ако не и на всички онези елементарни изрази на техния език, по отношение на които са определени други изрази. (332) Трябва да се отбележи обаче, че нищо в логиката и семантиката на остеничните дефиниции не гарантира фундаменталистична картина на понятията или на езиковото обучение. Такива основополагащи снимки бяха решаващо критикувани от Лудвиг Витгенщайн в неговите философски разследвания. Положителните възгледи на Витгенщайн относно остеничното определение обаче остават неуловими; за тълкуване вижте Hacker 1975.

Остните дефиниции са важни, но нашето разбиране за тях остава на рудиментарно ниво. Те заслужават по-голямо внимание от логиците и философите.

1.7 Забележка

Видовете, в които сме подредили определенията, не са взаимно изключващи се, нито изчерпателни. Определящото определение на термин може, както се случва, да бъде адекватно в зависимост от предишните употреби на термина. Речникът може да предложи остри дефиниции на някои думи (например на цветни думи). Остните дефиниции също могат да бъдат обяснителни. Например, човек може да предложи подобрение на съществуващата концепция „един крак“по този начин: „нека един крак да е настоящата дължина на този прът“. При предишната си употреба понятието „един крак“може да е доста неясно; контрастно въведената експликация може, за разлика от това, да бъде сравнително точна. Освен това, както ще видим по-долу, има и други видове дефиниция от разглежданите досега.

2. Логиката на дефинициите

Много дефиниции - условни, описателни и експликативни - могат да бъдат анализирани в три елемента: терминът, който е дефиниран ((X)), израз, съдържащ определения термин ((ldots X / ldots)) и друг израз ((- - - - - - -)), който се приравнява от определението с този израз. Такива определения могат да бъдат представени по този начин:

) маркер {2} X: / ldots X / ldots / eqdf - - - - - - -.)

(Оставяме настрана остенични дефиниции, които ясно изискват по-богато представяне.) Когато определеният термин е ясен от контекста, представянето може да бъде опростено до

) ldots X / ldots / eqdf - - - - - - -.)

Изразът в лявата част на '(eqdf)' (т.е. (ldots X / ldots)) е дефиниментът на дефиницията, а изразът от дясната страна е нейният дефиниш - като се приема, че дефиниумът и определените принадлежат към една и съща логическа категория. Обърнете внимание на разграничението между дефиниран термин и дефинимент: дефинираният термин в настоящия пример е (X); дефинидумът е неуточненият израз от лявата страна на '(eqdf)', който може или не може да бъде идентичен на (X). (Някои автори наричат определения термин „дефинидумът“; други използват израза объркано, понякога за препратка към определения термин, а понякога и за самия дефинимент.) Не всички определения, открити в логическата и философска литература, се вписват по схема (2), Частичните определения например попадат извън схемата;друг пример е даден от дефиниции на логически константи по отношение на правила за въвеждане и премахване, които ги управляват. Независимо от това, определенията, които отговарят на (2), са най-важни и те ще бъдат нашата основна грижа.

Нека се съсредоточим върху декларативните дефиниции и да помислим върху тяхната логика. Някои от важните уроци тук пренасят, както ще видим, описателни и експликативни определения. За простота, нека разгледаме случая, при който едно определение уговорно въвежда термин. (Множество дефиниции носят усложнителна сложност, но не повдигат нови концептуални проблеми.) Да предположим, че езикът (L), основният език, се разширява чрез добавяне на нов термин (X) към разширен език (L ^ {+}), където (X) е декларирано с дефиниция (mathcal {D}) на форма (2). Какви логически правила управляват (mathcal {D})? Какви изисквания трябва да отговаря на определението?

Преди да се спрем на тези въпроси, нека да отбележим различие, което не е отбелязано в книгите по логика, но което е полезно при обмислянето на определенията. В един вид дефиниция - наречете го хомогенна дефиниция - дефинираният термин и дефиницията принадлежат към една и съща логическа категория. И така, единствено число се дефинира чрез единствено число; общ термин чрез общ термин; изречение чрез изречение; и така нататък. Нека кажем, че хомогенното определение е редовно, ако неговият дефинимент е идентичен с определения термин. Ето няколко примера за правилни еднородни дефиниции:

) етикет {3} начало {подравняване *} 1: 1 & / eqdf / текст {наследник на} 0, \\ / текст {човек}: / текст {човек} & / eqdf / текст {рационално животно}, \\ / текст {Истински}: / текст {Истински} & / eqdf / текст {всичко е идентично на себе си}. / Край {подравняване *})

Обърнете внимание, че „Истинското“, както е определено по-горе, принадлежи към категорията на изречението, а не в тази на единствено число.

Понякога се казва, че определенията са просто рецепти за съкращения. Така Алфред Норт Уайтхед и Бертран Ръсел казват за дефиниции - по-специално тези, използвани в Principia Mathematica - че са „строго казано, типографски удобства (1925, 11)“. Тази гледна точка има правдоподобност само за редовни еднородни дефиниции - макар че всъщност не е изпълнима дори и тук. (Уайтхед и Ръсел собствени наблюдения го правят ясно, че техните определения са повече от просто "типографски удобства." ^[3]) Идеята, че определенията са просто съкращения въобще не е правдоподобно за втория вид определение, към която Нека сега да се обърне, Във втория вид определение - наречете го хетерогенна дефиниция - дефинираният термин и дефиницията принадлежат към различни логически категории. Така, например, общ термин (напр. „Човек“) може да бъде дефиниран с помощта на сентенционен дефинимент (напр. „(X) е мъж“). За друг пример, единствено число (напр. '1') може да бъде дефинирано с помощта на предикат (например, 'е идентично на 1'). Хетерогенните дефиниции са много по-често срещани от хомогенните. Например в познатите езици от първи ред е безсмислено да се дефинира, да речем, предикат на едно място (G) чрез еднородно определение. Тези езици нямат ресурси за формиране на сложни предикати; следователно, дефинициите на еднородно определение на (G) е длъжен да бъде атомен. В хетерогенна дефиниция обаче дефинините могат лесно да бъдат сложни; например,) етикет {4} Gx / eqdf x / gt 3 / amp x / lt 10.)

Ако езикът има устройство за абстракция - например за формиране на множества - можем да дадем различен вид хетерогенно определение на (G):

) етикет {5} текст {набор от}} G / текст {s} eqdf / текст {набор от числа между 3 и 10.})

Обърнете внимание, че хетерогенното определение като (4) не е просто съкращение. Защото, ако беше, изразът (x) в него нямаше да е истинска променлива и дефиницията няма да дава указания за ролята на (G) в контексти, различни от (Gx). Освен това, ако такива дефиниции са съкращения, те ще бъдат подчинени на изискването дефиниментът да бъде по-кратък от определените, но такова изискване не съществува. От друга страна, истинските изисквания към определенията биха имали малко смисъл. Следното условие не е легитимно определение:

) етикет {6} Gx / eqdf x / gt y / amp x / lt 10.)

Но ако се разглежда като просто съкращение, няма нищо незаконно в това.

Някои деклариращи дефиниции не са нищо друго, освен обикновени съкращения (напр. Определенията, уреждащи пропускането на скоби във формули; вж. Църква 1956, §11). Много условни дефиниции обаче не са от този вид; те въвеждат смислени елементи в нашия дискурс. По този начин, дефиниция (4) прави (G) смислен унарен предикат: (G) изразява по силата на (4) определено понятие. За разлика от това, съгласно условие (6), (G) не е смислен предикат и не изразява никакво понятие. Но какъв е източникът на разликата? Защо (4) е законно, но не (6)? По-общо, кога определението е законно? Какви изисквания трябва да изпълняват определените? И, по този въпрос, дефиницията? Трябва ли дефиницията да бъде например атомен, както в (3) и (4)? Ако не, какви ограничения (ако има) има за определението?

2.1 Два критерия

На всеки отговор на тези въпроси е правдоподобно изискване да се спазват два критерия. ^[4] Първо, една декларативна дефиниция не трябва да ни позволява да установим по същество нови претенции - наричаме това критерият за консервативност. Не бива да можем да установяваме чрез обикновена уговорка нови неща, например за Луната. Вярно е, че ако този критерий не бъде прецизен, той подлежи на тривиални контрапримери, тъй като въвеждането на определение влияе съществено на някои факти. Независимо от това, критерият може да бъде направен точен и защитим и скоро ще видим някои начини за това.

Второ, определението трябва да фиксира използването на дефинирания израз (X) - наречете това критерия Use. Този критерий е правдоподобен, тъй като само дефиницията - и нищо друго - не е на разположение, за да ни напътства в използването на (X). Тук обаче има усложнения. Какво се счита за използване на (X)? Включени ли са събития в обхвата на „казвам“и „знам“? Какво ще кажете за появата на (X) в контекста на кавичките и тези в думите, например „ксенофани“? Последният въпрос трябва да получи, ясно е, отговора, „Не.“Но отговорите на предишните въпроси не са толкова ясни. Има още едно усложнение: дори ако можем по някакъв начин да отделим истинските събития на (X), може да се окаже, че някои от тези събития са правилно игнорирани от определението. Например,определението на коефициента може да остави някои събития на термина неопределени (например, където има разделение на 0). Ортодоксалният възглед е да управлява такива определения като нелегитимни, но православието заслужава да бъде оспорвано тук. Нека обаче оставим предизвикателството на друг повод и да продължим да заобикаляме усложненията чрез идеализация. Нека се ограничим до наземните езици, които притежават ясно определена логическа структура (напр. Език от първи ред) и които не съдържат срещания на определения термин (X). И нека се ограничим до дефиниции, които не ограничават законните събития на (X). Критерият Use сега диктува, че дефиницията трябва да фиксира използването на всички изрази в разширения език, в който се появява (X). Ортодоксалният възглед е да управлява такива определения като нелегитимни, но православието заслужава да бъде оспорвано тук. Нека обаче оставим предизвикателството на друг повод и да продължим да заобикаляме усложненията чрез идеализация. Нека се ограничим до наземните езици, които притежават ясно определена логическа структура (напр. Език от първи ред) и които не съдържат срещания на определения термин (X). И нека се ограничим до дефиниции, които не ограничават законните събития на (X). Критерият Use сега диктува, че дефиницията трябва да фиксира използването на всички изрази в разширения език, в който се появява (X). Ортодоксалният възглед е да управлява такива определения като нелегитимни, но православието заслужава да бъде оспорвано тук. Нека обаче оставим предизвикателството на друг повод и да продължим да заобикаляме усложненията чрез идеализация. Нека се ограничим до наземните езици, които притежават ясно определена логическа структура (напр. Език от първи ред) и които не съдържат срещания на определения термин (X). И нека се ограничим до дефиниции, които не ограничават законните събития на (X). Критерият Use сега диктува, че дефиницията трябва да фиксира използването на всички изрази в разширения език, в който се появява (X). Нека се ограничим до наземните езици, които притежават ясно определена логическа структура (напр. Език от първи ред) и които не съдържат срещания на определения термин (X). И нека се ограничим до дефиниции, които не ограничават законните събития на (X). Критерият Use сега диктува, че дефиницията трябва да фиксира използването на всички изрази в разширения език, в който се появява (X). Нека се ограничим до наземните езици, които притежават ясно определена логическа структура (напр. Език от първи ред) и които не съдържат срещания на определения термин (X). И нека се ограничим до дефиниции, които не ограничават законните събития на (X). Критерият Use сега диктува, че дефиницията трябва да фиксира използването на всички изрази в разширения език, в който се появява (X). Критерият Use сега диктува, че дефиницията трябва да фиксира използването на всички изрази в разширения език, в който се появява (X). Критерият Use сега диктува, че дефиницията трябва да фиксира използването на всички изрази в разширения език, в който се появява (X).

Вариантна формулировка на критерия Използване е следната: определението трябва да фиксира смисъла на дефинимента. Новата формулировка е по-малко определена и по-спорна, тъй като разчита на „смисъла“, двусмислено и теоретично спорно понятие.

Обърнете внимание, че двата критерия уреждат всички условни дефиниции, независимо дали са единични или множествени или дали са във форма (2) или не.

2.2 Основи на традиционната сметка

Традиционното описание на дефинициите се основава на три идеи. Първата идея е, че определенията са обобщени идентичности; второто, че сентенцията е първична; и третата, тази на намалението. Първата идея - че дефинициите са обобщени идентичности - мотивира традиционните правила на акаунта за дефиниции. Те са, грубо казано, че (i) всяко възникване на дефинимента може да бъде заменено с възникване на дефини ((Обобщено премахване на дефиницията)); и, обратно, (ii) всяко възникване на дефинитите може да бъде заменено с възникване на дефинимента (Общо въвеждане на дефиниция).

Втората идея - първенството на сентенцията - има своите корени в мисълта, че основните употреби на термин са в твърдение и аргумент: ако разбираме употребата на определен термин в твърдение и аргумент, тогава напълно схващаме термина. Съдебното решение обаче е основно в спора и твърдението. Следователно, за да се обясни използването на дефиниран термин (X), втората идея поддържа, е необходимо и достатъчно да се обясни използването на сентенционни елементи, които съдържат (X). (Тук се разбират смисловите елементи, които включват изречения и подобни на изречения неща с безплатни променливи, например, определенията на (4); оттук нататък тези елементи ще се наричат формули.) Въпросите, които втората идея повдига, са, разбира се, големи и важно, но те не могат да бъдат разгледани в кратко проучване. Нека приемем идеята просто като даденост.

Третата идея-редукция - е, че използването на формула (Z), съдържаща определения термин, се обяснява чрез редуциране на (Z) до формула на основния език. Тази идея, когато е съчетана с първичността на сентенцията, води до силна версия на критерия Използване, наречен критерий за премахване: дефиницията трябва да свежда всяка формула, съдържаща определения термин, до формула на основния език, т.е. определения термин. Елиминирането е отличителната теза на традиционната сметка и, както ще видим по-долу, тя може да бъде оспорена.

Обърнете внимание, че традиционният акаунт не изисква намаляване на всички изрази на разширения език; тя изисква намаляване само на формули. Определението на предикат (G), например, не трябва да предоставя начин да се редуцира (G), взето изолирано, до предикат на основния език. Традиционният акаунт съответства на мисълта, че декларативното определение може да добави нов концептуален ресурс към езика, тъй като нищо в основния език не изразява предикативната концепция, която (G) изразява в разширения език. Това не означава да се отрече, че в разширения език не се изразява ново предложение - поне в смисъл на условие за истинност.

2.3 Консервативност и елиминируемост

Нека сега да видим как консервативността и елиминирането могат да бъдат направени прецизни. Първо помислете за езици, които имат точна система за доказателство от познатия вид. Нека основният език (L) е един такъв. Системата за доказване на (L) може да бъде класическа, три стойностна, модална, съответна или някаква друга; и може да съдържа или да не съдържа някои нелогични аксиоми. Предполагаме само, че имаме налични понятия „теорема на (L)” и „доказано еквивалент в (L)”, а също и понятията „теорема на (L ^ {+})” и „ доказано еквивалентен в (L ^ {+})”, който води до това, че системата за доказване на (L) е допълнена с дефиниция (mathcal {D}) и логическите правила, управляващи дефинициите. Сега критерият за консервативност може да бъде уточнен, както следва.

Критерий за консервативност (синтактична формулировка): Всяка формула на (L), която може да бъде доказана в (L ^ {+}), е доказана в (L).

Тоест, всяка формула на (L), която може да бъде доказана с помощта на дефиниция (mathcal {D}), също е доказана, без да използваме (mathcal {D}): определението не ни позволява да докажем нещо ново в (L). Критерият за премахване може да бъде направен прецизен по този начин:

Критерий за премахване (синтактична формулировка): За всяка формула (A) на (L ^ {+}) има формула на (L), която е доказано еквивалентна в (L ^ {+}) до (A).

(Фолклорът кредитира полския логик С. Лешневски за формулирането на критериите за консервативност и елиминираност, но това е грешка; вижте Dudman 1973, Hodges 2008, Urbaniak и Hämäri 2012 за обсъждане и допълнителни справки.) ^[5]

Сега нека оборудваме (L) с моделно-теоретична семантика. Тоест, свързваме с (L) клас интерпретации и предоставяме на разположение понятията „валидни в (L) в интерпретацията (M)“(известен още като „вярно в (L)) в (M) ") и" семантично еквивалентен в (L) спрямо (M). " Нека понятията "валидни в (L ^ {+}) в (M)" и "семантично еквивалентни в (L ^ {+}) по отношение на (M)" водят до семантиката на (L) се допълва с определението (mathcal {D}). Критериите за консервативност и елиминируемост вече могат да бъдат уточнени по този начин:

Критерий за консервативност (семантична формулировка): за всички формули (A) на (L) и всички интерпретации (M), ако (A) е валиден в (L ^ {+}) в (M) тогава (A) е валиден и в (L) в (M).

Критерий за премахване (семантична формулировка): За всяка формула (A) на (L ^ {+}) има формула (B) на (L) такава, че по отношение на всички интерпретации (M, B) е семантично еквивалентен в (L ^ {+}) до (A).

Синтактичните и семантични формулировки на двата критерия са явно успоредни. Въпреки това, дори ако предположим, че теоремите за силна пълнота важат за (L) и (L ^ {+}), двете формулировки не са еквивалентни. Всъщност няколко различни, нееквивалентни формулировки на двата критерия са възможни във всяка рамка, синтактичната и семантичната.

Забележете, че удовлетворяването на критериите за консервативност и елиминация, независимо дали в тяхната семантична или синтактична формулировка не е абсолютно свойство на определението; удовлетворението е относително към основния език. Различните езици могат да свързват с тях различни системи за доказване и различни класове интерпретации. Следователно, определението може да отговаря на двата критерия, когато е добавено към един език, но може да не го направи, когато е добавено към друг език. За допълнително обсъждане на критериите вижте Suppes 1957 и Belnap 1993.

2.4 Определения в нормална форма

За конкретика нека да фиксираме основния език (L) да бъде класически език от първи ред с идентичност. Системата за доказателство на (L) може да съдържа някои нелогични аксиоми (T); интерпретациите на (L) са класическите модели на (T). Както преди, (L ^ {+}) е разширеният език, който се получава, когато към (L) се добави дефиниция (mathcal {D}) на нелогична константа (X); следователно, (X) може да бъде име, предикат или символ на функция. Наречете две дефиниции еквивалентни, ако те дават същите теореми в разширения език. Тогава може да се покаже, че ако (mathcal {D}) отговаря на критериите за консервативност и елиминация, тогава (mathcal {D}) е еквивалентно на определение в нормална форма, както е посочено по-долу. ^[6] Тъй като дефинициите в нормална форма отговарят на изискванията за консервативност и елиминация, традиционната сметка предполага, че не губим нищо съществено, ако се нуждаем от определения да са в нормална форма.

Нормалната форма на дефиниции може да бъде определена по следния начин. Определенията на имена (a, n) - арни предикати (H), и (n) - символи за функционални функции (f) трябва да бъдат съответно от следните форми:

) начало {подравняване} маркер {7} a = x & / eqdf / psi (x), \\ / етикет {8} H (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) & / eqdf / phi \, (x_ {1}, / ldots, x_ {n}), \\ / маркер {9} f (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) = y & / eqdf / chi (x_ { 1}, / ldots, x_ {n}, y), / end {align})

където променливите (x_ {1}), …, (x_ {n}), (y) всички са различни, а дефинициите във всеки случай удовлетворяват условия, които могат да бъдат разделени на общи и специфични част. ^[7] Общото условие за definiens е едно и също във всеки случай: той не трябва да съдържа определения термин или свободни променливи, различни от тези в дефинимента. Общите условия остават същите, когато традиционното описание на дефиницията се прилага за некласическата логика (например, за многозначни и модални логики). Конкретните условия са по-променливи. В класическата логика специфичното условие за дефиницията (psi (x)) на (7) е, че тя удовлетворява условие за съществуване и уникалност: да може да се докаже, че нещо удовлетворява (psi (x)) и че най-много едно нещо удовлетворява (psi (x)). ^[8]Няма специфични условия за (8), но условието на (9) паралели, че на (7). Твърдението за съществуване и уникалност трябва да съдържа: универсалното затваряне на формулата

) съществува y \, / chi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}, y) amp / forall u / forall v) chi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}, u) amp / chi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}, v) rightarrow u = v])

трябва да бъде доказаем. ^[9]

В логиката, която позволява вакуумни имена, специфичното условие за дефинициите на (7) би било по-слабо: условието за съществуване ще отпадне. За разлика от това, в модална логика, която изисква имената да не са вакуумни и твърди, конкретното условие би било засилено: не само трябва да се покаже, че съществуването и уникалността трябва да се поддържат задължително, трябва да се покаже, че определените са изпълнени от един и един и същ обект в възможни светове.

Определенията, които съответстват на (7) - (9), са разнородни; определението е сентенционно, но определеният термин не е. Един източник на специфичните условия за (7) и (9) е тяхната хетерогенност. Специфичните условия са необходими, за да се гарантира, че определените, макар и не от логическата категория на дефинирания термин, му придават правилното логическо поведение. Така условията гарантират, че логиката на разширения език е същата като тази на основния език. Това е причината специфичните условия за нормалните форми да варират в зависимост от логиката на основния език. Забележете, че каквато и да е тази логика, не са необходими конкретни условия за редовни еднородни дефиниции.

Традиционният акаунт прави възможни прости логически правила за дефиниции, а също така и проста семантика за разширения език. Да предположим, че дефиницията (mathcal {D}) има дефиниция на изреченията. (В класическата логика всички дефиниции могат лесно да бъдат трансформирани, за да отговарят на това условие.) Нека (mathcal {D}) бъде

) етикет {10} phi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) eqdf / psi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}),)

където (x_ {1}), …, (x_ {n}) са всички променливи, свободни или в (phi), или в (psi). И нека (phi (t_ {1}, / ldots, t_ {n})) и (psi (t_ {1}, / ldots, t_ {n})) получат резултат от едновременното заместване на термините (t_ {1}), …, (t_ {n}) за (x_ {1}), …, (x_ {n}) съответно (phi (x_ { 1}, / ldots, x_ {n})) и (psi (x_ {1}, / ldots, x_ {n})); промяна на свързаните променливи, ако е необходимо. Тогава правилата за извода, управляващи (mathcal {D}) са просто тези:

) начало {подравняване *} frac { phi (t_1, / ldots, t_n)} { psi (t_1, / ldots, t_n)}, \, & / textbf {Дефиниране на премахване} & \\ / frac { psi (t_1, / ldots, t_n)} { phi (t_1, / ldots, t_n)}, \, & / textbf {Definiendum Introduction} end {align *})

Семантиката за разширения език също е права. Да предположим, например, (mathcal {D}) е дефиниция на име (a) и да предположим, че когато е поставен в нормална форма, той е еквивалентен на (7). Тогава всяка класическа интерпретация (M) на (L) се разширява до уникална класическа интерпретация (M ^ {+}) на разширения език (L ^ {+}). Обозначението на (a) в (M ^ {+}) е уникалният обект, който удовлетворява (psi (x)) в (M); условията на (psi (x)) гарантират наличието на такъв обект. Семантиката на дефинираните предикати и функционални символи е подобна. Логиката и семантиката на дефинициите в некласическата логика получават при традиционната сметка паралелно третиране.

Обърнете внимание, че инфекциозната сила на добавяне на определение (10) към езика е същата като тази на добавяне като аксиома, универсалното затваряне на

) tag {11} phi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) leftrightarrow / psi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}).)

Това сходство в логическото поведение на (10) и (11) обаче не трябва да прикрива големите разлики между двустранната ('(leftrightarrow)') и определената еквивалентност ('(eqdf)'). Първият е сентенционен съединител, но последният е транс-категоричен: от двете страни на '(eqdf)' могат да се срещат не само формули, но и предикати, имена и елементи от други логически категории. Освен това двустранното може да бъде повторено - напр. (((Phi / leftrightarrow / psi) leftrightarrow / chi)) - но не и определената еквивалентност. И накрая, термин може да бъде въведен чрез условно определение в основен език, чиито логически ресурси са ограничени, да речем, до класическа конюнкция и дизъюнкция. Това е напълно възможно, въпреки че двустранното не е изразимо на езика. В такива случаи,инфекциозната роля на условното определение не се отразява от нито една формула на разширения език.

Традиционното описание на дефинициите не трябва да се разглежда като изискване на определенията да са в нормална форма. Единствените изисквания, които налага, са: (i) дефиницията да съдържа определения термин; (ii) дефиницията и определените принадлежат към една и съща логическа категория; и (iii) определението удовлетворява консервативността и елиминацията. Докато тези изисквания са изпълнени, няма допълнителни ограничения. Определението, подобно на дефиницията, може да бъде сложно; и дефинитите, като дефинимента, могат да съдържат определения термин. Така че, например, няма нищо формално погрешно, ако дефиницията на функционалния израз „числото“има като свой дефинимент формулата „числото на (F) s е числото на (G) s“. Ролята на нормалните форми е само да осигурят лесен начин да се гарантира, че определенията удовлетворяват консервативността и елиминирането; те не предоставят единствения легитимен формат за условно въвеждане на термин. Следователно причината, поради която (4) е, но (6) не е, легитимното определение не е, че (4) е в нормална форма и (6) не е.

) начало {подравняване *} маркер {4} Gx & / eqdf x / gt 3 / amp x / lt 10. \\ / маркер {6} Gx & / eqdf x / gt y / amp x / lt 10. / край {подравняване *})

Причината е, че (4) спазва, но (6) не, двата критерия. (Приема се, че основният език съдържа обикновена аритметика; при това предположение второто определение предполага противоречие.) Следните две дефиниции също не са в нормална форма:

) начало {подравняване *} маркер {12} Gx & / eqdf (x / gt 3 / amp x / lt 10) amp y = y. \\ / tag {13} Gx & / eqdf [x = 0 / amp (G0 / vee G1)] vee [x = 1 / amp ({ sim} G0 / amp { sim} G1)]. / Край {подравняване *})

Но и двамата трябва да се считат за законни според традиционната сметка, тъй като отговарят на критериите за консервативност и елиминация. От това следва, че двете определения могат да бъдат поставени в нормална форма. Определение (12) е ясно еквивалентно на (4), а дефиницията (13) е еквивалентна на (14):

) етикет {14} Gx / eqdf x = 0.)

Обърнете внимание, че дефинициите на (13) не са логически еквивалентни на нито една формула, свободна от (G). Независимо от това, определението има нормална форма.

По подобен начин традиционният акаунт е напълно съвместим с рекурсивни (известни още като индуктивни) дефиниции като тези, намиращи се в логиката и математиката. Например в аритметиката на пеано, експоненцията може да бъде определена със следните уравнения:

) етикет {15} започнем {подравнявам}} m ^ {0} & = 1, \\ m ^ {n + 1} & = m ^ {n} cdot m. / Край {подравняване *})

Тук първото уравнение, наречено базова клауза, определя стойността на функцията, когато експонентът е 0. И втората клауза, наречена рекурсивна клауза, използва стойността на функцията, когато експонентът е (n), за да определи стойност, когато експонентът е (n + 1). Това е напълно легитимно, според традиционната сметка, защото теорема за аритметиката на Peano установява, че горното определение е еквивалентно на едно в нормална форма. ^[10] Рекурсивните определения са кръгови по своя формат и всъщност именно тази циркулярност ги прави осезаеми. Но кръговото е изцяло на повърхността, както показва наличието на нормални форми. Вижте обсъждането на кръговите определения по-долу.

2.5 имплицитни определения

Горепосочената гледна точка позволява на традиционния акаунт да включи в себе си своите идеи, които на пръв поглед може да изглежда противно на него. Понякога се предполага, че термин (X) може да бъде въведен аксиоматично, тоест като се определят като аксиоми определени изречения от разширения език (L ^ {+}). След това се казва, че аксиомите имплицитно определят (X). Тази идея лесно се побира в рамките на традиционния акаунт. Нека теорията е съвкупност от изречения на разширения език (L ^ {+}). Тогава, за да кажем, че теорията (T ^ *) е имплицитно (условно) определение на X означава да кажем, че (X) се управлява от определението

) phi / eqdf / текст {Истински},)

където (phi) е съединението на членовете на (T ^ *). (Ако (T ^ *) е безкраен, тогава за всяко изречение е необходимо условие от горния формуляр (psi) в (T ^ *).) ^[11] Определението е законно, според традиционната сметка, стига да отговаря на критериите за консервативност и елиминация. Ако отговаря на тези критерии, нека наречем (T ^ *) допустимо (за дефиниция на X). И така, традиционната сметка е съобразена с идеята, че теориите могат условно да въведат нови термини, но тя налага силно търсене: теориите трябва да бъдат допустими. ^[12]

Помислете, за конкретност, специалният случай на класическите езици от първи ред. Нека основният език (L) е един такъв и неговите интерпретации да бъдат модели на някои изречения (T). Кажете, че интерпретация (M ^ {+}) на (L ^ {+}) е разширяване на интерпретация (M) на (L) iff (M) и (M ^ {+}) имат един и същ домейн и присвояват едни и същи семантични стойности на нелогичните константи в (L). Освен това, нека кажем това

(T ^ *) е имплицитно семантично определение на X iff, за всяка интерпретация (M) на (L) има уникален модел (M ^ {+}) на (T ^ *) такова, че (M ^ {+}) е разширение на (M).

Тогава следното твърдение е незабавно:

Ако (T ^ *) е допустимо, тогава (T ^ *) е неявно семантично определение на (X).

Тоест, допустима теория фиксира семантичната стойност на определения термин във всяка интерпретация на основния език. Това наблюдение предоставя един естествен метод за показване, че теорията не е допустима:

Методът на Падоа. За да се покаже, че (T ^ *) не е допустимо, достатъчно е да се конструират два модела на (T ^ *), които са разширения на една и съща интерпретация на основния език (L). (Padoa 1900)

Ето просто и философски полезно приложение на метода на Падоа. Да предположим, че системата за доказване на (L) е аритметика на Пеано и че (L) се разширява чрез добавяне на унарен предикат (Tr) (за "номер на Gödel на истинско изречение от (L)"). Нека (mathbf {H}) е теорията, състояща се от всички изречения („двустранни Тарски“) в следната форма:

[Tr (s) лява светлина / psi,)

където (psi) е изречение от (L) и (s) е каноничното име за числото на Гьодел от (psi). Методът на Padoa предполага, че (mathbf {H}) не е допустимо за дефиниране (Tr). За (mathbf {H}) не фиксира интерпретацията на (Tr) във всички интерпретации на (L). По-специално, това не се прави в стандартния модел, тъй като (mathbf {H}) не поставя ограничения върху поведението на (Tr) върху онези числа, които не са номера на изреченията на Гьодел. (Ако кодирането прави всяко естествено число номер на Gödel на изречение, тогава нестандартният модел на Peano Aithmetic осигурява необходимия контрапример: той има безкрайно много разширения, които са модели на (mathbf {H}).) A вариант на този аргумент показва, че теорията за истинността на Тарски, формулирана в (L ^ {+}), не е допустима за дефиниране (Tr).

Какво ще кажете за обратното на метода на Padoa? Да предположим, че можем да покажем, че във всяка интерпретация на основния език теория (T ^ *) фиксира уникална семантична стойност за определения термин. Можем ли да заключим, че (T ^ *) е допустимо? Този въпрос получава отрицателен отговор за някои семантични системи и положителен отговор за други. (За разлика от тях методът на Padoa работи толкова дълго, докато семантичната система не е силно измислена.) Обратното не успява, например за класическите езици от втори ред, но важи за тези от първи ред:

Теорема за определяне на Бет. Ако (T ^ *) е неявна семантична дефиниция на (X) в класически език от първи ред, тогава (T ^ *) е допустимо.

Обърнете внимание, че теоремата е валидна дори ако (T ^ *) е безкрайно множество. За доказателство на теоремата вижте Boolos, Burgess и Jeffrey 2002; виж също Beth 1953.

Идеята за неявното определение не е в противоречие с традиционната сметка. Там, където възниква конфликт, е във философските приложения на идеята. Провалът на строгите редукционистки програми от края на деветнадесети и началото на ХХ век подтикна философите да изследват по-свободните видове редукционизъм. Например дефиницията на числото на Фреге се оказа непоследователна и следователно неспособна да поддържа логистичната теза, че принципите на аритметиката са аналитични. Оказва се обаче, че принципите на аритметиката могат да бъдат извлечени без определението на Фреге. Всичко, което е необходимо, е едно следствие от него, а именно принципът на Юм:

Принцип на Хюм. Броят на (F) s = броят на (G) s ако има кореспонденция едно към едно между (F) s и (G) s.

Ако добавим принципа на Хюм към логиката от втори ред, тогава можем аналитично да извлечем (втория ред) аритметиката на пеано. (Основните положения на аргумента са открити още във Frege 1884.) Централна теза на неофригеанизма е, че принципът на Юм е имплицитно определение на функционалния израз „числото“(вж. Хейл и Райт 2001). Ако тази теза може да се защити, тогава логизмът за аритметиката може да бъде поддържан, докато се изтъква изричното (и непоследователно) определение на Фреге. Въпреки това, неофригейската теза е в противоречие с традиционното описание на дефинициите, тъй като принципът на Юм нарушава както консервативността, така и елиминираността. Принципът позволява да се докаже, за произволни (n), че има поне (n) обекти.(Свързаното приложение има за цел да поддържа аналитичността на геометрията чрез идеята, че аксиомите на геометрията са имплицитни дефиниции на геометрични понятия като „точка” и „линия”. Тук също има конфликт с традиционната сметка за консервативност и елиминирането е нарушено.)

Друг пример: Редукционистката програма за теоретични концепции (напр. Тези на физиката), насочена към решаване на гносеологични проблеми, които тези понятия поставят. Програмата имаше за цел да сведе теоретичните изречения до (класове от) наблюдателни изречения. Въпреки това намаленията се оказаха трудни, ако не и невъзможни за поддържане. Така възникна предположението, че може би не-наблюдателният компонент на една теория може без претенция за намаляване да се разглежда като имплицитно определение на теоретичните термини. Прецизната характеристика на не-наблюдателния компонент може да варира в зависимост от конкретния епистемологичен проблем. Но трябва да има нарушение на един или двата критерия, консервативност и елиминация. ^[13]

Последен пример: По теорема на Тарски знаем, че никоя теория не може да бъде допустимо определение на предиката за истината (Tr) за езика на аритметиката на Peano, разгледана по-горе. Независимо от това, може би все още можем да разглеждаме теорията (mathbf {H}) като имплицитно определение на (Tr). (Пол Хорвич направи тясно свързано предложение за обикновената представа за истината.) Тук отново се оказва натиск върху границите, наложени от традиционната сметка. (mathbf {H}) отговаря на критерия за консервативност, но не и този на Eliminability.

За да оценим предизвикателството, което тези философски приложения поставят за традиционния разказ, трябва да разрешим въпроси, които са в процес на философски дебат. Някои от проблемите са следните. (i) Очевидно е, че някои нарушения на консервативността са нелегитимни: не може да се направи истина с уговорка, че например Меркурий е по-голям от Венера. Сега, ако философското приложение изисква някои нарушения на консервативността да бъдат легитимни, ние се нуждаем от разграничение между двата вида дела: законните нарушения на консервативността и нелегитимните. И ние трябва да разберем кое е това, което прави единия легитимен, но не и другия. (ii) Подобен въпрос възниква по отношение на Eliminability. Изглежда, че никоя стара теория не може да бъде имплицитно определение на термин (X).(Теорията може да съдържа само тавтологии.) Ако е така, отново се нуждаем от разграничаване на теориите, които могат да служат за неявно дефиниране на термин от тези, които не могат. И имаме нужда от обосновка за разграничението. (iii) Философските приложения опират изключително до идеята, че едно неявно определение фиксира значението на определения термин. Следователно се нуждаем от представа какво е това значение и как имплицитното определение го фиксира. Под традиционната сметка формулите, съдържащи определения термин, могат да се разглеждат като придобиващи своето значение от формулите на основния език. (С оглед на първенството на сентенцията, това фиксира значението на определения термин.) Но този ход не е наличен при либерализирана концепция за имплицитно определение. Как тогаватрябва ли да мислим за значението на формула при предвиденото отклонение от традиционната сметка? (iv) Дори ако предходните три въпроса са разгледани задоволително, остава важна загриженост. Да допуснем, че една теория (T), да речем, на физиката, може условно да дефинира нейните теоретични термини и тя дарява термините с определени значения. Остава въпросът дали така нададените значения са идентични (или достатъчно подобни на) значенията, които теоретичните термини имат в действителните си употреби във физиката. На този въпрос трябва да се отговори положително, ако имплицитните определения трябва да служат на философската им функция. Целта на позоваването на имплицитни определения е да отчитаме рационалността или априорността, или аналитичността на нашите обикновени преценки,а не на някакви необикновени преценки, които по някакъв начин се причисляват към обикновените знаци.

За по-нататъшно обсъждане на тези проблеми вижте Horwich 1998, особено глава 6; Хейл и Райт 2001, особено глава 5; и творбите, цитирани там.

2.6 Принцип на порочен кръг

Друго отклонение от традиционната теория започва с идеята не, че теорията е твърде строга, а че е твърде либерална, че позволява определения, които са нелегитимни. По този начин традиционната теория позволява следните дефиниции на съответно „лъжец“и класа на естествените числа (mathbf {N}):

• (16) (z) е лъжец (eqdf) всички предложения, потвърдени от (z), са неверни;
• (17) (z) принадлежи на (mathbf {N}) (eqdf) (z) принадлежи към всеки индуктивен клас, където клас е индуктивен, когато съдържа 0 и е затворен под операция приемник.

Ръсел твърди, че подобни определения включват фин вид порочен кръг. Определенията на първата дефиниция се позовават, смята Ръсел, съвкупността от всички предложения, но дефиницията, ако е легитимна, би довела до предложения, които могат да бъдат определени само чрез позоваване на тази съвкупност. По подобен начин второто определение се опитва да дефинира класа (mathbf {N}) по отношение на всички класове, което включва класа (mathbf {N}), който се дефинира. Ръсел поддържа, че подобни определения са нелегитимни. И той наложи следното изискване, наречено „Принцип на окръжния кръг“- определения и понятия. (Анри Поанкаре също предложи подобна идея.)

Принцип на порочния кръг. „Каквото и да включва цялата колекция, не трябва да бъде от колекцията (Russell 1908, 63).“

Друга формулировка, която Ръсел даде на Принципа, е тази:

Принцип на Vicious-Circle (вариантна формулировка). "Ако при условие, че определена колекция има общо, тя би имала членове, които могат да бъдат определени само по отношение на тази обща сума, тогава споменатата колекция няма общо (Russell, 1908, 63)."

В приложена бележка под линия, Ръсел обясни: „Когато казвам, че колекция няма общо, имам предвид, че изявленията за всички нейни членове са глупости.“

Основната мотивация на Ръсел за принципа на Vicious-Circle са логическите и семантични парадокси. Понятия като "истина", "предложение" и "клас" генерират при определени неблагоприятни условия парадоксални заключения. По този начин твърдението „Чейни е лъжец“, където „лъжецът“се разбира както в (16), дава парадоксални изводи, ако Чейни е твърдял, че е лъжец, и всички други твърдения, заявени от него, всъщност са неверни., Ръсел възприе принципа на Vicious-Circle, за да внуши, че ако „Cheney е лъжец“изразява предложение, то не може да бъде в обхвата на количествения показател в дефинициите на (16). В по-общ план Ръсел смята, че количественото определяне на всички предложения и над всички класове нарушава принципа на Vicious-Circle и следователно е нелегитимен. Освен това,той поддържа, че изрази като "вярно" и "невярно" не изразяват уникално понятие - в терминологията на Ръсел, уникална "функция на предложение" - но една от йерархията на предложенията функции от различни порядки. Следователно урокът, който Ръсел извежда от парадоксите, е, че областта на смисленото е по-ограничена, отколкото обикновено може да изглежда, че традиционното описание на понятията и определенията трябва да бъде направено по-ограничително, за да се изключат харесванията на (16) и (17).че традиционното описание на понятията и дефинициите трябва да бъде направено по-ограничително, за да се изключи харесването на (16) и (17).че традиционното описание на понятията и дефинициите трябва да бъде направено по-ограничително, за да се изключи харесването на (16) и (17).

Прилагайки към обикновените, неофициални дефиниции, Принципът на Vicious-Circle не предоставя, трябва да се каже, ясен метод за разграничаване на смисленото от безсмисленото. Определение (16) се предполага, че е нелегитимно, тъй като в своите дефиниции количественият показател варира над съвкупността от всички предложения. И ни се казва, че това е забранено, тъй като, ако беше позволено, съвкупността от предложения „би имала членове, които могат да се определят само от общия брой“. Ако обаче не знаем повече за естеството на предложенията и за средствата за тяхното дефиниране, е невъзможно да се определи дали (16) нарушава Принципа. Възможно е предложение като „Чейни е лъжец“- или да вземем по-малко спорен пример,„Или Чейни е лъжец, или той не е“- може да се даде определение, което не се харесва на съвкупността от всички предложения. Ако например предложенията представляват набор от възможни светове, тогава изглежда, че това определение е възможно.

Принципът на порочния кръг служи все пак като ефективна мотивация за конкретна сметка за законни понятия и дефиниции, а именно онези, въплътени в теорията на Ръсел Рамифициран тип на Ръсел. Идеята тук е, че човек започва с някои безпроблемни ресурси, които не предполагат количествено определяне на предложения, концепции и други. Тези ресурси позволяват човек да дефинира например различни одинарни понятия, които по този начин са сигурни, че удовлетворяват принципа на порочния кръг. Следователно количественото определяне на тези понятия е законно и може да бъде добавено към езика. Същото важи и за предложенията и за понятията, попадащи под други видове: за всеки тип може да се добави количествен показател, който варира над елементи (от този тип), които могат да се определят с помощта на първоначалните непроблемни ресурси. Новите количествено определящи ресурси дават възможност за определяне на други елементи от всеки тип; те също спазват Принципа и отново, количествено могат да се добавят количествени характеристики, вариращи от разширените съвкупности. Новите ресурси позволяват определянето на още елементи. И процесът се повтаря. Резултатът е, че имаме йерархия на предложенията и на концепциите от различни порядки. Всеки тип в йерархията на типовете се разделя на множество поръчки. Това развъждане гарантира, че определенията, формулирани на получения език, са длъжни да спазват принципа на порочния кръг. Концепциите и класовете, които могат да бъдат определени в границите на тази схема, се казва, че са предикативни (в един смисъл на тази дума); другите, непредсказуеми.квантовете, вариращи от разширените съвкупности, могат законно да се добавят към езика. Новите ресурси позволяват определянето на още елементи. И процесът се повтаря. Резултатът е, че имаме йерархия на предложенията и на концепциите от различни порядки. Всеки тип в йерархията на типовете се разделя на множество поръчки. Това развъждане гарантира, че определенията, формулирани на получения език, са длъжни да спазват принципа на порочния кръг. Концепциите и класовете, които могат да бъдат определени в границите на тази схема, се казва, че са предикативни (в един смисъл на тази дума); другите, непредсказуеми.квантовете, вариращи от разширените съвкупности, могат законно да се добавят към езика. Новите ресурси позволяват определянето на още елементи. И процесът се повтаря. Резултатът е, че имаме йерархия на предложенията и на концепциите от различни порядки. Всеки тип в йерархията на типовете се разделя на множество поръчки. Това развъждане гарантира, че определенията, формулирани на получения език, са длъжни да спазват принципа на порочния кръг. Концепциите и класовете, които могат да бъдат определени в границите на тази схема, се казва, че са предикативни (в един смисъл на тази дума); другите, непредсказуеми. Резултатът е, че имаме йерархия на предложенията и на концепциите от различни порядки. Всеки тип в йерархията на типовете се разделя на множество поръчки. Това развъждане гарантира, че определенията, формулирани на получения език, са длъжни да спазват принципа на порочния кръг. Концепциите и класовете, които могат да бъдат определени в границите на тази схема, се казва, че са предикативни (в един смисъл на тази дума); другите, непредсказуеми. Резултатът е, че имаме йерархия на предложенията и на концепциите от различни порядки. Всеки тип в йерархията на типовете се разделя на множество поръчки. Това развъждане гарантира, че определенията, формулирани на получения език, са длъжни да спазват принципа на порочния кръг. Концепциите и класовете, които могат да бъдат определени в границите на тази схема, се казва, че са предикативни (в един смисъл на тази дума); другите, непредсказуеми.

За по-нататъшно обсъждане на принципа на порочния кръг вижте Russell 1908, Whitehead и Russell 1925, Gödel 1944 и Chihara 1973. За официално представяне на теорията на рамифицирания тип вижте Църква 1976; за по-неформално представяне, вижте Hazen 1983. Вижте също записите за теорията на типа и Principia Mathematica, които съдържат допълнителни справки.

2.7 Кръгови дефиниции

Парадоксите могат да се използват и за мотивиране на заключение, което е точно обратното на това на Ръсел. Помислете за следното определение на предикат за едно място (G):

) tag {18} начало {подравняване *} Gx / eqdf x = / текст {Сократ} & / vee (x = / текст {Платон} усилвател Gx) & / vee (x = / текст {Аристотел } amp { sim} Gx). / Край {подравняване *})

Това определение е по същество кръгово; в нормална форма не може да бъде сведен до един. И все пак, интуитивно, той предоставя съществени указания за използването на (G). Определението диктува, например, че Сократ попада под (G) и че нищо освен тримата споменати антични философи не го прави. Определението оставя неуредено състоянието само на два обекта, а именно - Платон и Аристотел. Ако предположим, че Платон попада под (G), определението води до това, че Платон попада под (G) (тъй като Платон удовлетворява определенията), като по този начин потвърждава нашето предположение. Същото се случва, ако предположим обратното, а именно, че Платон не попада под (G); отново нашето предположение се потвърждава. При Аристотел всеки опит да се реши дали той попада под (G) ни поставя в още по-несигурна ситуация:ако предположим, че Аристотел попада под (G), ние се караме да заключим с определението, че той не попада под (G) (тъй като не удовлетворява определените); и, обратно, ако предположим, че той не попада под (G), ни кара да заключим, че го прави. Но дори и при Платон и Аристотел, поведението на (G) не е непознато: (G) се държи тук по начина, по който концепцията за истината се държи на Истинската камара („Това, което сега казвам, е вярно“) и Лъжеца („Това, което сега казвам, не е вярно“). По-общо съществува силен паралел между поведението на концепцията за истината и това на понятията, дефинирани от кръгови дефиниции. И двете обикновено са добре дефинирани в редица случаи и двете показват разнообразие от необичайно логично поведение в останалите случаи. Наистина,всички различни видове объркващо логическо поведение, открити с концепцията за истината, се намират и в понятия, дефинирани от кръгови дефиниции. Този силен паралелизъм подсказва, че тъй като истината е явно легитимно понятие, това са и понятия, дефинирани от кръгови дефиниции като (18). Парадоксите, според тази гледна точка, не поставят под съмнение легитимността на концепцията за истината. Те показват само, че логиката и семантиката на кръговите понятия е различна от тази на некръговите. Тази гледна точка е разработена в ревизионната теория на дефинициите.не поставя под съмнение легитимността на понятието истина. Те показват само, че логиката и семантиката на кръговите понятия е различна от тази на некръговите. Тази гледна точка е разработена в ревизионната теория на дефинициите.не поставя под съмнение легитимността на понятието истина. Те показват само, че логиката и семантиката на кръговите понятия е различна от тази на некръговите. Тази гледна точка е разработена в ревизионната теория на дефинициите.

В тази теория кръговото определение придава на определения термин смисъл, който има хипотетичен характер; семантичната стойност на определения термин е правило за преразглеждане, а не както при некръговите дефиниции, правило за приложение. Помислете отново (18). Както всяко определение, (18) фиксира интерпретацията на дефинимента (ако) са дадени интерпретациите на нелогичните константи в дефинициите. Проблемът с (18) е, че дефинираният термин (G) се среща в дефинициите. Но да предположим, че ние произволно възлагаме на (G) интерпретация - да кажем, че оставяме това да бъде множеството (U) на всички обекти във вселената на дискурса (т.е. предполагаме, че (U) е множеството от обекти, които удовлетворяват (G)). Тогава е лесно да се види, че определените са верни точно на Сократ и Платон. Така определението диктува, че според нашата хипотеза,тълкуването на (G) трябва да бъде множеството ({ текст {Сократ}, / текст {Платон} }). Подобно изчисление може да се извърши за всяка хипотеза за интерпретацията на (G). Например, ако хипотезата е ({ текст {ксенократ} }), дефиницията дава резултат ({ текст {Сократ}, / текст {Аристотел} }). Накратко, въпреки че (18) не фиксира рязко кои обекти попадат под (G), той дава правило или функция, която, когато е дадена хипотетична интерпретация като вход, дава още един като изход. Основната идея на теорията на ревизията е да се разглежда това правило като правило за преразглеждане: изходната интерпретация е по-добра от входната (или е поне толкова добра; тази квалификация ще бъде приета като прочетена). Семантичната стойност, която определението придава на определения термин, не е разширение - разграничаване на вселената на дискурса в обекти, които попадат под определения термин, и тези, които не. Семантичната стойност е правило за преразглеждане.

Правилото за преразглеждане обяснява поведението, както обикновено, така и извънредно, на кръгова концепция. Нека (delta) е ревизионното правило, получено от дефиниция, и нека (V) е произволна хипотетична интерпретация на определения термин. Можем да опитаме да подобрим нашата хипотеза (V) чрез многократни приложения на правилото (delta). Получената последователност, [V, / delta (V), / delta (delta (V)), / delta (delta (delta (V))), / ldots,)

е ревизионна последователност за (delta). Цялостта на ревизионните последователности за (delta) за всички възможни първоначални хипотези е процесът на ревизия, генериран от (delta). Например, правилото за ревизия на (18) генерира процес на ревизия, който се състои от следните последователности на ревизия, наред с други:

[U, { текст {Сократ}, / текст {Платон} }, { текст {Сократ}, / текст {Платон}, / текст {Аристотел} }, { текст {Сократ}, / текст {Платон} }, / ldots)) { текст {Ксенократ} }, { текст {Сократ}, / текст {Аристотел} }, { текст {Сократ} }, { текст {Сократ}, / текст {Аристотел} }, / ldots)

Наблюдавайте поведението на нашите четирима антични философи в този процес. След някои начални етапи на преразглеждане, Сократ винаги попада в преработените интерпретации, а Ксенократ винаги попада навън. (В този конкретен пример поведението на двамата е фиксирано след първоначалния етап; в други случаи може да отнеме много етапи на ревизия, преди статутът на обект да се уреди.) Ревизионният процес дава категорична присъда на двамата философи: Сократ категорично попада под (G), а Ксенократ категорично попада извън (G). Предметите, по които процесът не дава категорична присъда, се считат за патологични (по отношение на правилото за преразглеждане, определението или определената концепция). В нашия пример Платон и Аристотел са патологични по отношение на (18). Статусът на Аристотел не е стабилен в нито една ревизионна последователност. Сякаш процесът на преразглеждане не може да реши за него. Понякога Аристотел се управлява като попадащ под (G), а след това процесът се обръща и заявява, че той не попада под (G), а след това процесът отново се обръща. Когато един обект се държи по този начин във всички ревизионни последователности, се казва, че е парадоксален. Платон също е патологичен по отношение на (G), но поведението му в процеса на ревизия е различно. Платон придобива стабилен статус във всяка ревизионна последователност, но състоянието, което придобива, зависи от първоначалната хипотеза. Когато един обект се държи по този начин във всички ревизионни последователности, се казва, че е парадоксален. Платон също е патологичен по отношение на (G), но поведението му в процеса на ревизия е различно. Платон придобива стабилен статус във всяка ревизионна последователност, но състоянието, което придобива, зависи от първоначалната хипотеза. Когато един обект се държи по този начин във всички ревизионни последователности, се казва, че е парадоксален. Платон също е патологичен по отношение на (G), но поведението му в процеса на ревизия е различно. Платон придобива стабилен статус във всяка ревизионна последователност, но състоянието, което придобива, зависи от първоначалната хипотеза.

Ревизионните процеси помагат да се даде семантика за кръговите дефиниции. ^[14] Те могат да бъдат използвани за определяне на семантични понятия като „категорична истина“и логически понятия като „валидност“. Характеристиките на логическите понятия, които получаваме, зависят изключително от един аспект на ревизията: броят етапи, преди обектите да се примирят с тяхното редовно поведение в процеса на ревизия. Казва се, че определението е ограничено, ако приблизително процесът му на преразглеждане задължително изисква само крайно много такива етапи. ^[15] За крайните дефиниции има просто логическо смятане (mathbf {C} _ {0}), което е звучно и пълно за семантиката на преразглеждането. ^[16] С неопределени дефиниции процесът на преразглеждане се разпростира в трансфинита. ^[17]И тези определения могат да добавят значителна изразителна сила на езика. (Когато се добавят към аритметика от първи ред, тези дефиниции правят всички определящи множества от естествени числа (Pi ^ {1} _ {2}). Поради изразителната сила общото понятие за валидност на неограничен кръг определенията не са аксиоматизируеми (Kremer 1993). Можем да дадем в най-добрия случай звуково логично смятане, но не и пълно. Ситуацията е аналогична на тази с логиката от втори ред.

Нека наблюдаваме някои общи характеристики на ревизионната теория на дефинициите. (i) Съгласно тази теория, логиката и семантиката на некръговите дефиниции - т.е. определенията в нормална форма - остават същите като в традиционната сметка. Правилата за въвеждане и премахване се държат неограничено и етапите на преразглеждане са необходими. Отклоненията от традиционната сметка се срещат само при кръгови определения. (ii) Съгласно теорията, кръговите определения не нарушават логиката на основния език. Решенията, съдържащи определени термини, са подчинени на същите логически закони като изреченията на основния език. (iii) Консервативността важи. Никоя дефиниция, колкото и порочна да е кръговата в нея, не води до нещо ново на основния език. Дори крайно парадоксалното определение

[Gx / eqdf { sim} Gx)

спазва изискването за консервативност. (iv) Елиминирането не е в сила. Изреченията на разширения език като цяло не могат да се свеждат до тези на основния език. Този провал има два източника. Първо, теорията на ревизията фиксира използването на твърдения и аргументи на изречения на разширения език, но без да се свеждат изреченията до тези на основния език. По този начин теорията отговаря на критерия Използване, но не и на по-силния от Eliminability. Второ, в тази теория определението може да добави логическа и експресивна сила на основен език. Добавянето на кръгова дефиниция може да доведе до дефинируемост на нови множества. Това е друга причина, поради която Eliminability се проваля.

Може да се възрази, че всяка концепция трябва да има разширение, че трябва да има определена съвкупност от обекти, които попадат под понятието. Ако това е правилно, тогава предикатът има смисъл - той изразява понятие - само ако предикатът задължително демаркира света рязко в онези обекти, към които се прилага, и тези, към които не се прилага. Следователно, възражението заключава, никой предикат с по същество кръгово определение не може да бъде смислен. Възражението очевидно не е решаващо, тъй като се опира на предпоставка, която изключва много обикновени и на пръв поглед смислени предикати (напр. „Плешив“). Независимо от това, той е забележителен, защото илюстрира как общите въпроси за смисъла и понятията влизат в дебата относно изискванията за легитимните определения.

Основната мотивация за теорията на ревизията е описателна. Твърди се, че теорията ни помага да разберем по-добре нашите обикновени понятия като истина, необходимост и рационален избор. Обикновеното, както и объркващото поведение на тези понятия, твърди се, има своите корени в циркулацията на понятията. Ако това е правилно, тогава няма логично изискване за дескриптивните и експликативните дефиниции те да са некръгови.

За по-подробно третиране на тези теми вижте Gupta 1988/89, Gupta и Belnap 1993, и Chapuis and Gupta 1999. Вижте също записа на теорията на ревизията на истината. За критично обсъждане на теорията на ревизиите вижте документите на Ван Макги и Доналд А. Мартин и отговора на Гупта във Вилануева 1997. Вижте също Шапиро 2006.

библиография

• Belnap, Н., 1993, „За строгите определения“, Философски изследвания, 72: 115–146.
• Beth, EW, 1953 г., „За метода на Padoa в теорията на дефинициите“, Indagationes Mathematicae, 15: 330–339.
• Boolos, GS, Burgess, JP и Jeffrey, RC, 2002, Computability and Logic, четвърто издание, Cambridge: Cambridge University Press.
• Carnap, R., 1956, Значение и необходимост: изследване по семантика и модална логика, разширено издание, Чикаго: University of Chicago Press.
• Chapuis, A. и Gupta, A. (ред.), 1999, Circularity, Definition, and Truth, New Delhi: Indian Council of Philosophical Research.
• Charles, D. (ed.), 2010, Определение в гръцката философия, Оксфорд: Oxford University Press.
• Chihara, CS, 1973, Онтология и принципът на порочния кръг, Итака: Cornell University Press.
• Чърч, А., 1956, Въведение в математическата логика, Принстън: Принстънски университетски печат.
• –––, 1976, „Сравнение на резолюцията на Ръсел на семантичните антиноми с тази на Тарски“, сп. „Символична логика“, 41: 747–760.
• Demopoulos, W., 2003, „За рационалната реконструкция на нашите теоретични знания“, Британско списание за философия на науката, 54: 371–403.
• Dudman, VH, 1973, “Frege on Definitions”, Mind, 83: 609–610.
• Frege, G., 1879, Begriffschrift, в От Frege до Gödel: Книга с източници по математическа логика, 1879–1931, редактирана от J. van Heijenoort, Cambridge MA: Harvard University Press (1967), стр. 1–82.
• –––, 1884, Основите на аритметиката: Логико-математическо проучване на концепцията за числото, второ преработено издание (1980), Evanston: Northwestern University Press.
• –––, 1914, „Логика в математиката“, в Gottlob Frege: Posthumous Writings, под редакцията на H. Hermes, F. Kambartel и F. Kaulbach, Chicago: University of Chicago Press (1979), стр. 203-250.
• Гьодел, К., 1944, „Математическата логика на Ръсел“, препечатана в колекциите му: Том II: Публикации 1938–1974, Ню Йорк: Oxford University Press (1990), стр. 119–141
• Гупта, А., 1988/89, „Забележки към дефинициите и понятието на истината“, Известия на Аристотеловото общество, 89: 227–246.
• –––, 2006, „Крайни кръгови дефиниции“, в Self-Reference, под редакцията на T. Bolander, VF Hendricks и SA Andersen, Stanford: CSLI Publications, стр. 79–93.
• –––, 2019, Съзнателен опит: Логично проучване, Кеймбридж, МА: Харвардския университет прес.
• Gupta, A. и Belnap, N., 1993, The Revision Theory of Truth, Cambridge MA: MIT Press.
• Хакер, PMS, 1993 г., „Витгенщайн за строгите дефиниции“, Анкета, 18: 267–287.
• Хейл Б. и Райт К., 2001 г., Правилното изследване на разума: есета към неофригейската философия на математиката, Оксфорд: Кларъндън Прес.
• Hazen, A., 1983, “Predicative Logics”, в Наръчник по философска логика: Том I: Елементи на класическата логика, под редакцията на D. Gabbay и F. Guenthner, Dordrecht: Reidel, стр. 331–407.
• Hodges, W., 1993, "Теория на дефиницията на Тарски", в Нови есета на Тарски и философия, под редакцията на D. Patterson, Oxford: Oxford University Press, стр. 94–132.
• Horty, J., 2007, Frege on Definitions: A Case Study of Semantic Content, New York: Oxford University Press.
• Horwich, P., 1998, Значение, Оксфорд: Clarendon Press.
• Кремер, П., 1993 г., „Системите на Гупта-Белнап (mathbf {S} ^ { #}) и (mathbf {S} ^ {*}) не са аксиоматизируеми“, сп. Notre Dame Формална логика, 34: 583–596.
• Kripke, SA, 1980, Назоваване и необходимост, Кеймбридж MA: Harvard University Press.
• Лок, Дж., 1689, Есе за човешкото разбиране, редактирано от PH Nidditch, Oxford: Oxford University Press (1975).
• Martinez, M., 2001, „Някои свойства на затваряне на крайните дефиниции“, Studia Logica, 68: 43–68.
• Moschovakis, Y., 1974, Елементарна индукция на абстрактни структури, Амстердам: Северна Холандия.
• Padoa, A., 1900, „Логическо въведение към всяка дедуктивна теория“, от Frege to Gödel: Книга-източник в математическата логика, 1879–1931, под редакцията на J. van Heijenoort, Cambridge MA: Harvard University Press (1967), стр. 118–123.
• Куин, WVO, 1951 г., „Две догми за емпиризма“, препечатани в неговото издание от Логическа гледна точка, Кеймбридж МА: Harvard University Press (1953), стр. 20–46.
• –––, 1960, Word and Object, Cambridge MA: MIT Press.
• Робинсън, Р., 1950, Определение, Оксфорд: Кларъндън Прес.
• Ръсел, Б., 1908, „Математическата логика като основана на теорията на типовете“, препечатана в „Логика и познание: есета 1901–1950, Лондон: Джордж Алън и Унвин (1956), стр. 59–102.
• –––, 1948 г., Човешкото познание: неговият обхват и граници, Ню Йорк: Саймън и Шустър.
• Шапиро, Л., 2006, „Обосновката зад семантиката на ревизионните правила”, Философски изследвания, 129: 477–515.
• Suppes, P., 1957, Въведение в логиката, Ню Йорк: Van Nostrand Reinhold.
• Тарски, А., 1983, Логика, Семантика, Метаматематика: Доклади от 1923 до 1938 г., второ издание, редактирано от J. Corcoran, Indianapolis: Hackett Publishing Company.
• Urbaniak, R. и Hämäri, KS, 2012, „Разрушаване на мит за Лешневски и дефиниции“, История и философия на логиката, 33: 159–189.
• Вилануева, Е. (съст.), 1997, Истина (Философски въпроси 8), Atascadero: Издателска компания Ridgeview.
• Whitehead, AN и Russell, B., 1925, Principia Mathematica, vol. 1, второ издание, Cambridge: Cambridge University Press.
• Уайтли, CH, 1956, „Значение и дълбока дефиниция“, Ум, 65: 332–335.
• Wittgenstein, L., 1953, Философски изследвания, Ню Йорк: Макмилан.

Академични инструменти

	Как да цитирам този запис.
	Вижте PDF версията на този запис в Дружеството на приятелите на SEP.
	Разгледайте тази тема за вписване в интернет философския онтологичен проект (InPhO).
	Подобрена библиография за този запис в PhilPapers, с връзки към неговата база данни.

Други интернет ресурси